અગાવ ના વિડિઓ માં આપણે જે શ્રેણી જોયી હતી તેને સ્પષ્ટ રીતે લક્ષ ના
 સ્વરૂપ માં દર્શાવી છે હવે આ શ્રેણીનું લક્ષ આ શ્રેણી ની લિમિટ જે ઋણ 1 ના 
ઘાટ માં n +1 છેદમાં n છે આ શ્રેણી ને દર્શાવવાની આ એક રીત છે n 
અપરોચીશ તું ઇન્ફીનીટી એટલે કે n ની અનંત સુધીની કિંમત માટે આ શ્રેણી
 ની લક્ષ 0 થશે જેમ જેમ n નું મૂલ્ય વધતું જાય અંશ ઋણ 1 અને 1 ની વચ્ચે 
મળે છે પરંતુ આ આખા નું મૂલ્ય ઓછું થતું જશે આપણે તે હજુ સાબિત નથી
 કર્યું પરંતુ આ વિડિઓ ઘ્વારા આપણે તે કરવા જય રહીઆ છે હવે અહીં આ 
ત્યારેજ સાચું બનશે જયારે કોઈ પણ એપસાયલોન 0 કરતા મોટો હોઈ તો
 ત્યાં ધન m મળે કે જેથી જો સ્મોલ n એ કેપિટલ m કરતા મોટો હોઈ n ગ્રેટર
 ધેન m હોઈ તો આ શ્રેણી ની M મુ પદ a સબ n આપણા લક્ષ ના 
એપસાયલોન સુધીનું મળે જે 0 ની એપસાયલોન સુધીનું મળે તો તેઓ અહીં
 આપણને સુ કહી રહીઆ છે અહીં આપણું લક્ષ 0 છે આપણી શ્રેણી અહીં 0
 પર કન્વર્જ થાય છે આપનો એપસાયલોન 0 ની આજુ બાજુ મળે છે આપણે m
 કહી શકીએ કે આ 0 + એપસાયલોન થાય આપણે જે પ્રમાણે દોર્યું છે 
તે પ્રમાણે એપસાયલોન 0 .5 પર હોવો જોઈએ અને અહીં આ 0 ઓછા
 એપસાયલોન થશે 0 ઓછા એપસાયલોન અને આ 0 + એપસાયલોન આ
 પરિસ્થિતિ માટે આપણને લક્ષ 0 મળે છે અને આ બાબત આપણે કોઈ પણ 
એપસાયલોન માટે કરી શકીએ જયારે સ્મોલ n એ કેપિટલ m કરતા મોટો 
હોઈ ત્યારે આપણે m શોધી શકીએ તો આપણી આ શ્રેણી અને લક્ષ વચ્ચે
 નું અંતર એપસાયલોન કરતા ઓછું મળે જો આપણી શ્રેણી અને લક્ષ વચ્ચે નું 
અંતર એપસાયલોન કરતા ઓછું હોઈ તો તેનો અર્થ એ થાય કે આ શ્રેણી
 માટે n નું મૂલ્ય અહીં આ 2 સીમા ની વચ્ચે હોવું જોઈએ તે આ બંને સીમાઓ
 ની વચ્ચે હોવું જોઈએ તે આજ વિસ્તાર માં મળવું જોઈએ હું તે વિસ્તારને
 છાયાંકિત કરી રહી છુ આ પ્રમાણે આપણે કોઈ ચોક્કસ m ને પસંદ કરીએ તો
 આ તેના થી મોટું થાય અને તે આ બંને સીમા ની વચ્ચેજ મળે પરંતુ આપણે
 તેને સાબિત કયી રીતે કરી શકીએ આપણે હવે એ વિચારીએ કે અહીં આ સાચું 
બને તેના માટે સુ થવું જોઈએ a સબ n ઓછા 0 a સબ n ઓછા 0 ની નિરપેક્ષ
 કિંમત એપસાયલોન કરતા ઓછી થાય તેના માટે સુ સાચું થવું જોઈએ તેથી 
અહીં બીજી રીતે કહી શકાય કે a સબ n ની નિરપેક્ષ મૂલ્ય એપસાયલોન
 કરતા નાનું હોવું જોઈએ હવે આપણે જાણીએ છીએ કે a સબ n બરાબર આ
 બાબત છે તો તેને બીજી રીતે પણ લખી શકાય ઋણ 1 ની n +1 ઘાટ
 છેદમાં n નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય એપિસાયલોન કરતા નાનું હોવું જોઈએ હવે અહીં 
આ ઋણ 1 ની n +1 ઘાટ છે અંશ ની કિંમત આપણને 1 અને ઋણ 1 ની 
વચ્ચેજ મળે છે પરંતુ જો આપણે તેનો નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ તો તે હંમેશા ધન
 મળે તેથી આપણે તેને આપ્રમાણે લખી શકીએ ek ના છેદમાં n નું નિરપેક્ષ
 મૂલ્ય તે એપિસાયલોન કરતા નાનું મળે હવે અહીં n હંમેશા ધન j છે n 1 થી 
શરૂ થઈ ને અનંત સુધીની કિંમત છે તેથી આ મૂલ્ય હંમેશા ધન થશે તેથી 
આપણે અહીં કહી શકીએ કે 1 ના છેદમાં n એ એપિસાયલોન કરતા નાનું છે
 હવે આપણે બંને બાજુએ વ્યસ્ત લઈએ જો બંને બાજુએ વ્યસ્ત લઈએ તો આ
 n થશે અને અશંતા ની બંને બાજુ વ્યસ્ત લઈએ તો આ અશંતા ની નિશાની
 બદલાઈ જશે n ગ્રેટર ધેન 1 ઓવર એપિસાયલોન તેથી જો એક ના છેદમાં
 એપસાયલોન કરતા n મોટો હોઈ તોજ અહીં આ બાબત સાચી થશે અને
 આપણે તે હમણાંજ સાબિત કર્યું એવું કહી શકાય કે અહીં ખાસ આ શ્રેણી માટે
 કોઈ એપસાયલોન મળે તો આપણે અહીં n ની જગ્યાએ 1 ના છેદમાં 
એપસાયલોન મૂકી શકીએ કારણકે જો n એ m કરતા મોટો હોઈ n એ m કરતા 
 હોઈ કે જે એક ના છેદમાં એપસાયલોન છે તો આપણે કહી શકીએ કે અહીં આ
 બાબત સાચી છે તો આપણે અહીં કહી શકીએ કે આપણું લક્ષ આપણી લિમિટ 
અસ્તિત્વ ધરાવે છે હવે જો આ ખાસ એપસાયલોન માટે જોઈએ તો આપણે તેને
 0 .5 અથવા 1 /2 તરીકે લીધો છે માટે અહીં n એ એક ના છેદમાં 1 /2 એટલે કે 
2 કરતા મોટો થશે આપણે અહીં તેને 1 /2 તરીકે લઈએ આપણો m એ 2 થશે
 m એ એપસાયલોન નું વિધેય છે હવે જો આપણી પાસે કોઈ પણ 
એપસાયલોન હોઈ જે 0 કરતા મોટો હોઈ તો તેના માટે તેને વ્યાખ્યાયિત કરી
 શકાય અહીં આપણે m મેળવી રહીએ છીએ જે 1 ના છેદમાં 1 /2 એટલે કે 2 છે
 2 કરતા મોટી હોઈ એવી કોઈ પણ શ્રેણી માટે આપણે તેને લાય શકીએ જો
 n બરાબર 3 હોઈ તો તે આ વિસ્તાર માં છે n બરાબર 4 હોઈ તો તે પણ આ 
વિસ્તાર માં છે અને n બરાબર 5 પણ આજ વિસ્તાર માં છે આપણે આમ 
આગળ વધી શકીએ આપણે અહીં તે સાબિત કર્યું હવે જો મને કોઈ પણ
 એપસાયલોન મળે તો હું કહી શકું કે m બરાબર 1 ના છેદમાં તે એપસાયલોન
 અને જો n તેના કરતા મોટો હોઈ તો અહીં આ સાચું છે આમ આ શ્રેણી 0 પર 
કન્વર્જ થાય છે 
