
Chinese: 
我们知道对e^x 的x求导
答案还是e^x 这很有趣
让我对e这个数字开始产生兴趣了
但是我们要做的不止这样 不止赞扬e
我们想要做的是
找出它反函数的导数
求出ln(x)的导数
我们已经做过几次了
我们知道导数 现在我们想找出它反函数的导数
我们可以做的是让y=ln x
这是另一种说e^y=x
这就等于说e^y=x
现在我们可以求导了
算一算

English: 
- [Voiceover] We know that the derivative
with respect to x,of e to the x, is equal
to e to the x, which I think is one
of the neatest things in mathematics.
It just builds my
respect for the number e.
But that's not what we're
here to do, to just praise e.
What we really want to think about is,
what's the derivative
of the inverse function?
What's the derivative, with respect
to x, of the natural log of x?
We've done this several
times, where we know
the derivative of a
function and we now want
to find the derivative
of the inverse function.
What we can do, let's say y is
equal to the natural log of x.
This is another way of saying that y
is the power that we
raise e to, to get to x.
So, this is equivalent to saying that e
to the y power is equal to x.
Now we can take the derivative of both
sides of this equation with respect to x.
So let's do that.

Thai: 
เรารู้ว่าอนุพันธ์
เทียบกับ x ของ e กำลัง x เท่ากับ
e กำลัง x ซึ่งผมคิดว่าเป็นหนึ่ง
ในสิ่งที่สวยที่สุดในคณิตศาสตร์
มันทำให้ผมเคารพในตัวเลข e
แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เราจะทำมาชื่นชม e
สิ่งที่เราอยากคิดจริงๆ คือว่า
อนุพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สคืออะไร?
อนุพันธ์ เทียบกับ
x ของล็อกธรรมชาติของ x เป็นเท่าไหร่?
เราทำมาหลายครั้งแล้ว โดยเรารู้
ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และตอนนี้เราอยาก
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์ส
สิ่งที่เราทำได้ สมมุติว่า y
เท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
นี่คือวิธีบอกอีกอย่างว่า y
คือกำลังที่เรายก e แล้วได้ x
นี่ก็เทียบเท่ากับการบอกว่า e
กำลัง y เท่ากับ x
ทีนี้ เราหาอนุพันธ์ของทั้งสอง
ข้างของสมการนี้เทียบกับ x ได้
ลองทำกันดู

Korean: 
e의 x제곱을 x에 대하여 미분하면
그대로 e의 x제곱이 된다는 것을 알고 있습니다
그리고 저는 e가 수학에서
가장 깔끔한 수 중 하나라고 생각합니다
그리고 저는 e가 수학에서 가장 깔끔한 수 중 하나라고 생각합니다
단지 저의 e에 대한 존경심입니다
잠시 딴 소리를 했네요
우리가 진짜 하려는 것은
e의 x제곱의 역함수를 미분한 것입니다
즉, 자연로그 x를 미분하면 무엇이 될까요?
즉, 자연로그 x를 미분하면 무엇이 될까요?
우린 e^x의 미분은 이미 여러번 해봤습니다
이제 역함수인 ln x를 미분하면 어떻게 되는지 알아봅시다
이제 역함수인 ln x를 미분하면 어떻게 되는지 알아봅시다
자, 해봅시다
y를 ln x 라고 합시다
이 식을 다르게 표현하면
x는 e의 y제곱과 같습니다
그러니까
이렇게 식을 세울 수 있습니다
이제 양변을 x에 대하여 미분해 봅시다
이제 양변을 x에 대하여 미분해 봅시다
한 번 해 봅시다

Czech: 
Víme, že se derivace podle x
z funkce e na x rovná e na x,
což je podle mě jedna z 
nejhezčích věcí v matematice.
Budí to u mě
respekt vůči číslu e.
Nejsme tady však kvůli tomu,
abychom chválili číslo e,
spíš bych se rád zamyslel nad tím,
jaká je derivace inverzní funkce,
tedy jaká je derivace podle x
z přirozeného logaritmu z x.
S tímto už jsme
se několikrát setkali.
Známe derivaci funkce a chceme
zjistit derivaci funkce k ní inverzní.
Co teď můžeme
udělat?
Můžeme položit y jako rovno
přirozenému logaritmu z x,
čímž jen
jinak říkáme to,
že y je exponent, na který
musíme umocnit e, abychom získali x.
Je to tedy ekvivalentní s tím,
že e na y se rovná x.
Nyní můžeme obě strany
této rovnice zderivovat podle x.
Tak pojďme na to.

Portuguese: 
Sabemos que a derivada de e elevado a x 
em relação a x
é igual a e elevado a x, o que é uma 
das coisas mais interessantes da matemática.
O que só aumenta
o meu respeito pelo número e.
Mas não estamos aqui só para elogiar o número e.
O que realmente queremos discutir é
qual é a derivada da função inversa.
Qual é a derivada do logaritmo 
natural de x em relação a x.
E já fizemos isso várias vezes, 
onde sabemos a derivada de
uma função e então queremos descobrir 
a derivada da função inversa.
Podemos começar estabelecendo 
que y é igual a ln de x.
Esta é uma outra forma de dizer que y
é a potência à qual elevamos e para chegar a x.
Isto é equivalente a dizer que 
e elevado a y é igual a x.
E agora podemos derivar ambos 
os lados desta equação em relação a x.
Então façamos isto.

Bulgarian: 
Знаем, че производната
спрямо x на e^x e равна
на e^x, което мисля, че е едно
от най-прекрасните неща в математиката.
Просто изгражда уважението 
ми към числото e.
Но тук ще направим нещо друго,
а не само ще възхваляваме числото e.
Това, върху което искаме да помислим,
е на какво е равна производната
 на обратната функция?
На какво е равна производната 
спрямо x
на натурален логаритъм от x?
Правили сме това няколко пъти, 
при които знаем
производната на функцията. Сега искаме
да намерим производната 
на обратната функция.
Какво може да направим? Нека y да
е равно на натурален логаритъм от x.
Това е друг начин да заявим, че
y е степента, на която 
повдигаме e, за да получим x.
Това е еквивалентно на твърдението, че
e^y е равно на x.
Сега може да намерим
 производната на двете
страни на уравнението спрямо x.
Нека да го направим.

Norwegian: 
Vi vet at den deriverte med hensyn på x av e til x er lik e
til x, som jeg tror er en av de flotteste tingene i matematikk.
Bare bygger min respekt for nummeret e.
Men det er ikke det vi er her for å gjøre.
Hva vi virkelig ønsker å tenke på er,
vel, hva er den deriverte av den inverse funksjon.
Hva som er den deriverte med hensyn på x i den naturlige logaritme av x.
Og vi har gjort dette flere ganger, der vi vet den deriverte av en
funksjon og vi ønsker å finne den deriverte av den inverse funksjon.
Hva vi kan gjøre, kan vi sette, la oss si at y lik den naturlige logaritmen for x.
Dette er en annen måte å si at y er det vi hever e til, for å komme til x.
Så dette er det samme som å si at e til y-potens er lik x.
Og nå kan vi ta den deriverte av begge sider av denne ligningen med hensyn på x.
Så, la oss gjøre det.

Chinese: 
我們知道e^x的關於x的導數還是e^x
我覺得這是數學裡面最奇妙的東西
讓我對e肅然起敬
但是我們在這裡不是來讚美e的
而是來想一下
它的反函數的導數是什麼
ln x關於x的導數是什麼
我們做過這個幾次了，當我們知道一個函數
的導數時，怎麼求出它反函數的導數
我們能做什麼呢？我們可以設一個，比如y=ln x
這是e^y=x的另一種表達
這就等效於e的y次方等於x
現在就可以兩邊對x求導了
開始吧

Portuguese: 
A derivada de ambos os lados
em relação a x.
Faremos um pouco de derivação implícita.
Usaremos a aplicação da regra da cadeia.
Então aqui no lado esquerdo,
teremos a derivada de e elevado a y 
em relação a y,
que é igual a e elevado a y,
vezes a derivada de y em relação a x.
Já no lado direito, a derivada de x 
em relação a x é um.
E agora, para isolar a derivada, dividimos 
os dois lados por e elevado a y.
Então temos que a derivada 
de y em relação a x
é igual a 1 sobre e elevado a y,
(e elevado a y)
Agora, o que é o nosso y?
Bom, sabemos que y é igual ao 
logaritmo natural de x.
Vou escrever isso.

Thai: 
อนุพันธ์ของทั้งสองข้างเทียบกับ
x หาอนุพันธ์โดยนัยสักหน่อย
มันก็แค่การใช้กฎลูกโซ่
ทางซ้ายมือตรงนี้
อันนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของ e กำลัง x
เทียบกับ y ซึ่งจะเท่ากับ e กำลัง y
คูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
ทางขวามือตรงนี้ อนุพันธ์
ของ x เทียบกับ x เป็น 1
ทีนี้ เวลาแก้หาอนุพันธ์
เราแค่หารทั้งสองข้างด้วย e กำลัง y
เราจะได้อนุพันธ์ของ y เทียบ
กับ x เท่ากับ 1 ส่วน e ยกกำลัง y
ทีนี้ y เท่ากับอะไร?
เรารู้ว่า y เท่ากับล็อกธรรมชาติของ x
ลองเขียนมันลงไป

Chinese: 
两边求导
用一些隐函数微分法
只是一些链式法则
所以左边
对y求导
会得到
e^y * 对y求导的导数
等于右边的1
现在 为了算出这个导数
我们只要在两边除去e^y
所以我们得到了
y的导数等于1/(e^y)
现在 y等于什么？
我们知道y=ln x
所以写下来

Korean: 
 
 
연쇄법칙(chain rule)으로 계산해봅시다
여기 좌변은
e의 y제곱을 미분해야합니다
e의 y제곱을 y로 미분하면 그대로 e의 y제곱이므로
연쇄법칙에 따라 이렇게 됩니다
이제 우변을 보면
x를 x에 대해 미분하므로 1이 됩니다
이제 이 미분식을 풀어야합니다
양변을 e의 y제곱으로 나눠봅시다
그러면 dx / dy가 이렇게 됩니다
그러면 dx / dy가 이렇게 됩니다
여기서 y와 뭐가 같나요?
우린 y가 ln x와 같음을 알고 있습니다
대입해줍시다

Bulgarian: 
Производната на двете страни спрямо x
е свързана с диференциране 
на неявна функция.
Това е просто приложение 
на верижното правило.
От лявата страна на уравнението 
ето тук,
това ще бъде равно на 
производната на e на степен y
спрямо y, което просто ще бъде
равно на e на степен y,
умножено по производната 
на y спрямо x.
От дясната страна на уравнението 
ето тук, производната
на x спрямо x е равна на 1.
Сега, за да намерим от уравнението
 производната,
просто разделяме двете страни 
на e на степен y.
Намираме производната на y спрямо x,
която е равна на 1 върху e^y.
А на какво е равно y?
Знаем, че y е равно на
 натурален логаритъм от x.
Нека да го запишем.

Czech: 
Obě strany
zderivujeme podle x.
Jde o implicitní derivování za použití
vzorce pro derivaci složené funkce.
Na levé straně bude derivace
(e na y) podle y, což je zase e na y,
krát derivace y podle x.
Na pravé straně je
derivace x podle x, což je 1.
Abychom osamostatnili naši derivaci,
tak obě strany vydělíme (e na y).
Dostaneme, že derivace y podle x
se rovná 1 lomeno (e na y).
Čemu se
rovná y?
Víme, že y je rovno
přirozenému logaritmu z x,
tak to tam
napišme.

Norwegian: 
Den deriverte av begge sider med hensyn til x.
Gjøre litt implisitt derivasjon.
Egentlig, bare en anvendelse av kjerneregelen.
Og så, på venstre side her,
kommer dette til å være den deriverte av e til y med
hensyn til y, som bare kommer til å være e til
til y, ganger den deriverte av y med hensyn på x.
Og på høyre side her, den deriverte av x med hensyn på x er 1.
Og nå, for å løse for den deriverte, deler vi bare begge sider med e til y.
Derfor får vi den deriverte med, derivert av y med hensyn på
x er lik 1 over e, e til y, e til y, e til y-potens.
Nå, hva er y lik?
Vel vi vet at y er lik den naturlige logaritme av x.
Så, la oss skrive det ned.

Chinese: 
兩邊對x求導
要做一點隱函數求導
其實就是鏈式法則的應用
這樣的話，左邊的就是
e^y關於y的導數
就是e^y
再乘以y對x的導數
右邊就是x對x的對數，就是1
現在來求出導數，兩邊同時除以e^y
所以就得到，y對x的導數
等於1/(e^y)
現在，y等於什麼？
我們知道y=ln x
把這寫下來

English: 
The derivative of both sides with respect
to x, do a little bit of
implicit differentiation.
Really just an application
of the chain rule.
So, on the left-hand side right over here,
this is going to be the
derivative of e to the y
with respect to y, which is
just going to be e to the y
times the derivative
of y with respect to x.
On the right hand side
here, the derivative
of x with respect to x is one.
Now, to solve for the derivative,
we just divide both sides by e to the y.
We get the derivative of y with respect
to x is equal to one
over e to the y power.
Now, what is y equal to?
Well, we know that y is equal
to the natural log of x.
So let's write that down.

Portuguese: 
Isto é igual a um sobre e,
e elevado a ln de x.
Agora, e elevado a ln de x é igual a que?
Bem, o logaritmo natural de x 
é a potência a qual devo elevar e para ter x.
Logo, se eu de fato elevar e 
a essa potência, eu terei x.
Então isso será igual a 1 sobre x.
Então este denominador se simplifica a x.
E terminamos!
Acabamos de descobrir que 
se y é igual ao logaritmo natural de x,
então a derivada de y 
em relação a x é igual a um sobre x.
Ou você poderia dizer que 
a derivada de ln de x,
em relação a x, é igual a 1 sobre x.
Então isso tudo aqui é igual a 1 sobre x.

Bulgarian: 
Това е равно на 1 върху 
e на степен натурален логаритъм от x.
А на какво ще е равно e 
на степен натурален логаритъм от x?
Натурален логаритъм от x е степента,
на която трябва да повдигна e, 
за да получа x.
Действително, ако повдигна e
на тази степен, то ще получа x.
Това ще бъде равно на 1 върху x.
Следователно това се опростява до x.
Готови сме.
Току-що намерихме, че ако y е равно на
натурален логаритъм от х, то производната
на у спрямо х е равна на 1/х.
Можеш да кажеш също, че 
производната на натурален логаритъм
от х спрямо х е равен на 1/х.
Тоест това ето тук
е равно на 1/х.
1/х, което е също наистина

Thai: 
อันนี้เท่ากับ 1 ส่วน e กำลังล็อกธรรมชาติของ x
e กำลังล็อกธรรมชาติของ x จะเท่ากับอะไร?
ล็อกธรรมชาติของ x คือกำลัง
ที่ผมต้องยก e เพื่อให้ได้ x
ถ้าผมยก e ด้วยกำลังนั้น
ยกกำลังเลขนั้น ผมจะได้ x
ค่านี้จะเท่ากับ 1 ส่วน x
อันนี้จึงลดรูปเหลือ x
เราก็เสร็จแล้ว
เราหาได้ว่าถ้า y เท่ากับ
ล็อกธรรมชาติของ x แล้วอนุพันธ์
ของ y เทียบกับ x จะเป็น 1 ส่วน x
หรือคุณบอกได้ว่า อนุพันธ์ของล็อกธรรมชาติ
ของ x เทียบกับ x เท่ากับ 1 ส่วน x
อันนี้เท่ากับ ค่านี่
ตรงนี้ เท่ากับ 1 ส่วน x
1 ส่วน x ซึ่งเป็นผลที่สวยงาม

Chinese: 
这个就等于1
除以e^(ln x)
现在e^(ln x)等于什么？
我们得把x弄出来
所以如果我直接把e^(ln x)算出来
右边就可以得到 1/x
所以就化简到x了
我们就做完了
我们刚算出了当y=ln x
y的导数是1/x
或者我们可以直接说
ln x的导数是1/x
所以这个就等于1/x

Chinese: 
這就等於
1/(e^(ln x))
現在e^(ln x)是什麼？
e^(ln x)就是x嘛
e的這個東西次方，就是x
所以這個就是等於1/x
這個東西可以簡化成x
搞定了
我們求出了y=ln x
關於x的導數，就是1/x
或者ln x
對x的導數等於1/x
這就等於1/x

Korean: 
y대신에 자연로그x를 넣읍시다
e의 ln x 제곱이 뭘까요?
ln x는 e가 x가 되기 위해 필요한 지수에 해당합니다
ln x는 e가 x가 되기 위해 필요한 지수에 해당합니다
즉 e의 ln x제곱을 하면
x를 얻게 됩니다
따라서 1 / x 와 같습니다
x에 대한 단순화가 끝낱습니다
우린 해냈어요!
우리는 y = ln x 일때
dy / dx 가 1 / x임을 알아냈습니다
dy / dx 가 1 / x임을 알아냈습니다
또는 이렇게 말할 수 있겠죠
' ln x 를 x로 미분하면 1 / x가 된다 '  라고 말입니다
따라서 이 물음표가
따라서 이 물음표가
1 / x 임을 알아냈습니다

English: 
This is equal to one over
e to the natural log of x.
What is e to the natural
log of x going to be?
The natural log of x is the power
I need to raise e to, to get to x.
So if I actually raise e to that power,
to that exponent, I'm going to get x.
This is going to be equal to one over x.
So this thing simplifies to x.
We are done.
We just figured out if y is equal
to the natural log of x, the derivative
of y with respect to x is one over x.
Or you could say the
derivative of the natural log
of x with respect to x
is equal to one over x.
So this is equal to, this right
over here, is equal to one over x.
One over x, which is also a pretty

Czech: 
Toto se rovná 1 lomeno
(e na přirozený logaritmus z x).
Čemu se rovná e na
přirozený logaritmus z x?
Přirozený logaritmus z x je ten exponent,
na který musím umocnit e, abych měl x,
takže když e umocním na
tento exponent, dostanu x.
Tohle se tudíž rovná
1 lomeno x.
Tenhle výraz se nám
zjednodušil na x.
A máme hotovo.
Právě jsme zjistili, že když se
y rovná přirozenému logaritmu z x,
tak derivace y podle x
je 1 lomeno x,
neboli derivace přirozeného logaritmu
z x podle x se rovná 1 lomeno x.
Tohle se tedy rovná
1 lomeno x,

Norwegian: 
Dette er lik, dette er lik 1
over e, e til den naturlige logaritmen for x.
Nå, hva er e til den naturlige logaritmen av x?
Vel, den naturlige logaritmen av x er potensen jeg trenger å heve e til for å komme til x.
Så hvis jeg faktisk heve e til den potensen, til eksponenten, kommer jeg til å få x.
Så dette kommer til å være lik 1 over 1, over, la meg, 1 over x.
Så, forenkler denne tingen til x.
Og vi er ferdig.
Vi har funnet ut når y er lik den naturlige logaritme
av x, y-derivert med hensyn til x er 1 over x.
Eller, kan du si, den deriverte av naturlige log av
x med hensyn på x er lik 1 over x.
Så dette er lik, dette her er lik 1 over x.

Thai: 
ในคณิตศาสตร์เช่นกัน
ไม่น่าตื่นเต้นเท่าอันนี้ แต่ก็สวยอยู่ทีเดียว

Norwegian: 
1 over x, som også er et ganske bra resultat i, i
matematikk, ikke fullt så spennende som dette, men fortsatt ganske kult.

Portuguese: 
O que é um resultado
bem interessante na matemática
Não tão interessante quanto este aqui,
mas ainda assim bem interessante.

Korean: 
이 또한 수학에서 꽤 깔끔한 결과입니다
e의 x제곱만큼은 아니지만 그래도 꽤 깔끔합니다

Chinese: 
也是很好看的一個結果
雖然沒有e^x那麼完全一樣，但還是挺簡單的

Czech: 
což je také jeden z hezkých
výsledků v matematice.
Ne tak vzrušující jako tenhle,
ale pořád poměrně pěkný.

Chinese: 
1/x 挺简单的一个形式
不是很复杂

English: 
neat result in mathematics.
Not quite as exciting as this
one, but still pretty neat.

Bulgarian: 
прекрасен резултат в математиката.
Не толкова вълнуващ като ето този, 
но все пак е прекрасен.
