Bán kính cong

Bán kính cong R {\displaystyle R} của một đường cong tại một điểm là bán kính của một cung tròn trùng đường cong nhất tại điểm đó. Nó là nghịch đảo của độ cong κ {\displaystyle \kappa } . R = | 1 κ | = | d s d ϕ | {\displaystyle R=\left|{\frac {1}{\kappa }}\right|=\left|{\frac {ds}{d\phi }}\right|} với s {\displaystyle s} là độ dài cung tại điểm trên đường cong, ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến và κ {\displaystyle \kappa } là độ cong. Xem thêm: Độ cong Nếu đường cong được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Descartes y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , thì bán kính cong được tính như sau: R = | [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 d 2 y d x 2 | {\displaystyle R=\left|{\dfrac {\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}\right|} Nếu đường cong được cho bởi hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , thì bán kính cong là: R = | ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ | {\displaystyle R=\left|{\dfrac {\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}{x'y''-y'x''}}\right|} với x ′ = d x d t , x ″ = d 2 x d t 2 , y ′ = d y d t , y ″ = d 2 y d t 2 {\displaystyle x'={\frac {dx}{dt}},\quad x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad y'={\frac {dy}{dt}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}} . Độ cong Hệ tọa độ Descartes