
German: 
Im nächsten Kapitel - zur Taylorreihe - werde ich mich immer wieder auf Ableitungen höherer Ordnung beziehen.
Wenn du bereits vertraut bist mit zweiten, dritten, etc. Ableitungen - wunderbar!
Dann gehe ruhig jetzt schon zum Hauptteil, du würdest meine Gefühle damit nicht verletzen.
Aber irgendwie habe ich es geschafft, Ableitungen höherer Ordnung in dieser Serie bis jetzt noch überhaupt nicht heranziehen zu müssen,
aber der Vollständigkeit halber dachte ich, mache ich hier eine kleine Fußnote, in der ich
das Thema kurz erkläre.
Ich werde den Fokus vor allem auf die zweite Ableitung legen, zeige, wie sie im Kontext
von Graphen und Bewegungen aussieht und lasse dich dann über Analogien für höhere Ordnungen nachdenken.
Gegeben sei eine Funktion f(x), ihre Ableitung kann als die Steigung des Graphen an einem bestimmten Punkt interpretiert werden, ja?
Eine steile Steigung bedeutet, dass die Ableitung sehr groß ist, eine fallende Steigung, dass sie negativ ist.
Die zweite Ableitung, deren Schreibweise ich gleich erklären werde, ist die Ableitung der

French: 
Dans le prochain chapitre à propos des séries de Taylor,
je vais utiliser abondamment les dérivées d'ordre supérieures.
Si vous êtes déjà à l'aise avec les dérivées secondes, troisièmes, etc.
C'est bien.
Sentez vous libres d'aller voir la vidéo principale maintenant, cela ne me dérangera aucunement.
Mais j'ai réussi d'une manière ou d'une autre à ne pas parler de dérivées d'ordre supérieur jusqu'ici,
donc, pour un soucis d'exhaustivité, j'ai pensé faire cette petite note de bas de page
afin de les présenter brièvement.
Je vais me concentrer principalement sur la dérivée seconde, en montrant à quoi cela correspond graphiquement
et d'un mouvement, et vous laisser réfléchir sur les analogies pour les ordres plus élevés.
Étant donné une fonction f(x), la dérivée peut être interprétée comme la pente de la courbe
pour un point donné, OK?
Une pente raide correspond à une valeur élevée pour la dérivée,
une pente descendante signifie une dérivée négative.
La dérivée seconde, dont la notation sera expliquée dans un instant, est la dérivée de

Spanish: 
En el siguiente capítulo, sobre las series de Taylor,
Hago  frecuentemente hago referencia  a derivadas
de orden superior.
Y, si ya estás cómodo con
"segundas derivadas, terceras derivadas , etc"
¡Bien!
Siente libre de  saltar a la  derecha por delante hacia el  principal
evento ,ahora, no vallas  a herir mis sentimientos.
Pero de alguna manera me las he arreglado para no traer
derivadas de orden superior en absoluto en lo que va de  la
serie, por lo que, en aras de la exhaustividad,
pensé que le daría esta pequeña nota al pie
muy brevemente e ir sobre ellos.
Me centraré principalmente en la segunda derivada,
mostrando cómo se ve en el contexto
de gráficos y movimiento, y dejar de pensar
en las analogías de órdenes superiores.
Dada alguna función f (x), la  derivada
puede interpretarse como la pendiente de su gráfica en
alguna entrada, ¿verdad?
Una pendiente empinada significa un alto valor para la derivada,
una pendiente hacia abajo significa una derivada negativa.
La segunda derivada, cuya notación voy
explicar en un momento, es la derivada de

English: 
In the next chapter, about Taylor series,
I make frequent reference to higher order
derivatives.
And, if you’re already comfortable with
second derivatives, third derivatives and
such, great!
Feel free to skip right ahead to the main
event now, you won’t hurt my feelings.
But somehow I’ve managed not to bring up
higher order derivatives at all so far this
series, so for the sake of completeness, I
thought I’d give this little footnote to
very briefly go over them.
I’ll focus mainly on the second derivative,
showing what it looks like in the context
of graphs and motion, and leave you to think
about the analogies for higher orders.
Given some function f(x), the derivative can
be interpreted as the slope of its graph above
some input, right?
A steep slope means a high value for the derivative,
a downward slope means a negative derivative.
The second derivative, whose notation I’ll
explain in a moment, is the derivative of

Polish: 
W następnym filmie będę mówił o szeregu Taylora.
Będę korzystał z pochodnych wyższych rzędów.
Jeśli wiesz, co to jest, świetnie!
Możesz pominąć ten film i przejść do następnego.
Jakimś cudem udało mi się nie wspomnieć o
pochodnych wyższych rzędów w poprzednich filmach.
Żeby uzupełnić te braki, postanowiłem teraz
pokrótce wytłumaczyć, o co chodzi.
Skupię się na drugiej pochodnej, pokazując jej
znaczenie w wykresach funkcji i opisie ruchu.
Wyższe pochodne zostawię tobie do kontemplacji.
Dla danej funkcji f(x) na jej pochodną możemy patrzeć
jak na współczynnik kierunkowy
stycznej do wykresu w danym punkcie.
Duży współczynnik oznacza dużą wartość pochodnej,
prosta skierowana w dół oznacza ujemną pochodną.
Druga pochodna, której oznaczenie wyjaśnię za chwilę,
to pochodna pochodnej.

Slovak: 
V ďalšej lekcii budem hovoriť o Taylorových radoch, kde budem často referovať na derivácie vyšších stupňov.
A ak už poznáte derivácie druhého stupňa, tretieho stupňa,
a tak ďalej, výborne!
V tom prípade môžete ísť priamo k hlavnému vidu, neublížite mi.
No nejako sa mi doposiaľ podarilo nespomenúť derivácie vyššieho stupňa
počas celej série, a aby to bolo kompletné, povieme si o tom niečo
aby sme mohli pokračovať ďalej.
Zameriam sa hlavne na derivácie druhého stupňa, ukážeme si ako to funguje
na grafoch a pohybe, a nechám vás aby ste rozmýšľali o podobnostiach s vyššími stupňami.
Ak máme danú funkciu f(x), derivácia môže byť vyjadrená ako sklon grafu
v určitom bode, však?
Strmý sklon znamená väčšiu hodnotu pre deriváciu, sklon smerujúci dolu znamená zápornú deriváciu.
derivácia druhého stupňa, ktorej zápis vysvetlím o chvíľu, je derivácia derivácie,

Polish: 
Mówi ona, jak zmienia się nachylenie stycznej.
Możesz to zobaczyć na wykresie f(x),
patrząc na wypukłość krzywej.
Tam, gdzie f(x) zakrzywia się do góry, nachylenie rośnie,
więc druga pochodna jest dodatnia.
Tam, gdzie skręca w dół, nachylenie maleje,
więc druga pochodna jest ujemna.
Przykład: dla tej funkcji druga pochodna w punkcie 4
jest bardzo duża, bo nachylenie stycznej
gwałtownie rośnie przy tym punkcie.
Dla takiej funkcji natomiast
druga pochodna wciąż jest dodatnia, ale mniejsza,
bo styczna wolniej zmienia swój kąt nachylenia.
Tam, gdzie nie ma żadnej krzywizny,
druga pochodna jest równa 0.
Jeśli chodzi o notację, to mógłbyś pisać to tak,

Spanish: 
la derivada, lo que significa es que te dice la forma en que la 
pendiente está cambiando.
La manera de ver esto a simple vista es pensar
 cómo la gráfica de f  (x) se curva.
En los puntos donde se curva hacia arriba, la pendiente
está aumentando, por lo que la segunda derivado es
positiva.
En los puntos donde se curva hacia abajo, la pendiente
está disminuyendo, por lo que la segunda derivada es
negativa.
Por ejemplo, un gráfico como este tiene una muy
segunda derivada  muy positiva en la entrada 4,
ya que la pendiente está aumentando rápidamente alrededor
de ese punto, mientras que un gráfico como este todavía
tiene una segunda derivada positiva en ese mismo
punto, pero es más pequeña, ya que la pendiente
está aumentando lentamente.
En los puntos donde no hay realmente ninguna curvatura,
la segunda derivada es cero.
En cuanto a la notación , tú podrías intentar escribirla
como esta, lo que indica un pequeño cambio

English: 
the derivative, meaning it tells you how that
slope is changing.
The way to see this at a glance is to think
of how the graph of f(x) curves.
At points where it curves upward, the slope
is increasing, so the second derivative is
positive.
At points where it curves downward, the slope
is decreasing, so the second derivative is
negative.
For example, a graph like this has a very
positive second derivative at the input 4,
since the slope is rapidly increasing around
that point, whereas a graph like this still
has a positive second derivative at that same
point, but it’s smaller, since the slope
is increasing only slowly.
At points where there’s not really any curvature,
the second derivative is zero.
As far as notation goes, you could try writing
it like this, indicating some small change

German: 
Ableitung, das heißt, sie zeigt, wie die Steigung sich ändert.
Um das auf einen Blick zu sehen, müssen wir überlegen, wie der Graph von f(x) sich krümmt.
An Punkten, an dem er sich aufwärts krümmt, vergrößert sich die Steigung, also ist die zweite Ableitung
positiv.
An Punkten, an dem er sich abwärts krümmt, verringert sich die Steigung, also ist die zweite Ableitung
negativ.
So ein Graph hat zum Beispiel eine sehr positive zweite Ableitung an der Stelle x = 4,
weil sich die Steigung um diesen Punkt sehr schnell vergrößert, wohingegen so ein Graph zwar auch
eine positive, zweite Ableitung am selben Punkt hat, aber sie ist kleiner, weil sich die Steigung
nur langsam vergrößert.
An Punkten, an denen nicht wirklich eine Krümmung existiert, ist die zweite Ableitung null.
So weit wie Definitionen gehen, könntest du versuchen, sie so zu schreiben, also eine kleine Änderung

French: 
la dérivée, ce qui signifie qu'il vous indique comment la pente change.
La façon de voir cela en un coup d'oeil est de réfléchir à la manière dont le graphe de f(x) se courbe.
Aux endroits où elle se courbe vers le haut, la pente augmente, de sorte que la deuxième dérivée est
positive.
Aux endroits où elle se courbe vers le bas, la pente diminue, donc la dérivée seconde est
négative.
Par exemple, un graphique comme celui-ci a une dérivée "très" positive pour une abscisse de 4,
étant donné que la pente augmente rapidement autour
ce point, alors qu'un graphique comme celui-ci
a encore une dérivée seconde positive à ce même point, 
mais il est plus petit, car la pente
augmente plus lentement.
Aux endroits où il n'y a pas vraiment de courbure,
la dérivée seconde est nulle.
En ce qui concerne la notation, vous pouvez essayer de l'écrire 
comme ceci, ce qui indique un petit changement

Slovak: 
znamenajúc, že vyjadruje ako sa sklon mení
Dôležité je si predstaviť krivku daného grafu funkcie f(x)
V bodoch, kde sa zahýba smerom hore, sklon stúpa, a teda druhá derivácia je
pozitívna.
V bodoch, kde sa zahýba smerom dole, sklon klesá, a teda druhá derivácia je
negatívna.
Ku príkladu, graf ako tento má veľmi kladnú druhú deriváciu v bode x=4,
pretože sklon v tomto bode rapídne stúpa, zatiaľčo v grafe ako je tento
má druhá derivácia v tom istom bode tiež kladnú hodnotu, no menšiu, pretože
sklon stúpa pomalšie
V bodoch, kde nie je žiadne zakrivenie, je druhá derivácia rovná nule.
Čo sa týka zápisu, mohli by sme to skúsiť zapísať nejako takto,

Spanish: 
a la función derivada dividido por alguna
pequeño cambio en x, donde como siempre el uso
de esa letra d  que realmente
siguiere que deseas  considerar lo esta razón aproxima
como dx dx, ambos dx en este caso,  aproxima a 
0.
Eso es bastante incómodo y torpe, por lo que el
estándar es abreviarlo como d**2f / dx**2.
No es terriblemente importante para conseguir
una intuición de la segunda derivada, pero
tal vez es digno de mostrar cómo se puede leer
esta notación.
Pensar a partir de una cierta entrada a su función,
y tomando dos pequeños pasos a la derecha, cada uno
con un dx tamaño.
aquí mas bien estoy escogiendo  grandes pasos a para ver mejor lo que está pasando, pero
en principio, piensa en ellos como pequeños pasos
El primer paso causa  algún cambio a la función,
 a lo que voy a llamar a df1, y el segundo paso

German: 
in der Ableitungsfunktion geteilt durch eine kleine Änderung von x, wo der Buchstabe
d zeigt, dass du wirklich beachtest, welchem Wert sich dieser Quotient
bzw. dx annähern - hier werden beide dx null.
Das ist ziemlich komisch und schwerfällig, deshalb kürzt man es normalerweise mit d²f/dx² ab.
Das ist nicht unglaublich wichtig, damit man sich die zweite Ableitung vorstellen kann, aber
es ist es bestimmt wert zu zeigen, wie man diese Schreibweise liest.
Überlegen wir uns, dass wir an einer bestimmten Stelle der Funktion starten und zwei kleine Schritte nach rechts machen, jeder
mit einer Größe von dx.
Ich mache hier eher große Schritte, damit wir besser sehen, was passiert, aber
im Prinzip kann man sie sich als eher klein vorstellen.
Mit dem ersten Schritt ändert sich die Funktion ein bisschen, ich nenne das mal df1, und der zweite Schritt

Slovak: 
naznačiť nejakú malú zmenu v derivácii funkcie vydelenú nejakou malou hodnotou x, kde, ako vždy,
použitie písmena "d" naznačuje, že by sme mali rozmýšľať, čo sa stane s týmto pomerom,
keď dx, obe dx v tomto prípade, sa priblížia 0.
Je to celkom divné a zložité, takže sa to štandardne zjednoduší na (d^2)f/dx^2
a aj keď to nie je veľmi dôležité, ako sme sa k tomuto vyjadreniu dostali,
možno stojí za to ukázať, čo sa dá s týmto zápisom robiť.
Na začiatok si predstavte hodnotu v nejakej funkcii, a urobte dva maličké krôčky doprava,
obe o veľkosti dx.
Robím celkom veľké kroky aby sme lepšie videli o čo ide, ale
v princípe si ich predstavte ako veľmi malé.
Prvý krok urobí nejakú zmenu vo funkcii, ktorú nazveme df1, a druhý krok

English: 
to the derivative function divided by some
small change to x, where as always the use
of that letter d suggests that you really
want to consider what this ratio approach
as dx, both dx’s in this case, approach
0.
That’s pretty awkward and clunky, so the
standard is to abbreviate it as d2f/dx2.
It’s not terribly important for getting
an intuition of the second derivative, but
perhaps it’s worth showing how you can read
this notation.
Think of starting at some input to your function,
and taking two small steps to the right, each
with a size dx.
I’m choosing rather big steps here so that
we’ll better see what’s going on, but
in principle think of them as rather tiny.
The first step causes some change to the function,
which I’ll call df1, and the second step

French: 
à la fonction dérivée divisée par un certain petit changement de x, 
comme toujours l'utilisation
de cette lettre d suggère que vous ne considérez uniquement ce vers quoi tend la valeur du rapport
lorsque dx, ici les deux dx dans ce cas,
approchent 0.
C'est assez étrange et maladroit, de sorte que 
la norme est d'abréger comme d2f/dx2.
Ce n'est pas très important pour obtenir
une intuition de la dérivée seconde,
mais peut-être que c'est important de voir comment lire cette notation.
A partir d'une certaine valeur d'entrée de votre fonction,
et en prenant deux petits pas vers la droite, chaque
d'une longueur dx.
Je choisis ici un assez grand dx afin de mieux visualiser 
ce qui se passe,
mais, souvenez vous d'y penser comme quelque-chose de petit.
Le premier dx provoque un changement de la fonction,
que je vais appeler df1, et le deuxième dx

Polish: 
myśląc o stosunku małej zmiany pochodnej
do małej zmiany x.
Jak zwykle, używamy litery d, bo będziemy chcieli
wiedzieć, do czego dąży ten stosunek,
gdy oba dx zbliżają się do 0.
Jest to dość niezgrabna notacja, więc
skraca się ją do d^2f/dx^2.
Nie jest to takie ważne,
jak należy rozumieć drugą pochodną,
ale ważne jest, by wiedzieć, jak rozumieć tą notację.
Weźmy jakiś argument dla funkcji, a następnie zróbmy
dwa małe kroki w prawo, każdy o długości dx.
Na rysunku są one duże, żeby było widać, co się dzieje,
ale myśl o nich, że są dość małe.
Pierwszy krok zmienia wartość funkcji o df_1
a drugi krok o podobną, mogącą się

English: 
causes some similar, but possibly slightly
different change, which I’ll call df2.
The difference between these; the change in
how the function changes, is what we’ll
call d(df).
You should think of this as really small,
typically proportional to the size of (dx)2.
So if your choice for dx was 0.01, you’d
expect this d(df) to be proportional to 0.001.
And the second derivative is the size of this
change to the change, divide by the size of
(dx)2.
Or, more precisely, it’s whatever that ratio
approaches as dx approaches 0.
Even though it’s not like the letter d is
a variable being multiplied by f, for the
sake of more compact notation you write this
as d2f/dx2, and you don’t bother with any
parentheses on the bottom.

French: 
provoque un changement similaire, mais possiblement un peu différent, que je vais appeler df2.
La différence entre ces deux-là, l'évolution de 
l'évolution de la  fonction, est ce que nous allons
appeler d(df).
Vous devriez penser à cela comme étant vraiment petit,
typiquement proportionnelle à la taille de (dx)2.
Donc, si votre choix pour dx était de 0,01, vous devriez vous attendre à ce que d(df) soit proportionnelle à 0,001.
Et la dérivée seconde est la taille de ce
changement du changement, diviser par la taille de
(dx)2.
Ou, plus précisément, il est vers quoi ce rapport tend lorsque dx tend vers  0.
Même si d n'est pas une variable étant multipliée par f,
afin de simplifier les notations, vous écrivez ceci comme d2f/dx2, et vous ne vous préoccupez
d'aucune parenthèses en bas.

Polish: 
odrobinę różnić, wartość df_2.
Różnicę różnic wartości funkcji nazwiemy d(df).
Powinieneś myśleć o tym jak o czymś naprawdę małym,
zazwyczaj proporcjonalnym do (dx)^2.
Np. dla dx = 0.01 d(df) jest proporcjonalne do 0.0001.
Druga pochodna jest zmianą zmiany funkcji
podzieloną przez (dx)^2.
A dokładnie tym, do czego zbliża się ten iloraz,
gdy dx dąży do 0.
Nawet, jeśli d nie jest zmienną, przez którą mnożymy f,
aby uprościć notację, piszemy d^2f/dx^2
bez nawiasów na dole.

German: 
genauso, aber möglicherweise mit einem ein wenig anderen Wert, das nenne ich df2.
Die Differenz der beiden, also den Wert, um den sich der Funktionswert verändert,
nennen wir d(df).
Man muss sich als als sehr klein vorstellen, in der Regel in einer Größenordnung von (dx)².
Wenn wir für dx also den Wert 0,01 wählen, können wir erwarten, dass d(df) um die 0,001 groß ist.
Und die zweite Ableitung ist der Wert dieser Änderungsänderung geteilt durch
(dx)².
Oder, wenn wir genauer sind, es ist genau der Wert, dem sich der Quotient annähert, wenn dx gegen 0 geht.
Obwohl man sich den Buchstaben d nicht als Variable vorstellen kann, die mit f multipliziert wird - damit
die Schreibweise kompakter ist, schreibt man das als d²f/dx², dann muss man sich nicht mit den
Klammern unten rumärgern.

Spanish: 
hace que algo similar, pero posiblemente un poco diferente, que llamaré a df2.
La diferencia entre estos; el cambio en
cómo la función cambia , es lo que vamos a
llamar  d(df).
debe pensar en esto como muy pequeño,
típicamente proporcional al tamaño de (dx)** 2.
Así que por ejemplo , si sustituyes en   dx por  0,01, 
esperarías que  este d (df) sea proporcional a 0.001.
Y la segunda derivada es el tamaño de este
cambio con el cambio,  divido por el tamaño de
(dx)** 2.
O, más precisamente, es lo que la relación
aproxima  como dx se aproxima a 0.
A pesar de que d no es como 
una variable que se multiplica por f,
en aras de una notación más compacta ,se escribe este
como d2f / dx2, y  no te molestes con cualquier
paréntesis en la parte inferior.

Slovak: 
urobí tiež nejakú zmenu, ale pravdepodobne mierne rozdielnu zmenu, ktorú nazveme df2.
Rozdiel medzi df1 a df2, ako sa funkcia správa,
nazveme d(df).
Je to však veľmi malá hodnota, typicky rovnajúca sa veľkosti dx^2.
Teda, ak povieme, že dx = 0.01, očakávame, že d(df) bude 0.001.
A derivácia druhého stupňa je veľkosť týchto zmien, vydelená veľkosťou
(dx)^2.
Alebo, ak chcete, je to hodnota ktorej sa pomer približuje ako sa dx približuje 0.
Aj keď "d" nie je premenná, ktorá sa násobí "f", zjednodušíme to
na zápis (d^2)f/dx^2, aby sme sa neotravovali
so zátvorkami v menovateli.

French: 
Peut-être que la compréhension la plus viscérale de la 
dérivée seconde est qu'elle représente l'accélération.
Étant donné un certain mouvement le long d'une ligne, supposons que vous avez une fonction qui enregistre la distance
voyagée en fonction du temps, et peut-être que son graphique ressemble à quelque-chose comme ça, en constante augmentation
par rapport au temps.
Ainsi, sa dérivée nous indique la vitesse à chaque point, OK ?
Par exemple, le graphique pourrait ressembler à cette bosse, ce qui augmente jusqu'à un certain maximum,
puis diminuant jusqu'à 0.
De la même manière, sa dérivée seconde vous indique le taux de changement de la vitesse, soit l'accélération à
chaque point du temps.
Dans cet exemple, la dérivée seconde est positive
pour la première moitié du voyage, ce qui indique
indique une vitesse qui augmente.
C'est la sensation d'être tiré en arrière dans
votre siège.
Ou plutôt, d'avoir le siège de la voiture qui vous pousse vers l'avant.
Une dérivée seconde négative indique un ralentissement, soit une accélération négative.
La dérivée troisième, et ce n'est pas une blague,
est appelé "jerk" (ou à-coup).

Polish: 
Najbardziej oklepanym zastosowaniem
drugiej pochodnej jest opis przyspieszenia.
Zakładając, że opisujemy pewien ruch w linii prostej,
mamy funkcję, która opisuje przebytą drogę
w zależności od czasu.
Może jej wykres wygląda tak, że droga rośnie w czasie.
Wtedy pochodna tej funkcji to szybkość.
Jej wykres może wyglądać np. tak.
Prędkość rośnie do pewnego maksimum,
a potem maleje z powrotem do 0.
Druga pochodna opisuje tempo zmiany szybkości,
przyspieszenie w danej chwili. W tym przykładzie
przyspieszenie jest dodatnie w pierwszej połowie trasy,
co oznacza, że samochód przyspiesza.
Wtedy czujesz się wgnieciony w fotel.
Lub inaczej, to samochód pcha cię do przodu.
Ujemna druga pochodna w drugiej połowie trasy
mówi, że przyspieszenie jest ujemne.
Trzecia pochodna nazywa się zrywem.

German: 
Die instinktivste Erklärung der zweiten Ableitung ist vielleicht, dass sie die Beschleunigung darstellt.
Wenn wir eine bestimmte Bewegung entlang einer Linie gegeben haben, gibt es eine Funktion, die die zurückgelegte Strecke
abhängig von der Zeit darstellt - und vielleicht sieht der Graph so aus, mit der Zeit stetig zunehmend.
Dann ist dessen Ableitung die Geschwindigkeit an jedem Zeitpunkt, richtig?
Der Graph könnte zum Beispiel so aussehen, bis zu einem bestimmten Maximum zu- und dann
bis 0 wieder abnehmend.
Dann ist die zweite Ableitung die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also die Beschleunigung
zu jedem Zeitpunkt.
In diesem Beispiel ist die zweite Ableitung in der ersten Hälfte positiv,
was so viel heißt wie schneller zu werden.
Das ist das Gefühl, mit einer konstanten Kraft in seinen Sitz gedrückt zu werden.
Beziehungsweise eher, dass der Sitz dich mit einer konstanten Kraft drückt.
Ist die zweite Ableitung negativ, bedeutet das langsamer zu werden, negative Beschleunigung.
Die dritte Ableitung nennt man - ohne Witz - Jerk (zu Deutsch: Reflex/Zuckung/Sprung, aber auch Idiot/Trottel/Wichser).

English: 
Maybe the most visceral understanding of the
second derivative is that it represents acceleration.
Given some movement along a line, suppose
you have some function that records distance
traveled vs. time, and maybe its graph looks
something like this, steadily increasing over
time.
Then its derivative tells you velocity at
each point in time, right?
For the example, the graph might look like
this bump, increasing to some maximum, then
decreasing back to 0.
So its second derivative tells you the rate
of change for velocity, the acceleration at
each point in time.
In the example, the second derivative is positive
for the first half of the journey, which indicates
indicates speeding up.
That’s sensation of being pushed back into
your car seat with a constant force.
Or rather, having the car seat push you with
a constant force.
A negative second derivative indicates slowing
down, negative acceleration.
The third derivative, and this is not a joke,
is called jerk.

Spanish: 
Tal vez la comprensión más visceral de la
segunda derivada es que representa la aceleración.
Dada algo de movimiento a lo largo de una línea, supongamos
usted tiene alguna función que registra la distancia
recorrida en función del tiempo, y tal vez su aspecto gráfico
algo como esto, lo que aumenta de forma constante durante
hora.
Entonces su derivada te dice  velocidad en
cada punto en el tiempo, ¿verdad?
Para el ejemplo, el gráfico puede ser como
este bache, aumentando hasta cierto máximo, luego
disminuyendo de nuevo a 0.
Por lo que su segunda derivada indica la tasa
de cambio de la velocidad, la aceleración en
cada punto en el tiempo.
En el ejemplo, la segunda derivada es positiva
para la primera mitad del viaje, lo que indica
indica la aceleración.
Esa es la sensación de ser empujado de nuevo en
su asiento de seguridad con una fuerza constante.
O más bien, teniendo el asiento de coche que empuja con
una fuerza constante.
Un segundo derivado negativo indica desaceleración
abajo, la aceleración negativa.
La tercera derivada, y esto no es una broma,
se llama tirón.

Slovak: 
Najlepšie sa to asi vysvetlí na grafe zrýchľovania.
Povedzme, že počas toho ako sa auto pohybuje po ceste, máme nejakú funkciu ktorá meria
prejdenú vzdialenosť  vzhľadom na čas, a graf by vyzeral asi takto, postupne zväčšujúci sa vzhľadom
na čas.
Potom jeho derivácia vám povie rýchlosť v určitom bode v čase, však?
Ku príkladu, graf môže vyzerať ako kopec, stúpajúci k svojmu maximu
a potom klesajúc naspäť na 0.
derivácia druhého stupňa nám teda povie rýchlosť zmeny rýchlosti, teda zrýchlenia
v každom bode v čase.
Ku príkladu, druhotná derivácia je pozitívna pre prvú polovicu jazdy,
čo naznačuje zrýchľovanie.
To je ten pocit, keď ste tlačení do sedadla určitou silou,
respektíve, že vás auto tlačí dopredu určitou silou.
negatívna derivácia druhého stupňa naznačuje, že auto spomaľuje, teda záporné zrýchlenie
tretia derivácia, a to nie je vtip, je nazývaná jerk (debil) (po slovensky ryv)

Slovak: 
Čiže, ak ryv je nenulový, znamená to, že sila zrýchľovania sa mení.
Jednou z najviac užitočných vecí použitia derivácií vyšších stupňov je, že nám pomáhajú približne odhadnúť
funkcie, čo je však téma na ďalšiu kapitolu o Taylorových radoch, kde budeme pokračovať.

French: 
Donc, si le jerk n'est pas nul, cela signifie que l'amplitude 
de l'accélération est en train de changer.
L'une des choses les plus utiles concernant les dérivés d'ordre supérieures est de savoir comment elles aident à approximer
les fonctions, ce qui est le sujet du prochain 
chapitre sur les séries de Taylor, donc je vais vous revoir
là-bas.

German: 
Wenn der Jerk nicht null ist, heißt das, dass sich die Beschleunigung ändert.
Eine der nützlichsten Funktionen der zweiten Ableitung ist, wie sie helfen kann, Funktionen anzunähern -
und das ist genau das Thema im nächsten Kapitel der Taylorreihe, also bis dann.

Polish: 
Gdy zryw jest niezerowy, oznacza to, że
moc przyspieszenia się zmienia.
Wyższe pochodne przydają się do przybliżania funkcji.
O tym będę opowiadał w następnym filmie.

Spanish: 
Así que si el tirón no es cero, significa que la fuerza
de la aceleración en sí está cambiando.
Una de las cosas más útiles de las 
derivadas de orden superior  es la forma en que ayudan al aproximar
funciones, que es el tema de la siguiente
capítulo de las series de Taylor, así  que ahí nos vemos.
 

English: 
So if the jerk is not zero, it means the strength
of the acceleration itself is changing.
One of the most useful things about higher
order derivatives is how they help in approximating
functions, which is the topic of the next
chapter on Taylor series, so I’ll see you
there.
