
Chinese: 
在你的数学生涯中
你一直在学习实数。
实数包括0、1、3.11循环，π、e
实数包括0、1、3.11循环，π、e
还可以继续举很多实数的例子
这些都是比较熟悉的数字
这些都是比较熟悉的数字
之后我们有学习了更有趣的
我们讨论了有什么数字的平方得-1
我们讨论了有什么数字的平方得-1
我们讨论了有什么数字的平方得-1
我们定义了这个数字，让它的平方的-1，那就是i了
我们定义了这个数字，让它的平方的-1，那就是i了
我们开始了全新的一组数字
你可以把这个看成是虚数的乘法
你可以把这个看成是虚数的乘法
虚数有i和-1
或者πi、ei
这会导向另一个有趣的问题
若我把虚数和实数结合呢？

Korean: 
지금까지는 수학을 공부하며 실수만 다뤘을 거에요
실수에는 0, 1, 0.333..., 파이, 그리고 e 등이 있죠
이렇게 계속 예를 들 수 있는 실수들은 아마 익숙할거에요
이제 흥미로운 것을 탐구해볼거에요
'제곱을 해서 -1이 되는 수'라는 개념을 탐구할거지요
제곱해서 -1이 되는 수를
'i'라고 정의할거에요
완전히 새로운 단위의 숫자를 정의한거에요
허수 단위라고 할 수 있는 개념 말이죠
허수란 i, -i, 파이 곱하기 i, 그리고 e 곱하기 i 등을 말해요
그러면 또 다른 흥미로운 질문이 생기겠죠
허수와 실수를 함께 쓴다면 어떻게 될까요?

English: 
Voiceover:Most of your mathematical lives
you've been studying real numbers.
Real numbers include
things like zero, and one,
and zero point three
repeating, and pi, and e,
and I could keep listing real numbers.
These are the numbers that you're
kind of familiar with.
Then we explored something interesting.
We explored the notion of what if
there was a number that if I squared it
I would get negative one.
We defined that thing
that if we squared it
we got negative one, we
defined that thing as i.
So we defined a whole new class of numbers
which you could really view as multiples
of the imaginary unit.
So imaginary numbers
would be i and negative i,
and pi times i, and e times i.
This might raise another
interesting question.
What if I combined
imaginary and real numbers?

Polish: 
Przez większą część twojego matematycznego
życia uczyłeś się o liczbach rzeczywistych
Liczby rzeczywiste zawierają chociażby
0, 1, 0.(3), pi oraz liczbę e.
Mogę dalej wypisywać liczby rzeczywiste. 
Znasz je bardzo dobrze.
W pewnym momencie odkrywamy coś
interesującego.
Zastanówmy się, czy istnieje liczba,
która podniesiona do kwadratu da -1.
Zdefiniujemy ją tak, że podniesiona do
kwadratu da -1.
Taką liczbę definiujemy jako i.
W ten sposób określamy całą klasę nowych
liczb,
które możemy przedstawić jako
wielokrotności jednostki urojonej.
Zatem liczby urojony to np i, -i,
i pomnożone pi razy lub i pomnożone e razy
co może prowadzić do kolejnego
interesującego pytania:
Co jeśli połączymy ze sobą liczby urojone
i rzeczywiste?

Czech: 
Většinu svého matematického
života jste strávili studiem reálných čísel.
Reálná čísla obsahují i věci jako
0, 1 či 0,333 periodicky, pi, nebo e.
Mohu vypsat různá reálná čísla,
to jsou ta, která všichni známe.
A teď máte možnost
poznat něco zajímavého.
Definujeme si věc, kterou
když umocníme, vyjde -1.
Definujeme ji tak, že po
odmocnění nám vyjde -1.
Bude to ‚i‘.
Definujeme tak celou
novou třídu čísel,
která jsou násobky
imaginární jednotky ‚i‘.
Takže imaginární číslo může být ‚i‘,
-‚i‘, pi krát ‚i‘ nebo ‚e‘ krát ‚i‘,
což nás přivádí k zajímavé otázce,
co když spojíme reálné a imaginární číslo?

Portuguese: 
Durante a maioria da sua vida matemática, você tem estudado os números reais
Os números reais incluem zero, um, zero ponto três em dízima, pi, e o número e
Eu posso continuar listando números reais, e esses números são do tipo que você está familiarizado
Agora, nós podemos explorar uma coisa interessante.
Nós podemos explorar a noção da existência de uma número ao quadrado que o resultado é menos 1.
Nós definimos esse número, uma raiz quadrada que tem como resultado -1
Nós o definimos como i.
Nós definimos uma completa nova classe de números,
que podem ser vistos como múltiplos da unidade imaginária.
Então, um número imaginário pode ser i , menos i, pi vezes i, e o número e vezes i
Podemos então levantar uma questão interessante:
E se combinarmos números reais e imaginários?

Bulgarian: 
През по-голямата част от "математическия" си живот
изучаваше реалните числа.
Реалните числа включват неща като 0 и 1,
и 0,3, което се повтаря, както и числото пи, и е,
и всъщност мога да продължа да изброявам реални числа.
Това са числата, които
са ти донякъде познати.
След това открихме нещо интересно.
Открихме идеята, че ако има
число, което ако повдигна на квадрат
ще получа -1.
И дефинирахме, че ако го повдигнем на квадрат,
получаваме -1...дефинирахме това като i.
Дефинирахме цял нов клас числа,
които можеш да приемеш като кратни
на имагинерната единица.
Имагинерните числа ще са i и -i,
и пи по i, и е по i.
Това може да повдигне друг интересен въпрос.
Какво се случва, ако комбинирам имагинерни и реални числа?

Thai: 
ในชีวิตด้านคณิตศาสตร์ของคุณส่วนใหญ่
คุณได้เรียนเกี่ยวกับจำนวนจริงไป
จำนวนจริงมีจำนวนเช่น 0, 1
และ 0.3 ซ้ำ พาย และ e
ผมเขียนจำนวนจริงได้เรื่อยๆ
พวกนี้คือจำนวนที่คุณ
ค่อนข้างคุ้นเคยแล้ว
แล้วเราสำรวจสิ่งที่น่าสนใจ
เราสำรวจแนวคิดว่าเกิดอะไรขึ้น
ถ้ามีจำนวนที่ผมยกกำลังสองมัน
แล้วผมจะได้ลบ 1
เรากำหนดค่านั้นขึ้นมาว่า ถ้าคุณยกกำลังสองมัน
เราจะได้ลบ 1 เรากำหนดค่านั้นเป็น i
เรากำหนดจำนวนประเภทใหม่นี้
ซึ่งคุณมองมันเป็นพหุคูณ
ของหน่วยจินตภาพนี้
จำนวนจินตนาการ จะเป็น i กับลบ i
แล้วก็พายคูณ i กับ e คูณ i
มันอาจทำให้เราเห็นคำถามที่น่าสนใจอีกอัน
เกิดอะไรขึ้นถ้าผมรวมจำนวนจินตภาพ
กับจำนวนจริง?

German: 
Die meiste Zeit hast du dich in der Mathematik
mit reellen Zahlen beschäftigt.
Reelle Zahlen beinhalten Zahlen 
wie z.B. 0, 1, oder 0,3¯ und π, e,
und ich könnte weitere reelle Zahlen aufschreiben.
Das sind die Zahlen, die du schon kennst.
Dann haben wir uns etwas Interessantes angeschaut,
und zwar die Frage:
Was wäre, wenn es eine Zahl gäbe, die, wenn ich sie
zum Quadrat nehmen würde, -1 ergeben würde?
Und dieses Ding, das wir zum Quadrat genommen
und -1 erhalten haben, haben wir als i definiert.
Wir haben eine komplett neue Art von Zahlen definiert,
die wir als Vielfache der
imaginären Einheit betrachten können.
Imaginäre Zahlen sind z.B. i, -i, π ⋅ i, e ⋅ i.
Dadurch stellt sich eine weitere interessante Frage.
Was, wenn ich imaginäre und reelle Zahlen kombiniere?

Arabic: 
معظم حياتك الرياضية
كنت قد  دراست الأرقام الحقيقية
تشمل الأعداد الحقيقية
أشياء مثل 0 ، 1 ،
و 0.3 تكرار ، e ، π
و يمكنني الاحتفاظ بقائمة الأرقام الحقيقية
هذه هي الأرقام اذا كنت
نوع من مالوفه مع
وبعد ذلك استكشفنا شيئا مثيرا للاهتمام
استكشفنا فكرة ما إذا
كان هناك عدد انه إذا قمت بتربيعه
أود الحصول على  سالب واحد.
و عرفنا هذا الشيء انه إذا قمنا بتربيعه
حصلنا على سالب واحد ،  عرفنا هذا الشيء هو i
لذلك عرفنا الفئة الجديدة  بأكملها من الأرقام
التي يمكن ان ننظر حقا كمضاعفات
للوحدة التخيلية
الأرقام التخيلية ستكون i و i-
و π مضروبة في i ، و e مضروبة في i
لذلك قد يثير  هذا سؤال آخر مثير للاهتمام
ماذا لو جمعت الأرقام الخيالية والحقيقية ؟

Korean: 
근본적으로 실수와 허수의 합 인 숫자들이
존재한다면 어떨까요?
예를 들어서, z라고 불리는 숫자가 있다고 쳐요
허수를 다룰 때 자주 변수를 z로 부르거든요
이제 z가 실수인 5와 허수인 3 x i의 합이라고 쳐요
그럼 바로 여기에 실수와 허수의 합이 있어요
이 둘을 그냥 합하고 싶지만 그럴 수가 업죠
다른 특성을 가지고 있어서 단순하게 합치는건 말이 안돼요
곧 시각적으로 볼거에요
이 상태를 더이상 단순화 시킬 수 없어요
허수와 상수를 합할 수 없어요
다시한번 말하죠. 한쪽이 실수고
한쪽은 허수인 수를 이야기하는거에요

Arabic: 
ماذا لو كان لدي أرقام هي أساسا
مجموع أو اختلافات الأرقام الحقيقية أو الخيالية ؟
على سبيل المثال، دعونا نقول انه اذا كان لدي عدد
دعونا نفترض أنني اسميه z
و z  سوف يكون المتغير الأكثر استخداما
عندما نتحدث عن
ما أنا على وشك الحديث عن
الأرقام المركبة
لنفترض ان z تساوي
تساوي العدد الحقيقي 5 زائد
العدد التخيلي 3 مضروب في i
إذا هذا الشيء هنا
لدينا عدد حقيقي زائد عدد تخيلي
قد يكون لديك اغراء لجمع هذين الشيئين
ولكن لا يمكنك
فإنها لن تجعل أي معنى
هذه هي نوع من الذهاب في فقاعه مختلفة
سوف نفكر في ذلك بصريا في الثانية
ولكن لا يمكنك تبسيط هذا بعد الآن.
لا يمكنك إضافة هذا العدد الحقيقي
لهذا العدد التخيلي
مثل هذا العدد  ، اسمحوا لي أن أوضح
هذا حقيقي، و هذا تخيلي، تخيلي
عدد مثل هذا نسميه عددا مركبا

Portuguese: 
E se eu tivesse números que são somas e subtrações com números reais e imaginários?
Por exemplo, digamos que eu tenho um número chamado Z
E Z tende a ser a variável mais utilizada quando nós falamos do que nós iremos discutir, que são os números complexos
Digamos que Z é igual ao número real 5 somado ao número imaginário 3 vezes i
Então digamos que aqui, nós temos um número real somado a um número imaginário
Você pode tentar adicionar essas duas coisas, mas você não pode
Fazer isso não teria sentido, já que são dois tipos diferentes de números, já veremos isso no gráfico em um segundo
Você não pode simplificar mais, não é possível adicionar um número real a um número imaginário
Um número assim, para deixar claro, é formado por uma parte real
e uma parte imaginária

English: 
What if I had numbers
that were essentially
sums or differences of
real or imaginary numbers?
For example, let's say
that I had the number.
Let's say I call it z,
and z tends to be the most used variable
when we're talking about
what I'm about to talk
about, complex numbers.
Let's say that z is equal to,
is equal to the real number five plus
the imaginary number three times i.
So this thing right over here
we have a real number
plus an imaginary number.
You might be tempted to
add these two things,
but you can't.
They won't make any sense.
These are kind of going in different,
we'll think about it visually in a second,
but you can't simplify this anymore.
You can't add this real number
to this imaginary number.
A number like this, let me make it clear,
that's real and this is
imaginary, imaginary.
A number like this we
call a complex number,

Chinese: 
虚数和实数相加或相减可以得出答案吗？
虚数和实数相加或相减可以得出答案吗？
比方说，我有一个叫z的数
比方说，我有一个叫z的数
在我现在教的复合数里，z往往是可变量
在我现在教的复合数里，z往往是可变量
在我现在教的复合数里，z往往是可变量
比方说z=实数5+虚数i
比方说z=实数5+虚数3i
比方说z=实数5+虚数i
就这样
我们就写出了一个实数与虚数的式子了
你也许对于这两种数的相加有些迷惑
但是要注意了
这样他们没有意义的
他们都是不一样的数字
我们会第二的考虑简化
但是这里不能再简化了·
这个实数不能跟这个虚数相加
这个实数不能跟这个虚数相加
让我说清楚一些，这是实数
这是虚数
像这样子的数字在一起，我们称之为复合数

German: 
Was, wenn ich Zahlen hätte, die Summen oder Differenzen von reellen oder imaginären Zahlen wären?
Sagen wir, ich hätte z.B. die Zahl z.
z ist die am meisten verwendete Variable,
wenn es um komplexe Zahlen geht.
Sagen wir, dass z = 5 + 3 ⋅ i.
Wir haben hier also eine
reelle Zahl + eine imaginäre Zahl.
Du willst diese beiden Dinge addieren,
aber das kannst du nicht.
Es würde keinen Sinn ergeben,
da du diese Rechnung nicht weiter vereinfachen kannst.
Du kannst diese reelle Zahl nicht
mit dieser imaginären Zahl addieren.
Diese Zahl ist reell,
und diese Zahl ist imaginär.
So eine Zahl nennen wir komplex.

Bulgarian: 
Ако имам числа, които са
сборове или разлики от реални или имагинерни числа?
Например, да кажем, че имам числото...
Нека кажем, че го нарека z
и z е най-използваната променлива,
когато говорим за
това, което говоря сега, за комплексните числа.
Да кажем, че z е равно на...
равно на реалното число 5 плюс
имагинерното число 3i.
Това нещо ето тук...
имаме реално число плюс имагинерно число.
Може да ти се иска да събереш тези две неща,
но не можеш.
Няма да е логично.
Те един вид отиват в различни...
след секунда ще помислим нагледно за това,
но не можеш повече да опростиш това.
Не можеш да събереш това реални число
с това имагинерно число.
Едно число като това, нека поясня,
това е реално и това е имагинерно.
Едно такова число ще наричаме комплексно число,

Thai: 
ถ้าเกิดผมมีจำนวนที่เป็น
ผลบวกหรือผลต่างของจำนวนจริง
หรือจำนวนจินตภาพล่ะ?
ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าผมมีจำนวน
ลองเรียกมันว่า z
และ z เป็นตัวแปรที่มักใช้บ่อยที่สุด
เวลาเราพูดถึง
สิ่งที่ผมกำลังจะพูดถึง คือจำนวนเชิงซ้อน
สมมุติว่า z เท่ากับ
เท่ากับจำนวนจริง 5 บวก
จำนวนจินตภาพ 3i
ค่านี่ตรงนี้
เรามีจำนวนจริงบวกจำนวนจินตภาพ
คุณอาจอยากบวกสองตัวนี้
แต่คุณบวกไม่ได้
การบวกเข้ากันไม่มีความหมาย
พวกนี้มันไปคนละทาง
เราจะคิดถึงมันเป็นภาพเร็วๆ
แต่คุณไม่สามารถทำจำนวนนี้ให้ง่ายลงได้
คุณบวกจำนวนจริงนี้
กับจำนวนจินตภาพนี้เข้ากันไม่ได้
จำนวนอย่างตัวนี้ ขอผมบอกให้ชัดนะ
นั่นคือจำนวนจริง และนี่คือจำนวนจินตภาพ
จินตภาพ
จำนวนอย่างนี้ เราเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

Czech: 
Co když máme číslo, které je součtem
nebo rozdílem reálného a imaginárního?
Řekněme například, že mám číslo ‚z‘.
a ‚z‘ je nepoužívanější označení,
když se lidé baví o komplexních číslech.
Nechť ‚z‘ se rovná reálnému číslu 5
plus imaginárnímu 3 krát ‚i‘.
Takže tady máme reálné
plus imaginární číslo.
Možná vás láká sečíst tyto 
dvě dohromady, to ale nejde.
Nedávalo by to žádný smysl, každé
z čísel je jiné, jak uvidíte i na obrázku.
Toto už nelze více zjednodušit, nelze
sečíst reálnou a imaginární část.
A u tohohle čísla, snad je to jasné,
tohle je reálná část
a tohle imaginární.

Polish: 
Co jeśli wezmę sumę lub różnicę liczby
rzeczywistej i zespolonej?
Na przykład, powiedzmy, że mam liczbę,
którą nazwę z
z będziemy najczęściej używać, mówiąc o 
tym, o czym właśnie zamierzam powiedzieć:
o liczbach zespolonych.
Weźmy z równe liczbie rzeczywistej 5 dodać
liczbie urojonej 3i.
Czyli ta liczba, mamy tutaj liczbę
rzeczywistą z dodaną liczbą urojoną.
Być może kusi cię, aby dodać te dwie
liczby, ale nie możesz tego zrobić.
To nie miałoby sensu, bo są to liczby
różnego typu, za chwilę to zobrazuję,
ale nie możesz tego już bardziej uprościć,
nie możesz dodać do siebie liczby
rzeczywistej i liczby urojonej.
Liczbę taką jak tę, żeby była jasność: to
jest liczba rzeczywista,
a to liczba urojona.

Chinese: 
像这样子的数字在一起，我们称之为复合数
这复合数有实数也有虚数
有时候你也许也会看见这样的式子
有人会问，实数部分在哪里呀？
复合函数z中哪个部分是实数呢？
那么就是这里的实数5
或者他们也会问
那么虚数部分呢？
复合函数z中哪个部分是虚数呢？
那么在这种函数中
他们会想知道这定义中
与i或者虚数相乘的部分就是虚数部分
就在这儿
那么虚数部分就是3
我们可以这样看
我们可以把这个看成两个次元
不是传统的那种
二次元笛卡尔平面
就是实数是水平线
就像是x轴一样
我们现在就是要把复合数画在图标上
我们现在就是要把复合数画在图标上
那么虚数就是垂直的y轴
水平的x轴就是实数

Arabic: 
عدد مركب
لديه جزء حقيقي وجزء تخيلي
و أحيانا سوف نرى مثل هذا التدوين
أو شخص ما سوف يقول ما هو الجزء الحقيقي ؟
ما هو الجزء الحقيقي من عددنا المركب z ؟
حسنا، ذلك سيكون 5  هناك تماما
وبعد ذلك قد يقولون،
" حسنا، ما هو الجزء التخيلي؟
" ما هو الجزء التخيلي لعددنا المركب z؟
ومن ثم عادة الطريقة لهذه الدالة
يتم تعريف الدالة  انها تريد حقا ان تعرف
ما مضاعفات i هذا هو الجزء التخيلي
هنا تماما
في هذه الحالة سيكون  3
ويمكننا ان نتصور هذا
يمكننا ان نتصور هذا في بعدين
بدلا من وجود التقليدية
للمستوى الاحداثي ثنائية الأبعاد
مع الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي،
و المحور الرأسي
ما نفعله لرسم الأعداد المركبة
هو نحن على المحور الرأسي نرسم
الجزء التخيلي، اذا هذا هوا الجزء التخيلي
على المحور الأفقي نرسم الجزء الحقيقي

English: 
a complex number.
It has a real part and an imaginary part.
Sometimes you'll see notation like this,
or someone will say what's the real part?
What's the real part of
our complex number, z?
Well, that would be the
five right over there.
Then they might say,
"Well, what's the imaginary part?
"What's the imaginary part
of our complex number, z?
And then typically the
way that this function
is defined they really want to know
what multiple of i is this imaginary part
right over here.
In this case it is going to
be, it is going to be three.
We can visualize this.
We can visualize this in two dimensions.
Instead of having the traditional
two-dimensional Cartesian plane
with real numbers on the horizontal
and the vertical axis,
what we do to plot complex numbers
is we on the vertical axis we plot
the imaginary part, so
that's the imaginary part.
On the horizontal axis
we plot the real part.

Korean: 
이런 수는 복소수라고 불러요
실수 부분과 허수 부분이 있어요
가끔은 이런 표기법도 볼거에요
누군가 "복소수 z의 실수 부분이 뭐지?"하고 묻는다면
바로 여기 있는 5일 거에요
또 만약 "허수 부분은 뭐지?"하고 물으면
복소수 z의 허구 부분은 어디죠?
보통 이 함수에서 그들이 원하는 것은
i의 곱인 허구 부분이에요
이 경우에서는 3이겠네요
복소수는 2차원 그림으로 시각적으로 표현할 수 있어요
정통적 데카르트 평면을 가지고 생각해 봐요
가로축은 실수로 놓고 세로축은
복소수를 표현하기 위해서
세로축에는 허구인 부분
즉 허수를 놓는거에요
가로축에는 실수 부분을 놓고요

Thai: 
จำนวนเชิงซ้อน
มันมีส่วนจริง และส่วนจินตภาพ
บางครั้ง คุณจะเห็นสัญลักษณ์แบบนี้
บางคนจะถามคุณว่า ส่วนจริงคืออะไร?
ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน x คืออะไร?
มันจะเท่ากับ 5 ตรงนี้
แล้วเขาอาจถามว่า
ส่วนจินตภาพคืออะไร?
ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน x คืออะไร?
แล้ววิธีที่เขากำหนด
คือเขาอยากรู้ว่า
จำนวนที่คูณกับ i ในส่วนจินตภาพนี้
ตรงนี้เป็นเท่าใด
ในกรณีนี้ มันจะเท่ากับ มันจะเท่ากับ 3
เรามองภาพมันได้
เรามองภาพจำนวนนี้เป็นสองมิติได้
แทนที่จะเป็น
ระนาบคาร์ทีเชียนสองมิติ
ที่มีจำนวนจริงบนแกนนอน
และบนแกนตั้ง
สิ่งที่เราทำคือพลอตจำนวนเชิงซ้อน
บนแกนตั้ง เราพลอต
ส่วนจินตภาพ นั่นคือส่วนจินตภาพ
บนแกนนอน เราพลอตส่วนจริง

Czech: 
Takovýmto číslům říkáme komplexní.
Mají reálnou a imaginární část.
a občas uvidíte takovýhle zápis.
Nebo se někdo může ptát, jaká je reálná
část komplexního čísla ‚z‘.
Tady v tom případě by to bylo 5.
Nebo se může zeptat na imaginární část.
Jaká je imaginární část našeho
komplexního čísla ‚z‘?
A vzhledem k tomu, jak je tato funkce
definovaná, ve skutečnosti chceme vědět,
jakým číslem je vynásobeno ‚i‘.
V našem případě je to 3.
Můžeme si to i znázornit, dá se
to zobrazit ve dvojrozměrném prostoru.
Začneme s tradiční dvojrozměrnou
kartézskou soustavou souřadnic
s reálnými čísly na vodorovné ose,
zatímco na svislé ose,
abychom mohli zobrazit komplexní čísla,
na svislé ose jsou imaginární čísla.
Toto je imaginární část
a na vodorovné ose je reálná část.

Portuguese: 
Nós chamamos esse tipo de número de um número complexo.
Ele tem uma parte real e uma parte imaginária.
Algumas vezes você pode ver uma notação como essa
ou alguém pode dizer: " Qual é a parte real do número complexo Z?"
Nesse caso seria 5, bem aqui.
E então, pode-se perguntar: "Qual é a parte imaginária?"
Qual é a parte imaginária do número complexo Z?
Tipicamente, a forma pela qual essa função é definida depende
do múltiplo da parte imaginária do número, aqui.
Nesse caso, será 3.
Nós podemos visualizar esse número em duas dimensões
Começando a pensar no plano cartesiano bidimensional
Com os números reais no eixo horizontal e os números complexos no eixo vertical
Como nós podemos esboçar esse número complexo
No eixo vertical nós esboçamos a parte imaginária
Essa é a parte imaginária
E no eixo horizontal nós esboçamos a parte real

Polish: 
Liczbę taką jak tę nazywamy liczbą
zespoloną.
Ma ona część rzeczywistą i część urojoną.
I czasami będziesz widywał taką notację
jak tę.
Ktoś może zapytać: "Jaka jest część
rzeczywista naszej liczby z?"
To jest 5, dokładnie tutaj.
Wtedy mógłby zapytać: "Jaka jest część
urojona?"
Jaka jest część urojona naszej liczby z?
I wtedy, zgodnie z definicją funkcji
Im(z) na ogół trzeba powiedzieć
jaką wielokrotnością liczby i jest część
zespolona, ta tutaj.
W tym przypadku to będzie 3.
Możemy zobrazować to w dwóch wymiarach.
Zacznijmy od narysowania standardowej
płaszczyzny dwuwymiarowej
z liczbami rzeczywistymi na osi poziomej
i osią poziomą.
Aby nanieść liczby zespolone oznaczymy
oś pionową jako część urojoną,
to jest część urojona,
i oś poziomą jako część rzeczywistą.

German: 
Eine komplexe Zahl.
Sie hat einen reellen und einen imaginären Teil.
Manchmal steht dort eine Anmerkung,
oder jemand fragt, welches der reelle Teil ist.
Was ist der reelle Teil unserer
komplexen Zahl z? Re(z) = ?
Das wäre die 5 hier drüben.
Oder jemand fragt nach dem imaginären Teil.
Was ist der imaginäre Teil unserer
komplexen Zahl z? Im(z) = ?
So wie diese Funktion aufgebaut ist,
wird meistens danach gefragt,
welches Vielfache von i dieser
imaginäre Teil hier drüben ist.
In diesem Fall haben wir 3.
Wir können das in zwei Dimensionen darstellen.
Anstatt der traditionellen,
zweidimensionalen kartesischen Ebene
mit reellen Zahlen auf der horizontalen
und der vertikalen Achse,
stellen wir die stattdessen die komplexen Zahlen so dar,
dass wir den imaginären Teil auf der vertikalen Achse darstellen,

Bulgarian: 
комплексно число.
Има реална част и имагинерна част.
Понякога ще видиш такова обозначение
или някой ще каже: "Каква е реалната част?"
Каква е реалната част на комплексното ни число, z?
Това тук ще е 5.
После може да кажат:
"Каква е имагинерната част?"
"Каква е имагинерната част на комплексното ни число, z?"
И обикновено начинът, по който тази функция
е определена, те искат да знаят
какво кратно на i е тази имагинерна част
ето тук.
В този случай това ще е 3.
Можем да представим това нагледно.
Можем да визуализираме това в 2 измерения.
Вместо да имаме традиционната
двуизмерна картезианска равнина
с реални числа на хоризонталната
и вертикалната оси,
ние поставяме комплексните числа като
поставяме на вертикалните оси
имагинерната част – това е имагинерната част.
На хоризонталните оси поставяме реалната част.

Czech: 
Zakreslíme reálnou část, přesně tak,
takže například u tohohle ‚z‘,
5 plus 3 ‚i‘.
Reálná část je 5, takže
najdeme 1, 2, 3, 4, 5.
Tady je 5, přesně zde.
Imaginární část je 3.
Jedna, dva, tři.
Takže v naší komplexní rovině
bude naše číslo přesně tady.
Tady to je způsob, jak zobrazit
‚z‘ v komplexní rovině.
Je to 5 na reálné ose.
A 3 na imaginární ose.
Můžeme vyznačit i jiná
komplexní čísla.
Řekněme, že máme komplexní číslo ‚a‘,
které se rovná například -2 plus ‚i‘.
Kde v grafu se bude nacházet?
Reálná část je -2

Chinese: 
就像这样画出实数坐标
就像这样画出实数坐标
比如说这个z=5+3i
比如说这个z=5+3i
实数部分是5，因此标上5
实数部分是5，因此标上5
这就是5啦
而虚数部分是3
3在这儿，这就是复合函数的图表啦
在这复合图标上我们可以看出
这里的数字z，就是我们在图表上画出来的z了
这里的数字z，就是我们在图表上画出来的z了
这里的数字z，就是我们在图表上画出来的z了
这实数部分是是正5
这虚数部分是正3
因此我们就可以把复合数画出来了
或者说我们有一组复合数a
他等于-2+i
他等于-2+i
那么我们该怎么标记出来呢？
那么实数部分是-2
那么实数部分是-2
虚数部分是i

Arabic: 
نرسم الجزء الحقيقي تماما كهذا
نرسم الجزء الحقيقي .
على سبيل المثال، z هنا تماما
هو 5 زائد 3i
الجزء الحقيقي هو 5 لذلك سنذهب
1، 2، 3، 4، 5
هذا هو 5  هناك تماما
الجزء التخيلي هو 3
1، 2، 3 وهكذا. على المستوى الإحداثي للمركب
على المستوى الاحداثي للمركب سنقوم بتصور
هذا الرقم هنا تماما
هذا هنا تماما هو كيف
يمكننا ان نتصور z على المستوى الاحداثي للمركب
إنها خمسة، موجب خمسة
في الاتجاه الحقيقي،
موجب ثلاثة في الاتجاه التخيلي
يمكننا رسم الأرقام المركبة الأخرى.
دعونا نفترض ان لدينا العدد المركب a
الذي يساوي دعونا نقول انه  2-
زائد i
اين ارسم هذا؟
حسنا، الجزء الحقيقي هو 2-
-2
و الجزء التخيلي سيكون

German: 
und auf der horizontalen Achse
den reellen Teil darstellen.
Für unser Beispiel z haben wir 5 + 3i.
Der reelle Teil ist 5,
also zählen wir 1, 2, 3, 4, 5 ab,
und markieren die 5.
Der imaginäre Teil ist 3.
1, 2, 3.
Auf der komplexen Ebene würden
wir diese Zahl genau hier darstellen.
So würden wir z auf der komplexen Ebene darstellen.
+5 in die reelle Richtung,
+3 in die imaginäre Richtung.
Wir könnten weitere komplexe Zahlen darstellen.
Nehmen wir z.B. die komplexe Zahl a = -2 + i.
Wo würde ich sie darstellen?
Der reelle Teil ist -2,

Portuguese: 
Nós esboçamos dessa forma a parte real
No exemplo do número Z, aqui em que temos cinco mais três i.
A parte real é cinco. Então seria um, dois, três, quatro,cinco.
Aqui está o cinco, bem aqui.
A parte imaginária é 3.
um, dois,três.
Então, no plano complexo, nós visualizamos o número nesse ponto.
Nesse ponto aqui visualizamos o número Z no plano complexo.
com 5 positivo na direção real
e positivo 3 na direção imaginária
Nós podemos esboçar outros números complexos
Digamos, nós temos o número complexo A
Que digamos que é igual a menos 2 mais i. Como nós esboçaríamos esse número?
Bom, a parte real é menos dois

Bulgarian: 
Поставяме реалната част ето така.
Поставяме реалната част.
Например, z ето тук,
което е 5 плюс 3i,
реалната част е 5, така че ще
изминем 1, 2, 3, 4, 5.
Това ето тук е 5.
Имагинерната част е 3.
1, 2, 3 и така, на комплексната равнина,
на комплексната равнина ще представим нагледно
това число ето тук.
Това ето тук е как
ще визуализираме z на комплексната равнина.
Това е +5 в реалната посока,
+3 в имагинерната посока.
Можем да поставим други комплексни числа.
Да кажем, че имаме комплексното число
а, което е равно на, да кажем, че е
-2 плюс i.
Къде ще поставя това?
Реалната част е -2,
-2,
а имагинерната част ще е –

English: 
We plot the real part just like that.
We plot the real part.
For example, z right over here
which is five plus three i,
the real part is five so we would go
one, two, three, four, five.
That's five right over there.
The imaginary part is three.
One, two, three, and so
on the complex plane,
on the complex plane we would visualize
that number right over here.
This right over here is how we
would visualize z on the complex plane.
It's five, positive five
in the real direction,
positive three in the imaginary direction.
We could plot other complex numbers.
Let's say we have the complex number a
which is equal to let's
say it's negative two
plus i.
Where would I plot that?
Well, the real part is negative two,
negative two,
and the imaginary part is going to be

Polish: 
Rysujemy część rzeczywistą w ten sposób.
Dla przykładu, dla z równego 5 dodać 3i
częścią rzeczywistą jest 5. Czyli idziemy
po osi: 1, 2, 3, 4, 5.
Mamy 5, dokładnie tutaj.
Część rzeczywista wynosi 3.
1, 2, 3.
Zatem przy pomocy płaszczyzny zespolonej
możemy zobrazować liczbę taką jak tę.
W ten sposób możemy zobrazować z na
płaszczyźnie zespolonej.
Mamy dodatnie 5 w kierunku rzeczywistym
oraz dodatnie 3 w kierunku urojonym.
Możemy rysować inne liczby zespolone.
Załóżmy, że mamy liczbę zespoloną a,
która jest równa, załóżmy, -2 dodać i.
Jak to narysować?
Dobrze, część rzeczywista wynosi -2, a

Korean: 
실수 부분은, 이렇게 평소같이, 실수를 놓아요
예를 들면 여기 5 +3i인 z의 경우에는
실수 부분이 5에요. 그래서 하나, 둘 셋, 넷 다섯
바로 여기에 5가 있네요
허수 부분은 3이에요
하나, 둘, 셋
그래서 복소평면에서는 여기 이 숫자를
이렇게 표현하는 것이 복소평면에서
z를 시각화하는 방법이에요
실수 방향으로는 +5
허수 방향으로는 +3
다른 복소수도 표현할 수 있어요
예를들면, 우리에게 마이너스 2 더하기 i라는
복소수가 있다고 쳐요. 그걸 어떻게 표현하죠?
실수 부분이 -2 고

Thai: 
เราพลอตส่วนจริงอย่างนั้น
เราพลอตส่วนจริง
ตัวอย่างเช่น z ตรงนี้
ซึ่งก็คือ 5 บวก 3i
ส่วนจริงคือ 5 เราจึงไป
1, 2, 3, 4, 5
นั่นคือ 5 ตรงนั้น
ส่วนจินตภาพคือ 3
1, 2, 3 แล้วระนาบเชิงซ้อน
บนจำนวนเชิงซ้อน เรามองภาพ
จำนวนนั้นตรงนั้นได้
จุดนี่ตรงนี้คือวิธีที่เรา
มองภาพ z บนระนาบเชิงซ้อน
มันคือ 5, บวก 5 ในทิศจริง
บวก 3 ในทิศจินตภาพ
เราพลอตจำนวนเชิงซ้อนอื่นๆ ได้
สมมุติว่าเรามีจำนวนเชิงซ้อน a
ซึ่งเท่ากับ สมมุติว่ามันคือลบ 2
บวก i
ผมจะพลอตมันที่ไหน?
ส่วนจริงคือลบ 2
ลบ 2
และส่วนจินตภาพจะเป็น

English: 
you could imagine this as plus one i
so we go one up.
It's going to be right over there.
That right over there
is our complex number.
Our complex number a
would be at that point
of the complex,
complex, let me write that,
that point of the complex plane.
Let me just do one more.
Let's say you had a complex number b
which is going to be,
let's say it is, let's say
it's four minus three i.
Where would we plot that?
Well, one, two, three, four,
and then let's see minus one, two, three.
Our negative three gets
us right over there.
That right over there would be
the complex number b.

Korean: 
허수 부분이, 예상하다시피 +1i 에요
위로 한 칸 가서 바로 여기 있겠네요
바로 여기에 복소수 A가 있어요
복소평면에서 이 점에 복소수 A가 위치해 있네요
하나 더 해봐요
이번에는 복소수 B가 있다고 해봐요
4 빼기 3i 라고 하지요
그걸 어떻게 그리죠? 하나, 둘, 셋, 넷
그리고 보면 아래로 하나, 둘, 셋, 마이너스 삼이
우릴 여기로 데려다 주네요
바로 여기가 복소수 B이겠네요

Bulgarian: 
можеш да си представиш това като
+1i, тоест, преминаваме с 1 нагоре.
Това ще е ето тук.
Това тук е нашето комплексно число.
Комплексното ни число ще е в тази точка
на комплексната...
нека запиша това,
тази точка на комплексната равнина.
Нека направя още един пример.
Да кажем, че имаш комплексното число
b, което ще е...
да кажем, че е 4 минус 3i.
Къде ще поставим това?
1, 2, 3, 4.
И после, да видим, -1, 2, 3.
Нашето -3 ни води ето дотук.
Това ето тук ще е
комплексното число b.

Thai: 
คุณนึกได้ว่าส่วนนี้คือ บวก 1i
เราจึงขึ้นไป 1
มันจะอยู่ตรงนี้
จุดนั่นตรงนี้คือจำนวนเชิงซ้อนของเรา
จำนวนเชิงซ้อนของเรา a จะเป็นจุดนั้น
ของเชิงซ้อน
ขอผมเขียนนะ
จุดนั้นของระนาบเชิงซ้อน
ขอผมทำอีกตัวนะ
สมมุติว่าเรามีจำนวนเชิงซ้อน b
ซึ่งจะเท่ากับ
สมมุติว่ามันคือ สมมุติว่ามันคือ 4 ลบ 3i
เราจะพลอตมันที่ไหน?
1, 2, 3, 4
แล้วลองดู ลบ 1, 2, 3
ลบ 3 พาเรามาตรงนี้
จุดนั่นตรงนั้นจะ
เป็นจำนวนเชิงซ้อน b

German: 
und der imaginäre Teil ist 1,
also gehen wir 1 nach oben.
Genau hier.
Das ist unsere komplexe Zahl.
Unsere komplexe Zahl a wäre an 
diesem Punkt der komplexen Ebene.
Machen wir noch ein Beispiel.
Nehmen wir die komplexe Zahl b = 4 - 3i.
Wo zeichnen wir sie ein?
Wir zählen 1, 2, 3, 4,
und dann -1, -2, -3.
Wir kommen genau hier an.
Das hier ist unsere komplexe Zahl b.

Czech: 
a imaginární část je 1,
takže jdeme o 1 nahoru, což je zde.
Takže tohle je naše komplexní číslo ‚a‘.
Komplexní číslo ‚a‘ bude přímo zde,
v tomto bodě komplexní roviny.
Udělám ještě jedno.
Řekněme, že máme komplexní číslo ‚b‘.
Které se bude rovnat 4 minus 3 ‚i‘.
Kde se bude nacházet?
1, 2, 3, 4.
A potom, podívejme, -1, -2, -3.
To nás dostává sem.
Takže přesně tady
bude komplexní číslo ‚b‘.

Portuguese: 
e a parte imaginária é, você deve imaginar esse ponto como positivo um i
Então nós subimos um ponto, que se encontra bem aqui.
Então esse ponto é o número complexo A.
O número complexo A seria nesse ponto, esse ponto do plano complexo.
Deixe-me fazer um outro exemplo.
Digamos que nós temos o número complexo B.
Esse número é quatro menos três i
Onde nós esboçaríamos esse número? Um, dois, três, quatro.
E então, vejamos, um, dois, três ou menos três
Nos deixa nesse ponto aqui
Então nesse ponto nós temos o número complexo B.

Arabic: 
يمكنك ان تتخيل هذا زائد 1مضروب في i
لذلك نذهب واحد للأعلى
انها ستكون هناك هناك تماما
هذا هناك تماما هو عددنا المركب
سيكون عددنا المركب a نقطة
من المركب
مركب، واسمحوا لي أن أكتب
هذه النقطة من المستوى الإحداثي للمركب
واسمحوا لي فقط بالقيام  بواحدة اخرى
لنفترض ان لديك عدد مركب b
الذي سيكون
دعونا نقول انها دعونا نقول انها 4 ناقص 3i
أين نرسم هذا
حسنا، 1، 2، 3، 4
ومن ثم دعونا نرى 1- ،  2- ، 3-
لدينا 3- يحصل لنا هناك تماما
هذا هناك تماما سيكون
العدد المركب b

Chinese: 
你可以想成有一个i
因此虚数部分是1
那么就在这里
那么这个就是我们的复合数啦
复合数a会是这个点
复合数a会是这个点
让我写上复合数图表
让我写上复合数图表
在做最后一题
这有个复合数b
这等于
这等于4-3i
那么该怎么标记呢？
恩这里是4
这里是-3
那么-3就在这儿
这个点就是复合数b的点啦
这个点就是复合数b的点啦

Polish: 
część urojona, możesz to sobie wyobrazić,
wynosi i.
Zatem idziemy o 1 w górę i to będzie
dokładnie tutaj.
Zatem tutaj mamy naszą liczbę zespoloną a.
Nasza liczba a znajduje się w tym punkcie,
w tym punkcie płaszczyzny zespolonej.
Zrobię jeszcze jeden przykład.
Weźmy liczbę zespoloną b,
która wynosi 4 minus 3i.
Gdzie to narysujemy? 1, 2, 3, 4.
I teraz, spójrz, -1, -2, -3
prowadzi nas dokładnie tutaj,
czyli dokładnie tu rysujemy liczbę
zespoloną b.
