Hàm số xác định theo từng khoảng

Hàm số xác định theo từng khoảng - hàm số xác định trên tập số thực và được cho theo các công thức khác nhau trên từng khoảng khác nhau của tập xác định. Giả sử x 1 < x 2 < … < x n {\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}} - là các điểm thay đổi công thức của hàm. Hàm số xác định theo từng khoảng được cho theo công thức sau: f ( x ) = { f 0 ( x ) , x < x 1 f 1 ( x ) , x 1 < x < x 2 ⋯ f n ( x ) , x n < x {\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}} Nếu các hàm thành phần f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} là hàm hằng, thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} - hàm hằng từng khoảng, hay hàm bậc thang. Nếu tất cả các hàm f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} là hàm tuyến tính, thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} - hàm số tuyến tính từng khoảng. Nếu tất cả các hàm f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} là hàm liên tục, thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} - hàm số liên tục từng khoảng. Nếu tất cả các hàm f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} là hàm khả vi, thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} - hàm số khả vi từng khoảng, hay hàm số trơn từng khoảng. Nếu tất cả các hàm f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} là hàm đơn điệu, thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} - hàm số đơn điệu từng khoảng. Khi đó tính đơn điệu trên các khoảng kề nhau có thể khác nhau.