Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan G, đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là G = β ( 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + 1 9 2 − ⋯ {\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots } trong đó β là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng (dãy số A006752 trong bảng OEIS) G = 0915965594177219015054603514932384110774… Hiện vẫn chưa biết liệu G là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó. Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 3 = 1 1 3 − 1 3 3 + 1 5 3 − 1 7 3 + 1 9 3 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}-\cdots } có thể được tính bằng chính xác π3/32. Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm G = ∬ [ 0 , 1 ] 2 1 1 + x 2 y 2 d x d y G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 1 1 − x 2 − y 2 d y d x G = ∫ 1 ∞ ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = − ∫ 0 1 ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = ∫ 0 π 4 t sin ⁡ t cos ⁡ t d t G = 1 4 ∫ − π 2 π 2 t sin ⁡ t d t G = ∫ 0 π 4 ln ⁡ cot ⁡ t d t G = − ∫ 0 π 4 ln ⁡ tan ⁡ t d t G = 1 2 ∫ 0 π 2 ln ⁡ ( sec ⁡ t + tan ⁡ t ) d t G = ∫ 0 1 arccos ⁡ t 1 + t 2 d t G = ∫ 0 1 arsinh ⁡ t 1 − t 2 d t G = ∫ 0 ∞ arctan ⁡ e − t d t G = 1 2 ∫ 0 ∞ t cosh ⁡ t d t G = π 2 ∫ 1 ∞ ( t 4 − 6 t 2 + 1 ) ln ⁡ ln ⁡ t ( 1 + t 2 ) 3 d t G = 1 + lim α → 1 − { ∫ 0 α ( 1 + 6 t 2 + t 4 ) arctan ⁡ t t ( 1 − t 2 ) 2 d t + 2 arctanh ⁡ α − π α 1 − α 2 } G = 1 − 1 8 ∬ R 2 x sin ⁡ ( 2 x y / π ) ( x 2 + π 2 ) cosh ⁡ x sinh ⁡ y d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{4}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \tan t\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sec t+\tan t)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\arctan e^{-t}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {(t^{4}-6t^{2}+1)\ln \ln t}{(1+t^{2})^{3}}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {(1+6t^{2}+t^{4})\arctan {t}}{t(1-t^{2})^{2}}}\,dt+2\operatorname {arctanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin(2xy/\pi )}{\,(x^{2}+\pi ^{2})\cosh x\sinh y\,}}\,dxdy\end{aligned}}} trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten. Nếu K(k) là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với k là môđun elliptic, thì G = 1 2 ∫ 0 1 K ( k ) d k . {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk.} Với hàm gamma Γ(x + 1) = x! G = π 4 ∫ 0 1 Γ ( 1 + x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) d x = π 2 ∫ 0 1 2 Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 − y ) d y . {\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy.\end{aligned}}} Tích phân G = Ti 2 ⁡ ( 1 ) = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt} là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan. Hằng số G xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma): ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}} Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma, π2 và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị. Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng. Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic. Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, hàm G Barnes, cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này. Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm G Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen): G = 4 π log ⁡ ( G ( 3 8 ) G ( 7 8 ) G ( 1 8 ) G ( 5 8 ) ) + 4 π log ⁡ ( Γ ( 3 8 ) Γ ( 1 8 ) ) + π 2 log ⁡ ( 1 + 2 2 ( 2 − 2 ) ) {\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right)} . Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch Φ(z,s,α) (liên quan đến hàm zeta Lerch) là Φ ( z , s , α ) = ∑ n = 0 ∞ z n ( n + α ) s , {\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},} thì G = 1 4 Φ ( − 1 , 2 , 1 2 ) . {\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).} Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này: G = 3 ∑ n = 0 ∞ 1 2 4 n ( − 1 2 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 3 ( 8 n + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 4 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 ( 8 n + 1 ) 2 ) − − 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 12 n ( 1 2 4 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 6 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 9 ( 8 n + 5 ) 2 − 1 2 10 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 12 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}} và G = π 8 log ⁡ ( 2 + 3 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 ( 2 n n ) . {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.} Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai. Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba. Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan G ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán. Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann Hằng số toán học ^ Papanikolaou, Thomas (tháng 3 năm 1997). “Catalan's Constant to 1,500,000 Places”. Gutenberg.org. ^ Nesterenko, Yu. V. (tháng 1 năm 2016), “On Catalan's constant”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 292 (1): 153–170, doi:10.1134/s0081543816010107. ^ Blagouchine, Iaroslav (2014). “Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results” (PDF). The Ramanujan Journal. 35: 21–110. doi:10.1007/s11139-013-9528-5. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 2 tháng 10 năm 2018. Truy cập ngày 1 tháng 10 năm 2018. ^ Agol, Ian (2010), “The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds”, Proceedings of the American Mathematical Society, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR 2661571. ^ Broadhurst, D. J. (1998). "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)". arΧiv:math.CA/9803067.  ^ Berndt, B. C. (1985). Ramanujan's Notebook, Part I. Springer Verlag. [thiếu ISBN] ^ Karatsuba, E. A. (1991). “Fast evaluation of transcendental functions”. Probl. Inf. Transm. 27 (4): 339–360. MR 1156939. Zbl 0754.65021. ^ Karatsuba, E. A. (2001). “Fast computation of some special integrals of mathematical physics”. Trong Krämer, W.; von Gudenberg, J. W. (biên tập). Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods. tr. 29–41. [thiếu ISBN] ^ Gourdon, X.; Sebah, P. “Constants and Records of Computation”. ^ “Shigeru Kondo's website”. Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 2 năm 2008. Truy cập ngày 31 tháng 1 năm 2008. ^ Constants and Records of Computation ^ a b Large Computations ^ a b c d Catalan's constant records using YMP ^ Catalan's constant records using YMP ^ “Catalan's constant world record by Seungmin Kim”. Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 8 năm 2020. Truy cập ngày 25 tháng 8 năm 2020. Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant Lưu trữ 2009-06-24 tại Wayback Machine (undated) Adamchik, Victor (2002). “A certain series associated with Catalan's constant”. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. doi:10.4171/ZAA/1110. MR 1929434. Bản gốc lưu trữ ngày 16 tháng 3 năm 2010. Truy cập ngày 25 tháng 8 năm 2020. Plouffe, Simon (1993). “A few identities (III) with Catalan”. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 4 năm 2009. Truy cập ngày 25 tháng 8 năm 2020. (Provides over one hundred different identities). Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 Lưu trữ 2009-04-21 tại Wayback Machine, (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations) Weisstein, Eric W., "Catalan's Constant" từ MathWorld. Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.). Fee, Greg (1990), “Computation of Catalan's constant using Ramanujan's Formula”, Proceedings of the international symposium on Symbolic and algebraic computation - ISSAC '90, Proceedings of the ISSAC '90, tr. 157–160, doi:10.1145/96877.96917, ISBN 0201548925 Bradley, David M. (1999). “A class of series acceleration formulae for Catalan's constant”. The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. MR 1703281. Bradley, David M. (2007). “A class of series acceleration formulae for Catalan's constant”. The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. doi:10.1023/A:1006945407723. Bradley, David M. (2001), Representations of Catalan's constant, CiteSeerX 10.1.1.26.1879 Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Catalan constant”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) catalan's constant — www.cs.cmu.edu