
Turkish: 
-
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak istediğimizi düşünelim. x, 0'dan büyük veya 0'a eşit, ve 3'ten küçük veya 3'e eşit olsun.
-
-
-
Diyelim ki, y, 0'dan büyük veya 0'a eşit, ve 4'ten küçük veya 4'e eşit olsun.
-
z de, 0'dan büyük veya 0'a eşit, ve 2'den küçük veya 2'ye eşit olsun.
-
Basit geometriyle, hacmi, en çarpı boy çarpı yükseklik olarak bulabiliriz.
-
-
Ama, bu örneği, üç katlı bir integralin neye benzediğini ve iki boyutlu bir integralle nasıl ilişkilendirdiğimizi anlamanız için yapmak istedim.
-
Bir sonraki videoda daha zor bir örnek yaparız.
-
Şimdi, bu prizmayı çizelim.
Bu x ekseni, bu z ekseni, bu da y ekseni.
-
x, y, z.
-

Spanish: 
-
Encontraré el volumen de un cubo, donde los
valores del cubo: - digamos que x está entre- que x es mayor
o igual a 0, es menor o igual a
3.
Digamos que y is mayor o igual a 0, y es
menor o igual a 4.
Y digamos que z es mayor o igual a 0 y
menor o igual a 2.
Luego usando geometría básica puedes darte cuenta-
sabes, basta multiplicar el ancho por el alto por
el largo y tienes el volumen.
Pero quiero hacer este ejemplo, para que te acostumbres
a como se ve una integral triple, cómo se relaciona con una
doble integral y en el próximo video podremos hacer
algo un poco más complicado.
Entonces dibujemos este volumen.
Este es mi eje x, este es el z, este es el y.
-
x, y, z.
-

English: 
Let's say I wanted to find the
volume of a cube, where the
values of the cube-- let's say
x is between-- x is greater
than or equal to 0, is less
than or equal to,
I don't know, 3.
Let's say y is greater than
or equal to 0, and is
less than or equal to 4.
And then let's say that z is
greater than or equal to 0 and
is less than or equal to 2.
And I know, using basic
geometry you could figure out--
you know, just multiply the
width times the height times
the depth and you'd
have the volume.
But I want to do this example,
just so that you get used to
what a triple integral looks
like, how it relates to a
double integral, and then later
in the next video we could do
something slightly
more complicated.
So let's just draw
that, this volume.
So this is my x-axis, this is
my z-axis, this is the y.
x, y, z.

Portuguese: 
Digamos que eu quero encontrar o volume de um cubo, onde os
valores do cubo-- x está entre-- x é maior
que ou igual a 0, é menor que ou igual a,
sei lá, 3.
Digamos que y é maior ou igual a 0, e é
menor ou igual a 4.
E digamos que z é maior que ou igual a 0 e
é menor que ou igual a 2.
E eu sei, usando geometria básica você pode descobrir--
você sabe, simplesmente fazer o produto da largura pela altura pela
profundidade e você consegue o volume.
Mas eu quero fazer este exemplo, apenas para você se acostumar com
o que uma integral tripla parece, como ela se relaciona com uma
integral dupla, e depois neste vídeo nós poderemos fazer
algo um pouco mais complicado.
Então vamos apenas desenhar o volume.
Então esse é meu eixo x, esse é meu eixo z e este é o y.
x, y, z.

Polish: 
Przypuśćmy, że chcę obliczyć objętość prostopadłościamu, w którym,
powiedzmy, x jest większy
bądź równa 0 i mniejszy bądź równy
na przykład 3.
Powiedzmy, że y jest większe bądź równe 0, i
mniejsze bądź równe 4.
Z natomiast jest większe bądź równe 0 i
mniejsze bądź równe 2.
Znając podstawy geometrii można obliczyć objętość--
mnożąc szerokość razy wysokość i razy
głębokość otrzymamy objętość.
Podaję te przykłady, żeby pokazać
na czym polega całka potrójna i w jaki sposób łączy się
z całka podwójną, i żeby potem móc zająć się
trudniejszymi przykładami.
Teraz narysuję objętość.
Oś x, oś z i oś y.
x,y,z,

Arabic: 
لنفترض أنني أريد الحصول على حجم مكعب، حيث
أن قيم المكعب-- لنقل اكس بين-- اكس اكبر
من أو يساوي 0، أقل من أو يساوي،
لا أعرف، 3.
لنفترض أن y هو أكبر من أو تساوي 0، وهو
أقل من أو يساوي إلى 4.
وثم دعنا نقول أن ع أكبر من أو يساوي 0 و
أقل من أو يساوي 2.
وأنا أعلم، باستخدام هندسة الأساسية يمكن أن تستنتج
كما تعلم، مجرد ضرب العرض في الطول في العمق
بعدها ستحصل على الحجم
ولكن أريد أن أفعل هذا المثال، حتى تعتاد على
كيف يبدو الـ التكامل الثلاثي ، كيفية إرتباطه
بالـ التكامل الثنائي، وثم بعد ذلك في الفيديو التالي يمكن أن نحل
شيئا يبدو قليلاً أكثر تعقيداً
لذلك دعونا، نرسم هذا
هذا محور الـ اكس
هذا محور الـ زي
وهذا محور الـ واي
x، y، z.
اكس، واي، زي

Korean: 
제가 어떤 직육면체의 부피를 
구하고 싶다고 가정하고
그 직육면체의 값
즉 x의 값은
0보다 크거나 작고
3보다 작거나 같다고 합시다
y값은 0보다 크거나 같고
4보다 작거나 같다고 합시다
그리고 z값은 0보다 크거나 같고
2보다 작거나 같다고 합시다
그리고 기초적 기하학을 이용하여
가로 세로 높이를 곱하면
부피를 간단히 구할 수 있습니다
하지만 제가 이 예시를 든 것은
여러분이 삼중적분에 대해 
익숙해지고
이중적분과의 연관성을 찾고
나중에 다음 비디오에서
약간 복잡한 것을 할 수 있도록
하기 위해서입니다
일단 그 모양을 그려 봅시다
그래서 이게 x축이고 
이게 z축 이게 y축입니다
그래서 이게 x축이고 
이게 z축 이게 y축입니다
x y z
x y z

Indonesian: 
Misalkan saya mau mencari volume kubus, di mana
ukuran kubus itu: x lebih besar
dari atau sama dengan 0, dan lebih kecil dari atau sama dengan ..
misalnya 3
Misalkan y lebih besar dari atau sama dengan 0 dan
lebih kecil dari atau sama dengan 4.
Dan misalkan z lebih besar dari atau sama dengan 0 dan
lebih kecil dari atau sama dengan 2.
Dan saya tahu, dengan geometri dasar kalian bisa tahu:
lebar x tinggi x dalam
dan kalian dapat volume.
Tapi di contoh ini, supaya kalian terbiasa
dengan integral tiga kali lipat, dan hubungannya dengan
integral dua kali lipat, dan nanti di video berikut kita bisa
coba sesuatu yang lebih sulit.
Mari kita coba gambar, volume ini
Jadi ini sumbu x saya, ini sumbu z dan ini y.
x, y, z.

Thai: 
-
สมมุติว่าผมอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์ โดยที่ค่า
ของลูกบาศก์ -- สมมุติว่า x อยู่ระหว่าง -- x มากกว่า
หรือเท่ากับ 0, น้อยกว่าหรือเท่ากับ
ไม่รู้สิ, 3
สมมุติว่า y มากกว่าเท่ากับ 0, และ
น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4
แล้วสมมุติว่า z มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และ
น้อยกว่าเท่ากับ 2
และผมรู้ ว่าจากการใช้เรขาคณิตง่าย ๆ คุณก็หาได้
คุณก็รู้, แค่เอาความกว้างคูณความสูง คูณ
ความลึก แล้วคุณก็ได้ปริมาตรมา
แต่ผมอยากทำตัวอย่างนี้, แค่ให้คุณคุ้น
ว่าอินทิกรัลสามชั้นเป็นยังไง, มันเกี่ยวกับ
อินทิกรัลสองชั้นยังไง, แล้วต่อไปในวิดีโอหน้า เราสามารถ
ทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้
งั้นลองวาดปริมาตรนี้กัน
นี่ก็คือแกน x ผม, นี่คือแกน z, นี่คือ y
-
x, y, z
-

Estonian: 
Ütleme, et me tahame leida kuubi ruumala,
kus kuubi väärtused on:
x on suurem või võrdne nulliga ja väiksem või
võrdne kolmest
Ütleme, et y on suurem või võrdne nulliga
ja väiksem või võrdne neljast.
Ütleme, et z on suurem või võrdne nulliga
ja väiksem või võrdne kahega.
Ma tean, kasutates geomeetria põhitõdesid saate te aru
et, lihtsalt korrutates laius korda kõrgus korda sügavus
ja te saate kuubi ruumala.
Kuid ma tahan teha selle näite, et te harjuksite ära
milline kolmekornde integraal välja näeb ja kuidas on see seotud
kahekortse integraaliga ja järgmistes videotes saame
näidata
veidi keerulisemaid tehteid.
Nii, lihtsalt joonistame, selle mahu.
See on mu x-telg ja see on mu z-telg, ja see on y-telg.
x,y,z.
x,y,z.

Chinese: 
比方说我们想计算一个立方体的体积
假设其边长 x 大于等于 0
或者小于等于
3
假设另一边长 y 大于等于 0，并且
小于等于 4
我们再假设第三边 z 的长度大于等于 0
小于等于 2
应用简单的几何学知识，你可以得出：
只需将宽度、高度
和深度相乘，就可以求出体积
但我用这个例子是为了让你们熟悉
三重积分的形式，以及它和
二重积分之间的联系，这样下一讲我们就能
更深入地讨论相关内容
那么我们来尝试画出刚刚求出的体积
这个是我们的X轴，Z轴以及Y轴
（分别在坐标轴处标好X, Y, Z）

German: 
-
Sagen wir mal, dass wir das Volumen eines Würfels heraus finden möchten, wo
die Werte des Würfels -- sagen wir mal x ist zwischen-- x ist größer
als oder gleich 0, ist weniger oder gleich,
ich weiss nicht, 3.
Sagen wir mal y ist größer oder gleich 0, und ist
weniger oder gleich 4.
Und dann sagen wir mal das z ist größer oder gleich 9 und
ist weniger oder gleich 2.
Und ich weiss, mit einfacher Geometrie könntest Du herausfinden--
weisst Du, nehm einfach die Weite mal der Höhe mal
der Tiefe und dann hast Du das Volumen.
Aber ich möchte dieses Beispiel machen, einfach so, daß Du dich daran gewöhnst
wie ein dreifaches Integral ausschaut, wie es sich zu einem
doppelten Integral verhält, und dann später im nächsten Video können wir
etwas machen, daß ein bisschen schwieriger ist.
Also laßt uns einfach dies Volumen zeichnen.
Also dies ist meine x-Achse, dies ist meine z-Achse, dies ist y.
-
x, y, z.
-

Portuguese: 
Digamos que eu queira achar o volume
de um paralelepípedo retangular
cuja dimensão x é
igual ou maior que zero,
e menor ou igual a três.
A dimensão y é maior
ou igual a zero,
e menor ou igual a quatro.
E a dimensão z, é maior 
ou igual a zero
e menor ou igual a dois.
Usando geometria básica
poderíamos facilmente
calcular esse volume,
multiplicando a largura
vezes a altura 
vezes a profundidade.
Aqui vamos
resolver esse problema
usando a integral tripla,
e mostrar a sua relação com
a integral dupla, para que
no futuro,
possamos resolver problemas
mais complexos.
Primeiro desenhamos
esse volume.
Os eixos 
x, z e y.
x, y, z

Russian: 
Допустим, что я хотел бы найти объём куба где
параметры куба-- скажем x между-- x больше
или равен 0, и меньше или равен
ну, не знаю, 3.
Допустим что y больше или равен 0, и
меньше или равен 4.
И тогда скажем что z больше или равен 0 и
меньше или равен 2.
И, я не знаю, используя элементарную геометрию вы могли бы--
вы понимайте, просто умножать ширину на высоту на
глубену и у вы бы имели обём.
Но то что я хочу делать с етим примером, просто чтобы вы освоились с
тем как выглядит тройной интеграл, и как он относится к
двайному интегралу, и потом в следующим видео мы смогли бы делать
что то слегка труднее.
Так что давай нарисуем тот, этот обём.
Так что это моя ось x, это моя ось z, это y.
x, y, z.

Chinese: 
好
已知 x 的取值在 0 和3 之间
在这个地方（见鼠标所知）的x值是0
在这些地方的x值分别是 1, 2, 3
而y取值范围是 从0到4
（分别标出）1, 2, 3, 4
因此我们现在可以把x y两轴构建的平面画出来
于是得到立方体的底
因为z取值于0到2之间
0点在x-y平面这一点上，顺势标出z轴的1和2
得到立方体的上表面顶点
也许我应该换一个颜色
现在我们沿x - z两轴画出这个平面
根据取值确定边际
然后就出现了这样的图形
再沿着和x-y轴平面平行的方向画出这条线
又是一个边际取值
我们的目标是求出此立方体的体积
你完全可以做到！
如图所示，宽是3，长是4
所以底面积是12，再把底面积再乘上高度
也就是12乘2 等于24
你可以说求出的体积是24立方米，或者
任何其他立方单位

Indonesian: 
OK.
Jadi x ini di antara 0 dan 3.
Jadi x sama dengan 0.
x sama dengan... 1, 2, 3.
y di antara 0 dan 4.
1, 2, 3, 4
Jadi sisi x-y akan terlihat seperti ini.
Alas kubus kita akan terlihat seperti ini.
Dan z di antara 0 dan 2.
Jadi 0 adalah sisi x-y, lalu 1, 2
Jadi ini

Turkish: 
Tamam.
x, 0'la 3 arasında.
Burası, x eşittir 0.
Bu da, x eşittir 1, 2, 3.
y, 0'la 4 arasında.
1, 2, 3, 4.
xy düzlemi buna benziyor.
Prizmamızın tabanı da şöyle olacak.
Ve, z de 0'la 2 arasında.
0 xy düzleminde, ve 1, 2.
Burası da üst tarafı.
Bunu farklı bir renkte çizeyim.
Bu da xz düzlemi üzerinde.
Burada bir sınır var, ve sonra şöyle geliyor.
-
Burada da bir sınır var, ve şöyle geliyor.
Bir sınır da burada.
Bu prizmanın hacmini bulmak istiyoruz.
Ve şöyle bulabiliriz.
Eni 3, boyu 4 diyebiliriz. Yani, taban alanı, 12, çarpı yükseklik.
-
12 çarpı 2 eşittir 24.
Yani, hacmi 24 birim küp diyebiliriz.
-

Russian: 
ОК.
И так x между 0 и 3.
Так что x равен 0.
Это x это равен-- довай посмотрим, 1, 2, 3.
y между 0 и 4.
1, 2, 3, 4.
Так плоскость x-y будет выглядеть примерно так.
Остнование куба будет выглядеть как то так.
И тогда z между 0 и 2.
Так что 0 это плоскость x-y, и тогда 1, 2.
Так это было бы верхняя часть.
И может быть я зделаю немножко другим цветом.
Так что это вдоль оси x-z.
Вы бы имели границу здесь, и тогда она
входит так.
Вы бы имели границу здесь, входит так.
Границу там.
Так что мы хотим вычислить обём этого куба.
И вы могли бы сделать.
Ну, можно сказать, глубина 3, основа, ширина 4,
таким образом, в высоте, площади является 12 раз болше.
12 умножать на 2 это 24.
Можно сказать, что это 24 кубических единиц, независимо от
каких единицы мы используем.

English: 
OK.
So x is between 0 and 3.
So that's x is equal to 0.
This is x is equal to--
let's see, 1, 2, 3.
y is between 0 and 4.
1, 2, 3, 4.
So the x-y plane will look
something like this.
The kind of base of our cube
will look something like this.
And then z is between 0 and 2.
So 0 is the x-y plane,
and then 1, 2.
So this would be the top part.
And maybe I'll do that in a
slightly different color.
So this is along the x-z axis.
You'd have a boundary
here, and then it would
come in like this.
You have a boundary here,
come in like that.
A boundary there.
So we want to figure out
the volume of this cube.
And you could do it.
You could say, well, the depth
is 3, the base, the width is 4,
so this area is 12
times the height.
12 times 2 is 24.
You could say it's 24
cubic units, whatever
units we're doing.

Thai: 
โอเค
งั้น x อยู่ระหว่าง 0 กับ 3
นั่นคือ x เท่ากับ 0
นี่คือ x เท่ากับ -- ลองดู, 1, 2, 3
y อยู่ระหว่าง 0 กับ 4
1, 2, 3, 4
งั้นระนาบ x-y จะออกมาแบบนี้
ฐานของทรงสี่เหลี่ยมจะหน้าตาแบบนี้
แล้ว z อยู่ระหว่าง 0 กับ 2
ดังนั้น 0 คือระนาบ x-y, แล้ว 1, 2
งั้นนี่จะเป็นด้านบน
บางทีผมจะใช้สีอีกสีนึง
ดังนั้นนี่อยู่ตามแกน x-z
คุณจะมีขอบตรงนี้, แล้วก็ออกมา
เป็นแบบนี้
คุณมีขอบตรงนี้, เข้ามาข้างในแบบนี้
ขอบตรงนี้
งั้นเราอยากหาปริมาตรของลูกบาศก์นี้
คุณก็ทำได้
คุณอาจบอกว่า, เอาล่ะ, ความลึกคือ 3, ฐาน, ความกว้างคือ 4,
ดังนั้นพื้นที่คือ 12 คูณความสูง
12 คูณ 2 ได้ 24
คุณอาจบอกว่ามันคือ 24 ลูกบาศก์หน่วย อะไรก็ตาม
ที่เราใช้อยู่

Spanish: 
Bien.
Entonces x está entre 0 y 3.
Esto es x igual a 0.
Esto es x igual a- veamos, 1, 2, 3.
y está entre 0 y 4.
1, 2, 3, 4.
Entonces el plano x-y se verá como algo así.
El tipo de base de nuestro cubo se verá como algo así.
Entonces z está entre 0 y 2.
Entonces 0 es el plano x-y, y luego 1, 2.
Entonces esto será el punto más alto.
Haré esto en otro color.
Entonces esto es a lo largo del eje x-z.
Tendrá una frontera aquí, luego
seguirá así.
Tendrá una frontera aquí, seguirá así.
Una frontera aquí.
Entonces podemos notar que el volumen es un cubo.
Y tu puedes hacerlo.
Puedes decir, que el largo es 3, la base, el ancho es 4,
entonces esta área es 12 por la altura.
12 por 2 es 24.
Puedes decir es 24 unidades cúbicas, independiente de
las unidades que estemos usando.

Polish: 
ok
x znajduje się pomiędzy 0 i 3.
to x jest równe 0.
to x jest równe-- powiedzmy 1,2,3.
y jest pomiędzy 0 i 4.
1,2,3,4.
Płaszczyzna x-y będzie wyglądać mniej więcej tak.
Podstawa naszego sześcianu będzie mniej więcej taka.
Z jest pomiędzy 0 i 2.
Tak więc 0 stanowi płaszczyznę x-y, a potem 1,2.
I to będzie górna podstawa sześcianu.
A teraz użyję innego koloru.
Rysuję wzdłuż oś x-z.
Tutaj byłaby krawędź,
ona prowadzi aż dotąd.
Kolejna krawędź dotąd.
I następna tutaj.
Chcemy zatem obliczyć objętość sześciokąta.
I to jest do wykonania.
Powiedzmy, że głębokość wynosi 3, podstawa, szerokość 4,
więc ta przestrzeń jest 12 razy większa od wysokości.
12 razy 2 jest 24.
Można stwierdzić, że jest to 24 metry sześcienne, w zależności
jakich jednostek używamy.

Korean: 
네
일단 x는 0과 3 사이고
여기서 x는 0이고요
여기서 x는 1,2,3입니다
y는 0과 4 사이입니다
1 2 3 4
그러니 xy평면은 이런 모양이겠죠
우리 직육면체의 기준면은 
이런 모양이겠네요
그리고 z는 0과 2 사이이고요
여기서 0은 xy평면이고
그 다음에 1 2
여기가 맨 위가 되겠네요
그 부분을 다른 색으로 해볼게요
이것은 xz 축을 따르고요
여기에 경계가 있을 것이고
다시 이런 모양으로 오겠죠
여기서 경계가 다시 생길 것입니다
다시 안쪽으로 들어와서
저쪽에 다시 경계가 있네요
그래서 우리는 직육면체의 부피를
알아내고 싶어하죠
당신은 할 수 있습니다
일단 높이는 3이고
기준면에서 가로는 4이고
면적이 12이고 세로를 곱하면
12에 2를 곱해 24가 됩니다
당신은 이것을 24단위정육면체라고
말할 수 있습니다
무슨 단위를 쓰던 간에요

Arabic: 
حسناً
قيمة اكس تقع بين صفر و ٣
هنا اكس تساوي صفر
هنا اكس تساوي ٣، لنعد واحد اثنين ثلاثة
و الـ واي بين صفر و ٤
1، 2، 3، 4.
حيث أن الفضاء أكس - واي سيبدو شيئا من هذا القبيل
انه نوعاً ما قاعدة المكعب، ستبدو شيئا من هذا القبيل
وبعد ذلك، زي بين صفر و ٢
هنا الصفر، هو في الفضاء اكس - واي
وبعدها اثنين ستكون هنا، في الجزء العلوي
وربما سأفعل ذلك بألوان مختلفة بعض الشيء
ولهذا فهذه على محور الـ زي
سيكون لديك حد هنا، وبعد ذلك حد آخر هنا
تأتي مثل هذا
لديك حد هنا، يأتي في مثل ذلك
حد آخر هناك
نريد معرفة حجم هذا المكعب
ويمكنك أن تفعل ذلك
يمكن القول، أيضا، وهو العمق 3، القاعدة، العرض هو 4،
حتى أن هذا المجال هو 12 مرة الارتفاع.
2 12 مرة من 24.
يمكنك أن تقول أنها 24 وحدة مكعب، أيا كان
وحدات نقوم به.

Portuguese: 
Sabemos que x tem
valores entre zero e três.
Aqui x é igual a zero.
Marcamos um, dois
e três em x.
y é entre
zero e quatro.
um, dois, três, quatro.
O plano x-y
fica assim.
Essa é a base
do paralelepípedo.
A dimensão z está
entre zero e dois.
Zero é o plano x-y,
e em z marcamos
um, dois.
Aqui é a altura.
Vou usar uma cor diferente.
Este é o plano x-z.
Temos uma aresta aqui,
e seguimos assim--
Outra aresta aqui,
e seguimos assim
e uma aresta aqui.
Queremos calcular o volume
desse paralelepípedo.
E você sabe como: a profundidade é três.
A largura, quatro.
Essa base é igual 12
vezes a altura.
12 vezes dois é igual a 24.
O volume é de 24 
unidades cúbicas,
ou seja lá que unidade
estamos usando.

Estonian: 
Olgu.
X on 0 ja 3 vahel.
Nii, et x on võrdne nulliga.
X on võrdne - vaatame, 1,2,3.
y on nulli ja nelja vahel.
1,2,3,4.
xy tasnd näeb välja selline.
Meie kuubi põhi näeb välja midagi sellist.
z on nulli ja ühe vahel.
Null on xy tasand, ja siis 1,2.
Nii, et see oleks pealmine osa.
Ma teen selle erinevat värvi.
See läheb piki xz tasandit.
Piir on siin ja
see tuleb niimoodi.
Piir on siin, see tuleb niimoodi.
Piir on seal.
Me tahame välja arvutada selle kuubi ruumala.
Te võiksite seda teha.
Te võite öelda, et sügavus on 3, põhjalaius on 4,
selle ala pindala on 12 korda kõrgus.
12 korda 2 on 24.
Te võite öelda, et see on 24 kuupühikut
ükskõik milliste ühikutega on meil tegemist.

Portuguese: 
Ok.
Então, x está entre 0 e 3.
Então isso é x igual a 0.
Este é x igual a-- vejamos, 1, 2, 3.
y está entre 0 e 4.
1, 2, 3, 4.
Então o plano x-y deverá ser parecido com isso.
A base do nosso cubo deve parecer com isso.
E z está entre 0 e 2.
Então 0 é o plano x-y, e então 1, 2.
Então este deve ser o topo.
E talvez eu farei isso numa cor levemente diferente.
Ao longo do eixo x-z.
Você tem um limite aqui, e então ele deve
ficar mais ou menos assim.
Você tem um limite aqui, que fica assim.
Um limite aqui.
Então nós queremos descobrir o volume deste cubo.
E você pode fazê-lo.
Você pode dizer, bem, a profundidade é 3, a base, a largura é 4,
então a área é 12 vezes a altura.
12 vezes 2 é 24.
Você pode dizer que são 24 unidades cúbicas, ou seja lá
qual unidades nós estamos usando.

German: 
OK.
Also x ist zwischen 0 und 3.
Also dies ist x gleich 0.
Dies ist x gleich-- mal sehen, 1, 2, 3.
y ist zwischen 0 und 4.
1, 2, 3, 4.
Also die x-z Ebene wird irgendwie so ausschauen.
Die Art Basis unseres Würfels wird ungefähr so ausschauen.
Und dann ist z zwischen 0 und 2.
So, 0 ist die x-y Ebene, und dann 1, 2.
Dies wäre der obere Teil.
Und vielleicht zeige ich das in einer etwas anderen Farbe.
So, dies ist entlang der x-z Achse.
Du hättest hier eine Schranke, und dann würde
es so weiter gehen.
Du hättest eine Schranke hier die so ankommen würde.
Eine Schranke dort.
So, wir möchten das Volumen dieses Würfels heraus finden.
Und so kannst Du es machen.
Du könntest sagen, die Tiefe ist 3, die Basis, die Weite ist 4,
also ist diese Fläche 12 mal die Höhe.
12 mal 2 ist 24.
Also hast Du 24 Kubik Einheiten, was auch immer
für Einheiten wir gerade mit arbeiten.

Portuguese: 
Vamos calcular isso
usando a integral tripla.
O que é uma 
integral tripla?
Imagine se pudêssemos 
calcular um volume de uma pequena--
não quero usar a palavra área--
Digamos calcular o volume
de um cubo bem pequeno
inserido aqui.
Isso vai fazer mais sentido,
e ser mais útil quando
tivermos limites variáveis,
e superfícies ou curvas como limites
Digamos que queremos calcular
o volume desse pequeno cubo.
Esse é o cubo.
Inserido no paralelepípedo.
Qual é o
volume desse cubo?
Digamos que sua 
largura seja dy.
A altura seja dz, certo?
No meu desenho, 
z varia na vertical.
E a profundidade seja dx.
Aqui temos dz.
E aqui dy.

Korean: 
하지만 삼중적분을 써봅시다
그러면 삼중적분이란 무엇인가요?
우리가 할 수 있는 것은 아주 작은
미소 부피를 잡아봅시다
즉 미소직육면체의 부피를 생각해 봅시다
여기 어딘가에 
부피를 모르는 채로 말이죠
그리고 변수 경계와 표면이나
곡선을 경계로 가지면 
더 이해가 될 거고
더 유용해지겠죠
하지만 그냥 이 작은 직육면체의
부피를 알고 싶다고 합시다
그것은 이 직육면체
이 직사각형 어딘가에
존재하고 있는 거죠
그럼 이 직육면체의 부피는 얼마죠?
일단 가로를 dy라 합시다.
일단 가로를 dy라 합시다.
저 길이는 이제 dy에요
세로는 dx입니다
아 죄송합니다
세로는 dz네요
제가 그린 대로라면요
높이는 dx입니다
이것이 dx이고요
이것이 dz
이것이 dy입니다

English: 
But let's do it as
a triple integral.
So what does a triple
integral mean?
Well, what we could do is we
could take the volume of a very
small-- I don't want to say
area-- of a very small volume.
So let's say I wanted to take
the volume of a small cube.
Some place in this-- in the
volume under question.
And it'll start to make more
sense, or it starts to become a
lot more useful, when we have
variable boundaries and
surfaces and curves
as boundaries.
But let's say we want to
figure out the volume of this
little, small cube here.
That's my cube.
It's some place in this larger
cube, this larger rectangle,
cubic rectangle, whatever
you want to call it.
So what's the volume
of that cube?
Let's say that its width is dy.
So that length
right there is dy.
It's height is dx.
Sorry, no, it's
height is dz, right?
The way I drew it,
z is up and down.
And it's depth is dx.
This is dx.
This is dz.
This is dy.

Spanish: 
Pero hagámoslo como una integral triple.
Entonces ¿Qué significa una integral triple?
Lo que podemos hacer es tomar el volumen de un muy
pequeño -no área- sino volumen.
Digamos que queremos calcular el volumen de un cubo muy pequeño.
En algún lugar en el volumen que tenemos.
Y empezará a tener mayor sentido o a ser
mucho más útil, cuando tenemos fronteras variables
y superficies o curvas como fronteras.
Pero digamos que queremos encontrar el volumen de este
pequeño cubo que está aquí.
Este es mi cubo.
Está en algún lugar de mi gran cubo, de este rectángulo más grande,
o rectángulo cúbico, como quieras llamarlo.
Entonces ¿Cuál es el volumen de ese cubo?
Digamos que el ancho es dy.
-
Entonces la longitud ahí es dy.
Su altura es dx
Perdón, no, su altura es dz, cierto?
De la forma que lo dibujé, z está hacia
Y su largo es dx.
Esto es dx.
Esto es dz.
Esto es dy.

Chinese: 
而下面我们要把它转换一下，变成三重积分
首先三重积分的定义是什么呢？
我们可以先用一个非常小的体积
（而不是一个小的面积）来举例
嗯，假设我们采用一个小立方体的体积
假设在我们已经画出的大立方体中的某个位置存在一个小立方体
可能再讲到后面一点的时候大家会越来越明白这样做的用意，而且这种假设小立方体会变得
更有用，在以后的课程中我们会引入变量界限、
表面界限和曲面界限等概念
但我们现在先来求出这个
小立方体的体积
这就是我们的小立方体（鼠标所指方向）
它在这个立方体中的某个位置
或者你可以称其为长方体
那么这个小立方体的体积是多少呢？
我们可以假设小立方体的宽是dy
我鼠标所指的这个地方的长度是dy
另其高度为dx
不好意思，它的高度应当是dz
嗯，这是因为z为图中的纵轴
于是小立方体的深度（也就是宽）是dx
这是宽 - dx
这是高 - dz
这是长 - dy

Russian: 
Но давайте решим в тройном интеграле.
Так что токое тройной интеграл?
Ну, то что мы могли бы сделать это мы могли бы принять объём очень
маленького-- я не хочу сказать площади-- очень небольшого объёма.
Так что пусть я хотел взять объем небольшой куб.
Некоторые места в этом--в объеме под вопросом.
И начнем сделать больший смысл, или он начинает становиться
более полезным, когда у нас есть переменная границ участка и
поверхности и кривых как границы.
Но давайте скажем, что мы хотим выяснить объем этого
маленький, малые куб здесь.
Вот моя куб.
Это место в этом больших Кубе, это больше прямоугольник
кубический прямоугольник, все, что вы хотите назвать его.
Что же такое объем этого Куба?
Предположим что его ширина dy.
Таким образом, чтобы длина прямо здесь-dy.
Его высота-dx.
К сожалению его высота нет, dz, правильно?
Я нарисовал, z можно вверх и вниз.
И его глубина dx.
Это dx.
Это dz.
Это dy.

Polish: 
Ale potraktujmy to jako całko potrójną.
Co wogóle oznacza całka potrójna?
Bierzemy bardzo małą objętość--
-- nie chodzi tu o powierzchnię.
Powiedzmy, że chcę obliczyć objętość małego sześcianu.
Niektórzy wpisują tutaj-- w objętość o której mowa.
Ma to sens i jest
bardzo pomocne, gdy krawędzie i powierzchnie są różnej długości
a krzywe są krawędziami.
Ale załóżmy, że chcemy obliczyć objętość
tego małego sześcianu.
To jest mój sześcian.
Jest gdzieś w tym większym sześcianie, większym prostokącie
prostokąt regularny, jakkolwiek go nazwiemy.
Jaka jest jego objętość?
Powiedzmy, że jego szerokość to dy.
Zatem ta długość też jest dy.
Wysokość dx.
Błąd, wysokość to dz, zgadza się?
Z idzie przecież od dołu do góry.
A głębokość to dx.
To jest dx.
To dz.
A to dy.

Thai: 
แต่ลองทำด้วยอินทิกรัลสามชั้นกัน
แล้วอินทิกรัลสามชั้นหมายถึงอะไร?
ทีนี้, ที่เราทำได้คือ เราเอาปริมาตรเล็กจิ๋ว
-- ผมไม่อยากบอกว่าพื้นที่ -- ของปริมาตรเล็ก ๆ
งั้นสมมุติว่า ผมเอาปริมาตรของลูกบาศก์เล็ก ๆ
สักอันในนี้ -- ในปริมาตรที่เราอยากหา
และมันจะเริ่มเข้าใจขึ้น, หรือมันเริ่ม
มีประโยชน์ขึ้น, เมื่อเรามีขอบ ผิว
และเส้นโค้งแปรค่าได้เป็นขอบ
แต่สมมุติว่าเราอยากหาปริมาตรของ
ลูกบาศก์เล็ก ๆ ตรงนี้
นั่นคือลูกบาศก์ผม
มันคือที่ที่นึงในลูกบาศก์อันใหญ่, สี่เหลี่ยมอันใหญ่,
สี่เหลี่ยมลูกบาศก์, อะไรก็ได้แล้วแต่คุณจะเรียก
แล้วปริมาตรของลูกบาศก์นั้นคืออะไร?
สมมุติว่าความกว้างคือ dy
-
ความยาวนั่นตรงนั้นคือ dy
ความสูงคือ dx
โทษที, ไม่, ความสูงคือ dz, จริงไหม?
วิธีที่ผมวาดมัน, z คือขึ้นกับลง
และความลึกคือ dx
นี่คือ dx
นี่คือ dz
นี่คือ dy

Arabic: 
ولكن دعونا نفعل ذلك كثلاثي لا يتجزأ.
حتى ماذا يعني لا يتجزأ من ثلاثي؟
حسنا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن الحجم جداً
الصغيرة-لا أريد أن أقول المنطقة اليوم لوحدة تخزين صغيرة جداً.
لذلك دعونا نقول أردت أن تأخذ حجم مكعب صغير.
بعض المكان في هذا اليوم في وحدة التخزين تحت السؤال.
وأنها سوف تبدأ في أكثر من معنى، أو يبدأ لتصبح
الكثير أكثر فائدة، عندما يكون لدينا حدود متغيرة و
الأسطح والمنحنيات كحدود.
ولكن دعنا نقول أننا نريد معرفة حجم هذا
مكعبات صغيرة قليلة، هنا.
هذا هو بلدي المكعب.
من مكان ما في هذا المكعب أكبر، هذا المستطيل أكبر،
مكعب المستطيل، أيا كان الذي تريد تسميته.
فما هو حجم هذا المكعب؟
دعنا نقول أن ما عرض هو dy.
حيث يكون طول هناك حق dy.
هو أنه في ذروة dx.
عذرا، لا، هذا الارتفاع هو dz، الحق؟
الطريقة التي وجهت عليه، ع صعودا وهبوطاً.
ومن العمق dx.
هذا هو dx.
وهذا هو dz.
وهذا هو dy.

Portuguese: 
Mas vamos usar uma integral tripla.
Então o que uma integral tripla significa?
Bem, o que nós podemos fazer é tirar o volume de uma bem
pequena-- eu não quero dizer área-- de um volume bem pequeno.
Então digamos que eu quero tirar o volume de um cubo minúsculo.
Algum lugar neste volume em questão.
E começará a fazer mais sentido, ou começará a ser bem
mais útil, quando tivermos limites variáveis e
superfícies e curvas como limites.
Mas vamos dizer que queremos descobrir o volume deste
pequeno cubo aqui.
Esse é meu cubo.
Está em algum lugar do cubo maior, este retangulo maior,
retângulo cúbico, ou seja lá como você queira chamá-lo.
Então qual o volume desse cubo?
Vamos dizer que sua largura é dy.
Então este comprimento aqui é dy
A altura é dx.
Perdão, não, a altura é dz, certo?
A forma como desenhei, z é de cima pra baixo.
E a profundidade é dx.
Isso é dx.
Isso é dz.
Isso é dy.

German: 
Aber lasst es uns mit einem dreifachen Integral machen.
Also was bedeutet dreifaches Integral?
Also, was wir machen könnten ist, das Volumen einer sehr
kleinen-- Ich möchte nicht sagen Fläche-- eines sehr kleinen Volumens nehmen.
Also lasst uns sagen, dass ich das Volumen eines kleinen Würfels nehmen möchte.
Einen Ort in diesem-- dem Volumen das wir bestimmen möchten.
Und ich werde Versuchen mehr Sinn zu machen, es wird beginnen
sehr viel nützlicher zu werden, wenn wir variable Schranken haben und
Oberflächen und Kurven als Schranken.
Aber lasst uns zunächst das Volumen dieses
kleinen, winzigen Würfels hier bestimmen.
Das ist mein Würfel.
Er ist mitten drinnen in diesem größeren Würfel, diesem größeren Rechteck,
Kubik Rechteck, wie immer Du es nennen möchtest.
Also, was ist das Volumen dieses Würfels?
Sagen wir mal, dass seine Weite gleich dy ist.
-
Also diese Länge genau hier ist dy.
Seine Höhe ist dx.
Entschuldigung, nein, die Höhe ist dz, nicht wahr?
Die Art und Weise, wie ich es gezeichnet habe ist, z ist hoch und runter.
Und die Tiefe ist dx.
Dies ist dx.
Dies ist dz.
Dies ist dy.

Estonian: 
Teeme seda kolmekordse integraalina.
Mida kolmekordne integraal tähendab?
Mida me võiks teha, et me võiks võtta väga väikse mahuga
--ma ei taha öelda ala -- väga väiksest mahust.
Ütleme, et me tahame võtta väikse kuubi ruumala.
Mõni koht selles- mahus on küsitavuse all.
See hakkab järjest rohkem mõttekamaks või lihtslt
rohkem kasulikumaks muutuma, kui meil on muutuvad piirid
ja pinnad ja kõverad piiriks.
Kuid ütleme, et me tahame teada selle
väikse kuubi mahtu.
See on minu kuup.
See on kuskil selles suuremas kuubis, see suur ristkülik,
kuubik ristkülik, milleks iganes tahate te seda nimetada.
Mis on selle kuubi maht?
Ütleme, et selle laius on dy.
Pikkus on dy.
Kõrgus on dx.
Vabandust, kõrgus on dz.
See kuidas ma joonistasin selle, z on üles ja alla.
Selle sügavus on dx.
See on dx.
See on dz.
See on dy.

Turkish: 
Şimdi, üç katlı integral olarak çözelim.
Üç katlı bir integralin anlamı nedir?
Çok küçük bir hacim aldığımızı düşünebiliriz.
-
Diyelim ki, çok küçük bir kübün hacmini aldık.
Bulacağımız hacmin içinde bir yerde, küçük bir küp.
Değişkenli, yüzey, eğri sınırlarımız olduğu zaman, bunun, çok daha anlamlı ve faydalı olduğunu göreceksiniz.
-
-
Ama, diyelim ki, şu küçük kübün hacmini bulmak istiyoruz.
-
Şuradaki küp.
Prizmamın içinde bir yerde duruyor.
-
Bu kübün hacmi nedir?
Enine dy diyelim.
-
Yani, şuradaki uzunluk, dy.
Boyu dx.
-
-
-
Burası dx.
Bu da dz.
Bu dy.

German: 
Also kannst Du sagen dass ein kleines Volumen innerhalb dieses größeren
Volumens-- Du kannst es dv nennen, welches eine Art
Volumen Differenzial ist.
Und das wäre gleich, sagen wir, es ist einfach
die Weite mal der Länge mal der Höhe.
dx mal dy mal dz.
Und Du könntest die Reihenfolge ändern, nicht wahr?
Weil Multiplikation assoziativ 
(Denk ans Assoziativgesetz) ist, und die Reihenfolge
egal ist und so weiter.
Aber wie auch immer, was kannst Du nun damit hier drinnen machen?
Nun, wir können das Integral nehmen.
All das was Integrale machen, ist uns helfen unendliche Summen von
unendlich kleinen Entfernungen, wie dz oder dx oder
dz, und so weiter zu bestimmen.
Also, was wir machen könnten ist, diesen Würfel nehmen und
als erstes in diese, lasst uns sagen, die z Richtung zu addieren.
Also könnten wir diesen Würfel nehmen und ihn dann entlang der hoch und
runter Achse-- der z-Achse-- addieren, so dass wir das
Volumen einer Säule erhalten.
Also wie würde das ausschauen?
Nun, da wir hoch und runter gehen, addieren wir-- wir

Thai: 
ดังนั้นคุณอาจบอกว่าปริมาตรเล็ก ๆ ภายในปริมาตรอันใหญ่
-- คุณอาจเรียกมันว่า dv, ซึ่งก็คือดิฟเฟอเรนเชียล
ปริมาตรอย่างนึง
และนั่นจะเท่ากับ, คุณอาจบอกว่า, มันก็คือ
ความกว้างคูณ ความยาวคูณ ความสูง
dx คูณ dy คูณ dz
และคุณอาจเปลี่ยนลำดับมันได้} จริงไหม?
เพราะการคูณนั้นเปลี่ยนที่ได้, และลำดับ
ไม่ได้สำคัญอะไรพวกนั้น
แต่ช่างเถอะ, คุณทำอะไรกับมันได้บ้าง?
ทีนี้, เราก็หาอินทิกรัลได้แล้ว
อินทิกรัลทั้งหมดช่วยเราหาผลรวมอนันต์ของ
ระยะเล็กจิ๋ว, อย่างเช่น dz หรือ dx หรือ
dy, ฯลฯ
งั้น สิ่งที่เราทำได้คือ เราสามารถเอาลูกบาศก์นี้มาก่อน
บวกมันเข้า สมมุติว่า ในทิศ z
งั้นเราสามารถเอาลูกบาศก์นั้นมาแล้วรวมมันตามแกน
ขึ้นลง -- แกน z -- โดยที่เราได้
ปริมาตรของคอลัมน์นึงได้
แล้วมันหน้าตาเป็นยังไง?
ทีนี้, เนื่องจากเรากำลังขึ้นลง, เรากำลังรวม -- เรา

Turkish: 
Şimdi, bu büyük hacmin içindeki küçük hacme, dv diyebiliriz. dv, yani hacim diferansiyeli.
-
-
Bu da eşittir, en çarpı boy çarpı yükseklik.
-
Yani, dx çarpı dy çarpı dz.
Sıralarını değiştirebiliyoruz, öyle değil mi?
Çarpmanın birleşme özelliği, işlem sırası önemli değil, vesaire, sebebiyle.
-
Neyse, şimdi ne yapacağız?
İntegrali alabiliriz.
İntegral, dx dy, dz gibi sonsuz küçüklükteki uzunlukların, sonsuz toplamlarını almamıza yarıyor.
-
-
Şimdi, önce, bu kübü alıp, z yönünde toplamlarını bulabilirim.
-
Bu kübün z ekseni boyunca toplamlarını alırsak, bir sütunun hacmini bulmuş oluruz.
-
-
Peki, bu neye benzer?
Yukarı aşağı gittiğimiz için, toplamı z yönünde almış oluyoruz.

Korean: 
그래서 큰 부피 안의 작은 부피를
일단 dv라 부르면
미분된 부피로 볼 수 있죠
그리고 그것은
가로 세로 높이의 곱과 같겠죠
dx dy dz의 곱과 말이에요
그리고 이 순서는 바뀔 수 있죠
곱셈은 결합법칙이 성립하고
순서는 전혀 상관이 없기 때문이죠
다시 돌아와서, 무엇을 할 수 있을까요?
일단 적분을 해 보죠
적분을 통해 얻을 수 있는 것은
dz dx dy와 같은 
아주 작은 거리들에 대해
무한히 더할 수 있다는 것이죠
일단 이 직육면체를 가지고
우선 z방향에서 더해 나갑시다
즉 직육면체를 가지고
z축을 따라 더해 나가면
부피를 구할 수 있겠죠
그래서 어떻게 되나요?
일단 우리는 위아래로 합을 구하면서

Estonian: 
Me võime öelda, et see väike kuubik selles suures kuubis
te võite seda nimetada dv, mis on
kuubi diferentsiaal.
See on võrdne, te võite öelda,
see on laius korda pikkus korda kõrgus
dx korda dy korda dz.
Te võite nende järjekorda muuta,eks?
Sest korrutamine on assotsiatiivne ja järjekord
ei loe ja kõik.
Kuid, mida te saate sellega teha?
Me saame võtta integraali.
Kõik integraalid aitavad meil võtta lõpmatu summasid
lõpmata väikestest vahemaadest, nagu dz või dx või
dy,jne.
Mida me teha saame, me võtame selle kuubiku ja
esmalt, lisame selle, ütleme, z suunas.
Me võime võtta kuubi ja siis lisada seda mööda telge
üles ja alla - z-telge- nii me saame
kuubi veeru.
Milline see välja näeb?
Kuna me läheme üles ja alla, me lisame-

Arabic: 
حيث يمكنك أن تقول أن كمية صغيرة داخل هذا أكبر
وحدة التخزين-هل يمكن تسمية ذلك dv، هو نوع من
حجم التفاضلية.
وسيكون ذلك يساوي، يمكن القول، أنها مجرد
العرض الأوقات الطول أوقات ذروة.
dx الأوقات dy مرات dz.
ويمكن التبديل بناء على أوامر من هذه، الحق؟
لأن تكاثر التضامنية، وتأمر
لا يهم وكل ما.
ولكن على أية حال، ماذا يمكنك أن تفعل معها هنا؟
حسنا، يمكن أن نتخذها في المتكاملة.
تكاملات جميع تساعدنا على القيام به هو يساعدنا تأخذ مبالغ لا حصر له من
مسافات صغيرة متناهية، مثل dz أو dx أو
dy، إلخ.
لذا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب و
أولاً، إضافة في، دعنا نقول، باتجاه z.
حتى أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب وثم إضافته على طول لأعلى و
أسفل محور اليوم محور "ع"-حيث أن نحصل
حجم العمود.
حتى ما تود أن تبحث؟
حسنا، وبما أننا في طريقنا صعودا وهبوطاً، كنت مشيراً إلى أننا-نحن

Polish: 
To jest ta mała objętość sześcianu, który znajduje się w większym sześcianie
można ją nazwać dv, co jest rodzajem
różniczki objętości.
I to się równa,
szerokość razy długość razy wysokość.
dx razy dy razy dz.
Kolejność nie ma znaczenia,
ponieważ mnożenie jest łączne,
i kolejność jest nieważna.
Dobrze, ale co możemy tutaj zrobić?
Można zastosować całkę.
Całki pomagają zostosować nieskończone sumy
niezwykle małych odległości, jak np. dz czy dx
czy dy, itd.
Zatem najpierw powinniśmy zająć się tym sześcianem
i dodać odległość z.
Możemy dodać odległość
na osi z, tak by otrzymać
objętość kolumny.
Jak to wygląda w praktyce?
Ponieważ kierujemy się w górę i w dół, dodajemy--

Chinese: 
所以我们可以把大立方体之中的小立方体的
体积称作dv，也就是一种
体积微分
而你可以这么理解，它就相当于
长乘宽乘高
即，dx 乘 dy 乘 dz
你也可以把相乘的三个元素交换位置，不是么？
这来源于乘法交换律，也意味着乘积顺序
并不那么至关重要

Russian: 
Так что вы можете сказать, что небольшой объем в этом контексте больше
Объём кузова--можно просто вызвать этот dv, который является своеобразной
объем дифференциального.
И это будет равным, можно сказать, это просто
Ширина раз длину раз высоты.
DX раз dy раз dz.
И можно было переключить заказы из них, правильно?
Потому что умножение ассоциативных и заказать
не имеет значения и все такое.
Но в любом случае, что вы можете сделать с ним здесь?
Ну мы можем взять интеграл.
Все интегралы помогают нам сделать это поможет нам принимать бесконечных сумм
бесконечно малых расстояниях, как dz или dx или
в dy и так далее.
Так, что мы могли бы сделать это, мы могли бы принять этот куб и
Во-первых добавить его в, скажем так, оси z.
Таким образом мы могли бы принять этот куб и затем добавить его вдоль вверх и
вниз оси — ось z — таким образом, чтобы мы получаем
объем столбца.
Так что бы это выглядеть?
Ну поскольку мы собираемся вверх и вниз, мы добавляем — мы уже

Portuguese: 
Então você pode dizer que o pequeno volume em relação a este grande
volume-- você pode chamá-lo de dv, o que é algo como um
volume diferencial.
E isso poderia ser igual a, você sabe, apenas
a largura vezes o comprimento vezes a aultura.
dx vezes dy vezes dz.
E você pode mudar a ordem deles, certo?
Porque a multiplicação é associativa, e a ordem
não tem importancia alguma.
Mas de qualquer forma, o que você pode fazer com isso aqui?
Bem, nós podemos tirar a integral.
Integrais servem para nos ajudar a tirar somas infinitas de
distancias infinitamente pequenas, como um dz, ou um dx, ou
um dy, et cetera.
Então, o que podemos fazer é pegarmos este cubo e
antes, multiplicá-lo, digamos, na direção z.
Então nós podemos pegar este cubo e multiplicá-lo ao longo do eixo
que vai de cima até embaixo-- o eixo z-- então nós obtemos o
volume de uma coluna.
Então como isso iria parecer?
Bem, como estamos indo pra cima e pra baixo, nós estamos multiplicando-- estamos

English: 
So you can say that a small
volume within this larger
volume-- you could call that
dv, which is kind of the
volume differential.
And that would be equal to,
you could say, it's just
the width times the
length times the height.
dx times dy times dz.
And you could switch the
orders of these, right?
Because multiplication is
associative, and order
doesn't matter and all that.
But anyway, what can you
do with it in here?
Well, we can take the integral.
All integrals help us do is
help us take infinite sums of
infinitely small distances,
like a dz or a dx or
a dy, et cetera.
So, what we could do is we
could take this cube and
first, add it up in, let's
say, the z direction.
So we could take that cube and
then add it along the up and
down axis-- the z-axis--
so that we get the
volume of a column.
So what would that look like?
Well, since we're going up and
down, we're adding-- we're

Portuguese: 
Digamos que esse
volume menor,
inserido no volume maior--
vamos chamá-lo de dv --
seja um tipo de 
volume diferencial.
E isso será igual à
profundidade vezes largura vezes altura.
dx vezes dy vezes dz.
Pode-se mudar
a ordem desses termos,
pois a multiplicação
é associativa.
Ou seja, a ordem
dos termos não importa.
Prosseguindo, o que podemos 
fazer com esse volume?
Bem, poderíamos
tomar a integral.
As integrais servem para 
calcular somas infinitas de
distâncias infinitamente pequenas,
tais como dz, dx, dy, etc.
Vamos considerar esse cubo,
e somá-lo várias vezes
na direção de z.
Somá-lo para cima e para baixo,
ao longo do eixo z,
resultando no volume de uma coluna.
Como seria isso?
Como estamos somando
os pequenos cubos na vertical,

Spanish: 
Entonces puedes decir que un pequeño volumen dentro de este mayor
volumen -puedes llamarlo dv, que es el
diferencial del volumen.
Y eso será igual a, puedes decir, que es precisamente
el ancho por el largo por el alto.
dx por dy por dz.
Y puedes cambiar el orden de éstos, cierto?
Porque la multiplicación es asociativa, entonces el
orden no importa.
En todo caso, ¿Qué puedes hacer con esto?
Podemos usar la integral.
Todas las integrales nos ayudan a sumar infinitas partes de
infinitas pequeñas distancias, como dz o dx o
dy, etc.
Entonces, lo que podemos hacer es tomar el cubo y
primero, sumar en la dirección de z.
Entonces podemos tomar el cubo y luego sumar a lo largo del
eje hacia arriba y abajo, el eje z, para obtener
el volumen de la columna.
¿Y cómo se vería esto?
Como vamos hacia arriba y abajo,

Portuguese: 
ao longo do eixo z,
teremos uma integral.
Qual é o menor valor de z?
z é igual a zero.
E o limite superior de z?
Ou seja, se adicionarmos
cubos na vertical
até chegar no plano superior,
qual é o limite?
Z é igual a dois.
E agora vamos somar esses dvs.
Vou somar o dz primeiro,
para reforçar que faremos
a integral de z primeiro.
Faremos y em seguida.
E por último x.
Então, essa integral,
do jeito que escrevi,
calcula o volume de uma coluna,
para qualquer valores de x e y.
Ela é uma função de x e y,
mas como estamos lidando
com todas as constantes aqui,
esse valor será
uma constante.
Ele representa o valor constante
do volume de cada 
uma dessas colunas.
Essencialmente, equivale 
a duas vezes dy vezes dx.
Pois a altura dessa
coluna é dois.

Arabic: 
أخذ المبلغ في اتجاه z.
سيكون لدينا يتجزأ.
ومن ثم ما هو أقل قيمة z؟
حسنا، z أنه يساوي 0.
وما هو الحد الأعلى؟
كما لو كنت مجرد اتخاذ-الاحتفاظ بإضافة هذه المكعبات، و
الاحتفاظ بالصعود، يمكنك أن تصل إلى الحد الأعلى.
وما هو الحد الأعلى؟
Z أنه يساوي 2.
والطبع، كنت تأخذ مجموع هذه dv.
وأنا اكتب dz أولاً.
فقط حيث أنه يذكرنا بأن ونحن في طريقنا إلى
أخذ متكاملة فيما يتعلق z أولاً.
ودعونا نقول أننا سنفعل y التالي.
وبعد ذلك سنفعل x.
وحتى هذا المتكاملة، هذه القيمة، كما قمت بكتابة، سوف
معرفة حجم عمود إعطاء أي x و y.
أنها سوف تكون مهمة من x و y، ولكن بما أننا نتعامل مع
جميع الثوابت هنا، فهو فعلا سيكون
قيمة ثابتة.
أنها سوف تكون قيمة ثابتة من حجم واحد
من هذه الأعمدة.
ذلك في الأساس، سيكون dx dy 2 مرات.
لأن ارتفاع أحد هذه الأعمدة 2،

Portuguese: 
tirando a soma na direção z.
Nòs temos uma integral.
Então qual o menor valor de z?
Bem, é z igual a 0.
E qual o limite superior?
Continue adicionando estes cubos, e
continue indo pra cima, você acaba no limite suerior.
E qual o limite superior?
É z igual a 2.
E, claro, você deve ter a soma desses dv's.
E eu escreverei dz ates.
Apenas para lembrar que nós iremos
tirar a integral relacionada a z antes.
Digamos então que faremos y em seguida.
E então faremos x.
Então esta integral, este valor, como eu escrevi, irá
descobrir o volume de uma coluna dado algum x e algum y.
Estará em função de x e y, porém como estamos lidando com
todos constantes aqui, será um
valor constante.
Será o valor constante do volume de uma
dessas colunas.
Então, essecialmente, será 2 vezes dy dx.
Porque a altura de uma coluna dessas é 2,

Thai: 
กำลังรวมในทิศ z
เราจะได้อินทิกรัล
แล้วค่า z ที่น้อยที่สุดคืออะไร?
ทีนี้, มันก็แค่ z เท่ากับ 0
แล้วขอบบนล่ะ?
เช่นเดียวกัน คุณก็เอา -- ลูกบาศก์พวกนี้รวมกัน
ขึ้นไปเรื่อย ๆ จนคุณไปถึงขอบบบน
งั้นขอบบนคืออะไร?
มันคือ z เท่ากับ 2
-
และแน่นอน, คุณได้รวม dv พวกนี้
และผมจะเขียน dz ก่อน
แค่ให้เรารู้ว่าเรากำลัง
หาอินทิกรัลเทียบกับ z ก่อน
แล้วสมมุติว่าเราทำ y ต่อ
แล้วเราจะทำ x
ดังนั้นในอินทิกรัลนี้, ค่านี้, อย่างที่ผมเขียนมัน, จะ
บอกปริมาตรของคอลัมน์ ณ ค่า x กับ y ใด ๆ
มันจะเป็นฟังก์ชันของ x กับ y, แต่เพราะเรากำลังยุ่ง
กับค่าคงที่ตรงนี้, มันจะเป็นค่า
คงที่
มันจะเป็นค่าคงที่ คือ ปริมาตรของ
คอลัมน์พวกนี้หนึ่งอัน
งั้นในที่สุด มันเท่ากับ 2 คูณ dy dx
เพราะความสูงของคอลัมน์แต่ละอันเท่ากับ 2

Polish: 
interesuje nas suma w kierunku z.
Otrzymalibyśmy całkę.
Jaka jest najniższa wartość z?
Z jest równe 0.
A jaka jest górna granica?
Dodawaj sześciany, i
idź w górę, dojdziesz wtedy do górnej granicy.
A jaka jest góna granica?
Jest równa 2.
Oczywiście należałoby wziąć sumę objętości dv.
Zapiszę dz jako pierwsze,
żeby pamiętać, że mamy
zastosować całkę najpierw z z.
Potem zrobimy y.
A na końcu x.
Za pomocą tej całki, tej wartości, którą zapisałem,
obliczymy objętość kolumny podając x i y.
To będzie funkcja x i y, ale ponieważ zajmujemy się tutaj
stałymi, będzie to również
wartość stała.
Będzie to stała wartość jednej
z tych kolumn.
Ogólnie rzecz biorąc, będzie to wyglądać tak: 2 razy dy dx.
Ponieważ wysokość jednej z tych kolumn wynosi 2,

Turkish: 
-
Bu da demektir ki, bir integralimiz var.
En küçük z değeri nedir?
z eşittir 0.
Üst sınırı nedir?
Bu küpleri toplayarak yukarı çıkarken, üst sınıra rastlarız.
-
Üst sınır nedir?
z eşittir 2.
-
Ve, tabii ki, bu dv'lerin toplamlarını alırız.
Önce dz yazayım.
Bu, bize, ilk olarak z yönünde integral alacağımızı hatırlatsın.
-
Sonra, y yönünde integral alalım.
Ve sonra da, x yönünde.
Buna göre, bu integral, herhangi bir x ve y değerindeki sütunun hacmini bize verecek.
-
x ve y cinsinden bir fonksiyon olacak, ama, bu örnekte sadece sabitlerle çalıştığımız için, bu örnekte sonuç, sabit bir değer çıkacak.
-
-
Bu sütunların birinin sabit hacmi olacak.
-
Yani, 2 çarpı dy dx.
Çünkü sütunların yüksekliği 2, eni dy ve boyu dx.

German: 
nehmen die Summe in die z Richtung.
Wir haben ein Integral.
Und was ist nun der niedrigste z Wert?
Nun, es ist z ist gleich 0.
Und was ist die obere Schranke?
Fahre einfach fort diese Würfel zu addieren und
gehe weiter hoch bis Du an die obere Schranke stösst.
Und was ist die obere Schranke?
Es ist z gleich 2.
-
Und natürlich würdest Du die Summe dieser dv´s nehmen.
Und ich werde zuerst dz schreiben.
Einfach damit es uns daran erinnert, dass wir
das Integral von z zuerst nehmen werden.
Und lasst uns sagen, dass wir y als nächstes nehmen.
Und dann nehmen wir x.
Also dies Integral, dieser Wert, wie ich ihn geschrieben habe, wird
das Volumen einer Säule mit jedem gegebenen x und y berechnen.
Es wird eine Funktion von x und y, aber da wir hier nur mit
Konstanten arbeiten, wird es ein
konstanter Wert werden.
Es wird der konstante Wert des Volumens einer
dieser Säulen werden.
Also im Wesentlichen, es wird 2 mal dy dx.
Da die Höhe einer dieser Säulen 2 ist,

Estonian: 
me võtame summa z suunas.
Me tahaks saada integraali.
Mis on z vähimväärtus?
Nii, z on võrdne nulliga.
Mis on ülemine piir?
Nagu te võtaksite neid kuubikuid -- lisate neid ja
jätkate üksteise peale panekut, lõpuks te jõuaksite ülemise piirini.
Mis on ülemine piir?
Z on võrdne kahega.
Muidugi, te tahaksite võtta selle dv summa.
Ma kirjutan dz esimesena.
Meenutamaks meile, et me hakkame
võttma integraali z suhtes.
Ütleme, et me teeme y järgmisena.
Ja siis x.
See on integraal, selle väärtus, nagu ma olen kirjutanud,
selgitab välja, mis tahes x ja y kuubi veeru.
See on x ja y funktsioon, kuid kuna me tegeleme
kõikide konstandidega, sellest saab
püsiv väärtus.
Sellest saab püsiv väärtus ühele
ruumala veerule.
Sisuliselt, see oleks kaks korda dy dx.
Sest ühe veeru kõrgus on kaks

Korean: 
즉 z축에서의 합을 구하고 있죠
적분값을 얻겠네요
자, 가장 작은 z값이 얼마였죠?
z의 최솟값은 0이네요
최댓값은 얼마였죠?
이 직육면체들을 계속 더해 나가고
계속 위로 올라가면 
최고 경계에 도달할 겁니다
최댓값은 얼마였죠?
z의 최댓값은 2입니다
z의 최댓값은 2입니다
그리고 당연하게도 
이런 미소량의 합을 구할 겁니다
우선 dz부터 쓰겠습니다
그걸 통해서 z를 우선적으로
적분한다는 것을 상기하기 위해서요
그리고 y를 그 다음으로 하고
그 다음에 x를 합시다
그래서 이 적분값으로
주어진 x와 y의 크기를 
알아낼 수 있을 것이고
아마 x나 y에 대한 함수가 되겠지만
여기서는 상수만을 다루고 있으므로
상수값이 되겠죠
이 부피들을 나타내는
상수값일 겁니다
그래서 이는 2를 dy dx에 
곱하는 것일 겁니다
이 기둥들 중 하나의 
높이가 2이고

Russian: 
принимая на сумму в направлении оси z.
Нам пришлось бы интеграл.
И тогда что наименьшее значение z?
Ну это z равна 0.
И то, что верхняя граница?
Как если бы вы просто взять--держать добавить эти Кубы и
будет держать вверх, вы будет запускать в верхней границы.
И то, что верхняя граница?
Это z равен 2.
И конечно же, вы бы сумма этих dv.
И я буду писать dz сначала.
Просто так он напоминает нам, что мы собираемся
принять первый интеграл по z.
И предположим, что мы будем делать и дальше.
И тогда мы будем делать x.
Так что этот интеграл, это значение, как я написал его, будут
Выясните, объем столбца x и y.
Это будет в зависимости от x и y, но так как мы имеем дело с
Здесь все константы, это на самом деле будет
Постоянное значение.
Это будет постоянное значение объема одной
из этих столбцов.
Поэтому по сути дела это будет 2 раза dy dx.
Потому что высота одного из этих колонок-2,

Spanish: 
tomamos la suma en la dirección z.
Tendremos una integral.
¿Cuál será el menor valor de z?
Es z igual a 0.
¿Y cuál es el mayor valor?
Como si fueras a tomar - sigue sumando esos cubos y
sigue subiendo, llegarás al límite alto.
¿Y dónde está lo más alto?
es cuando z es igual a 2.
-
Por supuesto, tomarás la suma de estos dvs.
Y anotaré primero dz.
Para que recordemos que
tomaremos primero la integral respecto a z.
Luego haremos la de y.
Y finalmente la x.
Entonces esta integral, este valor, como lo he escrito,
nos dará el volumen de una columna dado cualquier x e y.
Será una función de x e y, pero como estamos trabajando con
constantes, nos dará
un valor constante.
Será el valor constante del volumen de una
de esas columnas.
En este caso, será 2 por dy dx.
Ya que la altura de una de esas columnas es 2,

English: 
taking the sum in
the z direction.
We'd have an integral.
And then what's the
lowest z value?
Well, it's z is equal to 0.
And what's the upper bound?
Like if you were to just take--
keep adding these cubes, and
keep going up, you'd run
into the upper bound.
And what's the upper bound?
It's z is equal to 2.
And of course, you would
take the sum of these dv's.
And I'll write dz first.
Just so it reminds us
that we're going to
take the integral with
respect to z first.
And let's say we'll do y next.
And then we'll do x.
So this integral, this value,
as I've written it, will
figure out the volume of a
column given any x and y.
It'll be a function of x and y,
but since we're dealing with
all constants here, it's
actually going to be
a constant value.
It'll be the constant value
of the volume of one
of these columns.
So essentially, it'll
be 2 times dy dx.
Because the height of one
of these columns is 2,

Arabic: 
ومن ثم، مع وعمقه dy و dx.
ثم حتى إذا كنا نريد معرفة حجم كامل اليوم ما
وقد فعلنا الآن هو أننا احسب ارتفاع عمود.
حتى ذلك الحين يمكن أن نأخذ هذه الأعمدة وجمع لهم
في اتجاه y.
حتى إذا كنت الجمع ونحن في اتجاه y، أننا يمكن أن تأخذ فقط
متكاملة أخرى من هذا المبلغ في اتجاه y.
ويذهب y من 0 إلى ماذا؟
يذهب y من 0 إلى 4.
لقد كتبت هذا المتكاملة قليلاً جداً الآن من
غادر، يبدو غريبا.
ولكن أعتقد أن تحصل على الفكرة.
y يساوي 0، إلى y يساوي 4.
ثم أنه سوف يعطي لنا حجم الورقة التي يتم
وإلى جانب الطائرة زد.
والكل ثم تركنا للقيام بإضافة حتى حفنة من تلك
أوراق في اتجاه x، وسيتعين علينا أن الحجم
لدينا رقم كامل.
حيث إضافة تلك الأوراق، سيتعين علينا أن مجموع
في اتجاه x.
وسوف نذهب من x يساوي 0، إلى x يساوي 3.
وتقييم هذا في الواقع إلى حد ما
مباشرة.

Russian: 
и затем его с и его глубина dx и dy.
Так тогда, если мы хотим понять весь объем--то, что
Мы сделали это только сейчас, мы понял, высоту столбца.
Тогда мы могли бы взять эти столбцы и сложить их
по оси y.
Так что если мы суммирования по оси y, мы могли бы просто взять
еще один интеграл этой суммы по оси y.
И y идет от 0 до чего?
y идет от 0 до 4.
Я написал этот интеграл немного слишком далеко к
слева, он выглядит странно.
Но я думаю, что вы получите эту идею.
y равно 0, на что y равно 4.
И тогда это будут давать нам объем листа
параллельно плоскости zy.
А затем все, что нам осталось сделать, это добавить вверх кучу тех
листы по оси x, и мы будем иметь объем
нашей всей фигуры.
Таким образом, чтобы эти листы, мы бы не к сумме
по оси x.
И мы пошли бы от x равен 0, до x равно 3.
И оценивать это на самом деле довольно
простой.

Estonian: 
ja selle laius ja sügavus on dy ja dx.
Kui me tahame teada kogu ruumala,
mida me tegime just, et me saime teada veeru kõrguse.
Nüüd me võtame need veerud ja liidame need
y suunas.
Kui mee liidame y suunsa, me võime võtta lihtsalt
teise integraali sellest summast y suunas.
Y läheb nullist milleni?y läheb nullist neljani.
Ma kirjutasin selle integraali liiga kaugele vasakule,
see näeb imelik.
Kuid, ma arvan, et saad ideele pihta.
y on võrdne nulliga, kuni y on võrdne neljaga.
See annab meile selle mahu lehe, mis
on paralleelne xy tasandiga.
Kõik mis meil jäänud teha, on lisada hunnik neid
lehti, mis on x suunas ja me saame terve mahu
oma tervest joonisest.
Et lisada neid lehti, me peaksime liitma need
x suunas.
x on võrdne nulliga,kuni x on võrdne kolmega.
KUi hinnata seda, siis see on tegelikult üsna
arusaadav.

Korean: 
가로 세로가 dy dx이기 때문이죠
그래서 우리가 
전체 부피를 알고 싶다면
일단 지금 우리가 한 것은 
높이를 구한 것이므로
y방향에서 합을 구하면
될 것 같습니다
즉 y방향에서 합을 구한다면
y방향의 적분값을 구하면 되겠네요
y는 0부터 4까지입니다
이 적분을 너무 왼쪽에 써서
조금 이상해 보이긴 해도
이해할 수는 있을 겁니다
y는 0부터 4까지입니다
그러면 이제 우리는 zy 평면에 평행한
한 면의 크기를 구할 수 있겠네요
그러면 이제는 x축 상의 면들에서
합을 구하면 되고
그러면 전체 부피가 나오겠네요
이 면들을 더하기 위해서는
x축 상의 합을 구하면 되겠네요
x를 0에서 3까지 합하면 됩니다
되돌아보면 이 과정은
상당히 직관적입니다

Polish: 
a jej szerokość i głębokość to dy i dx.
Jeśli chcemy obliczyć całą objętość--
przed chwilą obliczyliśmy wysokość kolumny.
Następnie liczymy sumę tych kolumn
w kierunku y/na osi y.
Jeśli liczymy sumę na osi y, możemy zastosować
inną całkę tej sumy na osi y.
Y zaczyna się w 0 a kończy? W 4.
Zapisałem tę całkę za bardzo z lewej strony,
wygląda to dość dziwnie.
Ale myślę, że wiesz o co chodzi.
Y równa się od 0 do 4.
I to nam da objętość arkusza/pola
równoległego do przestrzeni zy.
I pozostało nam jedynie dodać
pola zgodne z kierunkiem osi x, i uzyskamy objętość
całej figury.
Żeby dodać te pola musimy, musimy dodawać
w kierunku x.
I idziemy od x równa się 0 do x równa się 3.
Obliczenie tego okazuje się
dosyć proste.

Thai: 
แล้วความกว้างกับความลึกคือ dy กับ dx
ดังนั้นหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมด -- สิ่ง
ที่เราเพิ่งทำไป คือ เราหาความสูงของคอลัมน์อันนึง
แล้วเราก็เอาคอลัมน์พวกนั้นมาแล้วรวมมัน
ในทิศ y
ดังนั้นหากเรารวมมันในทิศ y, เราแค่หาอินทิกรัล
อีกทีของผลรวมในทิศ y
และ y ไปจาก 0 ถึงอะไร? y ไปจาก 0 ถึง 4
ผมเขียนอินทิกรัลนี้ไปทางซ้ายไกลไปหน่อย
มันดูแปลก ๆ
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4
แล้วนั่นจะบอกเราถึงปริมาตรของแผ่นที่
ขนานกับระนาบ zy
แล้วที่เราเหลือ ก็คือ รวมแผ่นพวกนั้น
ในทิศ x, และเราจะได้ปริมาตร
ของรูปทั้งหมดของเรา
ดังนั้นในการรวมแผ่นพวกนั้น, เราต้องรวม
ในทิศ x
และเราจะไปจาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3
และการหาค่ามัน ก็ค่อนข้าง
ตรงไปตรงมา

German: 
und dann die Weite und Höhe dy und dx sind.
Also wenn wir das gesamte Volumen herausfinden möchten-- was
wir gerade gemacht haben, ist die Höhe der Säule heraus zu finden.
Also dann können wir diese Säulen nehmen und
in die y Richtung summieren.
Also wenn wir in die y Richtung summieren, können wir einfach
ein anderes Integral dieser Summe in die y Richtung nehmen.
Und y geht von 0 bis wohin? y geht von 0 bis 4.
Ich habe dieses Integral ein bisschen zu weit nach
links geschrieben, es schaut seltsam aus.
Aber ich denke Du verstehst die Idee.
y ist gleich 0, bis y ist gleich 4.
Und dann gibt uns dies das Volumen der Fläche die
parallel zur zy Ebene ist.
Und alles war wir nun noch machen müssen ist eine Reihe von diesen
Flächen in der x Richtung zu addieren, und wir haben das Volumen
unseres gesamten Körpers.
Also um diese Flächen zu addieren würden wir
in die x Richtung summieren.
Und wir würden von x ist gleich 0 zu x ist gleich 3 gehen.
Und dieses abzuschätzen ist tatsächlich
sehr unkompliziert.

English: 
and then its with and
its depth is dy and dx.
So then if we want to figure
out the entire volume-- what
we did just now is we figured
out the height of a column.
So then we could take those
columns and sum them
in the y direction.
So if we're summing in the y
direction, we could just take
another integral of this
sum in the y direction.
And y goes from 0 to what?
y goes from 0 to 4.
I wrote this integral a
little bit too far to the
left, it looks strange.
But I think you get the idea.
y is equal to 0, to
y is equal to 4.
And then that'll give us the
volume of a sheet that is
parallel to the zy plane.
And then all we have left to do
is add up a bunch of those
sheets in the x direction, and
we'll have the volume
of our entire figure.
So to add up those sheets,
we would have to sum
in the x direction.
And we'd go from x is equal
to 0, to x is equal to 3.
And to evaluate this
is actually fairly
straightforward.

Portuguese: 
então sua largura e profundidade são dy e dx.
Então se nós queremos descobrir o volume total-- o que
nós acabamos de fazer é descobrir o valor da altura de uma coluna.
Então nós podemos pegar essas colunas e multiplicá-las
na direção y.
Então se nós estamos multiplicando na direção y, nós podemos simplesmente tirar
outra integral dessa soma na direção y.
E y vai de 0 até onde? y vai de 0 até 4.
Eu escrevi esta integral um pouco demais para a
esquerda, ficou estranho.
Mas acho que você entendeu.
y igual a 0, y igual a 4.
E então isso irá nos dar o volume de uma folha que é
paralela ao plano zy.
E então tudo que nos resta fazer é adicionar outras dessa
folha na direção x, e nós temos o volume
da nossa figura inteira.
Então para somar estas folhas novas, devemos multiplicar
na direção x.
E nós vamos de x igual a 0 até x igual a 3.
E resolver isso é bastante
intuitivo.

Spanish: 
luego su ancho y largo es dy y dx.
Entonces si queremos encontrar el volumen total-
lo que acabamos de hacer fue encontrar la altura de una columna.
Entonces podemos tomar las columnas y sumarlas
en la dirección y.
Entonces si sumamos en la dirección y, podemos tomar
otra integral de esta suma en la dirección y.
¿y va de 0 a cuánto? y está entre 0 y 4.
Anoté la integral muy a la
izquierda, se ve raro.
Pero creo que entiendes la idea.
y es igual a 0 hasta y es igual a 4.
Luego esto nos dará el volumen de una hoja que es
paralela al plano zy.
Luego lo único que nos falta es sumar todas estas
hojas en la dirección x, y tendremos el volumen
de toda nuestra figura.
Entonces para sumar todas esas hojas, tendremos que sumar
en la dirección x.
Iremos de x igual a 0, hasta x igual a 3.
Y evaluar esto es bien sencillo.
sencillo.

Turkish: 
-
Şu ana kadar, bir sütunun yüksekliğini bulduk. Tüm hacmi bulmak için ise, şu sütunları y yönünde toplayabiliriz.
-
-
-
Eğer, y yönünde toplama yapıyorsak, toplamın y yönünde integralini alabiliriz.
-
y kaçtan kaça gidiyor? 0'dan 4'e.
-
-
-
y eşittir 0. y eşittir 4.
Bu da bize, zy düzlemine paralel bir kağıt yaprağının hacmini verir.
-
Şimdi, tek yapmamız gereken, x yönünde bu yaprakları toplamaktır. Ve böylece, prizmamızın hacmini buluruz.
-
-
Bu yaprakları toplamak için, x yönünde toplam almamız gerekiyor.
-
O zaman, x eşittir 0'dan, x eşittir 3'e gidiyoruz.
Bunu hesaplamak, kolay sayılır.
-

Portuguese: 
Sua largura e profundidade
são dy e dx.
E se queremos calcular o valor
de uma coluna inteira?
-- até aqui descobrimos apenas
a altura de uma coluna.
Para isso somamos agora
todas as colunas
na direção do eixo y.
Para somar as colunas 
na direção de y
usamos essa outra integral,
para a soma dos valores em y.
Y assume valores 
entre zero e quatro.
Escrevi essa integral muito para esquerda.
Mas acho que vocês entenderam.
Y é igual a zero, até y é igual a quatro.
E isso nos dará o volume de um plano
paralelo ao plano zy.
E então somamos alguns
desse planos na direção x
e teremos o volume de toda a figura.
Então, somamos 
os planos
na direção de x,
para valores de x 
entre zero e três.
Esse é um cálculo
bem simples e direto.

Arabic: 
وهكذا، أولاً نقوم متكاملة فيما يتعلق z.
حسنا، ليس لدينا أي شيء مكتوب تحت هنا، ولكن علينا
يمكن أن مجرد افتراض أن هناك حق 1،؟
لأن أوقات dz dy مرات dx هو الشيء نفسه
dz مرات 1 مرات dy dx.
فما هو قيمة هذا لا يتجزأ؟
حسنا، أنتيديريفاتيفي 1 فيما يتعلق
z z عادل، يصح؟
لأنه مشتق z هو 1.
وتقييم ذلك من 2 إلى 0.
حتى ذلك الحين كنت غادرت مع--لذلك فإنه ناقص 0 2.
حتى كنت فقط غادرت مع 2.
لذلك كنت غادرت مع 2، ويمكنك اتخاذ المتكاملة من ذلك من
y يساوي 0، إلى y يساوي 4 دي، ومن ثم
لديك x.
من x يساوي 0، إلى x يساوي 3 dx.
والإشعار، عندما اتخذنا فقط متكاملة فيما يتعلق
z، لقد انتهى الأمر مع متكاملة مزدوجة.
وهذا متكاملة مزدوجة هي متكاملة الدقيق سيكون لدينا
حرر في أشرطة الفيديو السابقة في حيث لا يتجزأ، مزدوجة لك
أن ذكرته للتو، حسنا، z دالة x و y.

German: 
Also, als erstes nehmen wir das Integral von z.
Nun, wir haben nichts hier unten geschrieben, aber wir
können einfach annehmen, dass dort eine 1 steht, nicht wahr?
Weil dz mal dy mal dx das gleiche ist wie
1 mal dz mal dy dx.
Also was ist der Wert dieses Integrals?
Nun, die Stammfunktion von 1 unter Berücksichtigung von
z ist einfach nur z, nicht wahr?
Da der Differentialquotient von z 1 ist.
Und Du dies von 2 bis 0 berechnest.
Also dann hast du 2 minus 0 übrig.
Also bleibt nur 2.
Also bleibt dir 2 und davon nimmst Du das Integral von
y ist gleich 0, bis y ist gleich 4 dy, und dann
hast du x.
Von x ist gleich 0, bis x ist gleich 3 dx.
Und beachte, als wir grade das Integral von
z genommen haben, erhielten wir ein doppeltes Integral.
Und dieses doppelte Integrals ist genau das Integral das wir
in den vorherigen Videos über das doppelte Integral hatten, wo Du
einfach gesagt hättest, nun, z ist eine Funktion von x und y.

Portuguese: 
Primeiro, calculamos a integral de z.
Não temos nenhuma
constante aqui, mas
podemos assumir
que seja igual a um.
Isto é, dz vezes dy
vezes dx equivale a
um vezes dz vezes
dy vezes dx.
Então qual é 
o valor dessa integral?
Bom, a antiderivada 
de um relativa a z é z, correto?
Pois a derivada de z
é igual a um.
Calculamos isso para
o intervalo entre dois e zero.
Dois menos zero.
O que é igual a 2.
Em seguida integramos em y,
para y entre zero e quatro,
vezes dy.
E aqui temos x.
De x igual a zero,
à x igual a três dx.
Observe que após termos 
integrado com relação a z,
ficamos com uma integral dupla.
E essa integral dupla é a mesma que
vimos nos vídeos
anteriores sobre este tema,
na quais z era uma
função de x e y.

Portuguese: 
Então, primeiro nós tiraremos a integral relacionada a z.
Bem, nós não temos nada escrito aqui, mas nós
podemos assumir que tem um 1, certo?
Porque dz vezes dy vezes dx é o mesmo de
1vezes dz vezes dy dx.
Então qual o valor dessa integral?
Bem, a primitiva de 1 em relação a
z é apenas z, certo?
Porque a derivada de z é 1.
E você resolve isso de 2 até 0.
Então você fica com-- então é 2 menos 0.
Então você fica com 2.
Então você fica com 2, e você tira a integral disso de
y igual a 0, até y igual a 4 dy, e então
você tem o x.
De x igual a 0, até x igual a 3 dx.
E perceba, quando nós tiramos a integral em relação a
z, nós ficamos com uma integral dupla.
E essa integral dupla é exatamente a mesma que nós teríamos
feito nos vídeos anteriores de integral dupla, onde você
teria apenas dito, bem, z é uma função de x e y.

Thai: 
งั้น, อย่างแรกเราหาอินทิกรัลเทียบกับ z
ทีนี้, เราไม่มีอะไรเขียนไว้ตรงนี้, แต่เรา
รู้อยู่ว่ามันมี 1 อยู่, จริงไหม?
เพราะ dz คูณ dy คูณ dx นั้นเหมือนกับ
1 คูณ dz คูณ dy dx
แล้วค่าของอินทิกรัลนี้คืออะไร?
ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ 1 เทียบกับ
z ก็แค่ z, จริงไหม?
เพราะอนุพันธ์ของ z เท่ากับ 1
แล้วคุณก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0
แล้วคุณจะเหลือ -- มันคือ 2 ลบ 0
งั้นคุณก็เหลือ 2
คุณเหลือ 2, แล้วคุณก็หาอินทิกรัลของอันนั้น
จาก y เท่ากับ 0, ถึง y เท่ากับ 4 dy, แล้ว
คุณได้ x
จาก x เท่ากับ 0, ถึง x เท่ากับ 3 dx
และระลึกไว้, ตอนเราหาอินทิกรัลเทียบกับ
z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น
และอินทิกรัลสองชั้นนี้ก็คือ อินทิกรัลเดียวกับที่เรา
ทำในวิดีโอที่แล้วเรื่องอินทิกรัลสองชั้น, โดยคุณ
อาจบอกว่า z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y

Russian: 
Так что во-первых мы принимаем интеграл по z.
Ну у нас нет ничего написано здесь, но мы
можно просто предположим, что существует 1, право?
Потому что раз dz dy раз dx это то же самое, что
dz 1 раз раз dx, dy.
Что же такое значение этой неотъемлемой?
Ну первообразная 1 в
z-просто z, правильно?
Потому что производная z-1.
И вам оценить, от 2 до 0.
Так что тогда вы оставили с--так это 2 минус 0.
Так что вы просто оставили с 2.
Так что вы оставили с 2, и вы берете интеграл от
y равно 0, до y равно 4 dy и затем
у вас есть x.
От x равен 0, до что x равен 3 dx.
И Заметьте, когда мы только что взял интеграл
z, мы в конечном итоге с двойной интеграл.
И этот двойной интеграл является точное интеграл, у нас
сделано в предыдущем видео на двойной целостного, где вам
бы только что сказал, ну, z-функция x и y.

Korean: 
우선 z에 대한 적분부터 하죠
z항이 없긴 하지만
1이 있다고 가정합시다
dz dy dx의 곱에 1을 곱해도
값은 같기 때문입니다
그러면 이 적분값은 무엇일까요?
1의 z에 대한 부정적분은
그냥 z이죠
z의 도함수는 1이니까요
그걸 2부터 0까지로 진행합니다
그러면 2-0이 남죠
즉 2가 남게 됩니다
그 다음에 y를 적분하여
0부터 4까지로 하고
그 다음에 x를 적분합니다
x를 0부터 3까지요
그리고 z를 적분한 후 보면
이중적분이 남았음을 알 수 있어요
이 이중적분은 우리가
이전 비디오에서 했던 이중적분과
같은 종류이고요
아마 알아채셨을 겁니다
z는 이제 x y의 함수이죠

Estonian: 
Esmalt me võtame integraali z suhtes.
Meil ei ole midagi kirjutatud siis, kuid me
saame oletada et seal on 1,eks?
Sest dz korda dy korda dx on sama asi, mis
üks korda dz korda dy korda dx.
Mis on selle integraali väärtus?
Algfunktsioon ühest z suhtes
on lihtsalt z, eks?
Sest z tuletis on üks.
Te arvutate välja selle kahest nullini.
Siis on alles- see on 2 miinus 0.
Teil jääb järgi lihtsalt kaks.
Teil jäi järgi kaks ja te võtate integraali sellest, kus
y on võrdne nulliga, y on võrdne neljaga dy ja siis on
teil x käes.
x on võrdne nulliga, x on võrdne kolmega -- dx.
Märkasite, kui me võtame integraali z suhtes,
jõutsime me kahekortse integraalini.
See kahekordne integraal on on see sama integraal mida me
tegime eelnevates videotes kahekortse integraaliga,
z on x ja y funktsioon.

Turkish: 
Dolayısıyla, ilk olarak z'ye göre integral alıyoruz.
Buraya hiçbir şey yazmadık, ama burada 1 olduğunu varsayabiliriz, öyle değil mi?
-
dz çarpı dy çarpı dx eşittir 1 çarpı dz çarpı dy çarpı dx.
-
Bu integralin değeri nedir?
1'in z'ye göre terstürevi, z'dir, öyle değil mi?
-
Çünkü, z'nin türevi 1.
Ve bunu, 2'den 0'a hesaplıyoruz.
2 eksi 0 eşittir 2.
-
Şimdi, bunun y'ye göre 0'dan 4'e integralini alıyoruz.
Ve sonra da x var.
-
x eşittir 0'dan x eşittir 3'e.
Dikkat ederseniz, z'ye göre integral aldığımızda, sonuç çift katlı bir integral çıktı.
-
Ve önceki çift katlı integral videolarında olduğu gibi, bu integralde de, z için, x ve y cinsinden bir fonksiyon diyebilirdik.
-
-

Spanish: 
Primero tomamos la integral respecto a z.
Bueno, no tenemos nada escrito aquí abajo. pero
podemos asumir que ahí va un 1, cierto?
Porque dz por dy por dx es lo mismo que
1 por dz por dy por dx.
Entonces ¿Cuál es el valor de esta integral?
Bueno la integral de 1 respecto a
z es z, verdad?
Porque la primitiva de z es 1.
Y lo evaluas de 2 a 0.
Entonces te quedas con entonces es 2 menos 0.
Entonces queda 2.
Entonces te queda 2 y tomas la integral de eso desde
y igual a 0 hasta y igual a 4 dy, y luego
está la x.
Desde x igual a 0 hasta x igual 3 dx.
Fíjate cuando tomamos la integral respecto a z,
terminamos con una doble integral.
Y esta doble integral es exactamente la misma integral que habríamos
hecho en los videos anteriores en la doble integral, donde
habrías dicho, bien z es una función de x e y.

Polish: 
Więc na początku obliczamy całkę w odniesieniu do z.
Wprawdzie tutaj nie jest nic napisane,
ale możemy przypuszczać, że chodzi o 1, prawda?
Ponieważ dz razy dy razy dx to to samo co
1 razy dz razy dy dx.
Ile zatem wynosi ta całka?
Zatem całka nieoznaczona z 1 w odniesieniu
do z równa się z, zgadza się?
Dlatego, że pochodną z jest 1.
I można to obliczyć od 2 do 0.
I zostaje-- 2 minus 0
zostaje 2.
Zostało 2, więc liczysz całkę z 2
od y równa się 0 do y równa się 4 dy, a potem
bierzesz x.
Od x równa się 0 do x równa się 3 dx.
I zauważ jedną rzecz, kiedy obliczamy całkę względem
z, otrzymujemy podwójną całkę.
Ta podwójna całka to dokładnie ta całka,
którą obliczylibyśmy w poprzednim filmiku dot. całek podwójnych,
gdzie zapewne stwierdziłbyś, że z jest funkcją x i y.

English: 
So, first we're taking the
integral with respect to z.
Well, we don't have anything
written under here, but we
can just assume that
there's a 1, right?
Because dz times dy times
dx is the same thing as
1 times dz times dy dx.
So what's the value
of this integral?
Well, the antiderivative
of 1 with respect to
z is just z, right?
Because the derivative
of z is 1.
And you evaluate
that from 2 to 0.
So then you're left with--
so it's 2 minus 0.
So you're just left with 2.
So you're left with 2, and you
take the integral of that from
y is equal to 0, to y is equal
to 4 dy, and then
you have the x.
From x is equal to 0,
to x is equal to 3 dx.
And notice, when we just took
the integral with respect to
z, we ended up with
a double integral.
And this double integral is the
exact integral we would have
done in the previous videos on
the double integral, where you
would have just said, well,
z is a function of x and y.

German: 
Also, wie Du weisst, könntest du geschrieben haben, z ist eine Funktion von x
und y, ist immer gleich 2.
Es ist eine konstante Funktion.
Es ist unabhängig von x und y.
Aber wenn Du z auf diese Art definiert hättest und Du wolltest
das Volumen unter dieser Fläche heraus finden, wo die Oberfläche
z gleich 2 ist-- du weisst, dies ist eine Oberfläche, ist z
ist gleich 2-- wir wären genau hier angekommen.
Also wie Du sehen kannst, was wir mit dem dreifachen
Integral machen, ist wirklich, wirklich nichts anderes.
Und du magst dich wundern, nun, weshalb machen wir
all dies überhaupt?
Das werde ich dir gleich in einer Sekunde zeigen.
Wie auch immer, um dies zu berechenn, könntest Du die
Stammfunktion nach z nehmen, du bekommst 2y-- lass
mich etwas herunter scrollen.
Du bekommst 2y wenn du es bei 4 und 0 bestimmst.
Und dann erhältst Du 2 mal 4.
Also ist es 8 minus 0.
Und dann integrierst Du das nach x
von 0 bis 3.
Also ist es 8x von 0 bis 3.
Also ist es gleich 24 vier Einheiten ins Quadrat.
Also, ich weiss, die offenkundige Frage ist, wofür ist dass nun gut?

Arabic: 
حيث أنك قد قمت بكتابة، تعلمون، z، دالة x
وص، دائماً يساوي 2.
وهي دالة مستمرة.
ومستقل عن x و y.
ولكن إذا كنت قد حددت z في هذا الطريق، وأنت تريد أن
معرفة الحجم تحت هذا السطح، حيث السطح
هو يساوي 2-تعلمون، وهذا سطح، هو z z
يساوي 2-أننا قد انتهى مع هذا.
لذا ترى أن ما نقوم به مع الثلاثي
لا يتجزأ، حقا، حقا أنها شيء مختلف.
وحسنا، كنت قد يتساءل لماذا نحن
يفعل ذلك على الإطلاق؟
وسوف يظهر لك أنه في المرة ثانية.
ولكن على أية حال، لتقييم هذا، هل يمكن أن
أنتيديريفاتيفي من ذلك فيما يتعلق بذ، يمكنك الحصول على 2y-اسمحوا
لي أن انتقل لأسفل قليلاً.
يمكنك الحصول على 2y تقييم ذلك في 4 و 0.
ومن ثم، لكي تحصل على 4 2 مرات.
ولذا فإن 8 ناقص 0.
وثم يمكنك دمج ذلك من، مع احترام
إلى العاشر من 0 إلى 3.
هذا هو x 8 من 0 إلى 3.
حيث أنه سوف يكون مساوياً ل 24 أربع وحدات مكعبة.
إذا كنت لا تعرف السؤال البديهي، ما هو جيد لهذا؟

Estonian: 
Te oleksite võinud kirjutada, z on x ja y funktsioon,
kus z on alati võrdne kahega.
See on konstantne funktsioon.
See ei sõltu x ega y.
Kuid, kui te oleksite defineerinud z sel viisil ja te tahaksite
teada selle pinna mahtu, kus pind
on z ja z on võrdne kahega - see on pind, z on
võrdne kahega - oleks me lõpetanud sellisena.
Mida me teeme kolmekortse integraaliga
ei ole väga erinev.
Te võite imestada, miks me
teeme seda ültse?
Ma näitan seda mõne sekundi pärast.
Kuid, kui arvutada seda, te võiksite võtta
algfunktsioon y suhtes, te saate 2y-
lubage, ma kerin natuke alla.
Te saate 2y arvutamiseks, nelja ja nulli.
Te saate 2 korda neli.
See on 8 miinus 0.
Te integreerite selle, et
suhtes x kuni nullist kolmeni.
Nii, et 8x on nullist kuni kolmeni.
See on võrdne 24 kuupühikuga.
Kuid milleks see hea on?

Polish: 
Mogłbyś zapisać, że z jest funkcją x
i y, jest zawsze równe 2.
Jest funkcją stałą.
Niezależnie od x i y.
Gdybyś w taki sposób określił z, i chciałbyś
obliczyć objętość pod tą powierzchnią, która wynosi
z równa się 2-- ta powierzchnia to z
równa się 2-- otrzymalibyśmy ten sam wynik.
Widzisz teraz, że mamy do czynienia z całką
potrójna, która wcale się nie różni.
I mógłbyś się zastanawiać, po co
to wszystko?
Za chwilę zobaczysz.
Tak czy inaczej, aby obliczyć to, mógłbyś wziąć
całkę nieoznaczoną w odniesieniu do y, i otrzymasz 2y--
Zejdę trochę na dół.
Obliczasz 2y podstawiając 4 i 0.
Czyli mamy 2 razy 4.
Następnie 8 minus 0.
Potem całkujesz
od 0 do 3 względem x.
I wychodzi 8x od 0 do 3.
I to się będzie równać 24 jednostek sześciennych.
Nasuwa się oczywiste pytanie, czy to wogóle jest w czymś pomocne?

Portuguese: 
Então você podia ter escrito, sabe, z é uma função de x
e y, é sempre igual a 2.
Uma função constante.
É independente de x e y.
Mas se você tivesse definido z desta forma, e você quisesse
descobrir o volume debaixo dessa superfície, onde a superfície
é z igual a 2-- sabe, isso é uma superfície, é z
igual a 2-- nós acabariamos chegando em algo assim.
Então veja que o que estamos fazendo com integrais
triplas, é realmente, realmente nada diferente.
E você deve estar se perguntando, bem, por que nós
estamos fazendo isso afinal?
E eu irei te mostrar isso num segundo.
Mas enfim, para responder isso, você tira a
primitiva disso em relação a y, você tem 2y-- deixe
eu abaixar um pouco.
Você obtem 2y, entre 4 e 0.
E então, você fica com 2 vezes 4.
Então é 8 menos 0.
E então você integra isso em relação
a x de 0 até 3.
Então é 8x de 0 até 3.
E isso é igual a 24 unidades cúbicas.
Então eu sei que a pergunta óbvia é: Para que isso é útil?

Russian: 
Таким образом можно написания, вы знаете, z, является функцией x
и y, всегда равно 2.
Она является постоянной функцией.
Она независима от x и y.
Но если вы определили z в таким образом и вы хотели бы
выяснить, тома по этой поверхности, где поверхность
z является равным 2--вы знаете, это представляет собой поверхность, z
равен 2 — которую мы закончили бы с этим.
Так что вы видите, что то, что мы делаем с тройной
неотъемлемой, это действительно, действительно ничего разные.
И вы можете быть удивлены, ну, почему же мы
делать это на всех?
И я покажу вам, в секунду.
Но в любом случае, чтобы оценить это, вы могли бы взять
Первообразная этого в y, вы получаете 2y--пусть
меня вниз, немного.
Вы получаете 2y оценки, на 4 и 0.
И затем, поэтому вы получаете 4 2 раза.
Таким образом это 8 минус 0.
И тогда вы интегрировать это с, с уважением
для x от 0 до 3.
Так что это 8 x от 0 до 3.
Так что это будет равна 24 четыре подразделения «три».
Так что я знаю, что очевидный вопрос, что это хорошо для?

English: 
So you could have written, you
know, z, is a function of x
and y, is always equal to 2.
It's a constant function.
It's independent of x and y.
But if you had defined z in
this way, and you wanted to
figure out the volume under
this surface, where the surface
is z is equal to 2-- you
know, this is a surface, is z
is equal to 2-- we would
have ended up with this.
So you see that what we're
doing with the triple
integral, it's really,
really nothing different.
And you might be wondering,
well, why are we
doing it at all?
And I'll show you
that in a second.
But anyway, to evaluate
this, you could take the
antiderivative of this with
respect to y, you get 2y-- let
me scroll down a little bit.
You get 2y evaluating
that at 4 and 0.
And then, so you get 2 times 4.
So it's 8 minus 0.
And then you integrate
that from, with respect
to x from 0 to 3.
So that's 8x from 0 to 3.
So that'll be equal to
24 four units cubed.
So I know the obvious question
is, what is this good for?

Portuguese: 
Portanto, poderíamos
ter escrito z como função
de x e y, onde
z é sempre igual a dois.
Z é uma função constante,
independente de x e y.
Se tivéssemos definido
z dessa forma,
e calculado
o volume abaixo
da superfície z igual a dois -
veja aqui a superfície -
teríamos chegado aqui.
Com a integral tripla,
não foi nada diferente.
Você pode estar se perguntando,
por que as usamos?
Vou te mostrar isso um momento.
Continuando, para calcular isso
tomamos a antiderivada de y,
que equivale a dois y.
Temos dois y calculados
para quatro e zero.
Isto é, dois vezes quatro.
Então, oito menos zero.
Em seguida integramos isso
em relação a x entre zero e três.
Isso dá oito x, entre zero e três.
O que é igual a 24 unidades cúbicas.
A pergunta óbvia é então:
para que serve a integral tripla?

Thai: 
ดังนั้นคุณก็เขียนมัน, คุณก็รู้, z, เป็นฟังก์ชันของ x
และ y, ซึ่งเท่ากับ 2 ตลอด
มันเป็นฟังก์ชันคงที่
มันไม่ขึ้นอยู่กับ x และ y
แต่หากคุณนิยาม z แบบนี้, และคุณอยากหา
ปริมาตรใต้พื้นผิวนี้, โดยที่ผิว
คือ z เท่ากับ 2 -- คุณก็รู้, นี่คือผิว, คือ z
เท่ากับ 2 -- เราก็จะได้ออกมาแบบนี้
ดังนั้นคุณจะเห็นว่า สิ่งที่เราทำกับอินทิกรัล
สามชั้น, ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่างกันเลย
และคุณอาจสงสัยว่า, แล้วเราจะทำแบบนี้
ทำไม?
ผมจะแสดงให้คุณเห็นในไม่ช้า
แต่เอาล่ะ, ในการหาค่ามัน, คุณก็หา
แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2y -- ขอผม
เลื่อนมันลงมาหน่อย
คุณจะได้ 2y แทนค่าที่ 4 กับ 0
แล้ว, คุณจะได้ 2 คูณ 4
ดังนั้นมันคือ 8 ลบ 0
แล้วคุณก็อินทิเกรตจาก, เทียบกับ
x จาก 0 ถึง 3
ดังนั้นนั่นคือ 8x จาก 0 ถึง 3
ดังนั้นนั่นจะเท่ากับ 24 หน่วยกำลังสาม
ผมรู้ว่า คำถามนึงแน่ ๆ คือ แล้วมันมีดีอะไร?

Spanish: 
Entonces podrías haber escrito z es una función de x
e y es siempre igual a 2.
Es una función constante.
es independiente de x y de y.
Pero si has definido z de este modo y querías
calcular el volumen que encierra esta superficie, donde la superficie
es z igual a 2 - tu sabes que ésta es una superficie, es z
igual a 2 - habríamos terminado con esto.
Entonces ves que lo que hacemos con la triple
integral, es en realidad lo mismo.
Y puedes estar preguntándote, ¿Por qué estamos
haciendo esto?
Y te lo mostraré en seguida.
En todo caso, para evaluar esto, puedes tomar la
integral de esto respecto a y, tienes 2y-
déjame bajar un poco.
Queda 2y evaluando eso en 4 y 0.
Luego, obtienes 2 por 4
Eso es 8 menos 0.
Luego integras eso respecto
a x de 0 a 3.
Lo cual es 8x de 0 a 3.
Que será igual a 24 unidades cúbicas
Ahora la obvia pregunta es ¿Para qué sirve esto?

Turkish: 
Burada, z eşittir 2.
-
Sabit fonksiyon.
x ve y'den bağımsız.
Eğer z'yi böyle tanımlasaydık, ve z eşittir 2 yüzeyinin altındaki hacmi bulmak isteseydik, bu çift katlı integrali elde ederdik.
-
-
-
Yani, üç katlı integral, çift katlı integralden çok da farklı değil.
-
O zaman neden bununla uğraşıyoruz, diye sorabilirsiniz.
-
Birazdan size göstereceğim.
Herneyse, bunun değerini bulmak için, y'ye göre terstürevini alırız. 2y elde ederiz.
-
-
Ve, 2y'nin 4 ve 0 için değerierini buluruz.
Sonra da, 2 çarpı 4, 8, eksi 0, elde ederiz.
8 eksi 0.
Sonra da, x'e göre 0'dan 3'e integralini alırız.
-
Yani, 8x, 0'dan 3'e.
Bu da, 24 birim kübe eşit.
Şimdi, bunun ne işe yaradığını merak ettiğinizi biliyorum.

Korean: 
그러면 z는 x에 대한 함수이고
y는 2란 걸 보셨을 겁니다
상수함수이죠
x와 y로부터 독립적입니다
하지만 만약 z를 이렇게 정의했고
z가 2인 이 부분 아래의 
부피를 알고 싶다면
알다시피 이 부분은 
z가 2인 부분이고
그러면 이 식이 나왔겠죠
그러니 우리가 
삼중 적분으로 하는 것은
별 차이가 없습니다
그러면 왜 이 과정을 거치는지
궁금증이 들 것입니다
금방 보여드리죠
하지만 우선, 이를 평가하려면
y의 부정적분을 하여
2y를 생각해보겠습니다
2y를 4에서 0까지 적분하면
2 곱하기 4가 되겠죠
그러면 8-0입니다
다시 이것을 x에 대해서
0부터 3까지 적분합니다
8x를 0부터 3까지 적분하네요
그러면 24 단위정육면체와 같습니다
그러면 가장 명백한 질문으로
왜 이게 필요한가요?

Russian: 
Ну, если у вас есть своего рода постоянного значения в пределах
объем, вы правы.
Вы могли бы просто сделать двойной интеграл.
Но что делать, если я был бы сказать вам, наша цель состоит не в том, чтобы выяснить
объем этой фигуры.
Наша цель – понять, масса этой фигуры.
И даже больше, этот объем — это область пространства или
какой бы--его масса не является единообразной.
Если его масса единообразной, можно было просто умножить свою форму
плотность раз его объем, и вы получите его массу.
Но давайте скажем изменения плотности.
Это может быть объем некоторых газов или он может быть даже некоторые
материал с различными соединениями в нем.
Так давайте говорить, что его плотность — это переменная функция
из x, y и z.
Так что давайте скажем, что плотность — это строки эта вещь это выглядит
Подобно p является то, что обычно используется в физике для плотности--так
его плотность зависит от x, y и z.
--Просто чтобы сделать ее простой--давайте сделаем
Это x раз y раз z.

Portuguese: 
Bem, quando você tem um tipo de valor constante
no volume, você está certo,
Você pode tirar apenas uma integral dupla.
Mas e se eu te dissesse que nosso objetivo não é descobrir
o volume dessa figura.
Nosso objetivo é obter a massa desta figura.
Ou mais, este volume-- esta área do espaço ou
enfim-- a massa não é uniforme.
Se a massa fosse uniforme, você poderia apenas multiplicar a sua densidade
uniforme pelo volume, e você teria a massa.
Mas digamos que a densidade muda.
Pode ser o volume de algum gás ou pode ser até um
material com diversos componentes nele.
Então digamos que sua densidade é uma função variável
de x, y e z.
Então vamos dizer que a densidade-- esta linha, essa coisa que parece
um p é o que você normalmente usa na física para desidade-- então
sua densidade é uma função de x, y e z.
Vamos-- apenas para deixar simples-- vamos fazer
x vezes y vezes z.

Portuguese: 
Bom, quando 
temos um volume
limitado por um
valor constante,
você só precisaria realmente
da integral dupla.
Mas e se eu dissesse
que o objetivo
não é saber o volume
dessa figura geométrica?
O objetivo é calcular a
massa dessa figura geométrica.
E mais ainda, 
suponha que a massa
dessa figura, área, ou volume,
não seja uniforme.
Se a massa fosse uniforme,
bastaria multiplicar
a sua densidade uniforme
pelo seu volume, para obter essa massa.
Suponha que a
densidade seja variável.
Por exemplo, o
volume de um gás,
ou de um material
composto por substâncias variadas.
Digamos que a densidade seja
uma função variável.
de x, y e z.
E que a densidade,
representada pelo símbolo ró,
que se parece um p
e é usado na Física densidade,
seja uma função 
de x, y e z.
Para simplificar, vamos fazer
x vezes y vezes z.

Spanish: 
Cuando tienes un tipo de variable constante dentro
del volumen, estás bien,
podrías haberlo calculado con una integral doble.
Pero que pasa si te digo: nuestro objetivo no es calcular
el volumen de esta figura.
Nuestro objetivo es calcular la masa de la figura.
Y más aún, este volumen- este área de espacio o
lo que sea- tiene una masa no uniforme.
Si su masa fuera uniforme, podrías simplemente multiplicar su densidad
uniforme por su volumen y obtendrás su masa.
Pero digamos que la densidad cambia.
Puede ser el volumen de un gas o incluso algún
material formado por diferentes compuestos.
Entonces digamos que su densidad es una función variable
de x, y y z.
Entonces digamos que la densidad- esta filo, esto que
parece una p, es lo que normalmente se usa en física para la densidad- entonces
su densidad es una función de x, y and z.
Hágamoslo simple-- multipliquemos
x por y por z.

Thai: 
ตอนคุณมีค่าคงที่ใน
ปริมาตร, คุณก็คิดถูกแล้ว
คุณสามารถทำได้ด้วยอินทิกรัลสองชั้น
แต่ถ้าหากผมบอกคุณว่า, เป้าหมายเราไม่ใช่การหา
ปริมาตรของรูปนี้ล่ะ
เป้าเหมายเรากลายเป็นการหามวลของรูปนี้
และยิ่งไปกว่านั้น, ปริมาตรนี้ -- พื้นที่ของที่ว่าง หรือ
อะไรก็ตาม -- มวลของมันไม่สม่ำเสมอ
หากมวลมันสม่ำเสมอ, คุณอาจคูณความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้น
กับปริมาตร, คุณจะได้มวลมันมา
แต่สมมุติว่าความหนาแน่นเปลี่ยนไป
มันอาจเป็นปริมาตรของแก๊ส หรืออาจเป็น
วัสดุที่มีองค์ประกอบหลาอย่างปนกัน
สมมุติว่าความหนาแน่นมันเป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่
กับ x,y และ z
งั้นสมมุติว่าความหนาแน่น -- rho นี้ สิ่งที่เหมือนกับ
ตัว p คือ สิ่งที่คุณมักใช้ในฟิสิกส์แทนความหนาแน่น -- ดังนั้น
ความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของ x, y กับ z
ลอง -- เพื่อให้ง่าย -- สมมุติว่ามันคือ
x คูณ y คูณ z

Estonian: 
Kui teil on konstantne väärtus
mahust, teil on õigus.
Te oleks võinud teha lihtsalt kahekortse integraali.
Mis oleks kui ma ütlen teile, et meie eesmärk ei ole väjla selgitada
kujundi ruumala.
Meie eesmärk on leida kujundi mass.
Isegi rohkem, see maht - ruumi piirkond-
selle mass ei ole ühtlane
Kui selle mass oleks ühtlane, te võiksite lihtsalt korrutada massi
tiheduse korda ruumala ja siis te saate kujundi massi.
Kuid ütleme, et tihedus muutub.
See võib olla gaasi ruumala või võib olla isegi
mõne materjali, millel on erinevad ühendid sees.
Ütleme, et tihedus on muutuja funktsioon
x,y ja z.
Ütleme, et tihedus- see rida, see asi
mis näeb välja nagu p, seda me kasutame tavaliselt füüsikas tiheduse märkimiseks-
selle tihedus on x,y ja z funktsioon.
Teeme selle lihtsamaks, teeme seda
x korda y korda z.

English: 
Well, when you have a kind
of a constant value within
the volume, you're right.
You could have just done
a double integral.
But what if I were to tell you,
our goal is not to figure out
the volume of this figure.
Our goal is to figure out
the mass of this figure.
And even more, this volume--
this area of space or
whatever-- its mass
is not uniform.
If its mass was uniform, you
could just multiply its uniform
density times its volume,
and you'd get its mass.
But let's say the
density changes.
It could be a volume of some
gas or it could be even some
material with different
compounds in it.
So let's say that its density
is a variable function
of x, y, and z.
So let's say that the density--
this row, this thing that looks
like a p is what you normally
use in physics for density-- so
its density is a function
of x, y, and z.
Let's-- just to make it
simple-- let's make
it x times y times z.

Turkish: 
Hacmin içinde sabit bir değer olduğu için, çift katlı integral kullanabilirdiniz, haklısınız.
-
-
Ama, amacımız bu cismin hacmini değil, kütlesini bulmak deseydim.
-
-
-
Ve, bu kütlenin dağılımının düzensiz olduğunu söyleseydim.
Eğer dağılım düzenli olsaydı, hacimle özgül ağırlığın çarpımı kütleyi verirdi.
-
Diyelim ki, özgül ağırlık değişim gösteriyor.
Bir gaz veya içinde farklı bileşikler içeren bir materyal olabilir.
-
Diyelim ki, özgül ağırlığı, x, y ve z cinsinden bir fonksiyon.
-
Özgül ağırlık, yani fizikte kullandığımız ro, x,y ve z cinsinden bir fonksiyon.
-
-
Şöyle yapalım, x çarpı y çarpı z.
-

German: 
Nun, wenn Du eine Art konstanten Wert innerhalb
des Volumens hast, hast Du Recht.
Du könntest einfach ein doppeltes Integral benutzt haben.
Was aber nun, wenn ich Dir sage, dass es nicht unser Ziel ist
das Volumen dieses Körpers zu bestimmen.
Unser Ziel ist die Masse dieses Körpers zu berechen.
Und noch weiter, dieses Volumen-- dieser Bereich im Raum oder
wie auch immer-- dessen Masse ist nicht gleichmässig.
Wenn die Masse gleichmässig wäre könntest du einfach die gleichmässige
Dichte mal dem Volumen nehmen und Du erhieltest die Masse.
Aber sagen wir mal die Dichte ändert sich.
Es könnte ein Gas Volumen sein, oder sogar eine
Art Material das aus verschiedenen Komponenten besteht.
Also sagen wir mal, das seine Dichte eine variable Funktion von
x, y und z ist.
Also sagen wir das die Dichte-- diese Reihe, dies Ding das ausschaut
wie ein p, ist was man normalerweise in der Physik für Dichte benutzt-- also
seine Dichte ist eine Funktion von x, y and z.
Lasst uns-- um es einfach zu machen-- lasst es uns
x mal y mal z machen.

Polish: 
W momencie gdy masz stałą wartość w
objętości, masz rację.
Mógłbyś po prostu zastosować całkę podwójną.
Ale co w sytuacji, gdy naszym celem nie będzie obliczenie
objętości,
ale masy figury.
I co więcej, objętość-- powierzchnia przestrzeni
-- jej masa nie jest jednakowa.
Gdyby masa była jednakowa, mógłbyś pomnożyć jednakową
gęstość razy objętość, i otrzymałbyś masę.
W naszym przypadku gęstość jest różna.
Może to być objętość jakiegoś gazu bądź nawet
jakiś materiał skłądający się z różnych związków.
Powiedzmy, że jego gęstość jest funkcją zmienną
x,y i z.
Powiedzmy że gęstość-- czyli ten znak, który wygląda
jak litera P i który używa się w fizyce jako symbol gęstości--
jego gęstość jest funkcją x,y i z.
Żeby to uprościć--
zapiszmy x razy y razy z.

Arabic: 
حسنا، إذا كان لديك نوع من قيمة ثابتة داخل
وحدة التخزين، أنت على حق.
يمكن فقط القيام تكامل مزدوج.
ولكن ماذا لو كان لي أن أقول لكم، هدفنا عدم معرفة
وحدة التخزين لهذا الرقم.
أن هدفنا معرفة الكتلة من هذا الرقم.
وحتى أكثر من ذلك، هذا الحجم-هذا المجال من الفضاء أو
أيا كان-كتلتها ليست موحدة.
إذا كانت كتلتها موحدة، يمكن أن قمت بضرب فقط الزي العسكري
كثافة إضعاف حجمه، وسوف تحصل على كتلتها.
ولكن لنفترض أن التغييرات الكثافة.
يمكن أن يكون حجم بعض الغاز أو أنه يمكن أن يكون حتى بعض
المواد مع المركبات المختلفة فيه.
لذلك دعونا نقول أن كثافته دالة متغير
من x و y، و z.
لذلك دعونا نقول أن الكثافة-هذا الصف، هذا الشيء الذي يبدو
مثل ف ما عادة استخدام في الفيزياء للكثافة-حتى
كثافته دالة x، y، و z.
دعونا اليوم فقط لجعلها بسيطة-ولجعل
فس مرات مرات y z.

Korean: 
만약 상숫값이 있다면
굳이 필요하진 않습니다
그냥 이중적분을 하면 되죠
하지만 우리의 목표는 단지
이 입체의 부피에서 
그치지 않는다고 하고
질량을 알아내야한다고 해봅시다
심지어는, 이 공간이
균일하지 않다고 해봅시다
질량이 균일했다면 밀도와 부피를
곱하면 되고 그러면 질량이 나오지만
밀도가 변한다고 합시다
기체의 부피일 수도 있고
화합물의 부피일수도 있죠
밀도가 x,y,z 변수에 대한
함수라고 해봅시다
그래서 밀도가
흔히 물리에서 보이는
p처럼 생긴 이 밀도가
x y z에 대한 함수라 합시다
일단 간단하게 하기 위해서
x y z의 곱이라 합시다

Thai: 
หากเราอยากหามวลของปริมาตรเล็ก ๆ,
มันจะเท่ากับปริมาตรนั่นคูณกับความหนาแน่น, จริงไหม?
เพราะความหนาแน่น -- หน่วยของความหนาแน่น อาจเป็น กิโลกรัม
ต่อลูกบาศก์เมตร
ดังนั้นหากคุณคูณมันกับเมตรกำลังสาม, คุณจะได้ กิโลกรัม
ดังนั้นคุณอาจบอกว่า มวล -- ทีนี้, ผมจะสมมุติสัญลักษณ์, d
มวล -- นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
ทีนี้, ผมอยากเขียนมันในวงเล็บ, เพราะมัน
ทำให้มันดูเหมือนฟังก์ชัน
ดังนั้น, มวลดิฟเฟอเรนเชียลเล็ก ๆ, หรือมวลเล็กจิ๋ว, จะ
เท่ากับความหนาแน่น ณ จุดนั้น, ซึ่งเท่ากับ xyz,
คูร ปริมาตรของมวลเล็ก ๆ นั่น
แล้วปริมาตรของมวลเล็ก เราสามารถเขียนเป็น dv
และเรารู้ว่า dv ก็เหมือนกับความกว้าง คูณ
ความสูง คูณความลึก
dv ไม่จำเป็นต้องเป็น dx คูณ dy คูณ dz เสมอไป
หากเราใช้ระบบพิกัดอื่น, หากเราใช้พิกัด
แบบขั้ว, มันจะต่างออกไป
และเราจะใช้มันในที่สุด

Polish: 
Gdybyśmy chcieli obliczyć masę jakiejkolwiek małej objętości,
pomnożylibyśmy objętość razy gęstość, zgadza się?
Ponieważ gęstość-- jednostki gęstości są jak kilogramy
na metr sześcienny.
Jeśli pomnożysz to razy metr sześcienny, otrzymasz kilogramy.
Możemy zatem powiedzieć, że masa-- zapiszę to słownie, d
masa-- to nie jest funkcja.
Nie chcę zapisywać tego w nawiasie, ponieważ
wyglądałoby to jak funkcja.
Zróżnicowana masa, bądź bardzo mała masa,
będzie się równać gęstości, czyli xyz,
razy objętość tej niewielkiej masy.
Tę objętość masy można zapisać jako dv.
Wiadomo, że dv to to samo co szerokość razy
wysokość razy głębokość.
dv nie zawsze musi równać się dx razy dy razy dz.
Jeśli są inne współrzędne,
i liczymy współrzędne biegunowe, wynik mógłby być inny.
Później to obliczymy.

Russian: 
Если мы хотели выяснить, масса любого малого тома, он
было бы что объем раза плотность, право?
Потому что плотность--плотности указываются как кг
за метр Кубе.
Так что если вы умножить его времена метр «три», вы получаете килограммов.
Таким образом мы могли бы сказать, что масса--хорошо, я буду составляют нотации, d
масса--это не функция.
Ну, я не хочу писать в скобках, потому что он
делает это выглядит как функция.
Таким образом будет весьма дифференциального массы или очень небольшой массы,
равную плотность в тот момент, который будет xyz,
раза объем, что небольшой массы.
И что объем этой небольшой массы мы могли бы написать как dv.
И мы знаем, что dv это же самое, что ширина раз
Высота раза глубины.
DV не всегда должны быть dx раз dy раз dz.
Если мы делаем другие координат, если мы делаем
Полярные координаты, это может быть что-то немного другой.
И мы будем делать это в конечном итоге.

Spanish: 
Si queremos calcular la masa de un volumen cualquiera, será
el volumen por la densidad, verdad?
Ya que la densidad- las unidades de densidad son como kilógramos
por metro cúbico.
Entonces si la multiplicas por metros cúbicos, obtienes los kilógramos.
con lo cual podemos decir que la masa- bueno, usaré una notación, d
masa - esto no es una función.
Bueno, no quiero escribir los paréntesis, porque eso
lo hace parecer una función.
Entonces, una masa muy diferencial, o muy pequeña, será
igual a la densidad en ese punto, lo cual será xyz,
por el volumen de la pequeña masa.
Y el volumen de esa pequeña masa lo podemos escribir como dv.
Y sabemos que ese dv es lo mismo que el ancho por
el alto por el largo.
dv no siempre va a ser dx por dy por dz.
Si usamos otras coordenadas, si usamos
coordenadas polares, puede ser algo un poco diferente.
Y lo haremos eventualmente.

Korean: 
어떤 작은 부피의 질량을 알고 싶다면
부피에 밀도를 곱하면 되죠
밀도는 킬로그램을
세제곱미터로 나눈 것과 같기 때문이죠
그러니 입방세제곱미터를 밀도와 곱하면
질량이 됩니다
그러니 우리는 질량
우선은 d질량을 말하겠습니다
이것은 함수가 아니죠
함수처럼 보이지 않기 위해
괄호를 쳐두겠습니다
그러니 미소질량에서는
혹은 매우 작은 질량에서는
밀도를 통일하고자 할 것이고
xyz에
미소질량의 부피를 곱하면 됩니다
그 부피를 dv라 쓰겠습니다
dv는 알다시피 가로와 세로에
높이를 곱한 값이죠
dv는 항상 dx dy dz의 
곱일 필요는 없습니다
다른 좌표를 써서
극좌표를 쓴다면 약간 달라지겠죠
결국엔 거기까지 갈 겁니다

German: 
Wenn wir die Masse irgendeines kleinen Volumens berechnen wollten,
wäre es das Volumen mal der Dichte, nicht wahr?
Weil Dichte-- die Einheiten der Dichte sind wie kilogram
pro Meter ins Quadrat.
Also wenn Du dies mit Meter ins Quadrat multiplizierst erhältst Du kilogram.
Also können wir sagen dass die Masse-- erfinden wir einfach eine Beschriftung, d
Masse-- ist keine Funktion.
Nun, Ich möchte es nicht in Klammern setzten, weil es
ausschauen würde wie eine Funktion.
Also, eine sehr differentielle Masse, oder eine sehr kleine Masse, wird
gleich der Dichte an dem Punkt, der xyz
mal dem Volumen der kleinen Masse wäre.
Und das Volumen dieser kleinen Masse können wir als dv schreiben.
Und wir wissen das dv das gleiche wie Weite mal
der Höhe mal der Tiefe.
dv muss nicht immer dx mal dy mal dz sein.
Wenn wir andere Koordinaten benutzen, wenn wir
polare Koordinaten benutzen, kann es leicht anders sein.
Und irgendwann werden wir das auch tun.

Portuguese: 
Se nós quiséssemos descobrir a massa de qualquer volume pequeno, ele
seria esse volume vezes a densidade, certo?
Porque a densidade-- as unidades de densidade são como quilogramas
por metro cúbico.
Então se você multiplica ele por um metro cúbico, você consegue quilogramas.
Então nós podemos dizer que a massa-- bem, eu farei uma notação, d
masa-- isso não é uma função.
Bem, não quero escrever isso em parênteses, porque isso
faz parecer uma função.
Então, uma massa muito diferencial, ou uma massa muito pequena, irá ser
igual à densidade nesse ponto, que deverá ser xyz,
vezes o volume dessa massa minúscula.
E o volume dessa pequena massa nós podemos escrever como dv.
E nós sabemos que dv é a mesma coisa que a largura vezes
a altura vezes a profundidade.
dv nem sempre deve ser dx vezes dy vezes dz.
Se nós fizermos outras coordenadas, se usarmos
coordenadas polares, isso pode ser algo um pouco diferente.
E nós eventualmente faremos isso.

Estonian: 
Kui me tahame teada mingi väikse mahu massi,
mass oleks ruumala korda tihedus, eks?
Sest tihedus - tiheduse ühik on nagu kilogramm
kuupmeetri kohta.
Kui te korrutate selle kuupmeetriga, te saate kilogrammid.
Me võime öelda, et mass - ma märgin massiks d -
see ei ole funktsiion.
Ma ei taha kirjutada seda sulgude sisse, sest
see näeks siis välja nagu funktsioon.
Väga diferentsiaalne mass või väga väike mass,
tihedus on võrdne sel hetkel, mis oleks xyz,
korda, selle väikse massi mahuga.
Selle väikse massi mahu me võime kirjutada kui dv.
Me teame, et dv on sama, mis laius korda
kõrgus korda sügavus.
dv ei pea olema alati: dx korda dy korda dz.
Kui me teeme teiste koordinaatidega, kui me teema
polaarkordinaatidega, oleks see natuke erinev.
Me teeme seda lõpuks.

English: 
If we wanted to figure out the
mass of any small volume, it
would be that volume times
the density, right?
Because density-- the units of
density are like kilograms
per meter cubed.
So if you multiply it times
meter cubed, you get kilograms.
So we could say that the mass--
well, I'll make up notation, d
mass-- this isn't a function.
Well, I don't want to write it
in parentheses, because it
makes it look like a function.
So, a very differential mass,
or a very small mass, is going
to equal the density at that
point, which would be xyz,
times the volume of that
of that small mass.
And that volume of that small
mass we could write as dv.
And we know that dv is the
same thing as the width times
the height times the depth.
dv doesn't always have to
be dx times dy times dz.
If we're doing other
coordinates, if we're doing
polar coordinates, it could be
something slightly different.
And we'll do that eventually.

Turkish: 
Eğer küçük bir parçanın kütlesini bulmak istesem, hacimle özgül ağırlığı çarpardım, öyle değil mi?
-
Çünkü, özgül ağırlık birimi, kilogram bölü metreküp cinsindendir.
-
Yani, bunu metreküple çarparsak, kilogram elde ederiz.
-
-
-
-
O zaman, kütlenin diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlığın, ki bu, x çarpı y çarpı z, küçük kübün hacmiyle çarpımına eşittir.
-
-
Küçük kübün hacmini d v olarak düşünmüştük.
Ve biliyoruz ki, d v eşittir en çarpı boy çarpı yükseklik.
-
d v her zaman dx çarpı dy çarpı dz olmak zorunda değil.
Başka koordinat sistemleri kullanıyorsak, mesela, kutupsal koordinat sistemi, biraz farklı bir fonksiyon olabilir.
-
O örneği de ileride yapacağız.

Portuguese: 
Para calcular a massa de
qualquer volume pequeno aqui,
multiplicamos esse volume
pela densidade, certo?
Sabe-se que a unidade 
usada para densidade
é quilograma por
metro cúbico.
Multiplicando-se por metros cúbicos, 
temos quilogramas.
Vamos denotar a massa por d.
d não é uma função, por isso
não queremos parênteses aqui,
Portanto, para uma massa
bem pequena,
isso equivale à sua densidade 
neste ponto, que é xyz,
vezes o volume dessa 
massa diferencial.
Vamos denotar o volume 
dessa massa pequena por dv.
Sabemos que dv equivale
ao produto
da largura pela altura pela profundidade.
Contudo dv não é sempre 
o produto de dx, dy e dz.
Trabalhando com
outras coordenadas,
coordenadas polares, por exemplo,
dv será diferente.
Veremos casos assim em breve.

Arabic: 
إذا كنا نرغب في معرفة كتلة أي وحدة تخزين صغيرة، فإنه
وسيكون أن حجم أوقات الكثافة، الحق؟
لأن كثافة-الوحدات الخاصة بكثافة مثل كجم
متر مكعبة.
حتى إذا قمت بضرب من الأوقات أمتار مكعبة، تحصل على كجم.
لذلك يمكن أن نقول أن الكتلة-حسنا، سوف تشكل التدوين، د
الجماعية-هذه ليست مهمة.
حسنا، أنا لا أريد أن يكتب لها في أقواس، لأن ذلك
يجعلها تبدو وكأنها دالة.
وهكذا، سوف كتلة تفاضلية جداً، أو كتلة صغيرة جداً،
على قدم المساواة الكثافة في تلك المرحلة، التي ستكون xyz،
إضعاف الحجم من تلك الكتلة الصغيرة.
وهذا الحجم من تلك الكتلة الصغيرة يمكن أن نكتب ك dv.
وإننا نعلم أن العنف المنزلي هو الشيء نفسه كأوقات العرض
أوقات ذروة العمق.
dv لا ينبغي دائماً أن يكون dx الأوقات dy مرات dz.
إذا أننا نقوم بالإحداثيات الأخرى، إذا نقوم به
الإحداثيات القطبية، يمكن أن يكون شيئا مختلفاً بعض الشيء.
وسنفعل ذلك في نهاية المطاف.

Russian: 
Но если мы хотели выяснить, массы, с тех пор мы с помощью
прямоугольные координаты, было бы функция плотности
в этот момент времени наш дифференциального объем.
Так раз dx dy dz.
И конечно, мы можем изменить порядок здесь.
Так что, когда вы хотите выяснить, Объём кузова--когда вы хотите
выяснить, масса — который я буду делать в следующем видео, мы
по существу должны интегрировать эту функцию.
В противовес только 1 z, y и x.
И я буду делать это в следующем видео.
И вы увидите, что это действительно просто много основных захват
первообразных функций и избегая неосторожного ошибок.
Я бас увижи в следушим видео.

Thai: 
แต่หากเราอยากหามวล, เนื่องจากเราใช้พิกัด
สี่เหลี่ยม, มันจะเท่ากับ ฟังก์ชันความหนาแน่น
ณ จุดนั้น คุณปริมาตรดิฟเฟอเรนเชียล
ดังนั้นคูณ dx dy dz
และแน่นอน, เราสามารถเปลี่ยนลำดับได้
ดังนั้นเมื่อคุณอยากหาปริมาตร -- ตอนคุณอยาก
หามวลออกมา -- ซึ่งผมจะทำในวิดีโอหน้า, เรา
จะต้องอินทิเกรตฟังก์ชันนี้ในที่สุด
เทียบกับ z, y และ x
และผมจะทำมันในวิดีโอหน้า
แล้วคุณจะเห็นว่ามันก็แค่การหาแอนติเดริเวทีฟ
ง่าย ๆ โดยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดง่าย ๆ
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-

Portuguese: 
Mas se nós queremos descobrir a massa, como estamos usando
coordenadas retangulares, ela deverá ser a função densidade
nesse ponto vezes nosso volume diferencial.
Então vezes dx dy dz.
E, claro, nós podemos mudar a ordem aqui.
Então quando você descobrir o volume-- quando você quiser
descobrir a massa-- que eu farei no próximo vídeo, nós
essencialmente devemos integrar a função.
Diferente de simplesmente 1 sobre z, y e x.
E eu farei isso no próximo vídeo.
E você verá que esse processo é basicamente tirar um monte de
primitivas triviais e tomar cuidado com erros bobos.
Nos vemos no próximo vídeo.

Korean: 
그러나 질량을 알고 싶다면
여기서는 직교좌표를 쓰므로
밀도함수와 미소부피의 
곱이 될 것입니다
dx dy dz를 곱하면 되죠
당연히도 순서는 바꿀 수 있어요
부피를 알아내고 싶거나
질량을 알아내고 싶다면
이 함수를 합성해야 할 것입니다
1에 z y x를 합성하면 됩니다
다음 비디오에서 이 과정을 하죠
거기서 당신은 이것이 
부정적분의 기초와
단순 실수를 피하는 것임을 
알 수 있을 것입니다
다음 비디오에서 뵙겠습니다
커넥트 번역 봉사단 | 윤재원

Spanish: 
Pero si queremos calcular la masa, como estamos usando
coordenadas cartesianas, será la densidad de la función
en ese punto por nuestra diferencial del volumen.
Entonces dx dy dz.
Y por supuesto, aquí cambiamos el orden.
Entonces cuando quieras calcular el volumen- cuando quieras
calcular la masa- lo cual haré en el próximo video,
esencialmente tendremos que integrar esta función.
En oposición a 1 sobre z, y y x.
Y haré eso en el proximo video.
y verás que es muy simple cualcular la
función primitiva y evitar errores de descuido.
Nos vemos en el próximo video.
-

Portuguese: 
Se queremos calcular a massa,
e como as coordenadas
são retangulares,
isso equivale à função
densidade nesse ponto,
multiplicado
pelo volume diferencial.
vezes dx vezes dy vezes dz.
Obviamente podemos
mudar a ordem dos termos.
Portanto, quando você quer
calcular o volume--
--para calcular a massa--
o que farei no próximo vídeo,
você terá que integrar essa função aqui.
Ao invés de simplesmente
uma sobre z, y e x.
Faremos isso no próximo vídeo.
Você verá que isso
envolve basicamente
calcular antiderivadas e evitar
erros por descuido.
Até o próximo vídeo!
Legendado por Maria Oberlander
Revisado por Clara Nascimento Silva

German: 
Aber wenn wir die Masse berechnen wollen, da wir
rechteckige Koordinaten benutzen, ist es die Dichte Funktion
an diesem Punkt mal unserses differentiellem Volumen.
Also mal dx dy dz.
Und natürlich können wir auch hier die Reihenfolge ändern.
Also wenn Du das Volumen berechnen möchtest-- wenn Du
die Masse berechnen möchtest-- was ich im nächste Video mache,
müssen wir im Grunde diese Funktion integrieren.
Im Gegensatz zu einfach 1 über z, y und x.
Und dies werde ich im nächsten Video tun.
Und Du wirst sehen dass es tatsächlich nur eine Reihe von Anwendung von
Stammfunktion und das Vermeiden von leichtsinnigen Fehlern ist.
Ich sehe Euch im nächsten Video.

English: 
But if we wanted to figure out
the mass, since we're using
rectangular coordinates, it
would be the density function
at that point times our
differential volume.
So times dx dy dz.
And of course, we can
change the order here.
So when you want to figure out
the volume-- when you want to
figure out the mass-- which I
will do in the next video, we
essentially will have to
integrate this function.
As opposed to just
1 over z, y and x.
And I'm going to do that
in the next video.
And you'll see that it's really
just a lot of basic taking
antiderivatives and avoiding
careless mistakes.
I will see you in
the next video.

Turkish: 
Ama, kütleyi buluyorsak ve kartezyen koordinatlar kullanıyorsak, kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir.
-
-
Yani, çarpı dx dy dz.
Tabii ki, burada işlem sırasını değiştirebiliriz.
Bir sonraki videoda kütleyi bulmak için, bu fonksiyonun integralini alacağız.
-
-
1 yerine bu fonksiyonun z, y ve x'e göre integralini alacağız.
Bunu bir sonraki videoda yapacağız.
Ve göreceksiniz ki, terstürev almak ve dikkatsizlik hatası yapmamaktan ibaret bir süreç.
-
Bir sonraki videoda görüşürüz.
-

Estonian: 
Kuid, kui me tahame arvutada selle kujundi massi, kuna me kasutame
ristkordinaate, sellel hetkel oleks see tihedusfunktsioon
korda meie diferentsiaalne maht.
Nii, et dx korda dy korda dz.
Muidugi võime me muuta järjekorda.
Kui te tahate leida ruumala - kui te tahate
leida massi - mida ma teen järgmises videos,
me sisuliselt peame integreerima seda funktsiooni.
Vastand vaid ühele z, y ja x.
Ma teen seda järgmises videos.
Te näete, et see on lihtsalt algfunktsioon võtmine ja
hooletusvigade vältimine.
Me kohtume järgmises video.

Chinese: 
请关注下一讲

Arabic: 
ولكن إذا كنا نرغب في معرفة الكتلة، منذ ذلك الحين نستخدمه
إحداثيات rectangular، سيكون من دالة الكثافة
عند هذه النقطة مرات حجم التفاضلية.
بذلك أوقات dx dy dz.
والطبع، نستطيع أن نغير النظام هنا.
لذلك عندما تريد معرفة الحجم-عندما تريد
معرفة الكتلة-التي سوف أفعل في الفيديو التالي، ونحن
وسيكون أساسا لدمج هذه الدالة.
بالمقارنة مع 1 فقط على z، y و x.
وأنا ذاهب إلى القيام بذلك في الفيديو التالي.
وسترى أنها حقا فقط كثير من أخذ الأساسية
أنتيديريفاتيفيس وتجنب أخطاء الإهمال.
وسوف نراكم في الفيديو التالي.

Polish: 
Jednak jeśli potrzebujemy obliczyć masę, ponieważ mamy
współrzędne prostokątne, liczylibyśmy funkcję częstości
razy nasza objętość różniczkowa.
razy dx dy dz.
Oczywiście kolejność nie ma znaczenia.
Jeśli zatem chcesz obliczyć objętość-- jeśli chcesz
obliczyć masę-- czym zajmę się w kolejnym filmiku,
konieczne jest przecałkowanie tej funkcji.
W porównaniu do 1 przez z,y i x.
Co będę wyjaśniał w następnym filmie.
I zauważycie, że będzie polegało to na stosowaniu całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym
oraz unikaniu niedbałych błędów.
Do zobaczenia w następnym klipie.
