
Spanish: 
Por quŽ me gustan tanto 
los patrones con simetría decagonal?
Un viaje desde la ciencia hasta el arte geométrico
Una historia presentada Lars@Rixn.se
Parte 1
Los grupos de simetría en el plano
Hablemos sobre patrones
Simetría.
La simetría
en
Los patrones
Un patrón puede ser simétrico de varias formas.
Puede repetirse a sí mismo 
con copias siguiendo una dirección
lo cual se llama simetría de translación.
un patrón también puede reflejarse
A esta transformaci—n se le llama simetría axial.
Si se combinan las dos transformaciones,

Swedish: 
Varför gillar jag 10-faldiga mönster så mycket?
En resa från vetenskap till geometrisk konst
En berättelse från Lars@Rixn.se
Del 1 - Symmetrigrupp i planet 
(eller kristallografisk grupp)
Låt oss prata om mönster
och symmetri.
Symmetri
i
mönster
Ett mönster kan vara symmetriskt på flera sätt.
Det kan upprepa sig med kopior i en riktning
som kallas Translationssymmetri.
Ett mönster kan också speglas
kallas Reflektionssymmetri.
Om du kombinerar de två,

English: 
Why do I like 10-fold patterns so much?
A journey from science to geometric art
A story brought to you by Lars@Rixn.se
Part 1 - Wallpaper groups
Let's talk about pattern
and symmetry.
Symmetry
in
pattern
A pattern can be symmetrical in several ways.
It can repeat itself with copies in a direction
which is called Translational symmetry.
A pattern can also be mirrored
called Reflectional symmetry.
If you combine the two,

Swedish: 
blir det en Glidreflektion.
En annan symmetrisk upprepning är rotation
Rotationssymmetri
vilket ser likadant ut när du roterar det.
Det här kallas ett 6-faldigt mönster.
Det kan rotera sex gånger i en cirkel.
Varje typ har sin underliggande struktur.
När du flyttar det så kommer varje punkt i 
strukturen alltid att passa en annan punkt.
De har translationssymmetri
Det finns bara 17 olika kombinationer
att bilda grupper av symmetriska repetitiva mönster.
De kallas för Symmetrigrupper
6-faldiga har två symmetrigrupper
men lägg märke till att det inte 
finns några 5-faldiga grupper.

English: 
it will be a Glide reflection.
Another symmetric repetition is rotation
Rotational symmetry
which looks the same when you rotate it.
This is called a 6-fold pattern.
It can rotate six times within a circle
each type has its underlying structure.
When you move it, each point in this
structure will always fit another point.
They have translational symmetry
There are only 17 different combinations
to form groups of symmetrical repetitive
pattern.
These are called Wallpaper Groups.
6-folds have two wallpaper groups,
but notice that there are no groups for 5-folds

Spanish: 
el producto es una simetría con deslizamiento.
Otra repetición simétrica es la rotación
La simetría rotacional
(O simetría de giro)
con ella los objetos se ven igual al girarlos.
Se dice que este patrón tiene una simetr’a de orden 6.
Se puede girar seis veces hasta completar 360 grados.
Cada tipo tiene su estructura subyacente.
Cuando lo mueves, cada punto en esta
estructura siempre se ajustará a otro punto.
Tienen simetría de translación
Sólo hay 17 combinaciones diferentes
para formar grupos de patrones con simetría repetitiva.
A estos se les llama grupos de simetría en el plano.
Los patrones con simetría 
de orden 6 tienen dos grupos.
pero fíjate que no hay grupos 
para patrones con simetría de orden 5.

English: 
This is because it's not possible to rotate five fold
and achieve translational symmetry.
The points don't add up.
Take a look at the Pentagon.
It can't cover the plane as a triangle, square, 
and a hexagon can, as it leaves gaps.
This visual discrepancy
as well as the lack of mathematical logic
makes the 5-fold patterns most interesting.
Part 2 - Quasicrystals
A crack in the universe
Symmetric pattern can be found in nature.
The structure of atoms in matter is
ordered and repetitive in three dimensions.
They form crystals.
In 1895 Wilhelm Roentgen discovered x-rays.

Swedish: 
Det här beror på att det inte går att rotera fem gånger
och uppnå translationssymmetri.
Punkterna passar inte.
Ta en titt på femhörningen
Den kan inte täcka planet som en 
triangel- kvadrat- och en sexhörning kan,
eftersom den lämnar luckor.
Den här visuella avvikelsen
såväl som bristen på matematisk logik
gör de 5-faldiga mönstren mest intressanta.
Del 2 - Kvasikristaller
A spricka i universum
Symmetriska mönster finns i naturen.
Strukturen av atomer i materia 
är ordnad och repetitiv i tre dimensioner.
De bildar kristaller.
År 1895 upptäckte Wilhelm Röntgen röntgenstrålar.

Spanish: 
Esto es porque no es posible 
girar objetos con simetría de orden 5
y conseguir la simetría de traslación.
Los puntos no se corresponden.
Echa un vistazo al Pentágono.
No puede cubrir el plano como el cuadrado,
triángulo y hexágono, ya que deja huecos.
Esta discrepancia visual
así como la falta de lógica matemática
hace que los patrones con simetría 
de orden 5 Sean los más interesantes.
Parte 2
Los Cuasicristales
Una grieta en el universo
Los patrones simétricos se pueden 
encontrar en la naturaleza.
La estructura de los átomos en la materia es
ordenada y repetitiva en tres dimensiones,
forman cristales.
En 1895, Wilhelm Roentgen descubrió los rayos x.

English: 
He won the Nobel Prize in 1901.
In 1912, x-ray diffraction
enabled scientists to see the pattern of crystals.
The new field of study was 
called x-ray crystallography.
Only 1-, 2-, 3-, 4-,
and 6-fold structures were found.
The order of nature was intact
2D - 5-fold
..until the race to cover the plane
aperiodically started in 1974.
when Professor Sir Roger Penrose
discovered tiles that could cover the plane
in two dimensions and still generate

Swedish: 
Han vann Nobelpriset år 1901.
År 1912 möjliggjorde röntgendiffraktion
för forskare att se mönstret från kristaller.
Det nya forskningsfältet kallades Röntgenkristallografi.
Endast 1-, 2-, 3-, 4-,
och 6-faldiga strukturer hittades.
Naturens ordning var intakt
2D - 5-faldigt
..tills tävlingen att täcka planet
aperiodiskt, startade år 1974.
då professor Sir Roger Penrose
upptäckte geometriska former som kunde täcka planet
i två dimensioner och fortfarande bilda

Spanish: 
Ganó el Premio Nobel en 1901.
En 1912 la difracción de rayos X
permitió a los científicos ver 
los patrones de los cristales.
El nuevo campo de estudio se llamó 
cristalografía de rayos X.
Sólo se encontraron estructuras
con simetría de orden 1, 2, 3, 4 y 6.
El orden de la naturaleza estaba intacto.
2D - Simetría de orden 5
(quíntuple o pentagonal)
..hasta que la carrera para cubrir el plano
aperiódicamente empezó en 1974
cuando el profesor Sir Roger Penrose
descubrió teselas que podían cubrir el plano
en dos dimensiones y ademús generar

English: 
a 5-fold aperiodic pattern.
It actually started in 1962 when logician Hao Wang
introduced the domino problem 
with colored square tiles.
In 1964 this student Robert Berger
managed to solve the problem with 20 426 tiles.
Four years later, Donald Knuth
managed to do it with only 92 tiles
and in 1969 Raphael Robinson used only six tiles.
But, it was Penrose who managed to do it 5-fold,
using only four tiles in 1974.
Two years later he had scaled it down to only two tiles,
the thin and thick rhombus.
If we are going to be really picky,
then it all started in 1619
by Johannes Kepler's publication
The Harmony of the Worlds

Spanish: 
un patrón aperiódico con simetría de orden 5.
Comenzó realmente en 1962 
cuando el lógico Hao Wang
introdujo el problema del dominó 
con teselas cuadradas coloreadas.
En 1964 este estudiante Robert Berger
logró resolver el problema con 20.426.
Cuatro años después Donald Knuth
logró hacerlo con sólo 92 teselas
y en 1969 Raphael Robinson usó sólo seis teselas.
Pero, fue Penrose quien logró hacerlo 
con simetría de orden 5,
utilizando sólo cuatro baldosas en 1974.
Dos años más tarde lo redujo a sólo dos baldosas,
el rombo fino y el rombo grueso.
Siendo minuciosos,
todo comenzó en 1619
con la publicación de Johannes Kepler
la Armonía de los Mundos

Swedish: 
ett 5-faldigt aperiodiskt mönster.
Det började egentligen år 1962, då logiker Hao Wang
introducerade dominoproblemet 
med färgade fyrkantiga bitar.
År 1964 lyckades hans student, Robert Berger,
lösa problemet med 20 426 bitar.
Fyra år senare lyckades Donald Knuth
göra det med endast 92 plattor,
och år 1969 använde Raphael 
Robinson endast sex bitar.
Men det var Penrose, 
som lyckades täcka planet 5-faldigt
med endast fyra bitar, år 1974.
Två år senare hade han skalat 
ned det till endast två plattor,
den tunna och den tjocka romben.
Om vi ska vara riktigt kräsna
så började allt år 1619,
med Johannes Keplers publikation
Världens Harmoni

Spanish: 
en la que escribe sobre armonía y formas geométricas,
y la teselación del plano con 
teselas con simetría de orden 5.
3D - Simetría de orden 5
(en la teoría)
Las teorías sobre las posibilidades
de patrones con simetría de orden 5 tridimensionales
en cristales de la vida real comenzaron a emerger.
En 1981 el cristalógrafo Alan McKay
publicó un artículo en el que utilizó 
las teselas de Penrose
en 3 dimensiones para predecir esta simetría prohibida.
Cuasicristales
(en la teoría)
En 1983, el físico teórico Paul Steinhardt
y el matemático Dov Levine
introdujeron su teoría y acuñaron 
el término cuasicrystal
en su artículo que salió un año más tarde.
El prefijo cuasi es una referencia
al orden cuasi periódico de la estructura atómica.
Los cuasicristales contienen átomos formando

Swedish: 
där han diskuterar harmoni och geometriska former,
och att täcka planet med 5-faldigt mönster.
3D - 5-faldigt
(i teorin)
Teorier om möjligheterna
för tredimensionellt 5-faldigt mönster
i fysiska kristaller, började dyka upp.
År 1981 publicerade kristallografen Alan McKay
ett dokument, där han använde Penrose-plattor
i tre dimensioner för att förutsäga 
den här förbjudna symmetrin.
Kvasikristaller
(i teorin)
År 1983 introducerade 
den teoretiske fysikern Paul Steinhardt
och matematikern Dov Levine
sin teori och myntade termen kvasikristall
i sin publikation som kom ut ett år senare.
Uttrycket kvasi är en referens
till atomstrukturens kvasiperiodiska ordning.
Kvasikristaller innehåller atomer packade

English: 
in which he discusses harmony and geometrical forms,
and to cover the plane with 5-fold tiles.
3D - 5-fold
(in theory)
Theories about the possibilities
of 3-dimensional 5-fold pattern
in real life crystals started to emerge.
In 1981, crystallographer Alan McKay
published a paper, in which he used Penrose tiles
in three dimensions to predict this forbidden symmetry.
Quasicrystals
(in theory)
In 1983, theoretical physicist Paul Steinhardt
and mathematician Dov Levine
introduced their theory and coined the term quasicrystal
in their paper that came out a year later.
The phrase "quasi" is a reference
to the quasi-periodic order of the atomic structure.
Quasicrystals contain atoms packed

English: 
in a pattern that cannot be repeated.
All three
were awarded the Buckley prize in 2010.
Synthesize quasicrystals
(in real-life)
The use of a new technology,
Transmission Electron Microscopy
for diffraction patterns
increased after WWII.
But it took until 1982
before professor Daniel Schechtman
discovered 10-fold pattern in matter,
as seen in this electron diffraction pattern picture
that he took of a synthesized 
aluminum-manganese alloy crystal.
He published his findings in 1984
and hell broke loose.
His discovery would change a fundamental idea
of how matter is structured.
Many scientists had hard time accepting this,
what they thought, flaw in nature.
He got support from Steinhardt
and slowly, the new ideas got accepted.

Swedish: 
i ett mönster som inte upprepas.
Alla tre
tilldelades Buckley-priset år 2010.
Syntetisera kvasikristaller
(i verkligheten)
Användningen av en ny teknik,
Transmissionselektronmikroskopi (TEM) för diffraktionsmönster
ökade efter 2:a världskriget.
Det tog till år 1982
innan professor Daniel Schechtman
upptäckte 10-faldigt mönster i materia,
som kan ses i den här elektrondiffraktionsmönsterbilden
som han tog av en syntetiserad
aluminium-manganlegeringskristall.
Han publicerade sina fynd år 1984,
och utlöste en kritikerstorm.
Hans upptäckt skulle rubba en grundläggande idé
av hur materia är uppbyggd.
Många forskare hade svårt att acceptera den här,
vad de trodde, anomalin i naturen.
Han fick stöd från Steinhardt
och långsamt blev de nya idéerna accepterade.

Spanish: 
un patrón que no puede repetirse.
Los tres
fueron galardonados con el premio Buckley en 2010.
Síntesis de cuasicristales
(en la vida real)
El uso de una nueva tecnología,
el microscopio de transmisión por electrones
para patrones de difracción,
aumentó después de la Segunda Guerra Mundial.
Pero no fué hasta 1982
cuando del profesor Daniel Schechtman
descubierto un patrón con simetría 
de orden 10 en la materia,
como se ve en esta imagen del patrón 
de difracción de electrones
Que tomó de un cristal sintetizado
de aleación de aluminio y manganeso.
Publicó sus hallazgos en 1984
entonces se abrió la caja de Pandora.
Su descubrimiento cambiaría una idea fundamental
sobre cómo se estructura la materia.
Muchos científicos tuvieron 
dificultades para aceptar esto,
lo entendían como un defecto de la naturaleza.
Consiguió el apoyo de Steinhardt
y poco a poco, las nuevas ideas se aceptaron.

Swedish: 
Speciellt när kristaller, stora nog för röntgendiffraktion,
hade syntetiserats år 1987.
Sedan den ursprungliga upptäckten
har hundratals kvasikrystaller
rapporterats och bekräftats.
Hitta naturliga kvasikristaller
(I verkligheten)
Den ursprungliga teorin föreslog att 
kvasikristaller kan bildas naturligt,
så Steinhardt, tillsammans med sin student Peter J. Lu
startade en storskalig sökning 
efter naturliga kvasikristaller
omkring år 2000.
Teamet utökades med en italiensk forskare,
Luca Bindi, år 2007,
då kurator för mineralsamlingen
vid naturhistoriska museet på universitetet i Florence.
I början av 2009 upptäcktes det första exemplet

Spanish: 
Especialmente cuando cristales, lo suficientemente grandes para la difracción de rayos X,
se sintetizaron en 1987.
Desde el descubrimiento original
cientos de cuasicristales
han sido descubiertos y confirmados.
Descubrimiento de Cuasicristales naturales
(en la vida real)
La teoría original sugería 
que los cuasicristales pueden formarse naturalmente,
así que Steinhardt, junto con su estudiante Peter J. Lu,
inició una búsqueda a gran escala 
de cuasi cristales naturales
alrededor del año 2000.
Un científico italiano acompañó al equipo,
Luca Bindi en 2007,
entonces conservador de la colección de minerales
en el Museo de Historia Natural
de la Universidad de Florencia.
A principios de 2009, el primer ejemplo

English: 
Especially when crystals,
big enough for x-ray diffraction,
had been synthesized in 1987.
Since the original discovery
hundreds of quasicrystals
have been reported and confirmed.
Finding natural quasicrystals
(in real-life)
The original theory suggested that
quasicrystals could form naturally,
so Steinhardt, together with his student Peter J. Lu,
initiated a large-scale search for natural quasi crystals
around the year of 2000.
The team was joined by Italian scientist,
Luca Bindi in 2007,
then curator of the mineral collection
at the Museum of Natural History
of the University of Florence.
In early 2009, the first example

Swedish: 
av en naturlig kvasikristall
i källaren av museet,
i ett stenprov från en 4,5 miljarder
år gammal meteorit gjord av Khatyrkite,
och som kommer från Koryak-bergen i östra Ryssland.
Ikosaedrit
År 2010 accepterade det internationella 
mineralogiska förbundet
kvasikristallen som en ny mineral, som heter Ikosaedrit.
"Vi är stenar från yttre rymden
och den vackra skimrande saken där
det är från Kathyrkitmeteoren
som föll i Sibirien 2011.
Det är en kvasikristall med 5-faldig symmetri,
kallad Ikosaedrit.
och?
Det är det enda kända objektet i universum
med den symmetrin. Ingenting liknande finns på jorden.
Glittrande, en-på-miljonen

English: 
of a natural quasicrystal was discovered
in the basement of the museum,
in a rock sample from a 4.5 billion
year old meteorite made of Khatyrkite,
coming from the Koryak
mountains of far eastern Russia.
Icosahedrite
In 2010, the International Mineralogical Association
accepted the quasicrystal as
a new mineral named Icosahedrite.
"We're rocks from outer space
and that beautiful shimmering guy there
that's from the Kathyrkite meteor
that fell on Siberia in 2011.
It's a quasicrystal with 5-fold symmetry,
called Icosahedrite.
Meaning?
It's the only known object in the universe
with that symmetry. Nothing like it exists on earth.
Shimmering, one-of-a-kind

Spanish: 
de un cuasicristal natural se descubrió
en el sótano del museo,
en una muestra de roca de 4.500 millones 
de años, el meteorito de Khatyrkita,
procedente de las montañas Koryak 
en el lejano oriente de Rusia.
Icosahedrita
En 2010, la Asociación Mineralógica Internacional
aceptó el quasicrystal como
un nuevo mineral llamado ÒIcosahedritaÓ.
ÒSomos rocas del espacio exterior
y ese espléndido y hermoso tipo de ahí
es del meteorito Kathyrkita
que cayó en Siberia en 2011.
Es un cuasicrystal con simetría de orden 5,
llamado Icosahedrita.
¿Significado?
Es el único objeto conocido en el universo
con esa simetría. Nada como eso existe en la tierra.
Alucinante, único en su género

English: 
like you.
Still, the findings were questioned
and the samples have been used up,
so, to verify their work
they went on an expedition
to the Koryak mountains in 2011,
to find more samples of Icosahedrite.
So far, nine new samples have been found.
Material science
In material science, quasicrystalline principles
can be found as reinforced coating,
like frying pan, or surgical tool,
and additive manufacturing, like 3D-printing.
It also shows promise in camouflage.
Perhaps we can, in the future, see
shape-shifting Terminator T-1000 robots
or a Harry Potter invisibility cloak?

Swedish: 
som du.
Fynden fortsatte att ifrågasättas
och proverna är slut,
så att verifiera sitt arbete,
åkte de på en expedition
till Koryak-bergen år 2011,
för att hitta fler prover av Ikosaedrit.
Hittills har nio nya prover hittats.
Materialvetenskap
I materialvetenskap kan kvasikristallina principer
hittas som förstärkt beläggning
i stekpannor eller kirurgiska verktyg,
och tillsatsframställning, som 3D-utskrift.
Det visar också möjligheter inom kamouflage.
I framtiden kanske vi får se
skepnads-ändrande "Terminator T-1000"-robotar
eller en osynlighetskappa, som i Harry Potter?

Spanish: 
Como tú.Ó
Sin embargo, los resultados fueron cuestionados
y se consumieron las muestras.
Entonces para verificar su trabajo,
Se fueron de expedición
a las montañas de Koryak en 2011,
para encontrar más muestras de Icosaedrita.
Hasta ahora se han encontrado nueve muestras nuevas.
Ciencia de la materia
En la ciencia de la materia, 
los principios cuasicristalinos
se pueden encontrar como revestimientos reforzados,
en sartenes o en herramientas quirúrgicas,
y en la fabricación aditiva, como la impresión en 3D.
También promete en camuflaje.
Tal vez podamos ver en el futuro
robots Terminator T-1000 que se transforman
o una capa de invisibilidad de Harry Potter?

Spanish: 
Recapitulando

Swedish: 
Sammanfattning

English: 
Let's recap

Spanish: 
Y acabaremos en
Arte geométrico islámico
Patrones islámicos
Volvamos a 2007, cuando Peter J. Lu
descubrió que muchas de las decoraciones
de la arquitectura islámica era cuasicristalina.
Resulta que se crearon patrones 
con simetría pentagonal,
mucho antes de Kepler, en Oriente Medio.
Después de estudiar patrones 
de mezquitas
así como el pergamino de Topkapi,
Lu encontró que hay otra manera
para elaborar patrones islámicos.
Parte 3 - 
El pergamino de Topkapi

Swedish: 
..och till slut kommer vi till..
Islamisk geometrisk konst.
Islamiska mönster
Låt oss gå tillbaka till år 2007, när Peter J. Lu
fann att mycket konst inom Islamisk 
arkitektur var kvasikristallina.
Det visar sig att 5-faldiga mönster skapades
långt före Kepler, i Mellanöstern.
Efter att ha studerat mönster i moskéer,
och även Topkapi-rullen,
fann Lu att det finns ett annat sätt 
att skapa islamiska mönster.
Del 3 - Topkapi-rullen

English: 
..and, we will end up at
Islamic geometric art.
Islamic pattern
Let's go back to 2007, when Peter J. Lu
found that many of the artwork in Islamic 
architecture were quasicrystaline.
It turns out, 5-fold patterns were created
way before Kepler in the Middle East.
After studying existing pattern in
mosques,
as well as the Topkapi scroll,
Lu found, that there is another way
to tile Islamic pattern.
Part 3 - The Topkapi scroll

Swedish: 
Topkapi-rullen är ett imponerande historiskt dokument.
Det är en mellanösternsk instruktion
för att skapa arkitektoniska mönster.
Den sammanställdes under Timurid-tiden,
omkring femhundra år sedan.
Rullen är nästan 30 meter lång
och består av 114 mönster.
16 av de här panelerna har ett 5-faldigt mönster.
År 2007 använde Peter J. Lu och Paul J. Steinhardt
panel 28 för att definiera 5 bitar som Girih-plattor.
Lu gjorde gällande att den här 
metoden har varit en viktig del
i skapandet av de här historiska mönstren.
Påståendet är kontroversiellt, då det ses som
en förminskning av de stora konstverk 
som de här mönstrena är,
när de reduceras till att vara 
formgivna av bara fem bitar.
Den synvinkeln bortser från komplexiteten 
i hur bitarna pusslas ihop.

English: 
The Topkapi scroll is an incredible
historical document.
It's a middle-eastern instruction
for creating architectural patterns.
It was compiled during the Timurid era,
around five hundred years ago.
The scroll is almost 30 meters long
and consists of 114 patterns.
16 of these panels have a 5-fold pattern.
In 2007, the physicists 
Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt,
used the panel 28 to define five tiles as Girih tiles.
Lu made the case that tilings have been a crucial part
of the creation of these historical patterns.
This claim is controversial, as it is seen as
diminishing the great work of art that these patterns are,
when reduced to designing just five tiles.
This view, disregards the complexity
by which these tiles are puzzled together.

Spanish: 
El pergamino de Topkapi 
es un increíble documento histórico.
Es una instrucción de Oriente Medio
para la creación de patrones arquitectónicos.
Fue compilado durante la era Timurid
hace unos quinientos años.
El pergamino tiene casi 30 metros de largo
y consta de 114 láminas.
16 de estas láminas contienen 
patrones con simetría pentagonal.
En 2007, los físicos Peter J. Lu y Paul J. Steinhardt,
utilizaron la lámina 28 para definir 
cinco teselas como las baldosas de Girih.
Lu presentó argumentó de que los mosaicos 
han sido una parte crucial
en la creación de estos patrones históricos.
Esta afirmación es controvertida, 
ya que se puede entender
como una minusvaloración de la gran obra 
de arte que son estos patrones,
cuando se reducen a ser diseñadas 
con sólo cinco baldosas.
Esta visión, no tiene en cuenta la complejidad
con la que estas teselas se ensamblan.

English: 
I'm not so sure they did use a tiling
method to create the pattern.
but, as these panels in the Topkapi
scroll have carefully marked lines
for the pattern, as well as, the tiles,
it indicates that they, at least, used tiling method
to get a better understanding of the possibilities
so they easier could plan and
design their masterpieces.

Spanish: 
No estoy tan seguro de que se hiciera uso 
de un método de teselación para crear estos patrones,
pero estas láminas del pergamino de Topkapi
tienen líneas cuidadosamente marcadas
sobre el patrón, así como las baldosas,
Lo cual indica que, por lo menos, 
utilizaron el método de embaldosado
para poder planificar y
diseñar sus obras maestras.
para comprender mejor las posibilidades

Swedish: 
Jag är inte säker på att de använde 
den här metoden för att bygga mönstret,
men då vissa paneler i Topkapi-
rullen har noga märkta linjer
för mönstret, liksom för bitarna,
indikerar det att det åtminstone använde metoden
för att få en bättre förståelse för möjligheterna
så de lättare kunde planera och skapa sina mästerverk.
