
English: 
Voiceover: We're now gonna talk about
probably the most famous
formula in all of finance,
and that's the Black-Scholes Formula,
sometimes called the
Black-Scholes-Merton Formula,
and it's named after these gentlemen.
This right over here is Fischer Black.
This is Myron Scholes.
They really laid the
foundation for what led to
the Black-Scholes Model and
the Black-Scholes Formula
and that's why it has their name.
This is Bob Merton, who really
took what Black-Scholes did
and took it to another level
to really get to our
modern interpretations
of the Black-Scholes Model
and the Black-Scholes Formula.
All three of these
gentlemen would have won
the Nobel Prize in Economics,
except for the unfortunate fact
that Fischer Black passed away
before the award was given,
but Myron Scholes and Bob Merton
did get the Nobel Prize for their work.
The reason why this is such a big deal,
why it is Nobel Prize worthy,
and, actually, there's many reasons.
I could do a whole
series of videos on that,
is that people have been
trading stock options,

Portuguese: 
Falaremos agora sobre a, provavelmente,
a fórmula mais famosa em finanças
.
A fórmula de Black-Scholes
também conhecida como
fórmula de Black-Scholes-Merton
nomeada em razão destes senhores
Este é Fischer Black
Este é Myron Scholes
Eles lançaram as fundações do que seria o
modelo de Black-Scholes
e a fórmula de Black-Scholes
e por isso recebeu seus nomes
Este é Bob Merton, que partiu do trabalho
de Black-Scholes e levou a outro nível
.
obtendo nossas atuais interpretações do
modelo e fórmula Black-Scholes
.
Esses três senhores ganhariam o
Prêmio Nobel de Economia
.
Mas infelizmente Fischer Black
morreu antes de recebê-lo
.
Mas Myron Scholes e Bob Merton receberam
o Prêmio Nobel por seu trabalho
.
A razão para tanto destaque
pare merecer o Prêmio Nobel
na verdade, são várias razões
Poderia ter uma série
de vídeos sobre isso
é que as pessoas vendem
opções de ações

English: 
or they've been trading options
for a very, very, very long time.
They had been trading them,
they had been buying them,
they had been selling them.
It was a major part of
financial markets already,
but there was no really good way
of putting our mathematical minds around
how to value an option.
People had a sense of the
things that they cared about,
and I would assume
especially options traders
had a sense of the things
that they cared about
when they were trading options,
but we really didn't have an
analytical framework for it,
and that's what the
Black-Scholes Formula gave us.
Let's just, before we dive into
this seemingly hairy formula,
but the more we talk about it,
hopefully it'll start
to seem a lot friendlier
than it looks right now.
Let's start to get an intuition
for the things that we would care about
if we were thinking about
the price of a stock option.
You would care about the stock price.
You would care about the exercise price.
You would especially care
about how much higher or lower
the stock price is relative
to the exercise price.

Portuguese: 
vendem opções de ações por
muito, muito tempo
Negociam
compram
vendem
É parte substancial do
mercado financeiro atualmente
Mas não existe maneira ideal
de usar nossas mentes matemáticas
para precificar uma opção
.
As pessoas tinham um senso do que
é importante para elas
e presumo que negociadores de opções
tivessem essa mesma sensibilidade
ao negociar opções
.
mas não havia um verdadeiro modelo
analítico para isso
e isso foi o que a
fórmula de Black-Scholes nos deu
Antes de mergulhar nessa
fórmula aparentemente cabeluda
espero que, quanto mais falarmos,
mais amigável ela lhes pareça
.
.
Começaremos obtendo sensibilidade
sobre o que importa
.
quando pensamos em determinar
o preço de uma opção
Pensaríamos no preço da ação
Pensaríamos no preço de exercício
Pensaríamos especialmente no quanto
maior ou menor seria a diferença
entre preço de exercício e valor da ação

Portuguese: 
Pensaríamos na taxa de juros a risco zero
os juros a risco zero estão sempre ali
quando pensamos no valor atual de algo
.
Quando convertemos para o valor presente
Pensaríamos, claro, em quanto tempo
teríamos para exercer a opção
.
Finalmente,
pode parecer bizarro, mas
explicarei em um segundo
Pensaríamos em quão volátil é a ação
e medimos volatilidade como
desvio padrão da distribuição logarítmica
dos retornos obtidos pelo título
Parece extravagante
e falaremos mais em vídeos futuros
mas intuitivamente
pense em duas ações
digamos que essa seja a ação 1
E ela oscila
E a faremos plana
Nesse momento não julgaremos se é ou não um bom investimento
.
Você tem uma ação com esse comportamento
E tem essa outra ação
Desenharei ambas iguais
Considere essa a ação 1
E temos a ação 2 fazendo isso

English: 
You would care about the
risk-free interest rate.
The risk-free interest
rate keeps showing up
when we think about taking a
present value of something,
If we want to discount the value
of something back to today.
You would, of course, think
about how long do I have
to actually exercise this option?
Finally, this might look a
little bit bizarre at first,
but we'll talk about it in a second.
You would care about how
volatile that stock is,
and we measure volatility
as a standard deviation
of log returns for that security.
That seems very fancy,
and we'll talk about that in
more depth in future videos,
but at just an intuitive level,
just think about 2 stocks.
So let's say that this is
stock 1 right over here,
and it jumps around,
and I'll make them go flat,
just so we make no judgment
about whether it's a good investment.
You have one stock that kind of does that,
and then you have another stock.
Actually, I'll draw them on the same,
so let's say that is stock 1,
and then you have a
stock 2 that does this,

English: 
it jumps around all over the place.
So this green one right
over here is stock 2.
You could imagine stock 2
just in the way we use the word
'volatile' is more volatile.
It's a wilder ride.
Also, if you were looking at
how dispersed the returns are
away from their mean, you see it has,
the returns have more dispersion.
It'll have a higher standard deviation.
So, stock 2 will have a higher volatility,
or a higher standard deviation
of logarithmic returns,
and in a future video, we'll talk about
why we care about log returns,
Stock 1 would have a lower volatility,
so you can imagine,
options are more valuable
when you're dealing with,
or if you're dealing with a
stock that has higher volatility,
that has higher sigma like this,
this feels like it would drive
the value of an option up.
You would rather have an option
when you have something like this,
because, look, if you're owning the stock,
man, you have to go after,
this is a wild ride,

Portuguese: 
Pulando para todo lado
Temos a ação 2 em verde
Podemos imaginar a ação 2 como mais "volátil"
.
Mais selvagem
Assim, se observarmos a oscilação do retorno esperado
Relativo à média
Vemos que tem maior dispersão
Tem um desvio padrão maior
Então a ação 2 será mais volátil
Ou um maior desvio padrão do logaritmo dos retornos
Futuramente falaremos da importância dos retornos logarítmicos
.
A ação 1 será menos volátil
Obviamente, opções são valoradas considerando a volatilidade
..
Quanto mais volátil
Com alto sigma como essa
Elevaria o valor da opção
Você preferiria ter uma opção nesse caso
.
Porquê com a ação você navegará por mares turbulentos
.

Portuguese: 
Mas com a opção você pode
ignorar essa loucura
e ela pode realmente ocorrer
e você exerceria a opção
se parecer que o momento é bom
A sensação é, se negociamos uma ação
Quanto mais volátil a ação,
mais cara é a opção correspondente
.
Agora que mencionamos isso
falemos sobre a fórmula de Black-Scholes
A versão que tenho aqui é para a
opção de compra européia
.
Poderíamos fazer algo similar para a
opção de venda européia
então essa é a opção de compra européia
e lembre
a opção de compra européia é mais simples
que a opção estadunidense
pois pode ser exercida apenas em uma data
a data de exercício
A opção de compra estadunidense pode
ser exercida a qualquer tempo
.
Dito isso, vamos estudar intuitivamente a
fórmula de Black-Scholes
.
Em primeiro lugar

English: 
but if you have the option,
you could ignore the wildness,
and then it might actually make,
and then you could exercise the option
if it seems like the right time to do it.
So it feels like, if you
were just trading it,
that the more volatile something is,
the more valuable an
option would be on that.
Now that we've talked about this,
let's actually look at
the Black-Scholes Formula.
The variety that I have right over here,
this is for a European call option.
We could do something very
similar for a European put option,
so this is right over here
is a European call option,
and remember, European call option,
it's mathematically simpler
than an American call option
in that there's only one time
at which you can exercise it
on the exercise date.
On an American call option,
you can exercise it an any point.
With that said, let's try to
at least intuitively dissect
the Black-Scholes Formula a little bit.
So the first thing you have here,

Portuguese: 
temos esse termo envolvendo o
valor atual da ação
e então multiplicamos por essa função
que toma isso como valor de entrada
.
assim definimos essa entrada
e subtraímos o valor de exercício
convertido em valor presente
.
vezes a mesma função novamente
E agora a entrada é ligeiramente
diferente nessa função
.
Para ter uma pequena base
do que é a função N
.
N é a função de distribuição cumulativa
para uma distribuição normal
.
Sei que parece um pouco intimidador
Mas podemos consultar uma tabela
de dados estatísticos
e ver que não é tão mal
Basicamente, é dizer que para uma
distribuição normal
a probabilidade de que sua variável
aleatória seja menor ou igual a X
.
E outra maneira de pensar
.
E está tudo explicado nos vídeos de
estatística, se estiver confuso
.
Mas se pensar matematicamente, saberá
.
por ser probabilidade
que o valor será sempre maior que zero

English: 
you have this term that involved
the current stock price,
and then you're multiplying
it times this function
that's taking this as an input,
and this as how we define that input,
and then you have minus the exercise price
discounted back, this discounts
back the exercise price,
times that function again,
and now that input is slightly different
into that function.
Just so that we have a
little bit of background
about what this function N is,
N is the cumulative distribution function
for a standard, normal distribution.
I know that seems, might
seem a little bit daunting,
but you can look at the
statistics playlist,
and it shouldn't be that bad.
This is essentially saying for
a standard, normal distribution,
the probability that your
random variable is less than
or equal to x,
and another way of thinking about that,
if that sounds a little,
and it's all explained in
our statistics play list
if that was confusing,
but if you want to think about
it a little bit mathematically,
you also know that this is going to be,
it's a probability.
It's always going to be greater than zero,

English: 
and it is going to be less than one.
With that out of the way,
let's think about what
these pieces are telling us.
This, right over here,
is dealing with, it's
the current stock price,
and it's being weighted by
some type of a probability,
and so this is, essentially,
one way of thinking about it,
in very rough terms, is this
is what you're gonna get.
You're gonna get the stock,
and it's kind of being
weighted by the probability
that you're actually
going to do this thing,
and I'm speaking in very rough terms,
and then this term right
over here is what you pay.
This is what you pay.
This is your exercise
price discounted back,
somewhat being weighted,
and I'm speaking, once again,
I'm hand-weaving a lot of the mathematics,
by like are we actually
going to do this thing?
Are we actually going
to exercise our option?
That makes sense right over there,
and it makes sense if the
stock price is worth a lot more
than the exercise price,
and if we're definitely going to do this,
let's say that D1 and D2 are
very, very large numbers,

Portuguese: 
e menor que um
Explicado isso, vejamos o que
essa peças nos dizem
.
Isso aqui
é o preço atual da ação,
ponderado por alguma probabilidade
.
que, analisando grosseiramente,
é o que espera-se ganhar
.
Adquiriremos a ação
e estamos estimando a chance de
realmente adquirirmos essa ação
.
Estou descrevendo grosseiramente
E esse termo é o que você paga
O que você paga
É o preço de exercício revertido
a valores atuais
ponderado, de certa maneira
e repetindo
estou costurando matematicamente
que ações tomaremos
.
Exercerei essa opção?
Aqui faz sentido
Faz sentido se o preço da ação está muito
acima do preço de exercício
.
E se definitivamente faremos
digamos que D1 e D2 sejam
números muito grandes

Portuguese: 
é o que definitivamente faremos,
em algum momento
isso faz sentido se o
valor da opção de compra
é o valor da ação menos o preço
de exercício em valor presente
.
Esse aqui é o desconto
Que nos dá o valor presente
do preço de exercício
Temos vídeos sobre descontos
e valor presente se achar isso complicado
.
também faz sentido quando
quanto maior o preço da ação
que vemos aqui
relativo ao preço de exercício
mais a opção vale
também é coerente que quanto maior o preço
da ação relativo ao preço de exercício
.
é mais provável que exerçamos a opção
Vemos isso nestes dois termos
Temos a fração do preço da ação
e do preço de exercício
a fração do preço da ação
e do preço de exercício
estamos usando o log natural dele
mas quanto maior a razão,
maior D1 ou D2 é
significando uma entrada maior
na função de distribuição acumulada
.
resultando em maiores probabilidades

English: 
we're definitely going to do
this at some point in time,
that it makes sense that
the value of the call option
would be the value of the
stock minus the exercise price
discounted back to today.
This right over here,
this is the discounting,
kind of giving us the present
value of the exercise price.
We have videos on discounting
and present value,
if you find that a little bit daunting.
It also makes sense that the more,
the higher the stock price is,
so we see that right over here,
relative to the exercise price,
the more that the option would be worth,
it also makes sense that
the higher the stock price
relative to the exercise price,
the more likely that we will
actually exercise the option.
You see that in both of
these terms right over here.
You have the ratio of the stock
price to the exercise price.
A ratio of the stock price
to the exercise price.
We're taking a natural log of it,
but the higher this ratio
is, the larger D1 or D2 is,
so that means the larger the input
into the cumulative
distribution function is,
which means the higher
probabilities we're gonna get,

Portuguese: 
ou seja, maior a chance de
exercermos a opção
e faz sentido
isso realmente terá algum valor
e faz sentido
a relação entre preço da ação
e preço de exercício
.
Outra coisa a estar atento
porque tende a ter profunda atenção
de quem opera com opções
.
é a volatilidade
já tivemos a intuição de que quanto maior
a volatilidade, maior o preço da opção
.
.
então vejamos esses fatores na equação
Não vemos logo no primeiro nível
mas como fatores em D1 e D2
Em D1, quanto maior o desvio padrão do
logaritmo do retorno, maior o sigma
.
Temos um sigma no numerador
e no denominador
mas no numerador está ao quadrado
Então um sigma maior implica em D1 maior
.
Vamos pensar sobre isso
Aqui temos um sigma
Continua ao quadrado. Está no numerador, mas estamos subtraindo ele
.

English: 
and so it's a higher chance
we're gonna exercise this price,
and it makes sense that then
this is actually going to have some value.
So that makes sense,
the relationship between the stock price
and the exercise price.
The other thing I will focus on,
because this tends to be a deep focus
of people who operate with options,
is the volatility.
We already had an intuition,
that the higher the volatility,
the higher the option price,
so let's see where this factors
into this equation, here.
We don't see it at this first level,
but it definitely factors into D1 and D2.
In D1, the higher your standard
deviation of your log returns,
so the higher sigma,
we have a sigma in the
numerator and the denominator,
but in the numerator, we're squaring it.
So a higher sigma will make D1 go up,
so sigma goes up, D1 will go up.
Let's think about what's happening here.
Well, here we have a sigma.
It's still squared. It's in the numerator,
but we're subtracting it.

English: 
This is going to grow faster than this,
but we're subtracting it now,
so for D2, a higher sigma
is going to make D2 go down
because we are subtracting it.
This will actually make,
can we actually say this is going to make,
a higher sigma's going to make the value
of our call option higher.
Well, let's look at it.
If the value of our sigma goes up,
then D1 will go up,
then this input, this input goes up.
If that input goes up,
our cumulative distribution
function of that input
is going to go up, and so this term,
this whole term is gonna
drive this whole term up.
Now, what's going to happen here.
Well, if D2 goes down,
then our cumulative distribution
function evaluated there
is going to go down,
and so this whole thing
is going to be lower
and so we're going to have to pay less.
If we get more and pay less,
and I'm speaking in very hand-wavy terms,
but this is just to understand
that this is as intuitively
daunting as you might think,
but it looks definitively,
that if the standard deviation,

Portuguese: 
Isso cresce mais rápido que o outro
mas estamos subtraindo
então, quanto maior o sigma, menor o D2
Porque estamos subtraindo
Isso na verdade faz
Podemos dizer que fará
um valor de sigma alto tornará o
valor da opção de compra alto
.
Vejamos
Se o valor de sigma aumenta
então D1 sobe
Essa entrada aumenta
Se essa entrada aumenta
Nossa função de distribuição acumulada
baseada nela sobe
.
e esse termo fará todo esse termo subir
o que acontece aqui
se D2 cai, então nossa função de
distribuição acumulada cairá
.
.
Então tudo isso será menor
E precisaremos pagar menos
E se pagamos menos
e falando em linhas gerais
apenas para compreendermos que isso é
intuitivamente impressionante
.
mas definitivamente nota-se
se o desvio padrão do
logaritmo de nossos retornos

English: 
if the standard deviation
of our log returns
or if our volatility goes up,
the value of our call option,
the value of our European
call option goes up.
Likewise, using the same logic,
if our volatility were to be lower,
then the value of our
call option would go down.
I'll leave you there.
In future videos, we'll think about this
in a little bit more depth.

Portuguese: 
.
se nossa volatilidade sobe
o valor da opção de compre
o valor da opção de compra europeia sobe
pelo mesmo raciocínio
se a volatilidade diminui
o valor da opção de compra diminui
Pararei aqui
Nos próximos vídeos falaremos
mais profundamente disso
Legendado por Bruno HOL
