
Portuguese: 
Para este vídeo, estou fazendo algo um pouquinho diferente.
Tive a oportunidade de sentar com Steve Strogatz e
gravar a conversa.
Para os que não sabem, Steve é um matemático da Universidade de Cornell.
Ele é autor de diversos livros populares de matemática,
e um frequente contribuidor de (entre outras coisas) RadioLab e o New YorkTimes.
Resumindo, ele é um dos grandes divulgadores de matemática do nosso tempo.
Na nossa conversa, falamos sobre várias coisas.
Mas tudo sobre este único, bem famoso problema na história da Matemática:
A Braquistócrona.
E, por dois terços deste vídeo, eu só vou mostrar um pouco desta conversa.
Nós dissecamos o problema, falamos um pouco sobre sua história e
vamos para a solução de Johann Bernoulli, no século XVII.
Depois disso, eu vou mostrar esta prova que Steve me mostrou.
É de um matemático contemporâneo, Mark Levi,
e dá uma perspectiva geométrica da solução original de Johann Bernoulli.

Chinese: 
这个视频中，我要讲点不同的东西。
我有机会与Steven Strogatz坐谈，
并录下了一段对话。
若你不知道，Steve是来自康奈尔大学的一位数学家。
他著有几本热门的数学书，
也是RadioLab和《纽约时报》等的频繁供稿人。
简言之，他是一位当代伟大的大众数学传播者。
在对话中，我们探讨了许多事情，
但全都围绕这个数学史上非常著名的问题 ：
最速降线。
视频前面约三分之二，我就播放这段对话的一部分。
我们定义这个问题，谈论它的一些历史，
经历一遍17世纪的约翰·伯努利提出的解法。
之后，我呈现Steve展示给我的
来自当代数学家Mark Levi的这项证明，
它将几何见解赋予给约翰·伯努利原来的解法。

Modern Greek (1453-): 
Για αυτό το βίντεο, θα κάνω κάτι λίγο διαφορετικό.
Πήρα την ευκαιρία να καθίσω με τον Steven Strogatz,
και να καταγράψω μια συνομιλία.
Για όσους από εσάς δεν τον γνωρίζετε, ο Steve είναι ένας μαθηματικός στο Cornell.
Είναι ο συγγραφέας πολλών δημοφιλών βιβλίων μαθηματικών,
και συχνός συνεργάτης, μεταξύ άλλων, στο RadioLab και στο The New York Times.
Για να το θέσω σύντομα, είναι ένας από τους μεγάλους εκλαϊκετές των μαθηματικών στην εποχή μας.
Στη συνομιλία μας, μιλήσαμε για πολλά πράγματα.
Αλλά ήταν όλα επικεντρωμένα γύρω από αυτό το πολύ γνωστό πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών:
Την Brachistochrone καμπύλη.
Και για τα πρώτα δύο τρίτα περίπου του βίντεο, απλώς θα παίξει μέρος αυτής της συζήτησης.
Έχουμε θέσει το πρόβλημα, μιλάμε για την ιστορία του,
και να περνάμε από τον 17ο αιώνα. μέσα από τη λύση του Johann Bernoulli
Μετά από αυτό, θα δείξω την απόδειξη που ο Steve μου έδειξε.
Είναι από έναν σύγχρονο μαθηματικό, τον Μαρκ Λεβί,
και δίνει μια ορισμένη γεωμετρική εικόνα στην αρχική λύσης του Johann Bernoulli

French: 
Dans cette vidéo, je vais faire les choses différemment.
J'ai eu la chance de parler avec Steven Strogatz
et d'enregistrer notre conversation.
Pour ceux qui ne savent pas,
Steven est un mathématicien à Cornell.
Il est l'auteur de plusieurs livres populaires sur les maths,
et un contributeur fréquent à, entre-autres,
RadioLab et au New York Times.
Pour simplifier, il est l'un des plus grands
"communicateur de masse" de mathématiques
de notre époque.
Dans notre conversation, nous avons parlé
de beaucoup de choses.
Mais tout tournait autour de ce problème
très connu dans l'histoire des maths.
Le Brachistochrone.
Et pour les 2 premiers tiers de la vidéo,
je vais juste vous faire écouter cette conversation.
On pose le problème, parle un peu de son histoire,
et parle de la solution de Johann Bernoulli du 17ème siècle.
Après ça, je vais vous montrer cette démonstration que Steve m'a montré.
Par un mathématisien moderne, Mark Levi
et donne un aspect géométrique à la solution originale de Johann Bernoulli.

Polish: 
Do tego filmu zamierzam podejść inaczej.
Miałem okazję spotkać się ze Stevenem Strogatzem,
i nagrać naszą rozmowę.
Dla tych którzy nie wiedzą, Steve jest matematykiem w Cornell University.
Jest autorem wielu książek popularyzujących matematykę,
oraz współpracownikiem takich mediów jak RadioLab, czy The New York Times.
W skrócie, jest jednym z największych łączników między ludźmi a matematyką.
W naszej rozmowie, poruszyliśmy kilka tematów, ale
wszystkie były skupione wokół bardzo znanego problemu w matematyce,
mianowicie Brachistochrony.
Przez pierwsze dwie trzecie tego filmu zamierzam puszczać niektóre fragmenty naszej rozmowy.
Omówimy problem, porozmawiamy o jego historii,
oraz prześledzimy jego XVII-wieczne rozwiązanie autorstwa Johanna Bernoulliego.
Po tym, zamierzam pokazać dowód tego problemu, który pokazał mi Steve.
Jego autorem był współczesny matematyk, Mark Levi,
który zaproponował geometryczne spojrzenie na rozwiązanie Bernoulliego.

English: 
For this video, I'm doing something a little different.
I got the chance to sit down with Steven Strogatz,
and record a conversation.
For those of you who don't know, Steve is a mathematician at Cornell.
He's the author of several popular math books,
and a frequent contributor to, among other things, RadioLab and The New York Times.
To put it shortly, he's one of the great mass communicators of math in our time.
In our conversation, we talked about a lot of things.
But it was all centering around this one, very famous problem in the history of math:
The Brachistochrone.
And for the first two thirds or so of the video, I'm just gonna play some of that conversation.
We lay out the problem, talk about some of its history,
and go through the solution by Johann Bernoulli from the 17th century.
After that, I'm going to show this proof that Steve showed me.
It's by a modern mathematician, Mark Levi,
and it gives a certain geometric insight to Johann Bernoulli's original solution.

Portuguese: 
E, por último, eu tenho um pequeno desafio para você.
Nós provavelmente devemos começar com... definindo o problema propriamente dito.
Steve: Ok, tudo bem, você quer que eu tente fazer isso?
3B1B: Sim, vá em frente.
Steve: Ok, então, é essa... palavra complicada
antes de tudo, ''Braquistócrona'', que vem de duas...
Puxa, eu preciso conferir. São palavras em latim, ou grego, eu acho?
3B1B: Tenho bastante certeza que são em grego.
Steve: Ok, então... palavras em grego para "tempo mais curto"
e se referem à pergunta que foi proposta por um dos irmãos Bernoulli: Johann Bernoulli
Imagine uma calha, e há uma partícula descendo a calha,
sendo puxada pela gravidade,
qual é o caminho de calha que conecta os dois pontos,
de modo que a partícula vai do ponto A ao ponto B no menor intervalo de tempo possível?
3B1B: Eu acho que o que eu mais gosto a respeito deste problema é
como é relativamente fácil descrever qualitativamente o que você está procurando.
Tipo, você quer que o caminho seja curto, algo como uma linha reta,

Modern Greek (1453-): 
Και στο τέλος, έχω μια μικρή πρόκληση για εσάς.
Θα πρέπει πιθανώς να ξεκινήσουμε πολύ απλά από ... τον ορισμό του ίδιου του προβλήματος.
Steve: Εντάξει, εντάξει, θες να πάρει μια πρώτη γεύση;
3b1b: Ναι, πάμε.
Steve: Εντάξει, ναι, έτσι είναι αρκετά περίπλοκο, εεε, λέξη!
Πρώτα απ 'όλα, Brachistochrone: Η λέξη προέρχεται από δύο ...
Gee, θα πρέπει να ελέγξετε. Είναι λατινικές  ή ελληνικές λέξεις, νομίζω;
3b1b: Είμαι αρκετά σίγουρος ότι είναι Έλληνικές λέξεις
Steve: Εντάξει, έτσι ... ελληνικές λέξεις για «το συντομότερο»
και αναφέρεται σε μια ερώτηση που τέθηκε από έναν από τους αδελφούς Bernoulli, από τον Johann Bernoulli.
φανταστείτε μια καμπύλη, και ένα σωματίδιο το οποίο κινείται προς τα κάτω στην καμπύλη.
Που ωθείται από τη βαρύτητα,
ποια είναι η διαδρομή της καμπύλης που συνδέει τα δύο σημεία,
έτσι ώστε να πηγαίνει από το σημείο Α στο σημείο Β στο συντομότερο χρονικό διάστημα;
3b1b: Νομίζω ότι αυτό που μου αρέσει περισσότερο σχετικά με αυτό το πρόβλημα
είναι ότι είναι σχετικά εύκολο να περιγράψει ποιοτικά περι τίνος πρόκειται
Ξέρετε, θέλετε η διαδρομή να είναι σύντομη, κάτι σαν μια ευθεία γραμμή,

Chinese: 
最后，我给你一个小挑战。
第1节：约翰·伯努力的洞察力
我们真的应该…从定义问题本身开始。
Steve：嗯，好，让我试着讲，对吧？
3b1b：好，开始吧。
Steve：好的，那么，这真是个复杂的词。
首先，最速降线，来自两个…
天啊，我得查一下。我觉得是拉丁语词汇还是希腊语词汇？
3b1b：我很确定是希腊语。
Steve：好，它是“最短时间”的希腊语，
指的是伯努利兄弟中的约翰·伯努利提出的一个问题。
想象一个滑坡，有一个粒子从上滑下，
受重力拉动。
连接两点的滑坡之中，
粒子从A点到B点所需时间最短的滑坡是哪条？
3b1b：我觉得这个问题我最喜欢的地方
是我们定性地描述我们的目标，是很轻松的。
比如，你要滑坡轨迹短些，比如像条直线，

French: 
Et tout à la fin, j'ai un petit défi pour vous.
Nous devrions commencer par juste ...
définir le problème.
Ok, vous voulez que j'essaye ?
Oui, allez-y.
Donc, c'est un mot compliqué, Brachistochrone.
Qui viennent de deux mots ... hum, Latins ou Grecs ?
Je suis presque sûr qu'ils sont Grecs.
Donc, deux mots Grecs pour : Le temps le plus court
Et cela vient d'une question posée par l'un des frères Bernoulli,
Johann Bernoulli.
Vous imaginez un toboggan, et une particule qui tombe de ce toboggan.
Attirée par la gravité.
Quelle est la forme du toboggan, qui connecte deux points
de manière à ce que la particule aille du point A au point B en le temps le plus court.
Je pense que ce que j'aime le plus avec ce problème
c'est qu'il est relativement facile à décrire et à comprendre.
On veut le trajet le plus court, comme une ligne droite,

English: 
And at the very end, I have a little challenge for you.
We should probably start off by just... defining the problem itself.
Steve: Okay, alright, you want me to take a crack at that?
3b1b: Yeah, go for it.
Steve: Okay, yeah, so it's this complicated, uh, word!
First of all, Brachistochrone: That comes from two...
Gee, I have to check. Are those Latin, or Greek words, I think?
3b1b: I'm pretty sure they're Greek.
Steve: Okay, so... Greek words for "the shortest time,"
and it refers to a question that was posed by one of the Bernoulli brothers, by Johann Bernoulli.
If you imagine like a chute, and there's a particle moving down a chute.
Being pulled by gravity,
what's the path of the chute that connects two points,
so that it goes from point A to point B in the shortest amount of time?
3b1b: I think what I like most about this problem
is that it's relatively easy to describe qualitatively what you're going for.
You know, you want the path to be short, something like a straight line,

Polish: 
A na sam koniec mam dla Was małe zadanie.
Powinniśmy zacząć po prostu od... zdefiniowania problemu.
Steve(S): Okej, chcesz, żebym to się za to zabrał?
3b1b(3b1b): Jasne, zaczynaj.
S:Okej, więc mamy to skomplikowane, uh, słowo!
Po pierwsze, Brachistochrona: pochodzi od dwóch...
Muszę to jeszcze sprawdzić- łacińskich lub greckich słów.
3b1b: Jestem przekonany, że greckich.
S:Okej, więc greckich słów na "najkrótszy czas",
i odnosi się do pytania, które zdał jeden z braci Bernoullich, Johann Bernoulli.
Jeśli wyobrazisz sobie zjeżdżalnię, oraz cząsteczkę zjeżdżającą na niej.
Ściąganą siłą grawitacji.
Jaki jest wtedy kształt tej zjeżdżalni, która łączy początek(A) z końcem(B) trasy,
takiej, że podróż, od A do B, odbywa się w najkrótszym czasie.
3b1b: To co mi się nabardziej podoba w tym zadaniu, to
to jak względnie łatwe jest w opisie tego, co chcesz uzyskać.
Chcesz mieć ścieżkę, która jest krótka , jak odcinek,

French: 
Mais on veut aussi que l'objet aille vite
ce qui nécessite de démarrer en pente.
Mais cela ajoute de la longueur au trajet.
Mais rendre cela quantitatif et trouver l'équilibre dans la courbe
n'est pas du tout évident, et cela rend le problème très intéressant.
Oui, c'est un problème très intéressant.
La plupart des gens pense que
que le trajet le plus court donnera le temps le plus court.
Que la ligne droite est la meilleure.
Mais comme vous le dites, cela peut aider de gagner de la vitesse
en roulant en pente au début.
Pas forcément en roulant, vous pouvez l'imaginer glissant, c'est pas important.
Galilée avant déjà pensé à ce problème
bien avant Johann Bernoulli en 1638.
Et Galillée pensait qu'un arc de cercle serait la solution.
Il avait déjà l'idée qu'une courbure aiderait.
Et en réalité, l'arc de cercle n'est pas la solution.
C'est bien, mais il y a de meilleures solutions.
Et les vraies solutions démarrent avec Johann Bernoulli
posant cela en tant que défi.

Portuguese: 
mas você quer que o objeto vá rápido,
o que requer um começo abrupto, e isso adiciona comprimento à sua linha.
Mas fazendo isso quantitativamente, e de fato encontrando o equilíbrio com uma curva específica?
Não é nem um pouco óbvio e
faz o problema ser realmente interessante.
Steve: Sim, é uma coisa realmente interessante. Quer dizer, a maioria das pessoas, quando o veem pela primeira vez,
assumem que o caminho mais curto gera o tempo mais curto,
que a linha reta é o melhor caminho.
Mas, como você disso, construir um impulso pode ajudar, rolando-se inicialmente,
ou não necessariamente rolando, quero dizer, você pode imaginá-lo deslizando,
isso não faz muita diferença, como falamos.
Enfim, Galileu pensou nisso por conta própria,...
bem antes de Johann Bernoulli, em 1638.
E Galileu pensou que um arco de circunferência seria o melhor caminho.
Então, ele tinha a ideia de que um pouco de curvatura poderia ajudar.
3B1B: E no final das contas, um arco de círculo não é a resposta correta.
É um bom caminho, mas há outras soluções melhores.
E a história das reais soluções começa com Johann Bernoulli colocando isso como um desafio.

English: 
but you want the object to get going fast,
which requires starting steeply, and that adds length to your line.
But making this quantitative, and actually finding the balance with a specific curve?
It's not at all obvious,
and makes for a really interesting problem.
Steve: It is, it's a really interesting thing. I mean, most people when they first hear it,
assume that the shortest path will give the shortest time,
that the straight line is the best.
But, as you say, it can help to build up some steam by rolling straight down at first,
or not necessarily rolling, I mean, you could picture it sliding,
that doesn't really matter, how we phrase it.
But, so Galileo had thought about this himself, umm,
much earlier than Johann Bernoulli in 1638.
And Galileo thought that an arc of a circle would be the best thing.
So he had the idea that a bit of curvature might help.
3b1b: And it turns out that the arc of a circle is not the right answer.
It's good, but there are better solutions.
And the history of real solutions starts with Johann Bernoulli posing this as a challenge.

Modern Greek (1453-): 
αλλά θέλετε το αντικείμενο να πηγαίνει γρήγορα,
το οποίο απαιτεί απότομη έναρξη, και πρόσθεση μήκους στη γραμμή
αλλά κάνοντας αυτή την πρόσθεση 
 βρίσκοντας την ισορροπία στην καμπύλη
Δεν είναι καθόλου προφανές,
και μας κάνει ένα πραγματικά ενδιαφέρον πρόβλημα.
Steve: Είναι, είναι ένα πολύ ενδιαφέρον πράγμα. Εννοώ οι περισσότεροι άνθρωποι όταν το πρωτακούν,
υποθέτουν ότι η συντομότερη διαδρομή θα δώσει το συντομότερο χρονικό διάστημα,
ότι η ευθεία γραμμή είναι η καλύτερη.
Αλλά, όπως λέτε, μπορεί να βοηθήσει να δημιουργήσει κάποια λύση με κύλιση προς τα κάτω
ή όχι απαραίτητα κύλιση, θέλω να πω, θα μπορούσατε να φανταστείτε την ολίσθηση,
δεν έχει σημασία, πώς θα το εκφράσουμε
Όμως, ο Γαλιλαίος είχε σκεφτεί για αυτό μόνος του, χμ,
πολύ νωρίτερα από ό, τι Johann Bernoulli το 1638.
Και ο Galileo πίστευε ότι ένα τόξο κύκλου θα είναι η καλύτερη λύση
Έτσι, είχε την ιδέα ότι ένα κομμάτι καμπύλης θα μπορούσε να βοηθήσει.
3b1b: Και αποδεικνύεται ότι το τόξο ενός κύκλου δεν είναι η σωστή απάντηση.
Είναι καλό, αλλά υπάρχουν καλύτερες λύσεις.
Και η ιστορία των πραγματικών λύσεων ξεκινά με τον Johann Bernoulli που θέτει αυτό ως πρόκληση.

Chinese: 
但是你又要物体快速动起来，
这就要求开始陡峭些，但轨迹就会增长。
但是将问题定量化，在某条曲线中找到平衡，
这一点也不直白，
所以说，这就构成了一个非常有趣的问题 。
Steve：的确，它是非常有趣的 。我指，当大多数人最初听到它时，
会认定最短的轨迹上需要最短的时间，
就认定直线是最优的。
但是，如你所说，一开始快速滚下可能会占有优势，
并不是滚动，而是快速滑动，
其实怎么说也无所谓。
但是伽利略自己想过这些问题，
是在1638年，要比约翰·伯努利早得多。
伽利略认为圆弧是最佳的。
所以他认为来点曲率可能会帮上忙。
3b1b：然而实际上，圆弧不是正确答案。
圆弧不错，但是有更佳的解决方案。
正确答案的历史要追溯至约翰·伯努利用它发起挑战。

Polish: 
ale chcesz, żeby obiekt na niej umieszczony, poruszał się szybko,
co wymaga stromego początku, ale z drugiej strony zwiększa długość Twojej ścieżki.
Ale gdy skupimy się na wykonaniu tego zadania i znalezieniu tej drogi, to
nie jest to wcale oczywiste.
Zapowiada się bardzo ciekawe zadanie.
S: Zgadza się, to jest bardzo ciekawe. Większość ludzi, gdy to słyszy zakłada, że
najkrótszy czas osiągniemy przy najkrótszej ścieżce,
czyli przy odcinku.
Ale, tak jak mówisz, pomoże nam zbudowanie trochę stromego startu, ,gdy będziemy się turlać,
może niekoniecznie turlać, ale przynajmniej ślizgać,
nie ważne jak to nazwiemy.
Galileusz też rozmyślał nad rozwiązaniem, co miało miejsce
znacznie wcześniej niż odkrycie Bernoulliego tj. w 1638.
Otóż, Galileusz uznał, że najlepszy będzie łuk okręgu.
Więc i on uznał, że lekka krzywizna może być pomocna.
3b1b: I okazuje się, że łuk okręgu, nie jest poprawną odpowiedzią.
Jest dobry, ale istnieją lepsze.
A przygoda z prawdziwymi rozwiązaniami zaczyna się od Johanna Bernoulliego.

Polish: 
S: Wtedy, w czerwcu 1696.
Ogłosił to jako wyzwanie dla wszystkich matematyków na świecie.
Dla niego, to oznaczało matematyków Europy,
a w szczególności zależało mu na pokazaniu, że jest bystrzejszy od swojego brata(Jacoba Bernoulliego).
Miał brata, Jacoba. Byli zażartymi rywalami, oboje byli też wspaniałymi matematykami.
Ale, Johann Bernoulli wyobrażał sobie, że jest największym matematykiem swoich czasów.
Nie tylko, lepszy od swojego brata, ale
wydaje mi się, że uważał się za lepszego od...
Leibniza i Newtona, którzy, byli wtedy
już staruszkami, w sensie, przestali już zajmować się matematyką.
Newton był nadzorcą królewskiej mennicy.
Czyli , powiedzielibyśmy, ministrem skarbu państwa.
3b1b: Newton upokorzył do, prawda? Zarwał nockę i rozwiązał ten problem.
Nawet jeśli Johannowi Bernoulliemu zajęło to dwa tygodnie.
S: Racja, to fantastyczna historia, Newton, gdy ogłoszono ten problem,

Portuguese: 
Steve: Então, isso foi em Junho de 1696.
Ele propôs o desafio, realmente para a comunidade matemática da época.
Para ele, isso queria dizer os matemáticos da Europa,
e em particular, ele estava bem preocupado em mostrar que ele era mais inteligente que seu irmão.
Então, ele tinha um irmão, Jacob, e os dois eram rivais implacáveis, na verdade; ambos excelentes matemáticos.
Mas, Johann Bernoulli se imaginava como o melhor matemático de seu tempo.
Não só melhor que seu irmão, sabe, mas
eu acho que ele imaginava que era melhor que...
Leibniz, que era dessa época, e Isaac Newton, que era então
meio que um homem velho, quero dizer, mais ou menos aposentado de fazer matemática.
Newton era Diretor do Mint.
Seria mais ou menos como Secretário do Tesouro hoje em dia.
3B1B: E Newton mostra pra ele, certo? Ele... passa a noite em claro e resolve o problema.
Mesmo que tenha levado duas semanas para Johann Bernoulli resolvê-lo.
Steven: Isso, essa é a grande história, que se mostrou o problema pra Newton, e que

English: 
Steve: So that's, then, in June of 1696.
And he posed it as a challenge, really to the mathematical world at that time.
For him, that meant the mathematicians of Europe,
and in particular he was very concerned to show off that he was smarter than his brother.
So, he had a brother, Jacob, and the two of them were quite bitter rivals, actually, both tremendous mathematicians.
But, Johann Bernoulli fancied himself the greatest mathematician of his era.
Not just better than his brother, but, you know,
I think he thought that he might be better than...
than Leibniz, who was around at the time, and Isaac Newton, who was, by then,
sort of an old man, I mean, more or less retired from doing math.
Newton was the Warden of the Mint
It'd be something like Secretary of the Treasurey nowadays.
3b1b: And, Newton shows him up, right? He... stays up all night and solves it.
Even though it took Johann Bernoulli two weeks to solve it.
Steven: Right, that's the great story, that Newton, was shown the problem,

Modern Greek (1453-): 
Steve: Έτσι είναι αυτό τον Ιούνιο του 1696.
Και αυτός θέτει αυτό ως πρόκληση, στον μαθηματικό κόσμο εκείνης της εποχής
για τον Bernoulli, αυτό σήμαινε τους μαθηματικούς της Ευρώπης,
και ιδίως ανυσηχούσε να δείξει ότι ήταν πιο έξυπνος από τον αδελφό του.
Έτσι, είχε έναν αδελφό, τον Ιακώβ, και οι δυο τους ήταν αρκετά ανταγωνιστικοί και τεράστιοι μαθηματικοί.
Αλλά,  οJohann Bernoulli φαντάστηκε τον εαυτό του τον μεγαλύτερο μαθηματικό της εποχής του.
Όχι μόνο καλύτερο από τον αδελφό του, αλλά, ξέρετε,
Νομίζω ότι σκέφτηκε ότι θα μπορούσε να είναι καλύτερος από...
από τον Leibniz, ο οποίος υπήρχε εκείνη την εποχή, και ο Ισαάκ Νεύτων, ο οποίος ήταν από τότε,
το είδος ενός γέρου, εννοώ, περισσότερο ή λιγότερο αποσύρθηκε για να κάνει μαθηματικά.
Ο Newton ήταν ο φύλακας του Νομισματοκοπείου
Θα ήταν κάτι σαν γραμματέας Θυσαυροφυλακείου στις μέρες μας.
3b1b: Και ο Νεύτωνας τον δείχνει, έτσι δεν είναι; Ο ... μένει ξύπνιος όλη τη νύχτα και λύνει αυτό.
Ακόμα κι αν έκανε ο Johann Bernoulli δύο εβδομάδες για να το λύσει.
Steven: Σωστά, αυτή είναι η μεγάλη ιστορία, ότι ο Νεύτωνας, παρουσίασε το πρόβλημα,

French: 
C'est en Juin 1696.
Et il le pose vraiment comme un défi au monde mathématique de l'époque.
Pour lui, les mathématiciens Européens.
Et en particulier, il voulait montrer qu'il était plus intelligent que son frère.
Il avait un frère, Jacob, et ils étaient rivaux.
Les deux, de très bons mathématiciens.
Johann Bernoulli se voyait comme le meilleur mathématicien de son époque.
Non seulement plus fort de son frère, mais ...
il pensait être meilleur que Leibniz, et même
Isaac Newton, qui était déjà un vieil homme,
à la retraite des maths.
Il était Directeur de la Royal Mint, l'équivalent du ministre de l'économie.
Mais Newton se montre, il reste éveillé la nuit, et résout le problème,
bien que ça aie prit 2 semaines à Johann Bernoulli pour le résoudre.
C'est ça ! C'est le meilleur.
C'est qu'on ait montré le problème à Newton,

Chinese: 
Steve：就是说，1696年6月。
他把问题以挑战的形式，呈现给了当时全数学界。
对于他，数学界指的是欧洲的数学家，
而他特别致力于炫耀他比他的长兄更聪明。
他有个长兄叫雅各布，他俩是死对手又都是大数学家。
但是，约翰·伯努利幻想自己是他年代最伟大的数学家。
不只是比他的长兄聪明，
我觉得他认为自己可能比
当时还在世的莱布尼兹，以及当时的艾萨克·牛顿
“老头子”还优秀。是说，牛顿或多或少已经退休、不研究数学了。
牛顿曾任铸币局总监。
有点类似今日的财政部长。
3b1b：然后牛顿给他颜色瞧了，对吧？他彻夜解出来，
虽然约翰·伯努利花了两个星期才解了出来。
Steven：对，有个不错的典故说，牛顿获知了题目，

Portuguese: 
ele não ficou muito satisfeito de ser desafiado, especialmente por alguém que ele considerava ser abaixo dele,
Quer dizer, ele basicamente considerava todo mundo abaixo de seu nível.
Mas sim, Newton passou a noite em claro, resolveu o problema e o enviou anonimamente ao
"Philosophical Transactions", a revista da época,
E foi publicado anonimamente. Então, Newton reclamou, numa carta para um amigo dele. Ele disse:
"Eu não amo ser cobrado e provocado por estrangeiros a respeito de questões matemáticas";
Assim, ele não curtiu esse desafio, mas ele o resolveu.
Reza a lenda que
Johann Bernoulli, ao ver essa solução anônima, disse:
"Eu reconheço o leão pelas garras".
Eu não sei se isso é verdade, mas é uma bela história. Todo mundo ama contar essa história.
3B1B: E eu suspeito que parte do motivo de Johann ter sido tão ansioso para desafiar outros matemáticos
como Newton é que ele secretamente sabia que sua própria solução era excepcionalmente inteligente.
Talvez devemos ir para o que ele fez então.

English: 
wasn't really pleased to be challenged, especially by someone he considered beneath him,
I mean, he considered pretty much everybody beneath him.
But yeah, Newton stayed up all night, solved it, and then sent it in anonymously to
The Philosophical Transactions, the journal at the time.
And it was published anonymously. So, Newton complained, in a letter to a friend of his. He said:
"I do not love to be dunned and teased by foreigners  about mathematical things."
So he didn't enjoy this challenge, but he did solve it.
The famous legend is that
Johann Bernoulli, upon seeing this anonymous solution said,
"I recognize the lion by his claw."
I don't know if that's true, but it's a great story. Everyone loves to tell that story.
And I suspect part of the reason that Johann was so eager to challenge other mathematicians
like Newton is he secretely knew that his own solution was unusually clever.
Maybe we should going into what he does.

Polish: 
nie był zadowolony z tego, że został wyzwany przez kogoś, kogo uważał za słabeusza,
dla Newtona prawie każdy się pod to kwalifikował.
Ale racja, Newton został na noc w biurze, rozwiązał to i wysłał anonimowo do czasopisma
"The Philosophical Transactions".
Zostało to opublikowane anonimowo. Potem Newton skarżył się w liście do przyjaciela:
"Nie lubię być pouczany i drażniony przez obcokrajowców, gdy chodzi o matematykę."
Więc, nie podobało mu się to zadanie, ale je rozwiązał
Legenda głosi, że gdy
Johann Bernoulli przeczytał to anonimowe rozwiązanie powiedział,
"Rozpoznaję lwa po jego pazurach."
Nie wiem czy to prawda, ale to świetna historia. Wszyscy uwielbiają tę opowieść.
Wydaję mi się, że głównym powodem, dla którego Johann wyzwał innych matematyków
jak Newton jest to, że potajemnie wiedział, że jego rozwiązanie jest nadzwyczaj cwane.
Przejdźmy do tego co zrobił.

French: 
n'était pas très content d'être défié,
en particulier par quelqu'un qu'il considérait en dessous de lui.
Et il considérait presque tout le monde en dessous de lui.
Mais Newton est resté éveillé toute la nuit, a résolut le problème,
puis l'a envoyé anonymement au Philosophical Transactions,
le journal de l'époque, et ça été publié anonymement.
Et Newton s'est plaint, dans une lettre à un ami, disant :
"Je n'apprécie pas être défié par des étrangers sur des mathématiques ..."
Donc il n'a pas apprécié le défi, mais l'a quand même réussit.
La légende dit que Johann Bernoulli, voyant cette solution anonyme,
a dit : "Je reconnais le lion par ces griffes."
Je ne sais pas si c'est vrai, mais c'est une bonne histoire,
tout le monde aime la raconter.
Je suspecte qu'une partie de la raison pour laquelle Johann
voulait tant défier les mathématiciens comme Newton
est qu'il savait secrètement que sa solution était exceptionnellement astucieuse.
Et nous devrions regarder sa solution.

Modern Greek (1453-): 
Δεν ήταν πραγματικά ευχάριστο να αμφισβητηθεί, ειδικά από κάποιον κατώτερο από αυτόν,
Θέλω να πω, ότι θεωρούνταν λίγο πολύ όλοι κάτω από αυτόν.
Αλλά ναι, ο Νεύτωνας παρέμεινε ξύπνιος όλη τη νύχτα έλυσε και στη συνέχεια έστειλε ανώνυμα στην
στην Φιλοσοφική εταιρεία, το περιοδικό εκείνης την εποχής.
Και δημοσιεύθηκε ανώνυμα. Έτσι ο Newton κατήγγειλε, σε μια επιστολή σε έναν φίλο του, είπε:
«Δεν μου αρέσει να προκαλούμε από ξένους για μαθηματικά πράγματα.»
Έτσι δεν του άρεσε καθόλου αυτή η πρόκληση, αλλά το έλυσε
Ο διάσημος μύθος ήταν ότι
Johann Bernoulli, βλέποντας αυτήν την ανώνυμη λύση, δήλωσε,
«Αναγνωρίζω το λιοντάρι από το νύχι του.»
Δεν ξέρω αν αυτό είναι αλήθεια, αλλά είναι μια μεγάλη ιστορία. Ο καθένας θέλει να λέει αυτή την ιστορία.
Και υποψιάζομαι ότι ένας από τους λόγους που ο Johann ήταν τόσο πρόθυμος να αμφισβητήσει άλλους
όπως ο Νεύτωνας είναι ότι αυτός κρυφά ήξερε ότι η δική του λύση ήταν ασυνήθιστα έξυπνη.
Ίσως θα έπρεπε να υπεισέλθω σε αυτό που κάνει.

Chinese: 
尤其厌恶被他所认为低他一等的人挑战了。
是说，牛顿基本认定所有人都在他之下。
但是牛顿通宵解决了问题，并将解法匿名地寄至
当时的顶级期刊《自然科学会报》，
并被匿名发表了。牛顿便写信向他朋友抱怨道：
我不喜欢被外国人因为数学上的东西催促和戏弄。
所以牛顿并不喜欢这个挑战，却解了出来。
有个著名的传说，
约翰·伯努利看到这匿名的解法后，评论道：
“我见爪识狮。”
不知此事是否当真，但这是个好故事，大家都愿讲。
我猜测约翰之所以特别渴望挑战其他诸如
牛顿的数学家是因为他暗自认为自己的解法异常巧妙。
也许我们该看看他到底怎么解的。

Polish: 
Tak. Wyobrażał sobie, że rozwiązując ten problem, powinieneś światłu pozwolić zrobić to za ciebie.
Ponieważ, Fermat około roku 1600 pokazał, że możesz...
możesz określić sposób w jaki światło podróżuje, przy obiciu się od lustra, albo przy
przejściu z powietrza do wody, które to je załamuje, albo przez przejście przez soczewki.
Ruch światła można zrozumieć, przez powiedzenie, że
wybiera ono drogę o najkrótszym czasie z punktu A do B.
Co w zasadzie jest niesamowite, gdy się nad tym zastanowisz,
ponieważ zazwyczaj myślisz o tym co się stanie lokalnie z pewną cząstką, w pewnej chwili.
Ten krok wstecz i spojrzenie na wszystkie możliwe ścieżki to nic innego niż powiedzenie, że "Natura zawsze wybiera najlepszą."
Tak, to jest piękne... i bardzo inspirująca zmiana perspektywy.
Dla niektórych, na tyle inspirujące, że dla niektórych ma to wydźwięk religijny,
że w pewien sposób natura działa celowo ze względu na efektywne działanie.

French: 
Il imagine que pour résoudre le problème, il faut
laisser la lumière le résoudre pour vous.
Car en 1662, Fermat avait montré que l'on pouvait
définir la manière par laquelle la lumière voyage,
que se soit quand elle est réfléchie ou est réfractée entre air et eau, ou dans une lentille,
Tout les mouvements de la lumière pouvaient être compris en disant que
la lumière prend le chemin qui la mène du point A au point en B le plus rapidement possible.
Ce qui est une perspective incroyable quand on y pense,
car habituellement, on pense localement, à ce qui arrive à une particule à chaque point.
Mais là, on voit tous les trajets possibles et on dit : "La nature choisit le meilleur.".
Oui, c'est beau, et comme vous dites c'est un vision très inspirante.
Pour certaines personnes, littéralement inspirant, dans le sens où il y a un aspect religieux
sur le fait que la nature veut toujours la chose la plus efficace.

English: 
Yes, he imagines that to solve the problem, you let light take care of it for you.
Because, Fermat, in the early 1600s had shown that you could ...
you could state the way that light travels whether bouncing off of a mirror or refracting
from air into water, where it bends, or going through a lens.
All the motion of light could be understood by saying that light
takes whatever path gets it from point A to point B in the shortest time.
Which is a really awesome perspective when you think about it,
because usually you think very locally in terms of what happens to a particle at each specific point.
This steps back, and looks at all possible paths and says: "Nature chooses the best one.".
Yes it is, it's a beautiful ... and as you say, really an inspiring mental shift.
For some people, literally inspiring in the sens that it had religious overtones,
that somehow nature is imbued with this property of  doing the most efficient thing.

Chinese: 
他联想到，解决这个问题要借助光。
因为，在16世纪初，费马就表明了
光的传播方式，无论是在镜子上反射还是
从空气折射进入水中并发生弯曲、或者通过一个透镜，
光的所有这些运动都可以说成，
光会经过从A点到B点所需时间最短的路径。
你想想，这确实是个很棒的观点，
因为思考粒子经过特定的点时，我们常会进行非常局部的思考。
这观点退了一步，看看所有可能的路径并宣称：“大自然选择最佳的一条。”
是的，非常优美。如你所说，是非常鼓舞的思想转变。
对有些人，这转变真的蒙有宗教色彩：
自然界不知何故，充满着这种做最有效的事的性质。

Modern Greek (1453-): 
Ναι, ο ίδιος φαντάζεται ότι για να λυθεί το πρόβλημα, θα έπρεπε να φροντίσει να διαδοθεί
Επειδή, ο  Fermat, στις αρχές της δεκαετίας του 1600 είχε δείξει ότι θα μπορούσε ...
θα μπορούσε να αναφέρετε στον τρόπο που ταξιδεύει το φως αν ανακλάτε από έναν καθρέφτη ή  διαθλάτε
από τον αέρα στο νερό, όπου κάμπτεται, ή πηγαίνει μέσα από ένα φακό.
Όλη η κίνηση του φωτός θα μπορούσε να γίνει κατανοητή λέγοντας ότι το φως
παίρνει τη διαδρομή από το σημείο Α στο σημείο Β στο συντομότερο χρονικό διάστημα.
που είναι μια πραγματικά φοβερή προοπτική, όταν το σκέφτομαι,
γιατί συνήθως νομίζετε ότι όσον αφορά το τι συμβαίνει σε ένα σωματίδιο σε κάθε συγκεκριμένο σημείο.
Αυτό σκέφτεαι απο πριν, και εξετάζει όλες τις πιθανές διαδρομές και λέει: «Η φύση επιλέγει το καλύτερο».
Ναι, είναι, αυτό είναι όμορφο ... και όπως λέτε, πραγματικά μια εμπνευσμένη νοητικά μετατόπιση.
Για μερικούς ανθρώπους, κυριολεκτικά εμπνέοντας τους είχε θρησκευτική χροιά,
ότι κατά κάποιο τρόπο η φύση είναι διαποτισμένη με αυτή την ιδιότητα για να γίνει το πιο αποτελεσματικό

Portuguese: 
Steve: Sim, ele imagina que, para resolver o problema, você deixa a luz tomar conta dele por você,
porque, Fermat, no início dos anos 1600, mostrou que você poderia...
você poderia afirmar que o caminho que a luz percorre, seja refletindo num espelho ou refratando
do ar para a água, onde ela se dobra, ou passando por uma lente.
Todo movimento que a luz descreve pode ser compreendido ao se dizer que a luz
escolhe qualquer que seja o caminho do ponto A ao ponto B, desde que seja o que leva o menor intervalo de tempo possível.
O que é uma perspectiva fantástica quando se pensa nela,
porque você geralmente pensa localmente em termos do que acontece com a partícula a cada ponto específico.
Isso volta, olha para todos os caminhos possíveis e diz: "A Natureza escolhe o melhor caminho".
Sim, de fato, como você disse, é uma bela e inspiradora mudança de mentalidade.
Para algumas pessoas, é até literalmente inspiradora no sentido que carrega um viés religioso,
de que, de alguma maneira, a natureza é dotada dessa propriedade de se fazer a coisa mais eficiente.

French: 
Mais en oubliant ça, c'est un fait empirique que la lumière se déplace de cette manière.
L'idée de Johann Bernoulli est donc d'utiliser le principe de Fermat et de dire
qu'au lieu d'avoir une particule glissant sur un toboggan, on a de la lumière traversant de différents matériaux
de différents index de réfraction.
C'est-à-dire que la lumière irait à différentes vitesses à mesure qu'elle descend le toboggan.
Et je pense qu'avant de se pencher sur ce sujet ...
À ce moment dans la conversation, nous avons parlé un moment de la loi de Snell.
C'est une loi en physique qui explique comment le trajet de la lumière change en passant d'un matériau à un autre,
où sa vitesse change.
J'ai fait une vidéo séparée sur ce sujet, montrant que l'on peut le prouver en utilisant le principe de Fermat,
ou bien avec des ressorts à tension constante imaginaires.
Mais pour l'instant, vous avez juste besoin de la loi en Snell en elle-même.
Quand un rayon de lumière passe d'un milieu à un autre,

Chinese: 
暂且不谈，光的如此行为，可以说是个经验性的事实，
约翰·伯努利的主意是利用费马的最短时间原理，
假装我们有的不是一个粒子滑下滑坡，
而是有光，从具有不同光折射率的介质中穿过，
意味着光渐渐通过滑坡时，会以不同的速度运动。
我认为我们谈论这些之前，应该…
到这里，我们谈论了一会儿斯涅尔定律（折射定律）。
这条物理学结论描述
光从一种材料进入另一种材料时是如何弯曲的，
而弯曲恰好发生在光速改变时。
我另外做了一个视频谈论如何用费马原理证明它，
以及另一个利用假想的常劲度系数的弹簧的巧妙论断。
但现在，你需要知道的仅仅是斯涅尔定律本身。
当一束光从一个介质进入另一个介质时，

Modern Greek (1453-): 
Αλλά θα μπορούσα απλώς να πω ότι είναι ένα εμπειρικό γεγονός το πώς το φως συμπεριφέρεται
και η ιδέα του Johann Bernoulli ήταν να χρησιμοποιηθεί η αρχή του Φερμά ή αρχή του ελαχίστου χρόνου
ας προσποιηθούμε ότι αντί ενός σωματιδίου που σύρεται κάτω στην καμπύλη
Είναι το φως που ταξιδεύει μέσω διαφόρων υλικών με δείκτη διάθλασης
πράγμα που σημαίνει ότι το φως θα άλλαζε ταχύτητες, καθώς διαδοχικά αλλάζει οπτικά μέσα
Και νομίζω ότι πριν αχοληθούμε,  με αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ...
Έτσι, σε αυτό το σημείο της συζήτησης μιλήσαμε για λίγο για το νόμο του Snell.
Αυτό είναι αποτέλεσμα στη φυσική που περιγράφει πώς το φως πηγαίνει από το ένα υλικό στο άλλο,
όπου αλλάζει ταχύτητα
Έκανα ένα ξεχωριστό βίντεο  για το πώς μπορούμε να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας την αρχή του Fermat,
μαζί με το επιχείρημα χρησιμοποιώντας φανταστικά ελατήρια έλξης
Αλλά τώρα, το μόνο που χρειάζεται να ξέρετε είναι η δήλωση του ίδιου νόμου του Snell.
Όταν μια δέσμη φωτός περνά από ένα μέσο σε ένα άλλο,

Portuguese: 
Mas, deixando isso de lado, você pode simplesmente dizer que é um fato empírico, que é como a luz se comporta,
e que a ideia de Johann Bernoulli era usar o Príncipio de Fermat de tempo mínimo e digamos,
vamos fingir que, ao invés de uma partícula deslizando uma calha abaixo,
é a luz viajando através de meios com diferentes índices de refração,
o que significa que a luz viajaria com diferentes velocidades sucessivamente, como mais ou menos a situação da calha.
E eu acho que, antes de mergulharmos nisso, nós devemos...
Então, nesse ponto da conversa, nós falamos um pouco sobre a Lei de Snell.
Ela é um resultado da Física que descreve como a luz se curva quando passa de um meio material a outro,
onde a sua velocidade se altera.
Eu fiz um vídeo separado disso, falando como podemos prová-lo utilizando o princípio de Fermat,
junto com o argumento bem elegante, utilizando molas imaginárias com constante tensão.
Mas para agora, tudo o que você precisa saber é a Lei de Snell de fato:
Quando um raio de luz passa de um meio ao outro,

English: 
But leaving that aside, you could just say it's an empirical fact that, that is how light behaves,
and Johann Bernoulli's idea was to then use Fermat's principle of least time and say,
let's pretend that instead of a particle sliding down a chute,
it's light travelling through media of different index of refraction,
meaning that the light would go at different speeds as it successively went sort of down the chute.
And I think that before we dive into that case, we should...
So, at this point in the conversation we talked for a while about Snell's law.
This is a result in physics that describes how light bends when it goes from one material into another,
where its speed changes.
I made a separate video out of this, talking about how we can prove it using Fermat's principle,
together with the very neat argument using imaginary constant tension springs.
But now, all you need to know is the statement of Snell's law itself.
When a beam of light passes from one medium into another,

Polish: 
Ale zostawmy to na bok, można powiedzieć, że to fakt empiryczny, że tak po prostu się światło zachowuje,
a pomysł Bernoulliego opierał się właśnie o zasadę Fermata
przyjmijmy, że zamiast cząstki zjeżdżającej ze zjeżdżalni, mamy do czynienia
ze światłem, które przechodzi przez ośrodki o różnym współczynniku załamania,
co oznacza, że światło będzie podróżować z rożną prędkością, przy zjeździe w dół
Wydaje mi się, że zanim zanurzymy się w tej sprawie, powinniśmy...
W tym momencie zaczęliśmy rozmawiać przez chwilę o prawie Snelliusa.
To prawo w fizyce mówiące o tym, jak światło się zagina przy przejściu z jednego ośrodka w drugi,
gdzie zmienia się jego prędkość.
Zrobiłem oddzielny film o tym, omawiający jak możemy to udowodnić używając zasady Fermata,
oraz bardzo sprytnej sztuczki z sprężynami.
Ale teraz, wszystko co musisz wiedzieć to sama treść prawa Snelliusa.
Kiedy promień światła przechodzi z jednego ośrodka w drugi,

English: 
and you consider the angle that it makes with a line perpendicular to the boundary those two materials,
the sine of that angle divided by the speed of light stays constant as you move from one medium to the next.
So what Johann Bernoulli does is find a neat way to take advantage of that fact, this sine of θ stays constant fact,
for the Brachistochrone problem.
When he thinks about what's happening with the particle sliding down the chute,
he notices that by conservation of energy, the velocity that the particle has will be proportional to the square root
of the distance from the top.
And just to spell that out a little bit more,
the loss in potential energy is its mass times the gravitational constant times y, that distance from the top.
And, when you set that equal to the kinetic energy, one half times mv², and you rearrange,
the velocity v will indeed end up being proportional to the square root of y.
Mmhh, yes.

Polish: 
i rozważysz kąt jaki tworzy z prostą prostopadła do brzegu tych ośrodków,
to sinus tego kąta, podzielony przez prędkość promienia, jest stały przy tym przejściu.
Johann Bernoulli znalazł sprytny sposób jak to wykorzystać w problemie z
Brachistochroną.
Gdy wyobraził sobie co się dzieje z cząstką zjeżdżającą w dół
zauważył, że dzięki zachowaniu energii, prędkość cząstki będzie proporcjonalna do pierwiastka z
odległości od początku drogi.
I żeby to trochę rozjaśnić,
strata energii potencjalnej, to iloczyn masy, stałej grawitacji i y(zmiany wysokości).
I gdy przyrównasz to do równania na energię kinetyczną, 1/2mv², i rozwiążesz
je ze względu na prędkość v, to faktycznie okaże się ona proporcjonalna do pierwiastka z y.
Mmhh, tak.

Modern Greek (1453-): 
και θα εξετάσει τη γωνία που κάνει με μια γραμμή κάθετη προς τα όρια των δύο αυτών υλικών,
το ημίτονο της γωνίας δια την ταχύτητα του φωτός παραμένει σταθερό καθώς κινείστε από υλικό σε υλικό
Έτσι, αυτό που Johann Bernoulli κάνει είναι να βρει έναν κομψό τρόπο για να επωφεληθεί από το ημθ παραμένει σταθερή πραγματικότητα,
για το πρόβλημα Brachistochrone.
Όταν σκέφτεται για το τι συμβαίνει με το σωματίδιο συρόμενη κάτω από το αλεξίπτωτο,
παρατηρώ ότι η εξοικονόμηση ενέργειας, η ταχύτητα ότι το σωματίδιο έχει θα είναι ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα
της απόστασης από την κορυφή.
Και ακριβώς για να το διευκρινίσω λίγο περισσότερο,
η απώλεια δυναμικής ενέργειας είναι μάζα επί  βαρυτική σταθερά επί την απόσταση από την κορυφή.
και όταν θέσετε αυτό ίσο με την κινητική ενέργεια που είναι 1.2 mv²
η ταχύτητα V θα καταλήξει πράγματι να είναι ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα του y.
Mmhh, ναι.

Chinese: 
考虑光线和两种材料界面的垂线所成的夹角，
该角的正弦值除以光速，
在从一个介质进入下一个介质前后保持不变。
约翰·伯努利所做的其实是，
找到能巧妙地利用这个含有sin θ的值不变的事实，
解决最速降线问题。
当他在思考滑坡上滑下的粒子发生了什么之时，
他留意到，根据能量守恒，
粒子的速率正比于离顶端的距离的平方根。
稍说细一点，就是
势能减少量 = 重力 × 引力常量 × 与顶端距离y。
然后令其等于动能 ½ mv²并移项整理，
最终发现速率v确实正比于y的平方根。
嗯，对。

French: 
et que l'on considère l'angle qu'il fait par rapport à une ligne perpendiculaire à la frontière entre
ces deux milieux
Le sinus de cet angle, divisé par la vitesse de la lumière reste constant en passant d'un milieu à l'autre.
Donc, ce que fait Johann Bernoulli, c'est trouver un jolie manière de prendre avantage de cette propriété,
que le sinus de θ sur v reste constant, pour le Brachistochrone.
Quand il pense à ce qu'il arrive à la particule glissant du toboggan,
il remarque que par conservation d'énergie, la vitesse de la particule sera proportionnelle
à la racine carrée de la distance entre la particule et le haut.
Pour pousser un peu cela, la perte d'énergie potentielle est la masse, fois la force de gravité, fois y,
la distance entre la particule et le haut.
et quand on dit que c'est égal à l'énergie cinétique, un demi de m fois v au carré
et qu'on réarrange les termes, la vitesse v finira bien par être proportionnelle à la racine carrée de y.
Oui.

Portuguese: 
e você considera o ângulo que o raio faz com a linha perpendicular à fronteira dos dois materiais,
o seno deste ângulo dividido pela velocidade da luz se mantém constante à medida que você passa de um meio para o outro.
Então o que Johann Bernoulli faz é encontrar uma maneira elegante de tirar vantagem desse fato que seno de teta sobre "v" é constante,
para o problema da Braquistócrona.
Quando ele pensa sobre o que está acontecendo com a partícula deslizando sobre a calha,
ele percebe que, por conservação de energia, a velocidade da partícula é proporcional à raiz quadrada
da distância do topo.
3B1B: E só para explorar um pouco mais isso,
a perda de energia potencial é a massa da partícula vezes a constante gravitacional vezes y, a distância a partir do topo.
E, quando você iguala isso à energia cinética (1/2 mv²), e rearranja os termos,
a velocidade "v" de fato acaba sendo proporcional à raiz quadrada de "y".
Steve: Mmh, sim.

Portuguese: 
Então, isso dá a ele a ideia de: vamos imaginar um vidro com várias camadas diferentes, cada uma com uma velocidade diferente característica
para a luz.
A velocidade da primeira camada é v1, a da seguinte é v2, da seguinte é v3,
e todas elas serão proporcionais à raiz quadrada de y1, ou y2, ou y3.
3B1B: E, a princípio, você deve estar pensando num processo de limite, onde você tem infinitas camadas infinitamente finas,
e isso é um tipo de mudança contínua para a velocidade da luz.
Steve: Então, a pergunta dele é essa: se a luz está sempre instantaneamente obedecendo a Lei de Snell,
à medida que passa de um meio para o outro, de modo que "v" sobre seno(θ) é sempre uma constante de uma camada para a seguinte,
qual é esse caminho?
Onde, você sabe, um caminho tal que essas linhas tangentes estão sempre instantaneamente obedecendo à Lei de Snell.
3B1B: E, só para deixar registrado, nós provavelmente devemos exprimir  exatamente o que essa propriedade é.
Steve: Ok.

Modern Greek (1453-): 
Έτσι ώστε, στη συνέχεια, του δίνει την ιδέα για να φανταστούμε ποτήρι με διαφορετικά επίπεδα, καθένα με διαφορετική ταχύτητα
για το φως σε αυτό.
Η ταχύτητα στο πρώτο είναι v1 και το επόμενο είναι v2 και η επόμενη είναι V3,
και όλα αυτά είναι είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας των y1 και y2 ή y3.
Και, κατ 'αρχήν, θα πρέπει να σκεφτόμαστε με τον περιορισμό διαδικασία όπου έχετε απείρως πολλές απείρως λεπτές στρώσεις,
και αυτό είναι το είδος της συνεχούς αλλαγής για την ταχύτητα του φωτός.
Μέχρι τότε η ερώτησή του είναι: αν το φως είναι πάντα ακαριαία υπάκουο στο νόμο του Snell,
καθώς πηγαίνει από το ένα μέσο στο άλλο, έτσι ώστε ημθ είναι πάντα μια σταθερή όπως μετακινούνται από το ένα επίπεδο στο άλλο,
ποια είναι αυτή η διαδρομή;
όπου γνωρίζεται ότι τέτοιε εφαπτομένες γραμμές είναι πάντα υπάκουες στο νόμο του snell
Και για την ιστορία θα πρέπει ίσως απλά να αναφερθεί ποια ακριβώς είναι αυτή η ιδιότητα
Εντάξει.

English: 
So that then gives him the idea about let's imagine glass of many different layers, each with a different velocity caracteristic
for the light in it.
The velocity in the first one is v1 and the next one is v2 and the next one is v3,
and these are all gonna be proportional the square root of y1 or y2 or y3.
And, in principle you should be thinking about a limiting process where you have infinitely many infinitely thin layers,
and this is kind of a continuous change for the speed of light.
So then his question is: if light is always instantaneously obeying Snell's law,
as it goes from one medium to the next, so that v over sin θ is always a constant as I move from one layer to the next,
what is that path?
Where, you know, such that these tangent lines are always instantaneously obeying Snell's law.
And for the record we should probably just state exactly what that property is.
Okay.

French: 
Donc, cela lui donne l'idée d'imaginer des verres de différentes couches
avec chacune une composante de vitesse différente, pour la lumière.
La vitesse dans le premier est v1 et le suivant v2, puis v3 et ces vitesses seront proportionnelles
à la racine carrée de y1 ou y2 ou y3.
En principe, vous devriez penser à une limite, où il y a une infinité de couches, infiniment fines,
et il y a comme un changement continu de vitesse pour la lumière.
Et sa question est : Si la lumière obéit toujours instantanément à la loi de Snell, d'un milieu à l'autre,
tel que v sur le sinus de θ est une constante d'un milieu à un autre, quel est cette trajectoire ?
Vous voyez, de manière à ce que ces tangentes obéissent instantanément à la loi de Snell.
Et nous devrions d'abord déclarer cette propriété.

Chinese: 
这就启发他想象一种具有许多不同层的玻璃，
光在其中的每一层都具有不同的光速特征。
第一层的光速是v₁，下一层是v₂，再下一层是v₃，
这些都将正比于 y₁、y₂、y₃的平方根。
那么原理上讲，你应当想到一个极限过程，
就是你有无穷多个无限地簿的层，
这样光速就相当于有着连续的变化。
然后他的问题就是：
如果光始终遵循斯涅尔定律，
即从一种介质进入下一种时遵循，
以致于从一层到下一层时v/sin θ始终是个常数。
会是什么轨迹？
轨迹的这些切线时刻都遵循着斯涅尔定律。
此言一出，我们应该精确地陈述这条属性。
好。

Polish: 
Więc to dało mu pomysł, żeby potraktować te drogę jako szklankę wielu płynów, w których światło
będzie miało inne prędkości.
Prędkość w pierwszym wyniesie v1, drugim v2, trzecim v3,
i będą one wszystkie proporcjonalne odpowiednio do pierwiastków z y1, y2, y3.
Oraz, w zasadzie powinieneś wyobrazić sobie, same przejścia graniczne, przy nieskończenie wielu płynach
i tę, w pewnym sensie ciągłą, zmianę prędkości światła.
Więc jego pytanie to: jeśli światło zawsze stosuje się do prawa Snelliusa, gdy
przechodzi z jednego ośrodka w drugi, więc v/sin() jest zawsze stałą przy przejściach
więc jaką to tworzy drogę?
Tak, że te linie styczne zawsze stosują się to prawa Snelliusa.
Dla uwagi, powinniśmy podkreślić jaka to właściwie jest własność.
Okej.

Polish: 
Więc konkluzją Johanna było to, że jeśli na krzywej, o którą nam chodzi wybierzesz jakiś punkt
to sinus kąta między styczną do krzywej w tym punkcie oraz prostą pionową przezeń przechodzącą
podzielony przez pierwiastek odległości w pionie miedzy punktem a początkiem drogi.
będzie jakąś stałą niezależną od wyboru punktu.
I, gdy Johann Bernoulli to dostrzegł, popraw mnie jeśli się mylę, to od razu rozpoznał w tym
równanie różniczkowe cykloidy.
Kształt jaki rysuje punkt toczącego się koła.
Ale to nie jest oczywiste, przynajmniej dla mnie,
dlaczego ten stosunek ma mieć cokolwiek spólnego z toczącym się kołem?
To wcale nie jest oczywiste, ale znowu, tu pojawia się geniusz Marka Leviego.
Chcesz coś nam o nim opowiedzieć?
Tak, Mark Levi jest bardzo bystrym, miłym gościem, świetnym matematykiem, jest też moim przyjacielem

Portuguese: 
3B1B: Então a conclusão que Johann fez foi que, se você olhar para qualquer que seja a curva que minimiza o tempo,
e você pegar qualquer ponto dessa curva, o seno do ângulo entre a reta tangente nesse ponto e a vertical
dividido pela raiz quadrada da distância vertical entre esse ponto e o início da curva
deve ser uma constante independente do ponto que você escolha.
E, quando Johann Bernoulli viu isso pela primeira vez (corrija-me se eu estiver errado), ele simplesmente reconheceu como sendo
a equação diferencial para um cicloide.
A forma traçada por um ponto na periferia de uma roda girando.
Porém, isso não é óbvio, certamente não é óbvio para mim,
por que essa propriedade de seno de θ sobre raiz quadrada de y tem algo a ver com rodas girando?
Steve: Não é nem um pouco óbvio, mas, novamente, há o gênio de Mark Levi para nos salvar.
3B1B: Você quer dizer algumas palavras a respeito de Mark Levi?
Steve: Sim, bom, Mark Levi é um cara muito inteligente, além de simpático, que é um amigo meu e um excelente matemático na Penn State,

English: 
So the conclusion that Johann made was that if you look at whatever the time minimizing curve is,
and you take any point on that curve, the sine of the angle between the tangent line at that point and the vertical
divided by the square root of the vertical distance between that point and the start of the curve,
that's gonna be some constant independent of the point that you chose.
And, when Johann Bernoulli first saw this, correct me if I'm wrong, he just recognized it as
the differential equation for a cycloid.
The shape traced by a point on the rim of a rolling wheel.
But, it's not obvious, certaintly not obvious to me,
why this sine of θ over square root y property has anything to do with rolling wheels?
It's not at all obvious, but this is again, the genius of Mark Levi to the rescue.
You want to say a few words about Mark Levi?
Yeah, well Mark Levi is a very clever, as well as a very nice guy who is a friend of mine and terrific mathematician at Penn State,

Chinese: 
约翰得出的结论，
是无论这个最小化时间的曲线是什么，
曲线上任取一点处，切线与竖线所成夹角的正弦值
除以该点与轨迹初始点的竖向距离的平方根，
将是一个与所取点所独立的常数。
如果我错了，请纠正：约翰·伯努利最初发觉它时
就认出这就是摆线的微分方程。
摆线是滚轮边缘上的点所描绘的形状。
但这并不直白，至少我不觉得直白，
为什么这个sin θ/√y的性质和滚动的轮子有关系？
一点都不直白，但是这次，Mark Levi的天资来救场了。
你想说几句关于Mark Levi的话吗？
Mark Levi是一位非常聪明、友善的好家伙兼朋友，
是在宾夕法尼亚州立大学的厉害的数学家，

French: 
Donc, la conclusion que Johann fait est que si on regarde, peu importe sa forme, la courbe de temps minimum,
et que l'on prend un point sur cette courbe, le sinus de l'angle entre la tangente en ce point et l'axe vertical,
divisé par la racine carrée de la distance verticale entre ce point et le début de la courbe, sera une constante indépendante du point choisi.
Et, quand Johann Bernoulli a vu ça pour la première fois, corrigez-moi si je me trompe, il a juste reconnu ça
comme étant l'équation différentielle d'un cycloïde.
La forme tracée par un point sur un cercle roulant.
Mais il n'est pas évident, en particulier pour moi, pourquoi ce sinus de θ sur racine de y a avoir avec un cercle roulant.
En effet, ce n'est pas évident, mais encore une fois, le génie de Mark Levi vient à la rescousse.
Vous voulez dire quelques mots à propos de Mark Levi ?
Oui, Mark Levi est un ami moi, très intelligent et très sympa.
C'est un excellent mathématicien à Penn State.

Modern Greek (1453-): 
Έτσι, το συμπέρασμα που έκανε Johann ήταν ότι αν δει κανείς ό, τι η καμπύλη ελαχιστοποίηση του χρόνου είναι,
και θα σας μεταφέρει σε οποιοδήποτε σημείο αυτής της καμπύλης, το ημίτονο της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης σε εκείνο το σημείο και την κάθετη
διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα της κατακόρυφης απόσταση μεταξύ του σημείου αυτού και της έναρξης της καμπύλης,
ότι είναι είναι κάποια σταθερή ανεξάρτητα από το σημείο που επιλέξατε.
Και, όταν ο Johann Bernoulli είδε για πρώτη φορά αυτό, διορθώστε με αν κάνω λάθος, αυτός ακριβώς είναι αναγνωρίστηκε ως
η διαφορική εξίσωση για μια κυκλοειδής.
Το σχήμα που διαγράφεται από ένα σημείο στο χείλος του κυλιόμενου τροχού.
Αλλά, δεν είναι προφανές, σίγουρά δεν είναι προφανές για μένα,
γιατί αυτό το ημθ δια τετράγωνο y ακίνητο ρίζα έχει κάτι να κάνει με κυλλιόμενους τροχούς
Δεν είναι καθόλου προφανές, αλλά αυτό είναι και πάλι, η ιδιοφυΐα του Μαρκ Λεβί για τη διάσωση.
Θα θέλατε να πείτε δυο λόγια για τον Mark Levi;
Ναι, καλά ο Μαρκ Λεβί είναι ένα πολύ έξυπνο, καθώς και ένα πολύ καλό παιδί που είναι φίλος μου και καταπληκτικός μαθηματικός στο Penn State,

Polish: 
który napisał książkę "Mathematical Mecanic", w której używa zasad mechaniki,
oraz ogólniej fizyki do rozwiązywania problemów matematycznych.
W niej, matematyka nie służy nauce, ale nauka służy matematyce.
Jako przykład tego, czym się zajmuje dodał bardzo krótką notę,
pokazującą analizę cykloidy, rysując odpowiednie linie w odpowiednich miejscach,
to ta zasada prędkości dzielonej przez sinus kąta, jest istotą powstawania cykloidy.
W naszej rozmowie nie skupialiśmy się na szczegółach tego dowodu.
Jest trudne bez wizualizacji problemu.
Ale myślę, że wielu z Was podoba się oglądanie matematyki nie tylko rozmowa o niej.
Poza tym to bardzo eleganci kawałek geometrii.
Więc mam zamiar przez to przejść.

Chinese: 
著有一本《Mathematical Mechanic》，利用力学原理，
以及更广阔的物理学解决各种各样的数学问题。
比起数学服务于科学，它算是科学服务于数学。
他聪慧的例证之一是最近发表了一个很短的短篇笔记，
展现当研究摆线的几何时，只需在恰当的地方画上正确的线，
这个速度除以sin θ是常数的原理，
就会嵌入摆线的运动过程中。
第2节：Mark Levi的洞察力，及一个挑战
在那次会话中，我们并没有谈论证明的细节本身。
不利用视觉，就有点难办。
但我觉得你们当中许多人喜欢看数学，不仅喜欢讨论。
这个几何的证明既优美但短小。
所以我在此就将它放出来了。

Portuguese: 
que escreveu um livro chamado "Mathematical Mecanic", no qual ele utiliza princípios de Mecânica,
e mais geralmente princípios físicos para resolver todo tipo de problemas de Matemática.
Ou seja, ao invés de matemática a serviço da ciência, é a ciência a serviço da matemática.
E como um exemplo dos tipos de coisas inteligentes que ele faz, ele recentemente publicou uma nota, bem curta,
mostrando que se você olha para a geometria de um cicloide, somente desenhando as linhas certas nos lugares certos,
que esse princípio de velocidade sobre seno de θ sendo constante é próprio do movimento do cicloide por si só.
3B1B: Então, nessa conversa, na verdade nós nunca falamos a respeito dos detalhes da prova propriamente dita.
É algo meio difícil de se fazer sem nada visual.
Mas eu acho que vários de vocês aí gostam de ver matemática e não só conversa sobre matemática.
E também é um exemplo bem elegante de geometria.
Então, eu vou para o problema agora.

Modern Greek (1453-): 
ο οποίος έχει γράψει ένα βιβλίο με τίτλο ο Μαθηματικός Μηχανικός στο οποίο χρησιμοποιεί τις αρχές της Μηχανικής,
και γενικότερα της φυσικής για να λύσει όλα τα είδη των προβλημάτων  στα μαθηματικά.
Αυτό είναι όχι μαθηματικά στην υπηρεσία της επιστήμης, είναι η επιστήμη στην υπηρεσία των μαθηματικών.
Και ως παράδειγμα από έξυπνα πράγματα που κάνει, δημοσίευσε πρόσφατα ένα μικρό σημείωμα, πολύ μικρή,
δείχνει ότι αν δει κανείς τη γεωμετρία του κυκλοειδής, απλά αντλώντας τις σωστές γραμμές στις σωστές θέσεις,
ότι η αρχή της ταχύτητας δια του ημθ είναι σταθερή είναι ενσωματωμένη στην κίνηση της ίδιας της κυκλοειδής.
Έτσι, σε αυτή την συζήτηση, που στην πραγματικότητα ποτέ δεν μίλησε για τα στοιχεία της ίδιας της απόδειξης.
Είναι κάπως δύσκολο πράγμα που πρέπει να κάνει χωρίς οπτικά εφέ.
Αλλά νομίζω ότι πολλοί από εσάς εκεί έξω θα απολαύσετε βλέποντας τα μαθηματικά που όχι μόνο μιλάμε για τα μαθηματικά.
Είναι επίσης ένα πολύ κομψό μικρό κομμάτι της γεωμετρίας.
Έτσι, θα πάω μέσα από αυτό εδώ.

English: 
who has written a book called the Mathematical Mecanic, in which he uses principles of mecanics,
and more generally physics to solve all kinds of math problems.
That is rather than math in the service of science, it's science in the service of math.
And as an example of the kinds of clever things that he does, he recently published a little note, very short,
showing that if you look at the geometry of a cycloid, just drawing the correct lines in the right places,
that this principle of velocity over sin θ being constant is built-in to the motion of the cycloid itself.
So, in that conversation, we never actually talked about the details of the proof itself.
It's kind of hard thing to do without visuals.
But I think a lot of you out there enjoy seeing the math and not just talking about the math.
It's also a really elegant little piece of geometry.
So, I'm gonna go through it here.

French: 
Il a écrit un livre, The Mathematical Mechanic,
dans lequel il utilise des principes de mécanique et plus en général de physique
pour résoudre toute sortes de problèmes de maths.
Au lieu d'avoir les maths au service de la science, c'est plutôt la science au service des maths.
Et comme exemple de chose astucieuse qu'il fait,
il a récemment posté une petit note, très courte,
montrant que si vous regardez la géométrie d'une cycloïde,
juste en traçant les bonnes lignes aux bons endroits,
que ce principe, de vitesse sur sinus θ étant une constante,
est déjà inclut dans le mouvement de la cycloïde elle-même.
Donc, dans cette conversation,
nous n'avons pas du tout parlé des détails de la démonstration.
C'est assez dur à faire sans illustration.
Mais je sais que beaucoup d'entre-vous aiment voir les maths
et non juste en parler.
C'est aussi une élégante petite démonstration de géométrie.
Donc, je vais en parler maintenant.

Modern Greek (1453-): 
Φανταστείτε έναν τροχό, το τροχαίο στην οροφή.
Και φανταστείτε ένα σημείο P στο χείλος της ζάντας.
πρώτη εικόνα Μαρκ Λεβί ήταν ότι το σημείο όπου ο τροχός αγγίζει το Οροφή, ότι θα καλέσω C,
λειτουργεί ως στιγμιαίο κέντρο περιστροφής για την πορεία της Π
Είναι σαν εκείνη την στιγμή, το Ρ να είναι επί του άκρου ενός εκκρεμούς του οποίου η βάση είναι C.
Δεδομένου ότι η εφαπτομένη οποιουδήποτε κύκλου είναι πάντα κάθετα προς την ακτίνα,
η εφαπτόμενη της κυκλοειδής διαδρομή στο P είναι κάθετη προς τη γραμμή PC.
Αυτό μας δίνει μια ορθή γωνία στο εσωτερικό του κύκλου.
Και κάθε ορθογώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ένα κύκλο θα πρέπει να έχει τη διάμετρο ως υποτείνουσας του.
Έτσι από αυτό, μπορείτε να συμπεράνουμε ότι η εφαπτόμενη τέμνει πάντοτε το κάτω μέρος του κύκλου.
Τώρα, έστω θ η γωνία μεταξύ της γραμμής αυτής εφαπτομένης και της κατακόρυφου
Παίρνουμε ένα ζευγάρι παρόμοια τρίγωνα, τα οποία θα σας δείξω ακριβώς στην οθόνη.

English: 
Imagine a wheel, rolling on the ceiling.
And picture a point P on the rim of that wheel.
Mark Levi's first insight was that the point where the wheel touches the ceilling, that I'll call C,
acts as this instantaneous center of rotation for the trajectory of P.
It's as if, for that moment, P is on the end of a pendulum whose base is at C.
Since the tangent line of any circle is always perpendicular to the radius,
the tangent line of the cycloid path of P is perpendicular to the line PC.
This gives us a right angle inside of the circle.
And any right triangle inscribed in a circle must have the diameter as its hypotenuse.
So from that, you can conclude that the tangent line always intersects the bottom of the circle.
Now, let θ be the angle between this tangent line and the vertical.
We get a pair of similar triangles, which I'll just show on the screen.

Chinese: 
想象一个轮子，在天花板上滚动。
想象轮子边缘上有一个点P。
Mark Levi的第一直觉是，轮子与天花板相接触的点，取名为点C，
是P点轨迹的瞬时旋转中心。
相当于在那瞬间，P位于端点为C的单摆的末端。
因为圆的任意切线总垂直于半径，
摆线上P点处的切线垂直于直线PC。
这样我们获得了圆内的一个直角。
圆的任意内接直角三角形的斜边一定是圆的直径，
所以我们得到"切线总与圆的底端相交"的结论。
那么，用θ记作切线和竖线间的夹角。
我们得到一对相似三角形，在屏幕上会显示出来。

French: 
Imaginez une roue, roulant sur le plafond.
Et imaginez un point P, sur cette roue.
La première idée de Mark Levi est que
le point où la roue touche le plafond, que j’appellerais C,
agit comme un centre de rotation instantané pour la trajectoire de P.
C'est comme si, à ce moment, P se situe au bout d'un pendule de base C.
Comme toute tangente à un cercle est toujours perpendiculaire au rayon,
la tangente à la cycloïde en P est perpendiculaire au segment [PC].
Ça nous donne un angle droit dans le cercle.
Et tout triangle rectangle inscrit dans un cercle doit avoir le diamètre comme hypoténuse.
De ça, on peut conclure que la tangente est toujours sécante avec le bas du cercle.
Donc, soit θ l'angle entre cette tangente et la verticale.
On a donc une paire de triangles similaires, que je vais juste montrer à l'écran.

Portuguese: 
Imagine uma roda, girando num teto.
E imagine um ponto P na periferia dessa roda.
O primeiro ''insight'' de Mark Levi foi que o ponto onde a roda toca o teto (vamos chamá-lo de C)
age como o centro instantâneo de rotação da trajetória de P.
É como se, por um momento, P está na ponta de um pêndulo cuja base se encontra em C.
Como a reta tangente de qualquer círculo é sempre perpendicular ao raio,
a reta tangente do caminho em cicloide de P é perpendicular à reta PC.
Isso nos dá um ângulo reto dentro do círculo.
E qualquer triângulo retângulo inscrito num círculo deve ter o diâmetro como a sua hipotenusa.
Então daí, você pode concluir que a reta tangente sempre intercepta a base do círculo.
Agora, seja θ o ângulo entre essa reta tangente e a vertical.
Nós obtemos um par de triângulos semelhantes, que eu vou só mostrar na tela.

Polish: 
Wyobraź sobie koło toczące się po suficie.
Oraz punkt P, na krawędzi tego koła.
Mark Levi najpierw zauważył, że punkt który dotyka sufitu, nazwę go C,
zachowuje się jak chwilowy środek obrotu dla trajektorii P.
Zupełnie jakby, na chwile, P było końcem wahadła zaczepionego w C.
skoro styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia,
to styczna do cykloidy( w P) jest prostopadła do odcinka PC.
To daje nam kąt prosty wewnątrz okręgu.
A każdy kąt prosty wpisany w okrąg ma średnicę jako swoją podstawę.
Stąd, możesz wywnioskować, że styczna zawsze przecina spód okręgu.
Teraz niech θ, będzie kątem między tą styczną a prostą poziomą.
Mamy parę trójkątów podobnych, które pokażę na ekranie.

Portuguese: 
Você pode ver que o comprimento de PC é o diâmetro multiplicado por seno de θ.
Utilizando o segundo triângulo semelhante, esse comprimento vezes seno de θ novamente nos dá a distância entre P e o teto.
A distância que estávamos chamando de ''y'' mais cedo.
Rearranjando, nós vemos que seno de θ dividido pela raiz quadrada de "y" é igual a 1, dividido pela raiz quadrada do diâmetro.
Como o diâmetro de um círculo, é claro, se mantém constante ao longo da rotação,
isso implica que o seno de θ dividido pela raiz quadrada de y é constante em um cicloide.
E é justamente por essa propriedade da Lei de Snell que estávamos procurando.
Então, quando você combina a perspicácia de Johann Bernoulli com essa pequena prova geométrica,
essa é a solução mais brilhante da Braquistócrona que eu já vi.
E eu poderia dar por encerrado por aqui, porém,

Chinese: 
你能发现 线段PC的长度 = 直径 × sin θ。
在第2个相似的三角形中，这个长度再乘上sin θ，给出P点和天花板间的距离。
这个距离是我们先前叫做y的那个。
移项，发现sin θ/√y等于1除以直径的平方根。
因为圆的直径肯定在旋转过程中保持不变，
这意味着sin θ/√y在摆线上是常数。
这恰好是我们所寻找的斯涅尔定律的性质。
那么，约翰·伯努利的洞察力和这个短小的几何证明结合起来，
得到我所见过最速降线最巧妙的解法。
在这里可以告一段落的，但是

English: 
You can see that the length of [PC] is the diameter times sine of θ.
Using the second similar triangle, this length, times sine of θ again, gives the distance between P and the ceiling.
The distance that we were calling y earlier.
Rearranging this, we see that sine of θ, divided by the square root of y is equal to one, divided by the square root of the diameter.
Since the diameter of a circle, of course, stays constant throughout the rotation,
this implies that the sine of θ divided by the square root of y is constant on a cycloid.
And that's exactly the Snell's law property that we're looking for.
So, when you combine Johann Bernoulli's insight with this little geometry proof,
that's the cleverest solution of the Brachistochrone that I've ever seen.
And I could call it done here, but,

Modern Greek (1453-): 
Μπορείτε να δείτε ότι το μήκος του [PC] είναι η διάμετρος φορές sine της θ.
Χρησιμοποιώντας την δεύτερη παρόμοια τρίγωνο, αυτό το μήκος, χρόνοι ημίτονο θ πάλι, δίνει την απόσταση μεταξύ Ρ και της οροφής.
Η απόσταση που καλούν y νωρίτερα.
Αναδιάταξη αυτό, βλέπουμε ότι ημίτονο θ, διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του y είναι ίσο με ένα, διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα της διαμέτρου.
Δεδομένου ότι η διάμετρος ενός κύκλου, φυσικά, παραμένει σταθερή καθ 'όλη την περιστροφή,
Αυτό συνεπάγεται ότι το ημίτονο της θ διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του y είναι σταθερή σε ένα κύκλο
Και αυτό είναι ακριβώς ιδιότητα του νόμου του Snel που ψάχνουμε.
Έτσι, όταν συνδυάζουν εικόνα Johann Bernoulli με αυτή τη μικρή γεωμετρίκή απόδειξη,
ότι είναι η πιο έξυπνη λύση του Brachistochrone που έχω δει ποτέ.
Και θα μπορούσα να τελειώσω εδώ, αλλά,

Polish: 
Możecie zobaczyć, że długość PC jest równa iloczynowi średnicy i sinθ.
Używając podobieństwa, ta długość znowu ulegając pomnożeniu przez sinθ, da nam odległość P od sufitu.
Czyli odległość, którą poprzednio nazwaliśmy y.
Zmieniając układ, widzimy, że sinθ, podzielony przez pierwiastek z y wynosi: 1 przez pierwiastek z średnicy.
Odkąd średnica okręgu jest, oczywiście, stała przez cały obrót,
wnioskujemy, że sinθ podzielony przez pierwiastek z y jest stały na cykloidzie.
A to jest dokładnie własność płynąca z prawa Snelliusa, o którą nam chodzi.
Więc łącząc intuicję Johanna Bernoulliego z tym małym geometrycznym faktem,
otrzymujemy najbystrzejsze rozwiązanie problemu Brachistochrona jakie widziałem.
Mógłbym tutaj zakończyć, ale,

French: 
On peut voir que la longueur de [PC] est égale au diamètre fois le sinus de θ.
En utilisant le deuxième triangle similaire,
cette longueur, fois encore le sinus de θ
donne la distance entre P et le plafond.
Distance que nous appelions y tout à l'heure.
En réarrangeant,
On voit que sin θ divisé par la racine de y
est égal à 1 divisé par la racine du diamètre.
Étant donné que le diamètre du cercle reste constant pendant la rotation,
cela implique que sin θ divisé par la racine de y est une constante dans une cycloïde.
Et c'est exactement la propriété de la loi de Snell que nous recherchons.
Donc, quand on combine l'idée de Johann Bernoulli
avec cette petite démonstration de géométrie,
ça donne la solution la plus astucieuse au Brachistochrone que j'ai jamais vue.
Et je pourrais m'arrêter là,
mais, comme toute l'histoire de ce problème a commencé

Modern Greek (1453-): 
δεδομένου ότι όλη η ιστορία αυτού του προβλήματος που ξεκίνησε με μια πρόκληση που θέτει Johann Bernoulli,
Θέλω να τελειώσω τα πράγματα μακριά με μια μικρή πρόκληση δική μου.
Όταν έπαιζα γύρω με τις εξισώσεις του κυκλοειδής, κάτι ενδιαφέρον πετάχτηκε έξω.
Εξετάστε ένα αντικείμενο γλιστρώντας κάτω την κυκλοειδής λόγω βαρύτητας.
Και σκεφτείτε πού είναι κατά μήκος της καμπύλης ως συνάρτηση του χρόνου.
Τώρα σκεφτείτε για το πώς η καμπύλη ορίζεται, όπως αυτή τροχιά ενός σημείου σε ένα χείλος ενός περιστρεφόμενου τροχού.
Πώς μπορεί να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο οι τροχοί περιστρέφονται έτσι ώστε όταν ξεκινά το αντικείμενο ολίσθησης,
το σημείο στο χείλος του τροχού πάντα παραμένει σταθερό σε αυτό το συρόμενο αντικείμενο;
Έχετε αρχίσει να περιστρέφεται αργά και να αυξάνει την ταχύτητά του;
Αν είναι έτσι ποια είναι η συνάρτηση
Αποδεικνύεται, ο τροχός θα περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό.
Το οποίο πρέπει να εκπλήσσει.
Αυτό σημαίνει ότι η βαρύτητα που τραβάει κατά μήκος της κυκλοειδής ακριβώς με τον ίδιο τρόπο σε ένα διαρκώς περιστρεφόμενο τροχό

Polish: 
mając całą historię tego zagadnienia, począwszy od wyzwania rzuconego przez Johanna Bernoulliego.
Chciałbym zakończyć z własnym wyzwaniem.
Gdy bawiłem się równaniami cykloidy, coś ciekawego wpadło mi do głowy.
Wyobraź sobie obiekt ślizgający się po cykloidzie, za sprawą grawitacji.
Pomyśl o jego położeniu jako o funkcji zależnej od czasu.
Teraz przypomnij sobie jak ta krzywa jest zdefiniowana: jako trajektoria punktu na krawędzi toczącego się koła.
Jak można zmienić sposób w jaki nasze koło się rotuje, tak że gdy obiekt zacznie się ślizgać,
punkt z krawędzi(który tworzył cykloidę) zawsze pozostanie przy tym ślizgającym się obiekcie?
Zaczniesz od powolnego obrotu za będziesz zwiększał jego prędkość?
Jeśli tak, to zgodnie z jaką funkcją?
Okazuję się, że koło musi obracać się ze stałą prędkością.
Co jest zaskakujące.
To oznacza, że grawitacja poruszyłaby Cię w taki sam sposób jak obracające się, ze stałą prędkością, koło

Portuguese: 
dado que toda a história desse problema começou com um desafio que Johann Bernoulli propôs,
eu quero encerrar as coisas com um pequeno desafio meu.
Quando eu estava brincando com as equações de um cicloide, algo interessante surgiu.
Considere um objeto descendo um cicloide devido à gravidade.
E pense sobre onde o objeto se encontra na curva como uma função do tempo.
Agora pense sobre como essa curva é definida, sendo a trajetória de um ponto na periferia de uma roda girando.
Como você poderia mexer a taxa com que a roda gira de forma que, quando o objeto começa a deslizar,
o ponto marcado na fronteira da roda sempre permanece fixo para o objeto deslizante?
Você começaria rotacionando devagar e depois aumentaria a velocidade?
Se sim, de acordo com que função?
No final das contas, a roda irá girar com uma taxa constante.
O que é surpreendente.
Isso quer dizer que a gravidade te puxa ao longo do cicloide precisamente da mesma maneira que uma roda girando a velocidade constante faria.

English: 
given that the whole history of this problem started with a challenge that Johann Bernoulli posed,
I want to finish things off with a little challenge of my own.
When I was playing around with the equations of a cycloid, something interesting popped out.
Consider an object sliding down the cycloid due to gravity.
And think about where it is along the curve as a function of time.
Now think about how the curve is defined, as this trajectory of a point on a rim of a rotating wheel.
How might you tweak the rate at which the wheels rotates so that when the object starts sliding,
the marked point on the rim of the wheel always stays fixed to that sliding object?
Do you start rotating it slowly and increase its speed?
If so, according to what function?
It turns out, the wheel will rotate at a constant rate.
Which is suprising.
This means that gravity pulls you along the cycloid in precisely the same way that a constantly rotating wheel would.

French: 
avec un défi posé par Johann Bernoulli,
je voudrais terminer en vous posant un petit défi.
Quand je m'amusais avec les équations de la cycloïde,
quelque chose d'intéressant s'est montré.
Considérez un objet glissant le long de la cycloïde par gravité.
Et pensez à où il se situe sur la courbe en fonction du temps.
Et maintenant pensez à comment cette courbe est définie,
comme étant la trajectoire tracée par un point sur un cercle roulant.
Comment pourriez-vous faire varier la vitesse à laquelle la roue tourne
de manière à ce que quand l'objet commence à glisser,
le point sur le cercle reste fixé à cet objet ?
Vous commencez par tournez lentement puis accélérez ?
Si oui, selon quelle fonction ?
Il se trouve en réalité que la roue va tourner à vitesse constante.
Ce qui est surprenant. Ça veut dire que la gravité vous
fait glisser sur une cycloïde exactement de la même manière
qu'une roue tournant à vitesse constante le ferait.

Chinese: 
既然这整个问题的历史源于约翰·伯努利发起的挑战，
我想要以我自己发布的挑战作为结束。
当我玩弄摆线时，有件有趣的事突显了出来。
考虑一个由于重力沿摆线滑下的物体。
思考描述它在曲线上的位置随时间变化的函数。
再思考这曲线是如何定义为滚轮边缘上一点的轨迹的。
如何调整轮子的转动速度，使物体开始下滑后，
轮子边缘上的标记点总是与下滑物体保持相对静止？
你会先慢着转动，再增快转速？
如果是的话，根据什么函数呢？
事实证明，轮子会以常速转动。
这是令人惊讶的。
这意味着受重力的物体做摆线运动的效果，和恒速滚轮是完全一致的。

Portuguese: 
E a parte empolgante deste desafio é somente: confirme isso você mesmo.
É meio que divertido ver como isso surge das equações.
Mas isso me deixou pensando...
Se olharmos de volta para nosso problema original da braquistócrona,
perguntando sobre o caminho da descida mais rápida entre dois pontos,
talvez haja uma maneira sutil de reformular nosso raciocínio.
Que tal se, ao invés de descrever a trajetória do objeto deslizante em termos de suas coordenadas x e y,
nós o descrevermos em termos do ângulo que o vetor velocidade faz como uma função do tempo.
Quer dizer, você pode imaginar definir a curva por um objeto que começa deslizando para baixo e então passando por uma protuberância para determinar o ângulo
com o qual está deslizando a cada ponto no tempo, sempre sendo puxado pela gravidade
Se você descreve o ângulo da protuberância como uma função do tempo, você está na verdade unicamente descrevendo uma curva.
Você está basicamente utilizando uma equação diferencial, já que que o que é dado é a inclinação em função de algum outro parâmetro.
Neste caso, o tempo.
Então o que é interessante aqui é que quando você olha a solução do problema da braquistócrona, não no plano xy,

French: 
L''échauffement de ce défi est : confirmez ça par vous-même.
C'est assez drôle de voir comme ça tombe des équations.
Mais ça m'a fait penser.
Si on revient au problème original du Brachistochrone,
qui demande la trajectoire la plus rapide entre deux points,
peut-être y a-t-il une manière rusée de changer notre manière de penser ?
Au lieu de définir la chute d'un objet avec ses coordonnées x et y,
nous la définissions avec l'angle formé par le vecteur vitesse en fonction du temps.
Vous pouvez imaginer définir une courbe en ayant un objet glissant le long
et en tournant un bouton définissant l'angle auquel il glisse à chaque point du temps,
toujours étant attiré par la gravité.
Si vous définissez l'angle du bouton en fonction du temps,
vous définissez en réalité une courbe unique.
Au fond, vous utilisez une équation différentielle,
étant donné que ce qui est donné est la pente, en fonction d'un autre paramètre.
Dans ce cas : le temps.
Ce qui est intéressant, c'est quand on regarde les solutions au Brachistochrone,

Modern Greek (1453-): 
Η προθέρμανση μέρος αυτής της πρόκλησης είναι απλά: το να επιβεβαιώσει για τον εαυτό σας.
Είναι το είδος της διασκέδασης για να δείτε πώς πέφτει έξω από τις εξισώσεις.
Αλλά αυτό με έβαλε σε σκέψεις.
Αν κοιτάξουμε πίσω στο αρχικό πρόβλημα Brachistochrone μας,
ρωτώντας για την πορεία των ταχύτερα αξιοπρεπή μεταξύ δύο δεδομένων σημείων,
ίσως υπάρχει ένας τρόπος για να εντάξουμε τη σκέψη μας.
Τι λέτε για το βλέμμα, αν αντί να περιγράφουν την τροχιά ενός συρόμενη αντικείμενο την άποψη των x και y συντεταγμένες,
εμείς περιγράψτε σε σχέση με την οπτική γωνία που το διάνυσμα της ταχύτητας κάνει ως συνάρτηση του χρόνου.
Θέλω να πω, μπορείτε να φανταστείτε που καθορίζει μια καμπύλη από την κατοχή μιας ξεκίνημα αντικείμενο την ολίσθηση στη συνέχεια γυρίζοντας ένα διακόπτη για τον προσδιορισμό της γωνίας
στην οποία είναι συρόμενη σε κάθε χρονική στιγμή, πάντα να τραβιέται από τη βαρύτητα.
Αν έχετε περιγράψει τη γωνία του κουμπιού ως συνάρτηση του χρόνου, που είναι στην πραγματικότητα μοναδικά περιγράφει μια καμπύλη.
Είστε βασικά χρησιμοποιώντας μια διαφορική εξίσωση, δεδομένου ότι αυτό που είναι δεδομένο είναι η κλίση σε συνάρτηση με κάποια άλλη παράμετρο.
Στην περίπτωση αυτή, ο χρόνος.
Έτσι, αυτό που είναι ενδιαφέρον εδώ, είναι ότι όταν κοιτάς τη λύση του προβλήματος Brachistochrone, όχι στο επίπεδο xy,

Chinese: 
挑战的热身环节就是：你来自己证明刚才这点。
用方程一点一点地证明出来的过程是有点意思的。
但这让我想沉思：
如果我们回顾原先的最速降线问题，
寻问两点间的最速下降轨迹，
也许有一种让我们重新思考的狡猾方法。
与用x和y轴坐标来描述下滑物体轨迹相比，
我们用速度向量的角度随时间的变化来描述它会如何？
想象这样定义一个曲线：一个物体下滑时，通过转动一个旋钮来决定物体在重力拉动下每时刻下滑的夹角。
如果你能将旋钮角度随时间的变化描述为关于时间的函数，你其实就唯一描述了一条曲线。
你本质上就在利用一个微分方程，因为已知斜率是另外一个参数的函数，在此是时间的函数。
有趣的是，当你不通过x-y平面解决最速降线问题，

English: 
The warm-up part of this challenge is just: confirm this for yourself.
It's kind of fun to see how it falls out of the equations.
But this got me thinking.
If we look back at our original Brachistochrone problem,
asking about the path of fastest decent between two given points,
maybe there is a slick way to reframe our thinking.
How about it look, if instead of describing the trajectory of a sliding object in terms of its x and y coordinates,
we decribe it in terms of the angle that the velocity vector makes as a function of time.
I mean, you can imagine defining a curve by having an object start sliding then turning a knob to determine the angle
at which it's sliding at each point in time, always being pulled by gravity.
If you describe the angle of the knob as a function of time, you are in fact uniquely describing a curve.
You are basically using a differential equation, since what's given is the slope as a function of some other parameter.
In this case, time.
So what's interesting here, is that when you look the solution of the Brachistochrone problem, not in the x-y plane,

Polish: 
Część na rozgrzewkę tego wyzwania to: potwierdź to co powiedziałem na własną rękę.
To całkiem zabawne, jak to wychodzi z równań.
Ale przez to zacząłem myśleć nad czymś innym.
Jeśli spojrzymy na oryginalny problem Brachistochrony,
pytając o ścieżkę najkrótszego spadku między dwoma punktami,
może istnieje zgrabna zmiana punktu widzenia.
Może tak; co jeśli zamiast opisywać trajektorię ślizgających się obiektów we współrzędnych x i y,
opiszemy to w terminach kąta jaki prędkość tworzy, jako funkcja czasu.
Mam na myśli definiowanie krzywej mając ślizgający się obiekt, przez zmianę kąta
pod którym się przesuwa, w każdej chwili, tylko za pomocą grawitacji.
Jeśli opiszesz zmianę kąta jako funkcję czasu, to w zasadzie opiszesz krzywą.
Dokładnie, używasz równania różniczkowego, skoro masz nachylenie jako funkcję innego parametru.
Tutaj jest nim czas.
Co ciekawe, jeśli popatrzysz na rozwiązanie problemu Brachistochrony, nie w płaszczyźnie x-y,

Chinese: 
而是通过t-θ平面，其中t是时间，θ是轨迹的角度，
所有最速降线的解都是直线。
就是说，θ关于t以恒速增加。
曲线最小化的解是直线时，
就强烈暗示着将问题视作最短路径问题的方法是存在的。
这里并不很直观。
因为x-y空间里，物体始于A点而终于B点的边界条件，
看起来不像能从t-θ空间内的一点移动到另一点。
尽管如此，我对你发出这样的挑战：
你能通过以下方法找到最速降线问题的另一种解法吗：
解释为什么时间最小化路径被表示在t-θ空间里时，一定看上去像一条直线。

English: 
but in the t-θ plane, where t is time and θ is the angle of the path,
all of the Brachistochrone solutions are straight lines.
That is to say, θ increases at a constant rate with respect to t.
When the solution of curve minimization problem is a straight line,
it's highly suggestive that there issome  way to view it a shortest path problem.
Here, it's not so straight forward.
Since the boundary conditions that your object started at point A and ended at point B in the x-y space,
doesn't just look like going from one point to another in the t-θ space.
Nevertheless, my challenge to you is this:
Can you find another solution to the Brachistochrone problem by explaining why it must be the case that a time minimizing trajectory,
when represented in t-θ space, looks like a straight line.

Portuguese: 
mas no plano t-θ, onde t é o tempo e θ é o ângulo do caminho,
todas as soluções da braquistócrona são linhas retas.
Isso é o mesmo que dizer que θ aumenta a uma taxa constante em respeito ao tempo.
Quando a solução de um problema de curva que minimiza algo é uma linha reta,
é altamente sugestivo que exista alguma maneira de olhar isso como um problema de caminho mais curto.
Aqui, isso não aparece logo de cara.
Uma vez que as condições de contorno com que seu objeto começou no ponto A e terminou no ponto B no plano xy
não se parecem simplesmente com ir de um ponto a outro no espaço t-θ.
Ainda assim, meu desafio para você é o seguinte:
Você pode encontrar outra solução para o problema da braquistócrona, explicando por que precisa ser o caso em que uma trajetória que minimiza o tempo,
quando representada no espaço t-θ, se parece com uma linha reta?

Polish: 
ale w płaszczyźnie t-θ , gdzie t-czas, θ -kąt ścieżki,
wszystkie rozwiązania problemu Brachistochron, są prostymi.
Można powiedzieć, że θ wzrasta proporcjonalnie do t.
Jeśli rozwiązanie minimalizacji krzywej jest prosta, to
wysoce sugestywne, że jest jakiś sposób, żeby to zawrzeć w kontekście problemu najkrótszej ścieżki.
Proszę, to nie jest takie bezpośrednie.
Skoro warunki brzegowe, są takie, że Twój obiekt zaczyna w A, a kończy w B(wszystko jest na płaszczyźnie x-y),
nie wygląda jak przejście od jednego punktu do drugiego w przestrzeni t-θ.
Niemniej jednak, moje wyzwanie dla Ciebie to:
Czy możesz znaleźć inne rozwiązanie dla problemu Brachistochrony, wyjaśniając dlaczego musi tak być, że trajektoria minimalizująca czas,
reprezentowany w przestrzeni  t-θ, wygląda jak linia prosta.

French: 
non pas dans le plan x-y, mais dans le plan t-θ,
où t est le temps et θ l'angle de la trajectoire,
toutes les solutions au Brachistochrone sont des lignes droites.
Ce qui veut dire que θ varie à un taux constant en fonction de t.
Quand la solution d'un problème de minimisation de courbe est une ligne droite,
c'est très suggestif du fait qu'il existe une manière de le voir comme un problème de chemin le plus court.
Ici, ce n'est pas très évident,
étant donné que le fait que l'objet part du point A vers le point B dans le plan x-y
ne se voit pas réellement de cette manière dans le plan t-θ.
Néanmoins, mon défi pour vous est le suivant :
Pouvez-vous trouver une autre solution au Brachistochrone
en expliquant pourquoi une courbe de temps minimum représentée dans le plan t-θ
ressemble à une ligne droite ?
Pouvez-vous trouver une autre solution au Brachistochrone en trouvant une raison intuitive

Modern Greek (1453-): 
αλλά στο επίπεδο t-θ, όπου t είναι ο χρόνος και θ είναι η γωνία της διαδρομής,
όλες οι λύσεις Brachistochrone είναι ευθείες γραμμές.
Δηλαδή, θ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό σε σχέση με το t.
Όταν το διάλυμα του προβλήματος καμπύλης ελαχιστοποίησης είναι μια ευθεία γραμμή,
Είναι πολύ δεδομένο ότι υπάρχει τρόπος για να δείτε ένα πρόβλημα εύρεσης συντομότερης διαδρομής.
Εδώ, δεν είναι τόσο απλό.
Από τις συνοριακές συνθήκες που το αντικείμενό σας ξεκίνησε στο σημείο Α και κατέληξε στο σημείο Β στο χώρο xy,
δεν είναι μόνο φαίνονται σαν να πηγαίνει από το ένα σημείο στο άλλο στο χώρο t-θ.
Παρ 'όλα αυτά, η πρόκλησή μου προς εσάς είναι η εξής:
Μπορείτε να βρείτε μια άλλη λύση στο πρόβλημα Brachistochrone εξηγώντας γιατί πρέπει να είναι η περίπτωση που μια φορά την ελαχιστοποίηση τροχιά,
όταν παριστάνεται στο διάστημα t-θ, μοιάζει με μια ευθεία γραμμή.

Chinese: 
你能通过给出时间最小化路径在t-θ空间中之所以像一条直线的直观原因，找到最速降线问题的新解法吗？

French: 
par laquelle les courbes de temps minimum ressemblent à des lignes droites dans le plan t-θ ?
