Thước Golomb

Trong toán học, thước Golomb là một tập hợp các vạch ở vị trí nguyên trên một thước thẳng sao cho không có hai cặp vạch nào đo cùng một khoảng cách. Số vạch của thước gọi là bậc, và khoảng cách giữa hai vạch xa nhau nhất gọi là chiều dài. Tịnh tiến và lấy đối xứng thước Golomb được coi là những biến đổi tầm thường, nên ta thường quy ước vạch nhỏ nhất nằm ở 0 và vạch thứ hai nằm ở vị trí nhỏ hơn trong số hai vị trí có thể (tùy vào việc có lấy đối xứng hay không). Thước Golomb được đặt theo tên của Solomon W. Golomb và được phát hiện một cách độc lập bởi Sidon và Babcock. Thước Golomb không nhất thiết phải đo được tất cả các khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài của nó, nhưng khi nó có tính chất đó, nó được gọi là thước Golomb hoàn hảo. Người ta đã chứng minh được rằng không tồn tại thước Golomb hoàn hảo với ít nhất năm vạch. Một thước Golomb là tối ưu nếu không tồn tại thước Golomb nào ngắn hơn có cùng bậc. Tạo một thước Golomb không khó, nhưng tìm thước Golomb tối ưu là một việc đòi hỏi nhiều công sức tính toán. Distributed.net đã hoàn thành quá trình tìm kiếm song song để tìm ra thước tối ưu bậc 24, bậc 25 và bậc 26, công nhận những dự đoán trước đó về thước tối ưu. Distributed.net cũng có kế hoạch tìm ra thước Golomb tối ưu bậc 27 và bậc 28. Tuy nhiên vì đã có một thuật toán cải tiến nên ước lượng thời gian thực hiện dự án này sẽ không lâu như những dự án trước. Distributed.net đang tìm kiếm thước tối ưu bậc 27; vào tháng 5 năm 2009, ước lượng thời gian đến khi tìm ra nó là 7 năm. Tính đến tháng 1 năm 2012[cập nhật], 47% công việc tính toán đã được hoàn thành sau 1063 ngày (2.9 năm) làm việc. Hiện nay vẫn chưa rõ độ phức tạp tính toán của việc tìm ra thước tối ưu bậc n (trong đó n được cho dưới dạng nhất phân). Đã từng có những dự đoán nó là một bài toán NP-khó. Có những bài toán có liên hệ đến việc xây dựng thước Golomb được chứng minh là NP-khó, nhưng người ta cũng nhấn mạnh rằng không có bài toán NP-đầy đủ đã biết nào có dạng tương tự như việc tìm thước Golomb tối ưu. Một tập hợp số nguyên A = { a 1 , a 2 , . . . , a m } a 1 < a 2 < . . . < a m {\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\right\}\quad a_{1}<a_{2}<...<a_{m}} là một thước Golomb khi và chỉ khi ∀ i , j , k , l ∈ { 1 , 2 , . . . , m } , a i − a j = a k − a l ⟺ i = k ∧ j = l . {\displaystyle \forall i,j,k,l\in \left\{1,2,...,m\right\},a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}\iff i=k\land j=l.} Bậc của thước Golomb là m {\displaystyle m} và chiều dài của thước là a m − a 1 {\displaystyle a_{m}-a_{1}} . Dạng chính tắc có a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} và nếu m > 2 {\displaystyle m>2} , a 2 − a 1 < a m − a m − 1 {\displaystyle a_{2}-a_{1}<a_{m}-a_{m-1}} . Có thể thu được dạng đó bằng cách thực hiện phép tịnh tiến và lấy đối xứng. Một đơn ánh f : { 1 , 2 , . . . , m } → { 0 , 1 , . . . , n } {\displaystyle f:\left\{1,2,...,m\right\}\to \left\{0,1,...,n\right\}} với f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(1)=0} và f ( m ) = n {\displaystyle f(m)=n} là một thước Golomb khi và chỉ khi ∀ i , j , k , l ∈ { 1 , 2 , . . . , m } , f ( i ) − f ( j ) = f ( k ) − f ( l ) ⟺ i = k ∧ j = l . {\displaystyle \forall i,j,k,l\in \left\{1,2,...,m\right\},f(i)-f(j)=f(k)-f(l)\iff i=k\land j=l.} Bậc của thước là m {\displaystyle m} và chiều dài của thước là n {\displaystyle n} . Dạng chính tắc có f ( 2 ) < f ( m ) − f ( m − 1 ) {\displaystyle f(2)<f(m)-f(m-1)} nếu m > 2 {\displaystyle m>2} . Thước Golomb bậc m {\displaystyle m} và chiều dài n có thể là tối ưu theo một trong hai tiêu chuẩn sau: trù mật tối ưu, nếu có m lớn nhất cho một giá trị n cố định ngắn tối ưu, nếu có n nhỏ nhất cho một giá trị m cố định Thuật ngữ thước Golomb tối ưu thường được dùng để chỉ loại thứ hai. Thước Golomb được dùng trong lý thuyết thông tin, cụ thể là trong mã sửa lỗi. Thước Golomb được dùng cho việc lựa chọn tần số radio để giảm ảnh hưởng của nhiễu biến điệu tương hỗ trong cả trường hợp gần mặt đất và trong không gian. Thước Golomb được dùng trong thiết kế của mảng pha của ăngten vô tuyến, chẳng hạn như trong kính thiên văn vô tuyến. Ở các điểm thu phát sóng, các ăngten thường nằm ở vị trí như trong thước Golomb [0,1,4,6].[Còn mơ hồ – thảo luận] Có nhiều phương thức xây dựng thước Golomb tiệm cận tối ưu. Cách xây dựng dưới đây của Paul Erdős và Pál Turán xây dựng được thước Golomb với mọi số nguyên tố lẻ p. 2 p k + ( k 2 mod p ) , k ∈ [ 0 , p − 1 ] {\displaystyle 2pk+(k^{2}\,{\bmod {\,}}p),k\in [0,p-1]} Bảng dưới đây chứa tất cả các thước Golomb tối ưu đã biết, ngoại trừ ảnh đối xứng của chúng. Bốn thước đầu tiên là hoàn hảo. Mảng Costas Thước thưa Thước hoàn hảo Dãy Sidon ^ Sidon, S. (1932), “Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendungen in der Theorie der Fourier-Reihen”, Mathematische Annalen, 106: 536–539 ^ Babcock, Wallace C. (1953), “Intermodulation Interference in Radio Systems/Frequency of Occurrence and Control by Channel Selection”, Bell System Technical Journal, 31: 63–73 ^ a b “Modular and Regular Golomb Rulers”. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 4 năm 2009. Truy cập ngày 13 tháng 4 năm 2012. ^ “stats.distributed.net - OGR-24 Overall Project Stats”. Truy cập ngày 27 tháng 3 năm 2008. ^ “stats.distributed.net - OGR-25 Overall Project Stats”. Truy cập ngày 22 tháng 9 năm 2008. ^ “distributed.net: staff blogs – bovine”. Truy cập 7 tháng 10 năm 2015. ^ “distributed.net: Projects”. Bản gốc lưu trữ ngày 19 tháng 6 năm 2010. Truy cập 7 tháng 10 năm 2015. ^ “distributed.net -.plan archives”. Truy cập ngày 27 tháng 3 năm 2008. ^ “distributed.net -.plan archives 2”. Truy cập ngày 26 tháng 10 năm 2008. ^ “distributed.net: staff blogs – 2008 – October – 26”. Truy cập 7 tháng 10 năm 2015. ^ bovine's plan, 24-Feb-2009 17:26 ^ OGR-27 / Overall Project Stats ^ C. Meyer, P.A. Papakonstantinou, “On the Complexity of Constructing Golomb Rulers”., Discrete Applied Mathematics ^ Dimitromanolakis, Apostolos. “Analysis of the Golomb Ruler and the Sidon Set Problems, and Determination of Large, Near-Optimal Golomb Rulers” (PDF). Truy cập ngày 20 tháng 12 năm 2009. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp) ^ a b Drakakis, Konstantinos (2009). “A Review Of The Available Construction Methods For Golomb Rulers”. Advances in Mathematics of Communications. 3 (3): 235–250. doi:10.3934/amc.2009.3.235. ^ Paul Erdos and P. Turan. "On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems," J. London Math. Soc, 16:212--215, 1941 ^ “A class of binary recurrent codes with limited error propagation” (tóm tắt). Truy cập ngày 14 tháng 3 năm 2011. ^ “Intermodulation Interference in Radio Systems” (trích dẫn). Truy cập ngày 14 tháng 3 năm 2011. ^ “Carrier frequency assignment for nonlinear repeaters” (tóm tắt) |format= cần |url= (trợ giúp). Bibcode:1977COMTR...7..227F. |url= trống hay bị thiếu (trợ giúp) ^ Erdős, Paul; Turán, Pál (1941). “On a problem of Sidon in additive number theory and some related problems”. Journal of the London Mathematical Society. 16 (4): 212–215. doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212. Gardner, Martin (1972). “Mathematical games”. Scientific American: 108–112. James B. Shearer's Golomb ruler pages Lưu trữ 2017-12-25 tại Wayback Machine(tiếng Anh) distributed.net: Project OGR(tiếng Anh) In Search Of The Optimal 20, 21 & 22 Mark Golomb Rulers(tiếng Anh) "Rulers, Arrays, and Gracefulness" bởi Ed Pegg Jr.(tiếng Anh) Golomb rulers up to length of over 200 (thông qua Internet Archive)(tiếng Anh) Weisstein, Eric W., "Golomb Ruler" từ MathWorld.