Đa thức Jacobi

Đa thức Jacobi là một gia đình các đa thức trực giao định nghĩa trên đoạn [-1,1] và trực giao với tích vô hướng sau đây ( u , v ) := ∫ − 1 1 u ( x ) v ( x ) ( 1 − x ) α ( 1 − x ) β , {\displaystyle (u,v):=\int _{-1}^{1}u(x)v(x)(1-x)^{\alpha }(1-x)^{\beta },} trong đó α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } là 2 số dương cho trước. Đa thức Jacobi có thể được viết dưới dạng P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s [ s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ] − 1 ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.} Tổng trên chỉ số s {\displaystyle s\,} mở rộng ra các giá trị tự nhiên mà tham số trong giai thừa là không âm.