
English: 
Welcome to the first Mathologer video of
the year. Today it's about something very
serious and so I'm wearing a totally
black t-shirt. You all like Numberphile
right? Me too, except for this one video
over there in which they prove the
infamous identity 1+2+3+...=-1/12
using some simple algebra that
even kids in primary school should be
able to follow. Since this video was
published in 2014 over six million
people have watched it and more than
65,000 have liked it. Unfortunately,
pretty much every single statement made
in this video is wrong. And by wrong I
mean wrong in capital letters. In
particular, as anybody who knows any
mathematics will confirm 1+2+3+... sums to exactly what common sense

Russian: 
Добро пожаловать в первое видео Mathologer'а в
наступившем году. Сегодня мы поговорим о чём-то
очень серьёзном, и поэтому я надел полностью чёрную футболку. Все вы любите канал Numberphile, так ведь?
Я тоже, за исключением вот этого
их видео, в котором они доказывают
нашумевшее тождество 1+2+3+...= -1/12,
используя простые алгебраические вычисления,
которые должны быть понятны даже ученикам начальной школы
С момента публикации этого видео
в 2014 году, оно набрало уже свыше 6 миллионов
просмотров, и более 65.000 людей отметили его лайком. К сожалению,
практически каждое утверждение, сделанное в этом
видео, является неверным. И под "неверным" я
имею в виду "НЕВЕРНЫМ" большими буквами.
В частности, любой человек, знающий хоть немного
математики, подтвердит вам, что 1+2+3+...
равняется тому, что подсказывает нам здравый

English: 
suggests it should namely plus infinity.
And this video was not published on the
1st of April. Also, as we all know, the
Numberphile videos are presented by
smart guys, in this case university
physics professors, who do know their
maths and who are definitely not out to
mislead us. So how did they get it so
horribly wrong and what did they really
want to say. Well, they started out with
some genuinely deep an amazing
connection between 1 + 2 + 3 etc and the
number -1/12 but in the effort to
explain this connection in really, really
simple terms they just went overboard
and ended up with an explanation that is
not just really simple but also really
wrong. Well 6 million views later and the
comment sections of all maths YouTubers
are being inundated by confused one plus
two plus three comments that are a
direct consequence of this video. For

Russian: 
смысл — а именно, бесконечности.
И это видео даже не было какой-нибудь
первоапрельской шуткой. Кроме того, как мы все
знаем, материал во всех видео на Numberphile излагается
очень умными людьми; в данном случае, профессорами
физики в университетах, которые точно знают
математику и которые точно не стремятся
нас обмануть. Тогда почему же они так
ужасно ошиблись в этом видео и что на самом деле они хотели сказать? Что ж, они начали с
поистине глубокой и потрясающей связи между суммой 1+2+3+... и
числом -1/12, но в попытке объяснить эту связь очень, очень
простыми словами они перегнули палку и выдали объяснение, которое
не только действительно простое, но и действительно неверное.
Что ж, шестью миллионами просмотров спустя,
все математические каналы на YouTube наводнили
сбитые с толку комментарии на тему 1+2+3+...,
которые являются прямым следствием этого видео.

Russian: 
В терминах связи математики с общественностью, это катастрофа. (Марти) Катастрофа с большой буквы. (Mathologer) Да, с большой. Поэтому я думаю,
что было бы неплохо бросить ещё один
внимательный взгляд на вычисления в этом
видео на Numberphile, шаг за шагом, точно определить,
где в них кроются ошибки, как их исправить и
как их связать с истинной математикой, которую профессора на Numberphile имели
в виду. Впереди нас ждёт много изумительной математики: нестандартные
методы суммирования расходящихся рядов, η-функция [Дирихле] -- удобная для анализа
сестра дзета-функции, -- сущность аналитического продолжения простыми словами,
новые математические трюки Эйлера и многое другое.
Я постарался сделать это видео полностью
самодостаточным, так что вам не требуется смотреть
моё другое (совсем непохожее) видео на тему
1+2+3+..., годичной давности, или смотреть
что-либо ещё, чтобы понять это видео.
Итак, давайте приступим. Чтобы мы с вами
точно были на одной волне, вот краткое
резюме всех расчётов в видео на Numberphile.
Они обозначают неизвестное значение

English: 
mathematical public relations it's a
disaster. (Marty) It's THE disaster. (Mathologer) Yeah, it's THE disaster. And so I think
it's a good idea to have another really
close look at the Numberphile
calculation step by step, state clearly
what's wrong with it, how to fix it, and
how to reconnect it to the genuine maths
that the Numberphile professors had in
mind originally. Lots of amazing
maths look forward: non-standard
summation methods for divergent series,
the eta function, a very well-behaved
sister of the Zeta function, the gist of
analytic continuation in simple words,
some more of Euler's mathemagical tricks etc. Now, I've tried to make this whole thing
self-contained. So you don't have to have
watched my very different other video on
one plus two plus three from over a year
ago or anything else to understand this
one. Okay, let's get going. So that we are
all on the same page, here real quick is
the whole Numberphile calculation. 
They call the unknown value of the

English: 
infinite series 1 + 2 + 3+...   S. As
stepping-stones for the calculation they
first calculate the sums of these other
two infinite series. So 1-1+1-1+...
and 1-2+3-4+... Adding up the terms of
the first series, we get the partial sums
1. Ok 1 minus 1 is 0, 1 minus 1 plus 1 is
1, 1 minus 1 plus 1 minus 1 is 0 and so
on. These partial sums alternate between
0 and 1 and so the Numberphile guys
declare that the sum of this infinite
series is CLEARLY the average of 1 and 0
which is 1/2 (Marty)  That's not all that clear to me. (Mathologer) Alright we'll get
to that. They also mention that there
are other ways to justify this. We'll
also get to that. Ok, second sum. Here they
start by considering what happens when

Russian: 
бесконечной суммы 1+2+3... как S. В качестве
плацдарма для дальнейших исчислений, они
сначала суммируют два других ряда -- вот эти, 1-1+1-1+...
и 1-2+3-4+... Сложив члены
первого ряда, мы получаем следующие частичные суммы: 1, 1-1=0, 1-1+1=1,
1-1+1-1 = 0, и так далее. Эти частичные суммы чередуются между
0 и 1, и ребята на Numberphile объявляют, что сумма этого бесконечного
ряда ОЧЕВИДНО равна среднему между 1 и 0, то есть 1/2. (Марти) Мне это не так уж очевидно. (Mathologer) Ну, мы до этого ещё
дойдём. Они также упоминают, что есть и другие способы это обосновать. Мы
тоже до них дойдём. Хорошо, теперь следующая сумма. Тут они
начинают с рассмотрения того, что произойдёт, если

Russian: 
удвоить эту сумму. 2 умножить на S2 равно сумме этого бесконечного ряда с
самим собой, но теперь, перед сложением, они сдвигают нижний
ряд на одно слагаемое вправо. Теперь время вычислений: 1+ничего = 1, -2+1 = -1,
3-2 = 1, -4+3 = -1, и т.д. Однако теперь внизу мы получили сумму, которая нам
уже знакома и которая, как помните, равна 1/2. Поэтому...
Со второй суммой тоже разобрались, отлично. Теперь к последней сумме, которая нам и нужна. Тут ребята с Numberphile
начинают с вычитания S2, суммы, которую они только что вычислили, из S.
1-1 = 0, 2-(-2) = 4, 3-3 = 0, 4-(-4) = 8, и т.д.

English: 
you double this sum. So 2 times S2 is
equal to the infinite series added to
itself but now before adding the two
infinite series they shift the bottom
series one term to the right. Now 1 plus
nothing is 1, minus 2 plus 1 is minus 1, 3
minus 2 is 1, minus 4 plus 3 is minus 1,
etc. But that bottom series is the one we
already looked at which, remember, is
equal to 1/2 and so ....
Second sum done, great. Now for last sum, that's the one we're really after. Here the Numberphile
guys start by subtracting S2, the
sum they just figured out, from S. Now 1
minus 1 is 0, 2 minus minus 2 is plus 4, 3
minus 3 is 0, 4 minus minus 4 is 8, etc.

Russian: 
Нули не имеют значения, так что давайте избавимся
от них. Вынесем за скобки общий множитель, 4. Ааа,
жёлтая сумма -- это как раз наша сумма S, 1+2+3+... Теперь
мы можем решить это уравнение относительно S, используя
мою всегдашнюю [анимационную] магию, и получается -1/12.
И после этого шага ребята с Numberphile раскланиваются.
Но нет, не так быстро! Всё это выглядит полным
бредом, исходя из того, как оно представлено.
В частности, вот эти три тождества попросту неверны.
Это значит, что если на каком-либо математическом
экзамене в любом университете на планете
Земля вас просят вычислить значения этих
бесконечных рядов и вы даёте такой же ответ,
как в тождествах в видео на Numberphile,
вы получите в точности 0 баллов. Критически важно понимать,
что в математике существует точное определение,
которое лежит в основе суммирования

English: 
The zeros don't matter so let's get rid
of them. Take out the common factor 4. Ah
the yellow that's our 1+2+3+...
sum S again. Now solve for S, and my
usual magic here, and we get -1/12.
And here the Numberphile guys take a bow.
But, not so fast! !ll this is really
nonsense the way it was presented. In
particular these three identities are
false. This means that if on any maths
exam at any university on Earth you're
asked to evaluate the sums of these
infinite series and you give the
Numberphile identities as your answer
you will receive exactly 0 marks for
your answers. It's critical to realise
that in mathematics we have a precise
definition which underpins the sum of an

English: 
infinite series. Wherever you see
infinite series this definition and only
this definition applies unless there are
some huge disclaimers to the contrary in
flashing neon lights. Alright, now the
Numberphile guys did not include any
such disclaimers and so they too should
get 0 marks for their effort. (Marty) Or maybe give them -1/12 marks. (Mathologer) Yeah I
think I can agree with that. OK,
what's this definition and what are the
answers that will get you full marks on
your maths exam. To evaluate the sum of
an infinite series you calculate the
sequence of partial sums
just like the Numberphile guys did at
the very beginning. Now if the sequence
of partial sums levels off to a finite
number, that is, if the sequence converges,
or if it explodes to plus infinity, or if
it explodes to minus
infinity, then this limit is the sum
of the infinite series. If no such limit

Russian: 
бесконечных рядов. Где бы вы ни встретили
бесконечный ряд, это и только это определение
можно применять, кроме тех случаев, когда
противное оговаривается загодя и подчёркивается
мигающими неоновыми сигналами. Хорошо?
Ребята с Numberphile не упомянули никакие
подобные оговорки, поэтому они тоже заслуживают 0 баллов за свои усилия. (Марти) Или, может быть, -1/12 баллов. (Mathologer) Да,
с этим, думаю, я могу согласиться.
Итак, что же это за определение и какие
ответы дадут нам полный балл на экзамене
по математике? Чтобы вычислить сумму
бесконечного ряда, нужно посчитать последовательность частичных сумм.
Так же, как ребята с Numberphile делали это
в самом начале. Если последовательность
частичных сумм устаканивается возле конечного
числа, то есть, если последовательность сходится,
или если она стремится к бесконечности, или к минус бесконечности,
то этот предел и называется суммой этого
бесконечного ряда. Если такого предела

Russian: 
не существует, то и бесконечный ряд не имеет суммы. Вот и всё, таково
определение. Теперь посмотрим на первый ряд из видео
Numberphile. Последовательность частичных сумм
колеблется между 0 и 1, и поэтому не имеет предела. Это означает, что
этот бесконечный ряд не имеет суммы (т.е.
значения): ни 1/2, ни какой-либо ещё.
Это и есть верный ответ для вашего экзамена по
математике. Хорошо, а что насчёт других двух
бесконечных рядов? Хм, что ж, в случае 1+2+3+... частичные суммы
расходятся к плюс бесконечности, и поэтому сумма ряда
равна бесконечности. Что касается бесконечного ряда
в середине, его частичные суммы выходят из-под контроля
по своему размеру, однако не стремятся лишь к одной из двух бесконечностей --
они прыгают от плюс к минус бесконечности. Поэтому этот
ряд также не имеет суммы. Такие ответы следует давать
на экзамене по математики для высшей оценки.
Во многих отношениях, наиболее важными бесконечными
рядами являются те, которые обладают конечной

English: 
exists, then the infinite series does not
have a sum. That's it, that's the
definition. So for the first Numberphile
series the sequence of partial sums
alternates between 0 and 1 and therefore
does not have a limit. This means that
this infinite series does not have a sum,
neither 1/2 nor anything else. This is
the correct answer for your maths exam.
Alright, what about the other two
infinite series? Hmm, well, in the case of
1 plus 2 plus 3 the partial sums
explode to plus infinity and so the sum
of the series
is infinity. For the infinite series in
the middle the partial sums explode in
size, but neither just to infinity or
just to minus infinity, and so this
series also does not have a sum. So these
are the answers that get you full marks.
In many ways the most important
infinite series are those with a finite

Russian: 
суммой, хотя мы их здесь ещё не видели. Давайте
исправим это и дадим себе представление о них.
Вот самый популярный пример бесконечного
геометрического ряда: 1/2+1/4+1/8+...
В этом случае частичные суммы подчиняются
очень красивой закономерности и
очевидно сходятся к 1. (Марти) Да, вот ЭТО мне уже очевидно.
(Mathologer) Именно так. Поэтому сумма этого бесконечного
ряда равна 1. О, и пока я не забыл, -- бесконечные
ряды с конечной суммой обычно называют
сходящимися рядами, а все остальные бесконечные ряды --
расходящимися рядами. Имея это в виду, давайте ещё раз посмотрим на
вычисления Numberphile'а. Изобразим их на одном слайде; это просто копия
записей на коричневой бумаге в видео
Numberphile. Опять же, то, как они были
представлены в этом видео, является вздором и заслуживает
нулевой оценки. (Марти) Или ниже! (Mathologer) Или ниже :)

English: 
sum which have not featured here yet. So,
to give some perspective, here's a
standard example, an infinite geometric
series:  1/2+1/4+1/8 and so on.
Now here the partial sums exhibit a
really nice pattern and
clearly they converge to 1. (Marty) Yeah, I think this one is clear. (Mathologer) This one is clear and so the sum of this infinite
series is 1. Oh, before I forget, those
finite sum series are usually called
convergent series and all the other
infinite series are called
divergent series. Keeping this in mind
let's have another look at the
Numberphile calculation. Here's the whole
thing at a glance. It's just a transcript
of the writing on the brown paper in the
Numberphile video. Again, as it was
presented by Numberphile all this is
nonsense and worth 0 marks. (Marty) Or less! (Mathologer) Or less :) THIS.

English: 
IS. NOT. MATHEMATICS. Don't use it,
otherwise you'll burn in mathematical
hell. Having said that there should be some
method to this madness, right?
Those guys are smart! But if there is,
then it's clear that the sums you see
here cannot possibly represent the usual
sums, as about six million people have
been misled to believe by this video. Ok
let's start by doing something that may
also seem a little bit crazy. At first
glance, just for fun, and in denial of
reality, let's assume for a second that
those three Numberphile series were
actually convergent, that is, all had a
finite sum. Then all, ALL highlighted
arguments would be valid. This includes
the termwise adding and subtracting of
series that was performed here, ... and here, ...
and even the shifting to the right
before the addition that a lot of people

Russian: 
ЭТО. НЕ. МАТЕМАТИКА. Не делайте так, иначе
будете гореть в математическом аду.
Вместе с тем, в этом безумии должна быть
какая-то здравая идея, верно? Эти ребята умные! Но если такая идея там есть,
то вполне очевидно, что суммы, которые вы видите
здесь, не могут обозначать обыкновенные
суммы, в отличие от того, во что это видео заставило
поверить около шести миллионов людей. Хорошо,
давайте начнём с начала, и сделаем кое-что, что
может сначала показаться немного бредовым.
Интереса ради, и в полную противоположность реальности, давайте на секунду предположим,
что эти три ряда из видео Numberphile'а на самом деле
являлись бы сходящимися; то есть, все они имели бы
конечную сумму. Тогда все, ВСЕ выделенные аргументы
на слайде были бы верны. Они включают в себя
почленное сложение и вычитание рядов,
которое было проведено здесь... и здесь...
и даже сдвиг ряда вправо перед сложением, который многие люди

English: 
view with suspicion. Why would all these
operations be ok if we were dealing with
convergent series? Because summation of
convergent series is consistent with
termwise addition and subtraction, and
shifting. Let me explain that too. There
are differences between finite and
infinite sums. For example, infinite
series sometimes don't have a sum
whereas finite sums always exist,
rearrangement of the terms can change
the sum of convergent infinite series,
etc. On the other hand, the sums of
convergent infinite series do share a
lot of the properties of finite sums and
it's exactly these properties that make
them so useful. Here the most important
three such properties. Let's say you have
two convergent infinite series, okay<
with sums A and B. Then, by adding these
two series termwise you get a new
infinite series. And now it's quite easy
to prove that this new infinite series
is also convergent and that its sum

Russian: 
воспринимают с подозрением. Почему все эти операции были бы верны, если бы мы имели дело с
сходящимися рядами? Потому, что суммирование сходящихся рядов согласуется с
почленным сложением и вычитанием и со сдвигами.
Давайте я объясню этот момент поподробнее.
Существует разница между конечными и
бесконечными суммами. К примеру, бесконечный
ряд иногда не имеет суммы, в то время как
конечные суммы всегда существуют.
Перестановка слагаемых местами может даже изменять
суммы сходящихся бесконечных рядов, и тому подобное.
С другой стороны, суммы сходящихся
бесконечных рядов имеют много общих
свойств с конечными суммами, и именно эти свойства делают их
такими полезными. Вот три самых важных
из этих свойств. Первое: допустим, у вас есть
два сходящихся бесконечных ряда, с суммами A и B. Сложив эти
два ряда почленно, вы получите новый
бесконечный ряд. И теперь достаточно легко
доказать, что новый бесконечный ряд будет тоже сходящимся, а его сумма

English: 
is equal to A plus B, of course. And the
same stays true if you replace all the
pluses with minuses. So termwise addition
and subtraction is consistent with
summing convergent series. That's
property one. Property two. Multiplying the
terms of a convergent series with sum A by a number, say
five, gives a new infinite series. Again
it's really easy to see that the new
series is convergent and that its sum
is five times A. So termwise
multiplication by numbers is also
consistent with summing convergent
infinite series. That's our second
property. Finally, property three. Shifting
the terms of a convergent series with
sum A by one term is the same as adding
a zero as the first term to our series,
like that. Obviously, the new series is
still convergent and its sum is the same
as that of the original series. This also
works the opposite way. Removing a zero
term at the front does not change the

Russian: 
будет равна, разумеется, А+В. И то же самое будет
верно в том случае, если заменить сложение
на вычитание. Таким образом, сложение и
вычитание [сходящихся рядов] согласуются с
нашими представлениями о конечных суммах. Второе свойство: умножив
члены сходящегося ряда с суммой А на какое-либо число, допустим,
на 5, даст новый бесконечный ряд. И опять же, легко заметить, что новый
ряд так же является сходящимся, а его сумма равна 5*А. То есть, почленное
умножение на число также согласуется с суммированием сходящихся
рядов. Это было второе свойство. Наконец, третье свойство: сдвиг
всех членов сходящегося ряда с суммой А --
это то же самое, что добавление
нуля в качестве первого члена к этому ряду, вот
таким образом (на экране). Очевидно, новый ряд
по-прежнему остаётся сходящимся, а его сумма
равна тому же, что и прежде, -- А. Это работает
и в обратную сторону: убрав ноль в начале ряда, вы не измените

English: 
sum. Okay, so that's property three. Now we can use these three properties to build
valid arguments, very much like in the
Numberphile video. Here's an example. This
is the convergent series that I showed
you earlier.
Remember its sum is 1. Now let's say we
did not know its sum or even whether
this series is convergent or not. Then we
could argue in a legit way like this: Ok,
well we don't know whether it's
convergent or not, but if it's convergent
and it's sum is M (M for mystery number :) then because of the number multiplication
property we get that half M is equal to
1/2 times 1/2 which equals to 1/4 plus
1/4 times 1/2 which is equal to 1/8 and
so on. But because of the shift property
1/2 M is also equal to this guy here
zero plus whatever. Now because of the

Russian: 
его сумму. Вот такое третье свойство. Итак, теперь мы
можем использовать эти три свойства для построения
справедливых аргументов, очень похожих на те,
что строились в видео Numberphile. Вот пример.
Это -- сходящийся ряд, который я показал вам ранее.
Вспомним -- его сумма равна 1. Давайте
предположим, что мы не знаем этого, или
даже того, является этот ряд сходящимся или нет. Тогда мы
могли бы построить такой, вполне легальный аргумент:
хорошо, мы не знаем, сходится этот ряд или нет, но ЕСЛИ он сходящийся
и его сумма равна М (М -- мистическое число), то
благодаря свойству почленного умножения на число
мы получаем, что половина М равна 1/2*1/2, что равно 1/4, плюс
1/4*1/2, что равно 1/8, и так далее. И благодаря свойству сдвига,
1/2*M также равно вот этому ряду: 0+1/4+1/8+... И теперь, используя свойство

English: 
addition and subtraction property we are
justified to subtract as in the Numberphile
video. So, on the left side we get M
minus 1/2 M, that's 1/2 M, and on the
right side we've got 1/2 minus zero
that's 1/2, and then everything else kind
of goes away. In total we get M
is equal to 1. So our assumption that our
mystery series is convergent with sum M
lets us conclude in a valid way
that the only value that M can possibly
be is 1. Question: Does this prove that
M is 1? No, and this is very important.
Because this argument starts with an
assumption, to be able to conclude that
the sum of the series really is 1, you
still have to somehow show that the
series we started with is actually
convergent. Hmm so this sort of argument
gives you an idea of what to expect but
it does not get you all the way. Anyway
let's see what happens when we unleash

Russian: 
сложения и вычитания рядов, мы вправе вычесть
эти два ряда, как это было сделано в видео на
Numberphile. В левой части уравнения у нас получается М-1/2*M = 1/2*M, а на другой
стороне у нас: 1/2 - 0 = 1/2, а всё остальное как бы
сокращается и пропадает. И в результате мы получаем,
что М=1. Таким образом, наше предположение, что этот
таинственный ряд является сходящимся с суммой М,
позволяет нам заключить (абсолютно верно),
что единственное значение, каким может
быть М, -- это 1. Вопрос: доказывает ли это,
что М равно 1? Нет, и это очень важно.
Поскольку этот аргумент начинается с
предположения, чтобы быть вправе заключить, что
сумма этого ряда действительно равна 1, нам
по-прежнему нужно как-то показать, что ряд, с
которого мы начали, на самом деле является
сходящимся. Хм, то есть, подобный аргумент даёт
нам понимание того, чего можно ожидать, но
не помогает с доказательством. Как бы то ни было,
давайте посмотрим, что будет, если спустить

Russian: 
этот метод на первый ряд в видео Numberphile,
который, как мы уже знаем,
НЕ является сходящимся. Ради интереса,
предположим, что ряд 1-1+1...
на самом деле является сходящимся с
неизвестной суммой S1. Тогда, используя
свойство сдвига, мы можем записать S1
как 0 плюс всё остальное. Опять же,
благодаря свойству сложения рядов, мы можем
прибавить S1 к обеим частям уравнения. S1 плюс S1
равно 2*S1, а справа мы складываем ряды
почленно. Как видите, всё сокращается,
кроме первой единицы. И мы получаем вот такое
уравнение, из которого получается как раз то
значение S1, про которое сказано в видео Numberphile.
Сюжет начинает закручиваться, да? На самом деле,
в определённом смысле, такое рассуждение куда
лучше соответствовало бы их последующим
выкладкам, нежели просто выдёргивание
1/2 из ниоткуда. Давайте
ещё раз взглянем на цельный аргумент в видео
Numberphile и вставим туда то, что мы только что

English: 
this sort of reasoning on the first
Numberphile series which we already know
is  NOT convergent. Well, so just for kicks,
let's assume that the 1-1+1
series was actually convergent with the
unknown sum S1. Then, because of the
shift property, S1 would also be
equal to 0 plus all the other junk. Again,
because of the addition property, we can
add on both sides S1 plus S1 that's
2 S1 and then we add termwise on the
right to get, well, 1 there and everything
else cancels out as you can see. And so we
get this which is exactly what
Numberphile said S1 should be. So the
plot thickens here, right? In fact, in
some ways this line of reasoning would
have fitted in better with the rest of
their argument than just plucking the
number 1/2 out of thin air. So let's
have another look at the Numberphile
argument and let's fit in what we just

English: 
did as the first step to justify why S1
should be 1/2. So here we go. This is the
Numberphile argument. Let's round it off
by inserting the argument for S1 from
just a moment ago. Here we go.
And so here is one way to rephrase the
whole thing to make it into a valid
argument. IF, and this is a big, huge
monstrous IF, these three infinite series
were convergent, THEN this whole argument
would be valid and the sums of these three
infinite series would be exactly the
numbers given by Numberphile. Great, but
of course we know that the assumption of
this valid argument is false, that the
three infinite series are not convergent.
So, yes, this argument is valid in itself, but what
good is it if the assumption is starts
with is false? Well here's an idea.
Since no divergent series has a finite
value attached to it, let's dream big.

Russian: 
сделали, в качестве первого шага для обоснования
того, почему S1 должно быть равно 1/2. Итак, вот
аргумент из видео Numberphile. Давайте скорректируем его добавлением
нашего аргумента касательно S1, который мы сконструировали
минуту назад. Вот так. И теперь всё это можно
перефразировать следующим образом,
чтобы превратить в легальный аргумент. ЕСЛИ, и это большое, огромное,
гигантское ЕСЛИ, эти бесконечные ряды были
бы сходящимися, ТО все эти рассуждения
были бы абсолютно верны, и суммы этих
рядов были бы равны в точности тем
числам, которые даны в видео Numberphile. Замечательно,
но, разумеется, мы знаем, что предположение этого
верного аргумента является неверным, поскольку эти
три бесконечных ряда не являются сходящимися.
Так что да, этот аргумент верен сам по себе, однако
какой толк в этом, если предположение, с которого он
начинается, является неверным? Что ж, вот вам другая идея.
Поскольку ни один из расходящихся рядов не имеет соответствующего конечного значения, давайте помечтаем.

English: 
What if it was possible to
extend the notion of summing a
convergent series, what if it was
possible to define a super sum. This
super sum should have three key
properties: first of all, we don't want to lose
anything so the super sum of a
convergent series should be the same as
its normal sum, right? Then all divergent
infinite series should be super summable
with finite values. And then the last
thing we want is that super summing, just
like normal summing is consistent with
adding, shifting, etc. alright. Now such a
super sum extension of the standard
infinite sum would be as fantastic as
the extension of the real numbers to the
complex numbers, with all sorts of cool
properties for a smaller world remaining
true in the bigger world and at the same
time all sorts of new magic appearing in
the bigger world. In particular, because
consistency made the argument over there
valid for convergent series, we would

Russian: 
Что если бы можно было расширить понятие суммирования
сходящихся рядов, что если бы можно
было дать определение супер-суммы?
Эта супер-сумма должна обладать тремя ключевыми
свойствами: во-первых, мы не хотим терять
предыдущих сумм, то есть супер-сумма
сходящегося ряда должна быть такой же,
как и обычная сумма. Далее, все расходящиеся
бесконечные ряды должны быть супер-суммируемыми
с конечными значениями. И наконец, мы
хотим, чтобы супер-суммирование, так же
как и обычное, согласовывалось бы со
складыванием, сдвигами, и т.д. Такое
расширение понятия обычной бесконечной суммы
было бы настолько же прекрасным, как
и расширение действительных чисел до
комплексных чисел, так что всевозможные
классные свойства меньшего мира выполняются
и в большем мире, и в то же время
в большем мире появляется ещё больше
изумительной магии. В частности, поскольку
согласованность сделала наш аргумент
верным для сходящихся рядов, то мы бы

Russian: 
ожидали, что он остался бы верным, если бы мы
заменили обычное равенство на равенство
в соответствии с супер-суммированием. И более
того, поскольку каждый бесконечный ряд имел бы
супер-сумму, то мы могли бы избавиться
от "ЕСЛИ", и тогда всё видео Numberphile
было бы спасено одной фразой о том, что мы используем
супер-суммирование вместо обычного скучного
суммирования. Какая прекрасная мечта :) (Марти) Но пора проснуться! (Mathologer) Да, к сожалению. Так или иначе, те из вас, кто посмотрел моё
предыдущее видео на эту тему, знают, что похожая
супер-сумма существует. Однако она присваивает
сумму только некоторым расходящимся рядам, не всем.
В частности, она может просуммировать первые
два ряда сверху. Дабы увидеть, как это супер-суммирование
работает, давайте применим его к нашему первому
раздражающему расходящемуся ряду. По сути, супер-
суммирование основывается на обычном суммировании
и последующем усреднении любых колебаний

English: 
expect the argument to still be valid if we
replaced ordinary equality by equality
with respect to super summing. Even
better, since every infinite series would
have a super sum, we could get rid of the
if and so the whole Numberphile video
could be saved by just saying that we
are super summing instead of just boring
old summing. What a lovely dream :) (Marty) It's time to wake up! (Mathologer) Yes, sadly. Well, anyway, those of you who watched my
last video on this topic know that there
is a super sum. However it only assigns
a sum to some :) divergent series but not
to all. In particular, it sums the first
two guys over there. To show how super
summing works let's apply it to our first
annoying divergent series. Basically
super summing builds upon normal summing
and then averaging out any bouncing
around of the

English: 
partial sums. We start by calculating the
sequence of partial sums. If this
sequence converges, then our super sum
equals our normal sum and no tricks are
needed. However if the sequence of
partial sums does not converge, as in the
case of this infinite series, then we
start with the trickery, building a second
sequence out of the first. The Nth term
of this new sequence is just the average
of the first N terms of the first
sequence. So, for our particular series
for the first term of the new sequence
there's nothing to average, well the
average of 1 is just 1. Ok, then the
average of 1 is 0 is 1/2, the average of
1 and 0 and 1 is 2/3, etc. Now, every second number here is 1/2 and the remaining
numbers also converge to 1/2 and this
means that overall the second series

Russian: 
частичных сумм. Начинаем мы с расчёта
частичных сумм, как и раньше. Если эта
последовательность сходится, то наша супер-сумма равняется
обычной сумме в таком случае, и никакие дополнительные трюки
не требуются. Однако если последовательность
частичных сумм не сходится, как в случае
этого бесконечного ряда, тогда мы используем хитрость: строим вторую
последовательность на основе первой. N-ый член
новой последовательности равен среднему
первых N членов первой последовательности.
Таким образом, для конкретно этого ряда
первый член новой последовательности
равен -- усреднять нечего -- просто
единице. Далее, среднее 1 и 0 -- это 1/2, среднее
1, 0 и 1 -- это 2/3, и т.д. Каждое второе число в новой
последовательности равно 1/2, а остальные
числа сходятся к 1/2, и это означает, что
в целом вторая последовательность

Russian: 
сходится к 1/2. И это значит, что супер-сумма
нашего бесконечного ряда равна 1/2, что
соответствует тому числу, которое получают на Numberphile.
Что касается других бесконечных рядов,
вторая последовательность необязательно будет сходиться,
в котором случае мы создадим третью последовательность,
вновь усредняя значения предыдущей, второй
последовательности. Если это не сработает, то мы
сконструируем четвёртую, пятую и т.д. последовательности. Покуда хоть какая-то из них
сходится, рассматриваемый бесконечный ряд имеет
супер-сумму, равную соответствующему пределу
той последовательности. Например, в случае
второго ряда из видео Numberphile, первая и
вторая последовательности расходятся, однако
третья последовательность сходится к 1/4,
что и является нашей супер-суммой в данном случае. Numberphile
тоже получает это значение, так что пока всё
выглядит многообещающе. Но на этом моменте наше везение кончается, и нам приходится посмотреть в глаза печальной истине: для большинства
бесконечных рядов, ни одна из соответствующих усредняющих
последовательностей чисел не сходится,
и поэтому те ряды не имеют супер-суммы.
В частности, для ряда 1+2+3+...

English: 
converges to 1/2. And that means that our
infinite series super sums to 1/2, which
is also the number that Numberphile gets.
Now, for other infinite series even the
second sequence may not converge in
which case we generate a third sequence,
again by averaging the second sequence.
If that doesn't work, then we
generate a fourth, then a fifth, etc. 
As long as any of those sequences
converges, the infinite series under
discussion has the corresponding limit
as super sum. For example, in the case of
the second Numberphile series, the first
and second sequences diverge but the
third sequence converges to 1/4
which then is our super sum. This is also
what Numberphile gets and so everything
is looking good. Until now, now we have to
confront the sad truth that for most
infinite series none of the associative
averaging sequences of numbers converge
and so these series don't have a
super sum. In particular, for 1 plus 2

English: 
plus 3 and so on all the partial sums
are positive and obviously averaging
over positive numbers will always only
result in positive numbers.
In fact, all the associated sequences of
numbers will explore to positive
infinity and so 1 + 2 + 3 etc definitely
does not super sum to anything finite,
let alone anything finite and negative
like -1/12. Returning to the
Numberphile calculation, here's the part
that can be totally justified using
super sums instead of regular sums.
Because not every divergent series has a
super sum we still need the big IF to
make this part of the argument valid. In
itself not too bad, though, since the
assumption is actually true, right? And
since super summing is really the most
natural extension of normal summing, 1/2
and 1/4 are the only reasonable numbers
to associate with the first two series.
Really nice stuff I think. To recap, we
now know finite sums, convergen

Russian: 
все частичные суммы положительные, и очевидно, что усреднение
(возрастающих) положительных чисел приведёт
к (возрастающим) положительным числам.
Вообще говоря, все соответствующие последовательности
чисел в данном случае расходятся к положительной
бесконечности, и поэтому 1+2+3+... точно
не имеет конечной супер-суммы,
и уж точно не какого-нибудь отрицательного
числа вроде -1/12. Теперь вернёмся к
вычислениям из видео Numberphile. Вот часть, которая
может быть полностью обоснована при помощи
использования супер-сумм вместо обыкновенных.
Из-за того, что не всякий расходящийся ряд имеет
супер-сумму, нам по-прежнему требуется большое ЕСЛИ,
чтобы оправдать вот эту часть аргумента на слайде.
Это не так уж плохо, поскольку изначальное
предположение является верным, так ведь?
И поскольку супер-суммирование -- это наиболее естественное
расширение нормального суммирования, 1/2
и 1/4 -- это единственные вразумительные значения,
которые можно присвоить этим двум рядам.
И всё это действительно классно, на мой взгляд. Подытоживая,
теперь мы знаем про конечные суммы, сходящиеся

English: 
infinite sums and our new super sums. Oh,
by the way, I should mention that in the
literature our super sum would be called
generalized Cesaro summation or
generalized Hölder summation. Anyway,
these summation methods are proper
extensions of each other and are
therefore able to assign meaningful
values to larger and larger classes of
series. However, being able to do more
also comes at a price. The more powerful
a summation method, the less well behaved
it is. What works for finite sums cannot
necessarily be taken for granted for
infinite sums. I already mentioned problems with rearranging convergent 
series, for
example. Of course, super sums also lack
all the nice summy properties that
normal infinite sums lack but they are
even summy things that still work for
infinite sums that no longer work for
our super sums.
Yes, yes the three basic properties I've
been hammering are fine but to assume
that any familiar summy property will
also work for super sums in general is

Russian: 
бесконечные суммы и нашу новую супер-сумму.
Ой, кстати говоря, я должен упомянуть, что
в литературе наша супер-сумма называется обобщённым методом суммирования по Чезаро (Cesaro), или
обобщённым суммированием по Холдеру (O. Hölder). Так или иначе,
эти методы суммирования являются надлежащими
расширениями друг друга и поэтому
могут присваивать вразумительные
значения всё большему и большему количеству классов
[бесконечных] рядов. Несмотря на это, чем больше мы можем,
тем выше цену мы должны платить. Чем более мощный метод
суммирования мы берём, тем менее аналитически удобным он становится.
То, что работает для конечных сумм, далеко не
всегда можно принимать как должное в случае
бесконечных сумм. К примеру, я уже упоминал
проблемы, связанные с перестановкой слагаемых
в сходящихся рядах. Разумеется, супер-суммы также не
имеют всех тех приятных свойств суммирования, которыми
и нормальные бесконечные суммы не обладают.
Однако есть и такие свойства, которые работают для
обычных бесконечных сумм, но не для наших супер-сумм.
Да-да, те три основных свойства, которые я вбивал вам
в головы, здесь в полном порядке, однако предполагать,
что любое знакомое нам свойство суммирования
также будет работать и в общем случае (для супер-сумм),

English: 
risking zero marks (Marty): Or less!  (Mathologer) Or less :) 
For example, inserting or deleting
infinitely zeros has no effect
on convergent series. However, doing the
same to super sums can change things
dramatically. For example, if we insert
infinitely many zeros into our first
series, like this, the super sum of the
new series will be different from 1.  Little puzzle for you:
What's the new super sum? As usual, give
your answers in the comments. And this
zero problem is important. I glossed over
this because it won't have any bearing
on our discussion, but at some point in
the Numberphile calculation they simply
zap infinitely many zeros and this
cannot be justified with our three
properties. Bad... The effect of losing more
and more properties as you go more and
more general is actually something that
you've all encountered before when you
got introduced to larger and larger
number systems: fFrst the positive

Russian: 
значит рисковать получить 0 баллов. (Марти) Или меньше! (Mathologer) Или меньше :) Например, вставка или убирание
бесконечного количества нулей не имеет какого-
либо эффекта на сходящиеся ряды. Тем не менее,
те же операции на супер-суммах могут изменить результирующие значения кардинальным образом. К примеру, если мы вставим
бесконечно много нулей в наш первый ряд, вот так, то супер-сумма
нового ряда будет отличаться от 1/2. Небольшая головоломка для вас:
чему равна новая супер-сумма? Как всегда,
оставляйте свои ответы в комментариях.
Заметьте, что эта проблема с нулями важна. Я практически обошёл её стороной, поскольку она не будет важна
для наших последующих размышлений, однако в определённый момент в вычислениях из видео Numberphile они просто
уничтожают бесконечное число нулей в ряде,
что не может быть обосновано нашими тремя
свойствами. Плохо... Эффект потери всё большего
количества свойств по мере того, как мы уходим
в более и более обобщённый мир, -- это что-то, что
вы все на самом деле уже встречали раньше, когда
вам представляли всё новые и новые
системы чисел: сначала положительные

Russian: 
числа, затем целые, затем рациональные числа, действительные и
комплексные числа, а возможно, ещё дальше --
кватернионы и октонионы. Каждый
раз, когда мы расширяем свой мир, мы теряем
некоторые приятные свойства. Вторая загадка для
вас: можете ли вы определить, какие свойства
теряются по мере того, как мы строим
всё большие и большие числовые системы?
И ещё одна задачка: предположим, что
ряд 1+2+3+... на самом деле имеют конечную супер-сумму; можете ли вы
преобразовать это тождество в несколько противоречащих
друг другу утверждений, используя наши
любимые три свойства? И что вы можете
заключить, исходя из того факта, что
вы пришли к противоречивым утверждениям? Будет интересно посмотреть,
что вам удастся придумать в этом отношении.
Как бы то ни было, пора! (барабанная дробь)
Пора поговорить серьёзно о связи между рядом 1+2+3+...
и -1/12. Нажмите на паузу, сходите за попкорном и горячим

English: 
numbers, then to the integers, the
rational numbers, the reals and to the
complex numbers and even beyond to the
quarternions and the octonions. Each
time you broaden your world, you lose
some nice properties. Second puzzle for
you: Can you think of some properties
that get lost along the way as we build
larger and larger number systems? And
another puzzle: Suppose we assume that
the 1 + 2 + 3 etc series actually super
sums to a finite number, can you
manipulate this identity into a couple
of contradictory statements using our
favourite three properties?
What can you then conclude from the fact
that you can arrive at contradictory
statements? It will be interesting to see
what you can come up with in this
respect? Anyway, it's time! (drum roll)
We have to get serious about the
connection between our 1 + 2 + 3 series
and - 1/12. So press the pause button,
go get your popcorn and your hot

English: 
chocolate and let me know when you're
back :) (jeopardy music)  Ready? Here we go.
Even at the level of super sums we are
pretty far removed from what most people
think of as a sum. After all for
divergent series, given all the averaging
that is going on, the super summing is
really more like finding a super average
than a real summy sum, don't you think? Well it will get more extreme not only in this
respect but also in terms of the maths
that is required to understand what is
going on with the -1/12
connection. I'm sure that a lot of you
will already have heard of this
connection, so let me just state it first
and then really explain it using the
Numberphile calculation as a template.
This is the mega famous Riemann zeta
function. It is a function of the complex
variable z. Written as the infinite sum
there it makes sense if the real part of

Russian: 
шоколадом, и дайте мне знать, когда вернётесь :)
(играет музыка из "Jeopardy") Готовы? Тогда поехали.
Даже на уровне супер-сумм мы уже достаточно
далеки от того, что большинство людей
считают суммой. В конце концов, для расходящихся
рядов, учитывая всё происходящее
усреднение, супер-суммирование скорее похоже на поиск супер-среднего,
чем на поиск настоящей суммы, не думаете? Что ж,
дальше всё будет ещё страннее, причём не только в этом
смысле, но и в терминах той математики, которая
требуется для понимания самой сути
связи между той суммой и -1/12. Я уверен, что многие из вас
уже слышали про эту связь, так что давайте я быстренько её
проговорю и затем по-настоящему объясню, используя
вычисления из Numberphile в качестве отправной точки.
Это есть не что иное, как невероятно знаменитая
дзета-функция Римана. Эта функция от комплексной
переменной z. Записанная в таком виде, в виде суммы,
она имеет смысл только если действительная часть

Russian: 
числа z больше 1. Несмотря на это, существует (уникальный)
способ расширить определение дзета-функции
Римана до аналитической функции, определённой
для всех комплексных чисел z, за исключением 1.
И если мы формально подставим z=-1,
то получим... вот это. Ну, разумеется, -1
меньше 1, поэтому у нас здесь не
совсем равенство, поэтому давайте
по-быстрому избавимся от знака равенства.
Хорошо. В то же время, правая часть здесь
оказывается нашим злым гением, 1+2+3+...
А значение дзета-функции в точке
-1 равно -- вы угадали -- как раз -1/12.
Вот так в двух словах описывается эта
истинная, настоящая, действительная связь между
1+2+3+... и -1/12. Но зачем кому-то понадобилось
описывать эту связь как сумму, и какое отношение всё это имеет к
последней части выкладок из видео Numberphile?
Что ж, позвольте мне объяснить. Для начала,

English: 
z is greater than 1. However, there is one
unique way to extend the Riemann zeta
function to an analytic function for all
complex numbers z excepting 1.
Formally, if you substitute z = -1
 you get ... Well, of course, minus 1
is not greater than 1, and so we really
don't have equality here, and so let's
quickly get rid of their equal sign. Ok,
at the same time the right-hand side is
our master villain 1 + 2 + 3 etc and the
value of zeta
at minus 1 is equal to you guessed it -
1/12. And this, in a nutshell, is the
genuine, real, actual connection
between 1 + 2 + 3 + and - 1/12. But why would
anybody describe this connection as a
sum, and what has all this to do wit the
last part of the Numberphile calculation.
Well there's more to explain. First,

English: 
here's a mini introduction to analytic
functions and analytic continuation. This
will be a rough and ready intro which is
all we need. You all know what a
polynomial is, right? One of these guys:
a constant function or a linear function
or a quadratic function or a cubic, etc.
Now let's play a game. Here is a chunk of
a mystery continuous function that is
defined for all real numbers. So I'm just
not showing you the part to the left of
the y-axis. Here's the question. Just by
looking at this chunk, can you continue
the graph and tell me what my function
is? Now you might be tempted to say 'Yes' but the answer is 'No'. There are infinitely
many ways we could continue to the left
and here are a couple of examples. Here's one and
there's another one, there's a third one, there's infinitely many different ones.
Were you tricked? (Marty) No. (Mathologer)   Sure you were not , but you know the game, right? Of course our
initial chunk is part of a line and it's
natural to think of continuing the

Russian: 
сейчас будет мини-введение в тему аналитических
функций и аналитического продолжения. Оно
будет сделано на скорую руку, но этого нам будет
вполне достаточно. Итак, вы все знаете, что такое
многочлен, так ведь? Один из этих ребят: константа, линейная функция,
квадратичная функция, кубическая, или тому
подобное. Теперь давайте сыграем в игру. Вот кусок
неизвестной непрерывной функции, которая
определена на всех действительных числах. Я просто
не показываю вам часть графика, лежащую
левее оси y. Вот вам вопрос: просто
глядя на этот кусок графика, можете ли вы продолжить
его и сказать, чему равна моя функция?
Вам может хотеться сказать "да", но на самом деле
ответ -- "нет". Существует бесконечно много
способов продлить этот график в левой части,
и вот лишь несколько примеров. Вот раз,
два, три... Их бесконечно много, совершенно разных.
Удалось вас обмануть? (Марти) Нет! (Mathologer) Ну не ты, конечно, ты ведь знаешь, что к чему. Разумеется,
изначальная часть графика является частью прямой линии, и поэтому естественно предположить, что её следует

English: 
function as this same line. But we don't
have to. However, if I tell you the
mystery function is linear, then your
initial chunk tells you exactly how to
continue the function, there's only one
way to continue so that the whole
function is linear. In fact, the same is
true if I only told you the function was
a polynomial. Just by looking at the
chunk you could be absolutely sure that
my polynomial is linear and exactly
which linear function, right? We can now
generalize this simple observation a
couple of steps, in a pretty dramatic way
actually. Here we go.
First, suppose that our initial chunk is
part of a parabola, or if you like a
cubic, or any polynomial. If I then tell
you that my mystery function is a
polynomial there's always only going to
be exactly one polynomial that continues
our beginning chunk. In other words, a
polynomial is completely determined by
any part of it. Second, all we've said

Russian: 
так и продолжить, в виде прямой линии. Но это необязательно так. Тем не менее, если бы я сказал вам,
что неизвестная функция является многочленом, то этого изначального куска графика более чем достаточно, чтобы
продолжить функцию. И на этот раз такой способ
продолжения функции будет единственным --
вся функция должна быть линейной. Вообще говоря, то же самое было бы верно и в том случае, если бы я сказал, что функция
является многочленом. Просто поглядев на имеющийся кусок графика, вы можете быть абсолютно уверены в том, что
мой многочлен -- линейный, а также какая именно
это линейная функция. Так? И теперь мы можем
обобщить это простое наблюдение всего парой шагов; довольно-таки впечатляющих,
надо сказать. Итак, поехали. Во-первых, предположим, что наш изначальный кусок [графика]
является частью параболы, или, если вам так больше нравится,
кубического, или любого другого многочлена. Если я теперь скажу
вам, что моя загадочная функция -- это
многочлен, то вы всегда сможете найти лишь
один, и только один многочлен, который продолжает
этот кусок графика. Другими словами,
многочлен полностью задаётся любой частью своего
графика. Во-вторых, всё, что мы только что сказали,

English: 
stays true if we think of polynomials as
functions of a complex variable and if
you begin with a chunk of the polynomial
corresponding to a region in the complex
plane. So on the left, you see the complex
number plane where each point stands for
a complex number
and I've also colored a small region in
the plane. And so in terms of this
picture a polynomial is completely
pinned down by the values it takes on
over a region like this. No other
polynomial will take on all the same
values there. Again, just relax if all this
seems a little bit too much.
Now, the polynomials are the simplest and
most nicely behaved functions but there
is a much larger world of functions that
shares a lot of the nicest properties
with polynomials. Those are the so-called
analytic functions. These are the complex
functions that can be expressed locally
as either regular finite polynomials or
as infinite polynomials, so called power
series. For example, the exponential
function is an analytic function because

Russian: 
остаётся верным и в том случае, если мы будем смотреть
на многочлены как на функции комплексной переменной. В этом
случае можно начать рассматривать куски графика
многочлена, лежащие в комплексной плоскости.
Слева вы можете видеть комплексную числовую
плоскость, где каждая точка соответствует
какому-то комплексному числу.
Я также выделил небольшой участок
на этой плоскости. В терминах этой картинки, многочлен полностью
определяется значениями, которые он
достигает на таком участке. Никакой другой
многочлен не может принять одинаковые с ним значения
на всём участке. Опять же, расслабьтесь, если всё это
сейчас выглядит небольшим перебором.
Вообще многочлены -- это самые простые
и удобные для анализа функции, но есть
гораздо больший мир функций, которые
имеют много общих замечательных свойств
с многочленами. Они называются
аналитическими функциями. Это комплексные функции,
которые могут быть локально представлены в виде
либо обычных конечных многочленов, либо бесконечных многочленов, так называемых степенных
рядов. К примеру, функция экспоненты
является аналитической функцией, поскольку

Russian: 
может быть записана в виде бесконечного многочлена
вот таким образом. Вообще говоря, практически
все наши любимые функции, такие как
тригонометрические, рациональные функции, и т.д.,
являются аналитическими. В них важно для нас то,
что, как и в случае многочлена, аналитическая
функция целиком определяется любым участком
своей области определения. То есть, если я дам
вам начальный кусок какой-нибудь аналитической
функции, например экспоненты, то ни одна
другая аналитическая функция не сможет продолжить
этот кусок. Обычно это выражается словами
"аналитическое продолжение аналитической
функции определено единственным образом".
Если обобщить вышесказанное, хотя и существует много
разных ситуативных способов продолжить аналитическую
функцию, есть лишь один особенный, наиболее
осмысленный, абсолютно фантастический
и непревзойдённый способ это сделать, приводящий
к ещё большей аналитической функции.
Само собой, как я уже сказал, эта часть видео очень
поверхностна, и хорошо осведомлённые зрители
наверняка найдут, к чему придраться, в комментариях. (Марти) Жду с нетерпением. (Mathologer) В частности, я не сказал
вам о том, почему нам вообще нужно втягивать в
обсуждение комплексные функции, но пожалуйста,

English: 
it can be written as an infinite
polynomial like this. In fact, pretty much
all our favorite functions such as the
trig functions, rational functions, etc.
are analytic. Important for us is that
just like a polynomial, an analytic
function is completely pinned down by
any initial chunk. So if I give you a
beginning chunk of an analytic function
like the exponential function, then no
other analytic function can continue
this chunk. This is usually expressed by
saying that analytic continuation of an
analytic function is uniquely determined.
In summary, though there may be many nice ad hoc ways to continue an analytic
function there's just one distinguished,
most reasonable, absolutely fantastic
never to be improved way to do this,
leading to a larger analytic function. Of
course, as I said, this is all very
sketchy and you guys in the know will
probably nitpick me to death in the
comments. (Marty) Looking forward to it. Ok, in particular I didn't tell
you why we need to drag complex
functions into the discussion, but please

English: 
just run with it for today and I promise
I'll fill in the details soon. In the
meantime you can also read up on things
by following the links in the
description. All you really have to
remember is this: an initial chunk of an
analytic function nails down the whole
analytic function. Now we can join the
dots. We have two completely different
notions of best extension. First, for
extending sums to super sums of
divergent series
and second for extending a chunk of an
analytic function to the whole analytic
function. Combining these two extension
ideas, we can finally explain what's
going on with 1 + 2 + 3 + and  -1/12. Okay,
have a look at this infinite series.
Notice that it's the same as the zeta
function except that it includes minuses.
It's also obviously different from the
Numberphile series in that it includes a
variable z. So it is actually an infinite
family of infinite series, one for each

Russian: 
пока немного потерпите, и я обещаю, что
вскоре поясню все недостающие детали.
Между тем, вы можете почитать обо всём этом по ссылкам в описании
к видео. Единственное, что вам следует хорошенько
помнить, -- это то, что любой изначальный кусок
аналитической функции определяет всю аналитическую функцию. Теперь мы можем во всём разобраться.
У нас есть два совершенно разных понятия
"наилучшего" расширения. Первое --
расширение обычного суммирования
до супер-сумм расходящихся рядов.
А второе -- продолжение куска аналитической
функции до всей аналитической
функции. Совместив эти две идеи,
мы наконец-то сможем объяснить, в чём
заключается связь между 1+2+3+... и -1/12. Итак,
давайте посмотрим на вот этот бесконечный ряд.
Заметьте, что она такая же, как дзета-функция,
только в некоторых местах стоят минусы.
Она также, очевидно, отличается от ряда в видео
Numberphile тем, что включает в себя
переменную z. То есть, на самом деле, это бесконечное
семейство бесконечных рядов, один для каждого

Russian: 
комплексного числа z. Давайте запишем небольшой
список из подобных рядов, соответствующих
нескольким видным целым значениям. При z=0 мы
получаем ряд 1-1+1-1+... Хорошо, при
z=-1 мы получаем второй ряд, 1-2+3-4+...
И регулярные зрители Mathologer'а должны знать,
что при z=1 и z=2 соответствующие ряды
сходятся. Итак, в общем случае, эти ряды являются
сходящимися для всех комплексных чисел z
в положительной, коричневатой полуплоскости (на слайде). И они расходятся при всех
оставшихся z, включая 1-1+1-... при z=0 и второй
ряд. Тем не менее, как и в случае с двумя
рядами из видео Numberphile, мы можем соорудить
метод супер-суммирования, который будет работать для
всех z, для всех расходящихся рядов в этом
семействе. И это позволяет нам определить
близкого родственника дзета-функции, так называемую

English: 
complex number z. Let's just make a
little list of such series corresponding
to a few prominent integer values. For
z = 0 we
our 1 minus 1 plus 1 series. Ok for x = - 1 we get 1 minus 2 plus 3
and Mathologer regulars know that for z = 1 and 2 the series are
convergent. Now, in general, these series
are convergent for all complex numbers z
in the positive brownish half plane. The
infinite series are divergent for all
other z including 1 minus 1 plus 1 etc
at 0 and the other guy. However, just like
the two Numberphile series can be super
summed, the same is possible for every
z, for all the divergent series in this
family. And this allows us to define a
close relative of the zeta function, the
so-called

Russian: 
η-функцию Дирихле. И эта функция оказывается аналитической
функцией. Итак, что же это за метод? Для начала,
стандартное суммирование даёт нам только часть этой
аналитической функции, в которой бесконечные
ряды сходятся -- вот эту часть. Большинство
математиков попросту выбросило бы расходящиеся
ряды в остальной плоскости как совершенно
ненужные пережитки. Вместо этого, они
сооружают аналитическое продолжение
η-функции при помощи совершенно иных
методов. Эти методы очень хитроумные и
гениальные, однако они дают очень мало
понимания и интуиции в том, что именно
происходит. С другой стороны,
то, что наиболее разумное расширение аналитической
функции, которая определена лишь на части
комплексной плоскости, определяется
самым вразумительным способом присваивать
обобщённые суммы этим якобы бесполезным
расходящимся рядам, звучит как наиболее естественный и правильный подход к делу, с моей точки зрения. Он приводит к более интуитивному

English: 
Dirichlet eta function. And this
function turns out to be an analytic
function. So to start with, standard
summation only gives us part of this
analytic function for which two infinite
series converge, this part here. Now, most
mathematicians will simply discount a
divergent series that pop up here as
useless artifacts. Instead they will
construct the analytic continuation of the
eta function by completely different
methods. These methods are very slick and
ingenious. However, they provide very little
intuition and insight into what's really
going on here. On the other hand, seeing
that the most reasonable extension of an
analytic
function that is defined on part of the
complex plane is actually given by the
most reasonable way to assign generalised
sums to these supposedly useless
divergent series just feels right to me
and leads the way to a more intuitive

Russian: 
пониманию аналитического продолжения, по крайней
мере, в этом случае. А теперь, как насчёт вот
такой отличной идеи: мы только что использовали
обобщённую сумму для того, чтобы построить аналитическое
продолжение, так? Давайте теперь сделаем всё
наоборот: используем аналитическое продолжение
для определения сумм-кандидатов в обобщённом
методе суммирования. И это как раз то, что
происходит в случае связи между 1+2+3+... и -1/12, а также дзета-функцией. Мы
получаем дзета-функцию, когда заменяем все минусы в η-функции на
плюсы. Ну, точнее, мы получаем лишь часть её,
коричневую часть (на слайде), которая является
частью комплексной плоскости, в которой
бесконечный ряд справа вверху сходится. Для всех
остальных z получающийся бесконечный ряд
является расходящимся, и даже супер-суммирование
не может нам здесь помочь. Ну что ж, трюк супер-суммирования для
η-функции не работает для дзета-функции. Тем не менее,
есть путь в обход этой проблемы, и он спрятан в финале

English: 
understanding of analytic continuation,
at least in this case. But now here's a
great thought: we just used a generalised
sum to construct an analytic
continuation, right? Let's turn the idea
around, let's use analytic continuation
to identify candidates for a generalised
summation method. And this is exactly
what happens in the case of 1 + 2 + 3
etc and - 1/12 and the zeta function. You
get the zeta function when you replace
all the minuses in the eta function by
pluses. Well you get part of it, the
brownish part. which is the part of the
complex plane for which the infinite
series on the right converge. For all
other z the resulting infinite series
are divergent and even super summing
doesn't help for the white part on the
left. So the super summing trick for
eta just doesn't work for zeta. The
trick to use is encoded in the finale of

English: 
the Numberphile pseudo proof. That's the
brownish bit down there. Remember this
part of the argument takes the sum S2
of the 1 - 2 + 3 series and spits out a
sum for the 1 + 2 + 3 series formally
these two sums are just what you get
when you let z equal to -1 in the
infinite series of the eta and zeta
functions and actually the Numberphile
calculation is just a special instance
of a calculation involving eta and
zeta. Let's be brave. Ignoring questions
of legality, let's unleash exactly the
same calculation on eta and zeta. So
instead of subtracting S2 from S, let's
subtract eta
from zeta. Ready? ... Right, take out the common factor down there. That's zeta again in
the brackets. Now let's solve for zeta. There my magic

Russian: 
псевдо-доказательства в видео Numberphile. А
именно, в коричневой части аргумента на экране.
Помните, что в ней мы берём сумму S2 ряда
1-2+3-4+... и путём манипуляций получаем
сумму для ряда 1+2+3+... Формально, эти две суммы --
это просто то, что получается, если подставить
z=-1 в бесконечный ряд η- и дзета-функций.
И на самом деле, выкладки в видео Numberphile
являются лишь частным случаем
более общего преобразования, связанного с η- и
дзета-функциями. Не будем бояться, игнорируем
все вопросы о обоснованности -- давайте спустим то же
самое преобразование на общие формы η- и дзета-функций.
То есть, вместо вычитания S2 из S, мы вычтем η-функцию
из дзета-функции. Готовы? ... Так, вынесем общий множитель
за скобки, в скобках вновь возникает дзета-функция,
решаем уравнение относительно неё. Опять
наблюдаем анимационную магию,

English: 
again okay that's really exactly the
same as the last part of the Numberphile
calculation using zetas and eta instead
of the Numberphile series. Just as a
check after substituting z = -1 this identity turns into
this, and with S2 being 1/4 we get
this. Okay more magic and we're back to
-1/12. But didn't we say that the
Numberphile computation was nonsense?
(Marty) Yes, we did. (Mathologer) We definitely did. And it is, but some
magic happens with zetas and eta which
saves our zetas eta calculation from
being nonsense and that is the magic of
analytic continuation. Both the series
for zetas and eta are convergent for
every z in this brownish region. This
means that for these values of z our
calculation and the resulting equation
above are pure, correct, 100% approved

Russian: 
и получаем вот это. Это то же уравнение, что и в
конце видео Numberphile, только использующее
дзета- и η-функции вместо тех конкретных рядов
в видео Numberphile. Давайте проверим: после
подстановки z=-1, это тождество превращается в
вот это, и если S2 = 1/4, то мы получаем это. Ещё
немного магии, и мы возвращаемся
к -1/12. Но разве мы не сказали ранее,
что вычисления Numberphile -- чепуха?
(Марти) Да, так всё и было. (Mathologer) Мы точно так сказали. И так оно и есть, но между дзета- и η-функциями происходит ещё кое-какая магия,
которая спасает наши вычисления с
ними от бредовости. Я говорю о магии
аналитического продолжения. Оба ряда,
в дзета- и η-функциях, сходятся при
всех z из этой коричневатой области. Это
означает, что для этих значений z наши
вычисления и получающееся уравнение абсолютно верны и истинны, полностью обоснованны,

English: 
bona fide mathematics. But, as well,
eta is defined and analytic for all z
and the same is true for the denominator.
But then the right side, as a quotient
of two functions that are analytic
everywhere, is itself defined and
analytic everywhere except possibly at
the zeroes of the denominator. In fact, a
closer look reveals that the whole
right-hand side is analytic everywhere
except at z=1.  Here comes the punchline and this punchline
hinges on the chunks-pin-down-analytic-functions business that I've been going
on about. You should really try to
understand this. Okay, so both the left
side and the right side are analytic in
this part of the complex plane here. But
since the right side is analytic
everywhere, because of our chunks-pin-
down-analytic-functions property, the
right side has to be equal to the
elusive analytic continuation of the zeta
function on the left that everybody is

Russian: 
достойные математики. Но в то же время, η-функция
определена и является аналитической для ВСЕХ z,
и то же верно для знаменателя. Следовательно,
правая часть равенства, частное
двух функций, являющихся аналитическими на всей
плоскости, тоже должно быть определено и
аналитическим везде, за исключением, разве
что, нулей знаменателя. На самом деле,
внимательный взгляд показывает, что правая
часть уравнения является аналитической везде,
кроме z=0. И вот она, кульминация, которая будет
основываться на принципе "один кусок определяет всю
аналитическую функцию", о котором я распинался
последние несколько минут. Постарайтесь,
действительно постарайтесь понять его.
Итак, и левая, и правая часть уравнения являются аналитическими
вот в этой части комплексной плоскости. Но
поскольку правая часть является аналитической
везде, то, благодаря нашему вышеназванному
замечательному принципу про отдельные куски,
правая часть уравнения должна быть равна
загадочному аналитическому продолжению дзета-
функции в левой части, в которой мы все так

English: 
really interested, the analytic
continuation of the zetas function. So
this identity is a real jewel as it gives
an explicit way to calculate any
value of the Riemann zeta function,
analytic continuation and all via the eta
function which, remember, we defined via
super summing. In other words, it actually
makes sense to use this identity as a
definition for the zeta function which
works for all z. For example, setting
z=0 we get this one here
and eta of zero was just the super sum of
1 minus 1 plus 1 etc which is equal to
1/2 and so zeta of 0 is equal to 
-1/2. Here just a couple more interesting
values for zeta. Nice. The zeroes are
particularly interesting. In fact, it
turns out that zetas has zeros at all
negative even integers, -2, -4,
-6, and so on. These are the
so-called trivial zeroes of the zeta

Russian: 
сильно заинтересованы (в аналитическом
продолжении дзета-функции). И поэтому
это тождество является настоящим сокровищем,
которое даёт нам явный способ посчитать любое
значение дзета-функции Римана, а точнее, её
аналитического продолжения, и всё при помощи
η-функции, которую, как вы помните, мы определили при
помощи супер-суммирования. Иными словами, это тождество
действительно разумно использовать как
определение дзета-функции, работающее
для ВСЕХ z. Например, взяв z=0, мы получим вот такое выражение.
η(0) равна нашей супер-сумме ряда 1-1+1-1+..., то есть
1/2, и поэтому дзета-функция в точке z=0 равна -1/2.
Вот ещё навскидку несколько более интересных
значения дзета-функции. Здорово! Вот эти нули
особенно интересны. Вообще говоря, оказывается,
дзета-функция равна нулю при всех отрицательных
чётных целых значениях аргумента, то есть -2, -4,
-6, и так далее. Эти значения называются
тривиальными нулями дзета-функции.

Russian: 
Я уверен, что если вы добрались до этого момента видео, то наверняка
слышали и про гипотезу Римана, которая
вся завязана на остальных нулях
дзета-функции. Она утверждает, что все остальные
нули располагаются на вот этой синей линии.
И что интересно, в правой части нашего тождества нам даже
не нужно использовать супер-суммирование, чтобы
посчитать значения дзета-функции на этой
синей линии, поскольку обыкновенное
суммирование η-функции даёт нам всю
вот эту часть комплексной плоскости, которая
по совместительству включает в себя эту
важнейшую линию. Много-много интересных вещей,
о которых ещё можно было бы поговорить в этой теме,
но, увы, надо заканчивать эти разборки с 1+2+3+... = -1/12.
Хорошо, давайте подведём итоги.
На первых порах, именно это наше
тождество сверху имели в виду ребята из видео
Numberphile, именно его они пытались передать.
И безусловно хотелось бы выразить это
тождество в форме обобщённой суммы,

English: 
function. I'm sure if you made it this far you've
also heard of the Riemann hypothesis
which is all about other zeros of the
zeta function. It says that all other
zeros are situated on this blue line
here and what's also really interesting
is that on the right hand side we
actually don't have to super sum to
calculate the values of zetas on the
blue line because just with ordinary
summing eta can be evaluated
everywhere in this part of the complex
plane, this part here which includes this
critical line. Lots and lots of other
interesting things one could say here
but, well, we are here to wrap up this
whole 1 plus 2 plus 3 is equal to
-1/12 business. Alright, ok, let's do it.
In the first instance it is really our
identity up there that the Numberphile
video is attempting to capture and it's
definitely tempting to express his
identity as a new generalized sum

English: 
maybe like this. I've decorated the equal
sign with an R in honour of Ramanujan who
seems to have been the first to think
this way (NOT Euler as many people think).
In fact, in Ramanujan's notebook we can
find a calculation very similar to the
one that's in the Numberphile video. Of
course, there's a huge difference between
a monumental
genius quickly abbreviating all his
complicated stuff in a personal note and
a YouTube video addressed to a general
audience, right? What you see up there is
part of a general method called
Ramanujan summation that assigns values
to all sorts of divergent series
including the three Numberphile series.
An important aspect of infinite series
which is often overlooked is the order
in which the terms are summed. We are not
just adding an infinite set we are doing
so in a certain order and this has all
sorts of important implications. So, for
example, no matter how we arrange the

Russian: 
как-нибудь вот так. Я украсил знак равенства буквой
R в честь Рамануджана (Ramanujan), который,
похоже, был самым первым человеком, кто подумал обо всём
этом именно в этом ключе (а не Эйлер, как многие считают).
Вообще говоря, в тетради Рамануджана мы можем
найти выкладки, которые очень похожи на то,
что делалось в видео Numberphile.
Разумеется, есть огромная разница между
феноменальным гением, очень сжато и неполно отмечающим
свои сложные мысли в личных записях, и видео
на YouTube, которое направлено на общую
аудиторию, верно? То, что вы видите сейчас сверху, --
это часть общего метода, который называется
суммированием по Рамануджану. Оно присваивает
значения расходящимся рядам всех сортов,
включая три ряда из видео Numberphile.
Один важный аспект бесконечных рядов,
про который часто забывают, заключается в
порядке, в котором суммируются слагаемые.
Мы не просто суммируем бесконечно много элементов,
мы делаем это в определённом порядке, и это имеет
много важных следствий. К примеру, вне
зависимости от того, как мы расставим

English: 
natural numbers into an infinite series
this infinite series will always diverge
to plus infinity using standard
summation. However, how exactly, how fast,
slow, regular, erratic it diverges to
infinity depends very much on the order
of the terms in the series. The Ramanujan
sum lacks pretty much all the nice
summy properties that we encountered
today. However, it manages to capture
aspects of naturally ordered series and
it pops up in many other branches of
the theory of divergent series in
addition to the one we talked about
today. Check out some of the links in
the description, especially if you know
a lot of maths the article by Terry Tao.
Also I'm planning another video on the
so called Euler-Maclaurin summation
formula which establishes a powerful
connection between sums and integrals
and which is the starting point for
Ramanujan's sum. Just to whet your
appetite here's one closely related
-1/12 fact. The nth partial sum of
our infinite series is N(N+1)/2

Russian: 
натуральные числа в бесконечном ряде, этот
бесконечный ряд всегда будет расходиться
к плюс бесконечности при использовании стандартного суммирования. Несмотря на это, как именно, то есть, как быстро или
медленно, постепенно или хаотично он расходится к
бесконечности -- очень сильно зависит от порядка,
в котором члены стоят в ряде. Сумма по
Рамануджану не имеет, по сути, никаких из тех
приятных свойств сумм, которые встречались нам
сегодня. Тем не менее, она удачно отражает
многие нюансы естественно упорядоченных рядов,
а также возникает во многих других ответвлениях
теории расходящихся рядов, и это не считая
той области, про которую мы поговорили
сегодня. Пройдите по ссылкам в описании к видео, особенно, если вы
знаете много математики, прочитайте статью Терри Тао
(Terry Tao). Я также планирую сделать ещё одно видео на тему
так называемой формулы суммирования Эйлера-
Маклорена, которая устанавливает могущественную
связь между суммами и интегралами и
которая была отправной точкой для
суммы Рамануджана. Дабы разжечь ваш
аппетит, вот один тесно связанный
с -1/12 факт. N-ая частичная сумма нашего
бесконечного ряда равна N(N+1)/2.

English: 
So, if we plug in 1, 2, 3, 4 etc. for N
the formula will spit out those partial
sums 1, 3, 6, 10. Now let's replace N by x
and graph the resulting function. That's
a quadratic with zeros at 0 and - 1.
Now the remarkable thing about this
graph is that the signed area here is
equal to -1/12. And this is
definitely no coincidence. Really amazing
stuff, don't you agree? And that's it,
finally, for today (and now I go and kill myself :) and I promise
the next video will be a LOT shorter.

Russian: 
То есть, если подставить 1, 2, 3, 4, и т.д. вместо N,
то эта формула выдаст нам те самые частичные
суммы: 1, 3, 6, 10. Теперь давайте заменим N на x
и начертим график получившейся функции. Это
квадратичная функция с нулями в 0 и -1.
Занимательный факт, связанный с этим
графиком, заключается в том, что закрашенная
площадь равна в точности... -1/12. И это
совершенно точно не совпадение. Воистину
потрясающие вещи творятся, не правда ли? :)
И это, наконец, всё на сегодня (пойду умру теперь... :) ), и я обещаю,
что следующее видео будет НАМНОГО короче.
