Trung tuyến

Đường trung tuyến của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Trong hình học,đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau. Trong hình học không gian, khái niệm tương tự là mặt trung tuyến trong tứ diện. 3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau. Xem xét tam giác ABC (hình bên), cho D là trung điểm của A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , E là trung điểm của B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} , F là trung điểm của A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} , và O là trọng tâm. Theo định nghĩa, A D = D B , A F = F C , B E = E C {\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC\,} . Do đó [ A D O ] = [ B D O ] , [ A F O ] = [ C F O ] , [ B E O ] = [ C E O ] , {\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],} và [ A B E ] = [ A C E ] {\displaystyle [ABE]=[ACE]\,} , trong đó [ A B C ] {\displaystyle [ABC]} là diện tích của △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ; điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy (mở rộng), và diện tích của tam giác thì bằng một phần hai đáy nhân đường cao. Chúng ta có: [ A B O ] = [ A B E ] − [ B E O ] {\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]\,} [ A C O ] = [ A C E ] − [ C E O ] {\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]\,} Do đó, [ A B O ] = [ A C O ] {\displaystyle [ABO]=[ACO]\,} và [ A D O ] = [ D B O ] , [ A D O ] = 1 2 [ A B O ] {\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]} Do [ A F O ] = [ F C O ] , [ A F O ] = 1 2 A C O = 1 2 [ A B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}ACO={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} , do đó, [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]\,} . Sử dụng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] = [ B E O ] = [ C E O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]\,} . Độ dài của trung tuyến có tính được bằng định lý Apollonius như sau: m c = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 4 , {\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},} trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma, mb, và mc từ trung điểm Do vậy chúng ta cũng có các mối quan hệ: a = 2 3 − m a 2 + 2 m b 2 + 2 m c 2 = 2 ( b 2 + c 2 ) − 4 m a 2 = b 2 2 − c 2 + 2 m b 2 = c 2 2 − b 2 + 2 m c 2 ¯ , {\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}{\bar {}},}}} b = 2 3 − m b 2 + 2 m a 2 + 2 m c 2 = 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 m b 2 = a 2 2 − c 2 + 2 m a 2 = c 2 2 − a 2 + 2 m c 2 , {\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},} c = 2 3 − m c 2 + 2 m b 2 + 2 m a 2 = 2 ( b 2 + a 2 ) − 4 m c 2 = b 2 2 − a 2 + 2 m b 2 = a 2 2 − b 2 + 2 m a 2 . {\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.} Đường cao (tam giác) Đường phân giác Đường trung trực ^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. tr. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Truy cập ngày 24 tháng 4 năm 2011. Medians and Area Bisectors of a Triangle The Medians at cut-the-knot Area of Median Triangle at cut-the-knot Medians of a triangle With interactive animation Constructing a median of a triangle with compass and straightedge animated demonstration Weisstein, Eric W., "Triangle Median" từ MathWorld.