Trường Euclid

Trong toán học, một trường Euclid là một trường sắp thứ tự K mà mọi phần tử không âm đều là một số chính phương. Tức là, với x ≥ 0 thuộc K nghĩa là x = y2 với một y nào đó thuộc K. Mọi trường Euclid là một trường Pythagoras sắp thứ tự, nhưng điều ngược lại không đúng. Nếu E/F là một mở rộng trường hữu hạn, và E là một trường Euclid thì F cũng là Euclid. Tính chất "đi xuống" này là một hệ quả của định lý Diller–Dress. Trường số thực ℝ với các phép toán và thứ tự thông thường tạo thành một trường Euclid. Trường các số đại số thực ℝ ∩ ℚ là một trường Euclid. Các số dựng được, những độ dài có thể dựng được từ một đoạn hữu tỉ bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, tạo thành một trường Euclid. Trường các số siêu thực là một trường Euclid. Trường số hữu tỉ ℚ với các phép toán và thứ tự thông thường không tạo thành một trường Euclid. Ví dụ, 2 không phải là số chính phương trong ℚ vì căn bậc hai của 2 là số vô tỉ. By the going-down result above, no algebraic number field can be Euclidean. Trường số phức ℂ không tạo thành một trường Euclid vì nó không phải là trường sắp thứ tự. ^ Martin (1998) p. 89 ^ a b Lam (2005) p.270 ^ Martin (1998) pp. 35–36 ^ Martin (1998) p. 35 Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. 124. Providence, RI: Hội Toán học Hoa Kỳ. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002. Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. Hội Toán học Hoa Kỳ. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. Euclidean Field tại trang PlanetMath.org.