
English: 
- [Instructor] What I
wanna do in this video
is make a visual argument as
to why the derivative with
respect to x of cosine of x is
equal to negative sine of x.
And we're gonna base this argument,
based on a previous proof we made
that the derivative with
respect to x of sine of x
is equal to cosine of x.
So we're gonna assume this over here.
I encourage you to watch that video.
That's actually a fairly
involved proof that proves this,
but if we assume this, I'm
gonna make a visual argument
that this right over
here is the derivative
with respect to x of cosine
of x is negative sine of x.
So right over here we
seen sine of x in red
and we see cosine of x in blue.
And we're assuming that this blue graph
is showing the derivative,
the slope of the tangent line
for any x value of the red graph.
And we've got an intuition
for that in previous videos.
Now what I'm gonna do next,
is I'm gonna shift both of these graphs

Czech: 
V tomto videu chci
ukázat grafický náhled,
proč je derivace cos(x)
podle x rovna −sin(x).
Budeme vycházet
z minulého videa.
Tam jsme ukázali, že derivace sin(x)
podle x je rovna cos(x).
Toto tedy budeme
předpokládat.
A doporučuji vám
se na to video podívat.
Když budeme toto předpokládat,
tak ukážeme tohle.
Tedy, že derivace cos(x)
podle x je rovna −sin(x).
V horním grafu vidíme
červeně sin(x) a modře cos(x).
Navíc předpokládáme, že graf modré funkce
ukazuje derivaci grafu červené funkce.
Nebo-li, modrá ukazuje,
jak rychle červená roste.
Intuici na derivace jsme
získali v minulém videu.

Bulgarian: 
В това видео
ще покажа нагледно
 защо производната
спрямо х на cosх е равна на –sinx.
Ще се опра на доказателство,
което сме правили преди,
че производната спрямо х на sinx
е равна на cosx.
Ще приемем това тук.
Насърчавам те да гледаш 
това видео.
То всъщност е доста сложно
 доказателство,
но ако приемем това, ще направя
нагледно доказателство,
че това тук е вярно, че 
производната
спрямо х на cosx е –sinx.
Тук виждаме sinx в червено
и cosх в синьо.
Приемаме, че синята графика
показва производната, наклона
 на допирателната
за всяко х на червената графиката.
Разбрахме това в минали видеа.
Това, което ще направя сега,
е да преместя двете графики

Korean: 
이 동영상에서는
cos(x)의 x에 대한 도함수가
왜 -sin(x)인지
시각적으로
살펴보도록 하겠습니다
이 주장을 기반으로 하여
지난 번에 증명한
sin(x)의 x에 대한 도함수는
cos(x)라는 사실을
증명하겠습니다
이것이 맞다고
가정하는 것입니다
해당 영상을
확인해 보세요
꽤 복잡한 증명입니다
어쨌든 이 가정하에
cos(x)의 x에
대한 도함수가
-sin(x)라는 것을
시각적으로 살펴보겠습니다
여기 sin(x)는 빨간색으로
cos(x)는 파란색으로
되어 있습니다
그리고 이 파란 그래프가
도함수를 나타낸다고
그러니까 빨간
그래프의 x값에 대한
접선의 기울기를
나타낸다고 가정하겠습니다
지난 영상에서
잠깐 살펴보았죠
이제 할 것은
이 두 그래프를 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직이는 것입니다

Bulgarian: 
наляво с π/2.
Премествам наляво с π/2.
Ще преместя също и синята
графика наляво с π/2.
Какво ще получим?
Синята графика ще изглежда така.
Ако това тук горе беше cosx,
сега можем да кажем, че 
това е равно на:
у = cos(x + π/2).
Това е синята графика
cosx, преместена наляво с π/2.
А това е у = sin(x + π/2).
Доказателството е това, 
което направих –
преместих двете графики
наляво с π/2.
Производната
на червената е синята графика.
Можем да кажем,

English: 
to the left by pi over two.
Shift it to the left by pi over two
and I'm also gonna shift
the blue graph to the left
by pi over two.
And so what am I going to get?
Well the blue graph is
gonna look like this one
right over here and if it
was cosine of x up here,
we can now say that this is equal to
y is equal to cosine
of x plus pi over two.
This is the blue graph,
cosine of x, shifted to
the left by pi over two.
And this is y is equal to
sine of x plus pi over two.
Now the visual argument is, all I did,
is I shifted both of these graphs
to the left by pi over two.
So it should still be the
case that the derivative
of the red graph is the blue graph.
So we should still be able to say

Czech: 
Nyní posuneme oba grafy
funkcí doleva o pí půl.
Posuňme červený graf
funkce o pí půl doleva.
Posuňme modrý graf
funkce o pí půl doleva.
Co dostaneme?
Graf modré funkce
bude vypadat takto.
Pokud jsme předtím měli graf cos(x),
nyní obdržíme graf cos(x plus pí půl).
A toto bude graf
funkce sin(x plus pí půl).
Jediné co jsme udělali, je posun
obou grafů funkcí o pí půl.
Proto stále bude graf modré funkce
derivací grafu červené funkce.
Můžeme tedy
říct následující.

Korean: 
이 두 그래프를 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직이는 것입니다
이것을 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직이고
파란 그래프도 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직입니다
파란 그래프도 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직입니다
그러면 어떻게 될까요?
파란 그래프는
이렇게 보일 것이고
이 그래프가
cos(x)라고 한다면
이것은 이제
y = cos(x + 𝜋/2)라고
할 수 있습니다
이것은 파란 그래프인
cos(x)를 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직인 것
이것은 y = sin(x)를 왼쪽으로
𝜋/2 만큼 움직인 것입니다
시각적으로 볼 수 있는 것은
이 두 그래프를 왼쪽으로
𝜋/2 만큼만
움직였다는 것입니다
따라서 아직도
빨간 그래프의 도함수는
파란 그래프여야 합니다
따라서 빨간 그래프
sin(x + 𝜋/2)의

English: 
that the derivative with
respect to x of the red graph,
sin of x plus pi over two
that that is equal to the blue graph.
That that is equal to cosine
of x plus pi over two.
Now what is sin of x plus pi over two?
Well that's the same thing as cosine of x.
You can see this red graph is
the same thing as cosine of x.
We know that from our trig identities
and you can also see in
intuitively or graphically
just by looking at these graphs.
Now what is cosine of x plus pi over two?
Well once again, from our trig identities,
we know that that is the exact same thing
as negative sine of x.
So there you have it, the visual argument.
Just start with this knowledge,
shift both of these graphs
to the left by pi over two,
it should still be true,
that the derivative with respect to x
of sine of x plus pi over two

Czech: 
Derivace červené funkce (tedy
sin(x plus pí půl) je graf modré funkce.
Kde graf modré funkce je
roven cos(x plus pí půl).
Kolik je
sin(x plus pí půl)?
To je stejné
jako cos(x).
Tedy graf červené funkce je
ve skutečnosti cos(x).
Což víme buď z trigonometrických
vzorečků nebo intuitivně z obrázku.
Kolik je pak
cos(x plus pí půl)?
Opět, z trigonometrických vzorečků
víme, že to je −sin(x).
No a zde je grafický 
důkaz našeho tvrzení.
Začneme
s touto znalostí.
Poté posuneme oba 
grafy funkcí o pí půl.
Avšak stále
bude platit,

Bulgarian: 
че производната спрямо х на
 червената графика
sin(x + π/2)
е равна на синята графика,
че е равна на cos(х + π/2).
Колко е sin(х +π/2)?
Това е същото като cosx.
Виждаш, че тази червена графика
 е същата като cosx.
Знаем това от тригонометричните 
тъждества,
а всъщност можеш да видиш
 и графично,
само като погледнеш
 тези графики.
Колко е cos(х +π/2)?
Отново от тригонометричните 
тъждества
знаем, че това е същото нещо като
–sinx.
Това е графичното доказателство.
Започни от тази информация,
премести двете графики
 наляво с π/2
и все още трябва да е вярно,
че производната спрямо х
на sin(х +π/2)

Korean: 
따라서 빨간 그래프
sin(x + 𝜋/2)의
x에 대한 도함수는
파란 그래프와
같아야 합니다
cos(x + 𝜋/2)와
같아야 하죠
sin(x + 𝜋/2)은 무엇일까요?
이는 cos(x)와 같습니다
이 빨간 그래프가
cos(x)와 같음을 볼 수 있습니다
삼각법에서도 알 수 있고
직관적으로, 혹은
그래프를 보아 알 수 있습니다
직관적으로, 혹은
그래프를 보아 알 수 있습니다
cos(x + 𝜋/2)는 무엇일까요?
다시 한 번 
삼각법을 통해
이는 -sin(x)와
같다는 것을 알 수 있습니다
이는 -sin(x)와
같다는 것을 알 수 있습니다
시각적으로
살펴보면 이렇습니다
이 방정식에서 시작해
두 그래프를 왼쪽으로 
𝜋/2 만큼 움직여도
두 그래프를 왼쪽으로 
𝜋/2 만큼 움직여도
sin(x + 𝜋/2)의
x에 대한 도함수는
sin(x + 𝜋/2)의
x에 대한 도함수는

Korean: 
cos(x + 𝜋/2)라는 사실은
참이어야 합니다
그리고 이는 
이 방정식을 의미합니다
그리고 이는 
이 방정식을 의미합니다
이제 잘 알게 되었네요
이건 지난
동영상에서 증명했고
이 동영상에서
cos(x)에 대한 이 사실의
증명을 살펴보았습니다

Czech: 
že derivace sin(x plus pí půl) 
podle x je cos(x plus pí půl).
Což je to stejné, co
jsme udělali zde.
Nyní se můžeme 
cítit opravdu dobře.
V minulém videu jsme toto dokázali a
nyní nahlédli na tvar derivace cos(x).

English: 
is equal to cosine of x plus pi over two.
And this is the same thing
as saying what we have
right over here.
So now we should feel pretty good.
We proved this in a previous video
and we have a very strong
visual argument for this
for cosine of x in this video.

Bulgarian: 
е равна на cos(х +π/2).
Това е същото като това,
което имаме тук.
Сега би трябвало да се чувстваме
доста уверени.
Доказахме това 
в предишно видео
и имаме доста силно графично 
доказателство за този
cosx от това видео.
