Zdravím, Panta Rhei, vítejte u nového videa!
Dneska odvodím Stokesův zákon! Respektive stokesův odporový vzorec,
který je napsaný zde
Ponoříme-li těleso do kapaliny, která kolem něho obtéká,
působí na toto těleso silou
ve směru toku.
Zapomněl jsem poznamenat, že toto těleso by mělo být kulového tvaru.
Nebo ekvivalentně, kapalinu si můžete představit nepohybující se a
pohyb vykonává těleso
opačným směrem (dolů).
Odvoďme nyní tento vzorec z principů hydrodynamiky!
Nejdříve vám objasním jak tato síla vůbec může vzniknout.
Jsou zde dva přispěvatelé :
První je rozdíl tlaků,
protože jak jistě víte z Bernoulliova vztahu, tlak se mění, když se mění rychlost kapaliny.
A zde tomu je právě tak.
Tlak je jiný na na horní polokouli,
než na severní, kde je nižší.
To je příčinou síly ve směru toku kapaliny.
Druhý příspěvek pochází od smykového tření.
Závislost rychlosti kapaliny tekoucí podél povrchu bude vypadat nějak takto.
Rychlost kapaliny přímo na povrchu je nula, dále od něho se zvětšuje po vrstvách.
Nakonec rychlost dosáhne své terminální hodnoty
shodné s rychlostí pohybující se kapaliny v nekonečnu
označenou symbolem "v nekonečno".
Každá vrstva od povrchu se pohybuje rychleji,
to má za následek vznik smykového tření.
Lépe řečeno vznik smykového napětí mezi vrstvami,
které pak působí silou na povrch tělesa
ve směru toku kapaliny.
To jsou všechny dílčí síly,
které společně přispívají do výsledné síly
konkrétně Stokesovy síly.
Skvěle!
Odvodíme nyní Stokesovu formuli,
začneme konstitutivní relací,
se kterou jste již možná obeznámeni.
Představme si elementární krychli naší kapaliny,
na každý z jejích povrchů působí napěťové síly,
které můžeme shrnout do napěťového tenzoru.
Ten je dán v případě newtonovských kapalin takto :
minus tlak krát jednotková matice
plus eta,
což je dynamická viskozita,
krát gradient rychlostního pole plus to samé transponovaně.
Toto je obecný vztah pro napěťový tenzor.
Je přirozené psát tento vztah takto,
protože je to přesně jakási prostorová derivace
rychlostního pole v.
To nám říká, že příspěvek napětí
souvisí se změnou rychlosti v jednotlivých vrstvách tak,
jak jsme to předpokládali.
Druhý potřebný vztah je rovnice kontinuity,
neboli zákona zachování hmoty :
"co jde dovnitř, musí i ven".
Tuto rovnici napišme...
Budeme idealizovat naše tečení předpoklady.
Naše kapalina buď nestlačitelná,
to znamená, že "rho" (hustota) je konstantní.
Tím myslím i konstantní v čase,
proto tento člen s časovou derivací zanedbáme.
Rovněž můžeme vytknout před závorku.
Rovnice se tedy zjednoduší.
Divergence v je nula.
Další rovnice pochází ze zákona zachování hybnosti,
která nám v podstatě říká,
že síla je rovna hmotnosti krát zrychlení (II. Newtonův zákon).
Hydrodynamický ekvivalent tohoto zákona říká toto :
Hustota "rho" krát derivace rychlosti (zrychlení)
je rovno objemové síle působící v těžišti elementárního krychle
plus sílám působícím na jejím povrchu.
Jejich příspěvek je dán divergencí tenzoru napětí.
Dále si všimněme,
že tato materiálová derivace může být vyjádřena jako součet parciální podle času
plus skalárního součinu rychlostního pole se svým gradientem
Tento druhý člen však ihned zanedbáme,
poněvadž je kvadratický ve "v", které považujeme za malé.
První člen je také nulový,
rychlostní pole předpokládáme stacionární a nevyvíjící se v čase.
Můžeme toho docílit, že upevníme kouli v kapalině tyčí tak,
aby nebyla unášena proudem kapaliny podél proudnic,
ve stacionárním případě schodnými s trajektoriemi.
Další věc, kterou zanedbáme,
budou objemové objemové síly.
Tím se samozřejmě zjednoduší rovnice zákonu zachování hybnosti.
Po vložení konstitučního vztahu do předchozí rovnice
dostaneme následující vztah...
Gradient "p" je roven "eta" krát laplacián "v".
Proč?
Divergence minus "p" krát jednotková matice je roven gradient "p".
Tento člen přesuneme na levou stranu rovnice.
Divergence prvního z dvou členů ze smykového příspěvku dá laplacián "v"
a divergence druhého (transponovaného) je díky rovnici kontinuity automaticky nula.
Přežije jen člen s laplaciánem.
První rovnici vycházející z rovnice kontinuity již máme - divergence "v" je nula.
Tyto dvě rovnice definují tzv. "Stokesovo tečení".
No a my je vyřešíme.
Začněme nejdříve krátkým přehledem vztahů z vektorového kalkulu,
budou se hodit při počítání s křivočarými souřadnými systémy!
Konkrétně se sférickým a cylindrickým.
Sférické souřadnice je trojice tří čísel určující bod v prostoru.
První z nich je tzv. "radiální" souřadnice (vzdálenost od středu) s asociovaným normálovým vektorem.
Druhá je polární úhel "theta" měřený od severního pólu
opět s normálovým vektorem ve směru jejího největšího růstu.
Třetí je úhlová souřadnice zeměpisné šířky "phi",
opět s asociovaným vektorem, kolem dokola koule.
... Hele tohle je hrozná piplačka, kašlu na to, nauč se anglicky a vrať se na toto video až to budeš umět :D ...
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
