
Bulgarian: 
Имаме дадено, че f от х е равно
на модул (абсолютна стойност)
от х плюс 2.
Искаме да изчислим определен
интеграл
от минус 4 до 0, f от x, dx.
Отново ти препоръчвам да спреш видеото
и да видиш можеш ли да се справиш
самостоятелно.
Когато първо се сблъскаш с този
пример,
може да се объркаш малко.
Как да намериш примитивната функция
на функция с модул?
Един от възможните начини
е да запишеш функцията без модула.
Може да го направим, като
я представим
като частично зададена функция.
Начинът, по който ще го направя,
е да помисля за интервали,
където изразът под знака за модул,
е положителен,
и други интервали, в които всичко,
което е под знака за модул, 
е отрицателно.
А точката, където става тази смяна,
е мястото, където х плюс 2
е равно на 0,
или х е равно на минус 2.
Нека да помислим върху интервалите
х < –2 и х е по-голямо 
или равно на –2.

Korean: 
f(x)=｜x+2｜라는
함수가 있습니다
-4부터 2까지의
f(x)의 정적분을 구하고 싶습니다
이제 영상을 잠시 멈추고
문제를 한번 풀어보시길 바랍니다
만약 처음 해보시는 것이라면
절댓값이 있는 함수의
원시함수를 구하는 것이
조금 어려울 수 있습니다
문제를 푸는 해법은
절댓값 기호 없이 f(x)를 표현하는 것인데
x값의 범위를 나누면
그렇게 할 수 있습니다
절댓값 안에 있는 값이
양수일 때와
음수일 때로
범위를 나누어서
생각해 보는 방식으로
문제를 해결할 것입니다
부호가 바뀌는 지점은
x+2=0일 때
즉 x=-2일 때입니다.
이제는 x의 범위가
x<-2일 때와
x≥-2 일때로 나누어봅시다

English: 
- [Voiceover] So we
have f of x being equal
to the absolute value of x plus two.
And we wanna evaluate
the definite integral
from negative four to zero of f of x, dx.
And like always, pause this video
and see if you can work through this.
Now when you first do this you might
stumble around a little bit, because
how do you take the anti-derivative
of an absolute value function?
And the key here is to,
one way to approach it
is to rewrite f of x
without the absolute value
and we can do that by rewriting it
as a piecewise function.
And the way I'm gonna
do it, I'm gonna think
about intervals where whatever we take
inside the absolute value's
going to be positive
and other intervals where everything
that we take inside the absolute value
is going to be negative.
And the point at which we change
is where x plus two is equal to zero
or x is equal to negative two.
So let's just think about the intervals
x is less than negative
two and x is greater than
or equal to negative two.

iw: 
אז 
יש לנו f של x שווה
לערך המוחלט של x פלוס שניים.
ואנחנו רוצים לחשב
את האינטגרל המסוים
ממינוס ארבע לאפס של f של dx,x.
וכמו תמיד, השהו  את הוידאו הזה
ותראו אם אתם יכולים לפתור את זה.
עכשיו כשאתם עושים את זה לראשונה
נתקעי קצת, כי
איך אפשר למצוא את האנטינגזרת
של פונקצית הערך המוחלט?
והמפתח כאן ל,
דרך אחת לגשת לזה
היא לשכתב את f של x
ללא הערך המוחלט
ואנחנו יכולים לעשות את זה על ידי שכתוב
כפונקציה מקוטעת.
והדרך בה אני הולך
לעשות את זה, אני הולך לחשוב
על קטעים בהם כל מה שאנחנו לוקחים
בתוך הערך המוחלט 
הולך להיות חיובי
וקטעים אחרים שבהם כל
שאנחנו לוקחים בתוך הערך המוחלט
הולך להיות שלילי.
והנקודה שבה אנו משנים
היא כאשר x פלוס שתיים שווה אפס
או x שווה מינוס שתי.
אז בואו פשוט נחשוב על הקטעים
ש x קטן ממינוס
שתיים ו-x גדול מ-
או שווה למינוס שתיים.

Thai: 
เรามี f ของ x เท่ากับ
ค่าสัมบูรณ์ของ x บวก 2
และเราอยากหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต
จากลบ 4 ถึง 0 ของ f ของ x dx
เหมือนเดิม หยุดวิดีโอนี้
ลองดูว่าคุณคิดได้ไหม
ตอนคุณทำตอนแรก คุณอาจ
สะดุดเล็กน้อย เพราะ
คุณจะหาปฏิยานุพันธ์
ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ได้อย่างไร?
ประเด็นตรงนี้คือว่า วิธีทำ
อย่างหนึ่งคือเขียน f ของ x 
โดยไม่ใช้ค่าสัมบูรณ์
และเราทำได้โดยเขียนมันใหม่
เป็นฟังก์ชันเป็นส่วนๆ
และวิธีที่ผมทำ ผมคิด
ถึงช่วงที่เรามี
ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นบวก
และอีกช่วงมีข้างใน
ค่าสัมบูรณ์
เป็นลบ
และจุดที่เราเปลี่ยน
คือจุดที่ x บวก 2 เท่ากับ 0
หรือ x เท่ากับลบ 2
ลองคิดช่วง
x น้อยกว่าลบ 2 และ x มากกว่า
เท่ากับลบ 2

Czech: 
Máme funkci f(x) rovnu
absolutní hodnotě z x plus 2.
A my chceme spočítat určitý integrál
od -4 do 0 f(x) dx.
A jako obvykle si zastavte video
a zjistěte, jestli to zvládnete sami.
Ze začátku se možná trochu zarazíte,
protože jak zintegrovat
funkci s absolutní hodnotou?
Řešením je,
nebo tedy jednou možností je,
že přepíšeme f(x)
bez absolutní hodnoty,
a to můžeme udělat tak,
že ji nadefinujeme po částech.
A uděláme to tak,
že se zamyslíme nad intervaly,
ve kterých cokoli,
co dáme do absolutní hodnoty,
dá kladnou hodnotu,
a nad intervaly,
kde všechno,
co bude v absolutní hodnotě,
bude záporné.
A ten bod,
ve kterém se to bude měnit,
je ten, kdy x plus 2 je rovno 0,
neboli když x je rovno -2.
Vezměme tedy intervaly
x je menší než -2
a x je větší nebo rovno -2.

Czech: 
Tady by mohlo být menší nebo rovno
a tady by pak bylo větší než,
v obou případech by to vyhovovalo
této absolutní hodnotě,
je to spojitá funkce.
Pojďme na ten lehčí případ.
Když je x větší nebo rovno -2,
x plus 2 bude kladné,
neboli bude větší nebo rovno 0,
takže absolutní hodnota
bude prostě x plus 2.
Bude to tedy x plus 2
pro x větší nebo rovno -2.
A co když je x menší než -2?
Když x je menší než -2,
x plus 2 bude záporné,
a když vezmeme
absolutní hodnotu záporného čísla,
dostaneme jeho opačnou hodnotu.
Takže toto bude -(x plus 2).
A abyste to opravdu pochopili,
protože toto je upřímně ta nejtěžší část
a je to spíš algebra
než diferenciální počet,
nakresleme si tu absolutní funkci,
aby to bylo jasné.

Thai: 
และอันนี้จะน้อยกว่า
หรือเท่ากับ ในกรณีนี้ จะมากกว่า
แบบไหนก็ได้ มันจะเท่ากับ
ค่าสัมบูรณ์นี้ นี่คือฟังก์ชันต่อเนื่องตรงนี้
และเมื่อ ลองกับกรณีง่ายก่อน
เมื่อ x มากกว่าเท่ากับลบ 2
แล้ว x บวก 2 จะเป็นบวก
หรือมันจะมากกว่า
เท่ากับ 0 และค่าสัมบูรณ์ของมัน
จะเท่ากับ x บวก 2
มันจะเท่ากับ x บวก 2
เมื่อ x มากกว่าเท่ากับลบ 2
แล้วเมื่อ x น้อยกว่าลบ 2 ล่ะ?
เมื่อ x น้อยกว่าลบ 2
x บวก 2 จะเป็นลบ
แล้วถ้าคุณหาค่าสัมบูรณ์
ของจำนวนลบ คุณจะหา
ค่าตรงข้ามของมัน
อันนี้จึงเท่ากับลบ x บวก 2
และจะว่าไปแล้ว
นี่คือส่วนที่ยากที่สุดของปัญหานี้
นี่เป็นเรื่องของพีชคณิตมากกว่าแคลคูลัส
ขอผมวาดฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
เพื่อให้ชัดเจนขึ้นนะ
นั่นคือแกน x นั่นคือแกน y

Korean: 
그리고 이 함수는 연속함수이기 때문에
x<-2가 아니라 x≤-2라고 해도 무방합니다
절댓값 기호 안의 값이
어찌되었든 0이 되어 부호는 상관없기 때문이죠
이제 두 가지 경우 중 더 쉬운 것을 해봅시다
x≥-2일때
x+2는 양수이거나
0과 크거나 같기 때문에
절댓값은 똑같이
x+2가 됩니다
즉 x≥-2일때
x+2가 됩니다
x<-2일때는 어떻게 될까요
x<-2일때는
x+2는 음수가 됩니다
음수의 절댓값을 구하면
부호가 반대로 되죠
따라서 값은
-(x+2)가 됩니다
이 부분이 이 영상의 가장 어려운 부분이기도 하고
미적분보다는 대수의 성격이
강한 부분이기 때문에
이해를 돕기 위해
절댓값의 함수의 그래프를 그려보겠습니다
x축과 y축을 그리고

Bulgarian: 
Това може да е по-малко или равно 
и тогава това ще бъде по-голямо.
Както и да се представи, ще бъде
равно на
ето тази абсолютна стойност, което
е непрекъсната функция.
Нека да разгледаме по-лесния
вариант.
Когато х е по-голямо или равно
на минус 2.
Тогава х плюс 2 ще бъде положителна
стойност.
Ще бъде по-голямо или равно на 0. 
Тогава модул от функцията
ще бъде равно просто на х плюс 2.
Ще бъде равно на х плюс 2,
когато х е по-голямо или равно
на минус 2.
А какво се получава, когато
х е по-малко от минус 2?
Когато х е по-малко от минус 2,
х плюс 2 ще бъде отрицателна
стойност.
Тогава, когато търсим абсолютна
стойност
от отрицателно число, ще получим 
противоположното му.
Следователно това ще бъде равно
на минус х плюс 2.
Искаме да разберем това наистина,
защото това
е най-трудната част от задачата.
Всъщност това е повече алгебра,
отколкото анализ.
Нека да начертая функцията от
абсолютна стойност,
за да стане по-ясно.
Това е моята ос х, а това е моята ос у.

English: 
And this could have been less than
or equal, in which case this
would have been greater than,
either way it would
have been equal to this
absolute vale, this is a
continuous function here.
And so when, let's do the easier case.
When x is greater than
or equal to negative two
then x plus two is going to be positive,
or it's going to be greater than
or equal to zero, and so
the absolute value of it
is just going to be x plus two.
So it's going to be x plus two
when x is greater than
or equal to negative two.
And what about when x is
less than negative two?
Well when x is less than negative two,
x plus two is going to be negative,
and then if you take the absolute value
of a negative number you're gonna take
the opposite of it.
So this is going to be
negative x plus two.
And to really help grok
this, 'cause frankly
this is the hardest part
of what we're doing,
and really this is more
algebra than calculus.
Let me draw the absolute value function
to make this clear.
So that is my x-axis, that is my y-axis

iw: 
וזה היה יכול להיות פחות מ
או שווה ל, ובמקרה זה
זה יהיה גדול יותר,
כך או כך זה זה
היה שווה
לערך המוחלט הזה, זו
פונקציה רציפה כאן.
וככה כאשר, בוא נעשה את זה קל יותר.
כאשר x גדול
או שווה ממינוס שתיים
ואז X פלוס שתיים הולך להיות חיובי,
או שזה הולך להיות גדול מ
או שווה לאפס, ולכן
הערך המוחלט של זה
הולך להיות רק X ועוד שתיים.
אז זה הולך להיות X ועוד שתיים
כאשר x גדול מ-
או שווה למינוס שתיים.
וכאשר x הוא
פחות ממינוס שתיים?
ובכן כאשר x הוא פחות ממינוס שתיים,
ה x פלוס שתים הולך להיות שלילי,
ואז אם אתם לוקחים את הערך המוחלט
של מספר שלילי אתם הולכים לקחת
את ההיפך מזה.
אז זה הולך להיות
מינוס x פלוס שתיים.
ובאמת כדי לעזור לכם להבין את
זה, "כי למעשה
זה החלק הכי קשה
של מה שאנחנו עושים,
ובאמת זה יותר
אלגברה מחדו"א.
הרשו לי לצייר את פונקציית הערך המוחלטת
כדי להבהיר זאת.
אז זה הוא ציר ה- x שלי, כי ציר ה- y שלי

English: 
and let's say we're here at negative two.
And so when we are less
than the negative two,
when x is less than negative two my graph
is going to look like this.
It is going to look something,
it's gonna look like that.
And when we are greater than negative two,
do that in a different
color, when we are greater
than negative two it's
going to look like this.
It's going to look like that.
And so notice this is in blue we have,
this is the graph x plus two, we can say
this is a graph of y equals x plus two.
And what we have in
magenta right over here,
this is the graph of negative x minus two.
It has a negative slope and we intercept
the y-axis at negative two.
So it makes sense.
There's multiple ways that
you could reason through this.
Now once we break it up then we can
break up the integral.

Czech: 
Takže toto je moje osa x,
toto je moje osa y
a řekněme, že tady je -2.
A když je to menší než -2,
když x je menší než -2,
můj graf bude vypadat takto.
Bude vypadat nějak...
Bude vypadat nějak takto.
A když je to větší než -2...
Udělám to jinou barvou.
Když je to větší než -2,
bude to vypadat takto.
Bude to vypadat takto.
Všimněte si, že to modré
je graf x plus 2,
můžeme říct,
že je to graf y rovná se x plus 2.
A to fialové tady,
to je graf -x minus 2.
Má klesající sklon
a protíná osu y v -2.
Takže to dává smysl.
Je několik způsobů, jak to zdůvodnit.
Když to máme rozdělené,
můžeme rozdělit ten integrál.

Thai: 
และสมมุติว่าเราอยู่ตรงนี้ที่ลบ 2
และเมื่อเราน้อยกว่าลบ 2
เมื่อ x น้อยกว่าลบ 2 กราฟของผม
จะเป็นแบบนี้
มันจะเป็นแบบ
มันจะเป็นแบบนั้น
แล้วเมื่อเรามากกว่าลบ 2
ใช้อีกสีหนึ่ง เมื่อเรามากกว่า
ลบ 2 มันจะเป็นแบบนี้
มันจะเป็นแบบนี้
แล้วสังเกตดู นี่คือตัวสีฟ้าที่เรามี
นี่คือกราฟ x บวก 2, เราบอกได้
ว่านี่คือกราฟของ y เท่ากับ x บวก 2
และสิ่งที่เรามีสีบานเย็นตรงนี้
นี่คือกราฟของลบ x ลบ 2
มันมีความชันเป็นลบ และเราตัด
แกน y ที่ลบ 2
มันสมเหตุสมผล
คุณให้เหตุผลได้หลายวิธี
ทีนี้ เราแบ่งมัน เราก็แบ่ง
อินทิกรัลได้

iw: 
ובואו נגיד שאנחנו כאן במינוס שתיים.
וכך כאשר אנחנו נמצאים בפחות
ממינוס שתיים,
כש x הוא פחות ממינוס שתיים הגרף שלי
הוא הולך להיראות ככה.
זה הולך להיראות משהו,
זה הולך להיראות ככה.
וכאשר אנחנו יותר מאשר מינוס שתיים,
לעשות את זה בצבע שונה
, כשאנחנו גדולים יותר
ממינוס שתיים זה
הולך להיראות כך.
זה הולך להיראות ככה.
ואז שימו לב שבכחול יש לנו,
זהו הגרף x פלוס שתיים, נוכל לומר
שזהו הגרף של y שווה ל X ועוד שניים.
ומה שיש לנו
בגון ורוד ליד,
זהו הגרף של x שלילי מינוס שתיים.
יש לו שיפוע שלילי ואנחנו חותכים
את ציר ה-y במינוס שתיים.
אז זה הגיוני.
יש דרכים רבות בהן אתם יכולים להגיע למסקנה הזו.
עכשיו ברגע שאנחנו שוברים את זה אז אנחנו יכולים
לשבור את האינטגרל.

Korean: 
x=-2 라는 지점을 생각해 봅시다
-2보다 작은 값을 대입할 때
즉 x<-2일 때 그래프는
이러한 모양을 보이게 됩니다
이러한 모양을 보이게 됩니다
이러한 모양을 보이게 됩니다
x≥-2일때는
다른 색으로 그리겠습니다
x≥-2일때는
이러한 모양을 보이게 됩니다
파란색 그래프는
함수 y=x+2의 그래프와 같습니다
함수 y=x+2의 그래프와 같습니다
붉은색 그래프는
함수 y=-x-2의 그래프와 같습니다
음의 기울기를 가지고 있고
y절편은 -2입니다
그렇습니다
이제 문제를 해결하는 방법은 여러 가지인데요
두 부분으로 분리하여
생각해 볼 수 있습니다

Bulgarian: 
Нека да кажем, че се намираме ето
тук, в точката минус 2.
Когато х е по-малко от минус 2,
то графиката на функцията
ще изглежда ето така.
Ще изглежда като
нещо такова.
А когато х е по-голямо от минус 2...
ще го запиша с различен цвят...
то функцията ще изглежда по следния
начин.
Ще изглежда ето така.
Забележи – ето това в синьо 
е графиката на х + 2.
Може да кажем, че това е графиката 
на у = х + 2.
А това, което имаме в лилаво ето тук,
е графиката от –х – 2.
Притежава отрицателен наклон
и пресича оста у в точката –2.
Има логика.
Има много начини, по които може да
разсъждаваш за това.
Сега, след като вече веднъж сме
разделили функцията,
може да разделим интеграла.

Czech: 
Můžeme říct,
že toto napsané tady je rovno
integrálu od -4 do 2,
pardon od -4 do -2 f(x),
což v tomto případě
bude -x minus 2.
Jen jsem tady roznásobil
závorku tím minusem.
dx a pak plus určitý integrál
od -2 do 0
x plus 2 dx.
A jen abychom opravdu věděli,
co tady děláme,
když tady je -4
a tady je 0,
ten první integrál je tato oblast tady.
To je oblast pod křivkou -x minus 2,
pod tou křivkou nebo tedy přímkou,
a nad osou x.
A ten druhý integrál je tato oblast

Thai: 
เราบอกได้ว่า สิ่งที่เราเขียนตรงนี้
นี่คือเท่ากับอินทิกรัล
จากลบ 4 ถึง 2 โทษที ลบ 4
ถึงลบ 2 ของ f ของ x ซึ่งก็คือในกรณีนั้น
มันจะเท่ากับลบ x ลบ 2
ผมแจกแจงเครื่องหมายลบไป
dx แล้วบวกอินทิกรัลจำกัดเขต
จากลบ 2 ถึง 0
ของ x บวก 2, dx
และเพื่อให้แน่ใจว่าเรารู้
สิ่งที่เราทำตรงนี้ ถ้านี่คือลบ 4
ตรงนี้ นี่คือ 0 อินทิกรัลแรกนี้
จะให้พื้นที่นี่ตรงนี้
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ลบ x ลบ 2
ใต้เส้นโค้งนั้น หรือใต้เส้นตรงนั้น
กับเหนือแกน x
และอินทิกรัลที่สองจะให้พื้นที่นี่
ตรงนี้ระหว่าง x บวก 2

Bulgarian: 
Може да кажем, че това, което
записахме тук,
е равно на интеграл от минус 4 то 2...
О, извинявам се! От –4 до –2, 
f от x, dx.
Това е ето този случай.
Функцията ще бъде минус х минус 2.
Просто умножих израза в скобите
по минуса отпред.
Следва плюс определен интеграл
от минус 2 до 0,
от х плюс 2, dx.
Нека да се уверя, че знаем какво 
правим. Ако това тук е минус 4,
т.е. ето тук, това е 0, то първият
интеграл
ще ни даде ето тази площ тук.
Това е площта под кривата
минус х минус 2,
т.е. под тази крива или права, и над
оста х.
А вторият интеграл представлява ето
тази площ,

English: 
We could say that what we wrote here,
this is equal to the integral
from negative four to
two, sorry negative four
to negative two of f of
x, which is in that case
it's going to be negative x minus two,
I just distributed the
negative sign there.
Dx, and then plus the definite integral
going from negative two to zero
of x plus two, dx.
And just to make sure we know
what we're doin' here,
if this is negative four
right over here, this is
zero, that first integral
is gonna give us this
area right over here.
What's the area under the
curve negative x minus two,
under that curve or under that
line and above the x-axis.
And the second integral
is gonna give us this area
right over here between x plus two

iw: 
אנחנו יכולים לומר כי מה שכתבנו כאן,
זה שווה לאינטגרל
ממינוס ארבע  מצטער מינוס ארבע
למינוס שתיים של f של
x, שנמצא במקרה הזה
זה הולך להיות מינוס x מינוס שתיים,
אני פשוט חילקתי את זה
בסימן שלילי שם.
Dx, ולאחר מכן פלוס האינטגרל המסוים
הולך ממינוס שתיים לאפס
של x פלוס שניים, DX.
ורק כדי לוודא שאנחנו יודעים
מה אנחנו עושים פה,
אם זה מינוס ארבע
ממש כאן, זה 
אפס, כי האינטגרל הראשון
הוא הולך לתת לנו זה
השטח כאן.
מה השטח מתחת
לעקומה מינוס x מינוס שתיים,
מתחת לעקום או מתחת
לקו ומעל ציר ה- x.
והאינטגרל השני הולך לתת לנו את השטח הזה
כאן בין x פלוס שתיים

Korean: 
첫 번째 부분은
f(x)의 -4부터 -2까지의 정적분으로
계산할 수 있습니다
f()x는 이 경우에
-x-2겠죠
위에 있는 마이너스를 분배 한 것입니다
두 번째 부분은
f(x)의 -2부터 0까지의 정적분으로
계산할 수 있습니다
첫 번쨰 정적분은
이 지점이 -4이고
이 지점은 0일떄
제가 지금 칠하는 부분의 넓이를 의미합니다
y=-x-2의 그래프와
x축 사이의 부분의 넓이이죠
두 번째 정적분은 -2에서부터 0까지의
y=x+2의 그래프와

Bulgarian: 
ето тук между х + 2 и оста х, 
от минус 2 до 0.
Нека да изчислим тези интеграли.
Може да го направим и чрез триъгълници.
Нека да го направим обаче алгебрично
или аналитично.
На какво е равна примитивната 
функция на минус х?
На минус х квадрат върху 2.
И след това имаме минус 2.
Следователно примитивната функция
е минус 2х.
Ще изчислим този израз
за минус 2 и минус 4.
На какво ще бъде равен този израз?
Минус 2 квадрат. Това е минус 
от минус 2 на квадрат.
Получава се минус 4 върху 2, минус 2,
умножено по минус 2,
т.е. плюс 4.
Това е стойността на израза,
изчислена за минус 2.
Следва минус и да изчислим израза
за минус 4.
Ще имаме минус от минус 4 на квадрат,
което е 16 върху 2, минус 2 по минус 4.

iw: 
ואת ציר x שהולך 
ממינוס שתיים  לאפס.
ובואו נחשב את כל אלו
ואתם עשויים להיות מסוגלים לחשב
את אלא
עם קצת שטחי משולשים,
אבל בואו נעשה את זה רק
אנליטית או אלגברית.
וכך מהי האנטנגזרת של מינוס x?
ובכן זה מינוס x-בריבוע חלקי שתיים,
ואז יש לנו מינוס שתיים,
אז זה הולך להיות האנטינגזרת
זה מינוס שתיים x, אנחנו
הולך לחשב את זה
במינוס שתיים ובמינוס ארבע.
ולכן, מה החלק הזה הוא הולך להיות?
מינוס שתיים בריבוע, אז זה מינוס
של מינוס שתיים בריבוע.
אז זה מינוס ארבע חלקי שתיים
מינוס שתיים כפול מינוס שתיים.
אז פלוס ארבע.
אז זה שווה לשתיים.
ואז מינוס, אם אנחנו
מחשבים את זה במינוס ארבע.
אז יהיה לנו מינוס מינוס
ארבע בריבוע
זה 16 חלקי שתיים, מינוס
שתיים כפול מינוס ארבע.

Korean: 
x축 사이의 부분의 넓이입니다
이제 이 두 정적분을 각각 계산해봅시다
삼각형의 넓이를 더하여
구하는 것도 가능하겠지만
대수로 접근해봅시다
-x의 원시함수는 무엇일까요
-x²/2입니다
-2의 원시함수는 -2x이고요
원시함수를 구했으니
-4부터 -2까지의 정적분을
구할 것입니다
대입을 해보자면
-2를 함수에 대입하면 -x²은
-(-2)²가 됩니다
따라서 구하려는 값은 -4/2 - 2×(-2)
즉 4가 됩니다
-2에서의 값은 4입니다
"-4를 함수에 대입할 때
그 값을 빼야 하므로 마이너스를 붙입니다"
대입해 보면-(-4)²/2=-16/2와
(-2)×(-4)=8이 나옵니다.

English: 
and the x-axis going from
negative two to zero.
And so let's evaluate each of these
and you might even be able
to just evaluate these
with a little bit of triangle areas,
but let's just do this
analytically or algebraically.
And so what's the
anti-derivative of negative x?
Well that's negative x-squared over two,
and then we have the negative two,
so this is gonna be the anti-derivative
is negative two x, we're
gonna evaluate that
at negative two and negative four.
And so that part is going to be what?
Negative two squared, so it's the negative
of negative two squared.
So it's negative four over two
minus two times negative two.
So plus four.
So that's it evaluated at negative two.
And then minus, if we
evaluate it at negative four.
So we're gonna have minus
negative four squared
is 16 over two, minus
two times negative four.

Thai: 
กับแกน x จะไปจากลบ 2 ถึง 0
แล้วลองหาค่าแต่ละตัว
คุณอาจหาค่าเหล่านี้
จากพื้นที่สามเหลี่ยมได้
แต่ลองทำโดยใช้การวิเคราะห์หรือพีชคณิตกัน
แล้วปฏิยานุพันธ์ของลบ x เป็นเท่าใด?
ลบ x กำลังสองลบ 2
แล้วเรามีลบ 2
นี่จะเท่ากับปฏิยานุพันธ์
คือลบ 2x แล้วเราจะหาค่ามัน
ที่ลบ 2 กับลบ 4
แล้วส่วนนี้จะเท่ากับอะไร?
ลบ 2 กำลังสอง มันจะเท่ากับลบ
ของลบ 2 กำลังสอง
มันจะเท่ากับ 4 ส่วน 2 ลบ 2 คูณลบ 2
บวก 4
นั่นก็คือพจน์หาค่าที่ลบ 2
แล้วลบ ถ้าเราหาค่ามันที่ลบ 4
เราจะได้ลบ ลบ 4 กำลังสอง
คือ 16 ส่วน 2, ลบ 2 คูณลบ 4

Czech: 
mezi x plus 2
a osou x od -2 do 0.
Pojďme si je tedy vyčíslit,
a to bychom byli schopní udělat
i pomocí obsahu trojúhelníků,
ale udělejme to algebraicky.
Takže jaký je integrál -x?
To je -x² lomeno 2,
a pak máme -2,
ten integrál bude -2x,
a vyčíslíme to v -2 a v -4.
Takže kolik to bude?
-2²,
bude to zápor z -2².
Takže -4 lomeno 2
minus 2 krát -2.
Takže plus 4.
Takže to je vyčíslené v -2.
A teď minus
integrál vyčíslený v -4.
Takže minus -4², to je 16,
lomeno 2,

Bulgarian: 
Това е равно на плюс 8.
Какво се получава за тази разлика?
Това е минус 2, а това ето тук
е минус 8.
Вторият член в тези скоби
ще бъде равен просто на 0.
Правилно ли го пресметнах?
Да. –16/2 е минус 8, а това е плюс.
Добре, получава се 0.
А тук имаме минус 2 плюс 4,
което ще бъде равно на 2.
Това, което имаме тук в лилаво,
е равно на 2.
Следва да намерим това, което имаме
тук в синьо.
Нека да видим. Това е
примитивната функция на
х квадрат върху 2 плюс 2х.
Ще го изчислим за 0 и за минус 2.
Изчисляваме този израз за 0.
Получава се 0 и от това ще
извадим минус 2 на квадрат върху 2.
Това е плюс 4 върху 2,
което е равно на плюс 2.

iw: 
אז זה פלוס שמונה.
אז מה זה ייתן לנו?
אז זה מינוס שתיים,
והנה פה
מינוס שמונה , ולכן הביטוי השני
כאן
הולך להיות שווה לאפס.
עשיתי את זה נכון?
כן, 16 חלקי שתיים, זה
שלילי וזה חיובי.
אוקיי, אז זה הולך להיות אפס.
וזה מינוס שתיים פלוס ארבע
שהולך להיות שווה לשתיים.
אז מה שיש לנו כאן
בגוון ורוד שווה לשתיים.
ומה שיש לנו כאן בכחול,
ובכן, בואו נראה, זו האנטינגזרת
של x-בריבוע מעל חלקי, פלוס שני x,
נחשב אותו
באפס ובמינוס שתיים.
אתם מחשבים את הדבר הזה  באפס,
וזה רק יהיה אפס והלאה
אתם הולכים להחסיר
מינוס שתיים בריבוע חלקי שתיים.
כלומר פלוס ארבע חלקי שתיים
וזה פלוס שתיים.

Thai: 
นั่นก็คือบวก 8
มันจะให้ค่าเท่าไหร่?
นี่คือลบ 2 ค่านี่ตรงนี้
คือลบ 8 เทอมที่สองตรงนี้
ก็แค่เท่ากับ 0
ผมทำถูกไหม?
ใช่ 16 ส่วน 2 มันเป็นลบ และนี่เป็นบวก
โอเค อันนี้จะเท่ากับ 0
และนี่คือลบ 2 บวก 4
ซึ่งเท่ากับ 2
สิ่งที่เรามีตรงนี้สีบานเย็นเท่ากับ 2
และสิ่งที่เรามีตรงนี้สีฟ้า
ลองดู นี่คือปฏิยานุพันธ์
ของ x กำลังสองส่วน 2 บวก 2x
หาค่าที่ 0 และลบ 2
คุณหาค่านี้ที่ 0
มันจะเท่ากับ 0 และจากนั้น
คุณจะลบลบ 2 กำลังสองส่วน 2
นั่นคือบวก 4 ส่วน 2
ซึ่งก็คือบวก 2

Korean: 
따라서 -16/2+8이 되는 거죠
이제 전부 계산해 봅시다
-4/2는 2와 같고
-16/2는 -8과 같으므로
두번째 괄호 안은 0이 됩니다
제가 맞게 계산했나요
16/2는 8이고 마이너스 부호가 붙었으니
그냥 0이 되는 것이 맞네요
이 부분은 -2+4이므로
2입니다
따라서 붉은색으로 표시한 부분은 2가 됩니다
이제 청색으로 표시한 부분을 계산해 봅시다
x+2의 원시함수는
x²/2+2x이고
-2부터 0까지의 정적분을 구하면
0에서의 값은
0이 되고 이제 -2에서의 값을 뺄 것입니다
(-2)²/2는
4/2가 되고
최종적으로 2가 됩니다

Czech: 
minus 2 krát -4.
Takže plus 8.
Takže kolik nám to dává?
Toto je -2,
toto je -8,
takže ten druhý člen bude roven 0.
Udělal jsem to správně?
Ano, 16 lomeno 2,
je to záporné a to kladné.
Takže toto bude 0.
A toto je -2 plus 4,
což bude rovno 2.
Takže toto fialové je rovno 2.
A to, co je modře,
ten integrál je
x² lomeno 2 plus 2x,
vyčíslíme to v 0 a -2.
Když to vyčíslíme v 0,
bude to 0,
a od toho odečteme -2² lomeno 2,
to je +4 lomeno 2,
to je +2.

English: 
So that is plus eight.
So what is that going to give us?
So this is negative two,
this right over here
is negative eight, so the
second term right over here
is just going to be equal to zero.
Did I do that right?
Yeah, the 16 over two, it's
negative and this is positive.
Okay, so this is just going to be zero.
And this is negative two plus four
which is going to be equal to two.
So what we have here in
magenta is equal to two.
And what we have here in the blue,
well let's see, this
is the anti-derivative
of x-squared over two, plus two x,
gonna evaluate it at
zero and negative two.
You evaluate this thing at zero,
it's just gonna be zero and from that
you're going to subtract
negative two squared over two.
That is positive four over two
which is positive two.

Korean: 
그 다음은 2×(-2)를 계산하면
-4가 됩니다.
2-4=-2이고
-2를 빼야 하므로
최종적으로는 2+2가 됩니다
생각을 해보면
붉은색으로 표시된 부분이 2이고
청색도 그와 같으므로
대칭성을 찾아볼 수 있습니다
둘을 더하면
구하려는 정적분의 값은 4가 됩니다
검토를 해보자면
이 삼각형의 높이는 2이고
밑변도 2이므로 넓이를 구하면
½×2×2=2입니다
이 삼각형도 넓이가 2입니다
이렇게 삼각형의 넓이로 구하는 것이
정적분을 기하학적으로 해석하는 법입니다
최종 결과는 4로 같습니다
커넥트 번역 봉사단 | 허경준

Thai: 
แล้วบวก 2 คูณลบ 2
ลบ 4
และนี่ก็คือลบ
ของลบ 2 หรือบวก 2
มันก็คือ 2 บวก 2
และมันดูถูกต้อง ที่เราได้
สีบานเย็นตรงนี้เป็น 2 และที่เราได้ตรงนี้
เป็น 2 มันมีสมมาตรอยู่
มีสมมาตรตรงนี้
และคุณบวกค่าเหล่านั้นได้
คุณจะได้อินทิกรัลของเรา จะเท่ากับ 4
และ นี่เป็นการตรวจคำตอบ
คุณบอกได้ว่า ดูนะ ความสูงตรงนี้คือ 2
ความกว้าง ฐานตรงนี้คือ 2
2 คูณ 2 คูณ 1/2 เท่ากับ 2 จริง
เหมือนกันตรงนี้
นั่นคือการให้เหตุผลด้วยเรขาคณิต
ว่าทำไมพื้นที่นั้นจึงเป็น 2 พื้นที่นั้นเป็น 2
บวกมันเข้าด้วยกัน คุณจะได้บวก 4

Czech: 
A pak plus 2 krát -2,
takže -4.
Takže toto bude -(-2),
tedy +2.
Takže 2 plus 2.
A to dává smysl.
To fialové tady je 2
a toto tady je 2,
je to symetrické.
Je to symetrické.
A když to vše sečteme, dostaneme,
že náš integrál je roven 4.
A jenom pro kontrolu
bychom mohli říct,
že výška tady je 2,
šířka, základna je 2.
2 krát 2 krát 1/2
je opravdu rovno 2.
To stejné tady.
Takže to je geometricky ukázáno,
proč je tato oblast rovna 2,
tato oblast rovna 2
a když je sečteme,
dostaneme +4.

iw: 
ואז פלוס שתיים כפול מינוס שתיים.
אז מינוס ארבע.
וככה זה הולך להיות מינוס
של מינוס שתיים, או פלוס שתיים .
אז זה שתיים ועוד שתיים.
וזה הגיוני, כי מה שיש לנו
בורוד הנה שתיים
ומה שיש לנו כאן
זה שתיים, יש פה הסימטריה .
קיימת סימטריה כאן.
וככה אתם מוסיפים את כולם ביחד
ואתם מקבלים את האינטגרל שלנו הוא
הולך להיות שווה לארבע.
ושוב, וכמו בבדיקת מציאות
אפשר לומר, תראו,
הגובה פה הוא שתיים,
הרוחב, של הבסיס כאן הוא שתיים.
שתיים כפול שתיים כפול חצי
אכן שווה שתיים.
אותו הדבר כאן.
אז זה טיעון גיאומטרי יותר
מדוע השטח השני, השטח הזה שתיים,
כשמוסיפים אותם יחד אתם מקבלים פלוס ארבע.

English: 
And then plus two times negative two.
So minus four.
And so this is going to be the negative
of negative two, or positive two.
So it's two plus two.
And that makes sense that what we have
in magenta here is two
and what we have over here
is two, there's the symmetry here.
There is a symmetry here.
And so you add 'em all together
and you get our integral is
going to be equal to four.
And once again, just as a reality check
you could say, look,
the height here is two,
the width, the base here is two.
Two times two times one-half
is indeed equal to two.
Same thing over here.
So that's the more geometric argument
for why that area's two, that area is two,
add 'em together you get positive four.

Bulgarian: 
А след това плюс 2 по минус 2,
т.е. равно е на минус 4.
Тогава за синия израз се получава
минус от минус 2, т.е. плюс 2.
Тоест имаме 2 плюс 2.
И това има смисъл. Това, което имаме 
в лилаво, е равно на 2,
и това, което имаме в синьо, 
е равно на 2.
Тук се наблюдава симетрия.
Тук има симетрия.
Тогава събираме двете площи
и получаваме, че интегралът
е равен на 4.
И отново, за да проверим отговора,
може да направим следното. Тук 
височината е равна на 2.
Широчината, или основата,
е равна на 2.
2 по 2, по 1/2 е действително равно
на 2.
Същото нещо имаме ето тук.
Това е геометрично доказателство,
защо тази площ е 2 и тази площ е 2.
Събираме ги и получаваме
плюс 4.
