
Czech: 
V tomto videu si povíme
něco o různých typech nespojitosti,
které jste nejspíše už
viděli během algebry nebo jinde,
řekneme si, jak souvisí s našimi znalostmi
jednostranných a oboustranných limit.
Nejprve se podívejme,
jaké nespojitosti rozlišujeme.
Tady vlevo
můžete vidět,
že tato křivka vypadá jako graf
y rovná se x na druhou,
dokud se nedostaneme
do bodu x rovno 3,
v němž máme místo hodnoty
3 na druhou tuto díru
a funkční hodnota v
bodě 3 je místo toho 4,
ale pak pokračuje dál jako
y rovná se x na druhou.
Tomuto říkáme odstranitelná
nespojitost, a to ze zjevných důvodů,
protože když v tomto bodě
dochází k nespojitosti,
snadno si dokážete představit, jak funkci
v bodě dodefinovat tak, aby byla spojitá,
takže tato nespojitost
je odstranitelná.

Korean: 
이번 영상에서는
다양한 종류의 불연속성에
대해 다뤄볼 것입니다
아마 여러분이 대수학이나
미적분 준비 코스를 할 때
본 적이 있을 거예요
이제 이를 양쪽 극한과 한쪽
극한에 연결시켜 볼 겁니다
불연속성의 종류에 대해
복습해 봅시다
여기 왼쪽의 그래프는
y = x² 그래프처럼 생겼습니다
x가 3에 도달하기
전까지는 말이죠
여기서 x는 3²이 되는 대신
이처럼 구멍이 생기게 됩니다
그리고 함수는 x가 3일 때
4의 지점에서 정의됩니다
그런데 그러다가 함수는
원래대로 계속됩니다
y = x²의 형태로 말입니다
이 지점을 없앨 수 있는
불연속성이라고 부릅니다
이름의 유래는 명확하죠
이 점에서 불연속성이 생기니까요
함수를 재정의함으로써
이 점에서 연속될 수 있게
해 볼 수도 있습니다
없앨 수 있는
불연속성이라면 말입니다

Bulgarian: 
В това видео ще говорим
за различните видове
прекъсвания,
които вероятно си спомняш
от часовете по алгебра.
Тук ще ги свържем
с нашето разбиране
за граници:
леви, десни и двустранни.
Най-напред да си припомним
видовете прекъсвания.
Тук отляво виждаме крива,
кяото иглежда е равна на
у=х²,
освен за х=3,
където вместо 3²
в тази точка имаме прескачане
и вместо като f(3),
функцията е зададена като 4.
След това отново изглежда,
че следва кривата
у=х².
Този случай е известен
като отстранима
точка на прекъсване.
Наванието ѝ
говори само за себе си.
В тази точка имаме
прекъсване.
Може да си представиш
как променяш дефиницията
в тази точка, за да стане
непрекъсната функция
и така да отстраниш
това прекъсване.

English: 
- [Instructor] What we're
going to do in this video
is talk about the various
types of discontinuities
that you've probably seen
when you took algebra,
or precalculus, but then
relate it to our understanding
of both two-sided limits
and one-sided limits.
So let's first review the
classification of discontinuities.
So here on the left,
you see that this curve
looks just like y equals x squared,
until we get to x equals three.
And instead of it being three squared,
at this point you have this opening,
and instead the function at
three is defined at four.
But then it keeps going
and it looks just like
y equals x squared.
This is known as a point,
or a removable, discontinuity.
And it's called that for obvious reasons.
You're discontinuous at that point.
You might imagine defining
or redefining the function
at that point so it is continuous,
so that this discontinuity is removable.

Bulgarian: 
Да видим как това се връзва
с нашето определение
за непрекъснатост?
Нека си припомним
определението:
каваме, че функцията f
е непрекъсната,
или още по-точно,
функцията f е непрекъсната
в точката x = c
тогава и само тогава,
когато границата
при х, клонящо към с
на f(x) е равна на
самата стойност на функцията
за х = с.
Защо не е изпълнено
за тази графика?
Тук двустранната граница
съществува,
в този случай с е равно на 3
и границата
за х, клонящо към 3
на f(x)
може да се намери на графиката,
а и в случая знам, че тя е
на у=х²
освен в тази точка на прекъсване
и границата е равна на 9.
Проблемът тук е,

Czech: 
Ale jak to souvisí s
naší definicí spojitosti?
Připomeňme si
naši definici spojitosti:
řekneme, že f je spojitá,
právě tehdy, když…
Ještě bychom měli napsat,
že jde o spojitost v bodě x rovno ‚c‘.
Právě tehdy, když je limita f pro x jdoucí
k ‚c‘ rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘.
Proč tomu
tohle nevyhovuje?
Oboustranná
limita existuje.
Pokud řekneme, že ‚c‘ je
v tomhle případě rovno 3,
tak je limita pro x
blížící se ke 3 z funkce f(x)…
Vypadá to, když se
podíváme na graf,
a já ve skutečnosti vím, že jde o graf y
rovná se x na druhou, až na nespojitost,
že tato limita je rovna 9.
Ale problémem je,
že tak jak je graf nakreslený,
nejde o totéž číslo
jako funkční hodnota.

English: 
But then how does this
relate to our definition
of continuity?
Well, let's remind ourselves
our definition of continuity.
We say f is continuous,
continuous,
if and only if,
or let me write f continuous
at x equals c, if and only if
the limit as x approaches c
of f of x is equal to the
actual value of the function
when x is equal to c.
So why does this one fail?
Well, the two-sided limit actually exists.
You could find, if we say
c in this case is three,
the limit
as x approaches three
of f of x,
it looks like, and if you
graphically inspect this,
and I actually know this is the
graph of y equals x squared,
except at that discontinuity
right over there,
this is equal to nine.
But the issue is, the way
this graph has been depicted,

Korean: 
이것이 연속성의 정의와
어떻게 관련이 있을까요?
연속성의 정의에 대해
다시 되새겨봅시다
함수 f는
연속성을 가집니다
다음의 필요충분조건을
충족한다면 말입니다
연속함수 f(x)는
x가 c에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값이 x가 c일 때의
실제 함수값이랑
동일하다는 전제 하에
x가 c인 지점에서
연속성을 가집니다
그러면 이 함수는
왜 연속성을 가지지 못하나요?
양쪽 극한은 사실 존재합니다
c가 3이라고 가정한다면
x가 3에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값은
그래프를 통해 관찰해 보면
아, 그리고 이 그래프가
y = x²이라고 가정합시다
이 지점의 불연속성만
제외하고는 말이죠
그러면 이 극한값은 9입니다
여기서 문제는 이 그래프가

English: 
this is not the same thing
as the value of the function.
This function
f of three, the way it's been graphed,
f of three is equal to four.
So this is a situation where
this two-sided limit exists,
but it's not equal to the
value of that function.
You might see other
circumstances where the function
isn't even defined there,
so that isn't even there.
And so, once again, the limit might exist,
but the function might
not be defined there.
So, in either case, you aren't
going to meet this criteria
for continuity.
And so that's how a point
or removable discontinuity,
why it is discontinuous
with regards to our limit
definition of continuity.
So now let's look at this second example.
If we looked at our
intuitive continuity test,
if we would just try to trace this thing,
we see that once we get to x equals two,
I have to pick up my
pencil to keep tracing it.
And so that's a pretty good
sign that we are discontinuous.

Bulgarian: 
че това не е равно на
стойността на функцията.
За х = 3 тази функция,
f(3) на тази графика
всъщност е равно на 4.
В тази ситуация двустранната граница
съществува,
но не е равна на стойността
на функцията.
Имаме и други случаи,
в които функцията
дори не е определена
във въпросната точка,
тя дори няма стойност там.
И отново, тогава
границата може и да съществува,
но самата функция
да не е дефинирана там.
И в двата описани случая
няма да е изпълнено условието
за непрекъснатост.
Това представлява
отстранимата точка на прекъсване,
това я прави прекъсната
според нашето определение
за непрекъснатост.
Сега да видим втория пример.
Имаме интуитивен
тест за непрекъснатост:
да се опитаме да
повторим линията.
Виждаме, че когато достигнем
до х = 2,
ще трябва да вдигнем молива
и да продължим от друго място.
Това ни показва ясно,
че имаме прекъсване.

Czech: 
Funkční hodnota f(3)…
Tak jak je funkce
znázorněna se f(3) rovná 4.
Takže jsme v situaci, kdy
oboustranná limita existuje,
ale nerovná se
funkční hodnotě.
V jiných příkladech se vám může stát,
že funkce zde ani nebude definovaná.
Takže tohle
by zde nebylo.
V tom případě by limita opět existovala,
ale funkce by zde nebyla definovaná,
takže ani v jednom případě
nesplníme tuto podmínku spojitosti.
A to je důvodem,
proč odstranitelná nespojitost v bodě
není spojitá podle naší definice.
Nyní se podívejme
na druhý příklad.
Když zkusím spojitost
posoudit intuitivně tak,
že kreslím graf
tužkou na papíře,
vidíme, že jak se dostanu
do bodu x rovno 2,
musím zvednout tužku
a až pak dál kreslit.
Takže to nám napovídá,
že zde dochází k nespojitosti.

Korean: 
이 함수값과 같지 않다는 것입니다
함수값 f(3)은
그래프에 따르면
9가 아닌 4의 값을 가집니다
따라서 이것은 양쪽
극한이 존재하지만
함수값과는 다른 상황입니다
이것 말고도 함수가
해당 지점에서 정의되지 않는
상황도 생길 수 있습니다
이 점이 없는 것과 같죠
다시 말하자면
극한값이 존재하더라도
함수는 그 지점에서 정의되지
않을 수도 있습니다
둘 중 어느 경우이건
연속성의 조건을
충족하지 못합니다
이것이 바로 없앨 수 있는
불연속성입니다
왜 그것이 우리의
연속성의 정의에 있어서
불연속성으로 정의되는지
이제 알았을 것입니다
두 번째 예제를 봅시다
직관적으로 연속성을
테스트해 봅시다
이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때
x가 2에 도달하게 되면
연필을 들었다가 놔야 그래프를
계속 따라갈 수 있습니다
이것은 불연속성을
의미하는 신호입니다

Bulgarian: 
Виждаме това и тук.
Повтарям линията на тази функция
и пак трябва да вдигна молива,
иначе не мога да мина
през тази точка.
Трябва да скоча надолу дотук
и да продължа пак горе.
И в двата случая
трябва да вдигна молива.
Интуицията ми казва,
че има прекъсване.
Но този конкретен вид прекъсване,
при който правя скок
от една точка
към друга точка, за да продължа,
се нарича прекъсване
от първи род.
То е различно от
отстранимото.
Как се връзва това
с границите?
Тук лявата и дясната граница
съществуват поотделно,
но не са равни
помежду си.
Следователно няма
двустранна граница.
В нашия пример
за всички стойности на х
до и включително х = 2
това е графиката на у = х².
А след х=2
става графиката
на корен квадратен от х.
В този сценарий

Korean: 
여기서도 같은 현상을
볼 수 있습니다
이 함수를 계속 따라가려면
연필을 들었다가 놔야 합니다
이 지점으로 내려왔다가
다시 올라가서 그래프를
따라갈 수밖에 없습니다
둘 중 어느 경우이든 연필을
들었다가 놔야 합니다
직관적으로 봤을 때도
불연속성을 알 수 있습니다
하지만 이 특정
불연속성의 경우에는
한 점에서 도약, 혹은 비약하여
아래의 점으로 이동해야
그래프가 계속됩니다
직관적인 유래에 따라
이는 비약 불연속성이라고 불립니다
이는 물론 없앨 수 있는
불연속성에 해당합니다
이것이 극한과 어떻게
관련을 가질까요?
여기에서 좌극한과
우극한이 존재하지만
두 극한값은 서로 다릅니다
따라서 양쪽 극한이
존재하지 않습니다
예를 들어 이 함수는
2 이하의 x값에서는
y = x²의 그래프를 가집니다
x값이 2보다 클 때에는
√x의 그래프를 가집니다
이러한 시나리오에서

Czech: 
Vidíme, že i kdybych
tady kreslil tužkou,
tak musím zvednout tužku,
abych mohl skočit k bodu dole,
a pak bych pokračoval
v kreslení nahoře.
V obou případech bych
zvedl tužku z papíru.
Intuitivně je zde
tedy nespojitost.
Tomuto konkrétnímu
typu nespojitosti,
kdy z jednoho bodu skáču na
druhý, abych mohl pokračovat dál,
říkáme nespojitost
1. druhu.
A tohle je
odstranitelná nespojitost.
Jak to souvisí
s limitami?
V tomto případě limity
zleva a zprava existují,
ale nerovnají se sobě, takže
oboustranná limita neexistuje.
V tomto konkrétním
případě platí,
že pro všechna x až do 2 včetně
jde o graf funkce y rovná se x na druhou
a pro x větší než 2
jde o graf odmocniny z x.

English: 
We see that over here as well.
If I'm tracing this function,
I gotta pick up my pencil to,
I can't go to that point.
I have to jump down here,
and then keep going right over there.
So in either case I have
to pick up my pencil.
And so, intuitively, it is discontinuous.
But this particular type of discontinuity,
where I am making a jump from one point,
and then I'm making a jump
down here to continue,
it is intuitively called a jump
discontinuity,
discontinuity.
And this is, of course, a
point removable discontinuity.
And so how does this relate to limits?
Well, here, the left and
right-handed limits exist,
but they're not the same thing,
so you don't have a two-sided limit.
So, for example, for
this one in particular,
for all the x-values up to
and including x equals two,
this is the graph of y equals x squared.
And then for x greater than two,
it's the graph of square root of x.
So in this scenario,
if you were to take the limit

Bulgarian: 
имаме такива граници на f(x),
когато х клони към 2:
лявата граница е равна на 4,
това е стойността,
към която функцията се стреми
и тя е равна на самата
функция.
Но ако погледнем
дясната граница,
колко ще е тя?
Когато се приближаваме
отдясно
имаме корен от х,
затова дясната граница
е корен от 2.
Няма как да го определиш,
ако само гледаш графиката.
Знам колко е, защото
използвах сайта Desmos,
за да дефинирам тази функция.
Но дори и на пръв поглед
се вижда,
че се доближаваме
до две различни числа,
когато се приближаваме
отляво
или отдясно.
И макар че съществуват
лявата и дясната граница,
те не са равни
и двустранната граница
не съществува.
Щом няма двустранна граница,
то тя със сигурност не може
да бъде равна на функцията,
дори и функцията да е определена.
Затова прекъсването от първи род
не отговаря на определението.
Тук също е интуитивно.

Korean: 
x가 2에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값을 구해본다면
좌극한인 경우에
이 극한값은 4일 것입니다
여기 이 값을 향해 가까워지니까요
이것은 함수의
실제 값이기도 합니다
하지만 x가 2에 한없이
가까워지는데
이것이 우극한이라면
극한값은 무엇일까요?
오른쪽으로부터 가까워지니
이것은 √x이고
따라서 √2에 한없이
가까워지게 됩니다
이것이 √2라는 것을
그래프만 보고 알 수는
없습니다
제가 Desmos에서
이 함수를 정의할 때
그렇게 정의했기 때문에
저는 알고 있지만 말이죠
하지만 그래프만 봤을 때도
좌극한과 우극한이
서로 다른 극한값을 가진다는 것을
쉽게 알 수 있습니다
따라서 한쪽 극한들이
존재하더라도
같은 극한값을 향해 가까워지지
않고 있습니다
따라서 양쪽 극한은
존재하지 않습니다
양쪽 극한이 존재하지 않는다면
함수의 그 지점에서의 실제 값과는
당연히 다를 것입니다
함수가 정의되어
있더라도 말입니다
이것이 비약 불연속성이 연속성의
조건을 충족하지 못하는 이유입니다
다시 강조하지만
직관적으로 이해할 수 있습니다

English: 
of f of x
as x approaches
two
from the left,
from the left,
this is going to be equal to four,
you're approaching this value.
And that actually is the
value of the function.
But if you were to take the
limit as x approaches two
from the right of f of x,
what is that going to be equal to?
Well, approaching from the right,
this is actually the square root of x,
so it's approaching
the square root of two.
You wouldn't know it's
the square root of two
just by looking at this.
I know that, just because when I,
when I went on to Desmos
and defined the function,
that's the function that I used.
But it's clear even visually
that you're approaching
two different values
when you approach from the left
than when you approach from the right.
So even though the one-sided limits exist,
they're not approaching the same thing,
so the two-sided limit doesn't exist.
And if the two-sided limit doesn't exist,
it for sure cannot be equal to the value
of the function there, even
if the function is defined.
So that's why the jump
discontinuity is failing this test.
Now, once again, it's intuitive.

Czech: 
Za těchto okolností se limita z f(x)
pro x blížící se ke 2 zleva rovná 4.
Blížíme se k této hodnotě,
což je dokonce i funkční hodnota.
Ale když budeme hledat limitu z f(x)
pro x blížící se ke 2 zprava,
čemu se bude rovnat?
Blížíme se zprava, tohle
je graf odmocniny z x,
tedy se blížíme
k odmocnině ze 2.
Samozřejmě jen z pohledu na
graf nepoznáte, že jde o odmocninu ze 2.
Já to vím jen proto, že když jsem vytvářel
tento obrázek, použil jsem tuto funkci.
Ale už jen od
pohledu je jasné,
že když se blížíme zprava a zleva,
jdeme vždy k jiné hodnotě.
A tak i když jednostranné limity
existují, nerovnají se tomu samému,
takže oboustranná
limita neexistuje.
A když oboustranná limita neexistuje,
tak se určitě nerovná funkční hodnotě,
i když je zde funkce
definovaná.
Proto nespojitost 1. druhu
nesplňuje tuto podmínku.
Je to opět
intuitivní.

English: 
You're seeing that, hey, I gotta jump,
I gotta pick up my pencil.
These two things are not
connected to each other.
Finally, what you see here is,
when you learned precalculus,
often known as an
asymptotic discontinuity,
asymptotic,
asymptotic
discontinuity,
discontinuity.
And, intuitively, you
have an asymptote here.
It's a vertical asymptote at x equals two.
If I were to try to trace the graph
from the left,
I would just keep on going.
In fact, I would be doing
it forever, 'cause it's,
it would be infinitely,
it would be unbounded as
I get closer and closer
to x equals two from the left.
And if try to get to x
equals two from the right,
once again I get unbounded up.
But even if I could,
and when I say it's unbounded,
it goes to infinity,
so it's actually impossible

Korean: 
여기서 연필을 들었다가 놔서
도약을 해야 되니까요
이 두 곡선은 서로
연결되어 있지 않습니다
여기서 보고 있는 이것은
미적분의 준비 코스에서도 배웠던
점근적 불연속성이라고 합니다
점근적
불연속성
직관적으로 봤을 때
여기 점근선이 있습니다
x가 2일 때 수직점근선이 있습니다
그래프를 왼쪽으로부터
쭉 따라가 보면
계속해서 따라가게 됩니다
영원히 따라갈 수 있습니다
왜냐하면 범위가 무한하고
계속 가면 갈수록
왼쪽으로부터 2에 무한히
가까워지기 때문입니다
x가 2일 때 우극한의 경우에는
영원히 위쪽으로 향하게 됩니다
제가 계속 이 그래프를
따라가 보더라도
그래프가 무한하게
계속되기 때문에
우리 생애 내에서

Czech: 
Vidíme, že musím
udělat skok,
musím zvednout tužku, protože
tyto body nejsou propojené.
A nakonec tady máme to,
čemu se často říká nespojitost 2. druhu.
Nespojitost 2. druhu.
Intuitivně vidíme, že
zde máme asymptotu,
jde o svislou asymptotu
procházející bodem x rovno 2.
Kdybych zkoušel tužkou kreslit graf,
zleva bych takto šel dál a dál,
vlastně bych to dělal věčně,
hodnoty by neomezeně klesaly,
jak bych se zleva čím dál tím
víc blížil k bodu x rovno 2.
Kdybych se k bodu x rovno 2 blížil
zprava, tak bych šel neomezeně nahoru.
Ale i kdybych mohl…
Když říkám neomezeně,
tak to jde do nekonečna,
takže je ve
skutečnosti nemožné,

Bulgarian: 
Виждам, че тук трябва
да скоча,
да вдигна молива.
Тези две линии
не са свързани.
И накрая виждаме
един случай,
който понякога се нарича
прекъсване от втори род,
или прекъсване при асимптота.
Тук имаме асимптота:
вертикалната асимптота за х = 2.
Ако опитам да повторя графиката,
като започна отляво,
ще продължа вечно.
Няма да мога да спра
да чертая този клон,
защото той е неограничен,
отива в безкрайност,
когато се доближавам
до х = 2 отляво.
А когато се стремя
към х = 2 отдясно,
отново съм неограничен,
но този път отгоре.
Дори и да можех да стигна дотам,
което всъщност е безкрайност
и е невъзможно

Korean: 
이 그래프를 끝까지
따라가는 것은 불가능하죠
하지만 여기서 여러분이
이해해야 하는 것은
이 지점에서 이 지점까지
연필을 들지 않고서는 갈 수 없고
우리의 극한의 정의와
관련지어 본다면
좌극한과 우극한 모두
무한하므로
두 극한값 모두 존재하지
않는다고 볼 수 있습니다
극한값이 존재하지 않으면
조건 또한 맞출 수 없죠
x가 왼쪽으로부터 2에 한없이
가까워질 때
f(x)는 음의 방향으로 무한히
진행하는 것을 볼 수 있습니다
이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요
마이너스 무한대 말입니다
완전히 정확한 표현은
아니지만 말입니다
보다 정확하게는 무한하다고
표현하는 것이 맞습니다
무한하다
이와 마찬가지로
x가 오른쪽으로부터
2에 한없이 가까워질 때
f(x)의 극한값은
플러스 무한대를 향해
무한히 가까워집니다
아까와 마찬가지로
이 극한값 역시
무한합니다
그리고

Bulgarian: 
за един краен живот да се повтори
цялата линия,
но се разбира, че дори тогава
няма да има начин
да се стигне от единия клон до другия
без вдигане на молива.
За да го свържем с нашето разбиране за граници,
тук имаме, че
и лявата, и дясната граница
са неистински,
тоест по твърдото определение
дори не съществуват.
Тъй като не съществуват,
то условието не е изпълнено.
Ако разгледаме
лявата граница
на f(x)
при х, клонящо към 2
виждаме, че тя е неограничена
в отрицателна посока.
Понякога това се нарича
минус безкрайност.
Но това не е съвсем
прието навсякъде.
По-коректният начин е
да се нарече функцията
неограничена.
Аналогично и за
дясната граница
на f(x) при х,
клонящо към 2:
тя е неограничена
към плюс безкрайност.
Отново имаме,
че този клон
е неограничен.
От тук следва,

English: 
in a mortal's lifespan to
try to trace the whole thing.
But you get the sense that,
hey, there's no way that I could
draw from here to here
without picking up my pencil.
And if you wanna relate it
to our notion of limits,
it's that
both the left and right-handed
limits are unbounded,
so they officially don't exist.
So if they don't exist, then
we can't meet these conditions.
So if I were to say,
the limit
as x approaches two from the
left-hand side of f of x,
we can see that it goes unbounded
in the negative direction.
You might sometimes see someone
write something like this,
negative infinity.
But that's a little
handwavy with the math.
The more correct way to say
it is it's just unbounded,
unbounded.
And, likewise, if we
thought about the limit
as x approaches two
from the right
of f of x,
it is now unbounded
towards positive infinity.
So this, once again,
this is also,
this is also unbounded.
And

Czech: 
aby běžný smrtelník za svůj
život nakreslil celý graf.
Ale víte,
co myslím.
Určitě se odsud sem nedostanu bez toho,
aniž bych zvedl tužku z papíru.
Pokud toto chceme spojit s
našimi znalostmi limit,
tak obě jednostranné
limity jsou nevlastní,
takže řekneme,
že neexistují,
a tudíž nemůžeme
splnit tuto podmínku.
Takže limita f(x) pro
x blížící se ke 2 zleva,
vidíme, že jdeme neomezeně
záporným směrem,
takže občas uvidíte někoho napsat
něco jako toto: záporné nekonečno.
Toto je ale
spíše intuitivní zápis,
matematicky přesnější je říci,
že limita je nevlastní.
Rovněž limita f(x) pro x blížící se
ke 2 zprava jde neomezeně dál a dál,
tentokrát ke kladnému
nekonečnu.
Tato limita je
tedy opět nevlastní.

Korean: 
이 식이 무한하고
극한값이 존재하지 않으므로
이 조건을 맞출 수 없습니다
따라서 불연속성을 가집니다
즉 이것은 없앨 수 없는
불연속성입니다
비약 불연속성, 즉 도약해야만
연속되는 함수가 있는가 하면
이처럼 수직점근선이 있는
경우도 있습니다
이것을 점근적 불연속성이라고
부릅니다

English: 
because it's unbounded and
this limit does not exist,
it can't meet these conditions.
And so we are going to be discontinuous.
So this is a point or
removable discontinuity,
jump discontinuity, I'm jumping,
and then we have these
asymptotes, a vertical asymptote.
This is an asymptotic discontinuity.

Bulgarian: 
че двустранната граница
не съществува
и графиката не отговаря
на условието за непрекъснатост.
Затова тя е прекъсната.
Да обобщим:
първото е отстранима точка на прекъсване,
второто е прекъсване от първи род,
или скок,
и накрая имаме прекъсване
от втори род, с асимптота.

Czech: 
Protože je nevlastní,
tak tato limita neexistuje
a nemůže tak splnit tuto podmínku,
tudíž dochází k nespojitosti.
Takže tohle je odstranitelná nespojitost,
nespojitost 1. druhu, když takhle skáču,
a když máme takovouto svislou asymptotu,
tak je to nespojitost 2. druhu.
