Phương trình đường thẳng

Vectơ u → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} , vectơ k u → {\displaystyle k{\vec {u}}} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó Vectơ n → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} , vectơ k n → {\displaystyle k{\vec {n}}} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương a → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)} thì có vectơ pháp tuyến là n → = ( − b , a ) {\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)} hay n → = ( b , − a ) {\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)} . Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có vectơ chỉ phương là a → = ( − b , a ) {\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)} hay a → = ( b , − a ) {\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)} Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} và vectơ n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa n 1 → {\displaystyle {\vec {n_{1}}}} với n 2 → {\displaystyle {\vec {n_{2}}}} hoặc giữa n 2 → {\displaystyle {\vec {n_{2}}}} với n 1 → {\displaystyle {\vec {n_{1}}}} . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0})} và nhận u → = ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng. Nếu u 1 ≠ 0 {\displaystyle u_{1}\neq 0} và u 2 ≠ 0 {\displaystyle u_{2}\neq 0} , từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 {\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}} Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc Phương trình ax+by+c=0 với a 2 + b 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm A ( 0 ; − c b ) {\displaystyle A(0;-{c \over b})} Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm B ( − c a ; 0 ) {\displaystyle B(-{c \over a};0)} Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) Đường thẳng đi qua 2 điểm A ( x 0 ; 0 ) {\displaystyle A(x_{0};0)} ( x 0 ≠ 0 {\displaystyle x_{0}\neq 0} ) và B ( 0 ; y 0 ) {\displaystyle B(0;y_{0})} ( y 0 ≠ 0 {\displaystyle y_{0}\neq 0} ) thì có thể được viết dưới dạng phương trình x x 0 + y y 0 = 1 {\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1} Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α {\displaystyle \alpha } . Đặt k = tan ⁡ α {\displaystyle k=\tan \alpha } , khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. Đường thẳng có vecto chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})} thì có hệ số góc k = u 2 u 1 {\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}} Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có hệ số góc k = − a b {\displaystyle k=-{a \over b}} Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau. Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1. Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0 (D) cắt (d) ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A a ≠ B b {\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình { A x + B y + C = 0 a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}} (D) // (d) ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A a = B b ≠ C c {\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}} (D) ≡ {\displaystyle \equiv } (d) ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A:B:C = a:b:c Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi n 1 → = ( A 1 , B 1 ) {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} là vectơ pháp tuyến của (D) và n 2 → = ( A 2 , B 2 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi α {\displaystyle \alpha } là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó cos ⁡ α = | n 1 → . n 2 → | | n 1 → | | n 2 → | = | A 1 A 2 + B 1 B 2 | ( A 1 2 + B 1 2 ) ( A 2 2 + B 2 2 ) {\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}} 2 đường thẳng vuông góc thì α = 90 ∘ {\displaystyle \alpha =90^{\circ }} 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì α = 0 ∘ {\displaystyle \alpha =0^{\circ }} Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và M ( x 0 , y 0 ) ∉ ( d ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)} , khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức d ( M , d ) = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm M ( x M , y M ) {\displaystyle M(x_{M},y_{M})} , N ( x N , y N ) {\displaystyle N(x_{N},y_{N})} không nằm trên (d). Xét các biểu thức m = a x M + b y M + c {\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c} và n = a x N + b y N + c {\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c} , khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} và nhận u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t z = z 0 + u 3 t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng. Nếu cả u 1 {\displaystyle u_{1}} , u 2 {\displaystyle u_{2}} , u 3 {\displaystyle u_{3}} đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 = z − z 0 u 3 {\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}} Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và (d') có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có: (d) ≡ {\displaystyle \equiv } (d') ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = [ u → , M M ′ → ] = 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}} (d)//(d') ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}} và [ u → , M M ′ → ] ≠ 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}} (d) cắt (d') ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } { [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 → M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] = 0 {\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}} (d) và (d') chéo nhau ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 {\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0} Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 {\displaystyle M_{0}} và có vectơ chỉ phương u → {\displaystyle {\vec {u}}} . Khoảng cách từ điểm M đến (d) là d [ M , ( d ) ] = | [ M 0 M → , u → ] | | u → | {\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }} Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là d [ ( d ) , ( d ′ ) ] = | [ u → , u ′ → ] . M M ′ → | | [ u → , u ′ → ] | {\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }} Đường thẳng Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao