
Russian: 
Для всех двойных интегралов, которые мы делали до сих пор
границы Х и У были фиксированными

Estonian: 
Kõikidest kahekordsetest integraalidest, mida oleme teinud
seni, piirid x'l ja y'l olid fikseeritud.
Nüüd, vaatame, mis juhtub, kui piirid
x ja y on muutujad.
Ütleme, mul on sama pind, ning ma ei
joonista seda nagu ta välja näeb, ma joonistan ta
piltlikult.
Aga ülesanne, mida teeme on z ja see on
täpselt sama, mida oleme seni teinud.
Punkt siit ei näita teile, kuidas integreerida punkt
siit näitab, kuidas visualiseerida ning mõelda
nendest ülesannetest.
Ja ausalt, kahekordsete integraalide ülesannetes on raskeimaks osaks
piiride välja nuputamine
Kord, kui seda teete, on integratsioon
üsna otsekohene.
Ta ei ole tegelikult üldse raskem ,kui ühe muutuja integratsioon
Ütleme, et see on meie pind: z on võrdne
xy ruuduga.
Las ma joonistan teljed uuesti.
See on minu x-telg.
See on minu z-telg.
See on minu y-telg.

Polish: 
-
We wszystkich całkach podwójnych, z jakimi mieliśmy do czynienia do tej pory,
granice całkowania dla x i y były ustalone.
Teraz zobaczymy, co dzieje się, gdy granice całkowania
dla x i y są zmiennymi.
Powiedzmy, że mamy tę samą powierzchnię,
nie zamierzam jej narysować,
naszkicuję ją tylko.
Zadaniem, które chcemy rozwiązać, to z,
to samo, które rozwiązywaliśmy.
Nie chodzi o to, aby pokazać Wam, jak całkować,
chodzi o to, aby pokazać Wam, jak to sobie wyobrazić
i myśleć o tym zadaniu.
W całce podwójnej najtrudniejszą częścią
jest wyliczenie granic całkowania.
Kiedy już to obliczycie,
całkowanie jest dość proste.
To naprawdę nie jest trudniejsze niż całka jednej zmiennej.
Powiedzmy, że naszą powierzchnią
jest z równe x y kwadrat.
Narysuję osie ponownie.
To jest moja oś x.
To moja oś z.
To moja oś y.
-

Portuguese: 
Em todas as integrais que já fizemos
os limites x e y estavam fixados
Agora veremos o que acontece quando os limites
x e y forem variáveis
Então digamos que eu tenha a mesma superfície que aqui não irei
desenhar na forma que ela tem, eu irei desenhar
de forma figurada
Mas o problema que trataremos agora é quanto ao z, e isso é
da mesma forma o que fizemos até agora.
O ponto aqui não é mostrar como integrar, o ponto
aqui é mostrar como visualizar e pensar
sobre os mesmos problemas
e francamente, em problemas de inttegrais duplas a parte mais difícil é
descobrir os limites
Uma vez que você tenha feito isso, a integração fica fácil
e direta
É realmente mais fácil que uma integração de uma única variável.
Então vamos dizer que aquela nossa superfície: z é igual
a xy²
Deixe-me desenhas os eixos novamente.
Então esse é o meu eixo x.
Esse é o meu eixo z.
Esse é o meu eixo y.

Turkish: 
-
Şimdiye kadar yaptığımız çift katlı integrallerde, x ve y'nin sınırları sabitti.
-
Şimdi, x ve y'nin sınırları değişkenli olduğu zaman ne yapacağımızı görelim.
-
Diyelim ki, yine bir yüzeyimiz var. Şimdi bu yüzeyi, figürsel olarak çiziyorum
-
-
Aslında, sorumuz z ile ilgili, baştan beri yaptığımız sorularda olduğu gibi.
-
Burada integral almaktan ziyade, bu soruları nasıl görsellememiz ve yorumlamamız gerektiğini size göstermeye çalışıyorum.
-
-
Çift katlı integral sorularındaki en zor şey, sınırları bulmaktır.
-
Bunu bulduktan sonra, integrali almak gayet kolaydır.
-
Tek değişkenli integralden zor değildir.
Şimdi, yüzeyimizin denklemi, z eşittir x y kare.
-
Eksenleri çizeyim.
Bu, x ekseni.
Bu, z ekseni.
Bu da, y ekseni.
-

Dutch: 
In alle dubbele integralen die we tot nu toe hebben gedaan
zijn de grenzen voor x en y vast geweest.
Nu zien we wat er gaat gebeuren als de grenzen van
x en y variabel zijn.
Laten we zeggen dat we hetzelfde vlak hebben, en ik ga hem niet
tekenen zoals hij er echt uitziet, maar ik teken hem meer figuurlijk.
Maar het probleem wat we echt gaan behandelen is z,
en dit is hetzelfde
probleem dat we de hele tijd al aan het doen zijn.
Het doel is hier niet om te laten zien hoe je moet integreren, het doel
is om te laten zien hoe je zo'n probleem kan visualiseren en erover kunt nadenken.
En in feite is bij een dubbele integraal het grootste probleem om de grenzen uit te zoeken.
Als je dat eenmaal hebt gedaan, is de integratie zelf vrij vanzelfsprekend.
Het is niet echt moeilijker dan integratie met een enkele variabelen.
Dus, laten we zeggen dat ons vlak wordt gegeven door: 
z = xy kwadraat.
Laat me deze assen nog een keer tekenen.
Dus dit is mijn x-as.
Dit is mijn z-as.
En dit is mijn y-as.

French: 
...
Parmi toutes les doubles intégrales que nous avons faites jusqu'à maintenant,
les bornes en x et en y étaient fixées.
Voyons ce qui se passe lorsque les bornes en
x et y sont variables.
Considérons que j'ai la même surface, et je ne vais pas
la dessiner précisément, je vous donne juste
une esquisse.
Mais le problème que nous allons en fait résoudre est z, et celui-ci est
exactement le même que celui sur lequel nous étions occupés à travailler.
Le but ici n'est pas de vous montrer comment réaliser une intégrale, mais plus
de vous aider à visualiser le problème et à le schématiser
mentalement.
Et honnêtement, dans les problèmes à double intégrales, la partie la plus compliquée est
de déterminer les bornes.
A partir du moment où celles-ci sont connues, l'intégration en elle-même
est asez facile et triviale.
Ce n'est pas beaucoup plus difficile que les intégrales à une variable.
Considérons une surface telle que z est égal
à xy².
Je vous redessine les axes.
Voilà mon axe X.
L'axe Z.
L'axe Y.
...

Thai: 
-
ในพวกอินทิกรัลสองชั้นทั้งหมดที่เราทำมา
ขอบของ x กับ y นั้นคงที่
ตอนนี้เราจะดูว่าเกิดอะไรขึ้นตอนขอบ
x กับ y แปรค่าได้
งั้นสมมุติว่าผมมีผิวเดิม, และผมจะไม่วาด
มันอย่างที่มันจะเป็น, ผมแค่วาดมัน
ประกอบเฉย ๆ
แต่ปัญหาที่เราจะทำคือ z, และนี่คือ
เหมือนกับที่เราทำมาเป๊ะ
ประเด็นตรงนี้ไม่ใช่แสดงวิธีการอินทิเกรตให้ดู, แต่
ประเด็นคือให้คุณมองภาพแล้วคิด
ถึงปัญหาพวกนี้
ที่จริงแล้ว ในปัญหาอินทิกรัลสองชั้น ส่วนที่ยากที่สุด
ก็คือการหาขอบเขต
เมื่อคุณหาขอบได้, การอินทิเกรตก็
ตรงไปตรงมาแล้ว
มันไม่ได้ยากกว่าการอินทิเกรตตัวแปรเดียว
งั้นสมมุติว่านั่นคือพื้นผิวของเรา: z เท่ากับ
xy กำลังสอง
ขอผมวาดแกนอีกที
นี่คือแกน x
นั่นคือแกน z
นั่นคือแกน y
-

Spanish: 
(Comienzo del clip)
En todas los integrales dobles que hemos calculado hasta ahora
los limites en "x" e "y" eran fijos.
Ahora veamos que ocurre cuando los límites
en "x" e "y" son variables.
Digamos que tengo la misma superficie, y no la voy a
dibujar exactamente como se ve. Sólo la dibujaré
en sentido figurado.
Pero el problema que vamos a hacer ahora es "z", y este es
exactamente el mismo que hemos estado realizando.
El punto de esto no es mostrarte cómo integrar, el punto
de esto es mostrarte cómo visualizar y pensar
acerca de estos problemas.
Y, francamente, en los problemas de integrales dobles la parte más difícil es
encontrar los límites.
Una vez que lo hayas hecho, la integración es bastante
directa.
Realmente no es dificil como como una variable de integracion
Entonces, digamos que esa es nuestra superficie:Z is igual
a xy al cuadrado.
Dejame dibujar los ejes de nuevo.
Entonces, este es mi eje de X.
Este es my eje de Z.
Ese es mi eje de Y.
(pausa)

Portuguese: 
Em todos os integrais
duplos que vimos até aqui
os limites de x e y
estavam fixos.
Agora veremos o que
acontece quando os limites
de x e y são variáveis.
Vamos dizer que eu tenho a mesma
superfície, e não vou desenhar
como ela se parece,
vou apenas desenhar
figurativamente.
Mas o problema que na verdade
iremos fazer é z, e este é
exatamente o que eu
estive fazendo até aqui.
O ponto aqui não é para mostrar
como integrar, o ponto
aqui é para mostrar como
visualizar e pensar
sobre estes problemas.
E, honestamente, nos problemas
de duplos integrais a parte mais
difícil é definir os limites.
Uma vez que você faça isso,
a integração
é bem fácil.
Não é mais difícil que uma
integração de variável única.
Vamos dizer que a nossa
superfície: z é igual
a xy ao quadrado.
Vamos desenhar os eixos.
Este é o meu eixo x.
Este é o eixo z.
Este é o eixo y.

English: 
In all of the double
integrals we've done so
far, the boundaries on
x and y were fixed.
Now we'll see what happens
when the boundaries on
x and y are variables.
So let's say I have the same
surface, and I'm not going to
draw it the way it looks, I'll
just kind of draw
it figuratively.
But the problem we're actually
going to do is z, and this is
the exact same one we've
been doing all along.
The point of here isn't to show
you how to integrate, the point
of here is to show you how
to visualize and think
about these problems.
And frankly, in double integral
problems the hardest part is
figuring out the boundaries.
Once you do that, the
integration is pretty
straightforward.
It's really not any harder then
single variable integration.
So let's say that's our
surface: z is equal
to xy squared.
Let me draw the axes again.
So that's my x-axis.
That's my z-axis.
That's my y-axis.

Urdu: 
ابھی تک ،
X اور Y کو حدود مقرر کیا گیا
ڈبل
integrals کی سب میں ہم نے ایسا اس لیے کیا ہے.
اب ہم دیکھ گے
جب پر حدود کیا ہوتا ہے
اور Y متغیر ہیں.
تو کہتے ہیں کہ میں وہی
سطح ہے، اور میں جا رہا کرنے کے لئے نہیں کر رہا ہوں
figuratively یہ
اس طرح ایسا لگتا ہے، میں
صرف ڈرا کی قسم متوجہ.
لیکن ہم اصل مسئلہ کیا کرنے جا
ہیں Z ہے، اور یہ
بالکل وہی ایک ہم
کیا گیا ہے ساتھ سب کر کے.
پوائنٹ یہاں سے
تم نے کس طرح ضم کرنے کے لئے دکھانے کے لئے نہیں ہے، نقطہ
یہاں کی آپ کو دکھانے کے لئے ہے اور میں سوچنے کے لئے مرئی
ان مسائل کے بارے میں.
اور صاف صاف، ڈبل لازمی
مسائل میں سب سے مشکل حصہ رہا ہے
باہر حدود figuring.
براہ راست
ایک بار جب آپ ایسا،
انضمام خوبصورت ہے.
یہ سچ نہیں ہے کسی بھی مشکل ہے تو
ایک متغیر انضمام.
تو کہتے ہیں کہ ہمارے
سطح ہے: Z برابر ہے
مربع XY.
مجھے کے محور دوبارہ متوجہ دو.
کہ میرا x محور ہے.
یہ میرے محور کی Z ہے
یہ میرے Y محور ہے

Spanish: 
X, Y y Z
Y tu viste como era esta grafica varios videos atras.
Yo saque todo el graficado y rotamos y cosas.
Voy a dibujar la grafica de la manera que luce; Yo solo
voy traer lo menos abstracticamente como solo una
superficie abstracta.
Por que el punto aca es realemente encontrar los
limites de integracion.
Antes de dibujar la superficie en si, yo voy
a dibujar el contorno.
La primera vez que hicimos este problema dijimos, bien, la x
va desde 0 a 2, la y va desde 0 a 1, y luego calculamos
el volumen sobre este dominio encerrado.
Ahora hagamos algo mas.
Digamos que x va desde 0 a 1
(pausa)
Digamos que el volumen que queremos resolver
bajo la superficie, no viene de una y fija
a una y a limite superior.

English: 
x, y, and z.
And you saw what this graph
looked like several videos ago.
I took out the whole grapher
and we rotated and things.
I'm not going to draw the graph
the way it looks; I'm just
going to brought fairly
abstractly as just an
abstract surface.
Because the point here it's
really to figure out the
boundaries of integration.
Before I actually even draw
the surface, I'm going
to draw the boundary.
The first time we did this
problem we said, OK, x goes
from 0 to 2, y goes from 0 to
1, and then we figured out the
volume above that
bounded domain.
Now let's do something else.
Let's say that x
goes from 0 to 1.
And let's say that the volume
that we want to figure out
under the surface, it's not
from a fixed y to
an upper-bound y.

French: 
X, Y et Z.
Nous avons déjà vu l'allure de ce graphique dans une vidéo précédente.
J'ai sorti le "grapheur" et nous avons ensuite effectué une rotation, et d'autres choses aussi.
Je ne vais pas dessiner le graphe exactement, je vais simplement
esquisser une surface assez abstraite.
esquisser une surface assez abstraite.
Parce que le but ici n'est pas vraiment de trouver les
bornes d'intégration.
Avant même de dessiner la surface, je vais
délimiter les bornes.
La première fois que nous avons résolu ce problème, nous avons considéré que x allait
de 0 à 2, y de 0 à 1, et nous avons ensuite trouvé
le volume délimité au dessus du domaine borné.
Cette fois-ci nous allons faire les choses différemment.
Soit x allant de 0 à 1.
Soit x allant de 0 à 1.
considérons aussi que le volume que nous recherchons
sous la surface ne vient pas d'un y fixé allant vers
une borne supérieure en y.

Turkish: 
x,y ve z.
Birkaç video önce, bu grafiğin neye benzediğini görmüştünüz.
Grafik programını çalıştırmıştım, grafiği döndürmüştük.
Şimdi bunu tamı tamına çizmiyorum; herhangi bir yüzeymiş gibi çiziyorum.
-
-
Çünkü, burada amacım, integral limitlerini belirlemek.
-
Yüzeyi çizmeden önce, sınırı çizeyim.
-
Bu soruyu ilk çözdüğümüzde, x 0'dan 2'ye, y 0'dan 1'e gider demiştik. Sonra da bu tanım kümesi üzerinden hacmi bulmuştuk.
-
-
Şimdi başka bir şey yapalım.
x, 0'dan 1'e gidiyor, diyelim.
-
Ve diyelim ki, yüzeyin altında bulacağımız hacim, sabit y değerleri yerine, değişkenli y sınırları arasında.
-
-

Dutch: 
x, y en z.
En je hebt een aantal video's terug kunnen zien hoe de grafiek eruit ziet.
Ik heb de 'grapher' erbij gepakt, en we hebben hem gedraaid en dat soort dingen.
Ik ga de grafiek niet helemaal tekenen zoals hij eruit ziet, ik ga hem gewoon
vrij abstract tekenen, als een abstract vlak.
Want het doel hier is om de integratiegrenzen uit te zoeken.
Voordat ik überhaupt het gebied ga tekenen, ga ik eerst
de grenzen tekenen.
De eerste keer dat we dit probleem deden zeiden we, OK, x gaat
van 0 naar 2, y gaat van 0 naar 1, en toen hebben we het
volume in dat gebied onderzocht.
Laten we nu iets anders doen.
Laten we zeggen dat x van 0 naar 1 gaat.
Dus x gaat van 0 naar 1.
En laten we zeggen dat het volume wat we willen bepalen
onder het gebied, niet van een vaste y naar een
naar boven begrensde y is.

Estonian: 
x,y ja z.
Ja te nägite, milline see graafik välja nägi mitu videot tagasi.
ma võtsin terve grafeerija, ning me keerutasime jne.
Ma ei joonista graafikut, nagu ta välja näeb; ma vaid
teen seda üsna abstraktselt, kui vaid
abstraktset pinda.
Kuna asja mõte siin, on tegelt välja mõelda
integratsiooni piire.
Enne, kui ma üldse alustan pinna joonistamist, ma
joonistan piiri.
Esimest korda, me tegime seda ülesannet, ütlesime, OK, x läheb
nullist kaheni, y läheb nullist üheni, ning arvutasime
ruumala selle piiritletud piirkonna kohal.
Nüüd teeme midagi muud.
Ütleme, et x läheb nullist üheni.
Ja ütleme, et see ruumala, mida tahame arvutada
selle pinna all, pole fikseeritud y kuni
ülemise piiri y.

Portuguese: 
x, y, e z.
E se você viu que esse gráfico parecia com vários vídeos anteriores.
Eu peguei todo o gráfico e rotacionamos.
Eu não vou desenhar o gráfico da forma que parece; Eu apenas
trouxe bastante abstratamente como apenas uma
superfície abstrata.
Pois o ponto aqui é realmente para descobrir
os limites de integração.
Antes que eu realmente desenha a superfície, eu vou
desenhar o limite.
A primeira vez que fizemos esse problema, nós falamos: Ok, x vai
do 0 até o 2, y vai de 0 até 1, e então nós descobrimos o
volume acima desse domínio limitado.
Agora vamos fazer algo diferente.
Vamos dizer que x varia do 0 ao 1.
E vamos dizer que o volume que queremos descobrir
abaixo da superfície, não é de um y fixado até
um limite superior y.

Urdu: 
ایکس، وائی، اور Z. اور تم نے دیکھا جو اس گراف
کئی ویڈیوز پہلے کی طرح دیکھا ہے
.
میں باہر نے پوری grapher
لیا اور ہم گھمایا اور چیزیں.
میں گراف کی
جس طرح ایسا لگتا ہے اپنی طرف متوجہ کرنا نہیں جا رہا ہوں، میں صرف ہوں
تجریدی سطح
منصفانہ
کرنے کے لئے صرف ایک کے طور پر لایا abstractly جا.
کیونکہ یہاں نقطہ یہ واقعی
باہر سمجھ ہے
انضمام کی حدود.
اس سے پہلے کہ دراصل میں بھی
سطح متوجہ ہے، میں جا رہی ہوں
حد متوجہ کرنے کے لئے.
پہلی بار ہم نے اس
مسئلہ کیا ہے ہم نے کہا، ٹھیک ہے، ایکس جاتا ہے
0 2 سے، Y 0 سے 1
جاتا ہے، اور پھر ہم باہر سوچا
کہ
جکڑے ڈومین اوپر حجم.
چلو کچھ اور کرتے ہیں.
چلو کا کہنا ہے کہ ایکس
0 سے 1 تک جاتا ہے.
دو اور کہنا کہ حجم
کہ ہم معلوم کرنا چاہتے ہیں
ایک اوپری جانے والی Y
سطح کے نیچے، یہ
ایک مقررہ Y سے نہیں ہے.

Polish: 
x, y i z.
Widzieliście, jak wygląda ten wykres kilka filmów wcześniej.
Obracaliśmy narysowany wykres.
Nie zamierzam rysować tego wykresu tak jak wygląda,
zamierzam go tylko naszkicować
jako abstrakcyjną powierzchnię.
Ponieważ chodzi o to, żeby wyliczyć
granice całkowania.
Zanim narysuję powierzchnię, zamierzam
narysować granice całkowania.
Za pierwszym razem, kiedy rozwiązywaliśmy to zadanie, powiedzieliśmy, że
x zmienia się od 0 do 2, y od 0 do 1 i obliczyliśmy
objętość ponad ograniczoną dziedziną.
Teraz zróbmy coś innego.
Niech x zmienia się od 0 do 1.
-
Objętość którą chcemy obliczyć,
nie jest od ustalonego y
do górnej granicy y.

Portuguese: 
x, y e z.
E este gráfico parece com
os vídeos anteriores.

Thai: 
x,y และ z
คุณจะเห็นว่ากราฟนี้ดูเหมือนในวิดีโอก่อน ๆ
ผมเอาตัววาดกราฟมาแล้วหมุนอะไรพวกนั้น
ผมจะไม่วาดกราฟอย่างที่มันเป็น, ผม
แค่วาดมันไปเหมือนกับผิว
ตามใจสักผิวนึง
เพราะประเด็นตรงนี้ คือการหา
ขอบเขตการอินทิเกรต
ก่อนที่ผมจะวาดรูปพื้นผิว, ผมจะต้อง
วาดขอบ
อย่างแรกที่เราต้องทำคือ เราบอกว่า โอเค x ไป
จาก 0 ถึง 2, y ไปจาก 0 ถึง 1, และเราก็หา
ปริมาตรเหนือโดเมนมีขอบอันนั้น
ทีนี้ลองทำอีกอย่างนึง
สมมุติว่า x ไปจาก 0 ถึง 1
-
และสมมุติว่าปริมาตรที่เราอยากหาใต้พื้นผิว
มันไม่ใช่จาก y คงที่ค่านึงไปยัง
ค่า y ขอบบนอีกอัน

Estonian: 
Ma näitan teile: See on tegelikult kõver.
Nii, see on kõik xy tasandil, kõik, mida joonistan siia.
Ja see kõver, me võiksime vaadata teda kahel viisil, me võiksime öelda, et y on
funktsioon x'st, y on võrdne x ruuduga.
Või me saaksime kirjutada on võrdne ruutjuurega y'st.
Me ei pea kirjutama pluss või miinus, või midagi sellist.
kuna me oleme esimeses veerandis.
Nii, see ala üleval, mida me tahame
arvutada ruumala.
Las ma, jah, Ei tee haiget selle ära värvimine, et me
mõistaksime mis meid huvitab
Nii, see on ala üleval, millest tahame ruumala
välja nuputada.
Võiksite öelda, see on meie piiritletud piirkond.
Ja nii, x läheb nullist üheni, ning siis see punkt
tuleb 0 või mis?
See punkt tuleb 1 koma 1, eks?
1 on võrdne 1 ruudus, 1 on võrdne ruutjuurega ühest.
Nii, et see punkt on y võrdub ühega.
Ja siis ma ei joonista seda pinda täpselt.

Spanish: 
Te lo muestro: es realmente una curva.
Por lo que esto es todo en el plano xy, todo lo que estoy dibujando.
Y esta curva, la podemos ver de dos maneras: podríamos decir que y es
una función de x, y es igual a x al cuadrado.
O podríamos escribir que es igual a la raíz cuadrada de y.
No tenemos que escribir más o menos, ni nada parecido
porque estamos en el primer cuadrante.
Por lo que esta es el área de la cuál queremos
resolver el volumen.
(pausa)
Déjame, si, no duele colorearla solo para que
podamos realmente afinar lo que nos interesa.
Por lo que esa es el área superior de la cuál queremos
resolver es el volumen.
Podríamos decir, que es nuestro limite del dominio.
Y asi x va de 0 a 1, pero entonces este punto
qué va a ser?
Este punto será 1 coma 1, ¿verdad?
1 es igual a 1 al cuadrado, 1 es igual a la raíz cuadrada de 1.
Por lo que este punto es y es igual a 1.
(escribe)
Y entonces no dibujaré esta superficie de manera exacta.

Turkish: 
-
Burada çizdiğim her şey, x y düzlemi üzerinde.
Ve, bu eğriyi iki şekilde değerlendirebiliriz: y'nin x cinsinden bir fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz, y eşittir x kare.
-
Veya, x eşittir karekök y, diyebiliriz.
Birinci çeyrek düzlemde olduğumuz için, artı eksi yazmamıza gerek yok.
-
Şimdi bu alan üzerinden hacmi bulacağız.
-
-
Burayı tarayalım ki, tam olarak neyi bulacağımızı saptayalım.
-
Bu alanın üzerinde hacmi hesaplıyoruz.
-
Yani, bu, sınırlandırılmış tanım kümemiz.
Eğer x, 0'dan 1'e giderse, bu noktanın koordinatları nedir?
-
1, 1, öyle değil mi?
1 eşittir 1 kare; 1 eşittir, karekök 1.
Yani, bu noktada y, 1'e eşit.
-
Şimdi, bu yüzeyle ilgili hacmi size anlatmak için, temsili bir grafik çiziyorum.

Thai: 
ผมจะแสดงให้ดู: มันเป็นเส้นโค้ง
นี่คือระนาบ xy ทั้งหมด, ทุกอย่างที่ผมจะวาดตรงนี้
และเส้นโค้งนี้, เราอาจมองมันเป็นสองแบบ: เราอาจบอกว่า y
เป็นฟังก์ชันของ x, y เท่ากับ x กำลังสอง
หรือเราอาจเขียนว่า x เท่ากับสแควร์รูทของ y
เราไม่ต้องใส่บวกหรือลบ หรืออะไรแบบนั้น
เพราะเราอยู่ใต้จตุภาคแรก
ดังนั้นนี่คือพื้นที่ที่เราอยากหา
ปริมาตร
-
ขอผม, ใช่, มันไม่ผิดที่จะใส่สีให้เรา
เข้าใจจริง ๆ ว่าเราสนใจอะไรอยู่
นั่นก็คือพื้นที่ที่เราอยาก
หาปริมาตร
คุณอาจบอกว่า, นั่นคือโดเมนขอบเขตของเรา
ดังนั้น x ไปจาก 0 ถึง 1, แล้วจุดนี้
จะเป็นอะไร?
จุดนั่นจะเป็น 1 ลูกน้ำ 1, จริงไหม?
1 เท่ากับ 1 กำลังสอง, 1 เท่ากับสแควร์รูทของ 1
ดังนั้นจุดนี้คือ y เท่ากับ 1
-
แล้วผมจะไม่วาดพื้นผิวนี้จริง ๆ

French: 
Je vais vous le montrer : c'est une courbe.
Tout ce que je dessine ici se trouve dans le plan xy.
et cette courbe peut être considérée de deux manières: Nous pourrions dire que y est
une fonction de x,(y=x²).
ou nous pourrions la considérer comme la racine carrée de y.
Nous n'avons pas besoin d'ajouter de signes positif ou négatif
parce que nous nous trouvons dans le premier quadrant.
Ceci est l'aire au dessus de laquelle nous voulons
calculer le volume.
calculer le volume.
laissez moi -- oui, ça ne fait pas de mal de colorer un peu
afin de bien voir ce qui nous intéresse --
Donc voici l'aire au dessus de laquelle nous souhaitons
déterminer le volume.
Vous pourriez l'appeler notre domaine borné.
Et donc, x va de 0 à 1, mais alors,
quel est ce point ?
Ce point sera donc (1,1)
1=1², 1=sqrt(1)
Donc ce point est : y=1.
Donc ce point est : y=1.
Bon, je n'essaye pas de dessiner exactement la surface,

Portuguese: 
Eu vou mostrar para você: isso realmente é uma curva.
Então tudo isso é no plano xy, tudo que estou desenhando aqui.
E essa curva, nós poderiamos ver de duas maneiras: nós podemos falar que y é
uma função de x, y é igual a x².
Ou podemos escrever que é igual a raiz quadrada de y.
Nós não queremos escrever mais ou menos ou qualquer coisa como isso
porque estamos no primeiro quadrante.
Então essa é a area acima que nós queremos
descobrir o volume.

Polish: 
Pokażę Wam: to krzywa.
Więc to wszystko jest na płaszczyźnie XY, to wszystko co tu narysowałem.
Tą krzywą możemy opisać na dwa sposoby:
możemy powiedzieć, że y jest funkcją od x, y równe x kwadrat.
Możemy też napisać, że jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z y.
Nie musimy pisać plus lub minus,
bo jesteśmy w pierwszej ćwiartce.
Więc to jest obszar, nad którym chcemy
obliczyć objętość.
-
Pokoloruję go,
tak że możemy wyróżnić to, co nas teraz interesuje.
Więc to jest ten obszar, nad którym chcemy
obliczyć objętość.
Można powiedzieć, że to jest nasza ograniczona dziedzina.
x zmienia się od 0 do 1,
wtedy ten punkt będzie
wynosił (1,1), tak?
1 jest równe 1 kwadrat, 1 jest pierwiastkiem kwadratowym z 1.
Więc w tym punkcie y jest równe 1.
-
Nie zamierzam narysować tej powierzchni dokładnie.

English: 
I'll show you: it's
actually a curve.
So this is all on the xy plane,
everything I'm drawing here.
And this curve, we could view
it two ways: we could say y is
a function of x, y is
equal to x squared.
Or we could write is equal
to square root of y.
We don't have to write plus or
minus or anything like that
because we're in the
first quadrant.
So this is the area
above which we want to
figure out the volume.
Let me, yeah, it doesn't hurt
to color it in just so we
can really hone in on
what we care about.
So that's the area
above which we want to
figure out the volume.
You could kind of say,
that's our bounded domain.
And so x goes from 0 to
1, and then this point
is going to be what?
That point's going to
be 1 comma 1, right?
1 is equal to 1 squared, 1 is
equal to the square root of 1.
So this point is
y is equal to 1.
And then I'm not going to
draw this surface exactly.

Dutch: 
Ik laat het wel zien: Het is eigenlijk een kromme.
Dit is allemaal in het xy vlak, alles wat ik hier teken.
En deze krommen zouden we op twee manieren kunnen zien: we zouden kunnen zeggen dat y een
functie van x is, namelijk y is x kwadraat.
We zouden echter ook kunnen zeggen x is de wortel van y.
We hoeven geen plussen of minnen ofzo te schrijven
aangezien we in het eerste kwadrant zitten.
Dus, dit is het gebied waarboven we het
volume willen bepalen.
Laat me even, ja, het doet geen kwaad om dit even in te kleuren zodat we
ons echt kunnen richten op waar het om gaat.
Dus, dit is het gebied waarboven we het
volume willen vinden.
We zouden kunnen zeggen, dat dit ons begrensde gebied is.
En dus gaat x van 0 naar 1, en dan dit punt
wordt wat?
Dit punt wordt dan (1,1), toch?
1 is gelijk aan 1 kwadraat, en 1 is gelijk aan de wortel van 1.
Dus dit punt is y is gelijk aan 1.
En nu ga ik dit vlak niet precies tekenen.

Urdu: 
میں آپ کو دکھایا جائے گا: یہ اصل میں
ایک موڑ ہے.
اس تمام XY ہوائی جہاز، میں یہاں ڈرائنگ رہا ہوں
ہر چیز پر ہے.
اور اس وکر، ہم
یہ دو طریقے کو ملاحظہ کر سکتے ہیں: ہم کہتے ہیں Y ہے
Y ایکس کے ایک تقریب، مربع ایکس کے برابر
ہے.
یا ہم لکھ سکتے وائی کے مربع کی جڑ کے لئے برابر
ہے.
ہم اس طرح پلس یا
مائنس یا کچھ لکھنے کی ضرورت نہیں ہے
کیونکہ ہم،
پہلی quadrant میں ہیں.
اس علاقے
ہے جس کے اوپر ہم چاہتے ہے
حجم باہر کے اعداد و شمار .
مجھے، جی ہاں، یہ
چوٹ نہیں کرتا ہے اس میں رنگ ابھی تو ہم
ہے ہم کس کی فکر ہے پر میں واقعی hone کر سکتے ہیں. حجم باہر
اعداد و شمار تو اس علاقے
ہے جس کے اوپر ہم چاہتے ہیں
.
قسم کی کہو،
کہ ہماری جکڑے ڈومین کا ہو سکتا ہے.
اور اس طرح ایکس 0 سے 1
جاتا ہے، اور پھر اس نقطہ
کیا ہونے جا رہا ہے؟
وہ نقطہ
جا رہا ہے 1 1 کوما، ٹھیک ہو؟
1 1 مربع 1 کے برابر ہے 1 کے مربع کی جڑ کے برابر
ہے.
اس نقطہ یہ ہے
Y 1 سے برابر ہے.
اور پھر میں جا رہا ہوں
اس سطح پر بالکل متوجہ نہیں کر رہا ہوں.

Estonian: 
Ma vaid üritan anda aimu sellest, milline on ruumala
kujundist, mida arvutame.
Kui see on mingi mistahes pind-- las ma teen seda
teises värvis-- nii, see on ülemine osa.
See joon läheb vertikaalselt z-suunas.
Tegelikult, võiksin joonistada ta niimoodi, nagu see on kõver.
Ja siis see kõver siin taga on nagu sein.
Ja võib-olla ma värvin selle seina külje et te näeksite
milline ta välja näeb.
Teen oma parima.
Arvan, saate sellest aru.
Las teen selle natuke tumedama; see on tegelikult rohkem
nagu kunsti ülesanne, kui matemaatika, mitmel moel.
Saate aru küll.
Ja piiritlus siin on selline.
Ja ülemine osa ei ole lame, teate, see võiks

Turkish: 
-
-
Eğer bu herhangi bir yüzey ise, burası üstü.
-
Bu doğru, z yönünde düşey bir doğru.
-
Aslında, bunu bir eğri olarak da çizebilirdim.
O zaman, şu arkadaki eğriyi, bir duvar gibi düşünebilirim.
-
Duvarın şu yanını boyayayım da, neye benzediğini daha iyi görün.
-
-
Sanıyorum, anladınız.
Şunu biraz koyultayım; bu iş, birçok açıdan matematikten çok bir sanat çalışmasına benziyor.
-
-
Sınır, şu şekilde.
Üst kısım düz değil, bir eğri yüzey de olabilir.

Dutch: 
Ik probeer je gewoon een indruk te geven van wat het volume van
het figuur wat we proberen te berekenen is.
Als dit gewoon een arbitrair gebied- laat ik dit in een andere
kleur doen --dus dit is de bovenkant.
Deze lijn gaat verticaal in de z-richting.
In feite, ik zou het zo kunnen kijken, alsof het een kromme is.
En dan wordt deze kromme hier in feite een soort muur.
En misschien verf ik dan deze kant van de muur even zodat je kunt zien
hoe het er soort van uit ziet.
Ik doe mijn best.
Ik hoop dat een idee hebt.
Ik maak het iets donkerder; eigenlijk is dit meer een soort
oefening in kunst dan in wiskunde.
Je ziet wel wat ik aan het doen bent.
En dan de grens hier op deze manier.
En deze bovenkant is niet noodzakelijk vlak, hij zou

Urdu: 
اعداد و شمار ہم
کا تخمینہ کی کوشش ہے
میں صرف آپ کا حجم ایک
احساس دینے کی کوشش کر رہا ہوں.
یہ صرف کچھ صوابدیدی
سطح ہے - بتائیں کیا یہ مجھے میں کیا کریں
مختلف رنگ ہیں - تو
یہ سب سے اوپر ہے.
یہ لائن عمودی
Z سمت میں جا رہی ہے.
اصل ، میں
اس طرح متوجہ ہو، جیسا کہ یہ ایک موڑ ہے کر سکتے ہیں.
اور تو اس وکر یہاں واپس
ایک دیوار کی طرح ہو جا رہی ہے.
اور شاید میں نے دیوار کے اس طرف
تو صرف رنگ آپ دیکھ سکتے ہیں
کیا اس کی طرح لگتا ہے.
میری بہترین کوشش کر رہے ہو.
لگتا ہے کہ آپ کو ایک ترکیب.
مجھے یہ ایک چھوٹا سا سیاہ بنا،
یہ اصل میں ایک سے زیادہ ہے
ریاضی میں آرٹ میں سے کئی طرح سے ورزش،.
آپ کو اندازہ ہو جائے.
اور پھر اس طرح کی حد یہاں
ہے. اور اس سب سے اوپر کے فلیٹ میں نہیں ہے،
آپ جانتے ہیں، یہ کر سکتا ہے

Polish: 
Zamierzam pokazać Wam intuicyjnie,
czym jest objętość, którą chcemy obliczyć.
Jeśli to jest dowolna powierzchnia -- narysuję to w innym kolorze --
to to jest góra.
Ta linia jest pionowa w kierunku osi z.
-
Właściwie, mógłbym narysować ją tak, jak krzywą.
Teraz ta krzywa tutaj to będzie ściana.
-
Może pokoloruję tę stronę ściany, żebyście mogli zobaczyć,
jak to wygląda.
Próbuję jak najlepiej.
Myślę, że już wiecie, o co chodzi.
Pozwólcie, że to przyciemnię, to właściwie bardziej
ćwiczenie plastyczne, niż matematyczne.
Macie wyobrażenie, o co chodzi.
Wtedy granica całkowania tu jest taka.
I ta góra tu nie jest płaska,

Spanish: 
Simplemente te daré una idea de lo que es el volumen
de la figura que estamos tratando de calcular.
Si esto es solo una superficie arbitraria - déjame hacerlo
en un color diferente - esto es la parte superior.
Esta línea será vertical en dirección de z.
(pausa)
Realmente, podría dibujarla como esto, como si fuera una curva.
Y entonces, esta curva de aquí atrás será como una pared.
(pausa)
Y quizá pintare este lado de la pared para que puedas ver
mas o menos como se ve.
Estoy haciéndolo lo mejor posible.
Creo que te puedes hacer una idea.
Déjame hacerlo un poco más oscuro; esto es más bien
un ejercicio de arte que de matemáticas, en muchos sentidos.
Te puedes hacer una idea.
Y entonces el límite aquí es como esto.
Y esta parte superior no es plana, ya sabes, podría

French: 
j'essaye juste de vous donner une notion du volume
que nous essayons de calculer.
Si ceci est juste une surface quelconque,
(... changement de couleur ...) dont voici le sommet.
cette ligne est verticale dans la direction de l'axe z.
cette ligne est verticale dans la direction de l'axe z.
En fait, je pourrais la dessiner comme ceci , comme si elle était courbe.
Et comme si cette courbe ici, était comme un mur.
Et comme si cette courbe ici, était comme un mur.
Je vais colorer ce côté "du mur" pour vous montrer
ce à quoi il pourrait ressembler.
... Je fais de mon mieux...
Je pense que cela vous donne une idée.
Laissez moi l'assombrir un peu,
en fait c'est plus un exercice artistique que des maths.
Ca vous donne une idée...
Et donc ici, la frontière est ainsi.
et ce "toit" n'est pas plat,

English: 
I'm just trying to give you a
sense of what the volume of
the figure we're trying
to calculate is.
If this is just some arbitrary
surface-- let me do it in a
different color --so
this is the top.
This line is going vertical
in the z-direction.
Actually, I could draw it like
this, like it's a curve.
And then this curve back here
is going to be like a wall.
And maybe I'll paint this side
of the wall just so you can see
what it kind of looks like.
Trying my best.
Think you get an idea.
Let me make it a little darker;
this is actually more of an
exercise in art than in
math, in many ways.
You get the idea.
And then the boundary
here is like this.
And this top isn't flat,
you know, it could

Thai: 
ผมแค่พยายามให้คุณเข้าใจว่าปริมาตรของรูป
ที่เราพยายามคำนวณเป็นยังไง
หากนี่คือผิวอะไรสักอย่าง -- ขอผมวาดด้วยอีกสี
นึงนะ -- งั้นนี่คือด้านบน
เส้นนี้จะตั้งในทิศ z
-
ที่จริง, ผมวาดมันแบบนี้ได้, เหมือนกับเส้นโค้ง
แล้วเส้นโค้งด้านหลังตรงนี้จะเป็นกำแพง
-
และบางทีผมอาจระบายสีกำแพงข้างนี้ให้คุณเห็น
ว่ามันเป็นยังไง
ผมจะพยายามนะ
ผมว่าคุณคงเข้าใจ
ขอผมทำให้มันเข้มหน่อย, นี่เป็นแบบฝึกหัดศิลปะ
มากกว่าเลขนะ, จริง ๆ
คุณคงเข้าใจ
แล้วขอบเขตตรงนี้จะเป็นแบบนี้
และด้านบนนี่ไม่ได้ราบ, คุณก็รู้, มันอาจเป็น

French: 
il pourrait être courbe.
Je le fais comme ceci, mais c'est une surface courbe.
Et nous savons que dans l'exemple que nous traitons,
la surface juste ici est : z=x²
et nous cherchons à calculer le volume en dessous.
Comment, procéder ,
Réfléchissons un peu...
Nous pourrions utiliser l'intuition que je viens de vous donner.
Nous allons considérer un da, qui correspond à
un petit carré la en bas, et cette petite aire (surface) est
l'équivalent d'un dx multiplié par un dy.
Nous avons simplement à la multiplier par f(x,y)
qui correspond à ceci pour toutes les aires (da) et
en faire la somme.
Nous pourrions faire cette somme dans la direction des x en premier
ou dans la direction des y.
Maintenant, avant de le faire, juste pour s'assurer que vous avez
l'intuition parce que les frontières sont la partie difficile,
permettez-moi de dessiner notre plan xy.

Turkish: 
-
Eğri bir yüzey olduğunu düşünelim.
Örneğimizdeki yüzeyin, z eşittir x y kare olduğunu biliyoruz
-
Şimdi, bunun altındaki hacmi bulmaya çalışıyoruz.
Nasıl bulacağız?
Şimdi düşünelim.
Size biraz önce verdiğim fikri kullanabiliriz.
Bir d a alırız, şu küçük kareyi, bu küçük alan eşittir d x çarpı d y.
-
-
Ondan sonra, bu alanları her seferinde f fonksiyonu ile çarpmam lazım. En son olarak da bu çarpımları toplayacağım.
-
-
Şimdi, ilk toplamı x veya y yönünde alabiliriz.
-
Toplamı almadan önce, sınırları anladığınızdan emin olun, çünkü işin zor kısmı bu.
-
x y düzlemimi çizeyim.

English: 
be curved surface.
I do a little like that,
but it's a curved surface.
And we know in the example
we're about to do that the
surface right here is z
is equal to x squared.
So we want to figure out
the volume under this.
So how do we do it?
Well, let's think about it.
We could actually use the
intuition that I just gave you.
We're essentially just going to
take a da, which is a little
small square down here, and
that little area, that's the
same thing as the dx-- let me
use a darker color --as a dx
times a dy, and then we just
have to multiply it times f of
xy, which is this, for
each area, and then
some them all up.
And then we could take a sum
in the x-direction first
or the y-direction first.
Now before doing that, just
to make sure that you have
the intuition because the
boundaries are the hard part,
let me just draw our xy plane.

Spanish: 
ser una superficie curva.
Lo estoy haciendo y poco así, pero es una superficie curva.
Y ahora sabemos en el ejemplo que estamos apunto de hacer que la
superficie aquí es z igual a x al cuadrado.
Por lo que queremos resolver el volumen bajo esto.
Y, ¿cómo lo hacemos?
Bien, pensemos.
Podríamos utilizar la intuición con lo que ya te he dicho.
Vamos a esencialmente tomar una "da", que es un pequeño
cuadrado de aquí, y esa pequeña área, es la
misma que la de "dx" -- déjame utilizar un color más oscuro -- como la "dx"
veces una "dy", y entonces la multiplicaremos por f de
xy, lo que será, por cada área, y entonces
sumarlos todos.
Y luego podemos tomar la suma en la direccion-x primero
o la direccion-y primero.
Ahora antes de hacer eso, solo vamos a asegurarnos de que tengas
la intuicion porque los limites son la parte dificil,
dejame solo dibujar nuestro plano xy.

Urdu: 
مڑے ہوئے سطح کا ہو.
میں اس طرح ایک چھوٹا سا ایسا کرتے ہیں،
لیکن یہ ایک مڑے ہوئے سطح ہے. اور ہم نے مثال کے طور پر
میں معلوم ہے کہ ہم کس کے بارے میں ہوتے ہیں کرنے کے لیے اس
یہیں سطح Z
ہے مربع ایکس کے برابر ہے.
ہم باہر اس کے تحت حجم
کرنا چاہتے ہیں.
ہم اسے کس طرح کروں؟
اچھا، چلو، اس کے بارے میں سوچنا.
ہم
انترجشتھان کہ میں نے تمہیں دیا تھا اصل میں استعمال کر سکتے ہیں. ایک
مجھے استعمال - dx کے طور پر میں ایک ہی بات
چھوٹے یہاں نیچے مربع، اور
تھوڑا علاقے میں، کہ ہے کہ
ہم بنیادی طور پر صرف
ایک ڈا لے، جو ایک چھوٹی سی ہے جا رہے ہیں سیاہ رنگ - ایک dx
اوقات ایک وی، اور پھر ہم صرف
اس کی اوقات چ ضرب ہے
ہر علاقے کے لئے
XY، جو یہ ہے، اور پھر
کچھ ان سب کو.
یا پہلے Y سمت
اور پھر ہم ایکس سمت کے پہلے میں ایک رقم
لگ سکتا ہے.
کہ کر سے پہلے صرف اس بات کا یقین کریں کہ آپ کے پاس بنانے کے لئے
کا انترجشتھان کیونکہ
حدود مشکل حصہ ہیں،
مجھے صرف ہمارے XY جہاز متوجہ.

Polish: 
to jest wykrzywiona powierzchnia.
Zrobię trochę tak, ale to jest wykrzywiona powierzchnia.
Wiemy, że w tym przykładzie, który rozwiązujemy,
powierzchnia to z równe x y kwadrat.
Więc chcemy obliczyć objętość pod tym.
Jak to robimy?
Pomyślmy.
Możemy użyć intuicji, którą Wam właśnie przedstawiłem.
W zasadzie chcemy wziąć da,
czyli mały kwadrat tu na dole,
to jest to samo co dx -- użyję ciemniejszego koloru -- co dx razy dy,
teraz musimy tylko pomnożyć to przez f od x, y,
czyli tyle, dla każdego obszaru
oraz je zsumować.
Wtedy możemy wziąć sumę najpierw w kierunku x,
albo w kierunku y.
Zanim to zrobimy, by upewnić się, że
macie intuicję, bo granice całkowania to trudna sprawa,
narysuję naszą płaszczyznę XY.

Estonian: 
olla kõver pind.
Ma teen natuke nii, kuid see on kõver pind.
Ja me teame näites, me teeme et
pind siin on z on võrdne x ruuduga.
Nii, tahame arvutada ruumala selle all.
Kuidas seda teeme?
Mõtleme sellest.
Võiksime tegelikult kasutada aimu, mida just andsin.
Me põhimõtteliselt ligtsalt võtame da, mis on
väike ruut, siin all, ja see väike piirkond, see on
sama asi, mis dx-- las kasutan rumedamat värvi-- kui dx
korda dt, ja siis peame korrutame seda korda f
xy'st, mis on see, iga ala kohta, ja siis
nad kõik kokku summeerima.
Ja siis me saaksime võtta summa x-suunas esmalt
või y-suunas esmalt.
Nüüd, enne selle tegemist, lihtsalt, et veenduda et teil on
aimu, kuna piirid on raske osa.
las ma joonistan meie xy tasandi.

Thai: 
ผิวโค้งก็ได้
ผมทำมันโค้งหน่อยอย่างนั้น, แต่มันเป็นผิวโค้ง
และเรารู้ในตัวอย่างที่เราจะทำว่า
ผิวตรงนี้คือ z เท่ากับ x กำลังสอง
เราอยากหาปริมาตรใต้ผิวนี้
แล้วเราจะทำยังไง?
ทีนี้, ลองคิดดู
เราสามารถใช้สัญชาตญาณที่ผมให้คุณไป
ที่สุดแล้วเราจะหา da, ซึ่งก็คือ
สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ตรงนี้, และพื้นที่เล็ก ๆ นั้น, นั่นก็
เหมือนกับ dx -- ขอผมใช้สีเข้มนะ -- คือ dx คูณ
dy, แล้วเราก็คูณมันกับ f ของ
x y, ซึ่งก็คือนี่. แต่ละพื้นที่, แล้ว
รวมมันเข้าด้วยกัน
แล้วเราก็หาผลรวมในทิศ x ก่อน
หรือไม่ก็ y ก่อน
ทีนี้ก่อนจะทำอย่างนี้, แค่ให้มั่นใจว่าคุณมีสัญชาตญาณ
จริง ๆ เพราะขอบเขตเป็นส่วนที่ยาก,
ขอผมวาดระนาบ xy สักหน่อย

Dutch: 
krom kunnen zijn.
Ik doe het een klein beetje zo, maar het is een krom gebied.
En we weten dat in het voorbeeld wat we zo gaan doen dat het
gebied hier gelijk is aan z = x kwadraat.
Dus we willen het volume hieronder berekenen.
Dus hoe doen we dan?
Nou, laten we er over nadenken.
We kunnen de intuïtie gebruiken die ik je net gegeven heb.
We nemen in feite een dA, wat een klein
vierkantje hier beneden is, en dat kleine gebied, dat is
hetzelfde als dx -- laat me even een donkerdere kleur gebruiken -- als een dx
keer een dy, en dan moeten we die gewoon vermenigvuldigen met f van
xy, dat is deze, voor ieder gebied, en dan
ze allemaal optellen.
En dan kunnen we eerst de som in de x-richting eerst nemen,
of eerst in de y-richting.
Juist, voordat we dat doen, gewoon om te kijken of je de intuïtie
goed hebt opgebouwd want de grenzen zijn het moeilijke gedeelte,
laat me het xy vlak even tekenen.

Polish: 
Pozwólcie, że to obrócę.
Zamierzam narysować naszą płaszczyznę XY.
Bo to jest ważne.
Bo najtrudniejszą częścią tu jest obliczenie
granic całkowania.
-
Więc ta krzywa to y równy x kwadrat,
wygląda jakoś tak.
To jest punkt y równy 1.
To oś y, to oś x,
to punkt x równy 1.
-
To nie x, to 1.
To oś x.
Chcemy obliczyć, jak zsumować dx razy dy,
albo da, wzdłuż tej dziedziny.
Narysujmy.
Narysujmy to, dobrze jest to zrobić,
kiedy macie takie zadanie do zrobienia,
ponieważ to jest tak naprawdę ta trudna część.
Wielu nauczycieli rachunku różniczkowego i całkowego zatrzyma się na wyznaczeniu całki
i powie: OK, reszta jest łatwa.
Albo reszta to Analiza I.

Urdu: 
تو مجھے اس طرح
اپ کو باری باری.
میں صرف
ہمارے مسطح XY مبذول کرنے جا رہا ہوں.
کیونکہ یہ ہے کہ کیا فرق پڑتا ہے.
کیونکہ مشکل حصہ
یہاں صرف ہماری رہا ہے figuring
انضمام کی حد ہے.
لہذا وکر ہے صرف اس طرح کچھ
Y مربع ایکس کے برابر
ہے، دیکھو.
یہ ہے نقطہ
Y 1 سے برابر ہے
نقطہ X 1 سے برابر ہے
Y محور ہے،
x محور ہے، ہے.
یہ ایک ایکس ہے نہیں، کہ 1 ایک ہے.
یہ ایکس ہے
اوقات وی، یا اس دا، اس ڈومین کے ساتھ ساتھ
ویسے بھی ، تو ہم
باہر کرنا چاہتے ہیں، ہم نے کس طرح اس dx کرتے خلاصہ؟
تو ہم اسے اپنی طرف متوجہ.
لشکر طیبہ کے ضعف اسے اپنی طرف متوجہ اور اس
چوٹ پہنچائی ہے ایسا کرنے کا نہیں ہے جب
آپ کو واقعی
مسئلہ کرنا ہے کیونکہ اس
صاف صاف مشکل حصہ ہے.
کیلکلس اساتذہ کی ایک بہت
ہے تم قائم
اور پھر اٹوٹ کا کہنا ہے کہ، ٹھیک ہے، اچھی طرح
باقی آسان ہے. یا باقی حساب 1 ہے
.

Turkish: 
Şöyle çevireyim.
Yalnızca x y düzlemini çiziyorum.
Çünkü, burada esas olan, integral limitlerini bulmak.
-
-
-
y eşittir x kare eğrisi, şöyle bir şeye benziyor.
-
Bu noktada, y 1'e eşit.
Bu y ekseni, bu x ekseni, bu noktada x 1'e eşit.
-
-
Bu x değil, bu 1.
x burada.
Neyse, bu dx çarpı dy'yi, yani bu d a 'yı, tanım kümesi üzerinde nasıl toplayacağımızı bulmaya çalışıyoruz.
-
Hadi çizelim.
Şimdi görsel olarak temsil etmeye çalışalım, çünkü sorunun zor kısmı bu.
-
-
Analiz öğretmenlerinin çoğu, integrali kurmanızı ister ve sorunun geri kalanının kolay olduğunu söyler.
-
Sorunun geri kalanı, Analiz'in 1. düzeyidir.

Dutch: 
En dan draai ik hem zo.
En nu teken ik gewoon ons xy vlak
Want dat is wat uitmaakt
Want het moeilijke is om de
integratiegrenzen te bepalen.
Dus de kromme is gewoon y = x kwadraat, kijk
zoiets.
Dus dit punt in y is gelijk aan 1
Dit is de y-as, dit is de x-as, dit is het punt
x is gelijk aan 1.
Dat is geen x, dat is een 1.
Dit is de x.
In ieder geval, wat we dus willen bepalen, is hoe we deze dx keer dy,
dus deze dA, optellen over dit domein.
Laten we het tekenen.
Laten we het fysiek teken. En het kan geen kwaad om dit echt te doen wanneer
je echt het probleem moet oplossen, want
dit is het moeilijke gedeelte.
Heel veel Analyse-docenten laten je gewoon de
integraal opstellen en zeggen dan, OK, de rest is makkelijk.
Of: "De rest is Analyse 1".

Spanish: 
Asi que dejame rotarlo asi.
Solo estoy dibujando nuestro plano xy.
Porque eso es lo que importa.
Porque la parte dificil aqui es solo descifrar nuestros
limites de integracion.
(escribiendo)
Asi que la curva es solo y es igual a x al cuadrado, se ve
algo asi.
Este es el punto y es igual a 1.
Este es el eje-y, este es el eje-x, este es el
punto x es igual a 1.
(pausa)
Esto no es una x, es un 1.
Esta es la x.
De todos modos, lo que queremos descifrar, ?como sumamos este dx
multiplicado por dy, o esta da, a lo largo de este dominio?
Vamos a dibujarlo.
Vamos a visualimente dibujarlo y esto no duele hacerlo cuando
tu en realidad tienes que hacer el problema porque es
francamente la parte mas dificil.
Muchos maestros de calculo puede que te hacan establecer
la integral y luego digan, OK, bueno el resto es facil.
O el resto es Calculo 1.

Thai: 
ขอผมหมุนมันแบบนั้นนะ
ผมจะวาดระนาบ xy ของเรา
เพราะนั่นสำคัญ
เพราะส่วนที่ยากตรงนี้ คือการหาขอบ
ของการอินทิเกรต
-
ดังนั้นเส้นโค้งนี้ก็แค่ y เท่ากับ x กำลังสอง, ออกมา
หน้าตาแบบนี้
นี่คือจุด y เท่ากับ 1
นี่คือแกน y, นี่คือ แกน x, นี่คือจุด
x เท่ากับ 1
-
นั่นไม่ใช่ x, นั่นคือ 1
นี่คือ x
เอาล่ะ, เราอยาหาว่า, เราจะรวม dx คูณกับ
dy หหรือ da ตามโดเมนนี้ยังไง?
งั้นลองวาดกัน
ลองนึกภาพดู มันไม่ผิดที่จะทำตอน
คุณต้องทำโจทย์แบบนี้ เพราะที่จริงแล้ว
มันเป็นส่วนที่ยาก
ครูสอนแคลคูลัสมากมายให้คุณตั้งอินทิกรัล
ขึ้นมาแล้วบอกว่า โอเค ที่เหลือมันง่ายแล้ว
หรือที่เหลือก็คือ แคลฯ 1

French: 
Permettez-moi de le faire tourner comme ça.
Je vais juste dessiner notre plan xy.
Parce que c'est ce qui importe.
Parce que la partie la plus difficile ici est simplement de figurer nos
limites de l'intégration.
...
insi, la courbe est tout y est égal à x², regardez
quelque chose comme ça.
C'est le point y est égal à 1.
Ceci est l'axe y, c'est l'axe des x, c'est le
point x est égal à 1.
...
Ce n'est pas un x, c'est un 1.
C'est le x.
Quoi qu'il en soit, si nous voulons comprendre, comment pouvons-nous résumer ce dx
* dy fois, ou ce da, le long de ce domaine?
Donc dessinant le.
Let's visuellement dessiner et il n'est pas mal à faire cette fois
vous devez faire le problème car cela
franchement est la partie difficile.
Beaucoup de professeurs de calcul aura juste vous mettre en place les
intégrante et puis bien dire, OK, le reste est facile.
Le reste est Calc 1 ou.

Estonian: 
las ma keeran ta ülesse, niimoodi.
Ma vaid joonistan meie xy tasandi.
Kuna see on, mis on tähtis.
Kuna raskeim osa siin on meie integratsiooni
piiride leidmine.
Nii, et kõver on vaid y võrdub x ruudus, vaadake
midagi sellist.
see on punkt y on võrdne 1'ga.
See on y-telg, see on x-telg, see on
punkt x on võrdne 1'ga
See ei ole x, see on 1.
See on x.
Igatahes, me tahame arvutada, kuidas me summeerime seda dx
korda dy, või see da, selles piirkonnas?
Joonistame selle.
Joonistame selle visuaalselt, ja ei tee kahju, kui
tegelikult peate seda ülesannet tegemam kuna
see on ausalt raske osa.
Paljud matemaatilise analüüsi õpetajad lasevad üles seda
integraali, ning ütlevad siis, olgu, ülejäänud n kerge.
Või ülejäänud on Calc 1.

English: 
So let me rotate
it up like that.
I'm just going to
draw our xy plane.
Because that's what matters.
Because the hard part here
is just figuring out our
bounds of integration.
So the curve is just y is
equal to x squared, look
something like that.
This is the point
y is equal to 1.
This is y-axis, this is
the x-axis, this is the
point x is equal to 1.
That's not an x, that's a 1.
This is the x.
Anyway, so we want to figure
out, how do we sum up this dx
times dy, or this da,
along this domain?
So let's draw it.
Let's visually draw it and it
doesn't hurt to do this when
you actually have to do
the problem because this
frankly is the hard part.
A lot of calculus teachers will
just have you set up the
integral and then say, OK,
well the rest is easy.
Or the rest is Calc 1.

Polish: 
OK, ten obszar tu to to samo,
co obszar tu.
Jego podstawą jest dx, a wysokością jest dy.
Możecie sobie wyobrazić,
że patrzycie na to z góry.
Powierzchnia jest gdzieś powyżej, a my patrzymy na nią z góry,
więc to jest po prostu ten obszar.
Chcemy najpierw obliczyć całkę
ze względu na x.
Więc chcemy zsumować. Jeśli chcemy obliczyć objętość ponad tą kolumną,
to pole to dx razy dy, tak?
Zapiszmy objętość nad tą kolumną.
To będzie wartość funkcji,
wysokość w tym punkcie, czyli x y kwadrat razy dx, dy.
-
To wyrażenie daje nam objętość ponad tym obszarem
lub kolumną tutaj.
Chcemy zsumować najpierw w kierunku x.

Thai: 
โอเค, ดังนั้นพื้นที่, พื้นที่นี้ก็เหมือนกับ
พื้นที่ตรงนี้
งั้นตรงฐานก็คือ dx และความสูงคือ dy
แล้วคุณก็นึกเอาว่าเรากำลังดูสิ่งนี้
จากด้านบน
ดังนั้นพื้นผิวอยู่ด้านบนนี้สักที่ และเรากำลังมอง
ลองมาตรง ๆ และนี่คือพื้นที่ตรงนี้
งั้นสมมุติว่าเราอยากหาอินทิกรัลเทียบ
กับ x ก่อน
งั้นเราอยากรวม, หากเราต้องการปริมาตรเหนือ
คอลัมน์นี้, อย่างแรกเลย, มันคือพื้นที่นี้คูณ dx, dy จริงไหม?
งั้นลองเขียนปริมาตรเหนือคอลัมน์นั้นกัน
มันจะเท่ากับค่าของฟังก์ชัน, ความสูงที่
จุดนั้น, ซึ่งก็คือ xy กำลังสอง คูณ dx, dy
-
พจน์นี้บอกเราถึงปริมาตรเหนือพิ้นที่นี้ หรือ
คอลัม์นี้ตรงนี้
และสมมุติว่าเรารวมมันในทิศ x ก่อน

English: 
OK, so this area, this area
here is the same thing
as this area here.
So its base is dx and
its height is dy.
And then you could imagine
that we're looking at
this thing from above.
So the surface is up here some
place and we're looking
straight down on it, and so
this is just this area.
So let's say we wanted to
take the integral with
respect to x first.
So we want to sum up, so if we
want the volume above this
column, first of all, is this
area times dx, dy, right?
So let's write the volume
above that column.
It's going to be the value of
the function, the height at
that point, which is xy
squared times dx, dy.
This expression gives us the
volume above this area, or
this column right here.
And let's say we want the sum
in the x direction first.

Spanish: 
OK, asi que esta area, esta area aqui es la misca cosa
que esta area aqui,
Su base es dx y su altura es dy.
Y luego te puedes imaginar que estamos mirando a
esto desde arriba.
La superficie esta aqui arriba en algun lado y estamos mirando
justo hacia abajo, y esto es solo esta area.
Digamos que queremos sacar la integral con
respecto a x primero.
Vamos a sumar, si queremos el volumen sobre esta
columna, primetro que nada, es el are multiplicado por dx, dy, cierto?
Asi que escribamos el volumen sobre la columna.
Va a ser el valor de la funcion, la altura a
el punto, que es xy al cuadrado multiplicado por dx, dy.
(pausa)
Esta expresion nos da el volumen sobre esta area, o
la columna aqui.
Digamos que queremos sumar en la direccion-x primero.

Estonian: 
Olgu, see piirkond, see ala siin on sama asi, nagu
see asi siin.
Tema põhi on dx ja tema kõrgus on dy.
Ja siis võiksite ette kujutada, et vaatame
seda asja ülevalt.
nii, pind on siin üleval, kuskil ja me vaatame
otse alla sellele, ja see on vaid see ala.
Ütleme, et tahame võtta integraali
x suhtes esmalt.
Tahame summeerida, nii, et kui tahame ruumala selle
tulba kohal, esmalt, on see ala korda dx, dy, eks?
Nii, kirjutame ruumala selle tulba kohale.
See tuleb funktsiooni väärtus, kõrgus selles punktis, mis on
xt ruudus, korda dx, dy.
See avaldis annab meile ruumala selle ala kohal, või
selle tulba siin-samas.
Ja ütleme, et tahame summat x suunas esmalt.

French: 
OK, donc ce domaine, ce domaine ici est la même chose
comme ce domaine ici.
Si sa base est dx et sa hauteur est dy.
Et puis que vous puissiez imaginer que nous cherchons à
cette chose d'en haut.
Donc la surface est ici certains placent et nous sommes à la recherche
tout droit vers le bas, et c'est donc seulement dans ce domaine.
Alors disons que nous voulions prendre l'intégrale avec
quant à x d'abord.
Donc nous voulons résumer, donc si nous voulons que le volume au-dessus de cette
colonne, est tout d'abord, cette zone fois dx, dy, droit ?
Alors disons écrire le volume au-dessus de cette colonne.
Il va être la valeur de la fonction, la hauteur à
ce point, qui est xy carré fois dx, dy.
...
Cette expression nous donne le volume au-dessus de cette zone, ou
Cette colonne ici.
Et disons que nous voulons d'abord que la somme dans la direction x.

Turkish: 
Şimdi, bu alan, şuradaki alanla aynı.
-
Tabanı d x, ve yüksekliği d y.
Şimdi, buna tepeden baktığımızı hayal edelim.
-
Bu yüzey, şuralarda bir yerde ve buna üstten bakınca, bu alanı görüyoruz.
-
Diyelim ki, önce x'e göre integral almak istiyoruz.
-
Bu sütunun üstündeki hacmi istiyorsak, öncelikle, bu alan dx çarpı dy, öyle değil mi?
-
O zaman, sütunun üstündeki hacmi yazalım.
Fonksiyon değeri, yani x y kare, çarpı dx çarpı dy olacak.
-
-
Bu ifade, şu alanın veya sütunun üstündeki hacmi veriyor.
-
Diyelim ki, önce x yönünde toplam alıyoruz.

Dutch: 
OK, dus, dit is het gebied. Dit gebied hier is hetzelfde
als dit gebied hier.
Dus de basis is dx en de hoogte is dy.
En dan kun je je voorstellen dat we kijken naar
dit ding van boven.
Dus het gebied is hier ergens, en we kijken
recht naar beneden, dus dit is gewoon het gebied.
Dus laten we zeggen dat we de integraal willen nemen ten opzichte
van x eerst.
Dus we willen optellen, dus als we het volume boven deze
kolom willen hebben, ten eerste, is dit gebied keer dx, dy, toch?
Dus, laten we het volume boven die kolom opschrijven.
Dat wordt de waarde van de functie, de hoogte op
dat punt, wat xy keer dx, dy is.
Deze uitdrukking geeft ons het volume boven dit gebied, of
deze kolom hier.
En laten we zeggen dat we in de x-richting eerst willen optellen.

Urdu: 
اس علاقے کے طور پر یہاں
ٹھیک ہے، تو اس علاقے، اس علاقے کو یہاں
ایک ہی بات ہے.
اس کی بنیاد dx اور
اس کی اونچائی وی ہے.
اور پھر آپ
تصور کہ ہم دیکھ رہے ہو سکتا ہے،
اوپر سے اس بات.
سطح تک یہاں کچھ
جگہ ہے اور ہم دیکھ رہے ہیں
اس پر نیچے براہ راست ، اور اس وجہ سے
یہ تو صرف اس علاقے میں ہے.
تو کہتے ہیں کہ ہم
کے ساتھ اٹوٹ لے جانا چاہتے تھے
ایکس پہلے احترام.
ہم خلاصہ کرنا چاہتے ہیں، اگر ایسا ہے تو
ہم اس سے اوپر کا حجم چاہتے ہیں
کالم ، سب سے پہلے، اس
علاقے اوقات dx، وی ہے، ہے نا؟
تو چلو اس کالم کے اوپر حجم
لکھنے.
نقطہ ہے کہ ، جس میں XY
مربع اوقات dx، وی ہے
کی قیمت تقریب پر اونچائی ہونے کے لئے جا رہی ہے.
یہ اظہار ہمیں اس علاقے کے اوپر
حجم دیتا ہے، یا
اس یہیں کالم ہے.
اور کا کہنا ہے کہ پہلے ہم ایکس سمت میں رقم
چاہتے ہیں.

French: 
Donc nous voulons que dx en somme, une somme ici, ici, en résumé
et cætera, et cætera.
Nous allons donc à la somme dans la direction x.
Donc ma question est, quelle est notre bas
limite d'intégration ?
...
Bien, nous allons organiser genre de notre constante y, droite ?
Et si nous allons vers la gauche, si nous allons plus faibles et moins x nous
genre de bosse dans la courbe ici.
Donc la limite inférieure de l'intégration est
en réalité la courbe.
Et quelle est cette courbe, si nous devions écrire x
est une fonction de y ?
Cette courbe est y est égale à x au carré, ou x est égale
à la racine carrée de y.
Donc, si nous allons intégrer en ce qui concerne les x pour un y fixe
droite ici, que nous allons intégrer dans la direction horizontale
tout d'abord, notre borne inférieure est x est égal à la racine carrée de y.
...
C'est intéressant.
Je pense que c'est la première fois que vous avez probablement déjà vu un
variable lié intégrale.
Mais il est logique, car pour cette ligne que nous allons ajouter
droit en l'espèce, la limite supérieure est facile.

Polish: 
Więc chcemy zsumować dx, jeden tu, tu
et cetera, et cetera.
Będziemy sumować w kierunku x.
Pytam Was,
jaka jest dolna granica całkowania?
-
Nasz y jest stałą, tak?
Jeśli przesuniemy go w lewo, dla coraz mniejszych x
w pewien sposób wpadniemy na tą krzywą.
Więc dolną granicą całkowania
jest właśnie ta krzywa.
Czym jest ta krzywa, jeśli chcemy
zapisać x jako funkcję od y?
Krzywa ta to y równe x kwadrat
lub x równe pierwiastkowi kwadratowemu z y.
Więc jeśli całkujemy ze względu na x dla ustalonego y
właśnie tu -- całkujemy w kierunku poziomym najpierw --
nasza dolna granica całkowania dla x to pierwiastek kwadratowy z y.
-
To ciekawe.
Myślę, że to chyba pierwszy raz, kiedy widzicie
granicę całkowania, która jest zmienną.
Ale to ma sens, bo dla tego rzędu, który sumujemy tutaj,
górna granica całkowania jest prosta.

Urdu: 
وغیرہ، cetera ET
ہم تو کہ dx،
یہاں ایک رقم، رقم یہاں، خلاصہ کرنا چاہتے ہیں.
تو ہم ایکس سمت میں
خلاصہ کرنے کے لئے جا رہے ہیں.
انضمام کا پابند
لہذا
آپ کے لئے میرے سوال ہے، کیا ہماری کم ہے
ٹھیک ہے، ہم
ہمارے Y مسلسل انعقاد ہے، حق کی طرح ہیں؟
اور اگر ایسا ہے تو ہم بائیں طرف جاتے ہیں، اگر
ہم نے کم اور لوئر ایکس ہم ہے
سے ٹکرانا کے یہاں وکر
میں قسم.
اصل وکر
انضمام کے نیچے جانے والی
ہے.
اور اس وکر
کیا ہے اگر ہم لکھ رہے تھے X
Y کی ایک تقریب ہے؟
یہ وکر Y
مربع ایکس، یا ایکس برابر ہے کے برابر ہے
وائی کے مربع جڑ ہے.
اگر ہم
ایک مقررہ Y کے لئے ایکس کو احترام کے ساتھ
درست یہاں مجموعی رہے ہیں - ہم افقی سمت میں
مجموعی کر رہے ہیں
پہلی - ہماری نچلے حصے میں پابند ایکس کے مربع کی جڑ کے برابر ہے
رہا ہے Y.
یہ دلچسپ ہے.
مجھے لگتا ہے کہ یہ پہلی بار
تم نے شاید دیکھا ہے
متغیر پابند اٹوٹ ہے.
لیکن یہ سمجھ میں آتا ہے کیونکہ
اس صف کے لئے کہ ہم نے مزید کہا
درست یہاں، اوپری پابند کا
آسان ہے.

Turkish: 
Yani, bu d x'leri topluyoruz.
-
x yönünde toplam alacağız.
Size sorum şu: İntegralimin alt sınırı nedir?
-
-
O zaman, y'yi sabit tutyoruz, öyle değil mi?
Sol aşağı doğru gidersek, şuradaki eğriye rastlarız.
-
İntegralin alt sınırı, şu eğri.
-
O zaman, x'i y'ye göre bir fonksiyon olarak yazarsam, bu eğrinin denklemi nedir?
-
Bu eğri, y eşittir x kare veya x eşittir karekök y.
-
Eğer sabit bir y'ye göre, x cinsinden integral alırsak, alt limitimiz, x eşittir karekök y.
-
-
-
İlginç bir durum.
Sanıyorum, ilk defa, limitinde değişken olan bir integral görüyorsunuz.
-
Topladığımız satır açısından, üst limit kolay.
-

Dutch: 
Dus we willen deze dx optellen, eentje hier, een som hier,
et cetera, et cetera.
Dus we gaan optellen in de x-richting.
Dus mijn vraag aan jou is, wat is onze
ondergrens voor integratie?
Nou, we houden in feite onze y constant, toch?
En als we naar links gaan, naar kleinere en kleinere x-en,
stoten we hier tegen de kromme aan.
Dus onze ondergrens voor integratie is
in feite de kromme.
En wat is deze kromme, als we schrijven dat x
een functie van y is?
de kromme is y = x kwadraat, ofwel x =
de wortel van y.
Dus als we integreren ten opzichte van x voor een vaste y,
hierzo-- we integreren in de horizontale richting als eerste
-- onze ondergrens voor x is gelijk aan de wortel van y.
Dat is interessant.
Dit is waarschijnlijk de eerste keer dat je een
variabel-begrensde integraal hebt gezien.
Maar dat is vrij logisch, want voor deze rij die we hier optellen
is de bovengrens makkelijk.

Spanish: 
Queremos sumar la dx, suma una aqui, suma aqui,
etcetera, etcetera.
Vamos a sumar en la direccion-x.
Mi pregunta para ti es, cual es nuestro
limite infetior de integracion?
(pausa)
Bueno estamos manteniendo nuestra y constante, ?cierto?
Si vamos hacia la izquierda, si vamos mas abajo y abajo en x
como que chocamos con la curva aqui.
Asi que el limite inferior de integracion es
en realidad una curva.
?Cual es esta curva si fueramos a excribir x
como funcion de y?
Esta curva es y es igual a x al cuadrado, o x es igual
a la raiz cuadrada de y.
Si estamos integrando con respecto a x por una y fija
aqui--estamos integrando en la direccion horizontal
primero---nuestro limite inferior es x es igual a la raiz cuadrada de y.
(pausa)
Esto es interesante.
Creo que esta es la primera vez que probablemente vez un
limite integral variable.
Pero hace sentido porque para esta fila que estamos sumando
aqui, el limite superior es facil.

English: 
So we want to sum that dx,
sum one here, sum here,
et cetera, et cetera.
So we're going to sum
in the x-direction.
So my question to you
is, what is our lower
bound of integration?
Well, we're kind of holding
our y constant, right?
And so if we go to the left, if
we go lower and lower x's we
kind of bump into
the curve here.
So the lower bound
of integration is
actually the curve.
And what is this curve
if we were to write x
is a function of y?
This curve is y is equal to
x squared, or x is equal
to the square root of y.
So if we're integrating with
respect to x for a fixed y
right here-- we're integrating
in the horizontal direction
first --our lower bound is x is
equal to the square root of y.
That's interesting.
I think it's the first time
you've probably seen a
variable bound integral.
But it makes sense because for
this row that we're adding up
right here, the upper
bound is easy.

Estonian: 
Nii, tahame summeerida seda dx, summeerime ühe siin, summerime siin,
jne. jne.
Nii, me summeerime x-suunas.
Minu küsimus teile on, mis on meie
madalaim integratsiooni piir?
Nii, me suhteliselt hoiame oma y konstandina, eks?
Ja kui me läheme vasakule, kui me läheme madalamale ja madalamale x'st, me
"põrkume" selle kõveraga siin.
Nii, et integratsiooni alumine piir on
tegelikult kõver.
Ja mis on see kõver, kui me kirjutaksime x
on funktsioon y'st?
See kõver on y on võrde x ruuduga, või x on võrdne
ruutjuurega y'st.
Nii, kui me integreerime x suhtes fikseeritud y'ks
siin-- me integreerime horisontaalses suunas
esmalt-- meie alam piir on x on võrdne ruutjuurega y'st.
See on huvitav.
Arvan see on esimene kord, kui olete näinud
muutujaga seotud integraali.
Aga see on loogiline, kuna see rida, mida kokku liidame
siin, ülemine piir on kerge.

Thai: 
งั้นเราอยากเรวม dx นั่น, รวมมันตรงนี้, รวมตรงนี้,
ต่อไป, ต่อไป
งั้นเราจะรวมมันในทิศ x
ดังนั้นคำถามให้คุณคือว่า ขอบล่างของ
การอินทิเกรตนี้คืออะไร?
-
ทีนี้, เราอยากเก็บ y เป็นค่าคงที่, จริงไหม?
และหากเราไปทางซ้าย, เราลดค่า x ต่ำลง ต่ำลง เราจะ
ชนกับเส้นโค้งตรงนี้
ดังนั้นขอบล่างของการอินทิเกรตคือ
เส้นโค้งนี้
แล้วเส้นโค้งนี้คืออะไร หากเราเขียน x
เป็นฟังก์ชันของ y?
เส้นโค้งนี้คือ y เท่ากับ x กำลังสอง, หรือ x เท่ากับ
สแควร์รูทของ y
ดังนั้นหากเราอินทิเกรตเทียบกับ x สำหรับค่า y คงที่
ตรงนี้ -- เราจะอินทิเกรตในแนวราบ
ก่อน -- ขอบล่างของเราคือ x เท่ากับ สแควร์รูทของ y
-
นั่นน่าสนใจ
ผมว่ามันอาจเป็นครั้งแรกที่คุณเห็น
อินทิกรัลที่ขอบแปรค่าได้
แต่มันถูกแล้วเพราะในแถวนี้ เรากำลังรวมไป
ถึงตรงนี้, ขอบบนนั้นง่าย

Urdu: 
پابند اوپری ہے
X 1 سے برابر ہے.
اوپری جانے والی ہے x کے برابر 1
ہے، لیکن کم جانے والی ہے
ایکس وائی کے
مربع جڑ کے برابر ہے.
کیونکہ آپ کو واپس پسند جاؤ،
اوہ، میں نے وکر میں ٹکرانا.
اور وکر کیا ہے؟
ویسے وکر ہے ایکس وائی کے مربع
جڑ کے برابر ہے کیونکہ ہم
پتہ نہیں ہم کس Y اٹھایا.
کافی صاف ہے.
ایک بار ہم نے سوچا
حجم ہے - تاکہ ہمیں دیں گے
اس مستطیل
کے اوپر حجم یہیں - اور پھر ہم
اپ کی وی شامل کرنا چاہتے ہیں.
اور یاد ہے، جو اوپر there'sa
پورے حجم
میں یہاں ڈرائنگ رہا ہوں.
میں XY جہاز میں صرف اس
حصہ ڈرائنگ رہا ہوں.
جو ہم نے ابھی ابھی کیا ہے، اس کے اظہار کے طور پر یہ ہے
کہ مستطیل
اوپر حجم باہر ابھی لکھا ہے، اعداد و شمار کو
.
اگر ہم جاننے میں پورے حجم کے ٹھوس
کرنا چاہتے ہیں،
ہم Y محور کے ساتھ ساتھ ضم.
یا ہم نے تمام وی شامل ہے.
اس کو وی صحیح یہاں
، ایک dx نہیں تھا.
میری dx اور وی
بھی اسی طرح کے نظر آتے ہیں.

Dutch: 
De bovengrens van x is gelijk aan 1.
De bovengrens van x is gelijk aan 1, maar de ondergrens is
x = de wortel van y.
Want je gaat zo van, oh, ik kom hier tegen de kromme aan.
En wat is de kromme?
Nou ja, de kromme is x = wortel y, want we weten
niet welke y we hebben gekozen.
Duidelijk toch?
Dus als we dit volume hebben bepaald-- dus dat geeft ons
het volume boven de rechthoek hier-- en dan willen we
de dy's optellen.
En onthoud, er zit hier een heel volume boven dat
wat ik hier teken.
Ik teken dit deel gewoon in het xy-vlak.
Dus wat we nu hebben gedaan, deze uitdrukking, zoals hij hier
staat geschreven, bepaald de volume van
die driehoek.
Als we nu het totale volume willen bepalen,
integreren we over de y-as.
Of we tellen alle dy's op.
Dit was een dy, niet een dx.
Mijn dx'en en dy'en lijken te veel op elkaar.

English: 
The upper bound is
x is equal to 1.
The upper bound is x is equal
to 1, but the lower bound is
x is equal to the
square root of y.
Because you go back like,
oh, I bump into the curve.
And what's the curve?
Well the curve is x is equal to
the square root of y because we
don't know which y we picked.
Fair enough.
So once we've figured out the
volume-- so that'll give us the
volume above this rectangle
right here --and then we
want to add up the dy's.
And remember, there's a
whole volume above what
I'm drawing right here.
I'm just drawing this
part in the xy plane.
So what we've done just now,
this expression, as it's
written right now, figures
out the volume above
that rectangle.
Now if we want to figure out
the entire volume of the solid,
we integrate along the y-axis.
Or we add up all the dy's.
This was a dy right
here, not a dx.
My dx's and dy's
look too similar.

Polish: 
Górną granicą całkowania jest x równe 1.
Górną granicą całkowania jest x równe 1,
ale dolną jest x równe pierwiastek kwadratowy z y.
Ponieważ dla mniejszych x wpadacie na tą krzywą.
Co to za krzywa?
Ta krzywa to x równe pierwiastkowi kwadratowemu z y,
ponieważ nie wiemy, który y wybraliśmy.
-
Kiedy już obliczyliśmy objętość
-- nad tym prostokątem tutaj --
i teraz chcemy zsumować po dy.
-
Pamiętajcie, to objętość nad tym,
co tu rysuję.
Rysuję tylko tę część płaszczyzny xy.
To co do tej pory zrobiliśmy, to wyrażenie, tak jak jest teraz zapisane,
wyznacza objętość nad
tym prostokątem.
Teraz jeśli chcemy obliczyć całą objętość bryły,
całkujemy wzdłuż osi y.
Albo sumujemy dy.
Tu był dy, nie dx.
Moje dx i dy są zbyt podobne.

Thai: 
ขอบบนก็แค่ x เท่ากับ 1
ขอบบนคือ x เท่ากับ 1, แต่ขอบล่างคือ
x เท่ากับสแควร์รูทของ y
เพราะคุณถอยไปเรื่อย ๆ แล้วก็ โอ้ ฉันชนเส้นโค้งนี่
แล้วเส้นโค้งนี่คืออะไร?
เส้นโค้งนี่คือ x เท่ากับสแควร์รูทของ y เพราะ
เราไม่รู้ว่า y ที่เหลือคืออะไร
ใช้ได้แล้ว
งั้นเมื่อเราหาปริมาตร -- นั่นจะบอกเรา
ถึงปริมาตรเหนือสี่เหลี่ยมผืนผ้านี่ตรงนี้ -- แล้วเราจะ
รวมพวก dy เข้าด้วยกัน
-
และจำไว้, มันมีปริมาตรเหนือสิ่งที่ผม
วาดตรงนี้
ผมแค่วาดส่วนนี้ในระนาบ xy
ดังนั้นสิ่งที่เราทำไปตรงนี้, พจน์นี้, อย่างที่
เขียนตอนนี้, คือหาปริมาตรเหนือ
สี่เหลี่ยมนั่น
ทีนี้หากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมดของทรงตัน,
เราก็อินทิเกรตตามแกน y
หรือเราบวก dy ทั้งหมดนั่น
นี่ก็คือ dy ตรงนี้, ไม่ใช่ dx
dx กับ dy ผมดูเหมือนกันเกินไปนะ

Spanish: 
El limipe superior es x es igual a 1.
El limite superior es x es igual a 1, pero el limite inferior es
x es igual a la raiz cuadrada de y.
Porque vuelves, o, yo choco con la curva.
?Cual es la curva?
Bueno la curva es x es igual a la raiz cuadrada de y porque
no sabemos que y cojimos.
Justo lo suficiente.
Una vez que es calculado el volumen--asi que nos da el
volumen sobre el rectangulo aqui--y luego
queremos sumar los dy.
(Pausa)
Y recuerda, que hay todo un volumen sobre lo
que estoy dibujando aqui.
Solo estou dibujando esta parte en el plano xy.
Lo que acabamos de hacer, esta expresion, como esta
escrita, calcula el volumensobre
el rectangulo.
Si queremos calcular el volument del solido entero,
tenemos que integrar a lo largo del eje-y.
O sumamos todas las dy.
Esto es una dy aqui, no una dx.
Mi dx y dy se ven similares.

Estonian: 
Ülemine piir on x võrdub ühega.
Ülemine piir on x on võrdne ühega, kuid alumine piir on
x on võrdne ruutjuurega y'st.
Kuna saate tagasi minna, nagu, oh, "põrkun" kõveraga.
Ja mis on see kõver?
Nii, kõver on x on võrdne ruutjuurega y'st, kuna me
ei tea, millise y me valisime.
Sobib küll.
Kord, kui oleme välja nuputanud ruumala-- nii, see annab meile
ruumala selle ristküliku kohal siin-- ja siis me
tahame dy'd liita.
Ja mäletage, siin on terve ruumala selle kohal, mida
ma joonistan siin.
Ma joonistan seda osa xy-tasandil.
Nii, mida ma siin tegin just, nüüd, kui ta on
kirjutatud, nüüd, arvutades seda ruumala selle
ristküliku kohal.
Nüüd kui me tahame arvutada seda tervet selle keha ruumala.
Me integreerime y-telge pidi.
Või me liidame kokku kõik dy'd.
Ja see oli dy siin, mitte dx.
Minu dx'd ja dy'd näevad välja liiga sarnased.

Turkish: 
Üst limitimiz, x eşittir 1.
Üst limit, x eşittir 1 ve alt limit, x eşittir karekök y.
-
Çünkü arkaya gittikçe, şu eğriye rastlıyoruz.
Eğrimiz neydi?
x eşittir karekök y.
Çünkü hangi y'yi aldığımızı bilmiyoruz.
Tamam.
Hacmi bulduktan sonra - şu dikdörtgenin üstündeki hacim - dy'leri toplayacağız.
-
-
-
Unutmayın ki, şuraya çizdiğim şeyin üstünde hacim var.
-
Yalnızca, xy düzlemindeki kısmı çiziyorum.
Şimdi, yazdığım bu ifade, bu dikdörtgenin üstündeki hacmi hesaplatıyor.
-
-
Eğer cismin tüm hacmini bulmak isterseniz, y ekseni boyunca integralini almanız gerekir.
-
Yani dy'leri toplamamız gerekir.
Burada dy var, dx değil.
-

French: 
La limite supérieure est de x est égal à 1.
La limite supérieure est de x est égal à 1, mais la borne inférieure est
x est égal à la racine carrée de y.
Parce que vous allez revenir comme, oh, je rencontre la courbe.
Et quelle est la courbe ?
Bien la courbe est x est égal à la racine carrée de y parce que nous
ne sais pas qui y, nous avons choisi.
Assez juste.
Donc une fois nous avons trouvé le volume--ce que nous allons donner la
volume au-dessus de ce rectangle ici--et puis nous
à ajouter à de la dy
...
Et rappelez-vous, il ya un volume entier au-dessus de ce que
je vais dessiner ici.
Je dessine juste cette partie du plan xy.
Donc, ce que nous venons de faire
(cette expression écrite telle quelle), détermine le volume
sous ce rectangle
Maintenant, si nous souhaitons calculer le volume de ce solide,
nous intégrons le long de l'axe y,
ce qui revient à additionner tous les dy.
C'était un dy ici, pas un dx.
Mes dx et dy avaient l'air trop similaires.

Dutch: 
Dus wat is nu de ondergrens over de y-as als ik deze
rechthoeken optel?
Nou, de ondergrens van y is gelijk aan 0.
Dus we gaan van y=0 naar wat--
Wat is de bovengrens?
-- naar y=1.
En daar heb je het.
Laat me deze integraal opnieuw opschrijven.
Dus, de dubbele integraal gaat van x= de wortel
van y naar x is 1 van xy kwadraat keer dx, dy.
En dan voor y, gaat y van 0 naar 1.
Ik zie nu dat de tijd om is.
In de volgende video gaan we deze integraal evalueren, en dan gaan we
het ook in de andere volgorde
Tot snel.

Estonian: 
Ja nüüd, mis on madalam piir y-teljest ja kui ma summeerin
need ristkülikud?
Nii, alumine piir on y on võrdne nulliga.
Nüüd liigume y on võrdne 0 kuni--
Mis on ülemine piir?
-- kuni y on võrdne ühega'ni.
Ja siin see on.
Las ma kirjutan selle integraali.
Nii, et kahekordne integraal tuleb x on võrdne ruutjuur
y kuni x on võrdne 1, xy ruudus, dx, dy.
Ja siis, y piir, y läheb 0 kuni y kuni 1.
Ma just mõistsin, et aeg on otsas.
Järgmises videos ma arvutan sellle, ja siis me
teeme seda teises järjekorras.
Kohtume varsti.

Urdu: 
اب تو Y محور پر نچلے حصے میں جانے والی
کیا ہے اگر میں میزانی رہا ہوں
ان rectangles اپ؟
ویسے ، کم جانے والی
ہے Y 0 برابر ہے.
تو ہم
Y سے جانے کے لئے جا رہے ہیں کیا 0 کے برابر ہے -
اوپری جانے والی ہے؟
- Y 1 سے برابر ہے. اور وہاں آپ نے یہ ہے
.
مجھے کہ لازمی دوبارہ سے لکھنا.
ڈبل اٹوٹ
جا ایکس کی طرف سے ہو رہا ہے مربع کے برابر ہے
Y کی ایکس جڑ 1
، مربع XY، dx، وی کے برابر ہے.
اور پھر پابند Y، Y
0 سے Y 1 جاتا ہے.
میں صرف
میں وقت سے باہر چلانے کا احساس ہو گیا ہے.
اگلے ویڈیو میں ہم اس
، تو اندازہ کریں اور ہم دونگا
دوسرے حکم میں ایسا.
آپ جلد ملیں گے.

Thai: 
ทีนี้ ขอบล่างของแกน y ที่ผมจะรวม
สี่เหลี่ยมพวกนี้คืออะไรนะ?
-
ทีนี้, ขอบล่างก็คือ y เท่ากับ 0
หรือเราอาจไปจาก y เท่ากับ 0 ถึงอะไร -
ขอบบนคืออะไร?
-- คือ y เท่ากับ 1
แล้วคุณก็ได้แล้ว
ขอผมเขียนอินทิกรัลใหม่นะ
อินทิกรัลสองชั้นนั่นจะเท่ากับ x เท่ากับสแควร์รูท
ของ y ถึง x เท่ากับ 1, xy กำลังสอง, dx, dy
แล้วขอบ y, ไปจาก 0 ถึง 1
ผมเพิ่งรู้ว่าผมหมดเวลาแล้ว
ในวิดีโอหน้า เราจะหาค่ามัน, แล้วเราจะ
ทำมันในอีกลำดับนึง
แล้วพบกันใหม่ครับ
-

French: 
donc, maintenant, quelle est la borne inférieure sur l'axe y si j'additionne
tous ces rectangles ?
tous ces rectangles ?
Bien, la borne inférieure est : y=0.
Donc nous irons de y=0 à y=?
Quelle est la borne supérieure ?
Pour y, c'est 1.
Et voila.
Laissez moi ré-écrire cette intégrale.
Donc la double intégrale sera calculée de x=racine(y) à x=1, xy², dx, dy.
Donc la double intégrale sera calculée de x=racine(y) à x=1, xy², dx, dy.
et après les bornes pour y => y va de 0 à 1.
Je viens juste de réaliser que je n'ai plus de temps.
Nous évaluerons ceci dans la prochaine vidéo et
le ferons dans l'autre sens.
A bientôt.
A bientôt.

Turkish: 
Bu dikdörtgenleri toplamak istersek, y ekseni üzerindeki alt sınırımız nedir?
-
-
Alt sınırımız, y eşittir 0.
Peki, üst sınırımız nedir?
-
y eşittir 1.
İşte böyle.
Şimdi bu integrali tekrardan yazayım.
Çİft katlı integralimin x sınırı, x eşittir karekök y'den, x eşittir 1'e gidiyor. İntegralin ifadesi, x y kare, dx, dy. y sınırı da 0'dan 1'e gidiyor.
-
--
Süremin bittiğini farkettim.
Bir sonraki videoda, bunun değerini buluruz ve bu integrali ters yönde alırız.
-
Görüşmek üzere.
-

Spanish: 
?Cual es el limite inferior en el eje-y si estoy sumanso
estos rectangulos?
(pausa)
Bueno, el limite inferior es y es igual a 0.
Vamos a ir de y es igual a 0 a que--
?cual es el limite superior?
--es y es igual a 1.
Hay lo tienes.
Dejame re-escribir la integral.
La doble integral viene de x es igual a la raiz
cuadrada de y a x es igual a 1, xy al cuadrado, dx, dy.
Y luego el limite de y, y va de 0 a y a 1.
Me acabo de dar cuenta que se me acabo el tiempo.
En el proximo video vamos a calcular esto, y luego
vamos ha hacerlo en el otro orden.
Los veo pronto.
(Fin del video).

Polish: 
Jaka jest dolna granica całkowania ze względu na y,
jeśli sumujemy takie prostokąty?
-
Dolną granicą całkowania jest y równe 0.
Nasz y zmienia się od y równe 0 do --
jaka jest górna granica całkowania?
-- do y równe 1.
Przepiszę tę całkę.
Całka podwójna od x równego pierwiastek kwadratowy z y,
do x równego 1, x y kwadrat, dx, dy.
Teraz granice dla y, y zmienia się od 0 do 1.
Zorientowałem się, że skończył się czas.
W następnym filmie wyliczymy to,
a później zrobimy to w odwrotnej kolejności.
Do zobaczenia wkrótce.

English: 
So now what is the lower bound
on the y-axis if I'm summing
up these rectangles?
Well, the lower bound
is y is equal to 0.
So we're going to go from
y is equal to 0 to what--
what is the upper bound?
--to y is equal to 1.
And there you have it.
Let me rewrite that integral.
So the double integral is going
to be from x is equal to square
root of y to x is equal to
1, xy squared, dx, dy.
And then the y bound, y
goes from 0 to y to 1.
I've just realized
I've run out of time.
In the next video we'll
evaluate this, and then we'll
do it in the other order.
See you soon.
