
English: 
So we've got the
equation x squared
plus y squared is equal to 1.
I guess we could call
it a relationship.
And if we were to graph
all of the points x and y
that satisfied
this relationship,
we get a unit circle like this.
And what I'm curious
about in this video
is how we can figure out the
slope of the tangent line
at any point of
this unit circle.
And what immediately might be
jumping out in your brain is,
well a circle defined this
way, this isn't a function.
It's not y explicitly
defined as a function of x.
For any x value we actually
have two possible y's
that satisfy this
relationship right over here.
So you might be tempted
to maybe split this up
into two separate
functions of x.
You could say y is equal to
the positive square root of 1
minus x squared.
And you could say y is equal to
the negative square root of 1
minus x squared.

Thai: 
 
เราได้สมการ x กำลังสอง
บวก y กำลังสองเท่ากับ 1
เราจะเรียกมันว่าความสัมพันธ์ก็ได้
และถ้าเราวาดกราฟจุด x กับ y ทั้งหมด
ที่เป็นไปตามความสัมพันธ์นี้
เราจะได้วงกลมหน่วยแบบนี้
และสิ่งที่ผมสงสัยในวิดีโอนี้
คือวิธีหาความชันของเส้นสัมผัส
ที่จุดใดๆ ของวงกลมหน่วยนี้
และสิ่งที่อาจผุดขึ้นในสมองคุณทันทีคือว่า
วงกลมนิยามแบบนี้ มันไม่ใช่ฟังก์ชัน
มันไม่ใช่ y เขียนเป็นฟังก์ชันของ x โดยตรง
สำหรับค่า x ใดๆ เรามีค่า y ที่เป็นไปได้ 2 ค่า
ที่เป็นไปตามความสัมพันธ์นี่ตรงนี้
คุณอาจอยากแบ่งอันนี้เป็น
ฟังก์ชันของ x สองตัวแยกกัน
คุณบอกได้ว่า y เท่ากับบวกรากที่สองของ 1
ลบ x กำลังสอง
และคุณบอกได้ว่า y เท่ากับลบรากที่สองของ 1
ลบ x กำลังสอง

Portuguese: 
Então, temos a equação x quadrado
mais y quadrado é igual a um.
-acho que podemos dizer
que é uma relação-
e se representássemos graficamente
todos os pontos x e y
que satisfazem essa relação,
temos uma unidade de círculo como esta
e o que eu estou curioso neste vídeo
é como podemos descobrir o declive
da reta tangente em qualquer ponto
desta círculo unitário.
E imediatamente
o que você poderia pensar
Bom.
Um círculo definido
desta forma não é uma função.
Não é Y explicitamente
definido como um função de X.
Para qualquer valor X
que você na verdade tem dois
possíveis Ys que satisfazem esta
relação bem aqui.
Você pode ser tentado a talvez dividir
isso em duas funções separadas de X.
Pode-se dizer, Y
é igual a raiz quadrada positiva
de um menos x ao quadrado 
e você poderia dizer que é y
igual à raiz quadrada negativa
de um menos x ao quadrado.

Bulgarian: 
Дадено е уравнението 
x^2 + y^2 = 1.
Може да го наречем зависимост 
между двете променливи.
Ако искаме да построим графиката 
на всички точки x и y,
които удовлетворяват това уравнение,
ще се получи окръжност с радиус 1 
 като тази единична окръжност.
Това, което съм любопитен 
относно настоящия урок,
е как може да намерим 
наклона на допирателната
във всяка точка от тази 
единична окръжност.
А това, което може би веднага 
ти идва наум,
е, че окръжност, която е дефинирана 
по този начин, не е функция.
y не е изрично дефинирана
 като функция на x.
За всяка стойност на x, всъщност 
имаме две възможни стойности за y,
които удовлетворяват 
даденото отношение.
Може да се изкушиш 
да разделиш уравнението
на две различни функции на x.
Може да кажеш, че функцията y 
е равна на плюс корен квадратен
от 1 – x^2.
А може да кажеш и, че функцията y 
е равна на минус корен квадратен
от 1 – x^2.

Korean: 
 
우리에게는 x²+y²=1이라는
식이 있습니다
이 관계를 만족시키는 함수를
좌표축 위에 그리면
우리는 위와 같은
원을 얻을 수 있습니다
제가 궁금해 하는 것은
위의 그래프에서 임의의 점의
접선의 기울기를 어떻게 
구하느냐 입니다
우리 머리 속에 드는 생각은
저것은 함수가 아니라는 것입니다
위 식은 y에 대한 x의 함수가 아닙니다
각 x마다 우리는 두개의 y 값으 가지고 있으며
두 점은 모두 위의 식을 만족합니다
그러니 우리는
x에 따른 두개의 영역으로 
분리해야 할 수도 있습니다
y=√(1-x²)이라는 한 영역과
y=√(1-x²)이라는 한 영역과
y=－√(1-y²)이라는 한 영역으로
나누어집니다

Chinese: 
欢迎收看这集隐函数微分
先解释一下隐函数和显函数
的区别
假设函数为
y=x^2+2x+3
这时 变量y
明确由x所定义
怎么知道的呢？
如果给定x 只需把它输入
这个式子 就明确得出y
对吗？ 由这个式子就能得出来
但另一方面 如果是这样的式子
x^2+y^2=100 会怎样呢？
如果给定x 依然能算出y
但不那么容易了
假设x=9

Czech: 
Máme zadanou rovnici, či spíše vztah: 
x na druhou plus y na druhou rovná se 1.
Po zakreslení všech bodů, co tomuto vztahu
odpovídají, dostanu jednotkovou kružnici.
V tomto videu si ukážeme, jak určit sklon
tečny v libovolném bodě na této kružnici.
Možná vás napadlo, že taková kružnice není
grafem funkce, každému x odpovídají dvě y.
Instinkt by nám mohl radit rozdělit 
kružnici na dvě oddělené funkce:
y by se rovnalo kladné odmocnině
z jedné minus x na druhou,
a y by se rovnalo záporné
odmocnině z jedné minus x na druhou,

Bulgarian: 
Да намериш производните на всяка 
от тези функции поотделно.
И ще можеш да намериш 
производната за всяка стойност на x
или стойността на наклона 
на допирателната
във всяка точка от функцията.
Но това, което искам да направя 
в този урок,
е да използвам верижното правило,
за да диференцирам тази функция 
като неявна функция.
Така че да не е необходимо 
изрично да дефинирам
y като функция на x 
по какъвто и да е начин.
Ще направим това, като просто
приложим правилата за диференциране
 към двете страни на уравнението.
След това ще приложим това, което
знаем за верижното правило.
Тъй като не дефинираме 
изрично функцията y
като функция на x 
и конкретно да получим
y' като равно на f'(x), това се нарича...
което е действително само
приложение на верижното правило –
наричаме това диференциране 
на неявна функция.
Диференциране на неявна функция.
И това, което искам да имаш наум
през цялото време е, че това е просто
приложение на верижното правило.
Нека да запишем означението за производна d/dx 
в двете страни на уравнението.
Ще се получи производната спрямо

English: 
Take the derivatives of
each of these separately.
And you would be able to find
the derivative for any x,
or the derivative of the
slope of the tangent line
at any point.
But what I want to
do in this video
is literally leverage
the chain rule
to take the
derivative implicitly.
So that I don't have
to explicitly define y
is a function of x either way.
And the way we do
that is literally just
apply the derivative operator
to both sides of this equation.
And then apply what we
know about the chain rule.
Because we are not
explicitly defining y
as a function of x, and
explicitly getting y
is equal to f prime
of x, they call
this-- which is really just an
application of the chain rule--
we call it implicit
differentiation.
And what I want you to keep
in the back of your mind
the entire time
is that it's just
an application of
the chain rule.
So let's apply the derivative
operator to both sides of this.
So it's the derivative
with respect

Chinese: 
这里输入9 得到81
+y^2=100 要减去它
得到y^2=19
数字有点怪
然后得出y=
±√19
依然能解出y
但这个式子 或方程
隐含地定义了y
区别就在这
人们每天讲话都会说的或明确
或含蓄 跟它一样的道理
如果明确的说
我饿了
明确陈述出我饿了
但也可以含蓄的陈述你饿了
可以说
我很长时间没吃东西了 喂
去吃点东西就好了
这就是对饿了的含蓄的
表达
因为没直接告诉他
而其他人需要稍思考一下
才会知道你饿了
就讲到这里

Portuguese: 
Calcule as derivadas de cada uma delas
separadamente.
E você seria capaz de encontrar a
derivada de qualquer x,
ou a derivada do declive da
linha tangente em qualquer ponto.
Mas o que eu quero fazer neste vídeo é
literalmente alavancar a regra da cadeia
para tirar a derivada implícita para que
não tenha que explicitamente definir y
com uma função de y, de qualquer forma.
E a maneira como fazemos isto
é literalmente
apenas aplicar o operador de derivadas
para ambos os lados desta equação.
Em seguida, aplicamos o que sabemos
sobre a regra da cadeia.
Porque não estamos definindo 
explicitamente y como uma função
de x e y é explicitamente 
ficando igual f linha de x
que é realmente apenas uma
aplicação da regra da cadeia;
chamamos isso de diferenciação implícita.
Diferenciação implícita.
E o que eu quero que 
você mantenha em mente
o tempo todo, é que ele é apenas um
aplicação da regra da cadeia.
Vamos aplicar o operador de 
derivadas em ambos os lados disso.

Czech: 
obě bychom odděleně zderivovali, a dostali
tak sklony obou tečen pro jakékoli x.
Dnes si však ukážeme, jak derivaci nepřímo
provést pomocí pravidla o složené funkci,
abych nemusel takto přímo
definovat dvě oddělené funkce.
Uděláme to, že zderivujeme obě strany
a použijeme pravidlo o složené funkci.
A jelikož přímo nedefinujeme funkci f(x) a
nehledáme derivaci z f(x),
této aplikaci pravidla o složené
funkci říkáme implicitní derivace.
Jen mějte napříč celým videem na paměti,
že je to použití pravidla o složené funkci.
Pojďme zderivovat obě strany.

Korean: 
각 식을 따로 미분을 해 봅시다
그러면 여러분은 모든 x에 따른
미분값이나 접선의 기울기를
구할수 있을 겁니다
하지만 제가 하고 싶은 것은
음함수 미분법을 통해서
미분값을 구하는 것입니다
그러니 저는 양함수 미분법으로
y를 x에 대해서 미분을 하지 
않을 겁니다
우리가 할 것은 그냥
양 변에 미분연산자를 대입하는 것입니다
그리고 연쇄법칙을 이용할 것입니다
우리가 y를 x에 대해서 미분을 할 수 없고
y가 x'이 아니기 때문에
사람들은 이
연쇄법칙을
음함수 미분법이라고 부릅니다
 
제가 말하고자 하는 것은
이 미분법은 그냥
연쇄법칙의 일부라는 것입니다
양변에 이제 미분 연산자를 넣어 봅시다
x²＋y²을

Thai: 
หาอนุพันธ์ของแต่ละตัวแยกกัน
และคุณจะสามารถหาอนุพันธ์สำหรับ x ใดๆ
หรืออนุพันธ์ ความชันของเส้นสัมผัส
ที่จุดใดๆ ได้
แต่สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือการใช้ประโยชน์กฎลูกโซ่
เพื่อหาอนุพันธ์โดยนัย
ผมจะได้ไม่ต้องนิยาม y
เป็นฟังก์ชันของ x โดยตรง
และวิธีที่เราทำคือว่า
ใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์
ทั้งสองข้างของสมการนี้
แล้วใช้สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับกฎลูกโซ่
เพราะเราไม่ได้นิยาม y เป็น
ฟังก์ชันของ x โดยตรง หา y
เท่ากับ f ไพรม์ของ x โดยตรง เขาเรียก
อันนี้ -- มันก็แค่การใช้กฎลูกโซ่ --
เราเรียกมันว่า การหาอนุพันธ์โดยนัย
 
และสิ่งที่ผมอยากให้คุณระลึกไว้
ตลอดเวลาคือว่า มันเป็นเพียง
การใช้กฎลูกโซ่
ลองใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์ทั้งสองข้างนี้
มันก็คืออนุพันธ์เทียบกับ

Thai: 
x ของ x กำลังสองบวก y กำลังสอง 
ทางซ้ายมือ
ของสมการเรา
แล้วมันจะเท่ากับอนุพันธ์
เทียบกับ x ทางขวามือ
ผมจะทำแบบเดียวกัน
ทั้งสองข้างของสมการนี้
ทีนี้ ถ้าผมหาอนุพันธ์ของผลบวกสองเทอม
มันจะเท่ากับการหาผลบวกของอนุพันธ์
อันนี้จึงเท่ากับ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ x กำลังสอง
บวกอนุพันธ์เทียบกับ x ของ y กำลังสอง
ผมจะเขียนส่วนสีส้มก่อน
ลองดูกัน
อันนี้จะเท่ากับ x กำลังสอง 
อันนี้จะเท่ากับ y กำลังสอง
แล้วอันนี้จะเท่ากับอนุพันธ์
เทียบกับ x ของค่าคงที่
อันนี้จะเปลี่ยนไปเทียบกับ x
เราจึงได้แค่ 0
ทีนี้ เทอมแรกนี่ตรงนี้
เรามีทำมาหลายๆๆๆๆๆ ครั้งแล้ว
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ x กำลังสอง
ก็แค่กฎยกกำลังตรงนี้

Bulgarian: 
x на x^2 + y^2 от лявата страна
на нашето уравнение.
Тогава това просто ще бъде 
равно на производната
спрямо x на дясната страна 
на уравнението.
Просто прилагам едно и също нещо
към двете страни на това уравнение.
Сега, ако търся производната 
на сумата на два члена,
то това е същото като да намеря
 сумата на производните им.
Тоест това ще бъде равно
 на същото нещо
като производната спрямо x на x^2
плюс производната спрямо x на y^2.
Първо записвам всичко, което
 е в оранжев цвят.
Нека да видим.
Това ще бъде x^2, 
а това ще бъде y^2.
Тогава ето този член просто 
ще бъде равен на производната
на константа спрямо x.
Тоест няма да се промени спрямо x.
Следователно просто 
се получава нула.
Разглеждаме първия член 
ето тук, което сме
го решавали много, много пъти.
Производната спрямо x на x^2,

Korean: 
x에 대해서 미분을 하는 것을
좌변에 두고
그것은 우변을
미분한 값과 같아집니다
양변에
같은 작업을 하는 겁니다
전체 합의 미분 값은
각 미분값의 총합과 같습니다
각 미분값의 총합과 같습니다
x²을 x에 대해 미분한 것에
y²을 x에 대해 미분한 것을 더하는 겁니다
주황색을 먼저 적겟습니다
이제 보도록 합시다
이것은 x²이고 저것은 y²입니다
그리고 이것은
상수를 미분하는 것과 같은 값을 가집니다
상수는 x에 따라 변하지 않으므로
0입니다
첫번째 것은
매우 많이 해 본 것입니다
x²을 x에 대해 미분을 하면
이것은 그냥 곱의 법칙입니다

Czech: 
Levá strana je derivace x na druhou 
plus y na druhou, podle x.
To se bude rovnat derivaci pravé strany,
což je 1, podle x tak jako nalevo.
Derivovat součet těchto dvou proměnných
je to stejné jako sčítat jejich derivace,
Takže tohle je derivace x druhou plus
derivace y na druhou, obojí podle x.
Když derivuji 1 podle x,
nemění se, zůstává konstantní.
Takže derivace bude 0.

English: 
to x of x squared plus y
squared, on the left hand
side of our equation.
And then that's going to
be equal to the derivative
with respect to x on
the right hand side.
I'm just doing the
same exact thing
to both sides of this equation.
Now if I take the derivative
of the sum of two terms,
that's the same thing as taking
the sum of the derivative.
So this is going to
be the same thing
as the derivative with
respect to x of x squared,
plus the derivative with
respect to x of y squared.
I'm writing all my
orange stuff first.
So let's see.
This is going to be x squared,
this is going to be y squared.
And then this is going to
be equal to the derivative
with respect to x of a constant.
This isn't changing
with respect to x.
So we just get 0.
Now this first term
right over here,
we have done many, many,
many, many, many, many times.
The derivative with
respect to x of x squared
is just the power rule here.

Chinese: 
下面求几个微分
现在大家学过的所有的求微分
都是显函数微分
例如这个函数
已知道如何对它求微分了
它定义为显函数
那么只需对其求导
运用导数算子
求等式两边关于x的
变化率
可以这样求
标上导数算子
这有点乱
这边标上导数算子
这边也标上导数算子
本来没打算这样写 所以有点乱 结果如何呢？
它的左边
y随x的变化率
把它写下来
y的变化率 对于y的每段微小变化
x的变化是多少
它等于
已知道怎么求这种导数了
它只是简单的二次方程
所以它=2x+2+0

Portuguese: 
É a derivada em relação a x
de x ao quadrado
mais y ao quadrado no lado esquerdo
a nossa equação,
que será igual à derivada
com relação à x no lado direito.
Só estou fazendo a mesma coisa para
ambos os lados, ambos os lados desta equação.
Agora, se eu calcular a derivada
da soma de dois termos
é o mesmo que calcular soma das derivadas.
Portanto, esta vai ser a mesma coisa que
a derivada em relação à x
de x quadrado
mais a derivada em 
relação a x de y quadrado.
Estou calculando as coisas
em laranja primeiro.
Então vamos ver, isso vai ser x
quadrado.
Ele vai ser y ao quadrado.
E então isso vai ser igual a
derivada em relação a X de um
constante.
Isto não muda com relação a x, então
apenas obtemos 0.
Agora, este primeiro termo nós
fizemos muitas, muitas, muitas
Muitas, muitas vezes.

Korean: 
미분을 하면
2x가 나옵니다
흥미로운 것은 오른쪽 식입니다
y²을 x에 대해 미분을 해야 합니다
연쇄법칙을 씁시다
미분을 x에 대해서 하지 말고
미분을 x에 대해서 하지 말고
미분을 x에 대해서 하지 말고
다른 것에 대해서 미분을 할 겁니다
y²을 y에 대해서 미분을 할 겁니다
y²을 y에 대해서 미분을 할 겁니다
y²을 y에 대해서 미분을 하고
다시 y를 x에 대해서 미분을 합니다
우리는 y가 x에 따라 변하며
상수가 아니라는 것임을
알고 있습니다
우리는 이 전체 식을
y에 대해서 미분을 할 겁니다
다시 한번 강조하자면 
이것은 그냥 연쇄법칙입니다

Chinese: 
这里求的是显函数微分
那么这里如何求微分呢？
同样的
也对等式两边运用
导数算子
用另一种颜色表示
把这些全擦掉
因为这已是大家
显而易见的了
把它全擦掉
对这个等式两边
运用导数算子
跟这上面的做法没什么区别
在代数中已学过
对等式一边做某种运算时
也必须同时对另一边
否则它就不再是等式了
运用导数算子
因为这里是对x求导
也可以对y求导
x^2+y^2
需对等式两边都求导 对吗？
100对x求导 对吗？

Czech: 
Tady první sčítanec jsme viděli mnohokrát,
rovná se to 2x na prvou.
Druhý sčítanec je zajímavější.
Derivace y na
druhou podle x.
Hlavní je si uvědomit, že tady můžeme
uplatnit pravidlo o složené funkci.
Počítáme derivaci výrazu podle x,
což je podle pravidla o složené funkci:
derivace y na druhou podle y,
mocninu můžeme brát jako funkci,
krát derivace y
podle x.
Předpokládáme, že y není konstanta,
že se jeho hodnota s x mění.
Takže derivujeme y na druhou podle y
podle pravidla o složené funkci.

Bulgarian: 
се получава като просто приложим правилото 
за намиране производна на степен.
Ще бъде равно на 
2 по x на първа степен.
Може просто да го запишем
 като 2x.
Сега интересното е това, което 
ще направим ето тук.
Производната спрямо x на y^2.
И, за да го реализираме, следва просто 
да приложим верижното правило.
Ако търсим производната спрямо
x на този израз, просто следва
да намерим производната –
 нека да го изясня –
просто ще намерим производната
 на този израз, т.е. на това нещо.
Производната на y^2 –
това е, което търсим
и може по някакъв начин
 да го разглеждаш като функция –
спрямо y, а след това да го умножиш 
по производната
на y спрямо x.
Предполагаме, че y се променя 
спрямо x.
y не е същият вид 
константа, която
просто записваме 
като общите членове.
Следователно търсим производната на
 ето този член, т.е. на цялото това нещо,
спрямо y.
Още веднъж, просто прилагаме 
верижното правило.

Portuguese: 
A derivada em relação a x de x ao quadrado
é apenas a regra da potência.
Vai ser dois vezes x elevado a um.
Podemos apenas dizer dois x.
Agora, o que é interessante é o que 
estamos fazendo bem aqui
a derivada em relação à x de y ao quadrado
-e a sacada aqui é aplicar apenas
a regra da cadeia-.
Se estamos calculando a derivada
em relação a x de alguma coisa
apenas temos que calcular a derivada
-vamos deixar isso claro,-
vamos calcular a derivada
da nossa alguma coisa.
A derivada de y ao quadrado, é o que
nós estamos pegando,
você pode fazer isso
como uma função em relação a y
e em seguida, multiplicar isso
vezes a derivada de y em relação a x.
Estamos assumindo que y muda
com relação a x; y não é algum tipo de
constante que estamos escrevendo
apenas em termos abstratos.
Estamos calculando a derivada
disto em relação à y.
Mais uma vez, apenas a regra da cadeia.

Thai: 
มันจะเท่ากับ 2 คูณ x ยกกำลังหนึ่ง
เราก็บอกว่า 2x
ทีนี้ สิ่งทีน่าสนใจคือสิ่งที่เราจะทำตรงนี้
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ y กำลังสอง
และสิ่งที่ต้องสังเกตตรงนี้คือการใช้กฎลูกโซ่
ถ้าเราหาอนุพันธ์เทียบกับ
x ของอะไรสักอย่างนี้ เราแค่
หาอนุพันธ์ -- ขอผมบอกให้ชัดนะ --
เราแค่หาอนุพันธ์ของอะไรสักอย่างของเรา
อนุพันธ์ของ y กำลังสอง -- นั่นคือสิ่งที่เราจะหา
คุณมองมันเป็นฟังก์ชัน -- เทียบกับ y
แล้วคูณมันด้วยอนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x
เราจะสมมุติว่า y เปลี่ยนเทียบกับ x.
y ไม่ใช่ค่าคงที่ที่เราจะ
เขียนเป็นเทอมๆ หนึ่งได้
เรากำลังหาอนุพันธ์ของทั้งหมดนี้
เทียบกับ y
ย้ำอีกครั้ง นี่คือแค่กฎลูกโซ่

English: 
It's going to be 2 times
x to the first power.
We could just say 2x.
Now what's interesting is what
we're doing right over here.
The derivative with
respect to x of y squared.
And the realization here is
to just apply the chain rule.
If we're taking the
derivative with respect
to x of this
something, we just have
to take the derivative--
let me make it clear--
we're just going to take the
derivative of our something.
The derivative of y squared--
that's what we're taking,
you can kind of view that as
a function-- with respect to y
and then multiply that
times the derivative of y
with respect to x.
We're assuming that y does
change with respect to x. y
is not some type of
a constant that we're
writing just an abstract terms.
So we're taking the
derivative of this whole thing
with respect to y.
Once again, just the chain rule.

Korean: 
그 후에 우리는 y를
x에 대해 미분을 할 겁니다
x에 대해서 미분을 하는 y를
x에 대한 함수라고 생각하는 것이
명확할 겁니다
 
아니면 x에 대한 함수
y의 제곱이라고 생각하는 것이
연쇄법칙을 사용할 때
더욱 더 명확하겠습니다
미분을 하려는 함수는
x²에 대한 함수이고
y²을 y에 대해 미분을 하고
y²을 y에 대해 미분을 하고
y를 x에 대해 미분을 한 것을 곱한다
이것이 연쇄 법칙입니다
이것을 강조하고 싶습니다
이것이 연쇄법칙입니다
그러니 연쇄법칙을 사용합시다
우변은 어떤 값을 나타냅니까?
다시 한번 써 보겠습니다
y²을 y에 대해 미분을 한 것은

Portuguese: 
E então estamos calculando a derivada
de y em relação a x.
Pode ser um pouco mais claro se
você pensou nisso como a derivada
em relação a x de y, como uma função de x.
Y como uma função de x.
Este pode ser - ou y
em função de x ao quadrado
que é uma outra forma
de escrever o que tivemos aqui.
Isso pode ser um pouco mais claro
em termos da regra da cadeia.
A derivada de y em função de x
ao quadrado em relação a y de x.
Assim, a derivada de algo quadrado,
a derivada
de algo quadrado em relação
a essa alguma coisa
vezes a derivada de algo
em relação a x.
Esta é apenas
a regra da cadeia.
Eu quero dizer isso uma e outra vez.
Esta é apenas a regra da cadeia.
Vamos fazer isso.
O que temos do lado direito aqui
-E escreverei isso aqui, também-
Isto seria igual a derivada de y
quadrado com relação a y.

Chinese: 
那么这是d/dx
标上方括号
刚才是圆括号 但应为方括号
x^2 +d/dx
y^2
100对x求导是什么？
对于x的每段变化 它变化多少？
它根本不变
恒为100 对吗？
所以它为0
常数关于
任何变量的导数
都为0 所以它只是0
x^2对x求导是什么？
这上面求过了 对吗？
这里求导时
只是每项分别求导
x^2对x求导 为2x
所以得到2x + 现在这一项
可能会有点困惑
将y^2对x求导

Bulgarian: 
След това намираме 
производната на y спрямо x.
Може да бъде малко по-ясно,
 ако мислиш за това
като за производната на y спрямо x,
т.е. като функция на x.
y функция на x.
Това може да бъде...
 или y е функция на x^2,
което всъщност е друг начин да запишем това, 
което ни е дадено по условие.
Това може да е малко по-ясно
в рамките на верижното правило.
Производната на y е функция
на x^2 спрямо y(x).
Следователно производната 
на нещо на квадрат,
спрямо това нещо, умножено по 
производната на това нещо спрямо x.
Това е просто верижното правило.
Искам да го напомня отново и отново.
Това е просто верижното правило.
Нека да го направим.
Какво ще получим 
отдясно ето тук?
Ще го запиша също ето тук.
Това ще бъде равно на
 производната на y^2

Czech: 
Derivaci y na druhou podle y
násobíme derivací y podle x.
Pro lepší představu vnímejte tohle jako
derivaci funkce y(x) podle x.
Nebo lépe, y(x) na druhou,
což už máme napsané tady.
Tenhle zápis lépe sedí do
pravidla o složené funkci.
Derivace výrazu na druhou podle tohoto
výrazu krát derivace výrazu podle x.
Opakuji to pořád dokola, tohle není
nic jiného než pravidlo o složené funkci.
Pojďme to spočítat, co 
máme na pravé straně?

English: 
And then we're taking
the derivative of y
with respect to x.
It might be a little bit
clearer if you kind of thought
of it as the derivative
with respect to x of y,
as a function of x.
This might be, or y is
a function of x squared,
which is essentially another way
of writing what we have here.
This might be a
little bit clearer
in terms of the chain rule.
The derivative of
y is a function
of x squared with
respect to y of x.
So the derivative of
something squared with respect
to that something, times the
derivative of that something,
with respect to x.
This is just the chain rule.
I want to say it
over and over again.
This is just the chain rule.
So let's do that.
What do we get on the
right hand side over here?
And I'll write it
over here as well.
This would be equal to the
derivative of y squared

Thai: 
แล้วเราจะหาอนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x
มันอาจเห็นชัดขึ้นถ้าคุณคิด
ถึงมันเป็นอนุพันธ์เทียบกับ x ของ y
เป็นฟังก์ชันของ x
 
อันนี้อาจเป็น y เป็นฟังก์ชันของ x กำลังสอง
ซึ่งก็คือวิธีเขียนสิ่งที่เรามีตรงนี้อีกวิธี
อันนี้อาจจะชัดกว่า
ในรูปของกฎลูกโซ่
อนุพันธ์ของ y เป็นฟังก์ชัน
ของ x กำลังสองเทียบกับ y ของ x
อนุพันธ์ของอะไรสักอย่างกำลังสอง เทียบกับ
อะไรสักอย่างนั้น คูณอนุพันธ์
ของอะไรสักอย่างนั้น
เทียบกับ x
นี่ก็แค่กฎลูกโซ่
ผมอยากบอกซ้ำแล้วซ้ำอีก
นี่ก็แค่กฎลูกโซ่
ลองทำกันดู
เราได้อะไรทางขวามือตรงนี้?
ผมจะเขียนตรงนี้ด้วย
อันนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของ y กำลังสอง

Bulgarian: 
спрямо y, т.е. просто ще бъде
 равно на 2 по y.
2y, просто приложение 
на верижното правило.
А производната на y спрямо x?
Е, не знаем на какво ще бъде равна.
Следователно просто ще го оставим 
като умножено по производната
на y спрямо x.
Нека просто да запишем 
това ето тук долу.
И така, получихме 2x плюс 
производната от нещо на квадрат,
спрямо това нещо, т.е. плюс 
два пъти по това нещо.
В този случай, това нещо е y, 
така че два пъти по y.
След това умножаваме по 
производната на y спрямо x.
И всичко това ще бъде 
равно на нула.
Това беше интересно.
Сега имаме уравнение, което 
съдържа производната
на y спрямо x в себе си.
Това всъщност е нещото, което
 искаме да получим от уравнението.
Това е наклонът на допирателната
 във всяка точка.
Всичко, което искаме 
да направим в този момент,
е да решим уравнението за 
производната на y спрямо x.

Czech: 
Derivace y na druhou podle
y se bude rovnat 2y.
A hodnotu derivace y podle x ještě
neznáme, takže to sem prostě opíšu.
Přepíšu to sem.
Máme 2x plus derivaci y na druhou
podle y, což bude 2y,
krát derivace y podle x,
a to celé se bude rovnat 0.
Dostali jsme se k rovnici, jež má v sobě
zakomponovanou derivaci y podle x.
To je přesně to, co chceme, tato část
vyjadřuje sklon tečny v libovolném bodě.

English: 
with respect to y, is just
going to be 2 times y.
2 times y, just an
application of the chain rule.
And the derivative of
y with respect to x?
Well, we don't
know what that is.
So we're just going to leave
that as times the derivative
of y with respect to x.
So let's just write
this down over here.
So we have is 2x plus the
derivative of something
squared, with respect to
that something, is 2 times
the something.
In this case, the something
is y, so 2 times y.
And then times the derivative
of y with respect to x.
And this is all going
to be equal to 0.
Now that was interesting.
Now we have an equation
that has the derivative
of a y with respect to x in it.
And this is what we
essentially want to solve for.
This is the slope of the
tangent line at any point.
So all we have to do
at this point is solve
for the derivative of
y with respect to x.

Portuguese: 
Vai ser apenas dois vezes y, dois y;
apenas uma aplicação da regra da cadeia.
E a derivada de y em relação à x,
Bem, não sabemos o que é, por isso, vamos
só deixar isso
vezes a derivada de y
vezes a derivada de y
em relação a x.
Vamos escrever isso aqui.
Então, o que temos é, dois x mais dois x
mais a derivada de algo quadrado
em relação a algo que é duas vezes o
algo no caso, no presente caso,
o algo é tão duas vezes y e,
em seguida, vezes a derivada de y
a derivada de y em relação a x
tudo isso será igual a zero.
Isso foi interessante.
Agora temos uma equação que tem a
derivada de y em relação
a x nele e isso é o que, essencialmente,
queremos resolver
É a inclinação da reta tangente
em qualquer ponto,
então tudo que temos de fazer
neste momento é resolver

Thai: 
เทียบกับ y มันจะเท่ากับ 2 คูณ y
2 คูณ y ก็แค่การใช้กฎลูกโซ่
และอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x คืออะไร?
เราไม่รู้ว่ามันคืออะไร
เราจะปล่อยมันเป็น คูณอนุพันธ์
ของ y เทียบกับ x
ลองเขียนอันนี้ข้างล่างนะ
เราก็ได้ 2x บวกอนุพันธ์ของอะไรสักอย่าง
กำลังสอง เทียบกับอะไรสักอย่างนั้น ได้ 2 คูณ
อะไรสักอย่างนั้น
ในกรณีนี้ อะไรสักอย่างนั่นคือ y
ได้  2 คูณ y
แล้วคูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
แล้วอันนี้จะเท่ากับ 0 หมด
ทีนี้ อันนั้นน่าสนใจ
ตอนนี้เรามีสมการที่มีอนุพันธ์
ของ y เทียบกับ x อยู่ในนั้น
และนี่คือสิ่งที่เราอยากแก้หา
นี่คือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดใดๆ
ที่เราต้องทำที่จุดนี้ คือแก้
หาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x

Chinese: 
在这边算一下
也不是每次求隐函数
微分时都要这样算
但这么做 是为了让大家明白
具体怎么算的
这里定义g=y^2
设这是g
将g对x求导
那么这两边运用导数算子
标上导数算子
这边d/dx
这边d/dx
这是d 就这样吧
得到dg/dx
=d(y^2)/dx
到现在 还没做什么
只是重写下来
但链式法则是指什么呢？

Korean: 
2y이고
이것은 그냥 미분을 한 것입니다
y를 x에 대해 미분을 한 것은요?
우리는 이것을 잘 모릅니다
그러니 우리는 그냥 그것을
dy/dx로 놔둘 것입니다
다시 한번 써보도록 하겠습니다
우리가 얻은 식은 2x에
y²을 y에 대해 미분한
2y
2y
곱하기 dy/dx를 더한 것입니다
그리고 이 식은 0이 됩니다
흥미롭습니다
우리는 식에 dy/dx를 가지고 있고
우리는 식에 dy/dx를 가지고 있고
이것이 우리가 얻고자 하는 것입니다
이것이 임의의 점에서의 
접선의 기울기입니다
그러니 우리가 할 것은
dy/dx를 구하는 것입니다

English: 
Solve this equation.
So let's do that.
And actually just so we
can do this whole thing
on the same page so we can see
where we started, let me copy
and paste this up here.
This is where we left off.
And let's continue there.
So let's say let's subtract
2x from both sides.
So we're left with 2y
times the derivative of y,
with respect to x, is equal
to-- we're subtracting 2x
from both sides-- so it's
equal to negative 2x.
And if we really want to
solve for the derivative of y
with respect to x, we can
just divide both sides by 2y.
And we're left with
the derivative of y
with respect to x.
Let's scroll down a little bit.
The derivative of
y with respect to x
is equal to, well
the 2s cancel out.
We we're left with
negative x over y.

Czech: 
Teď už jen zbývá vyřešit
naši rovnici, jdeme na to.
Jen to celé překopíruji sem doprava,
abychom měli výpočet na jedné straně.
Odečtu od obou stran 2x, takže derivace y
podle x krát 2y se rovná minus 2x.
A abychom spočítali hodnotu naší
derivace, vydělíme obě strany 2y,
Získáme, že se derivace y podle x rovná
minus x lomeno y, dvojka se nám vykrátí.

Chinese: 
链式法则是指
保持同一颜色
我一直在换颜色
任意变量对x求导
或者说 对另一变量求导
=g对y求导
乘以 y对x求导
如果你还未完全理解
链式法则 还有多种方法算它
在微分和积分中见到的
所有这些dg和dy
它们都是指
g的微小变化
y的微小变化 x的微小变化
那么相乘时 可以把它们看成
y的这个微小变化
跟y的这个微小变化一样
它们实质上是分数
可以抵消掉
正因为这样才得到了dg
/dx 即g关于x的导数

Korean: 
방정식을 풀어보도록 하겠습니다
방정식을 풀어보도록 하겠습니다
이 식을 복사해서
옆으로 붙여넣겠습니다
옆으로 붙여넣겠습니다
옆으로 붙여넣겠습니다
여기서 계속 하겠습니다
양변에서 2x를 빼면
2y×(dy/dx)는
-2x와 같음을
구했습니다
dy/dx를 구하고 싶다면
우리는 그냥 양변을 2y로 나누면 됩니다
 
그러면 dy/dx는
그러면 dy/dx는
그러면 dy/dx는
그러면 dy/dx는
2가 약분되므로
－x/y임을 구했습니다

Bulgarian: 
Решаваме уравнението.
Нека да го направим.
И, за да може да направим 
цялото това нещо
на същата страница, за да виждаме 
откъде сме започнали, ще копирам
и поставя това ето тук горе.
Ето тук е, където спряхме.
Нека да продължим от там.
Нека да извадим 2x от 
двете страни на уравнението.
Остава 2y по производната на y
спрямо x, е равно на...
Изваждаме 2x
от двете страни, т.е. 
е равно на –2x.
И ако искаме да получим на колко
 е равна производната на y
спрямо x, следва просто
да разделим двете страни на 2y.
Просто разделяме 
двете страни на 2y.
Остава ни производната на y 
спрямо x.
Нека да слезем малко по-надолу.
Производната на y спрямо x
е равна на...
Тези двойки се съкращават.
Тогава оставаме с минус x върху y.

Portuguese: 
a derivada de y em relação a x;
resolver essa equação.
Faremos isso -e, para que possamos
fazer essa coisa toda na mesma página
para que você
possa ver onde começamos;
deixe-me copiar e colar este aqui em cima.
Aqui é onde paramos
e por onde continuaremos.
Então, vamos subtrair dois x
de ambos lados e ficaremos
com dois y vezes a derivada de y
em relação a x é igual a-
estamos subtraindo dois x de ambos lados,
por isso é igual a menos dois x.
E se queremos resolver
para a derivada de y em relação a x,
podemos apenas dividir
ambos lados por dois y.
Apenas dividimos ambos os lados
por dois y e ficamos com
a derivada de y em relação a x.
-Vamos descer um pouco- a derivada
de y em relação a x, é igual a
É igual a - os dois se cancelam-
Ficamos com x negativo.
Menos x sobre y.

Thai: 
แก้สมการนี้
ลองทำกันดู
และเราทำทั้งหมดนี้
ในหน้าเดียว เราจะได้เห็น
จุดที่เราเริ่ม ขอผมลอก
และวางอันนี้บนนี้
นี่คือสิ่งที่เราทิ้งไว้
แล้วลองต่อตรงนี้
บอกว่า ลองลบ 2x จากทั้งสองด้าน
เราจะเหลือ 2y คูณอนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x เท่ากับ -- เราจะลบ 2x
จากทั้งสองข้าง -- มันจึงเท่ากับลบ 2x
และถ้าเราอยากแก้หาอนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x เราก็แค่หารทั้งสองข้างด้วย 2y
 
และเราจะเหลือแค่อนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x
ลองเลื่อนลงมาหน่อย
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
เท่ากับ, 2 นี่ตัดกัน
เราจึงเหลือลบ x ส่วน

Bulgarian: 
Това е интересно.
Не беше необходимо 
изрично да дефинираме y
като функция на x тук.
Но получихме производна 
като зависимост от x и y.
Не само като зависимост на x.
Какво означава това обаче?
Да кажем, че искахме 
да намерим например...
да намерим производната 
в тази точка ето тук.
Което, ако ти е позната 
единичната окръжност,
ако това е ъгъл от 45 градуса, 
това щеше да е равно на
(квадратен корен от 2 върху 2; 
квадратен корен от 2 върху 2)
Какъв е наклонът 
на допирателната там?
Е, ще го намерим.
Ще бъде равен на минус x върху y.
Наклонът на допирателната тук...
Наклонът на допирателната точно в тази точка
ще бъде равен на минус x...
Тоест минус квадратен корен от 2 
върху 2, върху y.
Или върху квадратен корен от 2 върху 2,
 което означава, че резултатът е –1.

Portuguese: 
Isso é interessante.
Não tivemos que definir y explicitamente
como uma função de x,
mas temos a nossa derivada
em termos de um x e um y;
não apenas em termos de um x.
Mas o que isso significa?
Bem, se quiséssemos encontrar-
Digamos que queria
encontrar a derivada neste ponto aqui.
-Se estiver familiarizado 
com o círculo unitário-
Portanto, se este foi um, 
se isso era um ângulo de 45 graus,
isso seria a raiz quadrada
de dois sobre dois,
a raiz quadrada de dois sobre dois.
Qual é a inclinação da reta tangente?
Bem, descobrimos que será menos x sobre y.
Assim, a inclinação da reta tangente
bem aqui, a inclinação será igual
a x negativo; então raiz 
quadrada negativa de dois sobre dois
sobre y; sobre a raiz quadrada
de dois sobre dois,

English: 
So this is interesting.
We didn't have to us
explicitly define y
as a function of x here.
But we got our derivative
in terms of an x and a y.
Not just only in terms of an x.
But what does this mean?
Well, if we wanted
to find, let's
say we wanted to find the
derivative at this point
right over here.
Which, if you're familiar
with the unit circle,
so if this was a
45 degree angle,
this would be the square
root of 2 over 2 comma
the square root of 2 over 2.
What is the slope of
the tangent line there?
Well, we figured it out.
It's going to be
negative x over y.
So the slope of the
tangent line here
is going to be
equal to negative x.
So negative square root
of 2 over 2 over y.
Over square root of 2 over 2,
which is equal to negative 1.

Czech: 
Tohle je zajímavé, nemuseli jsme
definovat dvě různé funkce y,
hodnotu derivace máme určenou nejen
ve vztahu k x, ale zároveň také k y.
Co to ale znamená?
Inu, pokud bychom chtěli najít
derivaci třeba v tomto bodě...
Pokud je zde úhel 45°, bude bod [odmocnina
z 2 lomeno 2 ; odmocnina z 2 lomeno 2],
jaký je tu sklon tečny?
Víme, že se bude rovnat minus x, což
je minus odmocnina z 2 lomeno 2,
lomeno y, což je
odmocnina z 2 lomeno 2.

Thai: 
อันนี้น่าสนใจ
เราไม่ต้องนิยามโดยตรงว่า y
เป็นฟังก์ชันของ x อย่างไรตรงนี้
แต่เราได้อนุพันธ์ในรูปของ x กับ y
ไม่ใช่แค่ในรูปของ x
แต่อันนี้หมายความว่าอะไร?
ถ้าเราอยากหา สมมุติว่า
เราอยากหาอนุพันธ์ที่จุดนี้
ตรงนี้
ถ้าคุณคุ้นกับวงกลมหน่วย
ถ้านี่คือมุม 45 องศา
อันนี้จะเท่ากับรากที่สองของ 2 ส่วน 2 จุลภาค
รากที่สองของ 2 ส่วน 2
ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นเท่าใด?
เราหาได้
มันจะเท่ากับลบ x ส่วน y
ความชันของเส้นสัมผัสตรงนี้
จะเท่ากับลบ x
ลบรากที่สองของ 2 ส่วน 2 ส่วน y
ส่วนรากที่สองของ 2 ส่วน 2 ซึ่งเท่ากับลบ 1

Chinese: 
这就是链式法则的含义
那么根据这链式法则
怎么求出它呢？
已知道dg/dx
=dg/dy
但已知g=y^2了
一开始就是
这么定义的
那么g对y求导是什么？
为2y 只需用求导法则
或 多项式法则
但愿大家确信它们讲得通
因为已录过几集证明的视频
然后乘以 dy/dx
这是未知的 实际上
正是这里要求的
那么dg/dx
=2y·(dy/dx)
而g就相当于y^2 对吗？
那么这是对g求导
通常对它求导时
不必这样代换成g 从头

Korean: 
흥미롭습니다
우리는 y에 x에 대한 함수식을
대입하지 않았습니다
하지만 우리는 x로만 이루어진 것이 아니라
y와 x로 이루어진 미분식을 구했습니다
이것은 무엇을 의미하는 걸까요?
우리가 구하고자 하는 것은
이 점에서의 미분계수 값입니다
이 점에서의 미분계수 값입니다
단위원이라고 가정하고
각도가 45도이면
(√2/2.√2/2)입니다
(√2/2.√2/2)입니다
이 점에서의 접선의 기울기는 무엇일까요?
구해봅시다
-x/y가 됩니다
접선의 기울기는
-x인 √2/2를
√2/2인 y로 나눈 값입니다
값은 -1입니다

Korean: 
잘 구한 것 같습니다

Czech: 
Sklon se rovná −1,
což odpovídá i grafu.

Bulgarian: 
И това изглежда наистина правилно.

Chinese: 
算到尾
这里只是为让大家理解
那么它的导数是什么？
由链式法则 应为这个式子
对y求导 即2y
乘以dy/dx =0
如果机械的按步骤算 其实很简单
只需把y当作x
求导 然后乘以
y对x求导
机械地算很简单
但希望大家理解
这是由链式法则得来的
其实链式法则本身
并非是个奇怪的概念
只是分数相乘
这里清理出一些空间
解完这道题
然后再讲一个
必须求隐函数微分的例子
这个题我只是想告诉大家
求隐函数的微分是很有用的
把这部分清除

Thai: 
มันจึงดูถูกต้อง

Portuguese: 
que é igual a menos um
e parece que está certo.
Legendado por [Soraia Novaes]
Revisado por [Pilar Dib]

English: 
And that looks just about right.

Chinese: 
把它清除 就这样
把它们都清除 以备多讲一些内容
现在可以求y关于x
的导数
两边同减去2x
得到2y(dy/dx)=
只是两边同减去了2x
得到什么？
得到dy/dx= 两边同除以2y
2抵消了 得到-x/y
这个式子很有趣 对吗？
因为这表示什么？
这是半径为10的圆的方程 对吗？
你懂的 r^2
如果学过三角函数及相关知识
就知道 它表示圆在任意点处的斜率
=-x/y

Chinese: 
由三角函数可知 x为cos
y为sin
因此很有趣 它表示了
导数和正切值是如何相关的
但这里不细讲
只是讲隐函数微分
但有时思考一下也很有意思
那么它跟以前学过的
有什么区别呢？
这里的导数
实际上是关于
x和y值的函数
如果觉得这里y有点怪
如果不喜欢这样 可以代换
这里把y解出来
得到y^2=100-x^2
然后y=±
√(100-x^2)
只需把它代到这儿
dy/dx的另一种写法
有时会见到y'
只是换了一种表示法 熟悉一下

Chinese: 
=-x/(±√
(100-x^2))
从某种程度上说 因为这下面有±
这减号没关系 对吗？
因为这是减号时 它变成+
这是加号时 它变成- 所以可忽略
这里思考一下的话也很有趣
总之 它很有趣
因为习惯上见到的求导数
还没有这样的±
所以可能会比较有意思
现在讲一个
稍难一点的例子
也不算是难题 但其实
我第一次碰到它
可能是在备战AP微积分考试时
也可能就是在AP微积分考试中
所以大家可能也会碰到
但它很简捷
设y=x^x
一开始会觉得很简单
可以用幂法则 或
链式法则 这有两个x
但可能要暂停下来
对它思考一番
因为这道题其实

Chinese: 
没那么直接
尽管这里
y是由x明确定义的
如果给定x=3
就得出y=3^3=27
这是显函数
明确用x定义了y
但很难通过显函数微分来算
这是难点所在
那么取自然对数
或者也可取任何对数
这里对等式两边
取自然对数
得到lny=
ln(x^x)
为什么这么做呢？
因为现在可以用
对数性质
已知log(a^b)=b·loga
如果忘了的话 可以去看
指数性质的视频
那么用这个性质将它写成
换一种颜色表示
得到lny

Chinese: 
=x·lnx
现在可对它求隐函数微分
等式两边对x
求导
再换颜色 d/dx
把它写出来 这样能看到是怎么算的
=d/dx(x·lnx)
那么这个式子对x求导
=这个式子
对y求导
乘以dy/dx
那么它对y求导是什么呢？
是1/y
根据链式法则 1/y乘以
dy/dx
只需机械的按步骤算
如果想确保做的对
只要将它对y求导
再乘以dy/dx
只是链式法则

Chinese: 
= 现在对它求导
只需用乘积法则
第一项的导数 对吗？
是它乘以它
x的导数是什么？ 是1
所以1·lnx
+第二项的导数1/x
乘以第一项x
把上面清除
已经超时了 但我现在是YouTube合作伙伴了
所以时间可以加长
但我不想讲的太久
大家会感到厌倦
好了 对它化简
得到(1/y)dy/dx=lnx+
它抵消了 变成1 对吗？
那么dy/dx
=y
只是等式两边同乘以y

Chinese: 
y·(lnx+1)
现在可以说做完了
但有些人不喜欢这种形式
y随x的变化率
不喜欢定义成关于y的式子
所以代换一下
已知y=x^x
所以它=x^x·
(lnx+1)
另一种写法是y'
即y随x的变化率
或 曲线任意点处的斜率
=(x^x)lnx
+x^x
只是将x^x分配
但它很简捷
这算是书上碰到的
五星级难题了
数学竞赛中或许会碰到它
让人印象深刻
而令人印象更深刻的是
能认出这个形式
逆推出它是谁的导数
认出它是x^x的导数
这集讲的时间太长了
下一集再见
