
English: 
In the last video, we attempted
to approximate the area
under a curve by constructing
four rectangles of equal width
and using the left boundary of
each rectangle, the function
evaluated at the left boundary,
to determine the height,
and we came up with
an approximation.
What I want to do in this video
is generalize things a bit
using the exact same
method, but doing it
for an arbitrary function
with arbitrary boundaries
and an arbitrary
number of rectangles.
So let's do it.
So I'm going to draw the
diagram as large as I
can to make things
as clear as possible.
So that's my y-axis.
And this right over
here is my x-axis.
Let me draw an
arbitrary function.
So let's say my function
looks something like that.
So that is y is equal to f of x.
And let me define my boundaries.
So let's say this right
over here is x equals a.

Bulgarian: 
В последния урок се опитахме да
апроксимираме площта
под крива, като построихме четири
правоъгълника с еднаква широчина,
и използвахме лявата граница на
всеки правоъгълник, тоест
стойността на функцията, изчислена в лявата
граница, за да определим височината.
По този начин намерихме
приближението.
В настоящия урок искам да обобщя
малко нещата,
като използвам същия метод, но го
приложа
за произволна функция с произволни
граници,
и произволен брой правоъгълници.
Нека го направим.
Ще направя чертеж, колкото мога
по-голям, така че
да мога да направя нещата колкото
е възможно по-ясни.
Това е оста у.
А това тук е оста х.
Нека начертая произволна функция.
Нека да кажем, че функцията изглежда
по следния начин.
Това е у равно на f от х.
Нека да дефинирам един интервал.
Нека ето тук да бъде х равно на а.

Thai: 
 
ในวิดีโอที่แล้ว เราพยายามประมาณพื้นที่
ใต้เส้นโค้งโดยสร้างสี่เหลี่ยมมุมฉากสี่รูป
ที่กว้างเท่ากัน
และใช้ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูป
คือฟังก์ชัน
หาค่าที่ขอบซ้าย เพื่อหาความสูง
และเราได้ค่าประมาณมา
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ
ขยายผลให้ทั่วไปยิ่งขึ้น
โดยใช้วิธีการเดิมเป๊ะ แต่ทำ
สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่มีขอบเขตใดๆ
และจำนวนสี่เหลี่ยมมุมฉากตามใจ
ลองทำกันดู
ผมจะวาดแผนภาพให้ใหญ่ที่สุดเท่าที่
ผมจะทำให้ชัดที่สุดเท่าที่ทำได้
นั่นคือแกน y ของผม
และเส้นนี่ตรงนี้คือแกน x
ขอผมวาดฟังก์ชันตามใจนะ
สมมุติว่าฟังก์ชันของผมเป็นแบบนั้น
นั่นคือ y เท่ากับ f ของ x
ขอผมกำหนดขอบนะ
สมมุติว่าเส้นนี่ตรงนี้คือ x เท่ากับ a

iw: 
.
בסרטון האחרון, נסינו להעריך את השטח
מתחת לגרף על ידי בניית ארבע מלבנים שווי רוחב
ובעזרת הגבול השמאלי של כל מלבן, הערך
של הפונקציה בנקודה השמאלית, כדי לקבוע את הגובה,
והגענו להערכה.
מה שארצה לעשות בסרטון הזה הוא להכליל דברים קצת
בעזרת אותה שיטה, אבל
עבור פונקציה שרירותי עם גבולות שרירותיים
ומספר מלבנים שרירותי.
אז בואו נעשה את זה.
אז אני אצייר תרשים הכי גדול
שאוכל כדי שזה יהיה ברור ככל האפשר.
אז זה ציר ה y שלי.
ופה נמצא ציר ה x שלי.
תנו לי לצייר פונקציה שרירותית.
אז בואו נאמר שהפונקציה שלי ניראת בערך ככה.
אז זה y שווה ל f של x.
ותנו לי להגדיר את הגבולות שלי.
אז נאמר שמה שפה הוא x שווה ל a.

Korean: 
지난 동영상에서
우리는 동일한 폭의 사각형 4개를 만들고
지난 동영상에서
우리는 동일한 폭의 사각형 4개를 만들고
각 사각형의 왼쪽 변의 길이
즉 왼쪽 경계의 함숫값을 높이로 하여
각 사각형의 넓이의 합으로
곡선 아래의 면적을 근사했습니다
이번 동영상에서 제가 하고 싶은 것은
임의의 경계와 직사각형의 개수로
임의의 함수에 대해서
앞에서 시도한 방법을 일반화시키는 것입니다
그럼 이제 한번 해 볼까요
저는 최대한 명확하게 보여주기 위해서
그래프를 가능한 한 크게 그릴 겁니다
이것이 y축이고
이것이 x축입니다
임의의 함수를 그려보도록 하죠
그 임의의 함수는 이렇게 생겼습니다
y=f(x)인 함수이죠
이제 경계를 설정하도록 합시다
여기를 x=a인 곳으로 합니다

Polish: 
W poprzedniej prezentacji próbowaliśmy aproksymować pole powierzchni
pod wykresem konstruując cztery prostokąty o równej szerokości
i używając lewego brzegu każdego z tych prostokątów, wartości funkcji
branej dla punktu z lewego brzegu prostokąta ażeby ustalić wysokość,
i otrzymaliśmy w ten sposób aproksymację.
W tym filmie chcemy te rzeczy nieco uogólnić
używając dokładnie tej samej metody, ale
dla dowolnej funkcji o dowolnych granicach
oraz dowolnej liczby prostokątów.
A więc do dzieła.
A więc narysuję wykres na tyle duży, ażeby
wszystko było możliwie dobrze widoczne i jasne.
To jest zatem moja oś y.
A ta tutaj to moja oś x.
Narysuję teraz dowolną funkcję.
Powiedzmy, że wygląda ona jakoś tak.
Zatem to jest y równe f(x).
Niech teraz zdefiniuję moje granice.
Ustalmy, że to tutaj to będzie x równe a.

Portuguese: 
No último vídeo, tentamos aproximar a área
sob uma curva construindo quatro
retângulos de larguras iguais
e usando o limite esquerdo
de cada retângulo, a função
avaliada no limite esquerdo,
para determinar a altura,
e chegamos em uma aproximação.
Nesse vídeo quero generalizar
um pouco, usando
o mesmo método,
mas fazendo para
uma função arbitrária
com limites arbitrários
e um número arbitrário de retângulos.
Então vamos fazer isso.
Vou desenhar o diagrama
bem grande para que
eu possa fazer da forma
mais clara possível.
Esse é meu eixo y.
E esse bem aqui é meu eixo x.
Deixa eu desenhar uma função arbitrária.
Digamos que minha função
pareça com algo assim.
Isso é y igual a f de x.
E deixa eu definir meus limites.
Digamos que esse aqui é x igual a 'a'.

Thai: 
 
และเส้นนี่ตรงนี้คือ x เท่ากับ b
นี่ก็คือ b
และผมจะใช้สี่เหลี่ยมมุมฉาก n ตัว
และผมจะใช้ฟังก์ชันหาค่า
ที่ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เพื่อหาความสูงของมัน
ตัวย่างเช่น อันนี้จะเป็นสี่เหลี่ยม 1
ผมจะหาค่าว่า f ของ a เป็นเท่าใด
 
อันนี้ตรงนี้คือ f ของ a
แล้วผมจะใช้มันเป็นความสูง
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแรก
อย่างนั้น
สี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข 1 เป็นแบบนี้
ผมจะเขียนตัวเลขด้วย
สี่เหลี่ยมมุมฉาก 1 เป็นแบบนั้น
ตามข้อตกลงแล้ว
เนื่องจากผมอยากเขียนกำกับค่า x แต่ละตัว
ทางขอบซ้าย เราจะเรียก a ว่าเท่ากับ x0

Bulgarian: 
Това е х равно на а.
А това тук да бъде х равно на b.
Това е b.
Ще използвам n на брой
правоъгълници.
Ще използвам и стойността на
функцията, изчислена
в лявата граница на всеки
правоъгълник,
за да определя височината му.
Например това ще бъде правоъгълник
едно.
Ще изчисля на какво е равно f от а.
Ще изчисля f от а.
Това ето тук е равно f от а.
Ще го използвам като височина
на първия правоъгълник.
Ето така.
Правоъгълник номер едно изглежда
по този начин.
Дори ще го номерирам.
Правоъгълник едно изглежда така.
И просто, за да имаме означение тук –
защото ще означа всяка една стойност
на х
в лявата граница – нека това а да
е равно на х0.

Polish: 
A to tutaj x równe b.
Więc to jest b.
I zamierzam użyć n prostokątów,
oraz wartości funkcji obliczonych
w punkcie lewego brzegu prostokąta,
aby określić jego wysokość.
Więc, dla przykładu, niech to będzie prostokąt nr 1.
Zobaczę ile to jest f(a).
Więc tutaj mamy dokładnie f(a).
I tego właśnie użyję jako wysokości
pierwszego z moich prostokątów.
A więc dokładnie w ten sposób.
Więc prostokąt nr 1 wygląda tak.
I nawet go ponumeruję.
Prostokąt nr 1 wygląda dokładnie w ten sposób.
I teraz, żeby wprowadzić w tym miejscu pewną konwencję,
bowiem będę chciał odnosić się do tych wartości x
z lewych krańców, więc oznaczmy a przez x0.

English: 
And this right over
here is x equals b.
So this is b.
And I'm going to
use n rectangles,
and I'm going to use
the function evaluated
at the left boundary
of the rectangle
to determine its height.
So, for example, this
will be rectangle one.
I'm going to evaluate
what f of a is.
So this right over
here is f of a.
And then I'm going to
use that as the height
of my first rectangle.
So just like that.
So rectangle number
one looks like this.
And I'll even number it.
Rectangle one looks
just like that.
And just to have
a convention here,
because I'm going to want to
label each of the x values
at the left boundary, so
we'll say a is equal to x0.

Portuguese: 
E esse aqui é x igual a b.
Esse é b.
Vou utilizar n retângulos,
e vou utilizar a função avaliada
no limite esquerdo do retângulo
para determinar sua altura.
Então, por exemplo, esse
vai ser o retângulo um.
Vou calcular quanto f de a é.
Esse aqui é f de a.
Depois, vou usar isso como a altura
do meu primeiro retângulo.
Dessa forma.
O retângulo número um fica assim.
E vou até enumerá-lo.
Retângulo um parece com isso.
E para termos uma convenção,
já que eu vou querer rotular
cada um desses valores de x
no limite esquerdo, então vamos
dizer que a é igual a x0.

iw: 
.
וכאן נמצא x שווה ל b.
אז זה b.
ואני אשתמש ב n מלבנים,
ואני אשתמש בערך הפונקציה
בגבול השמאלי של המלבן
כדי לקבוע את הגובה.
אז, למשל,זה יהיה מלבן אחד.
אני אעריך מהו f של a.
.
אז פה נמצא f של a.
ואז אני אשתמש בזה כגובה
של המלבן הראשון שלי.
אז בדיוק ככה.
אז ככה נראה מלבן מספר אחד.
אני איישר את זה.
מלבן אחד נראה בדיוק ככה.
ורק כדי להשיג מוסכמה כאן,
כי אני ארצה לסמן את כל ערכי ה x
בגבול השמאלי,אז אומר שזה שווה ל x0.

Korean: 
x=a
그리고 여기를 x=b인 곳으로 하고요
여기가 b인 거죠
이제 n개의 직사각형을 그릴 겁니다
그리고 각 사각형의 왼쪽 변의 길이를
높이로 설정하여
계산할 겁니다
예를 들어 여기 첫 번째 직사각형이 있습니다
이 값은 f(a)이죠
이 값은 f(a)이죠
함숫값이 f(a)란 겁니다
이제 이 값을 첫 번째 직사각형의
높이로 할 것입니다
이렇게요
첫 번째 직사각형은 이렇습니다
그리고 이렇게 번호 매겨봅시다
1번 직사각형은 이렇습니다
그리고 각 왼쪽 경계인 x값에
이름을 붙여줄 겁니다
우선 a=x0라고 합시다

English: 
a is equal to x0.
So we could also call this
point right over here x0,
that x value.
And then we go to
the next rectangle.
And we could call this one
right over here, this x value,
we'll call it x1.
It's the left boundary
of the next rectangle.
If we evaluate f of x1, we get
this value right over here.
This right over here is f of
x1, so it tells us our height.
And we want an equal
width to the previous one.
We'll think about what the width
is going to be in a second.
So this right over here
is our second rectangle
that we're going to use
to approximate the area
under the curve.
That's rectangle number two.
Let's do rectangle number three.
Well, rectangle number
three, the left boundary,
we're just going to
call that x sub 2.
And its height is going
to be f of x sub 2.
And its width is going to be the
same width as the other ones.
I'm just eyeballing
it right over here.
So this is rectangle
number three.

Bulgarian: 
а е равно е на х0.
Може да кажем, че тази точка тук е х0.
Ето тази стойност на х.
След това стигаме до следващия
правоъгълник.
Може да изберем тази стойност тук, т.е.
тази х стойност,
и да я наречем х1.
Това е лявата граница на следващия
правоъгълник.
Ако изчислим f от х1, ще получим тази
стойност тук.
Това ето тук е f от х1 и ни дава
височината.
Искаме еднаква широчина като на
предния правоъгълник.
Ще помислим на какво ще бъде равна
широчината след секунда.
Това тук е вторият правоъгълник,
който ще използваме, за да
апроксимираме площта под кривата.
Това е правоъгълник номер две.
Нека построим правоъгълник номер
три.
Правоъгълник номер три,
чиято лява граница
просто ще изберем да е ето това х2.
Височината му ще бъде равна на f от х2.
f от х2.
Широчината му ще бъде същата като
тази на другите правоъгълници.
Построявам го на око ето така.
Това е правоъгълник номер три.

Thai: 
a เท่ากับ x0
เราก็เรียกจุดนี่ตรงนี้ได้ว่า x0 เช่นกัน
ค่า x นั้น
แล้วเราไปยังสี่เหลี่ยมมุมฉากถัดไป
เราเรียกอันนี้ตรงนี้ ค่า x นี้
เราจะเรียกมันว่า x1
มันคือขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปต่อไป
ถ้าเราหาค่า f ของ x1 เราจะได้ค่านี่ตรงนี้
ค่านี่ตรงนี้คือ f ของ x1 มันบอกความสูงให้เรา
และเราอยากได้ความกว้างเท่ากับรูปที่แล้ว
เราจะคิดว่ามันกว้างเท่าใดเร็วๆ นี้
รูปนี่ตรงนี้คือสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สอง
ที่เราจะใช้ประมาณเพื้นที่
ใต้เส้นโค้ง
นั่นคือสี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข 2
ลองทำสี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข 3 กัน
สี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข 3 ขอบซ้าย
เราจะเรียกมันว่า x ห้อย 2
ความสูงของมันจะเท่ากับ f ของ x ห้อย 2
 
และความกว้างของมันจะเท่ากับรูปอื่นๆ
ผมแค่กะด้วยสายตาตรงนี้
นี่ก็คือสี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข 3

Korean: 
a는 x0와 같죠
이제 여기 이 값을 x0라고
부를 수 있습니다
이제 다음 직사각형으로 가봅시다
그리고 다음 직사각형의 x값을
x₁이라 합시다
이것은 이 정사각형의 왼쪽 경계이죠
바로 여기서 x₁의 함숫값을 구할 수 있습니다
이때 높이는 x1의 함숫값과 같습니다
폭은 이전 직사각형과 같게 하고요
다음으로 직사각형의 폭을 구해 보도록 하겠습니다
여기 두 번째 직사각형이 있습니다
곡선 아래의 영역을 대략적으로 계산하기 위해
사용할 것입니다
이 직사각형은 2번이라고 하고요
3번 직사각형에 대해서도 해봅시다
3번 직사각형의 왼쪽 경계를
x₂라고 하면
그 높이는 x₂의 함숫값입니다
x₂의 함숫값
그리고 그 폭은 이전 것들과 동일합니다
여기 이것
이것은 3번 직사각형입니다

Portuguese: 
a é igual a x0.
Então podemos chamar esse
ponto aqui de x0 também,
esse valor de x.
Agora podemos ir para o próximo.
E podemos chamar esse
aqui, esse valor de x,
chamaremos de x1.
É o limite esquerdo do próximo retângulo.
Se calcularmos f de x1,
temos esse valor aqui.
Isso aqui é f de x1, que
nos diz a nossa altura.
E queremos uma largura igual ao anterior.
Vamos pensar sobre o que
a largura vai ser em breve.
Então esse aqui é o
nosso segundo retângulo
que usaremos para aproximar a área
sob a curva.
Esse é o retângulo número dois.
Vamos para o de número três.
No retângulo de número
três, o limite esquerdo,
vamos chamar esse x de x2.
E sua altura vai ser f de x2.
Sua largura vai ser igual a dos outros.
Estou apenas fazendo pelo olho aqui.
Esse é o retângulo número três.

iw: 
a שווה ל x0.
אז יכולנו לקרוא לנקודה הזו שכאן x0,
ערך ה x הזה.
ואז ללכת למלבן הבא.
ונוכל לקרוא לזה שפה, ערך ה x,
נקרא לו x1.
זה הגבול השמאלי של המלבן הבא.
אם נחשב את f ב x1, נקבל את הערך שפה.
כאן מה שנמצא הוא f של x1, אז זה אומר לנו את הגובה שלו.
ואנחנו רוצים רוחב שווה לקודם.
נחשוב על מה שהרוחב יהיה בעוד רגע.
אז פה נמצא המלבן השני
שנשתמש כדי להעריך את השטח
מתחת לגרף.
זה מלבן מספר שתיים.
בואו נעשהאת מלבן מספר שלוש
טוב, מלבן מספר שלוש, הגבול השמאלי,
נקרא ל x2.
והגובה שלו יהיה f של x2.
.
והרוחב שלו יהיה זהה לרוחב של האחרים.
אני נועץ עניים במה שפה.
אז המלבן הזה הוא מספר שלוש.

Polish: 
a jest równe x0.
Więc możemy oznaczyć ten punkt tutaj x0,
tę wartość x.
Także przechodzimy do następnego prostokąta.
I możemy nazwać tę tutaj wartość x ,
nazwiemy ją x1.
To jest lewy brzeg następnego prostokąta.
Jeśli obliczymy wartość f (x1) dostaniemy tę dokładnie wartość.
Ta tutaj to jest f(x1) zatem wskazuje nam naszą wysokość.
I chcemy aby szerokość była taka jak poprzedniego.
Pomyślimy o tym jaka powinna być szerokość za sekundę.
A więc ten tutaj to nasz drugi prostokąt,
którego użyjemy dla przybliżenia pola powierzchni
pod wykresem.
To jest prostokąt nr 2,
Zajmijmy się prostokątem nr 3.
Cóż, prostokąt nr 3, lewy brzeg,
nazwijmy tę wartość x x z indeksem 2.
I jego wysokość wyniesie f od x z indeksem 2.
A jego szerokość będzie taka sama jak szerokość pozostałych.
Przyglądam się teraz właśnie jemu.
A więc to jest prostokąt nr 3.

English: 
And we're going to continue
this process all the way
until we get to
rectangle number n.
So this is the n-th
rectangle right
over here, the n-th rectangle.
And what am I going to label
this point right over here?
Well, we already see a pattern.
The left boundary of the
first rectangle is x sub 0.
The left boundary of the
second rectangle is x sub 1.
The left boundary of the
third rectangle is x sub 2.
So the left boundary
of the n-th rectangle
is going to be x sub n minus 1.
Whatever the
rectangle number is,
the left boundary is x
sub that number minus 1.
And this is just based on the
convention that we've defined.
Now, the next thing that
we need to do in order
to actually calculate
this area is think about
what is the width?
So let's call the width of
any of these rectangles--
and for these purposes, or
the purpose of this example,
I'm going to assume
that it's constant,

Portuguese: 
E vamos continuar com esse processo até
que cheguemos no retângulo de número n.
Esse é o n-ésimo retângulo bem aqui,
o n-ésimo retângulo.
E de que posso chamar esse ponto aqui?
Bem, já vemos um padrão.
O limite esquerdo do
primeiro retângulo é x0.
O limite esquerdo do
segundo retângulo é x1.
O limite esquerdo do
terceiro retângulo é x2.
Então o limite esquerdo
do n-ésimo retângulo
vai ser x n menos um.
Independente de qual número o retângulo é,
o limite esquerdo é x desse
número menos um.
E isso tudo foi baseado na
convenção que definimos.
Agora, o próximo passo para
calcular de fato essa área é pensar
qual é a largura?
Vamos chamar a largura
desses retângulos --
e para o bem do exemplo,
vou assumir que ela é constante,

iw: 
.
ואנחנו נמשיך בתהליך הזה כל הדרך
עד שנגיע למלבן מספר n.
אז זה המלבן ה n-י בדיוק
כאן,המלבן ה n-י.
ובמה אני אסמן את הנקודה פה?
ובכן, כבר ראינו את הדפוס.
הגבול השמאלי של המלבן הראשון הוא x0.
הגבול השמאלי של המלבן השני הוא x1.
הגבול השמאלי של המלבן השלישי הוא x2.
אז הגבול השמאלי של המלבן ה n-י
יהיה n x מינוס 1.
לא משנה מהן מספר המלבן,
הגבול השמאלי הוא המספר הזה מינוס 1.
וזה מבוסס על המוסכמה שהגדרנו.
עכשיו, הדבר הבא שאנחנו צריכים בשביל
באמת לחשב את השטח הוא לחשוב על
מה הרוחב?
אז בואו נקרא לרוחב של כל המלבנים--
ולמטרות האלה, או בשביל הדוגמה הזו,
אני אניח שזה קבוע,

Polish: 
I tak kontynuujemy ten proces
aż dochodzimy do prostokąt o numerze n.
A więc niech to będzie n-ty prostokąt dokładnie
tutaj , n-ty prostokąt.
I jak nazwę ten punkt tutaj?
Cóż, dostrzegamy już oczywiście wzór.
Lewy graniczny punkt pierwszego prostokąta to x0.
Lewy graniczny punkt na osi x drugiego prostokąta to x z indeksem 1.
Lewy graniczny punkt na osi x trzeciego prostokąta to x z indeksem 2.
Zatem lewy graniczny punkt na osi x n-tego prostokąta
to będzie x z indeksem n-1.
Jakakolwiek nie byłaby liczna prostokątów,
lewa granica wynosi x z indeksem ta liczba minus 1.
Powyższe opiera się po prostu na konwencji, którą zdefiniowaliśmy.
Teraz, kolejną rzeczą, którą musimy zrobić w kolejności
aby rzeczywiście policzyć to pole to zastanowić się,
jaka jest szerokość?
Oznaczmy zatem szerokość któregokolwiek z tych prostokątów--
i dla tych celów, czy też dla celu tego przykładu,
założę, że jest ona stała,

Thai: 
 
และเราจะทำกระบวนการนี้ต่อไปจน
กระทั่งเราได้สี่เหลี่ยมมุมฉากหมายเลข n
นี่ก็คือสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ n ตรงนี้
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ n
และผมจะกำกับจุดนี่ตรงนี้ว่าอะไร
เราเห็นรูปแบบแล้ว
ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมแรกคือ x ห้อย 0
ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมรูปที่สองคือ x ห้อย 1
ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยมรูปที่สามคือ x ห้อย 2
ขอบซ้ายของสี่เหลี่ยรูปที่ n
จะเป็น x ห้อย n ลบ 1
ไม่ว่าหมายเลขสี่เหลี่ยมมุมฉากจะเป็นอะไร
ขอบซ้ายจะเป็น x ห้อยเลขนั้นลบ 1
และนี่มาจากข้อตกลงที่เราได้กำหนด
ทีนี้ สิ่งต่อไปที่เราต้องทำเพื่อ
ตำนวณพื้นที่นี้ คือคิดว่า
ความกว้างเป็นเท่าใด?
ลองเรียกความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉากใดๆ --
สำหรับจุดประสงค์
จุดประสงค์ของตัวอย่างนี้
ผมจะสมมุติว่ามันคงที่

Bulgarian: 
Правоъгълник номер три.
Продължаваме този процес през
цялото време,
докато не достигнем до правоъгълник
номер n.
Следователно това ето тук е n-ят
правоъгълник.
Ето тук е n-ят правоъгълник.
Тогава как ще означа тази точка
ето тук?
Вече видяхме образец.
Лявата граница на този първи
правоъгълник е х0.
Лявата граница на втория
правоъгълник е х1.
Лявата граница на третия
правоъгълник е х2.
Тогава лявата граница на n-я
правоъгълник
ще бъде х с долен индекс n - 1.
Какъвто и да е поредният номер на
правоъгълника,
лявата граница е x с долен индекс
съответния номер минус 1.
Това е базирано на модела, който
определихме за означението.
А сега следващото нещо, което трябва
да направим,
за да изчислим действително площта,
е да помислим,
на какво е равна широчината.
Нека да изберем широчината на всеки
един от тези правоъгълници.
За целите на настоящия урок
ще приема, че е равна на константа,

Korean: 
이것은 3번 직사각형입니다
이 과정을 n번째 직사각형이 나올 때까지
계속 반복합니다
여기 n번째 직사각형이 있네요
바로 여기요
그럼 제가 여기를 뭐라고 할까요?
대충 경향성이 보이죠?
1번 직사각형의 왼쪽 경계는 x0입니다
2번 직사각형의 왼쪽 경계는 x₁이고요
3번 직사각형의 왼쪽 경계는 x₂네요
그럼 n번 직사각형의 왼쪽 경계는
x(n-1)이 되겠습니다
어떤 직사각형이든지
왼쪽 경계의 x값은 직사각형 번호에서 1을 뺀 값입니다
앞서 약속한 규칙에 따르면 말이죠
자, 이 부분을 계산하기 위해
폭이 얼마인지 생각해 보아야 합니다
폭이 얼마인지 생각해 보아야 합니다
이 예제에서는 이런 사각형의 폭을
가진다고 할 겁니다
실제로는 직사각형이

Thai: 
ถึงแม้ว่าคุณจะทำผลบวกเหล่านี้ได้ โดยคุณ
เปลี่ยนความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
แต่มันจะพิสดารกว่าหน่อย
ผมอยากให้มันกว้างเท่ากัน
ผมอยากให้เดลต้า x มีค่าเท่ากัน
เวลาคิดว่ามันต้องเป็นเท่าใด
เราก็แค่คิดว่า ความกว้างทั้งหมดที่เรา
ครอบคลุมเป็นเท่าใด?
 
ระยะทั้งหมดตรงนี้จะเท่ากับ b ลบ a
และเราจะหารมันด้วยจำนวนสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ที่เราต้องการ จำนวนส่วนที่เราต้องการ
เราอยากหารมันด้วย n
ถ้าเราสมมุติว่าอันนี้เป็นจริง แล้วเรา
สมมุติว่า a เท่ากับ x0 แล้ว
x1 เท่ากับ x0 บวกเดลต้า x
x2 เท่ากับ x1 บวกเดลต้า x
และเราไปจนถึง x n เท่ากับ 
x n ลบ 1 บวกเดลต้า x
เราก็ตั้งแผนภาพนี่ตรงนี้สำเร็จ
b จะเท่ากับ xn
นี่คือ xn

English: 
although you can do these
sums where you actually
vary the width of the rectangle.
But then it gets a
little bit fancier.
So I want it equal width.
So I want delta x
to be equal width.
And to think about
what that has to be,
we just have to think, what's
the total width that we're
covering?
Well, the total distance here
is going to be b minus a,
and we're just going to divide
by the number of rectangles
that we want, the number
of sections that we want.
So we want to divide by n.
So if we assume this
is true, and then we
assume that a is
equal to x0, and then
x1 is equal to x0 plus delta x,
x2 is equal to x1 plus delta x,
and we go all the way to xn is
equal to xn minus 1 plus delta
x, then we've essentially set
up this diagram right over here.
b is actually going
to be equal xn.
So this is xn.

Portuguese: 
mesmo que possamos
fazer essa soma
com as larguras variando.
Mas aí teríamos algo
mais complicado.
Então quero com as mesmas larguras.
Quero que delta x seja igual.
Para pensar sobre
o que tem que ser,
precisamos pensar, qual
é a largura total que
cobrimos?
Bem, a distância total
vai ser b menos a,
e vamos dividir pelo
número de retângulos que
queremos, o número
de partes que queremos.
Então vamos dividir por n.
Se assumimos que isso
seja verdade, e depois
assumimos que a é igual a x0, e que
x1 é igual a x0 mais delta x,
x2 é igual a x1 mais delta x,
e vamos indo até chegar em xn é
igual a xn menos um mais delta x,
e então teríamos montado
esse diagrama aqui.
b vai ser igual a xn.
Então isso é xn.

Korean: 
여러 길이의 폭을 가질 수 있지만
여기서는 그 폭을 일정하다고 가정하겠습니다
폭을 여러 가지 길이로 하면 복잡하기 때문이죠
그러니 여기서는 일정한 폭을 사용할 겁니다
Δx를 일정한 폭으로 두는 거죠
그다음으로 생각해 보아야 할 것은
전체 폭의 길이가 얼마이냐는 것입니다
전체 폭의 길이가 얼마이냐는 것입니다
여기에서 전체 길이는 b-a겠고
이 값을 우리가 원하는 영역의 개수인
직사각형의 개수로 나누어 보겠습니다.
n으로 나누자는 것이죠
이 경우에 x0는 a와 같고
x₁은 x0+Δx
x₂는 x₁+Δx
xn은 x(n-1)+Δx와 같습니다
여기 그려진 그래프에서 보이는 것처럼요
b는 xn과 같겠죠
여기가 xn입니다

Bulgarian: 
въпреки че може да се образува сумата
от лицата на правоъгълниците,
като избереш различна широчина за всеки
от тях.
Тогава става малко по-трудно.
Искам равни широчини.
Искам делта х да бъде еднаква
широчина.
И за да определим каква трябва да
бъде,
просто следва да намерим пълното
разстояние, т.е. интервала, който покриваме.
Пълното разстояние тук ще бъде равно
на b минус а.
Сега просто ще го разделим на броя
правоъгълници,
които искаме, тоест на броя на
участъците, които искаме.
Следователно искаме да го разделим
на n.
Ако приемем, че това е вярно и
приемем,
че това а е равно на х0, то след това
х1 е равно на х0 плюс делта х, х2 е
равно на х1 плюс делта х.
И така, докато не достигнем до: х n
равно на х (n - 1) плюс делта х.
Тогава всъщност получаваме този
чертеж тук.
Действително b ще бъде равно на x с
индекс n.
Ето това е x с индекс n.

iw: 
למרות שאפשר לעשות את הסכומים האלה
עבור רוחב משתנה של מלבנים,
אבל אז זה ניהיה מסובך יותר.
אז אני רוצה רוחב שווה.
אז אני רוצה דלתא x ששווה לרוחב.
ואני חושב על מה זה חייב להיות,
עלינו לחשוב,מהו הרוחב הכולל שאנחנו
מכסים?
טוב, המרחק הכולל פה יהיה b פחות a,
ואנחנו נחלק את זה במספר המלבנים
שאנחנו רוצים, מספר המקטעים שאנחנו רוצים.
אז נרצה לחלק ב n.
אז אם נניח שזה אמת,ואז אנחנו
נניח שזה שווה ל x0, ואז
x1 שווה ל x0 ועוד דלתא x,x2 שווה ל x1 ועוד דלתא x,
ואז נלך כל הדרך עד xn מינוס 1ועוד דלתא
x, אז בעיקרון נארגן את התרשים פה.
b יהיה שווה ל xn.
אז זה xn.

Polish: 
jakkolwiek można liczyć te sumy kiedy
różnicujemy szerokość prostokątów.
Wtedy jednak wszystko robi się odrobinę bardziej interesujące.
Stąd ja chcę mieć stałą szerokość.
A więc niech delta x oznacza szerokość.
Ażeby dostać ile to musi być,
musimy zastanowić się, ile wynosi łączna szerokość, którą
przemierzamy?
Cóż, łączna odległość tutaj wynosi b minus a,
i będziemy ją dzielić przez liczbę prostokątów
jakiej zażądaliśmy, liczbę części jakiej zażądaliśmy.
Zatem chcemy dzielić przez n.
A więc jeśli tak założymy i dalej
przyjmiemy, że a jest równe x0, wtedy
x1 jest równe x0 plus delta x, x2 jest równe x1 plus delta x,
i tak aż do xn, które jest równe xn minus 1 plus delta
x, w tej chwili zasadniczo opisaliśmy ten wykres tutaj.
b tak naprawdę bedzie równe xn.
Tak więc to jest xn.

Portuguese: 
É igual a xn menos um mais delta x.
Acho que montamos todas
as notações e todas as
convenções para podermos calcular
a área, ou nossa aproximação da área.
Nossa aproximação de área, então,
vai ser igual a que?
Bem, vai ser igual a área
do primeiro retângulo --
vou escrever isso.
Então teremos o retângulo
um -- a área do retângulo
um -- mais a área do retângulo dois,
mais a área do retângulo
três -- acho que você
entendeu -- mais todas as
áreas até o retângulo n.
Então o que teremos?
Retângulo um vai ser
sua altura, que é f de x0
ou f de a.
Tanto faz, x0 e a são a mesma coisa.
Então é f de a vezes nosso delta x,

Korean: 
동시에 x(n-1)+Δx와도 같습니다
이 모든 약속과 표기들은
이 영역을 근사적으로 계산하기 위해
설정한 것입니다
그럼 구하고자 하는
면적의 근삿값은 어떻게 될까요?
그것을 첫 번째 직사각형의 넓이에다가
적어둡시다
첫 번째 직사각형의 면적과
두 번째 직사각형의 면적을 더하고
또 세 번째 직사각형을 더합니다
이렇게 n번째 직사각형까지 계속해서 더해갑니다
그러면 이 합이 어떻게 될까요?
첫 번째 직사각형이 높이는 a 또는 x0의 함숫값입니다
f(a) 또는 f(x0)란 거죠
a와 x0는 같으니 어떤 것이든 상관없습니다
이제 직사각형의 높이에 폭을 곱합니다

Bulgarian: 
b е равно на x n - 1 плюс делта х.
Сега мисля, че дефинирахме всички
означения
и шаблони, за да можем действително
да изчислим
площта, тоест да апроксимираме площта.
Следователно на какво ще бъде
равно нашето приближение?
Ще бъде равно на лицето на първия
правоъгълник...
Нека да го запиша.
Ще бъде равно на правоъгълник едно, лицето на правоъгълник номер едно,
плюс лицето на
правоъгълник номер две,
плюс лицето на правоъгълник номер
три. Предполагам, че разбираш
идеята тук. Събираме лицата на
всички правоъгълници до номер n.
А на какво ще бъдат равни тези
лица?
Лицето на правоъгълник едно ще бъде
височината му, която е f от х0,
или f от а...
Както и да го запишем, x0 и а са едно
и също нещо.
Следователно е равно на f от а,
умножено по делта х.

Thai: 
มันเท่ากับ x n ลบ 1 บวกเดลต้า x
ทีนี้ ผมว่าเราตั้งสัญลักษณ์และข้อตกลง
ทั้งหมดเพื่อคำนวณ
พื้นที่ การประมาณพื้นที่ของเราแล้ว
การประมาณของเรา พื้นที่ประมาณ
จะเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแรก --
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
มันจะเท่ากับสี่เหลี่ยม 1 -- 
พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก 1
-- สี่เหลี่ยม 1 บวกพื้นที่สี่เหลี่ยม 2
บวกพื้นที่สี่เหลี่ยม 3 -- ผมว่าคุณ
คงเข้าใจตรงนี้ -- บวกไปจนถึงพื้นที่สี่เหลี่ยม n
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
สี่เหลี่ยมมุมฉาก 1 จะเท่ากับความสูงของมัน
ซึ่งก็คือ f ของ x0
หรือ f ของ a
ยังไงก็ได้ x0 กับ a นั้นเท่ากัน
มันก็คือ f ของ a คูณเดลต้า x ของเรา

Polish: 
I jest równe xn minus 1 plus delta x.
Myślę, że wprowadziliśmy tym samym kompletną notację i wszystkie
konwencje aby ostatecznie móc obliczyć
pole powierzchni, tudzież przybliżyć je.
Tak więc nasze oszacowanie, nasze przybliżone pole
będzie równe czemu?
Cóż, będzie to pole pierwszego prostokąta-
niech to zapiszę.
A więc to będzie prostokąt nr 1--zatem pole prostokąta
nr 1--a więc prostokąt nr 1 plus pole prostokąta nr 2
plus pole prostokąta nr 3--myślę, że
pojmujecie-- plus... aż do pola powierzchni prostokąta n-tego.
Zatem co to będzie?
Prostokąt nr 1 będzie swoją wysokością, która wynosi f(x0)
lub f(a).
jakkolwiek. x0 i a są bowiem tym samym.
Więc mamy f(a) razy delta x,

iw: 
זה שווה ל xn מינוס 1 ועוד דלתא x.
אז עכשיו אני חושב שאארגן את כל הסימונים וכל
המוסכמות כדי באמת לחשב
את השטח, או את אומדן השטח שלנו.
אז האומדן ,אומדן השטח,
יהיה שווה למה?
טוב, זה יהיה שווה לשטח של המלבן הראשון--
אז תנו לי לכתוב את זה.
אז זה יהיה מלבן אחד-- אז השטח של המלבן
אחד-- אז מלבן אחד ועוד השטח של מלבן שתיים
ועוד השטח של מלבן שלוש-- אני חושב
שהבנתם את הנקודה-- ועוד כל הדרך עד למלבן n.
ומה זה הולך להיות?
מלבן אחד יהיה הגובה שלו,שהוא f של x0
או f של a.
בכל מקרה.x0 ו a הם אותו הדבר.
אז f של a כפול דלתא x,

English: 
It's equal to xn
minus 1 plus delta x.
So now I think we've set up
all of the notation and all
the conventions in order
to actually calculate
the area, or our
approximation of the area.
So our approximation,
approximate area,
is going to be equal to what?
Well, it's going to be the
area of the first rectangle--
so let me write this down.
So it's going to be rectangle
one-- so the area of rectangle
one-- so rectangle one plus
the area of rectangle two
plus the area of rectangle
three-- I think you get
the point here-- plus all the
way to the area of rectangle n.
And so what are
these going to be?
Rectangle one is going to be
its height, which is f of x0
or f of a.
Either way. x0 and a
are the same thing.
So it's f of a
times our delta x,

Bulgarian: 
Тоест умножено по определената
широчина. Височината по широчината.
Умножено по делта х. Всъщност мога
да го запиша като f от х0,
но действително исках да го запиша
като f от х0, умножено по делта х.
На какво е равно лицето на
правоъгълник номер две?
На f от х1, умножено по делта х.
f от х1, умножено по делта х.
На какво е равно лицето на
правоъгълник номер три?
На f от х2, умножено по делта х.
Продължаваме така, докато не покрием
цялата площ.
Събираме лицата на всички
правоъгълници докато не достигнем
до правоъгълник номер n. А какво е
неговото лице?
На f от х n - 1...
Всъщност това е различно оранжево.
Ще използвам същото оранжево.
Равно е на f от х n - 1, умножено
по делта х.
И сме готови!
Записахме го в много обобщен вид.
Искаме обаче да се чувстваме уверено
с различни видове означения.
Особено с означенията, които можеш
да видиш, когато хората говорят за
приближение
на лица или суми като цяло.
Затова ще използвам традиционното
означение сигма.

Polish: 
razy nasza szerokość, nasza wysokość razy nasza szerokość.
Zatem razy delta-- właściwie mogę zapisać jako f(x0),
Chciałam zapisać -- f(x0) razy delta x.
Jaka jest wysokość naszego prostokąta nr 2?
To f(x1) razy delta x.
Ile wynosi nasze pole powierzchni prostokąta nr 3?
To będzie tym razem f(x2) razy delta x.
I tak dochodzimy do naszego obszaru (jego pola).
Sumujemy pola wszystkich prostokątów aż do n-tego.
Jakie jest zatem jego pole?
To f(xn-1).
Właściwie, to jest inny odcień pomarańczowego.
Użyję tego samego odcienia.
To jest f(xn-1) razy delta x.
Czyli mamy to.
Napisaliśmy to bardzo ogólnie.
Ale żebyśmy naprawdę oswoili się
z różnoraką notacją,
w szczególności notacją, z którą
możecie się zetknąć, kiedy ludzie mówią o przyblirzaniu
obszarów czy sum w ogólności,
będę używał tradycyjnej notacji angażującej sigma.

English: 
times our width, our
height times our width.
So times delta-- actually
I can write as f of x0,
I wanted to write-- f
of x0 times delta x.
What is our height
of rectangle two?
It's f of x1 times delta x.
What's our area of
rectangle three?
It's f of x2 times delta x.
And then we go all
the way to our area.
We're taking all the sums,
all the way to rectangle n.
What's its area?
It's f of x sub n minus 1.
Actually, that's a
different shade of orange.
I'll use that same shade.
It is f of x sub n
minus 1 times delta x.
And we're done.
We've written it in
a very general way.
But to really make
us comfortable
with the various
forms of notation,
especially the types
of notation you
might see when people are
talking about approximating
the areas or sums
in general, I'm
going to use the
traditional sigma notation.

Korean: 
즉 f(a)와 Δx를 곱하는 것이죠
그러니 Δx를 곱합니다
a대신 x0로 바꿔 씁시다
두 번째 직사각형의 높이는 무엇인가요?
높이는 f(x₁)이고 여기에 Δx를 곱합시다
높이는 f(x₁)이고 여기에 Δx를 곱합시다
세 번째 직사각형의 면적은 얼마일까요?
f(x2) 곱하기 Δx겠군요
이렇게 모든 직사각형 면적을 동일하게 구합니다
그리고 이들의 합을 생각해봅시다. 
n번째 직사각형도 동일하게 구합니다
면적이 얼마일까요?
x(n-1)의 함숫값이 높이죠
이런, 주황색 분필 색이 조금 다르군요
같은 색을 사용하겠습니다
f(x(n-1))에 Δx를 곱합니다
이제 다 끝났습니다
굉장히 일반적인 방법으로 접근해보았습니다
다양한 형태의 표기를
좀 더 간단하게 하기 위해서
이러한 근사를 표현할 때에
자주 사용되는
시그마 표기법으로
식을 정리해보도록 하겠습니다

Thai: 
คูณความกว้าง ความสูงคูณความกว้าง
คูณเดลต้า -- ผมเขียนมันได้เป็น f ของ x0
ผมอยากเขียน -- f ของ x0 คูณเดลต้า x
ความสูงของสี่เหลี่ยม 2 เป็นเท่าใด?
มันคือ f ของ x1 คูณเดลต้า x
 
พื้นที่ของสี่เหลี่ยม 3 เป็นเท่าใด?
มันคือ f ของ x2 คูณเดลต้า x
แล้วเราไปจนครบพื้นที่ของเรา
เราจะหาผลบวกทั้งหมด ไปจนถึงสี่เหลี่ยม n
พื้นที่มันเป็นเท่าใด?
มันคือ f ของ x ห้อย n ลบ 1
ที่จริง นั่นมันสีส้มคนละเฉด
ผมจะใช้เฉดเดียวกัน
มันคือ f ของ x ห้อย n ลบ 1 คูณเดลต้า x
และเราก็เสร็จแล้ว
เราได้เขียนในรูปที่ทั่วไปมาก
แต่เพื่อให้เราคุ้นเคย
กับสัญลักษณ์แบบต่างๆ
โดยใช้สัญลักษณ์ประเภทที่คุณ
อาจเจอเวลาคนพูดถึงการประมาณ
พื้นที่หรือผลบวกโดยทั่วไป ผม
จะใช้สัญลักษณ์ซิกม่าแบบดั้งเดิม

Portuguese: 
que é a largura; altura vezes largura.
Vezes delta -- na verdade,
posso escrever como f de x0,
se eu quisesse -- f de x0 vezes delta x
Qual é a área do retângulo dois?
É f de x1 vezes delta x.
Qual é a área do retângulo três?
É f de x2 vezes delta x.
Assim, vamos até chegarmos na área.
Estamos pegando as
somas até o retângulo n.
Qual seria sua área?
É f de x n menos um.
Esse é um tom diferente de laranja.
Vou usar o mesmo tom.
Vai ser f de x n menos um vezes delta x.
E pronto.
Escrevemos de uma forma bem geral.
Mas para ficarmos mais confortáveis
com as várias notações,
especialmente os tipos que
vemos quando falam de aproximações de
áreas ou somas em geral,
vou utilizar a notação sigma tradicional.

iw: 
כפול הרוחב,הגובה כפול הרוחב.
אז כפול דלתא-- למעשה אוכל לכתוב את f של x0,
רציתי לכתוב --f של x0 כפול דלתא x.
מהו הגובה של מלבן שתיים?
זה f של x1 כפול דלתא x.
.
מהו השטח של מלבן שלוש?
זה f של x2 כפול דלתא x.
ואז אנחנו הולכים לאורך כל השטח שלנו.
ניקח את כל הסכומים, כל הדרך למלבן n.
מהו סכומם?
זה f של n x מינוס 1.
למעשה, זה גוון אחר של כתום.
אשתמש באותו גוון.
זה f של nx מינוס 1 כפול דלתא x.
וסיימנו.
כתבנו את זה באופן כללי מאוד.
אבל כדי לעשות שיהיה לנו נוח
השתמשנו בכמה צורות סימון,
במיוחד בצורות סימון
שתראו אצל אנשים שמדברים על קירוב
של שטחים או סכומים באופן כללי, אני
אשתמש בסימון סיגמא מסורתי.

Korean: 
이 방법은 합산을 할 수 있도록 하는 것으로
우리가 앞서 이야기한 몇 가지 약속에
기반한 것입니다
i를 1부터 n까지 세게 하여 직사각형 개수를 셀 것입니다
그리고 각 직사각형을 살펴봅시다
먼저 첫 번째 직사각형이죠
만약 i번째 직사각형이라면
왼쪽 경계인
(xi-1)*(Δx)가 될 것입니다
이렇게 일반적으로
사각형을 사용하여
곡선 아래의 영역을 근사할 수 있습니다
이때 직사각형의 높이는 왼쪽 경계죠
이 부분이 왼쪽 경계임을 알려줍니다
여기 i번째 사각형이 있습니다

English: 
So another way we could
write this, as the sum,
this is equal to the
sum from-- and remember,
this is just based on the
conventions that I set up.
I'll let i count which rectangle
we're in, from i equals 1 to n.
And then we're going to
look at each rectangle.
So the first rectangle,
that's rectangle one.
So it's going to be f of-- well,
if we're in the i-th rectangle,
then the left boundary
is going to be
x sub i minus 1 times delta x.
And so here, right over
here, is a general way
of thinking about approximating
the area under a curve using
rectangles, where the
height of the rectangles
are defined by
the left boundary.
And this tells us it's
the left boundary.
And we see for each, if this
is the i-th rectangle right

Thai: 
วิธีเขียนอันนี้ เป็นผลบวก
นี่เท่ากับผลบวกจาก -- นึกดู
นี่มาจากข้อตกลงที่ผมตั้งขึ้น
ผมให้ i นับว่าเราอยู่ที่สี่เหลี่ยมไหน 
จาก i เท่ากับ 1 ถึง n
แล้วเราก็ดูที่สี่เหลี่ยมแต่ละรูป
สี่เหลี่ยมรูปแรก มันคือสี่เหลี่ยม 1
มันจะเท่ากับ f ของ -- ถ้าเราอยู่สี่เหลี่ยมรูปที่ i
แล้วขอบซ้ายจะเป็น
x ห้อย i ลบ 1 คูณเดลต้า x
แล้วตรงนี้ ตรงนี้ คือวิธีทั่วไป
เพื่อคิดการประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้งโดยใช้
สี่เหลี่ยมมุมฉาก 
ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
กำหนดโดยขอบซ้าย
และอันนี้บอกเราว่ามันเป็นขอบซ้าย
และเราเห็นว่าแต่ละรูป ถ้านี่คือสี่เหลี่ยมรูปที่ i

Bulgarian: 
Този израз, записан по друг начин, тоест
като сума,
е равен на сума от следното. И запомни,
че това просто се базира на образеца
за означение, който избрах.
Нека i e номерът на съответния
правоъгълник, от i равно на 1 до n.
А сега ще погледнем всеки
правоъгълник.
Имаме първия правоъгълник. Това е
правоъгълник номер едно.
Ще имаме f от...Е, тук се намираме в
i-я номер правоъгълник,
а тогава лявата граница ще бъде равна
f от х с индекс i - 1. Умножаваме по
делта х.
Записано по този начин, разполагаме
с обобщен вид
на идеята за апроксимиране на площ
под крива, като използваме
правоъгълници, като височините
на правоъгълниците
са дефинирани чрез лявата граница.
Този индекс ни показва, че това е
лявата граница.
И виждаме, че ако това тук е i-ят
правоъгълник,

Portuguese: 
Outra forma de escrevermos
isso, como uma soma,
isso é igual a soma de -- e lembre-se,
isso é tudo baseado nas
convenções que criei.
Vou colocar i como sendo o retângulo
que estamos, que varia de um a n.
Depois, vamos olhar para cada retângulo.
No primeiro, o retângulo um.
Teremos f de -- se estamos
no i-ésimo retângulo,
então o limite esquerdo vai ser
x de i menos um, vezes delta x.
Então aqui, é uma forma geral
de pensar sobre aproximação da
área sob uma curva usando
retângulos, onde a altura dos retângulos
são definidas pelo limite esquerdo.
E isso nos mostra que é o esquerdo.
Vemos para cada um, se for
o i-ésimo retângulo aqui,

iw: 
אז דרך אחרת לכתוב את זה ,כסכום,
זה שווה לסכום מ-- וזכרו,
זה מבוסס על המוסכמה שקבעתי.
אני אתן ל i לספור איזה מלבן אנחנו מחשבים, מ i שווה ל 1 עד n.
ונסתכל על כל מלבן.
אז המלבן הראשון, זה מלבן אחד.
אז זה יהיה f --טוב, אילו היינו ב מלבן ה i-י,
אז הגבול היה
i x מינוס 1 דלתא x.
וגם פה, כאן, זה אופן כללי
לחשוב על קירוב שטח מתחת לגרף בעזרת
מלבנים, כשהגובה שלהם
מוגדר על ידי הגבול השמאלי.
וזה אומר לנו שזה הגבול השמאלי.
ואנחנו רואים שלכל אחד, אם זה המלבן ה i

Polish: 
Zatem inaczej moglibyśmy to zapisać jako sumę,
to jest równe sumie od--i pamiętajcie,
to ma oparcie w konwencji, którą wprowadziłem.
Niech i zlicza prostokąty od i równego 1 do n.
Następnie patrzymy na każdy prostokąt z osobna.
A więc pierwszy prostokąt to prostokąt nr 1.
A więc to będzie f od -- cóż, jeśli jesteśmy przy i-tym prostokącie,
to lewa granica wyniesie
z z indeksem i minus 1 razy delta x.
I tutaj właśnie, mamy do czynienia z klasycznym sposobem
rozumowania przy aproksymacji obszaru ograniczonego krzywą z użyciem
prostokatów, gdzie wysokości prostokatów
są zdefiniowane przez lewe granice.
To mówi nam, że chodzi o lewe granice.
I obserwujemy dla każdego, niech to będzie i-ty prostokąt ten

Polish: 
tutaj, jeśli to jest prostokąt nr i, wtedy tu
mamy x z indeksem i-1, a ta wysokość
to f(xi-1).
A więc to jest wszystko co zrobiliśmy tam razy delta x.
I następnie sumujecie od pierwszego prostokąta
aż do samego końca.
Miejmy nadzieję, że powyższe pozwoliło wam poczuć się pewniej
z wprowadzoną notacją.
Nie robimy niczego inaczej
niż w wiadomym pierwszym filmie, co miejmy nadzieję, było
dla was od początku oczywiste.
Jedyne co, to dokonaliśmy pewnego uogólnienia z użyciem odrobinę bardziej matematycznej
notacji.

Portuguese: 
se esse é o retângulo i, então isso aqui
é x i menos um, e a altura aqui
é f de x i menos um.
Então é tudo que fizemos vezes delta x.
Depois você soma desde
o primeiro retângulo
até o fim.
Talvez isso te deixe mais confortável,
com essa notação.
Não estamos fazendo
nada diferente
do que fizemos no primeiro vídeo, onde
espero que tenha
sido bem direto.
Apenas generalizamos usando
um pouco mais de notações
matemáticas.
Legendado por [Pedro Coutinho] e
revisado por [Raul Guimaraes].

Bulgarian: 
тоест ако това е правоъгълник номер i,
то тогава това тук
е x с индекс i - 1, а тази височина тук,
е f от x с индекс i - 1.
Ето това е всичко, което направихме
тук. След това умножаваме по делта х.
След това сумираме всички тези площи,
като започнем от първия правоъгълник
и продължим до последния.
Надявам се, че това ти дава малко
повече увереност
за това означение.
Не правим нещо по-различно от това, което направихме в първия урок.
Надявам се, че е било сравнително 
просто и разбираемо за теб.
Току-що го обобщихме като
използвахме
математическо означение.

Thai: 
ตรงนี้ ถ้านี่คือสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้วค่านี่ตรงนี้
คือ x ห้อย i ลบ 1 และความสูงตรงนี้
คือ f ของ x ห้อย i ลบ 1
นั่นคือที่เราทำตรงนี้ คูณเดลต้า x
แล้วคุณบวกค่าเหล่านี้จากสี่เหลี่ยมแรก
ถึงสี่เหลี่ยมสุดท้าย
หวังว่าคุณคงรู้สึกคุ้นเคยกับ
สัญลักษณ์ขึ้นนะ
เราไม่ได้ทำอะไรต่าง
ไปจากที่เราทำในวิดีโอแรก ซึ่ง
ค่อนข้างตรงไปตรงมา
เราได้ขยายผลมันโดยทั่วไป โดยใช้สัญลักษณ์
ที่เป็นคณิตศาสตร์มากขึ้น
 

Korean: 
여기 이 부분은
xi-1이고, 여기 이 높이는
xi-1 입니다
전체 넓이는 지금까지 한 것 곱하기 Δx 입니다
그리고 이것들을 첫 번째 사각형부터
끝까지 더합니다
이렇게 하면 이 표기법에
조금 더 익숙해질 수 있을 것입니다
오늘 배운 것은 지난번 동영상에서 배운 것과
크게 다르지 않습니다
여러분이 집중해서 들었다면 간단한 내용입니다
조금 더 수학적인 표기법을 사용하여
일반화했을 뿐이죠
커넥트 번역 봉사단 | 이혜원

iw: 
פה, אם זה המלבן ה i, אז כאן
הוא i x מינוס 1, והגובה פה
הוא f של i x מינוס 1.
אז זה כל מה שעשינו כאן כפול דלתא x.
ואז תסכמו את כל המלבנים האלה מ הראשון
כל הדרך לאחרון.
אז בתקווה שזה גורם לכם להרגיש קצת יותר נוח
עם הסימון הזה.
אנחנו לא עושים שום דבר אחר
ממה שעשינו בסרטון הראשון, שבתקווה
פשוט למדי עבורכם.
רק הכללנו את זה בעזרת קצת סימונים
מתמטיים.

English: 
over here, if this is rectangle
i, then this right over here
is x sub i minus 1, and
this height right over here
is f of x sub i minus 1.
So that's all we did right
over there times delta x.
And then you sum of these
from the first rectangle
all the way to the end.
So hopefully that makes you
a little bit more comfortable
with this notation.
We're not doing
anything different
than we did in this first
video, which was hopefully
fairly straightforward for you.
We have just generalized it
using a little bit more mathy
notation.
