
Portuguese: 
Um termo que vamos ouvir muitas vezes nestes videos e
em álgebra linear em geral é a ideia de
combinação linear.
E tudo o que uma combinação linear de vetores é, não passa de apenas uma
combinação linear.
Deixem-me mostrar o que isso significa.
Portanto, digamos que temos alguns vetores, v1, v2, e assim
por diante até vn.
E eles pertencem todos, vocês sabem, pode ser a R2 ou Rn.
Digamos que eles pertencem todos a Rn.
Eles pertencem a alguma dimensão do espaço real, suponho que
podemos chamar assim, mas a ideia é bastante simples.
Uma combinação linear destes vetores significa adicionarmos
estes vetores.
É uma combinação de soma de vetores, portanto v1 mais v2
mais assim por diante até vn, mas temos de multiplicá-los
por constantes arbitrárias.

Bulgarian: 
 
Един термин, който ще чуваш често
в тези видео клипове
и в линейната алгебра като цяло,
е понятието линейна комбинация на вектори.
Линейната комбинация на вектори е просто –
тя е просто линейна комбинация.
Нека ти покажа какво
означава това.
Нека имаме няколко вектора:
v1, v2
и така чак до vn.
И всички те са в, знаеш,
могат да са в R2 или в Rn.
Да кажем, че всички
са в Rn-мерно пространство.
Те са в някакво измерение на реалното 
пространство, ако мога да кажа така,
но идеята е много проста.
Линейната комбинация на тези
вектори означава, че просто
събираш векторите.
Това е някаква комбинация на сумата 
от векторите, значи v1 плюс v2,
плюс, и така нататък, чак
до vn, като ги умножаваме
по произволни константи.

Thai: 
-
คำหนึ่งที่คุณจะได้ยินบ่อยๆ ในวิดีโอพวกนี้, และ
ในวิชาพีชคณิตเช้งเส้นโดยทั่วไป, คือแนวคิดเรื่อง
ผลรวมเชิงเส้น (linear combination)
-
และผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ก็คคือ, มันก็แค่
ผลรวมเชิงเส้นอย่างนั้น
ขอผมแสดงให้ดูว่ามันหมายถึงอะไร
สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์หลายๆ ตัว, v1, v2, ไป
จนถึง vn
แล้วพวกมันอยู่ใน, คุณก็รู้, มันอยู่ใน R2 หรือ Rn ก็ได้
สมมุติว่าพวกมันอยู่ใน Rn
พวกมันอยู่ในสเปซจำนวนจริงที่มีมิติค่าหนึ่ง,คุณจะบอก
อย่างนั้นก็ได้, แต่แนวคิดมันง่ายทีเดียว
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พวกนี้ หมายความว่า คุณสามารถ
บวกเวกเตอร์เข้าด้วย
คือผลบวกของเวเตอรื, คือ v1 บวก v2
บวกไปจนถึง vn, แล้วคุณสามารถย่อขยายมัน
ด้วยค่าคงที่ตามใจ

Arabic: 
-
ستسمع كثيرا عبارة ما في هذه الفيديوهات
وفي الرياضيات الخطية في العموم
هي الفكرة في التجميع الخطي.
-
وكل التجميع الخطي للمتجهات
هي فقط تجميع خطي.
دعوني أريكم ما يعني هذا.
لنقل ان لدي متجهين اثنين
v2 , v1
ويذهبا على طول الطريق الى Vn
وهم جميعا , تعلمون
يمكن ان يكون في R2 أو Rn
لنقل انهم جميعا في Rn
انهم في بُعدٍ ما في فراغ حقيقي
اظن انكم تستطيعون تذكرها
ولكن الفكرة سهلة جدا.
تجميع خطي لهذه المتجهات
يعني انك
فقط تضيف المتجهات
انها تجميع لمجموع المتجهات
اذاً V1 زائد V2
زائد الى آخر الطريق الى Vn
ولكنك تساويها بثابت معين

Japanese: 
線型代数学で
よく聞かれる言葉は
線型結合です。
線型結合です。
線型結合とは、
ベクトルの線型結合は、
単なる線型での組み合わせです。
例をみましょう。
いくつかのベクトル、
例えば、v１、v２、v３、．．．vnです。
これらは、R２またはRnでもいいです。
仮に、すべてRnとしましょう。
いくつかの次元を持っています。
いいですか？
これらのベクトルの線型結合とは、
これらのベクトルの加算です。
ベクトルの加算で、
v１＋v２＋．．．．vnで、
それぞれにスカラー値が掛けられています。

German: 
Einen Ausdruck, den ihr in diesen Videos häufig hören werdet
und in Linearer Algebra im allgemeinen ist die Idee einer
linearen Kombination
Eine Lineare Kombination von Vektoren ist genau das, eine
lineare Kombination
Ich möchte euch zeigen was das bedeutet ?
Gehen wir von einer Menge von Vektoren v1 und v2
bis vn aus.
Sie sind alle in R^2 oder R^n.
Sagen wir sie sind in R^n
Sagen wir, sie sind Teil des realen Raumes
könnte man sage, das ist aber nur eine Vereinfachung.
Eine Linearkombination dieser Vektoren bedeutet, dass ihr die
Vektoren addieren könnt.
Es ist eine beliebige Zusammensetzung von Summationen der Vektoren
, also V1 + V2 + ....
bis Vn, aber sie werden dabei
durch beliebige Konstanten skaliert.

Spanish: 
Un término muy usado en estos videos, y
en álgebra generalmente,
es combinación lineal.
Y todo lo que una combinación lineal de vectors es, es solo una
combinación lineal.
Dejenme demostrarles lo que eso significa.
Digamos que tengo algunos vectors, v1, v2, hasta
llegar a Vn.
Y todos estan, ya saben, possiblemente en R2 o Rn.
Digamos que todos estan in Rn.
Estan en lo que se puede llamar, alguna dimension de espacio real,
pero la idea es bastante simple.
Una combinación lineal de estos vectors significa sumar
los vectors.
Es una combinación de la suma de los vectors, o sea, v1 mas v2
mas todos los demas vectors hasta vn, pero se escalan
por constantes arbitrarios.

Korean: 
여러분이 앞으로 수많은 강의에서
여러 번 듣게 될 용어는
여러분이 앞으로 수많은 강의에서
여러 번 듣게 될 용어는
선형대수학 전반적으로 등장하는
선형결합입니다
선형결합입니다
벡터의 선형결합이라는 것은
말 그대로 선형결합인데
무슨 말인지 설명하겠습니다
여러 벡터가 있다고 합시다
v1, v2, ... , vn과 같이 말이죠
모두 R²상의 벡터일 수도 있고
Rⁿ상의 벡터일 수도 있습니다
Rⁿ상의 벡터라고 해보죠
이 벡터들은 특정한 차원의
실수공간 위에 있어요
하지만 그 개념은 꽤 단순합니다
이 벡터들의 선형결합이라는 건
단순히 다 더하라는 거예요
이건 벡터들의 합의 결합이므로
v1 + v2 + ... + vn까지 더하는데
임의의 상수배를 합니다

English: 
One term you are going to hear
a lot of in these videos, and
in linear algebra in general,
is the idea of a linear
combination.
And all a linear combination of
vectors are, they're just a
linear combination.
Let me show you what
that means.
So let's say I have a couple
of vectors, v1, v2, and it
goes all the way to vn.
And they're all in, you know,
it can be in R2 or Rn.
Let's say that they're
all in Rn.
They're in some dimension of
real space, I guess you could
call it, but the idea
is fairly simple.
A linear combination of these
vectors means you just add up
the vectors.
It's some combination of a sum
of the vectors, so v1 plus v2
plus all the way to vn,
but you scale them
by arbitrary constants.

Turkish: 
.
Kombinasyon bu videolarda ve genel olarak cebir konusunda sıkça rastlayacağımız bir terimdir.
.
.
.
Ve tüm
.
Bunun ne demek olduğunu size göstereyim.
Diyelim ki bir kaç tane vektörümüz var. Bu v1 ve v2, vektörleri vn'e kadar gidiyor.
.
Bu vektörlerin bildiğiniz gibi R2 veya Rn içinde olabilir.
Diyelim ki hepsi Rn'nin içinde.
Bunlar tabi real boşluğun bir boyutunda olduğu söylenebilir ancak, aslında çok basit .
.
Bu vektörlerin kombinasyon, vektörlerin toplamına eşittir.
.
Bu bazı kombinasyonların toplamıdır. Bu yüzden v1, v,2 ve vn kadar herşeyi toplarız ve sonra onları arbitrary sabitiyle ölçekleriz.
.
.

Chinese: 
在這個影片和一般線性代數課程中
你會經常聽到的一個術語是
線性組合的概念
向量的線性組合是……
它們就是一個線性組合
我告訴大家它是什麽意思
比如說有一些向量v1 v2
一直到vn
它們都在同一個空間中
可以是R2或者Rn
假設它們都在Rn中
它們在某個維度的實空間中
大家應該知道的
概念相當簡單
這些向量的線性組合
就是將向量加和
它是向量的和的一個組合
v1加v2 一直加到vn
可以將每一項乘以任意的常數

Chinese: 
在这个视频和一般线性代数课程中
你会经常听到的一个术语是
线性组合的概念
向量的线性组合是……
它们就是一个线性组合
我告诉大家它是什么意思
比如说有一些向量v1 v2
一直到vn
它们都在同一个空间中
可以是R2或者Rn
假设它们都在Rn中
它们在某个维度的实空间中
大家应该知道的
概念相当简单
这些向量的线性组合
就是将向量加和
它是向量的和的一个组合
v1加v2 一直加到vn
可以将每一项乘以任意的常数

Estonian: 
Üks termin, mida sa kuuled selles videos väga palju ja üldse
lineaar algebras üldiselt, on idee lineaar
kombinatsioonist.
Lineaarne kombinatsioon vektoritest on, need on
lineaarsed kombinatsioonid.
Las ma näitan sulle, mida see tähendab.
Ütleme, et mul on mõni vektor, v1, v2 ja see läheb
kuni vn välja.
Ja need kõik, tead, see võib olla R2s või Rn's.
Ütleme, et need on kõik Rn's
Need on mingis reaalarvu dimensioonis, ma usun et nii võib
seda kutsuda, aga idee on üpris lihtne.
Lineaar kombinatsioon nendest vektoritest tähendab, et sa lihtsalt liidad
need vektorid.
See on mingi kombinatsioon vektorite summast, seega v1 pluss v2
pluss kõik vektorid kuni vn, aga sa skaleerid need
mingite suvaliste konstantidega.

Turkish: 
Kombinasyon denilen şey budur şey budur.
Şimdi size daha kombinasyonun daha somut bir örnek göstereyim.
.
Vektörümüz bu olsun

Estonian: 
Seega sa skaleerid need näitaks c1, c2 kuni cn välja, kus
kõik arvud c1'st kuni cn on elemendid
reaalarvude hulgas.
See ongi lineaar kombinatsioon.
Las ma toon konkreetse näite lineaar
kombinatsioonist.
Las ma teen vektori.
Las ma defineerin vektori a, mis on võrdne -- ja need on kõik
paksult kirjas.
Need lillad, need on kõik paksult kirjas, sellepärast et need on
vektorid, aga vahel on üpris koormav neid
pidevalt paksult kirja panna.
Ütleme, et ma defineerin vektori a, mis on võrdne 1, 2.
Ja ma defineerin vektori b, mis on võrdne 0, 3.
Mis on lineaar kombinatsioon a'st ja b'st?
See võib olla suvaline konstant korda a pluss suvaline
konstant korda b.
See võib olla 0 korda a pluss-- see, võib olla 0
korda a plus 0 korda b, mis otseloomulikult, oleks mis?
See oleks 0 korda 0, too oleks 0 korda 0.

Arabic: 
اذاً, تقوم بجعل مقاديرهم
C2, C1, الى آخر Cn
كل شيء من C1 الى Cn
هم عبارة عن عضو من الارقام الحقيقية.
هذا كل ماهنالك بالنسبة الى التجميع الخطي.
دعوني أريكم مثالا ملموسا
للتجميع الخطي
دعوني اعمل المتجه
دعني أعرّف المتجه على انه يساوي
وكل هذا بالخط الغامق.
هذا البنفسجي, هذه كلها بالغامق
فقط لانهم متجهات
لكنه من المتعب
ان تجعل كل شيء بالغامق
اذاً, لنقل انني عرّفت المتجه a
على ان يساوي 2,1
وانني اعرف المتجه b
على ان يساوي 3,0.
ما هو التجميع الخطي لـ a و b ؟
حسناً, قد يكون اي ثابت ضرب a زائد
أي ثابت ضرب b.
اذاَ قد تكون 0 ضرب a زائد-- حسنا, قد تكون 0
ضرب a زائد 0 ضرب b
وهو بالطبع سيساوي , ماذا؟
سيكون : صفر ضرب صفر
ستكون 0,0

Bulgarian: 
Умножаваме ги по с1, с2,
и така чак до сn,
като всички числа
от с1 до сn принадлежат
на множеството на 
реалните числа.
Ето това е линейна комбинация.
Нека ти покажа конкретни
примери на линейни комбинации.
Ще начертая един вектор.
Ще дефинирам вектора като...
и всички символи са удебелени.
(у нас означаваме вектор със стрелка отгоре)
Тези цикламени символи са удебелени,
защото с тях означаваме вектори,
но понякога е малко трудно 
нещата да се удебеляват постоянно.
Нека векторът да е дефиниран
като равен на [1; 2].
И дефинирам друг вектор b,
който е равен на [0; 3].
Каква е линейната комбинация 
на векторите a и b?
Тя е равна на всяка константа по а
плюс всяка константа по b.
Може да е 0 по а плюс...
плюс 0 по b, и 
колко ще е това?
Това ще е 0 по 0, това 
ще е 0, значи [0; 0].

Spanish: 
Entonces lo escala por c1, c2, hasta llegar a cn, y
todos desde c1 a cn son
miembros del grupo de los numeros reales.
Eso es todo lo que una combinación lineal es.
Les mostrare un ejemplo concreto de
combinación lineal.

Chinese: 
可以分別乘以c1 c2 直到cn
從c1到cn
都是實數
這就是所謂的線性組合
我給大家舉一個
具體的線性組合的例子
取一些向量
定義向量a等於――
這些都是粗體的
這些紫色的都是粗體
因爲它們都是向量
有時加粗字體是一項很繁瑣的工作
比如說
定義向量a=[1,2]
定義向量b=[0,3]
那麽a與b的線性組合是什麽呢？
就是任意常數乘以a
加上任意常數乘以b
它可以是0乘以a 加上――
可以是0a+0b
結果是多少？
兩項都是0
結果是0向量

Portuguese: 
Portanto, multiplicamos os vetores por c1, c2, e assim por diante até cn, onde
tudo, de c1 até cn, são todos
elementos dos números reais.
Isto é tudo o que uma combinação linear é.
Deixem-me mostrar um exemplo concreto de
combinações lineares.
Deixem-me tomar o vetor...
Deixe-me definir o vetor a ser igual a - e estes são
todos em negrito.
Em roxo, estes são todos em negrito, porque aqueles são
vetores, mas às vezes é oneroso manter
as coisas em negrito.
Então vamos dizer que eu defino o vetor a sendo igual a 1, 2...
...e defino o vetor b sendo igual a 0, 3.
O que é a combinação linear de a e b?
Bem, poderia ser qualquer constante vezes a mais qualquer
constante vezes b.
Assim que poderia ser 0 vezes a mais - bem, poderia ser 0
vezes a mais 0 vezes b, que, evidentemente, seria o quê?
Isso seria 0 vezes 0, que seria 0, 0.

English: 
So you scale them by c1, c2,
all the way to cn, where
everything from c1
to cn are all a
member of the real numbers.
That's all a linear
combination is.
Let me show you a concrete
example of linear
combinations.
Let me make the vector.
Let me define the vector a to
be equal to-- and these are
all bolded.
These purple, these are all
bolded, just because those are
vectors, but sometimes it's
kind of onerous to keep
bolding things.
So let's just say I define the
vector a to be equal to 1, 2.
And I define the vector
b to be equal to 0, 3.
What is the linear combination
of a and b?
Well, it could be any constant
times a plus any
constant times b.
So it could be 0 times a plus--
well, it could be 0
times a plus 0 times b, which,
of course, would be what?
That would be 0 times 0,
that would be 0, 0.

Chinese: 
可以分别乘以c1 c2 直到cn
从c1到cn
都是实数
这就是所谓的线性组合
我给大家举一个
具体的线性组合的例子
取一些向量
定义向量a等于――
这些都是粗体的
这些紫色的都是粗体
因为它们都是向量
有时加粗字体是一项很繁琐的工作
比如说
定义向量a=[1,2]
定义向量b=[0,3]
那么a与b的线性组合是什么呢？
就是任意常数乘以a
加上任意常数乘以b
它可以是0乘以a 加上――
可以是0a+0b
结果是多少？
两项都是0
结果是0向量

Thai: 
คุณก็ย่อขยายมันด้วย c1, c2, ไปจนถึง cn, โดย
ทุกอย่างจาก c1 ถึง cn เป็น
สมาชิกของจำนวนจริงทั้งหมด
นั่นคือผลรวมเชิงเส้น
ขอผมยกตัวอย่างผลรวมเชิงเส้น
ที่ชัดเจนให้ดู
ขอผมเขียนเวกเตอร์
ขอผมนิยามเวกเตอร์ a เท่ากับ -- พวกนี้
เป็นตัวหนาหมดนะ
สีม่วงนี้, พวกนี้เป็นตัวหนา, เพราะพวกนี้
คือเวกตอร์, แต่บางครั้งมันเหนื่อยเวลาต้องคอย
ทำตัวหนานะ
งั้นสมมุติว่าผมกำหนดเวกเตอร์ a เท่ากับ 1, 2
และผมนิยามเวกเตอร์ b เท่ากับ 0, 3
แล้วผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b เป็นเท่าไหร่?
ทีนี้, มันเป็นค่าคงที่ใดๆ คูณ a บวก
ค่าคงใดๆ คูณ b
มันก็คือ 0 คูณ a บวก -- ทีนี้, มันคือ 0
คูณ a บวก 0 คูณ b, ซึ่งแน่นอนได้อะไร?
มันก็คือ 0 คูณ 0 นั่นก็คือ 0, 0

Japanese: 
スカラー値をc１、c２、c３．．cnとします。
これらのスカラー値は
すべて実数です。
これが、線型結合です。
では、線型結合の具体的な例を
みてみましょう。
ベクトルを定義します。
では、ベクトルは
太字で、
この紫の文字も
ベクトルを示すので、
太字です。
では、最初のベクトルを（１、２）とします。
次に、bのベクトルを（０、３）とすると、
a とbのベクトルの線型結合は何ですか？
a とbのベクトルは、
何かのスカラー値で掛けられているとしましょう。
０で掛けられていることも
可能です。
この場合は、０と０で

Korean: 
c1, c2, ... , cn로 상수배를 하는 것이죠
여기서 c1에서 cn까지는 모두
실수입니다
이것이 선형결합의 전부입니다
선형결합의 구체적인 예시를
보여드리죠
벡터 하나를 만들어 볼까요
벡터 a를 정의해봅시다
굵은 글씨로 하죠
여기 보라색 굵은 글씨의
벡터들이 있습니다
하지만 사실 매번 굵은 글씨로
쓰는 건 좀 귀찮아요
하지만 사실 매번 굵은 글씨로
쓰는 건 좀 귀찮아요
우선 a = (1, 2)라고 하겠습니다
b = (0, 3)라고 하고요
그러면 a와 b의 선형결합은 무엇일까요?
아마 a의 상수배 더하기
b의 상수배가 될거에요
따라서 0a + 0b가 될 수도 있어요
값은 당연히 뭐죠?
0 + 0 = 0이니까
(0, 0)이 되겠죠

German: 
Alle Werte c1 bis cn sind
Elemente der Realen Zahlen.
Das ist es was eine lineare Kombination ist.
Lasst mich euch ein Beispiel geben
einer Linearekombination geben
Ich erzeuge jetzt einen Beispielvektor.
Ich definiere den Vektor a nun mit den Werten,
... und ... Vektoren werden fett notiert.
Diese Violetten, werden fett geschrieben, nur
um zu zeigen, dass es Vektoren sind.
(Das ist teilweise etwas lästig
diese Beschriftung)
Sagen wir also, Ich definiere den Vektor a.
Er hat den Wert 1, 2.
Den Vektor b setze ich auf die Werte 0 und 3.
Was ist die Linearkombination von a und b ?
Nun gut, es könnte irgendeine Konstante multipliziert mit a +
eine Konstante b sein.
Also, Null mal a also Null sein
plus Null mal b, was wiederum, was wäre ?
Das wäre Null mal Null - also Null, Null.

Portuguese: 
Isto seria o vetor 0, mas isto é uma completamente válida
combinação linear.
E nós poderíamos denotar o vetor 0 por apenas um
grande 0 a negrito assim.
Eu poderia fazer 3 vezes a.
Apenas estou escolhendo estes números ao acaso.
3 vezes a ... mais - deixe-me escolher um número negativo apenas por diversão.
Então eu vou fazer mais, menos 2 vezes b.
O que é que isto dá?
Vamos descobrir!
Deixe-me escrevê-lo.
É 3 menos 2 vezes 0, logo menos 0, e
3 vezes 2 é 6.
6 menos 2 vezes 3, assim menos 6, portanto, é o vetor 3, 0.
Isto é uma combinação linear de a e b.
Eu pode continuar colocando um monte de números reais aleatórios aqui
e aqui, obtenho um monte de diferentes
combinações lineares dos meus vetores a e b.

Bulgarian: 
Това ще е нулев вектор, но това
е напълно валидна
линейна комбинация.
Можем да означим нулевия
вектор просто с една
голяма удебелена нула, 
ето така.
Може да взема 3 по а.
Избирам случайни числа.
3 по а плюс... и ще взема отрицателно 
число, просто за разнообразие.
Ще го направя плюс
–2 по b.
На колко е равно това?
Да видим.
Ще го запиша.
Това е 3 минус 2 по 0,
значи минус 0,
а 3 по 2 е 6.
6 минус 2 по 3, което е –6,
получаваме вектор [3; 0].
Това е линейната комбинация
на векторите а и b.
Мога да продължа да избирам
случайни реални числа тук и тук,
и ще получа различни
линейни комбинации
от моите вектори а и b.

English: 
That would be the 0 vector, but
this is a completely valid
linear combination.
And we can denote the
0 vector by just a
big bold 0 like that.
I could do 3 times a.
I'm just picking these
numbers at random.
3 times a plus-- let me do a
negative number just for fun.
So I'm going to do plus
minus 2 times b.
What is that equal to?
Let's figure it out.
Let me write it out.
It's 3 minus 2 times 0,
so minus 0, and it's
3 times 2 is 6.
6 minus 2 times 3, so minus 6,
so it's the vector 3, 0.
This is a linear combination
of a and b.
I can keep putting in a bunch
of random real numbers here
and here, and I'll just get a
bunch of different linear
combinations of my
vectors a and b.

Korean: 
즉, 영벡터 또한 선형결합입니다
즉, 영벡터 또한 선형결합입니다
0을 굵은 글씨로 써서
영벡터를 나타내죠
0을 굵은 글씨로 써서
영벡터를 나타내죠
0을 굵은 글씨로 써서
영벡터를 나타내죠
3a일 수도 있어요
무작위로 수를 고르는 중입니다
3a 에다가
그냥 재미로 음수로 해보죠
-2b를 더할게요
어떻게 되죠?
계산해 봅시다
써볼게요
3 - 2 × 0
즉 3 - 0 이고
3 × 2 = 6입니다
6 - 2 × 3, 즉 - 6 이므로
벡터 (3, 0)가 나오네요
이 또한 a와 b의 선형결합입니다
임의의 실수를 집어넣으면
a와 b의 또 다른 선형결합을
계속해서 얻을 수 있겠죠

Arabic: 
هذا سيكون المتجه 0
ولكن هذا تماما
تجميع خطي ممكن.

Estonian: 
See oleks 0 vektor, aga see on täiesti õige
lineaar kombinatsioon.
Ja me võime tähistada 0 vektori lihtsalt
suure paksu nulliga, sel viisil.
Ma võin teha 3 korda a.
Ma võtan need arvud täiesti suvaliselt.
3 korda a pluss-- las ma võtan mingi negatiivse arvu, lihtsalt lõbu pärast.
Seega ma teen pluss miinus 2 korda b.
Millega see võrdne on?
Mõtleme selle välja.
Las ma kirjutan selle üles.
See on 3 miinus 2 korda 0, seega miinus 0, ja see on
3 korda 2, mis on 6.
6 miinus 2 korda 3, seega miinus 6, seega see on vektor 3, 0.
See on lineaar kombinatsioon a'st ja b'st.
Ma võin panna suvalisi reaalarve siia ja
siia, ja ma saan lihtsalt hulga erinevaid lineaar
kombinatsioone minu vektoritest a ja b.

Chinese: 
但這是一個有效的線性組合
我們可以用一個粗體的0
表示0向量
可以用3乘以a
常數是隨機選的
3a加上――
我選一個負數
加上-2b
這等於什麽？
我算一下
還是寫出來吧
它等於3-20 就是3-0
在下面 32等於6
6-23就是6-6
從而結果是向量[3,0]
這就是a和b的線性組合
我可以取
許多隨機的實數
從而得到
許多不同的a和b的線性組合

Thai: 
นั่นก็คือเวกเตอร์ 0, แต่นี่เป็นผลรวมเชิงเส้น
ที่ใช้ได้
และเราเขียนเวกเตอร์ 0 ด้วย
0 ตัวหนาใหญ่ๆ แบบนั้น
-
ผมทำ 3 คูณ a ได้
ผมเลือกเลขพวกนี้อย่างสุ่ม
3 คูณ a บวก -- ขอผมเลือกจำนวนลบเพื่อความสนุกนะ
ผมจะบวก ลบ 2 คูณ b
แล้วนั่นเท่ากับอะไร?
ลองหามันออกมากัน
ขอผมเขียนมันออกมานะ
มันคือ 3 ลบ 2 คูณ 0, ได้ ลบ 0, และมัน
คือ 3 คูณ 2 ได้ 6
6 ลบ 2 คูณ 3, ได้ ลบ 6, มันก็คือเวกเตอร์ 3, 0
นี่ก็คือผลรวมเชิงเส้นตัวหนึ่งของ a กับ b
ผมสามารถสุ่มจำนวนจริงขึ้นมาตรงนี้
กับตรงนี้, แล้วผมก็หาผลรวมเชิงเส้นของ
เวกเตอร์ a กับ b ต่างๆ กันได้

German: 
Das wäre der Nullvektor und auch eine gültige
Linearekombination.
Wir kennzeichnen den Nullvektor durch eine
große fette 0.
Ich könnte auch 3 mal a rechnen.
Ich wähle nur zufällig irgendwelche Zahlen aus.
Dreimal a plus - Ich nehme zum Spaß mal eine negative Nummer.
Also addiere ich minus zweimal b
Was ist das ?
Lasst es uns herausfinden
und aufschreiben
Es ist 3 minus 2 mal 0, also minus 0, und
3 mal 2 ist ...
6 minus 2 mal 3, also minus 6
Das ist die Linearkombination von den Vektoren a und b.
Ich kann eine Gruppe von zufälligen realen Zahlen hier und
hier einsetzen, und ich werde eine unterschiedliche Anzahl an verschiedenen linearen
Kombination meiner Vektoren a und b bekommen.

Japanese: 
これは、０になります。
これは有効な答えです。
０のベクトルを
このように太字の０で表記できます。
いいですか？
３＊a のベクトルと、
他の任意の値、
たとえば、負数でも可能で、
−２＊bのベクトルとしましょう。
これは何になりますか？
やってみましょう。
書きます。
３−２＊０は、３−０です。
３＊２＝６で、
６−２＊３は、６−６で、０です。答えは、（３．０）です。
これは、a とbのベクトルの線型結合です。
このように任意の値を選び続けることができ、
多くのa とbのベクトルの線型結合が
得られます。

Chinese: 
但这是一个有效的线性组合
我们可以用一个粗体的0
表示0向量
可以用3乘以a
常数是随机选的
3*a加上――
我选一个负数
加上-2*b
这等于什么？
我算一下
还是写出来吧
它等于3-2*0 就是3-0
在下面 3*2等于6
6-2*3就是6-6
从而结果是向量[3,0]
这就是a和b的线性组合
我可以取
许多随机的实数
从而得到
许多不同的a和b的线性组合

Estonian: 
Kui mul oleks siin kolmas vektor, kui mul oleks vektor c, ja võibolla
see oleks, näiteks 7, 2, siis ma võin selle lisada
neile ning ma võin teha pluss 8 korda vektor c.
Need on kõik lineaar kombinatsioonid.
Miks me kutsume neid kombinatsioonideks?
Miks me peame neile lisama lineaar eesliite?
Sest me lihtsalt skaleerime neid.
Me ei korruta neid vektoreid omavahel läbi.
Me ei ole isegi defineerinud, mida tähendab korrutada vektoreid omavahel ja
selle tegemiseks on tegelikult mitu erinevat viisi.
Aga me ei saa vektorit ruutu võtta, ja me ei ole isegi
defineerinud mida see tähendab veel, aga mingil kujul teeks see selle
järsku mittelineaarseks.
Niiet kõik mis me teeme on, me liidame vektoreid ja me
lihtsalt skaleerime neid mingi skalaar faktoriga, sellepärast
kutsutakse seda lineaar kombinatsiooniks.
Nüüd sa võid öelda, hey Sal, miks sa üldse selgitad seda
ideed lineaar kombinatsioonist?
Sest ma tahan tutvustada ideed, ja see on idee, mis
ajab paljud õpilased segadusse kui seda esimest korda õpetati.

Chinese: 
如果还有第三个向量c
假设为[7,2]
我也可以将它加进去
可以再加上8*c
这些都是线性组合
那么我们为什么称它们为“组合”呢？
为什么还有加上“线性”这个前缀？
因为我们将它们按比例放大
我们不是用向量相互做乘法
我们还没有定义
向量乘法是什么
事实上有多种做法
但是 我们不能对向量做平方
我们还没有定义这是什么意思
上述做法都会使结果
变为非线性的形式
我们所做的仅仅是将向量加和
然后乘以一些系数对其按比例进行放大
这就是它叫做线性组合的原因
现在你可能会说
为什么要引入
线性组合的概念
因为我需要用到这个概念
许多学生初次接触这个概念时
都感到混乱

Portuguese: 
Se eu tivesse um terceiro vetor aqui, se eu tivesse o vetor c, por exemplo
7, 2, então eu poderia acrescentá-lo à
mistura e eu poderia adicionar 8 vezes vetor c.
Todas estas são combinações lineares.
Agora por que chamamos-lhes combinações?
Por que temos que adicionar este pequeno prefixo "linear" aqui?
Porque nós estamos apenas a multiplicar por um escalar.
Nós não estamos multiplicando os vetores uns com os outros.
Ainda nem definimos o que significa multiplicar um vector,
e há realmente várias maneiras de fazê-lo.
Mas, você sabe, nós não podemos elevar um vetor ao quadrado, e ainda não
definimos o que isto significa, mas isso seria de repente
torná-lo não-linear de alguma forma.
Portanto, tudo o que estamos fazendo é adicionando os vetores, e nós estamos
apenas reforçando-os com algum fator de escala, portanto é por isso que
é chamado uma combinação linear.
Agora você pode dizer: ei Sal, por que você está apresentando...
...essa idéia de uma combinação linear?
Porque eu quero introduzir a idéia, e esta é uma idéia
que confunde a maioria dos estudantes quando ela é ensinada pela primeira vez.

Thai: 
ถ้าผมมีเวกเตอรืตัวที่สามตรงนี้, ถ้าผมมีเวกเตอร์ c, และ
บางทีมันก็แค่, คุณก็รู้, 7, 2, แล้วผมก็ใส่มัน
ผสมลงไป, ผมโยน บวก 8 คูณ c เข้าไป
พวกนี้ก็เป็นผลรวมเชิงเส้นเหมือนกัน
แล้วทำไมเราถึงเรียกมันผลรวม?
แล้วทำไมคุณต้องใส่คำว่า เชิงเส้น ลงไปด้วย?
เพราะเราแค่ย่อขยายพวกมัน
เราไม่ได้เอาเวกเตอร์มาคูณกัน
เรายังไม่ได้นิยามว่าการคูณเวกเตอร์คือะไร
แต่มันมีวิธีคูณได้หลายวิธี
แต่, คุณก็รู้, เราไม่สามารถยกกำลังสองเวกเตอร์ได้, แม้แต่
จะนิยามว่ามันคืออะไรยังไม่ได้, แต่มันจะทำให้
มันเป็นไม่เชิงเส้น
ดังนั้น ที่เราทำก็แค่ เราบวกเวกเตอร์ และเราย่อ
ขยายพวกมันคือตัวประกอบย่อขยาย, นั่นคือสาเหตุที่
มันเรียกว่าผลรวมเชิงเส้น
ตอนนี้คุณอาจบอกว่า, เฮ้ ซาล, ทำไมคุณต้องพูดถึง
เรื่องผลรวมเชิงเส้นด้วย?
เพราผมอยากแนะนำแนวคิดหนึ่ง, และนี่คือแนวคิด
ที่ทำให้นักเรียนส่วนใหญ่สับสนเวลาเจอเป็นครั้งแรก

Bulgarian: 
Ако тук имам трети вектор, ако
имам вектор с, и ако евентуално
той е, например, [7; 2], тогава
мога да го добавя към комбинацията
и да прибавя тук 8 по вектор с.
Всички тези представляват
линейни комбинации.
И защо не ги наричаме
просто комбинации?
Защо трябва да слагаме това
линейни отпред?
Защото просто ги умножаваме
по някакво число.
Ние не умножаваме самите
вектори един по друг.
Ние дори не сме дефинирали
какво е умножение на вектори,
като то може да стане
по няколко начина.
Ние не можем да повдигаме
един вектор на квадрат, даже
още не сме дефинирали какво е това,
но това ще го направи
нелинеен по някакъв начин.
Така че всичко, което правим, е
да събираме вектори, и ние
просто ги умножаваме по
някакво число, ето защо
това се нарича линейна
комбинация.
Може да кажеш: "Хей, Сал, защо
изобщо ме занимаваш
с тази линейна комбинация?"
Защото искам да те запозная с идеята,
и това е нещо, което
обърква повечето ученици, когато 
го учат за пръв път.

German: 
Falls ich hier einen dritten Vektor hätte,
Vektor c zum Beispiel, und vielleicht
hätte er die Werte 7 und 2,
dann könnte ich ihn dazu addieren und
ich könnte 8 mal c hin zu fügen.
Das alles sind nur Linearkombinationen.
Warum nennen wir sie so ?
Warum wird also diese Vorsilbe benutzt ?
Weil wir sie nur mit einem konstanten Faktor multiplizieren.
Wir multiplizieren die Vektoren nicht miteinander.
Wir haben bis jetzt noch nicht einmal geklärt, was das bedeutet,
und es gibt verschiedene Wege dies zu tun.
Aber, wir können sie noch nicht quadrieren, und wir haben
auch bis jetzt noch nicht
definiert was das bedeutet, aber
das würde es auf die eine oder andere Art nicht linear machen.
Also, bis jetzt addieren wir nur Vektoren, und wir
skalieren sie mit einem konstanten Faktor, deswegen
nennt man es eine Linearkombination.
Ich fragt euch jetzt sicherlich, aber Sal, warum
stellst du diese
Idee der linearen Kombination vor ?
Weil Ich eine Einführung in die Idee dahinter geben will, die
beim ersten Lernen von vielen Schülern verwechselt wird.

English: 
If I had a third vector here,
if I had vector c, and maybe
that was just, you know, 7, 2,
then I could add that to the
mix and I could throw in
plus 8 times vector c.
These are all just linear
combinations.
Now why do we just call
them combinations?
Why do you have to add that
little linear prefix there?
Because we're just
scaling them up.
We're not multiplying the
vectors times each other.
We haven't even defined what it
means to multiply a vector,
and there's actually several
ways to do it.
But, you know, we can't square
a vector, and we haven't even
defined what this means yet, but
this would all of a sudden
make it nonlinear
in some form.
So all we're doing is we're
adding the vectors, and we're
just scaling them up by some
scaling factor, so that's why
it's called a linear
combination.
Now you might say, hey Sal, why
are you even introducing
this idea of a linear
combination?
Because I want to introduce the
idea, and this is an idea
that confounds most students
when it's first taught.

Japanese: 
３つのベクトルcがあり
cを（７、２）として、
８＊cを加えることができます。
これらは、すべて線型結合です。
なぜ、線型結合と呼ぶのでしょう？
なぜ、単に結合と呼ばず、線型結合というのでしょう？
それは、ここで、スカラー値を使用しているからです。
ベクトル同士を掛けているのではありません。
ベクトルのかけ算は、いくつかの方法でできますが
まだ習っていません。
ベクトルの2乗とかは
まだ習っていず、
それは、非線型になります。
ここでは、ベクトルの加算を行っていて、
それらのベクトルには、スカラー値が掛けられます。
それで、線型結合と呼びます。
では、なぜ、
線型結合の概念を習うのでしょう？
この概念を
しっかりつかんでおくことが大切です。

Korean: 
만약에 세 번째 벡터
c = (7, 2)가 있다고 하면
기존 결합에 추가하여
8c를 더할 수도 있죠
이것도 다 선형결합입니다
근데 왜 그냥 결합이라고 안 부르나요?
선형이라는 말이 앞에
왜 꼭 붙어야 하죠?
여기서 상수배를 하고 있기 때문입니다
벡터끼리 곱하고 있는 게 아닙니다
벡터의 곱셈은 정의도 안 했고요
곱하는 몇 가지 방법이 있긴 하지만요
어쨌든 벡터를 제곱할 수도 없고
그게 무슨 말인지도 아직 모릅니다
하지만 어떤 결합에 대해서는
제곱하면 선형이 아니게 됩니다
결국 지금 하는 건
벡터를 다 더하는 거고
임의의 수로 상수배만 하는 것입니다
그래서 선형결합이라고 부릅니다
이쯤에서 여러분이
선형결합을 왜 설명하냐고 
물을 수 있어요
이 개념을 소개하는 이유는
학생들이 처음 배울 때
많이 헷갈려 하는 개념이기 때문이에요

Chinese: 
如果還有第三個向量c
假設爲[7,2]
我也可以將它加進去
可以再加上8c
這些都是線性組合
那麽我們爲什麽稱它們爲“組合”呢？
爲什麽還有加上“線性”這個字首？
因爲我們將它們按比例放大
我們不是用向量相互做乘法
我們還沒有定義
向量乘法是什麽
事實上有多種做法
但是 我們不能對向量做平方
我們還沒有定義這是什麽意思
上述做法都會使結果
變爲非線性的形式
我們所做的僅僅是將向量加和
然後乘以一些係數對其按比例進行放大
這就是它叫做線性組合的原因
現在你可能會說
爲什麽要引入
線性組合的概念
因爲我需要用到這個概念
許多學生初次接觸這個概念時
都感到混亂

German: 
Ich denke es liegt in der Natur der Sache das es unterrichtet wird.
Hier drüben, habe ich verschieden Zahlen für die
Gewichtung, wie man es nennen könnte, eingesetzt.
Für c1 und c2, als
Kombination von a und b, verstanden ?
Lasst c erstmal weg.
Ich habe hier nur eine Anzahl verschiedener Zahlen eingesetzt.
Es stellt sich aber immer noch die Frage,
Was ist die Menge
aller Vektoren, die ich erzeugt habe ?
Und dies ist nur ein Element der Menge.
Aber was wäre die Menge aller Vektoren, die ich durch
die Linearkombination von a und b erzeugen könnte ?
Lasst mich also a und b zeichnen.
Vielleicht können wir sie uns vorstellen und dann vielleicht
mathematisch beschreiben.
Angenommen wir haben a und b.
a ist 1, 2.
Sieht also so aus.
Das ist Vektor a.
Ich zeichne Vektor b in einer anderen Farbe
Nehmen wir gelb.
Vektor b hat den Wert 0, 3.
Sieht also so aus. Null, Drei.

English: 
I think it's just the very
nature that it's taught.
Over here, I just kept putting
different numbers for the
weights, I guess we could call
them, for c1 and c2 in this
combination of a and b, right?
Let's ignore c for
a little bit.
I just put in a bunch of
different numbers there.
But it begs the question: what
is the set of all of the
vectors I could have created?
And this is just one
member of that set.
But what is the set of all of
the vectors I could've created
by taking linear combinations
of a and b?
So let me draw a and b here.
Maybe we can think about it
visually, and then maybe we
can think about it
mathematically.
So let's say a and b.
So a is 1, 2.
So 1, 2 looks like that.
That's vector a.
Let me do vector b in
a different color.
We're going to do
it in yellow.
Vector b is 0, 3.
So vector b looks
like that: 0, 3.

Chinese: 
我認爲這個概念是很自然的
在這裡
我取了兩個數作爲權重
我認爲可以這麽稱呼它
因爲c1和c2都在a和b的線性組合中
我們先不考慮c
在這裡我取了一些不同的數
現在有一個問題
能生成的所有向量的集合是什麽？
這個僅僅是集合中的一員
由a和b的線性組合生成的
所有向量的集合是什麽？
我在這裡畫出a和b
我們可以從直觀上考慮
然後從理論上考慮
已知向量a和b
a是[1,2]
[1,2]就像這樣
這是向量a
我換種顏色畫b
用黃色畫
向量b=[0,3]
向量b就像這樣

Portuguese: 
Eu acho que é apenas a maneira como é ensinada.
Aqui, eu apenas fui colocando números diferentes para os
pesos, acho que poderíamos chamar-lhes, c1 e c2 nesta
combinação de a e b, certo?
Vamos ignorar c por um pouco.
Acabei colocando um monte de diferentes números de lá.
Mas ele levanta a questão: qual é o conjunto de todos os
vetores que eu poderia ter criado?
- e este é apenas um membro desse conjunto -
Mas qual é o conjunto de todos os vetores que eu poderia ter criado
tomando combinações linear de a e b?
Deixem-me desenhar aqui a e b.
Talvez devessemos pensar nisto visualmente e depois, talvez
pensar matematicamente.
Portanto, vamos dizer a e b.
Então a é 1, 2.
Assim 1, 2, parece com isto.
Este é o vetor a.
Deixem-me desenhar o vetor b com uma cor diferente.
Vamos fazê-lo em amarelo.
Vetor b é 0, 3.
Assim de vetor b parece com isto: 0, 3.

Estonian: 
Ma arvan et see on õpetamise viisi pärast.
Siin, ma panin lihtsalt erinevaid numbreid "kaaluks",
ma usun et me võime neid kutsuda, c1 ja c2 selles
a ja b kombinatsiooniks, eks?
Ignoreerime c natukeseks.
Ma panin siia suvalisi numbreid.
Aga tekib küsimus: mis on hulk kõigist vektoritest,
mis ma oleks saanud teha?
See on lihtsalt üks element sellest hulgast.
Aga mis on hulk kõigist vektoritest, mis ma oleks saanud teha
võttes lineaar kombinatsiooni a'st ja b'st?
Las ma joonistan a ja b siia.
Võibolla saame selle üle mõtiskleda visuaalselt ja siis võibolla saame
mõelda selle üle matemaatiliselt.
Ütleme, et a ja b.
Seega a on 1, 2.
1, 2 näeb välja selline.
See on vektor a.
Las ma teen vektori b teises värvis.
Teeme selle kollaselt.
Vektor b on 0, 3.
Seega vektor b näeb välja selline: 0, 3.

Japanese: 
ここでは、
異なった数、c１、c２などで、
それぞれのベクトルが
掛けられています。
ここで、cをちょっと無視しましょう。
いくつかの任意の数を使います。
では、これで得られるベクトルのセットは
何でしょう？
これは、そのうちの一つです。
a とbのベクトルの線型結合で得られるすべての
ベクトルのセットは何でしょう？
a とbのベクトルを描きます。
まず可視化してみて、
それから数学的に考えましょう。
a とbは、
a は、（１、２）で
このようになります。
これが、a のベクトルです。
bは異なった色で描きましょう。
黄色で描きます。
bは（０．３）です。
このようになります。

Korean: 
가르치는 방식 때문에 그런 것 같아요
여기서 제가 계속 다른 수를 넣었는데
a와 b의 선형결합에서요
그냥 c1, c2라고 불러도 무방할 것 같아요
c는 잠깐 잊어버립시다
여기에 다른 수를
아무거나 넣습니다
그럼 질문이 하나 떠오를 겁니다
이렇게 만들 수 있는 벡터를
다 모은 집합은 무엇일까요?
이건 그런 집합의 원소 중
하나에 불과합니다
그러나 a와 b의 선형결합을
모두 취해서
얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은
무엇일까요?
a와 b를 여기에 그려보겠습니다
시각적으로 먼저 생각해보고
그 다음 수학적으로 생각해봐요
a와 b를 봅시다
a는 (1, 2) 입니다
(1, 2)는 이렇게 생겼죠
이게 a입니다
b는 다른 색으로 해볼까요
노란색으로 할 겁니다
b는 (0, 3)이죠
b는 이렇게 생겼어요

Chinese: 
我认为这个概念是很自然的
在这里
我取了两个数作为权重
我认为可以这么称呼它
因为c1和c2都在a和b的线性组合中
我们先不考虑c
在这里我取了一些不同的数
现在有一个问题
能生成的所有向量的集合是什么？
这个仅仅是集合中的一员
由a和b的线性组合生成的
所有向量的集合是什么？
我在这里画出a和b
我们可以从直观上考虑
然后从理论上考虑
已知向量a和b
a是[1,2]
[1,2]就像这样
这是向量a
我换种颜色画b
用黄色画
向量b=[0,3]
向量b就像这样

Bulgarian: 
Предполагам, че е заради начина,
по който се преподава.
Ето тук аз просто слагах
различни числа
като "тежести", ако мога да кажа така,
за с1 и с2
в тази комбинация на 
векторите а и b, нали?
Нека за малко да 
игнорираме с.
Просто тук слагах 
различни числа.
Но това води до въпроса: 
какво е множеството
от всички вектори, които
мога да получа?
Това е просто един член
на това множество.
Но какво е множеството на всички
вектори, които мога да получа,
като правя линейни комбинации
на векторите а и b?
Ще начертая векторите
 а и b тук.
Може би като си го представиш
визуално, тогава евентуално
ще можеш да го осмислиш
математически.
Нека да имаме 
векторите а и b.
Вектор а е [1; 2].
[1; 2] изглежда ето така.
Това е вектор а.
Ще направя вектор b
с различен цвят, с жълто.
Вектор b е [0; 3].
Значи вектор b изглежда
ето така: [0; 3].

Thai: 
ผมว่ามันเป็นธรรมชาติตอนคุณเจอครั้งแล้ว
ตรงนี้, ผมพยายามใช้เลขสำหรับถ่วง
แต่ละตัวไม่เท่ากัน, ผมว่าเรียกมันค่าถ่วงได้, c1 กับ c2
ในผลรวมของ a กับ b, จริงไหม?
ลองช่าง c มันไปก่อน
ผมแค่ใช้เลขต่างๆ ตรงนี้
มันก่อให้เกิดคำถามว่า: เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด
ที่ผมสร้างได้คืออะไร?
และนี่ก็แค่สมาชิกตัวหนึ่งของเซต
แต่เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่ผมสร้างขึ้น
จากการหาผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b คืออะไร?
ขอผมวาด a กับ b ตรงนี้
บางที เราคิดเป็นภาพได้, และบางทีเราก็
คิดแบบคณิตศาสตร์ได้
สมมุติว่า a กับ b
a คือ 1, 2
1, 2 เป็นแบบนั้น
นั่นคือเวกเตอร์ a
ขอผมเขียนเวกเตอร์ b อีกสีนะ
เราจะใช้สีเหลือง
เวกเตอร์ b คือ 0, 3
เวกเตอร์ b เป็นแบบนี้: 0, 3

Estonian: 
Mis on hulk kõigist vektoritest, mida ma saan esitada
nende kahe vektori liitmisel ja lahutamisel?
Ja me ütlesime, kui me korrutame need mõlemad läbi nulliga ja lisame need
teineteisele, siis me saame siia.
Kui me võtame 3 korda a, mis on võrdeline kui me
skaleeriks a 3ga läbi.
Seega sa lähed 1a, 2a, 3a.
See on 3a, 3 korda a näeb välja selline.
Nii, et see vektor on 3a, ja siis me liitsime sellele 2b, eks?
Oi ei, me lahutame 2b sellest, seega miinus
b näeb välja selline.
Miinus 2b näeb välja selline.
See on miinus 2b, standard kujul, standard
positsioonist, miinus 2b.
Seega kui sa liidad 3a ja miinus 2b, siis sa saad selle vektori.
3a miinus 2b, saad selle vektori siin, ja see on

Korean: 
그럼 이 벡터들을 더하고 빼면서
얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은
무엇일까요?
앞서 말했듯이
두 벡터에 0을 곱하고 더하면
이 점을 얻게 됩니다
3a는
a를 3배 하는 것과 같죠
1a, 2a, 3a
이게 3a죠
3a는 이렇게 생겼을 거예요
이 3a에 2b를 더했죠?
아, 2b를 뺐네요
-b는 이렇습니다
-b는 이렇습니다
-2b는 이렇게 생겼고요
이게 -2b입니다
전부 표준점을 기준으로 하였습니다
-2b 입니다
3a와 -2b를 더하면 이 벡터를 얻지요
이 벡터는

Chinese: 
那麽通過這兩個向量相加減
所能構成的所有向量的集合是什麽？
如果分別將它們乘以0
然後加在一起 結果是這樣
如果用3乘以a
這等價於把a擴大3被
所以這是1a 2a 3a
3a就在這裡 就像這樣
這個向量是3a 然後加上2b
不對 是減去2b
-b就像這樣
-2b就像這樣
這是-2b 以標準形式給出
-2b處於標準位置
如果將3a加上-2b 就得到這個向量
3a-2b 得到這個向量
這也就是

German: 
Was ist jetzt die Menge aller Vektoren, die ich damit
darstellen kann ?
Ich darf addieren und subtrahieren.
Und wir haben gesagt, dass ich sie Beide mit Null multiplizieren und addieren
kann, dann erhalten wir folgendes.
Dreimal a, ergibt die
Skalierung von a mit dem Faktor 3.
Also 1a, 2a, 3a
Also 3a, 3 mal a sieht folgendermaßen aus.
Also ist dieser Vektor 3a, und dann addieren wir dazu 2b, richtig ?
Oh nein, wir haben 2b davon subtrahiert, also
sieht b so aus.
-2b sieht so aus.
Das ist -2b, in Standardform.
Standardposition minus 2b.
Wenn ihr jetzt von 3a, 2b abzieht, erhalten wir diesen Vektor.
3a minus 2b. und ihr erhaltet diesen Vektor hier, und das

Bulgarian: 
Какво е множеството от
всички вектори, които
мога да представя чрез събиране
и изваждане на тези вектори?
Както казах, ако умножим
и двата вектора по нула и ги съберем,
се оказваме тук.
Ако взема 3 по а, това е
еквивалентно на
увеличение 3 пъти.
Значи това е 1а, 2а, 3а.
Това е 3а, умножен по 3
изглежда ето така.
Това е векторът 3а, и после
го събираме с 2b, нали?
О, не, изваждаме 2b от това,
така че
минус b изглежда така.
Минус 2b изглежда ето така.
Това е минус 2b, в стандартен вид,
стандартна позиция, минус 2b.
Значи ако събера 3а и –2b,
ще получа този вектор.
3а минус 2b дава
този вектор тук, и това е

English: 
So what's the set of all of
the vectors that I can
represent by adding and
subtracting these vectors?
And we said, if we multiply them
both by zero and add them
to each other, we
end up there.
If we take 3 times a, that's
the equivalent of
scaling up a by 3.
So you go 1a, 2a, 3a.
So that's 3a, 3 times a
will look like that.
So this vector is 3a, and then
we added to that 2b, right?
Oh no, we subtracted 2b
from that, so minus
b looks like this.
Minus 2b looks like this.
This is minus 2b, all the way,
in standard form, standard
position, minus 2b.
So if you add 3a to minus 2b,
we get to this vector.
3a to minus 2b, you get this
vector right here, and that's

Portuguese: 
Então, qual é o conjunto de todos os vetores que eu posso
representar pela adição e subtração destes vetores?
E nós dissemos, se multiplicarmos os dois por zero e adicionarmos
um ao outro, acabamos aqui.
Se tomarmos 3 vezes a, o que é equivalente a
multiplicar a por 3.
Então vamos 1a, 2a, 3a.
Assim isto é 3a, 3 vezes a parecerá com isto.
Então este vetor é 3a, e, em seguida, adicionamos a esse 2b, certo?
Ah não! Nós subtraímos 2b, portanto menos
b tem esta aparência...
...menos 2b parece com isto.
Isto é menos 2b, todo o caminho, na forma padrão,
posição, menos 2b.
Assim, se adicionarmos a 3a menos 2b, chegamos a esse vetor.
3a menos 2b, obtemos este vetor aqui e isso é

Chinese: 
那么通过这两个向量相加减
所能构成的所有向量的集合是什么？
如果分别将它们乘以0
然后加在一起 结果是这样
如果用3乘以a
这等价于把a扩大3被
所以这是1a 2a 3a
3a就在这里 就像这样
这个向量是3a 然后加上2b
不对 是减去2b
-b就像这样
-2b就像这样
这是-2b 以标准形式给出
-2b处于标准位置
如果将3a加上-2b 就得到这个向量
3a-2b 得到这个向量
这也就是

Japanese: 
これらのベクトルを加算、減算して得られる
ベクトルのセットは何でしょう？
両方を０で掛けると
ここになります。
３倍すると、
長さが３倍になります。
ここになります。
これが３倍されたa ベクトルです。
これが、３aのベクトルです。
これからベクトル２bを引きます。
−２bのベクトルは、
このようになります。
いいですか？
−２bです。
標準位置での
−２bのベクトルです。
３a−２bは、
このようになります。

Thai: 
แล้วเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่ผมแสดงได้
จากการบวกลบเวกเตอร์พวกนี้ คืออะไร?
และเราบอวก่า, ถ้าเราคูณท้งคู่ด้วย 0 แล้วบวกมัน
เข้าด้วยกัน, เราจะได้ตรงนี้
ถ้าเราคิด 3 คูณ a, มันก็เหมือนกับ
การขยายด้วย 3
คุณจะได้ 1a, 2a, 3a
นั่นคือ 3a, 3 คูณ a จะเป็นแบบนั้น
แล้วเวกเตอร์นี่คือ 3a, และเราบวก 2b นั่น, จริงไหม?
ไม่ใช่สิ, เราลบ 2b จากอันนั้น, งั้นลบ
b แบบเป็นนี้
-
ลบ 2b จะเป็นแบบนี้
นี่คือลบ 2b, ไปจถนึง, รูปมาตรฐาน, รูปมาตรฐาน,
บวก, ลบ 2b
แล้วถ้าคุณบวก 3a กับ ลบ 2b, เราจะได้เวกเตอร์นี้
3a ลบ 2b, คุณจะได้เวกเตอร์นี่ตรงนี้, และนั่น

Chinese: 
我們通過理論得到的結果
結果是[3,0]
得到[3,0]這個向量
但這只是一個組合
關於a和b的一個線性組合
如果不用3乘以a
也可以用1又1/2乘以a
得到這個結果
3/2a-2b處理過程是一樣的
就像這樣
它就像――
我要確保這是對的――
它看起來就像這樣
所以我們得到的新向量
就像這樣
我給大家展示了
通過線性組合得到新向量的過程
我可以通過線性組合得到一個新向量
事實上 可以推斷出
R2中的任何向量都可以用
a和b的線性組合的形式表出
下面來做一個例題

English: 
exactly what we did when we
solved it mathematically.
You get the vector 3, 0.
You get this vector
right here, 3, 0.
But this is just one
combination, one linear
combination of a and b.
Instead of multiplying a times
3, I could have multiplied a
times 1 and 1/2 and just
gotten right here.
So 1 and 1/2 a minus 2b would
still look the same.
It would look like something
like this.
It would look something like--
let me make sure I'm doing
this-- it would look something
like this.
And so our new vector that
we would find would be
something like this.
So I just showed you, I can find
this vector with a linear
combination.
I can find this vector with
a linear combination.
And actually, it turns out that
you can represent any
vector in R2 with some linear
combination of these vectors
right here, a and b.

Chinese: 
我们通过理论得到的结果
结果是[3,0]
得到[3,0]这个向量
但这只是一个组合
关于a和b的一个线性组合
如果不用3乘以a
也可以用1又1/2乘以a
得到这个结果
3/2a-2b处理过程是一样的
就像这样
它就像――
我要确保这是对的――
它看起来就像这样
所以我们得到的新向量
就像这样
我给大家展示了
通过线性组合得到新向量的过程
我可以通过线性组合得到一个新向量
事实上 可以推断出
R2中的任何向量都可以用
a和b的线性组合的形式表出
下面来做一个例题

Estonian: 
täpselt see, mida me tegime kui me matemaatiliselt lahendasime seda.
Saad vektori 3, 0.
Saad selle vektori siin, 3, 0.
Aga see on kõigest üks kombinatsioon, üks lineaar
kombinatsioon a ja b vahel.
Selle asemel, et korrutada a 3ga läbi, ma oleks võinud a korrutada
läbi 1,5ga ja siis oleks saanud siia.
Seega 1,5 korda a miinus 2b näeks ikka sama välja.
See näeks välja selline.
See näeks välja nagu--las ma teen kindlaks, et ma teen
selle õieti-- see näeks välja selline.
Ja nüüd meie uus vektor, mille me leidsime, näeks
välja midagi sellist.
Ma just näitasin, et ma võin selle vektori leida lineaar
kombinatsiooni abil.
Ma võin selida selle vektori kasutades lineaar kombinatsiooni.
Ja tegelikult, tuleb välja et sellega on võimalik esitada ükskõik
millist vektorit R2s mingite lineaar kombinatsioonidega nende vektorite
abil, a ja b.

German: 
ist genau was wir mathematisch betrachtet gemacht haben.
Ihr erhaltet den Vektor 3, 0.
Also genau den Vektor 3, 0.
Aber der Vektor ist nur eine Linearkombination,
der Vektoren a und b.
Anstatt a mit 3 zu multiplizieren, hätte ich a mit
1 oder 0,5 multiplizieren können.
Also 1 und einhalb a minus 2b würden immer noch genauso aussehen.
Es würde folgendermaßen aussehen.
Es würde so aussehen -
Lasst mich sicher gehen, dass ich es richtig mache
Es würde so aussehen
Und der neue Vektor, den wir erhalten würden,
würde so aussehen
Ich habe euch also gezeigt, wie ich diesen Vektor, durch lineare
Kombination erhalten habe.
Ich finde diesen Vektor durch Linearkombination und
tatsächlich, kann man ihn als
Kombination dieser beiden Vektoren,
a und b repräsentieren.

Bulgarian: 
точно както го правим, когато
го решаваме математически.
Получаваме вектор [3;0].
Получаваме този вектор
ето тук, [3;0].
Но това е само една комбинация,
една линейна комбинация на а и b.
Вместо да умножаваме по 3,
можем да умножим а
по 1 цяло и 1/2 и тогава
ще дойдем ето тук.
1 и 1/2 а минус 2b
ще изглежда пак същото.
Изглежда приблизително
като това.
Ще изглежда... само да
се уверя, че правя това...
Ще изглежда 
приблизително така.
И така новият ни вектор,
който намерихме,
ще е нещо подобно.
Просто ти показах, че мога да намеря 
този вектор чрез линейна комбинация.
Мога да намеря този вектор
чрез линейна комбинация.
Оказва се, че можеш да
представиш всеки вектор в R2
с някаква линейна комбинация
на тези вектори тук, на векторите а и b.

Japanese: 
これは、数学的に解き得られる答えと同じです。
ベクトル（３、０）が得られます。
このベクトルが（３、０）です。
これが、一つのaとbベクトルの線型結合と
言えます。
３倍する代わりに
１1/2倍することができます。
１1/2a−２bは、
このようになります。
正確に描くと
このようになります。
あたらしいベクトルは
これです。
このベクトルも
線型結合で表されます。
このベクトルを線型結合とできます。
実際、R２のすべてのベクトルは
この２つのaとbベクトルの線型結合として
表現することができます。

Portuguese: 
exatamente o que fizemos quando resolvemos matematicamente.
Obtemos o vector 3, 0.
Obtemos este vetor aqui, 3, 0.
Mas esta é apenas uma combinação, uma
combinação linear de a e b.
Em vez de multiplicar a por 3, eu poderia ter multiplicado a
por um e meio e teria chegado aqui.
Assim, uma vez e meia a menos 2b ainda teria a mesma aparência.
Ficaria algo parecido com isto.
Seria algo como - deixem-me certificar de que estou fazendo...
...isto - teria uma aparência semelhante a esta.
E assim, o nosso novo vetor que nós acharíamos seria
algo parecido com isto.
Então eu acabei de vos mostrar, que eu posso encontrar este vetor com uma
combinação linear.
Eu posso encontrar este vetor com uma combinação linear.
E na verdade, verifica-se que podemos representar qualquer
vetor do R2 como alguma combinação linear destes vetores
aqui, a e b.

Korean: 
앞서 계산한 바와 정확히 일치하네요
(3, 0)을 얻습니다
(3, 0)을 얻습니다
그러나 이건 그저
a와 b의 선형결합 중
하나의 결합이에요
3을 곱하지 않고
1과 1/2에 곱했을 수도 있어요
1.5a - 2b도 비슷하게 구할 수 있어요
대략 이렇게 생겼을텐데
제대로 그려볼게요
아마 이렇게 생겼을 겁니다
따라서 구하고자 하는 벡터는
이렇게 생겼을 것입니다
그래서 이 벡터를 선형결합으로
표현할 수 있다는 것을 보인겁니다
그래서 이 벡터를 선형결합으로
표현할 수 있다는 것을 보인겁니다
선형결합으로 이 벡터를 얻었어요
사실 R² 위의 어떤 벡터든
이 두 벡터 a, b의 선형결합으로
나타낼 수 있습니다
이 두 벡터 a, b의 선형결합으로
나타낼 수 있습니다

Thai: 
คือสิ่งที่เราทำตรงนี้ ตอนเราแก้มันจากคณิตศาสตร์
คุณจะได้ เวกเตอร์ 3, 0
คุณได้เวกเตอร์นี่ตรงนี้, 3, 0
แต่นี่ก็แค่ผลรวมอันนี้, มันคือผลรวม
เชิงเส้นของ a กับ b อันเดียว
แทนที่จะคูณ a ด้วย 3, ผมอาจคูณมันด้วย
1 กับ1/2 แล้วได้ตรงนี้
งั้น 1 กับ 1/2 a คูณ 2b จะดูเหมือนเดิม
มันจะออกมาเป็นแบบนี้
มันจะออกมาเป็นแบบนี้ -- ขอผมดูให้แน่ใจว่าผม
ทำแบบนี้ -- มันจะออกมาเป็นแบบนี้
และเวกเตอร์ใหม่ของเราที่เราหาได้ จะ
เป็นแบบนี้
ผมเพิ่งแสดงให้คุณเห็นไป, ว่าผมหาเวกเตอร์นี้ เป็น
ผลรวเชิงเส้น
ผมสามารถหาเวกเตอร์นี้ได้จากผลรวมเชิงเส้น
และที่จริงแล้ว, มันปรากฏว่า คุณสามารถแสดง
เวกเตรอ์ใดๆ ใน R2 ด้วยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์
พวกนี่ตรงนี้, คือ a กับ b

Bulgarian: 
Сега да видим един пример,
или може би просто да опитаме
един мисловен 
визуален пример.
Където и да искаме да отидем, 
можем да вземем произволно...
можем да умножим по
някаква произволна стойност.
Това е някаква тежест върху вектор а,
и после можем да съберем
с произволно кратно 
на вектор b.
Вектор b е точно нагоре и надолу,
така че можем да прибавим
произволни кратни на b
към това.
Така че можем да стигнем
до всяка точка на тази права.
Сега, ако го уголемим 
още малко повече, и после
прибавим произволно кратно на b,
ще отидем до всяка точка от тази права.
Ако умножим вектор а по
отрицателно число и после прибавим
вектор b в двете посоки, ще 
получим всяка точка от тази права.
Можем да го правим безкрайно.
Няма причина да не изберем
произволен вектор а, такъв, че
да запълним всяка от тези
празнини.
Ако търсим точка тук, просто
ще вземем вектор а малко по-малък,
а после можем да прибавим
всички вектори b, така че
да запълним тази права.
Така че можем да представим всяка
точка в равнината R2
с комбинации на 
векторите а и b.

Portuguese: 
Agora, vamos pensar apenas em um exemplo, ou talvez apenas tentar um
exemplo mental.
Para onde quer que queiramos ir, - poderíamos ir para qualquer lado -
poderíamos multiplicar a por algum valor arbitrário.
Portanto isto é algum peso para a, e, em seguida, podemos acrescentar
múltiplos arbitrários de b.
b sobe e desce na vertical, assim podemos acrescentar
múltiplos arbitrários de b ao vetor.
Assim podemos obter qualquer ponto sobre esta reta aqui.
Agora, se multiplicarmos por um número um poiuco maior e depois
adicionarmos qualquer múltiplo dde b, obteríamos qualquer ponto naquela linha.
Se multiplicarmos a por um número negativo e, em seguida, adicionarmos
um b em qualquer direção, obteríamos qualquer ponto naquela linha.
Podemos continuar fazendo isto.
E não há nenhuma razão por que não podemos escolher um arbitrário vetor a que
possa preencher qualquer destas lacunas.
Se quissermos um ponto aqui, basta tomar um múltiplo menor de a,
e, em seguida, podemos adicionar todos os b's que preencheram
toda a linha.
Assim podemos preencher qualquer ponto do R2 com as
combinações de a e b.

Estonian: 
Nüüd, mõtleme mingi näite, või võibolla lihtsalt proovime
mõelda piltliku näidet.
Ükskõik kuhu me tahame jõuda, me läheks suvaliselt--me
võime a'd skaleerida mingi suvalise arvuga.
See on mingi skalaar korda a ja siis me võime sellele liita
suvaline arv korda b.
B läheb täpselt üles ja alla, seega me võime liita suvalise
arvu korda b sellele.
Ehk me võiks saada suvalisele punktile sellel joonel siin.
Nüüd, kui me skaleerime a'd natuke rohkem ja siis
liidame sellele mingi arv korda b, saaksime kõik sellel joonel.
Kui me korrutaks a korda mingi negatiivne number ja liidaks sellele
b suvalises suunas, siis me saaks kõik sellelt joonelt.
Me võime seda teha lõputult.
Ja sellepärast ei ole mingit põhjust, miks me ei saaks võtta suvalise a, mis ei
täidaks neid vahesi.
Kui me tahaksime punkti siin, siis võtame natuke väiksema a,
ja võime sellele lisada kõik b'd mis täidavad
selle joone ära.
Seega me võime nö. katta kõik punktid R2s kasutades
a ja b kombinatsioone.

Korean: 
머릿속으로 예시를 떠올려 봅시다
머릿속으로 예시를 떠올려 봅시다
어디로 가고 싶은지 상관없이
a에 임의의 상수배를 취할 수 있습니다
a에 임의의 상수배를 취하고
거기에 임의의 상수배를 취한
b를 더합니다
b는 오직 위아래로만 가고요
어떤 상수배를 취해줍니다
따라서 이 선 위의 어떤 점이든
다 갈 수 있어요
a를 조금 더 키우고요
b의 어떤 상수배를 더하면
이 선 위의 모든 점을 다 얻겠죠
a를 음수배해주고
b를 어떤 방향으로든 더하면
저 선 위의 모든 점을 얻을 거예요
계속해서 할 수 있습니다
이 a를 임의의 수로 상수배해서
여기 빈 공간을 채우지 못할
이유가 없어요
이 점을 얻고 싶다면
a를 조금 줄인 뒤에
이 선을 전부 채우게끔
b 전부를 더하면 되죠
이 선을 전부 채우게끔
b 전부를 더하면 되죠
따라서 R² 위의 모든 점을
a와 b의 선형결합으로 얻습니다

English: 
Now, let's just think of an
example, or maybe just try a
mental visual example.
Wherever we want to go, we
could go arbitrarily-- we
could scale a up by some
arbitrary value.
So this is some weight on a,
and then we can add up
arbitrary multiples of b.
B goes straight up and down,
so we can add up arbitrary
multiples of b to that.
So we could get any point on
this line right there.
Now, if we scaled a up a little
bit more, and then
added any multiple b, we'd get
anything on that line.
If we multiplied a times a
negative number and then added
a b in either direction, we'll
get anything on that line.
We can keep doing that.
And there's no reason why we
can't pick an arbitrary a that
can fill in any of these gaps.
If we want a point here, we just
take a little smaller a,
and then we can add all
the b's that fill
up all of that line.
So we can fill up any
point in R2 with the
combinations of a and b.

Japanese: 
では、例をみてみましょう。
ベクトルを想像しましょう。
aを任意の値で、
掛けます。
そして、任意の値で掛けられたbを
加えます。
bは、まっすぐ、上下に向くベクトルで
任意の長さです。
この線上の任意の点です。
aを数倍して、
これが得られます。
aを負数で掛け
bを加えると、このようになります。
このように無限に
任意の数を取り、
これらの空間を満たすことができます。
この点を求めたい場合は、小さめのaと
それに至るための長さのbを
加えます。
つまり、R２の任意の点が
aとbの線型結合で示されます。

German: 
Jetzt, lasst uns ein Beispiel ausdenken, oder versuchen wir es
mit einem gedanklich anschaulichem Beispiel.
Wo auch immer wir zufällig hinwollen,
Wir können mit einem frei gewählten Wert skalieren.
Also, ist dies ein Gewichtungsfaktor, den wir auf den Vektor a anwenden und dann addieren wir
willkürliche Mehrfache von b.
B geht gerade nach oben und unten, wir können es also nach
Belieben Vielfache von b addieren.
Wir erreichen also jeden Punkt auf der Linie hier.
Wenn wir also ein bisschen weiter skalieren, und dann
dazu irgendein Vielfaches von b addieren, erreichen wir jeden Punkt auf dieser Linie.
Falls wir den Vektor a mit einer negative Zahl multipliziert hätten und dann
b in einer anderen Richtung addiert hätten, würden wir alles auf dieser Linie hier bekommen.
Wir können das fortführen.
Es gibt keinen Grund, warum wir nicht ein beliebiges a wählen können, welches diese Lücke schliesst.
Falls wir einen Punkt hier wollen, müssen wir nur ein kleineres a nehmen,
und dann können wir alle Werte von b addieren,
die diese Linie abdecken.
Wir erreichen also jeden Punkt in R2
mit der Kombination von a und b.

Thai: 
ทีนี้, ลองคิดตัวอย่างกัน, หรือบางทีแค่
ลองตัวอย่างเป็นภาพ
ไม่ว่าเราอยากไปตรงไหน, เราสามารถไปได้ -- เรา
แค่ขยายอันนี้ด้วยค่าตามใจค่าหนึ่ง
นี่ก็คือน้ำหนักถ่วงของ a, แล้วเราก็บวก
จำนวนเท่าตามใจของ b
B นั้นขึ้นลงตรงๆ, เราจึงบวกจำนวนเท่า
ตามใจของ b ได้อย่างนั้น
เราได้จุดใดๆ บนเส้นตรงนี่ตรงนี้
แล้วถ้าเราเลื่อนมันขึ้นหน่อย, แล้ว
เราก็บวกจำนวนเท่าของ b, เราก็ได้ทุกอย่างบนเส้นตรงนั้น
แล้วถ้าเราคูณ a ด้วยจำนวนลบ แล้วบวก
b ทิศใดก็ตาม, เราจะได้อะไรก็ตามบนเส้นตรงนั้น
เราก็ทำต่อไปได้
มันไม่เหตุผลอะไรที่ผมจะเลือกค่า a มา
เติมที่ว่างพวกนี้ไม่ได้
ถ้าผมมีจุดตรงนี้, ผมแค่เลือกค่า a น้อยลงหน่อย,
แล้วเราก็บวก b ที่เติม
เส้นตรงทั้งหมดลงไป
แล้วเราก็สามารถเติมจุดทุกจุดใน R2 ได้
ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b

Chinese: 
我們就從直觀上來考慮
我們隨便取到哪個位置――
可以將a乘以一個係數
就是a的權重
然後加上任意倍的b
b是直上直下的
我們可以加上任意倍的b
從而我們可以得到這條直線上的任一點
如果將向量a在擴大一點
然後加上b的倍數
就可以得到這條線上的點
如果用某個負數乘以a
然後加上任意方向的b
就可以得到這條線上的任意點
我們可以一直這麽做
對於每一個空缺的區域
我們都能找到向量a來填補它
如果要取這裡的點 就令a取小一點
然後加上向量b
從而就填滿的整條直線
因此我們可以用a和b的線性組合
覆蓋R2中所有的點

Chinese: 
我们就从直观上来考虑
我们随便取到哪个位置――
可以将a乘以一个系数
就是a的权重
然后加上任意倍的b
b是直上直下的
我们可以加上任意倍的b
从而我们可以得到这条直线上的任一点
如果将向量a在扩大一点
然后加上b的倍数
就可以得到这条线上的点
如果用某个负数乘以a
然后加上任意方向的b
就可以得到这条线上的任意点
我们可以一直这么做
对于每一个空缺的区域
我们都能找到向量a来填补它
如果要取这里的点 就令a取小一点
然后加上向量b
从而就填满的整条直线
因此我们可以用a和b的线性组合
覆盖R2中所有的点

Japanese: 
ベクトル空間ーspanは、
ここに書くと、
aとbのベクトルのspanは、
すべてのR２のベクトルに等しいです。
すべての２トプルを含みます。
R２は、２つの実数からなる
すべての２トプルです。
これは、すべてのR２に等しいです。
これは、R２のすべてのベクトルを
aとbの線型結合表現できると言えます。
いかなる２つのベクトルでも可能でしょうか？
aとbがベクトルなら、
たとえば、aが（２、２）で
bが（ー２、ー２）では、どうでしょう？
bは、（ー２、ー２）です。

Thai: 
สิ่งที่เราทำเขียนได้ตรงนี้ คือ สแปน (span) -- ขอผมเขียน
คำนี้ลงไปนะ
สแปนของเวกเตอร์ a กับ b -- ขอผมเขียนมัน
ลงไปนะ - มันเท่ากับ R2 หรือมันเท่ากับเวกเตอร์ทั้งหมดใน R2,
ซึ่งคุณก็รู้, คือชุดอันดับ (tuple) ทั้งหมด
R2 คือชุดอันดับที่เกิดจาก
ชุดอันดับขนาด 2 ประกอบด้วยจำนวนจริง 2 ตัว
มันเท่ากับ R2 ทั้งหมด
นี่ก็แค่หมายความว่า ผมสามารถแสดงเวกเตอร์ใดๆ ใน R2
ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b
และคุณก็บอกว่า, เฮ้, ฉันทำแบบเดียวกับเวกเตอร์สองตัวใดๆ ไม่ได้เหรอ
ทีนี้, ถ้าเกิด a กับ b เป็นเวกเตอร์ -- สมมุติว่า
เวกเตอร์ 2,2 คือ a, a เท่ากับ 2,2 และ b คือ
เวกเตอร์ ลบ 2, ลบ 2, b คือเวกเตอร์นั่น
b คือเวกเตอร์ ลบ 2, ลบ 2

English: 
So what we can write here is
that the span-- let me write
this word down.
The span of the vectors a and
b-- so let me write that
down-- it equals R2 or it equals
all the vectors in R2,
which is, you know, it's
all the tuples.
R2 is all the tuples
made of two ordered
tuples of two real numbers.
So it equals all of R2.
This just means that I can
represent any vector in R2
with some linear combination
of a and b.
And you're like, hey, can't I do
that with any two vectors?
Well, what if a and b were the
vector-- let's say the vector
2, 2 was a, so a is equal to 2,
2, and let's say that b is
the vector minus 2, minus
2, so b is that vector.
So b is the vector
minus 2, minus 2.

Estonian: 
Mis me võime siia kirjutada, on et lineaarne kate-- las ma kirjutan
selle sõna üles.
Lineaarne kate vektoritest a ja b--las ma kirjutan selle
üles-- see on võrdeline R2 või see on võrdeline kõikide vektoritega R2s,
mis on nagu sa juba tead kõik ennikud.
R2 on kõik ennikud, mis on kaks järjestatud
ennikut kahe reaalarvuga.
Seega see on võrdeline kõigega R2s.
See tähendab lihtsalt seda, et ma võin esitada ükskõik millise vektori R2s
mingi a ja b lineaar kombinatsiooniga.
Sa mõtled, kas me ei saa seda teha mingi kahe suvalise vektoriga?
Mis juhtuks siis kui a ja b oleksid vektorid-- ütleme, et vektor
2, 2 oleks a, ehk a on võrdeline 2, 2, ja ütleme et b oleks
vektor miinus 2, miinus 2, ehk b oleks see vektor.
Seega b on vektor miinus 2, miinus 2.

Bulgarian: 
Така че тук можем да запишем, че линейната обвивка – ще запиша този термин.
Линейната обвивка на векторите
а и b... ще запиша това –
е равна на R2 или е равна
на всички вектори в R2,
което е, знаеш, това
са всички наредени двойки.
R2 представлява всички 
наредени двойки, които
са комбинации от две
реални числа.
Значи е равна на цялата R2.
Това просто означава, че
мога да представя всеки вектор в R2
като някаква линейна 
комбинация на векторите a и b.
Сигурно се чудиш дали можем
да направим това с всеки два вектора.
Ами ако векторите а и b са...
да кажем, че
вектор [2;2] е вектор а, 
и да кажем, че вектор b
е векторът [–2; –2],
значи вектор b е този вектор.
Вектор b е векторът  [–2; –2].

Portuguese: 
Então o que podemos escrever aqui é que o espaço gerado - deixem-me escrever...
...esta palavra.
O espaço gerado com os vetores a e b - permitam-me escrever isso -
é igual ao R2 ou é igual a todos os vetores do R2,
que é, como sabem, é todas as duplas.
R2 são todas as duplas feitas de pares ordenados
duplas de dois números reais.
Assim é igual a R2.
Isto significa que posso representar qualquer vetor do R2
com alguma combinação linear de a e b.
E perguntam, ei não podemos fazer isso com quaisquer dois vetores?
Bem, e se a e b forem o vetor - vamos dizer o vetor
2, 2 era a, então a é igual a 2, 2 e vamos dizer que b é
o vetor menos 2, menos 2, portanto b é este vetor.
Então, b é o vetor menos 2, menos 2.

Korean: 
결론은 이 생성이
직접 쓸게요
a와 b의 생성이
R² 혹은
R² 위의 모든 벡터와 같습니다
즉, 모든 2-튜플 말이죠
R²는 두 실수로 이루어진 2-튜플
즉 순서쌍들의 집합이죠
따라서 이는 R² 전체와 같습니다
R² 위의 모든 벡터를
a와 b의 선형결합으로
나타낼 수 있다는 뜻입니다
어떤 두 벡터만 있으면 가능하지 않냐고
할 수도 있습니다
만약에 a와 b를 설정한다면
a=(2, 2)
b=(-2, -2)로 합시다
b=(-2, -2)로 합시다

Chinese: 
下面介紹“張成（span）的空間”
我把這個單詞寫下來
向量a和b張成的線性空間――
我寫下來――
就是R2 或者說是R2中的所有向量
它是所有的元組構成的集合
R2是由兩個實數構成的
有序元組
它就等於R2
這意味著可以用a和b的線性組合
表示R2中的任意向量
那麽對於任何兩個向量都可以這麽做嗎？
如果a和b是――
設向量[2,2]是a
即a=[2,2]
設b=[-2,-2]
這就是向量b
即b=[-2,-2]

Chinese: 
下面介绍“张成（span）的空间”
我把这个单词写下来
向量a和b张成的线性空间――
我写下来――
就是R2 或者说是R2中的所有向量
它是所有的元组构成的集合
R2是由两个实数构成的
有序元组
它就等于R2
这意味着可以用a和b的线性组合
表示R2中的任意向量
那么对于任何两个向量都可以这么做吗？
如果a和b是――
设向量[2,2]是a
即a=[2,2]
设b=[-2,-2]
这就是向量b
即b=[-2,-2]

Korean: 
그럼 이 둘로 모든 벡터를
나타낼 수 있나요?
a의 크기를 마음대로
조절할 수 있으니
이 선 위의 어떤 점이든 a로 갈 수 있고
b를 더할 수도 있는데
사실 b는 본질적으로 같은 방향에 있죠
그저 방향이 반대일 뿐이지만
음수배하여 이 선 위
아무 데든 갈 수 있습니다
결국 a와 b의 선형결합은
표준점에 대해 나타냈을 때
항상 이 선 위에 놓이는 거죠
a나 b와 같은 기울기를 가진
벡터라는 거죠
기울기, 경사
여러가지 이름이 있겠지만요
a와 b로 선형결합을
어떻게 구했든 간에
c를 나타낼 수 있는 방법은
절대 없습니다
c를 나타낼 수 있는 방법은
절대 없습니다
불가능하죠
표준형태에서 더할 수도 있고
a와 b의 길이를 조정하여
시작점과 끝점을 연결해도
모두 이 선 위에 놓여요
여기로는 절대 갈 수가 없죠
결국 이 경우에는 이 생성이
정확하게 말하자면
이 파란색 a와 노란색 b의
생성에 대해서가 아닌
이 특정한 a와 b의 생성에 대해서

Thai: 
ทีนี้, ผมสามารถแสดงเวกเตอร์ใดๆ ด้วยเจ้าพวกนี้ได้ไหม?
ทีนี้, ผมสามารถขยายมันขึ้นลง, ผมก็ขยายมันขึ้นลง
ไปตรงไหนก็ตามบนเส้นตรงนี้, แล้วผมบวก b
ตรงไหนก็ได้, และ b ก็
ชี้ไปในทิศเดียวกัน
มันคือมีทิศตรงข้าม, แต่ผมคูณ
ด้วยจำนวนลบ แล้วไปตรงไหนของเส้นตรงนั้นก็ได้
ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b จะติดอยู่บน
เส้นตรงนี่ตรงนี้, ถ้าผมวาดในรูปมาตรฐาน
มันจะเป็นเวกเตอร์ ที่มีความชันตาม a หรื b,
มันเอียงเท่ากัน, ไม่ว่าคุณจะเรียกยังไง
ผมไม่สามารถ -- มันไม่มีผลรวมของ a กับ b แบบใดที่
ผมจะแทนเวกเตอร์นี้ได้,
ผมอยากแสดงเวกเตอร์ c
แต่ผมทำไม่ได้
ผมบวกมันรูปมาตรฐานได้
ผมบวกขยาย a, ขยาย b, ใส่หัว
ต่อหาง, ผมจะได้พกวนี้บนเส้นตรงนี่
ผมไม่มีทางได้อันนี่
ดังนั้นในกรณีนี้, สแปน -- ผมอยากบอกให้ชัด
นี่คือสำหรับ a กับ b เฉพาะคู่นี้, ไม่ใช่สำหรับ a กับ b --
สำหรับ a สีฟ้านี่กับ b ที่เหลือนี่, สแปนตรงนี้

English: 
Now, can I represent any
vector with these?
Well, I can scale a up and down,
so I can scale a up and
down to get anywhere on this
line, and then I can add b
anywhere to it, and
b is essentially
going in the same direction.
It's just in the opposite
direction, but I can multiply
it by a negative and go
anywhere on the line.
So any combination of a and b
will just end up on this line
right here, if I draw
it in standard form.
It'll be a vector with the same
slope as either a or b,
or same inclination, whatever
you want to call it.
I could never-- there's no
combination of a and b that I
could represent this vector,
that I could
represent vector c.
I just can't do it.
I can add in standard form.
I could just keep adding scale
up a, scale up b, put them
heads to tails, I'll just get
the stuff on this line.
I'll never get to this.
So in this case, the span--
and I want to be clear.
This is for this particular a
and b, not for the a and b--
for this blue a and this yellow
b, the span here is

Bulgarian: 
Как можем да представим
произволен вектор чрез тях?
Можем да увеличаваме и 
намаляваме вектор а, така че
да стигнем до всяка точка от тази права, 
а после да прибавим вектор b,
като вектор b реално
има същата посока.
Той е в обратната посока, но
мога да го умножа
по отрицателно число и да стигна
до всяко място на правата.
Значи всяка комбинация на векторите а и b 
лежи на същата права ето тук,
ако я начертая в стандартен вид.
Това ще бъде вектор със същия
наклон като  векторите а и b,
или същата стръмност, както
искаш го наречи.
Аз никога не мога... няма комбинация
на векторите a и b, с която
да мога да представя този вектор,
с която да представя вектор с.
Просто не мога да го направя.
Мога да ги събера в
стандартен вид.
Мога да увеличавам/намалявам вектор а, 
мога да увеличавам/намалявам вектор b,
да ги поставям начало към край, но
винаги оставам върху тази права.
Никога няма да получа това.
В този случай, линейната обвивка –
искам да поясня това.
Това се отнася за конкретни 
вектори а и b, не за а и b...
за това синьо а и за това
жълто b, линейната обвивка е

Japanese: 
この２つですべてのR２のベクトルが表現できるでしょうか？
これらのベクトルの長さを
この線にそって変えて、それにbを加えます。
しかし、bも同じ向きの
ベクトルです。
単に反対向きです。
これを負数で掛けると、この線上で、移動します。
すべてのaとbの線型結合は、
標準位置で描くと、すべてこの線上です。
aとbと同じ傾斜のベクトルになります。
いいですか？
いかなるaとbの線型結合でも、
このベクトルを表現することはありません。
このcベクトルを表現することはできません。
いいですか？
標準位置に加えます。
aの長さを調節し、bの長さ調節しても
すべてこの線上のベクトルです。
このベクトルは得られません。
この場合、ベクトル空間は
このaとbの場合はこの線のみです。
この青と黄色のaとbの場合は

Chinese: 
現在可以用它們表示任何向量嗎？
我可以把a放大或縮小
可以沿著這條直線對a進行改變
然後加上向量b
b也在這條直線上
只不過方向相反
但我可以對其乘以一個負數
使之能夠達到直線上的任何一處
從而a和b的任意線性組合
都在這條直線上
前提是把它們畫成標準形式
結果是斜率與a和b相同的向量
或者說是傾斜度相同 隨你怎麽說
我永遠不能―― 存在這樣一個向量
我不能夠用a和b的線性組合將它表示出來
稱它爲c
這我辦不到
我寫成標注形式
將a和b進行伸縮
將它們首位相接
僅僅能得到直線上的向量
而不能得到這個向量c
在本例中 對於張成――我要聲明
是對於題中的a和b來說 而非任意的――
對於這個藍色的a和黃色的b

Portuguese: 
Agora, podemos representar qualquer vetor com estes?
Bem, eu posso dimensionar a para cima e para baixo, então posso dimensionar a para cima e
para baixo para chegar a qualquer lugar sobre esta reta e, em seguida, podemos adicionar b
em qualquer lugar a ele, e b está essencialmente
na mesma direção.
Esta apenas na direção oposta, mas posso multiplicar
por um número negativo e ir a qualquer lugar na reta.
Assim, qualquer combinação de a e b só vai acabar nesta reta.
mesmo aqui, se eu a desenhar na forma padrão.
Vai ser um vetor com o mesmo declive que quer a ou b,
ou mesma inclinação, o que queiram chamá-lo.
Eu nunca poderia - não há nenhuma combinação de a e b que eu
poderia representar esse vetor, que eu poderia
representar o vector c.
Eu simplesmente não posso fazê-lo.
Eu posso adicionar na forma padrão.
Eu só poderia continuar adicionando múltiplos de a, múltiplos de b, colocá-los
ponta com cauda, apenas vou obter pontos nesta reta.
Eu nunca vou obter isto.
Portanto, neste caso, o espaço gerado-- e quero ser claro -
Isto é para estes a e b em particular, não para o a e b...-
para este a azul e este b amarelo, o espaço gerado aqui é

Chinese: 
现在可以用它们表示任何向量吗？
我可以把a放大或缩小
可以沿着这条直线对a进行改变
然后加上向量b
b也在这条直线上
只不过方向相反
但我可以对其乘以一个负数
使之能够达到直线上的任何一处
从而a和b的任意线性组合
都在这条直线上
前提是把它们画成标准形式
结果是斜率与a和b相同的向量
或者说是倾斜度相同 随你怎么说
我永远不能―― 存在这样一个向量
我不能够用a和b的线性组合将它表示出来
称它为c
这我办不到
我写成标注形式
将a和b进行伸缩
将它们首位相接
仅仅能得到直线上的向量
而不能得到这个向量c
在本例中 对于张成――我要声明
是对于题中的a和b来说 而非任意的――
对于这个蓝色的a和黄色的b

Estonian: 
Kas ma saan esitada kõiki vektoreid nendega?
Ma võin neid skaleerida üles ja alla(positiivsete ja negatiivsete arvudega), ehk ma võin a'd skaleerida üles ja
alla et saaks igalepoole sellel joonel ja siis ma võin lisada sellele ükskõik kus
b, ja b on põhimõtteliselt
samas suunas.
See on lihtsalt vastassuunas, aga ma võin selle läbi korrutada
ka negatiivse arvuga ja minna ükskõik kuhu sellel joonel.
Seega ükskõik milline kombinatsiion a ja b vahel annaks mulle lõppude lõpuks selle joone
siin, kui ma joonistan selle standard kujul.
See on vektor sama tõusuga nagu a või b,
või sama kaldega, kuidas iganes sa tahad seda kutsuda.
Ma ei saaks iial-- puudub selline kombinatsioon a ja b vahel, millega
ma saaks esitada sellist vektorit, et ma saaks
esitada vektori c.
Seda ei saa lihtsalt teha.
Ma võin liita standard kujul.
Ma võin lihtsalt skaleerida a'd ja b'd, panna
nende otsa ja lõpu kokku, kuid ma saaks ainult punkte sellel joonel.
Ma ei saaks iial seda.
Seega selliselt, on lineaar kate-- ma tahan olla väga selge.
See on selle konkreetse a ja b vahel, mitte a ja b--
selle sinise a ja selle kollase b, lineaarne kate on nendel

English: 
just this line.
It's just this line.
It's not all of R2.
So this isn't just some kind of
statement when I first did
it with that example.
It's like, OK, can
any two vectors
represent anything in R2?
Well, no.
I just showed you two vectors
that can't represent that.
What is the span of
the 0 vector?
I'll put a cap over it, the 0
vector, make it really bold.
Well, the 0 vector is just 0,
0, so I don't care what
multiple I put on it.
The span of it is all of the
linear combinations of this,
so essentially, I could put
arbitrary real numbers here,
but I'm just going to end
up with a 0, 0 vector.
So the span of the 0 vector
is just the 0 vector.
The only vector I can get with
a linear combination of this,
the 0 vector by itself, is
just the 0 vector itself.
Likewise, if I take the span of
just, you know, let's say I

Korean: 
그 생성은 이 선이라는 겁니다
정확히 이 선이요
R² 전체가 아닙니다
저 예시를 들었을 때 질문을 했었죠
저 예시를 들었을 때 질문을 했었죠
벡터 두 개를 아무렇게나 잡아도
R² 전체를 생성하나요?
아닙니다
전체를 생성하지 못하는
두 벡터를 보여드렸잖아요
영벡터의 생성은 무엇일까요?
벡터 표시도 해주고
굵은 글씨로 할게요
영벡터는 그냥 (0, 0)이니까
어떤 상수배를 하든 똑같죠
영벡터는 그냥 (0, 0)이니까
어떤 상수배를 하든 똑같죠
생성은 이 선형결합을
다 모은 집합인데
어떤 실수를 여기다 붙여도
상관없지만
결국 결과는 (0, 0)이 되죠
즉 영벡터의 생성은
그저 영벡터 하나 뿐입니다
영벡터 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는
유일한 벡터는
영벡터 자신뿐이라는 겁니다
비슷하게
한 벡터의 생성을 보면

Japanese: 
この線のみです。
この線のみです。
すべてのR２ではありません。
これは、たまたま行き当たった例での
答えではありません。
いかなる２つのベクトルでも
すべてのR２が表現できるとは言えません。
いいですか？
同じ線上の２つベクトルでは不可能です。
また、０ベクトルはどうでしょう？
この太字の０ベクトルは
（０、０）です。
これは、長さを変えることはできません。
このベクトルでのすべての線型結合を考えると、
これは、何を掛けても
０ベクトルになるので、
このベクトル自身、ベクトル空間は０ベクトルのみです。
線型結合として得られるベクトルは
０ベクトル同士では、０ベクトルのみです。
では、この例に戻ってみましょう。

Chinese: 
它們張成的向量空間是這條線
就是這條線
而不是整個空間R2
這不僅僅是關於
本例的一個聲明
它就像……
任意兩個向量都能表示出空間R2嗎？
不是這樣的
我剛剛給出了一個反例
0向量張成的線性空間是什麽？
在上面加一個箭頭
表示它是一個向量
0向量就是[0,0]
我不關心對它乘以什麽數
它張成的線性空間就是它的線性組合
實際上 我可以在這乘以任何實數
但最後都會得到向量[0,0]
所以0向量張成的線性空間就是它本身
由它的線性組合所得到的向量
僅有0向量自身
同樣地 如果取其它的向量張成的空間

Bulgarian: 
е просто тази права.
Тя е просто тази права.
Тя не е цялата R2.
Така че това не е просто едно
твърдение, което направих,
когато дадох този пример.
То звучи като: "Може ли 
два произволни вектора
да представят всичко в R2?"
Ами не.
Току-що ти показах два вектора,
които не могат да представляват това.
А каква е линейната обвивка на
нулевия вектор?
Ще сложа отгоре една стрелка,
това е нулевият вектор, ще го удебеля.
Нулевият вектор е просто 0,
така че не ни е грижа
по колко ще го умножим.
Линейната му обвивка са всички
линейни комбинации на това,
така че принципно мога да
поставя произволни реални числа тук,
но винаги ще получавам
вектора [0; 0].
Значи линейната обвивка на
нулевия вектор е просто нулевият вектор.
Единственият вектор, който мога
да получа с линейни комбинации от него,
от самия нулев вектор, е
просто самият нулев вектор.
По същия начин, ако взема
линейната обвивка на ...

Thai: 
ก็แค่เส้นตรง
มันเป็นแค่เส้นตรงนี้
มันไม่ใช่ R2 ทั้งหมด
นี่จึงไม่เหมือนกับประโยคที่ผมทำไป
ในตัวอย่างนั้น
มันก็คือ, โอเค, เวกเตอร์สองตัวใดๆ
แทนทุกอย่างใน R2 ได้ไหม?
คำตอบคือไม่
ผมเพิ่งแสดงไปว่า มีเวกเตอร์สองตัว ที่ไม่สามารถทำได้
สแปนของเวกเตอร์ 0 คืออะไร?
ผมจะใส่หมวกข้างบนนะ, เวกเตอร์ 0, ทำให้มันหนา
ทีนี้, เวกเตอร์ 0 ก็แค่ 0, 0 และผมไม่สนใจว่า
ผมจะคูณอะไรเข้าไป
สแปนของมันก็คือผลรวมเชิงเส้นของเจ้านี่
ที่สุดแล้ว, ผมใส่จำนวนจริงใดๆ ตรงนี้ก็ได้,
แต่ผมจะได้เวกเตอร์ 0, 0 อยู่ดี
ดังนั้นสแปนของเวกเตอร์ 0 คือเวกเตอร์ 0
เวกเตอร์เดียวที่ผมจะได้จากผลรวมเชิงเส้นของเจ้านี่
เวกเตอร์ 0 นี้คือตัวเอง, ได้เวกเตอร์ 0 เอง
เช่นเดียวกัน, ถ้าผมหาสแปนของ, คุณก็รู้, สมมุติว่า

Estonian: 
lihtsalt see joon.
See on ainult see joon.
See ei ole kõik R2st.
See ei ole lihtsalt mingi väide, kui ma alguses
tegin tolle näite.
Kas ükskõik millised kaks vektorit saavad
esitada kõike R2s?
Ei.
Ma näitasin sulle just kahte vektorit, millega ei saa kõike esitada.
Mis on 0 vektori lineaarne kate?
Ma panen sellele noole peale, teen selle paksuks.
Null vektori lineaarne kate oleks lihtsalt 0, 0, vahet ei ole
millega ma selle läbi korrutaksin.
Selle lineaarne kate oleks lineaarne kombinatsioon sellest,
ehk põhiliselt, ma võin panna suvalise reaalarvu siia,
aga lõpuks jääb ikka 0, 0 vektor.
Seega 0 vektori lineaarne kate on lihtsalt 0 vektor.
Ainuke vektor mille ma saan selle lineaar kombinatsiooni abil,
on 0 vektor ise, see on lihtsalt 0 vektor.
Samuti, kui ma võtan, ütleme et ma

Chinese: 
它们张成的向量空间是这条线
就是这条线
而不是整个空间R2
这不仅仅是关于
本例的一个声明
它就像……
任意两个向量都能表示出空间R2吗？
不是这样的
我刚刚给出了一个反例
0向量张成的线性空间是什么？
在上面加一个箭头
表示它是一个向量
0向量就是[0,0]
我不关心对它乘以什么数
它张成的线性空间就是它的线性组合
实际上 我可以在这乘以任何实数
但最后都会得到向量[0,0]
所以0向量张成的线性空间就是它本身
由它的线性组合所得到的向量
仅有0向量自身
同样地 如果取其它的向量张成的空间

Portuguese: 
apenas esta reta.
É apenas esta reta.
Não é tudo o R2.
Portanto isto não é apenas algum tipo de afirmação, quando eu fiz pela primeira
vez com aquele exemplo.
É como, OK, podem quaisquer dois vetores
representar qualquer vetor do R2?
Bem, não!
Eu acabei de vos mostar dois vetores que não podem representar isso.
O que é o espaço gerado pelo vetor 0?
Eu vou colocar uma seta sobre ele, o vetor 0, ou torná-lo negrito.
Bem, o vetor 0 é apenas 0, 0, então importa que
múltiplo eu coloque nele.
O espaço gerado por ele são todas as combinações lineares disto,
portanto, essencialmente, eu poderia colocar números reais arbitrários aqui,
mas eu vou acabar por ficar com um 0, o vetor 0.
Logo, o espaço gerado pelo vetor 0 é apenas o vetor 0.
O único vetor que posso obter uma combinação linear disto,
o vetor 0 por si só, é apenas o próprio vetor 0.
Da mesma forma, se eu tomar o espaço gerado de apenas, vocês sabem, digamos que eu...

Chinese: 
回到這個例子
向量a是這個
用一個好些的顏色來畫
向量a就像這樣
如果我問a張成的線性空間是什麽
那就是僅由a的線性組合
生成的所有向量
這實際上是按比例的伸縮
甚至不用考慮組合
僅僅是ca生成的向量
我們在影片中見過
直線的參數化形式
這裡的由向量a張成的線性空間
就是由向量a按比例伸縮
形成的直線
向量a張成的線性空間就是一條直線
如果要展成空間R2
則需要兩個不共線的兩個向量
盡管我還沒有給出證明
但是我們在例子中能看出來
如果取這個a和這個b
那麽就可以用這兩個向量表現空間R2
關於能夠張成空間R2的
你最熟悉的兩個向量

English: 
go back to this example
right here.
My a vector was right
like that.
Let me draw it in
a better color.
My a vector looked like that.
If I were to ask just what the
span of a is, it's all the
vectors you can get by
creating a linear
combination of just a.
So it's really just scaling.
You can't even talk about
combinations, really.
So it's just c times a,
all of those vectors.
And we saw in the video where
I parametrized or showed a
parametric representation of a
line, that this, the span of
just this vector a, is the line
that's formed when you
just scale a up and down.
So span of a is just a line.
You have to have two vectors,
and they can't be collinear,
in order span all of R2.
And I haven't proven that to you
yet, but we saw with this
example, if you pick this a and
this b, you can represent
all of R2 with just
these two vectors.
Now, the two vectors that you're
most familiar with to

Korean: 
여기에 예시를 들어볼게요
벡터 a가 이렇게 있습니다
더 좋은 색으로 써볼게요
벡터 a가 저렇게 생겼단 말이죠
만약 a의 생성이 무엇이냐고 묻는다면
a 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는
벡터들은 무엇이냐고 묻는 것과 같습니다
그러니까 단순히 상수배합니다
결합이라 부르기도 어려워요
그냥 ca 꼴의 모든 벡터입니다
매개화시키거나 매개화된 직선의 표현을
그 영상에서 보았듯이
벡터 a의 생성은
a의 크기를 바꾸면서 얻는 직선입니다
a의 생성은 그냥 직선이에요
만약에 벡터 두 개의 생성이
R²가 된다면
두 벡터는 같은 직선상에
있으면 안 됩니다
그걸 증명하지는 않았지만
지금 이 예시에서 볼 수 있듯
이런 a와 b를 잡으면
이 두 벡터로
R² 전부를 나타낼 수 있습니다
R²를 생성하는 벡터 중에서

Thai: 
ผมกลับไปที่ตัวอย่างนี่ตรงนี้
เวกเตอร์ a เป็นแบบนั้น
ขอผมใช้สีดีๆ หน่อย
เวกเตอร์ a ของผมเป็นแบบนี้
ถ้าผมถามว่าสแปนของ a คืออะไร, มันก็คือเวกเตอร์
ที่คุณได้จากการสร้างผลรวมเชิงเส้น
ของ a อย่างเดียว
มันก็แค่การย่อขยาย
ที่จริงคุณไม่มีผลรวมอยู่
มันก็แค่ c คูณ a, เวกตอร์ทั้งหมดพวกนั้น
และเราเห็นในวิดีโอ โดยผมสร้างสมการพาราเมทริก หรือแสดง
รูปพาราเมทริกของเส้นตรง, ว่านี่, สแปน
ของเวกเตอร์ a นี่, มันคือเส้นตรงที่เกิดขึ้นเมื่อ
คุณย่อขยายเวกเตอร์
สแปนของ a ก็แค่เส้นตรง
คุณต้องมีเวกเตอร์สองตัว, และมันต้องไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน,
เพื่อสแปน R2 ทั้งหมด
และผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณเห็น, แต่เราเห็น
จากตัวอย่างนี้ได้, ถ้าคุณเลือก a กับ b นี่, คุณสามารถ
แทน R2 ทั้งหมดด้วยเวกเตอร์แค่สองตัวนี้
ทีนี้, เวกเตอร์สองตัวที่คุณคุ้นเคยที่สุด

Estonian: 
lähen tagasi selle näite juurde.
Minu a vektor oli selline.
Las ma joonistan selle paremas värvis.
Minu a vektor nägi välja selline.
Kui ma küsiksin, mis oleks a vektori lineaarne kate, siis oleks see
kõik vektorid, mis on võimalik saada moodustades lineaar
kombinatsiooni ainult a'st.
Seega see on tegelikult lihtsalt skaleerimine.
Sa ei saa isegi rääkida kombinatsioonidest, tegelikult.
See on lihtsalt c korda a, kõik need vektorid.
Ja me nägime videos, kus ma parametriseerisin või näitasin
joone parameetrilist esitamist, see on, selle vektori a
lineaarne kate on joon, mis on moodustatud kui sa
lihtsalt skaleerid seda üles ja alla.
Seega a lineaarne kate on lihtsalt joon.
Sul peab olema kaks vektorit, ja need ei või olla kollineaarsed,
selleks et lineaarne kate oleks terve R2.
Ma ei ole seda veel tõestanud, aga me nägime seda
selle näite abil, kui sa võtad selle a ja selle b, siis sa saad esitada
tervet R2 ainult nende kahe vektori abil.
Kaks vektorit, mille sa oled kõige rohkem kokkupuutunud, mille

Portuguese: 
...volte a este exemplo aqui.
O meu vetor a era assim.
Permitam-me que o desenhe numa cor melhor.
O meu vetor a parecia assim.
Se eu fosse apenas perguntar qual o espaço gerado por a, são todos
os vetores que podemos obter, criando um a
combinação linear de apenas a.
Por isso é realmente apenas dimensionamento.
Você não pode sequer falar sobre combinações, realmente.
Por isso é apenas c vezes um, todos esses vetores.
E vimos no vídeo onde eu parametrizada ou mostrou um
representação paramétrica de uma linha, que isso, a extensão de
apenas esse vetor, é a linha que tem formado quando você
apenas dimensionar uma cima e para baixo.
Assim calibração de um é apenas uma linha.
Você tem que ter dois vetores, e eles não podem ser colineares,
na ordem de abranger toda a R2.
E eu não provaram que você ainda, mas nós vimos com isso
exemplo, se você pegar isso um e esta b, você pode representar
todos R2 com apenas esses dois vetores.
Agora, os dois vetores que você estiver mais familiarizado com a

Chinese: 
回到这个例子
向量a是这个
用一个好些的颜色来画
向量a就像这样
如果我问a张成的线性空间是什么
那就是仅由a的线性组合
生成的所有向量
这实际上是按比例的伸缩
甚至不用考虑组合
仅仅是c*a生成的向量
我们在视频中见过
直线的参数化形式
这里的由向量a张成的线性空间
就是由向量a按比例伸缩
形成的直线
向量a张成的线性空间就是一条直线
如果要生成空间R2
则需要两个不共线的两个向量
尽管我还没有给出证明
但是我们在例子中能看出来
如果取这个a和这个b
那么就可以用这两个向量表示空间R2
关于能够张成空间R2的
你最熟悉的两个向量

Bulgarian: 
да се върнем към 
този пример тук.
Моят вектор а беше ето такъв.
Ще избера по-хубав цвят.
Моят вектор а 
изглежда ето така.
И ако търся коя е линейната обвивка
на вектор а, тя е
всички вектори, които могат
да се получат от
линейни комбинации само
на  вектор а.
Това е просто увеличение
и намаление.
Всъщност дори не става
въпрос за комбинации.
Това е само с по а,
всички тези вектори.
И във видеото, в което 
параметризирахме, където показах
параметрично предтавяне на
права, видяхме, че линейната обвивка
само на този вектор а, това е
правата, която се получава, когато
просто го увеличаваме
или намаляваме.
Значи линейната му 
обвивка е просто права.
Трябва да имаш два вектора, 
които не са колинеарни,
за да може линейната 
обвивка да е цялата R2.
Още не съм доказал това,
но видяхме с този пример,
че ако избера това а и това b,
можем да представим
всичко в R2 само чрез
тези два вектора.
Двата вектора, за които
знаеш най-добре, че

Japanese: 
では、この例に戻ってみましょう。
ここでは、aベクトルはこれです。
色を変えます。
aベクトルはこれです。
aベクトルのベクトル空間は
aベクトルのみで得られるベクトルで、
aベクトルのみで得られるベクトルで、
これは、長さを変えることで、
結合というものではなく、
c倍されたこれらのベクトルです。
パラメトリック方程式でみたように
aの線のパラメトリック方程式は
このベクトルaのベクトル空間です。
その長さが異なったベクトル群です。
aベクトルのベクトル空間はこの線です。
R２のすべてのベクトル空間をもつには、
２つのベクトルは同一線上ではないことが必要です。
これは、まだ証明していませんが、
この例でみたように
aとbのベクトルですべてのR２が表現できました。
馴染み深いR２のベクトル空間で

Estonian: 
lineaar kate on R2, kui sa oled füüsikat õppinud, siis sa tead
i ja j ühikvektoreid.
Ja meie tähistuses, i, ühikvektor i, mida sa õppisid
füüsika klassis oleks vektor 1, 0.
See on i, see on vektor i, ja siis vektor
j on ühikvektor 0, 1.
See on see, mida sa õppisid füüsika klassis.
Las ma teen selle teises värvis.
See on j.
j on too.
Ja sa õppisid, et need on ortogonaalsed/risti ja me hakkame
rääkima palju rohkem, mida ortogonaalsus tähendab, aga
traditsiooniliselt mida me õppsime keskkoolis, see
tähendab, et nad on 90 kraadise nurga all.
Aga sa saad ilmselgelt esitada ükskõik millist nurka või ükskõik millist vektorit R2s
kasutades neid kahte vektoreid.
See, et nad on ortogonaalsed teevad nad ekstra
heaks, ja sellpärast see kuju--ma ütlen nüüd ühe
sõna, mida ma ei ole veel defineerinud.
Need moodustavad baasi.
Need moodustavad R2 baasi.

English: 
that span R2 are, if you take
a little physics class, you
have your i and j
unit vectors.
And in our notation, i, the unit
vector i that you learned
in physics class, would
be the vector 1, 0.
So this is i, that's the vector
i, and then the vector
j is the unit vector 0, 1.
This is what you learned
in physics class.
Let me do it in a
different color.
This is j.
j is that.
And you learned that they're
orthogonal, and we're going to
talk a lot more about what
orthogonality means, but in
our traditional sense that we
learned in high school, it
means that they're 90 degrees.
But you can clearly represent
any angle, or any vector, in
R2, by these two vectors.
And the fact that they're
orthogonal makes them extra
nice, and that's why these
form-- and I'm going to throw
out a word here that I
haven't defined yet.
These form the basis.
These form a basis for R2.

Korean: 
물리 수업을 조금 들으셨다면
가장 친숙한 벡터는 아마
단위벡터 i와 j일 겁니다
단위벡터 i와 j일 겁니다
물리 시간에 배운 i는
벡터 (1, 0)일 겁니다
이게 벡터 i 이고
벡터 j는 (0, 1)이죠
물리 수업에서 이렇게 배웠을 거예요
다른 색으로 할게요
이게 j입니다
이게 j입니다
두 벡터가 직교한다는 걸 배웠을 테고
직교가 무엇인지 나중에 또 얘기하겠지만
고등학교 수준으로 말하자면
서로 90도로 만난다는 거죠
명백히 어떤 각이든
어떤 R² 위의 벡터이든
이 두 벡터로 나타낼 수 있죠
두 벡터가 직교한다는 사실이
이 벡터들이 더 좋아지는 이유인데요
아직 정의하지 않은 용어를 쓰자면
이 벡터들이 기저를 이룹니다
이 벡터들이 R²의 기저를 이뤄요

Thai: 
ที่สแปน R2 ได้ คือ, ถ้าคุณเรียกฟิสิกส์มาบ้างล คุณจะ
ได้เวกเตอร์หน่วย i กับ j
-
และในสัญลักษณ์ของเรา, เวกเตอร์หน่วย i ที่คุณเียน
ในวิชาฟิสิกส์, ก็คือเวกเตอร์ 1,0
นี่คือ i, นั่นคือเวกเตอร์ i, แล้วเวกเตอร์
j คือเวกเตอร์ห่นวย 0, 1
นี่คือสิ่งที่คุณเรียนในวิชาฟิสิกส์
ขอผมใช้อีกสีนะ
นี่คือ j
j คือเจัานั่น
และคุณเรียนไปว่ามันตั้งฉากกัน, และเราจะ
พูดถึงอีกว่าการตั้งฉากคืออะไร, แต่
ตามที่รู้กันมา, ตอนเราเรียนในชั้นมัธยม, มัน
มหายถึง มันทำมุม 90 องศา
แต่คุณสามารถแทนมุม, หรือเวกเตอร์ใดๆ ใน R2
ด้วยเวกเตอร์สองตัวนี้
และที่จริงแล้ว การตั้งฉากทำให้มัน
เป็น, นั่นคือสาเหตุที่พวกมันรวมกันเป็น -- ผมจะโยน
คำศัพท์ใหม่ที่ผมยังไม่ได้นิยามเลย
พวกนี้รวมกันกันเป็นฐานหลัก (basis)
พวกนี้เกิดเป็นฐานหลักสำหรับ R2

Japanese: 
物理のクラスなどで、
i と j の単位ベクトルです。
i と j の単位ベクトルです。
物理など習うi の単位ベクトルは、
（１、０）です。
そして、 j の単位ベクトルは
（０、１）です。
これが物理で使用されるベクトルです。
色を変えて、
これが　 j の単位ベクトルです。
これが、 j の単位ベクトルです。
これらは、直交します。
これから、直交の意味について、説明していきますが、
典型的には、
９０度で交わります。
これらの２つのベクトルで
R２のあらゆる角度のベクトルが表現できます。
これらのベクトルが直交することは、
特に便利で
これらは基底と呼ばれます。
これらは、R２の基底です。
これらは、R２の基底です。

Bulgarian: 
покриват R2, ако си учил/а
по физика,
това са единичните вектори î и ĵ. 
(Означават се с шапчица (циркумфлекс) отгоре).
При нашия начин на записване,
единичният вектор î, който си учил/а
в часовете по физика,
е векторът [1;0].
Значи това е векторът î,
а вектор ĵ е просто
единичният вектор [0;1].
Това се учи по физика.
Ще използвам различен цвят.
Това е вектор ĵ.
И си учил/а, че те са 
ортогонални, като ние
ще говорим повече какво
означава ортогоналност, но
от това, което се учи 
в гимназията, знаем, че
това означава, че те
сключват ъгъл от 90 градуса.
Но можеш да представиш всеки
ъгъл или всеки вектор в R2
чрез  тези два вектора.
Фактът, че са ортогонални, 
ги прави изключително удобни,
и това е причината този начин...
ще използвам един термин,
който още не сме
дефинирали.
Те образуват базиса,
те формират базиса на R2.

Portuguese: 
Essa extensão R2 são, se você levar uma pequena classe de física, você
ter seu i e j unidade vetores.
E em nossa notação, eu, a unidade de vetor eu que você aprendeu
na classe de física, seria o vector 1, 0.
Por isso é que eu, que é o vetor i e, em seguida, o vetor
j é o vetor de unidade 0, 1.
Isso é o que você aprendeu na classe de física.
Deixe-me a fazê-lo em uma cor diferente.
Isso é j.
j é que.
E você aprendeu que eles são ortogonais, e nós estamos indo
falar muito mais sobre o que significa ortogonalidade, mas em
nosso sentido tradicional que aprendemos na escola, ele
significa que eles são 90 graus.
Mas você claramente pode representar qualquer ângulo, ou qualquer um vetor, em
R2, por estes dois vetores.
E o fato de que eles são ortogonais torna extra
bom e que é por que estes formam - e eu vou lançar
uma palavra aqui que eu ainda não foi definida.
Estes formam a base.
Estes formam uma base para R2.

Chinese: 
如果你上過物理課
課上講過向量i和j
用我們的記號
物理課上講的單位向量i
就是向量[1,0]
這就是向量i
而向量j是單位向量[0,1]
這是在物理課上學過的
我換一種顏色
這是j j在那
並且你知道它們是正交的
關於正交的意義
我們要進一步討論
由高中的知識 我們習慣上的感覺是
正交就意味著夾角爲90度
但是你可以用這兩個向量
表示R2上的任何向量
而二者正交這一事實
則使得處理起來更加完美
這就是爲什麽這種形式――
這裡我省略了我們還沒有定義的一個詞
它們構成了基底
它們是R2的基底
事實上 你可以用這兩個向量

Chinese: 
如果你上过物理课
课上讲过向量i和j
用我们的记号
物理课上讲的单位向量i
就是向量[1,0]
这就是向量i
而向量j是单位向量[0,1]
这是在物理课上学过的
我换一种颜色
这是j j在那
并且你知道它们是正交的
关于正交的意义
我们要进一步讨论
由高中的知识 我们习惯上的感觉是
正交就意味着夹角为90度
但是你可以用这两个向量
表示R2上的任何向量
而二者正交这一事实
则使得处理起来更加完美
这就是为什么这种形式――
这里我省略了我们还没有定义的一个词
它们构成了基底
它们是R2的基底
事实上 你可以用这两个向量

English: 
In fact, you can represent
anything in R2 by these two
vectors. line.
I'm not going to even define
what basis is.
That's going to be
a future video.
But let me just write the formal
math-y definition of
span, just so you're
satisfied.
So if I were to write the span
of a set of vectors, v1, v2,
all the way to vn, that just
means the set of all of the
vectors, where I have c1 times
v1 plus c2 times v2 all the
way to cn-- let me scroll over--
all the way to cn vn.
So this is a set of vectors
because I can pick my ci's to
be any member of the real
numbers, and that's true for
i-- so I should write for i to
be anywhere between 1 and n.
All I'm saying is that look, I
can multiply each of these

Chinese: 
表示R2中的任何向量
这里我不给出基底的定义
今后再讲解
我先写出
“张成的空间”的正式的数学说法
使得大家更加确信
如果我写出v1 v2 直到vn
张成的线性空间
它表示所有向量的集合
其中c1v1 加上c2v2
直到cn――
再往右边点―― 一直加到cn*vn
这是一个向量的集合
每一个ci都可以取任意的实数
对于每一个i――
i可以取从1到n
我要表达的是

Bulgarian: 
Всъщност можеш да представиш
всичко в R2 с тези два вектора.
Даже няма да дефинирам
какво означава базис.
Ще го направя в друго видео.
Но ще запиша формалната 
математическа дефиниция
на линейна обвивка за
твое удовлетворение.
Ако трябва да запишем линейната
обвивка на множество от вектори v1, v2
чак до vn, това означава
множеството от всички вектори,
за които c1 по v1 плюс c2 по v2
и така нататък чак до
cn по vn – ще се преместя –
чак до cn по vn.
Значи това е множество от вектори,
защото мога да избера моите с-та с индекс i,
като произволни реални числа,
и това важи и за i –
значи ще запиша, че i е
произволно цяло число между 1 и n.
Просто казвам, че мога
да умножа всеки от тези вектори

Japanese: 
事実、R２のすべてがこの２つのベクトルで
表現できます。
まだ基底を定義していませんが、
それは、後のビデオで行います。
しかしここで、
ベクトル空間spanについて定義しましょう。
v１、v２、．．．vnのspanは、
これらすべてのベクトルのセットで、
c１、c２、、、、cnのスカラー値がある
ベクトルのセットです。
これは、
１からnまでの任意の数での
ベクトルにスカラー値を掛けたのものです。
それぞれのベクトルに

Portuguese: 
Na verdade, você pode representar qualquer coisa no R2 por estes dois
vetores. linha.
Eu não vou mesmo definir que base é.
Que vai ser um vídeo futuro.
Mas deixe-me apenas escrever a definição formal de matemática-y de
abrangem, apenas para que você esteja satisfeito.
Portanto, se eu fosse escrever a extensão de um conjunto de vetores, v1, v2,
todo o caminho até vn, isso apenas significa o conjunto de todos os
vetores, onde tenho c1 vezes v1 mais c2 vezes v2 todos os
maneira de cn - deixe-me rolar sobre-todo o caminho até cn vn.
Então isso é um conjunto de vetores, porque eu posso escolher meu ci para
ser um membro dos números reais, e isso é verdade para
i - assim que eu deveria escrever para eu estar em qualquer lugar entre 1 e n.
Tudo o que eu estou dizendo é que o olhar, podem multiplicar-cada um destes

Estonian: 
Sa saad esitada kõike R2s kasutades neid
kahte vektoreid. joon.
Ma isegi ei defineeri, mis on baas.
See tuleb hilisemas videos.
Aga las ma kirjutan korrektse matemaatilise definitsiooni
lineaar kattest, selleks et sa oleks rahul.
Kui ma kirjutaks lineearkatte vektorite v1, v2 ... vn hulgast,
siis see tähendaks hulk kõikidest vektoritest, kus
mul on c1 korda v1 pluss c2 korda v2 kuni
cn--las ma kerin üles-- kuni cn korda vn.
Nii, et see on hulk vektoritest, sest ma saan võtta enda ci
ükskõik millise elemendida reaalarvude hulgast, ja see peab paika
i kohta-- peaksin kirja panema, et i kuulub vahemikku 1 kuni n.
Kõik mis ma öelda tahan on, et ma võin korrutada igat neist

Korean: 
R²의 어떤 벡터든
이 두 벡터로 나타낼 수 있죠
R²의 어떤 벡터든
이 두 벡터로 나타낼 수 있죠
기저가 무엇인지는
아직 정의를 않겠습니다
나중에 나올 겁니다
하지만 일단 생성에 대해서는
수학적인 정의를 내릴게요
만약 벡터 v1, v2, ..., vn으로 이루어진
집합의 생성이라고 하면
그 집합의 생성은 벡터들을 모으는데
어떤 벡터들을 모으냐면
c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현이 되는
그런 벡터들을 다 모읍니다
c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현이 되는
그런 벡터들을 다 모읍니다
이게 벡터들의 집합이 되죠
모든 i에 대해 각 ci는 실수입니다
각 ci는 실수이고
여기 각각의 벡터를
임의의 실수만큼 상수배하고

Thai: 
ที่จริงแล้ว, คุณสามารถแสดงเวกเตอร์ใดๆ ใน R2 ด้วยเวกเตอร์
สองตัวนี้, เส้นตรง
มันยังไม่ได้นิยามเลยว่าฐานหลักคืออะไร
มันจะอยู่ในวิดีโอต่อๆ ไป
แต่ขอผมเขียนนิยามคำว่าสแปน ตามคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง
คุณจะได้พอใจ
ถ้าผมเขียนสแปนของเซตของเวกเตอร์, v1, v2,
ไปจนถึง vn, และนั่นหมายควาถึงเซตของ
เวกเตอร์ทั้งหมด, โดยผมมี c1 คูณ v1 บวก v2 คูณ v2
ไปจนถึง cn -- ขอผมเลื่อนลงหน่อยนะ -- ไปจนถึง cn vn
นี่ก็คือเซตของเวกเตอร์ เพราะผมสามารถเลือก ci
ให้เป็นจำนวนใดๆ ในเซตจำนวนจริง และมันเป็นจริง
สำหรับทุก i -- ผมจึงควรเขียน i เป็นค่าใดๆ จาก 1 ถึง n
ที่ผมบอกคือว่า ดูสิ, ผมคูณแต่ละเวกเตอร์

Chinese: 
表示R2中的任何向量
這裡我不給出基底的定義
今後再講解
我先寫出
“張成的空間”的正式的數學說法
使得大家更加確信
如果我寫出v1 v2 直到vn
張成的線性空間
它表示所有向量的集合
其中c1v1 加上c2v2
直到cn――
再往右邊點―― 一直加到cnvn
這是一個向量的集合
每一個ci都可以取任意的實數
對於每一個i――
i可以取從1到n
我要表達的是

Chinese: 
我可以對這些向量乘以任何數值
即任意的實數
然後把它們加起來
從而我得到的
線性組合的集合
就是這些向量張成的空間
你可以把它看做一些向量構成的空間
其中該空間中的所有向量
可以由這些向量的線性組合表成
現在對於“張成”這個詞
我想你應該會有一種直觀的感覺
我是說在第一個例子中
我講解了兩個向量張成的線性空間
或者說a和b張成了R2
我把它寫在了這裡
這表明R2中的任何向量
都可以有a和b的線性組合表成
事實上 我們僅僅從直觀感覺上
給出了一個“假的證明”
現在我用代數方法證明一下
我可以取――
我要表示
已知一些――

Thai: 
ด้วยค่าใดๆ, ค่าตามใจ, เป็นจำนวนจริง
แล้วผมก็รวมพวกมันเข้าได้
และตอนนี้เซตของผลรวมทั้งหมด, ผลรวม
ที่ย่อขยาย ที่ผมหาได้, นั่นก็คือสแปนของเวกเตอร์พวกนี้
คุณสามารถมองมันเป็นเสเปซของเวกเตอร์ทั้หงมด
ที่สามารถแสดงได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พวกนี้
ตรงนี้
และคำว่าสแปน, ผมว่ามันตรงตาม
สัญชาตญาณดี
ผมหมายความว่า, ถ้าผมบอกว่า, คุณก็รู้, ในตัวอย่างแรกของผม, ผม
แสดงให้ดคุณดูว่าสแปนของเวกเตอร์สองตัวนั้น, a กับ b สแปน R2
ผมเขียนมันตรงนี้
มันบอกผมว่า เวกเตอร์ใดๆ ใน R2 สามารถเขียนแทนได้
ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ a กับ b
และที่จริงแล้ว, ถ้าพิสูจน์
ด้วยภาพคร่าวๆ คงไม่พอ, ขอผมพิสูจน์
ด้วยพีชคณิตแล้วกัน
ผมกำลังบอกคุณว่า ถ้าผมเลือก -- สมมุติว่าผม

Japanese: 
任意のスカラーが掛けられていて
それを加算したもののセットです。
これらの組み合わせが
ベクトルのspanです。
これらのベクトルの任意の長さでの
組み合わせで表現できる空間を
示します。
spanは、
直感的な意味があります。
つまり、
最初に示したR２の２つのベクトルの例で
最初に示したR２の２つのベクトルの例で
R２のすべてのベクトルが
この２つのベクトルの線型結合で表現できます。
実際、
見た目の感覚のみでなく
代数的に証明しましょう。
では、ここに

Chinese: 
我可以对这些向量乘以任何数值
即任意的实数
然后把它们加起来
从而我得到的
线性组合的集合
就是这些向量张成的空间
你可以把它看做一些向量构成的空间
其中该空间中的所有向量
可以由这些向量的线性组合表成
现在对于“张成”这个词
我想你应该会有一种直观的感觉
我是说在第一个例子中
我讲解了两个向量张成的线性空间
或者说a和b张成了R2
我把它写在了这里
这表明R2中的任何向量
都可以有a和b的线性组合表成
事实上 我们仅仅从直观感觉上
给出了一个“假的证明”
现在我用代数方法证明一下
我可以取――
我要表示
已知一些――

English: 
vectors by any value, any
arbitrary value, real value,
and then I can add them up.
And now the set of all of the
combinations, scaled-up
combinations I can get, that's
the span of these vectors.
You can kind of view it as the
space of all of the vectors
that can be represented by a
combination of these vectors
right there.
And so the word span,
I think it does have
an intuitive sense.
I mean, if I say that, you know,
in my first example, I
showed you those two vectors
span, or a and b spans R2.
I wrote it right here.
That tells me that any vector in
R2 can be represented by a
linear combination of a and b.
And actually, just in case
that visual kind of
pseudo-proof doesn't do you
justice, let me prove it to
you algebraically.
I'm telling you that I can
take-- let's say I want to

Estonian: 
vektoritest mingi väärtusega, suvalise väärtusega, reaalarvulise väärtusega,
ja siis ma võin need kokku liita.
Ja nüüd hulk kõigist kombinatsioonidest, skaleeritud
kombinatsioonidest, mis on võimalik saada, see on lineaarkate nendest vektoritest.
Sa võid seda vaadelda kui ala kõikidest vektoritest, mida
on võimalik esitada kombineerides neid vektoreid
siin.
Seega sõnal kate, ma usun on siin
intuitiivne tähendus.
Ma mõtlen et, kui ma ütlen et, saad aru, minu esimeses näites,
ma näitasin sulle nende kahe vektori lineaarkatet, või a ja b lineaarkatet R2.
Ma kirjutasin selle siia.
See ütleb mulle, et iga vektor R2s on võimalik esitada
a ja b lineaar kombinatsioonina.
Ja tegelikult, kui see visuaalne pseudo-tõestus ei ole
sulle piisav, siis las ma tõestan selle
algebraliselt ära.
Ma ütlen, et ma võin võtta -- ütleme, et ma tahan

Portuguese: 
vetores por qualquer valor, qualquer valor arbitrário, o valor real,
e, em seguida, pode adicioná-los.
E agora o conjunto de todas as combinações, dimensionado
combinações de eu conseguir, que é a extensão desses vetores.
Você pode tipo de vê-lo como o espaço de todos os vetores
que pode ser representado por uma combinação destes vetores
ali mesmo.
E assim a palavra span, eu acho que ter
um senso intuitivo.
Quero dizer, se eu disser que, você sabe, meu primeiro exemplo, eu
mostramos-lhe os dois vetores de calibração, ou um e b abrange R2.
Eu escrevi aqui.
Que me diz que qualquer vetor no R2 pode ser representado por um
combinação linear de um e b.
E na verdade, apenas no caso desse visual tipo de
pseudo-Proof não é fazer justiça, deixe-me provar que ele
você algebricamente.
Eu estou lhe dizendo que eu posso tomar--vamos dizer eu quero

Korean: 
여기 각각의 벡터를
임의의 실수만큼 상수배하고
다 더한다는 거예요
이런 선형결합을 다 모은 집합이
바로 이 벡터들의 생성입니다
이 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있는
공간 전체를 나타낸다고 생각할 수 있습니다
공간 전체를 나타낸다고 생각할 수 있습니다
이 생성이라는 용어가
나름 직관적이라고 생각합니다
예컨대 제 첫 번째 예시에서
이 두 벡터 a와 b가
R²를 생성한다는 걸 보였죠
여기에 썼었죠
R² 위의 어떤 벡터든지
a와 b의 선형결합으로
나타낼 수 있다는 거예요
이런 확실하지 않은 증명이
시각적으로 납득이 잘 안 되신다면
대수적으로 증명을 하겠습니다
무슨 소리를 하는 거냐면

Bulgarian: 
по всяка произволна стойност,
реална стойност,
и после мога да ги събера.
И множеството от всички
комбинации, всички
мащабирани комбинации, които имам,
това е линейната обвивка на тези вектори.
Можеш да я разглеждаш
като пространството на всички вектори,
които могат да се представят
като комбинация от тези вектори ето тук.
Терминът "линейна обвивка" –
за мен той няма логично обяснение.
Имам предвид, че, разбираш,
в първия пример
показах, че линейната обвивка
на двата вектора а и b е R2.
Записах го ето тук.
Това означава, че всеки вектор
в R2 може да бъде представен
като линейна комбинация на 
векторите а и b.
И всъщност, просто в случай че
този визуален начин
за "псевдо-доказване" не е убедителен 
за теб, аз ще  го докажа алгебрично.
Казвам ти, че ще взема...
да кажем, че искам

English: 
represent, you know, I have
some-- let me rewrite my a's
and b's again.
So this was my vector a.
It was 1, 2, and b was 0, 3.
Let me remember that.
So my vector a is 1, 2, and
my vector b was 0, 3.
Now my claim was that I can
represent any point.
Let's say I want to represent
some arbitrary point x in R2,
so its coordinates
are x1 and x2.
I need to be able to prove to
you that I can get to any x1
and any x2 with some combination
of these guys.
So let's say that my
combination, I say c1 times a
plus c2 times b has to be
equal to my vector x.
Let me show you that I can
always find a c1 or c2 given
that you give me some x's.

Chinese: 
我把向量a和b重寫一遍
這是向量a
它等於[1,2] 而向量b是[0,3]
我們記住它
向量a=[1,2] b=[0,3]
現在我可以表示出任何點了
比如說表示R2中的
任意一點x
其坐標爲[x1,x2]
我要證明的是
我可以用這些向量的線性組合
表示出任意x1 x2
寫出線性組合
c1a加上c2b
等於向量x
對於一個給定的x
我總能找到對應的c1和c2
我把向量的

Bulgarian: 
да представя...
ще преработя отново
моите вектори а и b.
Това е вектор а.
Той е [1;2]. Вектор b е [0; 3].
Да запомним това.
Значи моят вектор а е [1; 2],
а вектор b е [0; 3].
Твърдението ми е, че мога
да представя всяка точка.
Да кажем, че искам да
представя произволна точка в R2.
Координатите ѝ са х1 и х2.
Трябва да ти докажа, че мога
да стигна до всяко х1
и до всяко х2 с някаква
комбинация от тези вектори.
Да кажем, че комбинацията ми...
нека с1 по вектор а
плюс с2 по вектор b да е 
равно на вектор х.
Ще ти покажа, че винаги мога
да ти дам с1 и с2, ако
ти ми посочиш някакви хиксове.

Thai: 
อยากแสดง, คุณก็รู้, ผมมี -- ขอผมเขียน a กับ
b ใหม่นะ
นี่คือเวกเตอร์ a ของผม
มันคือ 1, 2, และ b คือ 0, 3
ขอผมจำมันไว้ก่อน
เวกเตอร์ a คือ 1, 2 และ เวกเตอร์ b ผมคือ 0, 3
ตอนนี้สิ่งที่ผมบอกคือว่า ผมสามารถแสดงจุดใดๆ
สมมุติว่าผมอยากเขียนจุด x ใดๆ ใน R2,
พิกัดของมันคือ x1 กับ x2
ผมต้องพิสูจน์ให้คุณเห็นได้ว่า x1 กับ
x2 ใดๆ เขียนในรูปผลรวมของเจ้าพวกนี้ได้
สมมุติว่าผลรวมของผม, ผมบอกว่า c1 คูณ a
บวก c2 คูณ b ต้องเท่ากับเวกเตอร์ x ของผม
ขอผมแสดงให้คุณดูว่า ผมสามารถหา c1 กับ c2 เมื่อ
คุณให้ x มาได้เสมอ
-

Japanese: 
aとbのベクトルがあります。
いいですか？
これが、aです。
これは、（１、２）で、bは、（０、３）です。
いいですか？
（１、２）と（０、３）です。
これで、
R２の任意の点xの座標（x１、x２）が
表現できることを示します。
これらの組み合わせで、任意のx１、x２が
得られることを証明します。
この組み合わせを、c１＊a＋c２＊bとし、
これがxに等しくなるようにします。
c１とc２を選ぶことにより、
任意のxと等しくできます。
証明しましょう。

Estonian: 
esitada, näiteks, kui mul on mingi-- las ma kirjutan enda a
ja b uuesti.
See oli minu vektor a.
See oli 1, 2 ja b oli 0, 3.
Las ma jätan selle meelde.
Seega minu vekotr a on 1, 2, ja minu vektor b oli 0, 3.
Minu väiteks oli see, et ma võin esitada ükskõik millist punkti.
Ütleme, et ma tahan esitada mõnd suvalist punkti x R2s,
seega selle koordinaadid on x1 ja x2.
Ma pean olema võimeline teile tõestama, et ma saan suvalisse punkti x1
ja suvalisse x2 kasutades nende kahe kombinatsiooni.
Ütleme, et minu kombinatsioon, ma ütlen c1 korda a
pluss c2 korda b on võrdeline minu vektor x.
Las ma näitan, et ma saan leida c1 või c2, oletades
et mul on antud mingid x väärtused.

Korean: 
결국 어떤 벡터를 아무렇게나 잡았을 때
벡터 a와 b를 다시 쓸게요
a=(1, 2)였고
b=(0, 3)이었죠
기억하세요
a=(1, 2), b=(0, 3)입니다
이를 이용하여 어떤 벡터든지
나타낼 수 있다고 하였습니다
R² 위의 어떤 점 x를
나타낸다고 해 봅시다
좌표는 (x1, x2)이고요
x1과 x2를 이 두 벡터의 선형결합으로
나타낼 수 있다는 걸 보이면 되겠죠
x1과 x2를 이 두 벡터의 선형결합으로
나타낼 수 있다는 걸 보이면 되겠죠
따라서 선형결합은
c1 × a + c2 × b가 x와 같아야 하죠
이제 어떤 x가 주어졌을 때
c1과 c2를
반드시 찾을 수 있다는 걸 보여드리죠
c1과 c2를
반드시 찾을 수 있다는 걸 보여드리죠

Portuguese: 
representam, você sabe, eu tenho alguns - deixe-me reescrever meu de um
e s novamente.
Assim que esta foi minha vector um.
Foi 1, 2 e b foi 0, 3.
Permitam-me lembrar que.
Então meu vector um é 1, 2 e meu vetor b foi 0, 3.
Agora o meu pedido foi que eu pode representar qualquer ponto.
Digamos que eu queira representar algum ponto arbitrário x no R2,
então suas coordenadas são x1 e 2 x.
Eu preciso ser capaz de provar-lhe que eu posso obter a qualquer 1 x
e qualquer X2 com alguma combinação desses caras.
Então, vamos dizer que minha combinação, digo c1 vezes um
Além de c2 vezes b tem que ser igual ao meu vetor x.
Deixa eu te mostrar que eu posso sempre encontrar um c1 ou c2 dado
que você me dar algum x

Chinese: 
我把向量a和b重写一遍
这是向量a
它等于[1,2] 而向量b是[0,3]
我们记住它
向量a=[1,2] b=[0,3]
现在我可以表示出任何点了
比如说表示R2中的
任意一点x
其坐标为[x1,x2]
我要证明的是
我可以用这些向量的线性组合
表示出任意x1 x2
写出线性组合
c1a加上c2b
等于向量x
对于一个给定的x
我总能找到对应的c1和c2
我把向量的

Japanese: 
実際のベクトルを
書きましょう。
c１（１、２）＋c２（０．３）＝（x１、x２）
c１（１、２）＋c２（０．３）＝（x１、x２）
いいですか？
x１、x２は任意の値です。
これを証明しましょう。
これが真なら、
c１＊１＋０＊c２＝x１です。
これは、ベクトルの加算とスカラー乗算と
定義に沿っています。
また、c１＊２＋c２＋３＝
２＊c１＋３＊c２＝x２です。

Chinese: 
实际数值
代入到式中
c1乘以这个向量
加上c2乘以向量b
等于向量x
对应项等于x1 x2
它们是任意的
我们看看是否能证明出来
如果这是真的 那么下式也成立
1c1+0c2一定等于x1
这是由向量的标量乘法
和向量加法的定义得到的
我们还知道2*c2―― 抱歉
2c1+3c2应当等于x2
如果我能够证明

Bulgarian: 
Ще го запиша ето тук
с действителните вектори,
които ще запиша във вид
на стълбове.
Значи, когато имаме с1 по този вектор а,
плюс с2 по вектор b,
вектор [0; 3], това ще е равно
на моя вектор х,
трябва да може да е равно
на моя вектор [х1; х2],
като тези са просто 
произволни числа.
Да видим мога ли да докажа,
че това е вярно.
Ако това е вярно, тогава
следното ще е вярно.
с1 по 1 плюс 0 по с2
трябва да е равно на х1.
Това следва от определението
за умножение на вектори
по числа и събиране
на вектори.
После, ние знаем също така, че
2 по с2... извинявам се.
с1 по 2 плюс с2 по 3, което е 3с2,
трябва да е равно на х2.

Thai: 
งั้นลองเขียนเจ้านี่ตรงนี้ โดยเวกเตอร์นั้น
สามารถแสดงได้ในรูปคอลัมน์
เรามี c1 คูณเวกเตอร์นี้ บวก c2 คูณ b,
เวกเตอร์ 0, 3 ควรเท่ากับเวกเตอร์ x ของผม,
ควรเท่ากับ เท่ากับ x1 กับ x2 ของผม, โดยพวกนี้
มีค่าตามใจ
ลองดูว่าผมทำให้มันเท่ากันได้ไหม
ถ้านี่เป็นจริง, ข้อความต่อไปนี้ต้องเป็นจริง. c1
คูณ 1 บวก 0 คูณ c2 ต้องเท่ากับ x1
เราได้มาจากนิยามการคูณ
เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ และการบวกเวกเตอร์
แล้วเรายังรู้ว่า 2 คูณ c2 -- ขอโทษที
c1 คูณ 2 บวก c2 คูณ 3, 3 c2, ควรเท่ากับ x2

Estonian: 
Kirjutame selle siia välja, nii et vektorid
on esitatud nende kolumni kujul.
Nii, et meil on c1 korda see vektor pluss c2 korda
b vektor 0, 3 peaks olema võrdeline minu x vektoriga,
peaks olema võrdeline minu x1 ja x2, kus need on
suvalised numbrid.
Vaatame, kas ma suudan selle ära tõestada.
Kui see on tõene, siis ka järgnev on tõene.
c1 korda 1 pluss 0 korda c2 peab olema võrdeline x1.
Me saame selle meie vektorite korrutamise skalaariga
ja vektorite liitmise definitsioonist.
Ja siis, me teame, et 2 korda c2-- vabandust.
c1 korda 2 pluss c2 korda 3, 3c2, peaks võrduma x2.

English: 
So let's just write this right
here with the actual vectors
being represented in their
kind of column form.
So we have c1 times this vector
plus c2 times the b
vector 0, 3 should be able to
be equal to my x vector,
should be able to be equal to my
x1 and x2, where these are
just arbitrary.
So let's see if I can
set that to be true.
So if this is true, then the
following must be true. c1
times 1 plus 0 times c2
must be equal to x1.
We just get that from our
definition of multiplying
vectors times scalars
and adding vectors.
And then we also know that
2 times c2-- sorry.
c1 times 2 plus c2 times 3, 3c2,
should be equal to x2.

Portuguese: 
Então, vamos escrever isso aqui apenas com os vetores reais
sendo representado no seu tipo de forma de coluna.
Portanto, temos c1 vezes presente vector + c2 vezes o b
vector 0, 3 deve ser capaz de ser igual ao meu vetor x,
deve ser capaz de ser igual ao meu x1 e 2 x, onde estas são
apenas arbitrário.
Então vamos ver se eu posso definir que para ser verdade.
Portanto, se isso for verdade, então o seguinte deve ser verdadeiro. C1
tempos mais 1 0 vezes c2 deve ser igual a x 1.
Apenas temos que da nossa definição da multiplicação
escalares de tempos de vetores e adição de vetores.
E, em seguida, nós também sabemos que 2 vezes c2-Desculpe.
C1 vezes 2 plus c2 vezes 3, 3 c 2, deve ser igual a x 2.

Chinese: 
實際數值
代入到式中
c1乘以這個向量
加上c2乘以向量b
等於向量x
對應項等於x1 x2
它們是任意的
我們看看是否能證明出來
如果這是真的 那麽下式也成立
1c1+0c2一定等於x1
這是由向量的純量乘法
和向量加法的定義得到的
我們還知道2c2―― 抱歉
2c1+3c2應當等於x2
如果我能夠證明

Korean: 
여기서 벡터들을 열 형태로
정확히 나타낼게요
여기서 벡터들을 열 형태로
정확히 나타낼게요
c1에 이 벡터를 곱한 것에
c2 × b를 더하면
c2 × (0, 3)을 더하면
(x1, x2)가 나와야 합니다
이 때 x1과 x2는 임의의 수입니다
(x1, x2)가 나와야 합니다
이 때 x1과 x2는 임의의 수입니다
이것이 성립하는지 확인해 봅시다
만약 참이라면
다음 명제가 참이어야 합니다
c1 × 1 + c2 × 0 = x1
벡터의 스칼라곱과 덧셈 정의에서
나오는 결과죠
그리고 2 × c2와
아니죠
2 × c1 + 3 × c2 = x2
위 식이 성립해야 합니다

Chinese: 
若对于任意给定的x1和x2
我都能找到c1和c2
那么我就证明了
可以由这两个向量得到R2上的任一点
我们看看这是否可以证明
这是一个二元一次方程组
这是0
可以忽略它
我们将上式乘以2
写到下面来
我们得到-2*c1――
我就是对上式乘以了-2
这里是0 加上0 等于-2x1
然后两式相加
得到3*c2 对吗？
这项消去了
得到3―― 我换种颜色
得到3c2=x2-2x1
两边同时除以3
得到c2=1/3(x2-x1)

Japanese: 
任意のx１、x２について、この式を満たす
c１とc２を見つけることができれば、
R２のすべてのベクトルがこの２つのベクトルで
表現できることを証明します。
２つの未知数があります。
これは０なので
無視します。
この式を−２で掛けて
ここに置きます。
−２＊c１がここで、
−２＊c１がここで、
これは、０なので、−２＊c１＝ー２＊x１です。
この２つに式を足すと
３＊c２で、
これらは、キャンセルされ、
残りは
３＊c２＝x２−２＊x１です。
両辺を３で割って

Estonian: 
Nüüd, kui ma saan näidata, et ma saan alati leida c1 ja c2, oletades et
mul on antud x1 ja x2, siis ma olen tõestanud, et ma saan
minna ükskõik millisesse punkti kasutades ainult neid kahte vektoreid.
Vaatame, kas ma saan seda teha.
See on lihtsalt süsteem kahest tundmatust.
See on 0.
Me võime seda ignoreerida.
Korrutame selle võrrandi siin miinus 2'ga läbi
ja paneme selle siia.
Seega me saame miinus 2, c1--ma lihtsalt korrutan
selle miinus kahega läbi.
Me saame 0 siia, plus 0 on võrdeline miinus 2x1.
Ja siis sa liidad need kaks.
Saad 3c2, eks?
Need taanduvad ära.
Saad 3-- las ma kirjutan selle erinevad värvis.
Sa saad 3c2 on võrdeline x2 miinus 2x1.
Või jagades mõlemaid pooli 3ga, saad c2 on võrdeline

Korean: 
이제 x1과 x2가 주어졌을 때
이에 해당하는 c1과 c2를
항상 구할 수 있다면
R² 위의 모든 점을 이 두 벡터로
얻을 수 있다는 것이 증명되겠죠
가능한지 봅시다
미지수가 2개인 연립방정식이네요
이건 0이니까
무시할 수 있고요
이 방정식에 -2배를 한 뒤에
여기다 놓죠
-2 × c1이 되고
모든 항을 -2배 합니다
여긴 0이고
여긴 -2 × x1입니다
그다음 두 식을 더합니다
3 × c2를 얻죠
서로 지워지고요
다른 색으로 쓸게요
3 × c2 = x2 - 2 × x1가 됩니다
양변을 3으로 나누면

Portuguese: 
Agora, se eu mostrar-lhe que eu posso sempre encontrar do c1 e da c2
Tendo em conta qualquer x 1 e 2 x, então eu já provou que eu posso começar a
qualquer ponto no R2 usando apenas esses dois vetores.
Então deixe-me ver se eu posso fazer isso.
Assim que este é apenas um sistema de duas incógnitas.
Isso é apenas 0.
Nós pode ignorá-la.
Então, vamos multiplicar essa equação se aqui pelo menos 2
e colocá-lo aqui.
Assim que recebermos a menos 2, c1 - eu estou apenas multiplicando
Isso vezes menos 2.
Ficamos com um 0 aqui, além de 0 é igual ao menos 2 x 1.
E, em seguida, você adiciona estes dois.
Você recebe 3 c 2, certo?
Estas se anulam.
Você obter 3 - deixe-me escrevê-lo em uma cor diferente.
Você começ 3 c 2 é igual a 2 x menos 2 x 1.
Ou divida ambos os lados por 3, você recebe c2 é igual a

English: 
Now, if I can show you that I
can always find c1's and c2's
given any x1's and x2's, then
I've proven that I can get to
any point in R2 using just
these two vectors.
So let me see if
I can do that.
So this is just a system
of two unknowns.
This is just 0.
We can ignore it.
So let's multiply this equation
up here by minus 2
and put it here.
So we get minus 2, c1--
I'm just multiplying
this times minus 2.
We get a 0 here, plus 0
is equal to minus 2x1.
And then you add these two.
You get 3c2, right?
These cancel out.
You get 3-- let me write it
in a different color.
You get 3c2 is equal
to x2 minus 2x1.
Or divide both sides by 3,
you get c2 is equal to

Bulgarian: 
Ако мога да ти покажа, че мога
винаги да намеря с1 и с2,
за всяко х1 и х2, тогава
ще ти докажа, че мога да стигна
до всяка точка в R2
само чрез тези два вектора.
Да видим дали ще успея.
Това е просто система
с две неизвестни.
Това е просто 0.
Можем да го игнорираме.
Да умножим това уравнение
по –2, и да го добавим тук.
Получаваме –2с1...
просто умножавам това по –2.
Тук получаваме 0, плюс 0 е равно
на –2 по 1.
После събираме двете.
Получаваме 3с2, нали?
Тези се съкращават.
Полачаваме 3... ще го
запиша с друг цвят.
Получаваме 3с2 е равно
на х2 минус 2х1.
Делим на 3 двете страни,
получаваме с2 е равно на

Chinese: 
若對於任意給定的x1和x2
我都能找到c1和c2
那麽我就證明了
可以由這兩個向量得到R2上的任一點
我們看看這是否可以證明
這是一個二元一次方程組
這是0
可以忽略它
我們將上式乘以2
寫到下面來
我們得到-2c1――
我就是對上式乘以了-2
這裡是0 加上0 等於-2x1
然後兩式相加
得到3c2 對嗎？
這項消去了
得到3―― 我換種顏色
得到3c2=x2-2x1
兩邊同時除以3
得到c2=1/3(x2-x1)

Thai: 
ตอนนี้, ผมแสดงให้คุณเห็นว่า ผมสามารถหา c1 กับ c2
เมื่อกำหนด x1 กับ x2 เป็นค่าใดๆ มาได้, ผมก็พิสูจน์ได้แล้ว
ว่าจุดใดๆ ใน R2 สามารถสร้างจากเวกเตอร์สองตัวนี่ได้
ขอผมดูหน่อยว่าผมทำได้ไหม
นี่ก็แค่ระบบที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า 2 ตัว
นี่ก็แค่ 0
เราทิ้งมันไปได้
ลองคูณสมการนี้บนนี้ด้วย ลบ 2
และใส่มันตรงนี้
เราได้ ลบ 2, c1 -- ผมแค่คูณ
เจ้านี่ด้วย ลบ 2
เราได้ 0 ตรงนี้, บวก 0 เท่ากับลบ 2 x1
แล้วคุณก็บวกสองตัวนี้
คุณจะได้ 3 c2, จริงไหม?
พวกนี้ตัดกัน
คุณจะได้ 3 -- ขอผมเขียนอีกสีนะ
คุณจะได้ 3 c2 เท่ากับ x2 ลบ 2 x1
หรือหารทั้งสองข้างด้วย 3, คุณจะได้ c2 เท่ากับ

Estonian: 
1/3 x2 miinus x1.
Nüüd me peame selle asendama c1 jaoks.
Aga meil on see esimene võrrand siin, see c1,
see esimene võrrand, mis ütleb et c1 pluss 0 on võrdeline x1, ehk
c1 on võrdne x1.
Niiet see viib meid lihtsalt sinna.
Seega c1 on võrdne x1'ga.
Anna mulle suvaline punkt R2s--need on lihtsalt kaks
reaalarvu-- ja ma võin teha selle tehte ja
ma ütlen sulle, millised "raskused" tuleb lisada vektoritele a ja b, et saada
sellesse punkti.
Kui sa ütled, OK, mis a ja b kombinatsioonid viivad mu
sellesse punkti-- ütleme, et ma tahan jõuda sellesse punkti-- las
ma lähen siia üles tagasi.
Ah, see on nii kõrgel.
Ütleme, et ma tahan jõuda punkti 2, 2.
Seega x1 on 2.
Las ma kirjutan selle siia üles.
Ütleme, et ma tahan jõuda punkti vektor 2,2.
Mis a ja b kombinatsioonid võivad seal olla?
Ma tean, et c1 on võrdne x1'ga, niet see on võrdne 2.

English: 
1/3 x2 minus x1.
Now we'd have to go substitute
back in for c1.
But we have this first equation
right here, that c1,
this first equation that says
c1 plus 0 is equal to x1, so
c1 is equal to x1.
So that one just
gets us there.
So c1 is equal to x1.
So you give me any point in R2--
these are just two real
numbers-- and I can just perform
this operation, and
I'll tell you what weights to
apply to a and b to get to
that point.
If you say, OK, what combination
of a and b can get
me to the point-- let's say I
want to get to the point-- let
me go back up here.
Oh, it's way up there.
Let's say I'm looking to
get to the point 2, 2.
So x1 is 2.
Let me write it down here.
Say I'm trying to get to the
point the vector 2, 2.
What combinations of a
and b can be there?
Well, I know that c1 is equal
to x1, so that's equal to 2,

Chinese: 
現在可以將其代回 求出c1
但是通過觀察第一個等式
可以發現c1+0=x1
所以c1=x1
從這裡也可得到c1
故c1=x1
對於R2中的任意一點――
也就是兩個實數――
我可以使用這個方法
然後求出關於這一點的
a和b的權重
如果說……
某一點關於a和b的線性組合是什麽――
我們先取一個點――
我們回到這
在這裡
假設要得到點[2,2]
即x1=2
我寫下來
我要得到點[2,2]
a和b的線性組合是什麽呢？

Thai: 
1/3 x2 ลบ x1
ตอนนี้เราก็แทนมันกลับไปที่ c1
แต่เรามีสมการแรกนี่ตรงนี้ว่า, c1,
สมการแรกนี่บอกว่า c1 บวก 0 เท่ากับ x1,
c1 จึงเท่ากับ x1
อันนั้นเราได้มาตรงนี้
c1 เท่ากับ x1
ดังนั้น คุณให้จุดใดๆ ใน R2 ผมมา -- พวกนี้คือจำนวนจริง
สองตัว -- และผมก็สามารถคิดคำนวณตามนี้, แล้ว
ผมก็บอกคุณได้ว่าต้องถ่วงน้ำหนัก a กับ b เท่าไหร่จึง
จะได้จดุนั้น
ถ้าคุณบอกว่า, โอเค, ผลรวมของ a กับ b แบบไหนที่ทำให้
ฉันได้จุดนั้น -- สมมุติว่าฉันอยากไปที่จุด --
ขอผมกลับไปบนนี้นะ
โอ้, มันอยู่ตั้งข้างบนนี้
สมมุติว่าผมดูจุด 2,2
งั้น x1 เป็น 2
ขอผมเขียนมันลงไปตรงนี้นะ
สมมุติว่า ผมพยายามคิดจุดเวกเตอร์ 2, 2
แล้วผลรวมของ a กับ b จะเท่ากับเจ้านั่นได้ไหม?
ทีนี้, ผมรู้ว่า c1 เท่ากับ x1, นั่นจึงเท่ากับ 2,

Japanese: 
c２＝1/3＊（x２−x１）です。
（この間違いを後で直します。）
これを、代入して、解くこともできますが。
最初の式はc１のみなので、c１が解けます。
c１＋０＝x１で
c１＝x１です。
いいですか？
c１＝x１です。
だから、R２の任意の点は、
このようにして
a とb のスカラー値を調節することで
得られます。
この２つのベクトルを使用し
任意の点
例えば、この座標で
例えば、この座標で
この（２、２）の点とします。
x１が2です。
ここに書くと
ベクトル（２、２）を得ようとします。
aと b のどのような組み合わせで、
これが得られますか？
c１＝x１なので、c１は２です。

Bulgarian: 
1/3(х2 –х1).
Сега да заместим обратно с1.
Имаме първото уравнение, това с1,
в първото уравнение с1 плюс 0
е равно на х1,
така че с1 е равно на х1.
Това тук ни доведе до това.
Значи с1 е равно на х1.
Значи, ако ми дадеш произволна точка в R2... 
това са просто две реални числа –
и ако аз извърша тази операция,
и ще ти кажа каква тежест трябва
да сложа на моите вектори а и b,
за да стигна до тази точка.
Ако ме попиташ: " Каква
комбинация на векторите а и b
ще ме отведе в тази точка?" –
да кажем, че искаме да отидем в тази точка –
ще се върна пак тук горе.
Това е прекалено нагоре.
Да кажем, че искам
да отида в точката (2;2).
Значи х1 е 2.
Ще го запиша ето тук.
Да кажем, че искам да
отида в точката...  вектор [2; 2].
Каква комбинация от векторите
а и b ще ме отведе там?
Знам, че с1 е равно на х1,
значи то е равно на 2.

Portuguese: 
1/3 x 2 menos x 1.
Agora, teríamos de ir substituir em c1.
Mas nós temos esta primeira equação aqui, que c1,
Esta primeira equação que diz c1 mais 0 é igual a x 1, então
C1 é igual a x 1.
Para que um só nos fica lá.
Assim, c1 é igual a x 1.
Para que você me dar qualquer ponto no R2 - estes são apenas dois reais
números-- e eu só pode executar esta operação, e
Eu vou te dizer o que pesos para aplicar a um e b para chegar ao
Esse ponto.
Se você disser, OK, qual a combinação de um e b pode obter
me para o ponto-- vamos dizer eu quero chegar ao ponto - let
me go back-up aqui.
Ah, é maneira lá em cima.
Digamos que eu estou olhando para chegar ao ponto 2, 2.
Portanto 1 x 2.
Deixe-me escrevê-la aqui.
Dizer que eu estou tentando chegar ao ponto do vector 2, 2.
Quais combinações de um e b pode estar lá?
Bem, eu sei que c1 é igual a x 1, portanto, que é igual a 2,

Korean: 
c2 = 1/3 (x2 - x1)이 되겠죠
이제 c1를 구해봅시다
첫 번째 방정식을 보면
c1 + 0 = x1입니다
즉, c1 = x1이네요
구했습니다
c1 = x1이에요
그러면 R² 위의 어떤 점을 잡든 간에
임의의 실수 두 개를 잡는 건데요
이대로 계산하여
그 점을 얻으려면 a와 b에 
정확히 얼마만큼 상수배를 하는지 알 수 있죠
그 점을 얻으려면 a와 b에 
정확히 얼마만큼 상수배를 하는지 알 수 있죠
a와 b의 선형결합을 어떻게 해야
저 점에 도달할 수 있는지 봅시다
다시 올라갈게요
저 위에 있네요
(2, 2)에 도달한다고 가정합시다
x1 = 2 입니다
직접 써보면
벡터 (2, 2)로 가고 싶다고 하면
a와 b의 어떤 선형결합이
이를 가능하게 하나요?
c1 = x1이므로
c1 = 2이고

Chinese: 
现在可以将其代回 求出c1
但是通过观察第一个等式
可以发现c1+0=x1
所以c1=x1
从这里也可得到c1
故c1=x1
对于R2中的任意一点――
也就是两个实数――
我可以使用这个方法
然后求出关于这一点的
a和b的权重
如果说……
某一点关于a和b的线性组合是什么――
我们先取一个点――
我们回到这
在这里
假设要得到点[2,2]
即x1=2
我写下来
我要得到点[2,2]
a和b的线性组合是什么呢？

Japanese: 
c２は、1/3＊（2ー2）なので、
c２は、０です。
では、（２、２）を得るには、
おや、何かおかしいですね。
おや、何かおかしいですね。
実際の数字で
ためしてみてよかったです。
３＊c２は、x１−２＊x２です。
ここで２を忘れました。
ここに２があります。
そして両辺を３で割ります。
c２＝1/3（x２−２＊x１）です。
いいですか？
いいですか？
これが正しいc２です。
c２＝1/3（x２−２＊x１）で
つまり

Thai: 
และ c2 เท่ากับ 1/3 คูณ 2 ลบ 2
แล้ว 2 ลบ 2 เป็น 0, c2 จึงเท่ากับ 0
แล้วถ้าเราอยากได้จุด 2, 2, ผมก็แค่
คูณ -- โอ้, ผมเพิ่งสังเกต
อันนี้อยู่น่าสงสัยอยู่
ผมทำพลาดไปตรงนี้, ดีแล้วที่ผม
ลองแทนตัวเลขจริง
ตรงนี้, ตอนผมมี 3 c2 เท่ากับ x2 ลบ 2 x1, ผม
ทิ้ง 2 ตรงนี้ไป
มันมี 2 ตรงนี้
ผมหารทั้งสองข้างด้วย 2
ผมจึงได้ 1/3 คูณ x2 ลบ 2 x1
นั่นคือสาเหตุที่ผมบอกว่า, เดี๋ยวก่อน, มันดูแปลกๆ นะ
ผมต้องหยุดสักครู่
งั้นลองกลับมาที่ค่า c2 ที่แก้แล้ว
C2 เท่ากับ 1/3 คูณ x2
งั้น 2 ลบ 2 คูณ x1, ได้ ลบ 2 คูณ 2

English: 
and c2 is equal to 1/3
times 2 minus 2.
So 2 minus 2 is 0, so
c2 is equal to 0.
So if I want to just get to
the point 2, 2, I just
multiply-- oh, I
just realized.
This was looking suspicious.
I made a slight error here,
and this was good that I
actually tried it out
with real numbers.
Over here, when I had 3c2 is
equal to x2 minus 2x1, I got
rid of this 2 over here.
There's a 2 over here.
I divide both sides by 3.
I get 1/3 times x2 minus 2x1.
And that's why I was like, wait,
this is looking strange.
So I had to take a
moment of pause.
So let's go to my corrected
definition of c2.
C2 is equal to 1/3 times x2.
So 2 minus 2 times x1,
so minus 2 times 2.

Korean: 
c2 = (1/3) × (2 - 2) 입니다
2 - 2 = 0이므로
c2 = 0 가 나오겠네요
따라서 (2, 2)를 얻고 싶다면
앗, 제가 실수했네요
뭔가 이상하다 싶었는데 말이죠
여기서 작은 실수를 했는데요
실제 수를 대입해서 해보길 잘했군요
3 × c2 = x2 - 2 × x1 인데
여기서 2를 지웠어요
여기 2가 있어야죠
3으로 양변을 나누니까
(1/3) × (x2 - 2x1) 가 되어야죠
어쩐지 이상하다 싶었어요
잠깐 멈추고요
c2를 정확하게 정의해 봅시다
c2는 1/3 에 x2
그러니까 2 - 2 × x1이니까 
2 × 2를 빼는 거죠

Chinese: 
已知c1=x1 所以這是2
而c2=1/3(2-2)
2-2=0 所以c2=0
如果想得到點[2,2]
我要乘以―― 哦 我才反應過來
這個結果有問題
我犯了個小錯誤
幸虧我用實際數字算了一下
這裡 有3c2=x2-2x1
而在這裡少了個2
這裡有個2
兩邊除以3
得到1/3（x2-2x1）
這就是爲什麽剛才的結果很奇怪
我不得不暫停檢查一下
回到修正過的c2
即c2等於1/3乘以……
x2等於2 再減去2x1 即-22
從而結果是1/3（2-4）

Portuguese: 
e c2 é igual a 1/3 vezes 2 menos 2.
Então 2 menos 2 é 0, então c2 é igual a 0.
Então se eu quero apenas chegar ao ponto 2, 2, eu apenas
Multiplique - Ah, eu só percebi.
Isso estava olhando suspeito.
Eu fiz um ligeiro erro aqui, e isso era bom que eu
realmente tentei sair com números reais.
Por aqui, quando eu tinha 3 c 2 é igual a 2 x menos 2 x 1, eu tenho
eliminar esta 2 aqui.
Há um 2 aqui.
Eu divida ambos os lados por 3.
Recebo vezes de 1/3 x 2 menos 2 x 1.
E isso é por isso que eu era como, espera, isso é olhar estranho.
Então eu tinha que ter um momento de pausa.
Então vamos para minha definição corrigida de c2.
C2 é igual a 1/3 vezes x 2.
Portanto, 2 menos 2 x 1, o tempo assim menos 2 2 vezes.

Bulgarian: 
с2 е равно на 1/3 по (2 минус 2).
2 минус 2 е равно на 0, 
значи с2 е равно на 0.
Ако искам да отида в
точката (2;2), трябва просто
да умножа... о, чакай,
видях нещо.
Това изглежда подозрително.
Направих малка грешка тук,
и това е добре, защото
всъщност го проверихме с
реални числа.
Ето тук, където имах 3с2 е 
равно на х2 минус 2 по 1,
тук съм изпуснал тази двойка.
Тук има 2.
Деля двете страни на 3.
Получавам 1/3 по (х2 – 2х1).
Ето защо ми се стори странно.
Ще направя малка пауза.
Да видим коригираната
дефиниция на с2.
с2 е равно на 1/3 по х2.
Значи 2 минус 2 по х1,
значи минус 2 по 2.

Chinese: 
已知c1=x1 所以这是2
而c2=1/3*(2-2)
2-2=0 所以c2=0
如果想得到点[2,2]
我要乘以―― 哦 我才反应过来
这个结果有问题
我犯了个小错误
幸亏我用实际数字算了一下
这里 有3c2=x2-2x1
而在这里少了个2
这里有个2
两边除以3
得到1/3（x2-2x1）
这就是为什么刚才的结果很奇怪
我不得不暂停检查一下
回到修正过的c2
即c2等于1/3乘以……
x2等于2 再减去2x1 即-22
从而结果是1/3*（2-4）

Estonian: 
Ja c2 on võrdne 1/3 korda 2 miinus 2.
Seega 2 miinus 2 on 0, seega c2 on võrdne 0.
Ehk kui ma tahan saada punkti 2,2, siis ma lihtsalt
korrutan--oi, ma just avastasin.
See nägi kahtlane välja.
Ma tegin väikse vea siin, ja see oli hea, et ma proovisin
seda arvudega läbi teha.
Siin, kui mul oli 3c2 on võrdne x2 miinus 2x1, ma
kaotasin selle 2 siit ära.
Siin peaks 2 olema.
Ma jagasin mõlemad pooled 3ga läbi.
Ma saan 1/3 korda x2 miinus 2x1.
Ja sellepärast ma olin nagu, oota, see näeb kahtlane välja.
Niiet ma võtsin hetke mõtlemiseks.
Võtame minu parandatud definitsiooni c2'st.
C2 on võrdeline 1/3 korda x2.
Seega 2 miinu 2 korda x1, ehk miinus 2 korda 2.

Chinese: 
括号里等于-2 从而结果为-2/3
如果用2乘以向量a
再减去2/3乘以b
就得到向量[2,2]
你何以自己证明一下
2乘以[1,2]
减去2/3乘以[0,3]
应该等于[2,2]

Japanese: 
c２＝1/3（２−２＊２）なので、
−２／３です。
２＊a ー2/3＊bで、
このベクトル（２、２）が得られます。
いいですか？
２＊（１、２）ー2/3＊（０、３）は
（２、２）です。
では、次のビデオで会いましょう。

English: 
So it's equal to 1/3 times 2
minus 4, which is equal to
minus 2, so it's equal
to minus 2/3.
So if I multiply 2 times my
vector a minus 2/3 times my
vector b, I will get
to the vector 2, 2.
And you can verify
it for yourself.
2 times my vector a 1, 2, minus
2/3 times my vector b 0,
3, should equal 2, 2.

Chinese: 
括號裏等於-2 從而結果爲-2/3
如果用2乘以向量a
再減去2/3乘以b
就得到向量[2,2]
你何以自己證明一下
2乘以[1,2]
減去2/3乘以[0,3]
應該等於[2,2]

Bulgarian: 
Това е равно на 1/3 по (2 – 4),
което е равно на
–2, значи е равно на –2/3.
Значи, ако умножа вектор а по 2
и вектор b по –2/3,
ще получа вектора [2; 2].
Можеш да провериш това 
самостоятелно.
2 по вектор а, [1;2],
минус 2/3 по вектор b, [0; 3],
това трябва да е равно на [2; 2].
 

Portuguese: 
Assim é igual a 1/3 vezes 2 menos 4, que é igual a
menos 2, portanto, é igual ao menos 2/3.
Portanto, se eu multiplicar meu vector 2 vezes um sinal de menos de 2/3 vezes meu
vetor b, eu vou conseguir o vector 2, 2.
E você pode verificá-lo por si mesmo.
2 vezes meu vector um 1, 2, menos 2/3 vezes meu vetor b 0,
3, deve ser igual a 2, 2.

Thai: 
มันจึงเท่ากับ 1/2 คูณ 2 ลบ 4, ซึ่งเท่ากับ
ลบ 2, มันจึงเท่ากับลบ 2/3
แล้วถ้าผมคูณ 2 ด้วยเวกเตอร์ a ลบ 2/3 คูณ
เวกเตอร์ b, ผมจะได้เวกเตอร์ 2, 2
และคุณทดสอบได้ด้วยตัวเอง
2 คูณเวกเตอร์ a 1, 2, ลบ 2/3 คูณเวกเตอร์ b
0,3, ควรเท่ากับ 2,2 นะ
-

Korean: 
즉, 1/3 × (2 - 4)니까
2 - 4 = -2고
-2/3 이 나오겠네요
따라서 2a - (2/3)b를 계산하면
(2, 2)를 얻는다는 거죠
직접 확인해 볼 수 있을 거예요
2a = 2(1, 2) 에서
(2/3)b = 2/3(0, 3) 을 빼면
(2, 2)이 나올 겁니다
(2, 2)이 나올 겁니다

Estonian: 
Seega see on võrdeline 1/3 korda 2 miinus 4, mis on võrdne
miinus 2, ehk see on miinus 2/3.
Seega kui ma korrutan 2 korda minu vektor a miinus 2/3 korda minu
vektor b, siis ma saan vektori 2, 2.
Sa saad selle ise ära tõestada.
2 korda minu vektor a 1, 2 miinus 2/3 korda minu vektor b 0,
3 peaks võrduma 2, 2.
