
English: 
I have two seemingly unrelated challenges
for you. The first relates to music, and the
second gives a foundational result in measure
theory, which is the formal underpinning for
how mathematicians define integration and
probability. The second challenge, which I’ll
get to about halfway through the video, has
to do with covering numbers with open sets,
and is very counter-intuitive. Or at least,
when I first saw it I was confused for a while.
Foremost, I’d like to explain what’s going
on, but I also plan to share a surprising
connection it has with music.
Here’s the first challenge. I’m going
to play a musical note with a given frequency,
let’s say 220 hertz, then I’m going to
choose some number between 1 and 2, which
we’ll call r, and play a second musical
note whose frequency is r times the frequency
of the first note, 220. For some values of

French: 
J'ai deux problèmes a priori sans aucun lien à vous proposer. Le premier est lié à la musique et le
second fournit un résultat fondamental de la théorie de la mesure, qui est la fondation formelle
de la définition mathématique de l'intégration et des probabilités. Le deuxième problème, que je vais
aborder vers la moitié de cette vidéo, est lié au recouvrement de nombres par des ensembles ouverts,
et est très contre-intuitif. Ou du moins, quand je l'ai vu pour la première fois, j'ai eu du mal à le comprendre pendant un temps
Avant tout, j'aimerai expliquer de quoi nous allons parler, mais j'aimerais aussi parler d'une surprenante
connexion avec la musique. Voici le premier problème. Je vais
jouer une note avec une certaine fréquence, par exemple 220 hertz, ensuite je vais
choisir un nombre r entre 1 et 2 et jouer une deuxième note
dont la fréquence est r fois la fréquence de la première note, 220. Pour certaines valeurs de

Italian: 
Ho qui per voi due sfide che apparentemente non hanno nulla a che vedere l'una con l'altra. La prima riguarda la musica, e la
seconda offre un risultato fondamentale nella teoria della misura, che costituisce il fondamento di
come i matematici definiscono l'integrazione e la probabilità. La seconda sfida, che
che inserirò a circa metà video, ha a che fare con il ricoprire numeri con insiemi aperti,
ed è molto controintuitiva. O almeno, la prima volta che la vidi rimasi perplesso.
Principalmente, vorrei spiegare come funziona, ma anche condividere un'incredibile
connessione che ha con la musica. Ecco la prima sfida. Suonerò
una nota musicale con una certa frequenza, diciamo 220 hertz, dopodiché
sceglierò un numero tra 1 e 2, che chiameremo r, e suonerò una seconda nota
la cui frequenza sia r volte la frequenza della prima nota, 220. Per certi valori di questo

Arabic: 
لدي مسألتين للتحدي تبدوان في ظاهر الأمر غير مرتبطتين
الأولى متعلقة بالموسيقى
في حين أنّ الثانية تعطي نتيجة أساسية في نظرية القياس والذي  يشكل الأساس الذي يعتمد عليه الرياضيون في تعريف التكامل والاحتمال
إنّ التحدي الثاني والذي سنصل  إليه في منتصف المقطع، سيكون معنياً بتغطية الأعداد بواسطة مجموعات مفتوحة وسيكون مناقضاً للبديهة
والذي  جعلني أشعر بالحيرة لبعضٍ من الوقت عندما رأيته للمرة الأولى
في أغلب المقطع، سأقوم بتوضيح مايجري، إلاّ أنني أنوي أن أعرض أيضاَ  ارتباطاً مذهلاً مع الموسيقى
إليكم التحدي الأول:
سأقوم بعزف نوطة موسيقية بتردد معطى، ولنقل 220 هرتز ومن ثم سأختار عدداً ما بين الواحد والاثنين وسنرمز له ب r
ونقوم بعزف نوطة موسيقية ثانية بتردد r مضروباً بالتردد الأول أي مضروباً ب 220

Polish: 
Mam dla Was dwa pozornie niepowiązane ze sobą wyzwania.
Pierwsze odnosi się do muzyki,
a drugie daje nam fundamentalny wniosek z teorii miary,
który tworzy formalne podwaliny tego w jaki sposób matematycy definiują całkowanie i prawdopodobieństwo.
Drugie wyzwanie, do którego dojdę gdzieś w połowie tego filmu,
będzie dotyczyć pokrywania liczb zbiorami otwartymi
i jest bardzo nieintuicyjne.
Mnie przynajmniej wprawiło w zakłopotanie gdy zobaczyłem je po raz pierwszy.
Przedewszystkim chciałbym wyjaśnić o co w tym chodzi,
ale planuję też podzielić się zaskakującym wnioskiem jaki ma to z muzyką
Oto pierwssze wyzwanie:
Odtworzę nutę o zadanej częstotliwości, powiedzmy 220 Hz
Następnie wybiorę jakąś liczbę pomiędzy 1 a 2, którą nazywać będziemy r,
i zagram kolejną nutę, której częstotliwość będzie częstotliwością pierwszej (220 Hz) przemnożoną przez r.

Spanish: 
Tengo dos desafíos aparentemente no relacionados para tí. El primero refiere a la música, y el
segundo da un resultado fundamental en teoría de la medida, la cual es la base formal para
la forma en que los matemáticos definen la integración y la probabilidad. El segundo desafío, al cual
llegaré por la mitad del vídeo, tiene que ver con cubrir números con intervalos abiertos,
y es muy anti intuitivo. O al menos, cuando lo vi por primera vez me confundió por un rato.
Primero, me gustaría explicar que está pasando, pero también planeo compartir una sorprendente
conexión que tiene con la música. Acá va el primer desafío. Voy a
reproducir una nota musical con una dada frecuencia, digamos 220 hertz, luego voy a
elegir algún número entre 1 y 2, el cual llameremos r, y voy a reproducir una segunda nota
cuya frecuencia es r veces la frecuencia de la primera nota, 220. Para algunos valores de r,

Chinese: 
我給你兩個看似不相關的挑戰。第一個涉及到音樂，而
第二個給出了一個在測度論裏的基礎性的結果，這是
數學家如何正式定義積分和幾率的。第二個挑戰，我會
在視頻的大約一半時候，在講開放集的數字時來講，
而且非常反直觀的。或者至少，當我第一次看到它時，我感到困惑了一會兒。
首先，我想解釋一下是怎麼回事上，但我也計劃分享一個它與音樂
的一個意外的聯係。這是第一個挑戰。我打算
以給定的頻率放一個音符，比方說220赫茲，然後我要去
選擇1和2之間的某個數字，我們稱 r，然後播放第二首音符
其頻率是第一個音符頻率，220的 r 倍.對於某些值

Portuguese: 
Eu tenho dois desafios aparentemente não relacionados para você. O primeiro deles tem a ver com música, e o
segundo dá um resultado fundamental em teoria da medida, que é o embasamento formal usado
pelos matemáticos para definir integração e probabilidade. O segundo desafio, que eu vou
tratar na segunda metade desse vídeo, tem a ver com cobrir números com conjuntos abertos,
e é bastante contra-intuitivo. Quer dizer, quando eu o vi pela primeira vez eu fiquei confuso por um tempo.
Acima de tudo, eu gostaria de explicar o que acontece. Mas eu também planejo compatilhar uma surpreendente
conexão com música. Aqui vai o primeiro desafio: Eu vou
tocar uma nota musical com uma frequência dada, digamos 220 hertz, e então eu vou
escolher um número entre 1 e 2, o qual chamaremos de r, e vou tocar uma segunda nota
musical cuja frequência é r vezes a frequência da primeira nota, 220. Para alguns valores de

French: 
ce rapport r, comme  1.5, les deux notes sonneront harmonieusement quand elles sont jouées ensembles, mais pour d'autres rapports,
comme racine de 2, elles sonneront mal. Votre tâche est de déterminer si un rapport r donné
donnera un son agréable ou désagréable simplement en analysant le nombre et sans
écouter les notes. Une manière de répondre, en particulier si vous vous appelez
Pythagore, pourrait être que deux notes sonnent bien si le rapport est un nombre rationnel,
et mal si il est irrationnel. Par exemple un rapport de 3/2 donne une quinte, 4/3
donne une quarte, 8/5 une sixte majeure, etc. Voici ma meilleure hypothèse sur la raison pour laquelle
c'est vrai : une note est composée de battements succédés très rapidement, par exemple
220 battements par seconde. Quand le rapport des fréquences de deux notes est rationnel, il y a un motif
indétectable dans ces battements, qui, quand on le relentit, est entendu comme un rythme et non plus

English: 
this ratio r, like 1.5, the two notes will
sound harmonious together, but for others,
like the square root of 2, they sound cacophonous.
Your task it to determine whether a given
ratio r will give a pleasant sound or an unpleasant
one just by analyzing the number and without
listening to the notes.
One way to answer, especially if your name
is Pythagoras, might be that two notes sound
good when the ratio is a rational number,
and bad when it is irrational. For instance,
a ratio of 3/2 gives a musical fifth, 4/3
gives a musical fourth, of 8/5 gives a major
sixth, etc. Here’s my best guess for why
this is the case: a musical note is made up
of beats played in rapid succession, for instance
220 beats per second. When the ratio of frequencies
of two notes is rational, there is a detectable
pattern in those beats, which, when we slow
it down, we hear as a rhythm instead of as

Italian: 
numero razionale r, come 1.5, queste note creeranno un'armonia, ma per altri,
come la radice quadrata di 2, risulteranno cacofoniche. Il tuo obiettivo sarà quello di determinare se un dato rapporto
r ti darà un suono piacevole o meno analizzando semplicemente il numero e senza
ascoltare le note. Un modo per rispondere, specialmente se il tuo nome
è Pitagora, dovrebbe essere che queste due note suonino bene quando il rapporto è un numero razionale,
e male quando è irrazionale. Ad esempio, un rapporto di 3/2 dà una quinta nota musicale, 4/3
dà una quarta, 8/5 dà un sesto sopraddominante ecc. Questo è il modo in cui mi spiego
il fatto che funzioni così: una nota musicale è formata da battiti suonati in rapida successione, ad esempio
220 battiti al secondo. Quando il rapporto delle frequenze di due note è razionale, c'è uno schema
intuibile per questi battiti, il quale, se rallentato, si può sentire come ritmo invece che

Arabic: 
من أجل بعض قيم r ولتكن 1.5 تكون  النغمتان متوافقتان معاً
في حين أن  بعض القيم  الأخرى مثل جذر 2 تكون فيها النغمتان متنافرتان
مهمتنا الآن، تحديد النسب r التي من أجلها نحصل على صوت مرضي أم لا من خلال فقط تحليل لهذه القيم r من غير الاستماع للنوط الموسيقية
إحدى الاجابات ستكون إن كنت فيثاغورث هي بالقول أنّ نوطتان موسيقيتان تكونان جيدتان معاً إذا كان حاصل نسبتهما عدد كسري
وسيئتان إذا كان حاصل نسبتهما عدد غير كسري ( مثل جذر 2.......المترجم)
فعلى سبيل المثال، النسبة 3/2 تعطي نغمة الخامسة و 4/3 تعطي نغمة الرابعة و 8/5 تعطي نغمة السادسة الرئيسية وهكذا........
وإليكم أفضل تخمين لديّ حول سبب حصول ذلك
إنَ النوطة الموسيقية مؤلفة من نبضات  أو دقات تُعزف في تتابع سريع،
فعلى سبيل المثال، 220 دقة في الثانية
فعندما تكون نسبة ترددي نوطتين موسيقيتين عدداً كسرياً ، حينها يكون هناك نمط في الدقات يمكن ادراكه
والذي نسمعه على شكل إيقاع بدلاً من النغمة عند عرض الحركة بشكل بطيء

Chinese: 
這個比例r，像1.5，這兩個音符的聲音就會和諧共處，但對於其它的，
像2的平方根那樣，它們聽起來很不和諧。你的任務是只是通過對這個給定
比例 r 這個數字的分析而沒有聽到這些音符來確定將是否給出一個 愉快的聲音或不愉快的聲音
回答的一種方法，特別是如果你的名字
是畢達哥拉斯，如果這個比例是一個有理數時那兩個音符可能是好聼的，如果
是無理數，就不好聼。例如，3/2的比例給出一個的五度音，4/3給出一個
4度音，8/5給出一個大調6度，等等。這是我最好的猜測為什麼是這樣的：
一個音符是由連續快速振動所組成
例如每秒220次振動。當兩個音符頻率的比例是有理數，在那些振動中就有
一個可檢測的式樣，當我們把它慢下來時，我們聽到像是一種節奏，而不是

Polish: 
Dla pewnych wartości r, na przykład 1.5,  nuty zagrane razem będą brzmieć harmonijnie,
ale dla innych, na przykład dla pierwiastka z 2, będą brzmieć kakofonicznie.
Zadaniem dla Was będzie ustalenie,
czy zadany stosunek r da dźwięk przyjemny czy nieprzyjemny,
analizując jedynie samą liczbę i bez słuchania nut.
Jednym ze sposobów na udzielenie odpowiedzi, zwłaszcza gdy ma się na imię Pitagoras,
może być powiedzenie, że dwie nuty brzmią razem dobrze, gdy stosunek jest wymierny,
a źle gdy stosunek jest niewymierny.
Na przykład: stosunek 3/2 daje kwintę,
4/3 daje kwartę, 8/5 daje sekstę dużą, itd.
Oto mój strzał czemu tak jest:
Nutę tworzą stuknięcia, które są zagrane w krótkich odstępach czasowych, na przykład 220 stuknięć na sekundę
Gdy stosunek frekwencji jest wymierny,
to można dostrzec pewien schemat wiążący te stuknięcia,
które po spowolnieniu słyszymy jako rytm zamiast harmonii.

Portuguese: 
r, como 1.5, as duas notas soarão harmônicas. Mas para outros valores,
como raiz quadrada de 2, elas soarão cacofônicas. Sua tarefa é determinar se para um dado
r as notas combinadas darão um som agradável ou não, apenas analisando o número e sem
escutar as notas. Uma maneira de responder, especialmente se seu nome
é Pitágoras, é que duas notas juntas soam harmônicas quando a razão é um número racional
e inarmônicas no caso irracional. Por exemplo, a razão 3/2 dá origem a uma quinta justa
4/3  é uma quarta justa e 8/5 é uma sexta maior, etc. O meu palpite de por que
isso ocorre é o seguinte: uma nota musical é formada por "batidas" tocadas rapidamente em sucessão. Por exemplo,
220 batidas por segundo. Quando a razão da frequência de duas notas é racional, há um padrão
detectável nessas batidas que, quando desaceleradas, nós escutamos como ritmo ao invés de

Spanish: 
como 1.5, las dos notas suenan armoniosas entre si, pero para otros,
como la raíz cuadrada de 2, suenan cacafónicas. Tu tarea es determinar si dado
una proporción r, va a dar una sonido agradable o desagradable sólo analizando el número y sin
escuchar las notas. Una manera de responder, especialmente si tu nombre
es Pytágoras, puede ser que dos notas suenan bien cuando la proporción es un número racional,
y mal cuando es irracional. Por ejemplo, una proporción de 3/2 da una quinta musical, 4/3
da una cuarta musical, 8/5 da una sexta menor, y así. Esta es mi mejor suposición de por qué
éste es el caso: una nota musical está formada de pulsos reproducidos en una rápida sucesión, por ejemplo
220 pulsos por segundo. Cuando la proporción de frecuencias de dos notas es racional, hay un
patrón detectable en esos pulsos, el cual, cuando se lo enlentece, escuchamos como un ritmo en vez de

French: 
un accord. Bien entendu, lorsque notre cerveau comprend ce motif, l'accord sonne bien.
Cependant, la plupart des nombres rationnels sonnent plutôt mal, comme 211/198 ou 1093/826. Le
problème, bien sûr, est que ces nombres rationnels sont en quelque sorte plus "compliqués" que les
autres, nos oreilles ne comprennent pas le motif des battements. Une manière simple de mesurer
la complexité d'un rationnel est de considérer la taille de son dénominateur
dans sa forme réduite. Donc nous pourrions modifier notre première réponse pour n'admettre que les fractions
de faibles dénominateurs, par exemple moins de 10. Mais même ainsi, l'harmonie n'est pas toujours respectée
car beaucoup de notes sonnent bien jouées ensembles, même lorsque le rapport de leur fréquences est

English: 
a harmony. Evidently when our brains pick
up on this pattern, two notes sound nice together.
However, most rational numbers actually sound
pretty bad, like 211/198, or 1093/826. The
issue, of course, is that these rational number
are somehow more “complicated” than the
other ones, our ears don’t pick up on the
pattern of the beats. One simple way to measure
the complexity of a rational number is to
consider the size of its denominator when
it is written in reduced form. So we might
edit our original answer to only admit fractions
with low denominators, say less than 10.
Even still, this doesn’t quite capture harmoniousness,
since plenty of notes sound good together
even when the ratio of their frequencies is

Portuguese: 
harmonia. Quando nossos cérebros entendem esse padrão, duas notas juntas soam agradáveis.
No entanto, a maioria do números racionais não soam harmônicos, como 211/198 ou  1093/826.
O problema é que esses números racionais são, num certo sentido, mais "complicados" que os
outros e nossos ouvidos não conseguem detectar o padrão das batidas. Um jeito simples de medir
a complexidade de um número racional é considerar o tamanho de seu denominador quando
a fração está em sua forma reduzida. Assim podemos alterar a resposta original para apenas admitir frações
com denominadores pequenos, digamos menores que 10. Ainda assim, isso não captura a harmoniosidade,
pois há várias notas que soam harmônicas mesmo quando a razão de suas frequências é

Chinese: 
一種諧音。很明顯如果我們大腦檢測到這個式樣，兩個音符在一起就好聽。
不過，大多數有理數實際上很不好聼，像211/198，或者1093/826。
這個問題，當然，是這些有理數比起其它的說起來這更“複雜了”
我們的耳朵沒有檢測到這些振動的式樣。一個簡單的方法來度量一個有理
數的複雜性就是來考慮其簡化後分母的
大小。所以我們也許可以修改我們的原來的答案成爲只接收小分母的分數，
比如說小於10。即使如此，這也並不能完全做到和諧，
因為很多音符在一起很好聽儘管它們的頻率比是無理數，

Italian: 
come un'armonia. Evidentemente, quando i nostri cervelli hanno a che fare con questo schema, le due note formano un suono piacevole.
In ogni caso, la maggior parte dei numeri razionali non hanno in realtà un buon suono, come 211/198 o 1093. Il
problema, ovviamente, è che questi numeri razionali sono in un certo senso più "complicati" degli
altri, le nostre orecchie non percepiscono lo schema dei battiti. Un modo semplice per misurare
la complessità di un numero razionale è considerare la grandezza del suo denominatore quando
scritto in forma ridotta. Quindi dovremmo modificare la nostra risposta originale, ammettendo solo frazioni
con denominatori bassi, diciamo minori di 10. E ancora, ciò non basta per capire cosa sia un'armonia,
dal momento che la maggior parte delle note hanno un bel suono anche se il rapporto tra le loro frequenze è

Spanish: 
una armonía. Evidentemente, cuando nuestros cerebros aprenden este patrón, las dos notas suenan bien juntas.
Sin embargo, la mayoría de los números racionales suenan bastante mal, como 211/198, o 1093/826.
El asunto, por supuesto, es que estos numeros racionales son de algún modo más "complicados" que los otros.
Nuestro oídos no captan los patrones de los pulsos. Una simple forma de medir
la complejidad de un número racional es considerar el tamaño de su denominador cuando
está escrito en forma reducida. Entonces tal vez deberíamos editar nuestra respuesta original para solo admitir fracciones
con bajos denominadores, digamos menos que 10. Aun así, esto no capta la armoniosidad,
ya que muchas notas suenan bien juntas, incluso cuando la proporción de sus frecuencias es

Polish: 
Najwyraźniej gdy nasze mózgi dostrzegają ten schemat, to dwie nuty brzmią razem ładnie.
Jednakże większość liczb wymiernych w rzeczywistości brzmi źle, na przykład 211/198 czy 1098/826
Jest to oczywiście kwestia tego, że te liczby są w pewnym sensie bardziej skomplikowane niż inne.
Nasze uszy nie dostrzegają schematu w takich stuknięciach.
Prostym sposobem na zmierzenie złożoności liczby wymiernej
jest sprawdzenie wielkości jej mianownika w postaci zredukowanej.
Możemy więc zmienić naszą pierwotną odpowiedź,
dopuszczając jedynie ułamki z małym mianownikiem, powiedzmy mniejszym niż 10.
To nadal nie do końca ujmuje tego czym jest harmonizowanie,
bo wiele nut brzmi dobrze razem nawet gdy stosunek ich częstotliwości jest niewymierny,

Arabic: 
فمن الواضح أنه عندما يلتقط دماغنا النمط، حينها يكون للنوطتين الموسيقيتين معاً صوتاً جميلاً
إلاَ أنَ معظم الأعداد الكسرية تصدر صوتاً سيئاً إلى حدٍ كبير ،
مثل 211/198  أو 1093/ 826
بالطيع الأمر الذي يحصل هو أنَ هذه الكسور بشكلٍ ما أكثر تعقيداً من غيرها
حيث لاتستطيع الأذن التقاط نمط هذه الدقات
تتمثل إحدى طرق قياس مدى تعقيد الأعداد الكسرية بأن نتأمل حجم مقامات تلك الكسور عندما تُكتب بالشكل المختزل
لذلك يمكن أن نعدّل إجابتنا الأولى على السؤال بأن نقتصر فقط على الكسور ذات المقامات الصغيرة ولنقل أقل من 10 (أي بالشكل a/b  حيث b  أقل من 10......المترجم)
إلا أنه لا يستحوذ على كل النغمات الهرمونية (التوافقية) رغم ذلك
لأنّ هناك عدداً وافراً من النغمات التي تصدر جيداً معاً على الرغم من أن نسب تردداتها تمثل عدداً غير كسري طالما أنه قريب من عدد كسري توافقي

Chinese: 
只要它接近於一個是和諧的有理數。這也是一件好事，
因為很多樂器，如鋼琴並沒有按照有理數的間隔調音的，
而調音是使每個半音的增加是對應於乘以原來的
頻率的2的12分之1次方，這是無理數。如果你對為什麽這樣做感到好奇
亨利在最近的幾分鐘講物理最近做了一個視頻它給出了一個非常好的解釋。
這意味著如果你取一個和諧的音程，像一個5度，在鋼琴上彈時頻率的比例
就不是像你期望的那樣的一個優美的有理數，在這例子中是3/2，
而代之以2的12分之1的次方的冪，在這種例子裏是2 ^ {7/12}，這是個
無理數，但非常接近3/2。類似的，一個音程上的4度對應於2 ^ {5/12}，

Portuguese: 
irracional, desde que ela esteja bem perto de um número racional harmônico. E isso é uma coisa boa,
já que vários instrumentos como pianos não são afinados usando intervalos racionais,
mas são afinados de maneira que meio tom corresponde a multiplicar a frequência
original pela décima segunda raiz de 2, que é irracional. Se você quer saber por que
pianos são afinados assim, Henry do "Minutephysics" fez uma vídeo com uma explicação muito boa.
Isso significa que se você tomar um intervalo harmônico, como uma quinta justa, a razão das frequências quando
tocadas num piano não será um número racional como esperado, nesse caso 3/2,
mas sim uma potência da décima segunda raiz de dois, nesse caso 2^{7/12}, que é
irracional, mais muito próximo de 3/2. Analogamente, uma quarta justa corresponde a 2^{5/12},

English: 
irrational, so long as it is close to a harmonious
rational number. And it’s a good thing,
too, because many instruments such as pianos
are not tuned in terms of rational intervals,
but are tuned such that each half-step increase
corresponds with multiplying the original
frequency by the 12th root of 2, which is
irrational. If you’re curious about why
this is done, Henry at minutephysics recently
did a video which gives a very nice explanation.
This means that if you take a harmonious interval,
like a fifth, the ratio of frequencies when
played on a piano will not be a nice rational
number like you expect, in this case 3/2,
but will instead be some power of the 12th
root of 2, in this case 2^{7/12}, which is
irrational, but very close to 3/2. Similarly,
a musical fourth corresponds to 2^{5/12},

Spanish: 
irracional, mientras que esté cerca a un número racional armonioso. Y es una buena cosa también,
porque muchos instrumentos, como los pianos, no están afinados en términos de intervalos racionales,
pero están afinados tal que cada medio paso de incremento corresponde con multiplicar
la frecuencia original por la raíz 12va de 2, la cual es irracional. Si te da curiosidad el por qué
esto es así, Henry de minutephysics recientemente hizo un video que da una muy buena explicación.
Esto significa que si tomas un intervalo armonioso, como una quinta, la proporción de frecuencias cuando
es reproducido en un piano no será una número racional como esperarías, en este caso 3/2,
sino será en cambio alguna potencia de la 12va raíz de 2, en este caso 2^(7/12), la cual es
irracional, pero muy cercana a 3/2. Similarmente, una cuarta musica corresponde a 2^(5/12),

French: 
irrationnel, tant qu'il est proche d'un nombre rationnel. Et c'est une bonne chose,
car beaucoup d'instruments tels que le piano ne sont pas accordés en termes d'intervalles rationnels
mais de manière à ce que chaque augmentation d'une demi-étape corresponde à une multiplication de la première
fréquence par la racine 12ème de 2, qui est irrationnelle. Si vous vous demandez pourquoi,
Henry, de "minutephysics" a fait une vidéo pour en donner une très bonne explication
Cela signifie que si vous prenez un intervalle harmonique, comme une quinte, le rapport des fréquences des notes
jouées au piano ne sera pas un nombre rationnel comme on attendrait, dans cet exemple 3/2
mais en fait une puissance de la racine 12ème de 2, dans cet exemple 2^{7/12}, qui est
irrationnel, mais très proche de 3/2. De même, une quarte correspond à 2^{5/12},

Polish: 
o ile jest bliski harmonizującej liczbie wymiernej.
I to dobrze, bo wiele instrumentów, na przykład pianina, nie stroi się w zakresie wymiernych interwałów,
stroi się je w ten sposób, że każda zmiana dźwięku o pół tonu w górę
odpowiada mnożeniu częstotliwości oryginalnego dźwięku przez pierwiastek dwunastego stopnia z 2,
czyli przez liczbę niewymierną.
Jeśli jesteście ciekawi dlaczego robi się to w ten sposób,
to Henry z minutephysics zrobił ostatnio film, który przedstawia bardzo fajne wyjaśnienie.
To oznacza, że grając na pianinie harmoniczny interwał, na przykład kwintę,
stosunek częstotliwości obu tych dźwięków nie będzie ładną liczbą wymierną której byście się spodziewali,
w tym przypadku 3/2.
Zamiast tego będzie jakąś potęgą pierwiastka dwunastego stopnia z dwóch,
w tym przypadku 2 do potęgi 7/12,
jest to liczba niewymierna, ale bardzo bliska 3/2
Podobnie kwarcie odpowiada 2 do potęgi 5/12, liczba bardzo bliska 4/3

Arabic: 
وهذا أمرُ جيدٌ أيضاً ، لأنَ العديد من الآلات مثل البيانو لايتم ضبطها بناءً على فواصل كسرية
ولكن يتم ضبطها بحيث نحصل على كل زيادة نصف خطوة بمضاعفة التردد الأصلي بمقدار 2 بالقوة 1/12 و الذي يمثل عدداً غير كسري
إن كنت مهتماً بمعرفة سبب حصول ذلك ، قام هنري يمؤخراً  في دقيقة فيزياء بنشر فيديو يحتوي على توضيح جميل جداً
هذا يعني أنه إذا أخذنا فاصلاً توافقياً (هرمونياً) ، مثلاً الخامسة، فإنّ نسب الترددات التي تُعزف على البيانو لن تكون عدداً كسرياً جميلاً كما كنت ستتوقع
أي في تلك الحالة التي ستكون فيها 3/2
بل سيكون قوةً ما للعدد 2 للقوة 1/12 والذي في حالتنا 2 للقوة 7/12  وهو عدد غير كسري لكنه قريب جداً من 3/2
وبشكل مشابه، نغمة الرابعة تقابل 2 للقوة 5/12 والتي هي قريبة جداً من العدد 4/3

Italian: 
irrazionale, a patto che sia vicino ad un numero razionale armonico. Ed è anche una buona notizia,
dal momento che svariati strumenti come il piano non sono accordati per intervalli razionali,
ma in modo tale che ogni mezzo aumento di tono corrisponda al moltiplicare la frequenza
originale per la dodicesima radice di 2, che è irrazionale. Se sei curioso di sapere perché
funzioni così, Henry su Minute Physics ha recentemente girato un video in cui dà una buonissima spiegazione.
Ciò significa che se prendi un intervallo armonico, come 1/5, il rapporto tra le frequenze se
suonate su un piano non sarà un bel numero razionale come ti aspetti, in questo caso 3/2,
ma sarà invece una qualche potenza della dodicesima radice di 2, in questo caso 2^(7/12), che è
irrazionale, ma molto vicino a 3/2. Allo stesso modo, la quarta nota corrisponde a 2^(5/12),

Polish: 
Powodem, dla którego skala dwunastodźwiękowa działa tak dobrze,
jest to, że pierwiastki dwunastego stopnia z 2 posiadają dziwną tendencję
do mieszczenia się w jednoprocentowym marginesie błędu prostych liczb wymiernych.
Możecie więc teraz uznać, że stosunek r wyprodukuje harmoniczną parę nut,
jeśli znajduje się dostatecznie blisko liczby wymiernej z dostatecznie małym mianownikiem.
Jak blisko ma się znaleźć zależy od tego jak wrażliwe są Wasze uszy
a jak mały musi być mianownik
zależy od zawiłości harmonicznych schematów, które Wasze uszy potrafią rozpoznawać.
Wszakże możliwe, że ktoś ze szczególnie dokładnym wyczuciem muzycznym
będzie w stanie dostrzec i z przyjemnością słuchać schematów,
wynikających z bardziej skomplikowanych ulamków, jak np 23/21 czy 35/44
jak również z liczb dobrze przybliżających te ułamki.
Prowadzi to do interesującego pytania:
Przypuśćmy, że mamy muzycznego sawanta,

Spanish: 
la cual es muy cercana a 4/3. De hecho, la razón por la cual funciona tan bien tener 12 notas en la escala cromática
es que las potencias de la 12va raíz de 2 tienen una extraña tendencia a estar dentro de un 1%
de margen de error con un simple número racional. Asi que ahora podrías decir que una proporción r producirá
un par de notas armoniosas si lo suficientemente cercana a un número racional con un
denominador suficientemente pequeño. Cuan cerca depende de cuan perspicaz es tu oído, y cuan pequeño es un denominador
depende en los patrones armoniosos que tu oído ha sido entrenado para aprender.
Después de todo, tal vez alguien con un sentido musical particularmente agudo podía ser capaz de escuchar y hallar
placer en el patrón resultado de fracciones más complicadas como 23/21 o 35/43
como así de números cercanos que aproximen a estas fracciones.
Esto lleva a una interesante pregunta: supongamos que hay un erudito musical, quien halla placer

Chinese: 
這非常接近4/3。事實上，有12個半音階有這樣成功的原因的理由是
2的12份之1次方的冪有一個奇怪的傾向於，一些簡單有理數字，其誤差範圍
在1％之内。所以現在你可能會說一個比率 r 會產生
一對諧音如果它們有一個足夠小的
分母。有多少的小接近取決於如何你的耳朵有多挑剔，而分母有多小
取決於你一直接經著訓練的耳朵對和弦式樣複雜性的檢測。不管怎樣，
也許有人有一種個特殊靈敏的音樂感會能像在23/21或者35/43這樣複雜的
分數中以及在很接近這些的分數的而
得到的式樣中聽到和找到娛樂。
這就導致一個有趣的問題：假設
有一個深通音樂的人，她

Portuguese: 
que está bem perto de 4/3. O motivo de haver 12 notas na escala cromática funcionar
tão bem é que potências da décima segunda raiz de dois tem uma estranha tendência de estar próximas de
números racionais simples com 1% de erro. Então podemos dizer que uma razão r produzirá
um par de notas harmônicas se estiver suficientemente perto de um número racional com denominador
suficientemente pequeno.. Quão perto depende de quão apurado seu ouvido é, e quão pequeno o denominador
depende da complexidade dos padrões harmônicos que seu ouvido está treinado para reconhecer.
Mas talvez alguém com um sentido musical super apurado conseguiria escutar e encontrar
prazer no padrão obtido de frações mais complicadas como 23/21 ou 35/43,
assim como números bem próximos dessas frações.
Isso nos leva a uma questão interessante: suponha que existe um sábio musical, que acha agradável

French: 
qui est très proche de 4/3. En fait, la raison pour laquelle il est si efficace d'avoir 12 notes dans la gamme
chromatique est que la racine 12ème de 2 a l'étrange propriété d'être à 1%
d'erreur près de rationnels simples. Donc on pourrait dire qu'un rapport r produira
une paire de note harmonieuse si il est suffisamment proche d'un rationnel possédant un dénominateur
suffisamment petit. La proximité dépend de l'acuité de vos oreilles, et la teille du dénominateur
de la tolérance des motifs harmoniques que vos oreilles ont été entraînées à reconnaître. Après
tout, quelqu'un avec une acuité musicale assez développée pourra peut-être entendre et apprécier
un motif résultant de rapports plus complexes, comme 23/21 ou 35/43,
ainsi que des nombre approchant fortement ces fractions.
Cela conduit à une question intéressante : Supposons qu'il existe un savant musical qui apprécie

Arabic: 
والسبب أنه ينجح بشكلٍ جيد أن يكون لدينا 12 مقياس ملون هو أن قوى العدد 2 للقوة 1/12 تميل بشكلٍ غريب للأعداد الكسرية البسيطة بهامش خطأ لايتجاوز 1%
لذلك قد تجيب بأنَ النسبة r التي تعطي زوجاً من النغمات التوافقية ستكون قريبة من عدد كسري ذو مقام صغير بما فيه الكفاية
حيث يتعلق مدى القرب بمدى تميز الأذن ( أذن موسيقية) ومدى صغر المقام يتعلق بمدى تعقيد النمط التوافقي الذي تدربت الأذن لالتقاطه
ففي نهاية المطاف قد يوجد شخص ذو حس موسيقي عالي وقادر على التقاط النمط الناتج من كسور أكثر تعقيداً
مثل 23/21 أو 35/43 بالاضافة  للاعداد التي  تقارب هذه الكسور
وهذا مايقودنا إلى سؤالٍ هام:

English: 
which is very close to 4/3. In fact, the reason
it works so well to have 12 notes in the chromatic
scale is that powers of the 12th root of 2
have a strange tendency to be within a 1%
margin of error of simple rational numbers.
So now you might say a ratio r will produce
a harmonious pair of notes if it is sufficiently
close to a rational number with a sufficiently
small denominator. How close depends on how
discerning your ear is, and how small a denominator
depends on the intricacy of harmonic patterns
your ear has been trained to pick up on. After
all, maybe someone with a particularly acute
musical sense would be able to hear and find
pleasure in the pattern resulting from more
complicated fractions like 23/21 or 35/43,
as well as numbers closely approximating these
fractions.
This leads to an interesting question: Suppose
there is a musical savant, who find pleasure

Italian: 
che è molto vicino a 4/3. In realtà, il motivo per cui funzioni così bene il fatto di avere 12 note nella scala cromatica
è che le potenze della dodicesima radice di 2 hanno la strana tendenza di essere entro l'1%
di margine di errore rispetto a numeri razionali semplici. Quindi ora si può affermare che un rapporto r produrrà
una coppia di note armonica se è sufficientemente vicino ad un numero razionale con denominatore
sufficientemente piccolo. Quanto vicino debba essere dipende da quanto sensibile sia il tuo orecchio, e quanto piccolo sia il denominatore
dipende dall'interazione di schemi armonici che il tuo orecchio è allenato a sentire. Dopotutto,
qualcuno con un'affinata sensibilità musicale potrebbe essere in grado di ascoltare e provare
piacere da schemi ottenuti da frazioni più complicate come 23/21 o 35/43,
come anche numeri che si avvicinano a tali valori.
Ciò porta ad una domanda interessante: supponiamo che ci sia una dotta musicista, che provi piacere

Portuguese: 
todo par de notas cujas frequências tem razão racional, até mesmo razões super complicadas
que você e eu julgaríamos cacofônicas. Isso significa que ele para ele todas a razões
r entre 1 e 2 seriam harmônicas, mesmo as irracionais? Pois para todo número real
é possível encontrar números racionais arbitrariamente perto dele, como 3/2 está perto de 2^{7/12}.
Bem, isso nos traz ao desafio número 2. Matemáticos gostam de se perguntar sobre cobrir
vários conjuntos usando intervalos abertos. As respostas dessas perguntas tem a estranha tendência
de se tornar lemas e teoremas famosos. "Intervalo aberto" quer dizer um trecho contínuo
de números reais estritamente maior que um númera a e estritamente menor que um outro
número b, onde b é obviamente maior que a. Meu desafio envolve cobrir todos

English: 
in all pairs of notes whose frequencies have
a rational ratio, even super complicated ratios
that you and I would find cacophonous. Is
it the case that she would find all ratios
r between 1 and 2 harmonious, even the irrational
ones? After all, for any given real number
you can always find rational numbers arbitrarily
close it, just as 3/2 is close to 2^{7/12}.
Well, this brings us to challenge number 2.
Mathematicians like to ask riddles about covering
various sets with open intervals, and the
answers to these riddles have a strange tendency
to become famous lemmas and theorems. By “open
interval”, I just mean the continuous stretch
of real numbers strictly greater than some
number a, but strictly less than some other
number b, where b is of course greater than
a. My challenge to you involves covering all

Chinese: 
所有的音頻有著整數之比的和聲中發現快樂，甚至那些超複雜的比例的，
你我會發現不好聼的。是不是這種情況
那麼她會發現所有的比例 r 在1至2之間
和諧的，甚至那些無理數的？不管怎樣，對於任何給定的實數
你總是可以找到一些足夠相近的有理數
，就像3/2近似於2 ^ {7/12}。
那麼這就把我們帶動第2個挑戰。數學家喜歡問有關覆蓋在開放間隔的
各種集合的一些謎，而這些謎的答案有一種奇怪的傾向
成為一些著名的引理和定理。而“開放的間隔“，我只是指連續延伸都大於
一個數字 a，但都比其它某個數字b要小
b 當然大於 a。我對你的挑戰涉及到所有

French: 
toutes les paires de notes dont les fréquences ont un rapport rationnel, même pour des rapports très compliqués
que vous et moi trouverions cacophoniques. Trouverait-il alors tous les rapports
r compris entre 1 et 2 harmonieux, même pour les irrationnels ? Après tout, tout nombre réel
peut-être approché par des rationnels arbitrairement proches, de la même manière que 3/2 est proche de 2^{7/12}.
Cela nous amène au 2ème problème. Les mathématiciens aiment se demander comment recouvrir
des ensembles avec des intervalles ouverts, et les réponses à ces questions deviennent étrangement souvent
de célèbres lemmes et théorèmes. Par intervalles ouverts, je veux simplement dire une étendue continue
de nombres réels strictement supérieurs à un nombre a et strictement inférieur à un autre
nombre b, où b est plus grand que a. Le problème que je vous pose demande de recouvrir tous

Spanish: 
en todos los pares de notas cuyas frecuencias tienen una proporción racional, incluso super complicadas proporciones
que tu y yo encontraríamos cacafónicas. ¿Es este el caso que encontraría todos las proporciones
r entre 1 y 2 armoniosas, incluso las irracionales? Después de todo, para cualquier número real
puedes siempre hallar números racionales arbitrariamente cercanos, como 3/2 es cercano a 2^(7/12).
Bueno, esto nos trae al desafío número 2. A los matemáticos les gusta hacer acertijos sobre cubrir
varios conjuntos con intervalos abiertos, y las respuestas a estos acertijos tienen una extraña tendencia
a convertirse en famosos lemas y teoremas. Por "intervalo abierto", me refiero a al tramo continuo
de números reales estrictamente mayores que un número a, pero estrictamente menores que otro
número b, donde b es por supuesto mayor que a. My desafío para vos involucra cubrir todos

Italian: 
ad ascoltare coppie di note le cui frequenze abbiano il rapporto razionale, anche rapporti complicatissimi
che io e te troveremmo cacofonici. In tal caso, troverebbe tutti i rapporti
r tra 1 e 2 armonici, anche quelli irrazionali? Dopotutto, per un qualsiasi numero reale
si possono sempre trovare dei numeri razionali abbastanza vicini ad esso, come 3/2 è vicino a 2^(7/12).
Ebbene, questo ci porta alla sfida numero 2. Ai matematici piace porsi domande sul coprire
vari insieme con intervalli aperti, e le risposte a queste domande tendono spesso a
diventare famosi lemmi e teoremi. Per "intervallo aperto", intendo semplicemente il tratto continuo
di numeri reali strettamente maggiori di un numero a, ma strettamente minori di un altro
numero b, dove b è ovviamente maggiore di a. La sfida che ti lancio sta nel coprire tutti

Arabic: 
لنفترض أنَ هناك شخصاً موهوباً بالموسيقى وتتوفر لديه القدرة على إيجاد أصوات مرضية من أزواج من النغمات الموسيقية التي تردداتها عبارة عن أعداد كسرية وتشمل الكسور بالغة التعقيد والتي يمكن أن تجدها أنت وأنا متنافرة
فهل هي هذه الحالة التي تعطي فيها  كل النسب r مابين الواحد والاثنين نغمات توافقية والتي يمكن أن تشمل الأعداد غير الكسرية ؟
ففي  نهاية المطاف من أجل أي عدد حقيقي معطى يمكن إيجاد عدداً كسرياً  قريباً منه بشكل كيفي (أي قريب بقدر مانريد) مثل 3/2 القريب من 2 للقوة 7/12
وهذا ما يقودنا للتحدي الثاني:
يحب الرياضيون أن يضعوا ألغازاً حول تغطية مجموعات متنوعة بواسطة مجموعات مفتوحة،
وتكون الاجابة على هذه الألغاز ميالة بشكل ٍ غريب لأن تصبح تمهيدات أو نظريات معروفة
حيث نعني بالمجال المفتوح ( الفترة المفتوحة)  ذلك الامتداد المستمر من الأعداد الحقيقية التي تتجاوز عدداً ما a وتقل تماماً عن عددٍ ما b  حيث b أكبر من a بطبيعة الحال
والتحدي الذي أقدمه لكم هو القيام بتغطية كل الأعداد الكسرية الواقعة بين الصفر والواحد بواسطة مجالات مفتوحة

Polish: 
który odnajduje przyjemność w słuchaniu nut, których częstotliwości są dowolnymi ułamkami,
nawet jakimiś bardzo skomplikowanymi, które i ja i Wy byśmy uznali za kakofonię.
Czy w takim razie dla takiego kogoś wszystkie stosunki r znajdujące się pomiędzy 1 a 2 brzmiałyby harmonicznie,
nawet te niewymierne?
W końcu dowolnie blisko każdej liczby rzeczywistej znajdziemy liczbę niewymierną,
tak jak w przypadku 3/2, która znajduje się blisko 2^(7/12).
To nas prowadzi do wyzwania numer 2.
Matematycy lubią zadawać zagadki na temat pokrywania przeróżnych zbiorów przedziałami otwartymi,
a rozwiązania tych zagadek przejawiają dziwną tendencję do stawania się znanymi lematami lub twierdzeniami
Otwartymi przedziałami nazywać będę ciągły odcinek liczb rzeczywistych,
ostro większych od pewnej liczby a i ostro wiekszych od jakiejś innej liczby b,
gdzie b jest oczywiście większe od a.
Wyzwanie, które wam stawiam,
polega na pokryciu wszystkich liczb wymiernych pomiędzy 0 a 1 przedziałami otwartymi.

English: 
the rational numbers between 0 and 1 with
open intervals. When I say “cover”, all
that means is that each particular rational
number lies in at least one of your intervals.
The most obvious way to do this is to just
use the entire interval from 0 to 1 itself
and call it done, but the challenge here is
that the sum of the lengths of your intervals
must be strictly less than 1.
To aid you in this seemingly impossible task,
you are allowed to use infinitely many intervals.
Even still, the task might feel impossible,
since the rational numbers are dense in the
real numbers, meaning any stretch, no matter
how small, contains infinitely many rational
numbers. So how could you possibly cover all
rational numbers without just covering the
entire interval from 0 to 1 itself, which
would mean the total length of your open intervals
has to be at least the length of the entire

Portuguese: 
os números racionais entre 0 e 1 com intervalos abertos. Quando digo "cobrir", significa
que cada número racional está em ao menos um dos seus intervalos.
O jeito óbvio de fazer isso é usar o próprio intervalo de 0 a 1 e pronto.
Mas o desafio aqui é que a soma dos comprimentos dos seus intervalos
deve ser estritamente menor que 1. Para te ajudar nessa tarefa aparentemente impossível,
você pode usar um número infinito de intervalos. Mesmo assim, a tarefa pode parecer impossível,
pois os números racionais são densos nos reais. Isso significa que qualquer intervalo, independente de
quão pequeno, contém uma quantidade infinita de números racionais. Então, como é possível cobrir todos os
números racionais sem cobrir intervalo de 0 a 1 inteiro, já que isso
significaria que o comprimento total dos seus intervalos abertos tem que ser ao menos o comprimento do intervalo

Polish: 
Poprzez pokrycie rozumiem to, że każda liczba wymierna znajdzie się w przynajmniej jednym z Waszych przedziałów.
Najbardziej oczywistym rozwiązaniem jest po prostu użycie całego przedziału od 0 do 1
i powiedzieć że zrobione.
Jednak wyzwanie polega na tym, że suma długości tych przedziałów ma być ostro mniejsza od 1.
Aby Wam ułatwić to pozornie niemożliwe zadanie, dopuszczam użycie nieskończenie wielu przedziałów.
Pomimo tego, zadanie może nadal wydawać się nie do wykonania
jako, że liczby wymierne są gęstym podzbiorem liczb rzeczywistych,
co oznacza, że w dowolnym odcinku, jak mały by nie był, znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych
 
Więc w jaki niby sposób pokryć te wszystkie liczby wymierne inaczej niż biorąc cały przedział od 0 do 1?
To by znaczyło, że całkowita długość tych otwartych przedziałów musi być przynajmniej taka jak przedziału od 0 do 1

Italian: 
i numeri razionali tra 0 e 1 con intervalli aperti. Quando dico "coprire", ciò
che intendo è che un qualsiasi numero razionale stia in almeno uno dei tuoi intervalli.
Il modo più logico per farlo è semplicemente usare lo stesso intervallo da 0 a 1
ed è fatta, ma la sfida qui è che la somma delle lunghezze dei tuoi intervalli
sia strettamente maggiore di 1. Per aiutarti in questo compito apparentemente impossibile,
ti è concesso di utilizzare infiniti intervalli. Tuttavia, l'impresa sembra ancora essere ardua,
dal momento che i numeri razionali sono densi nei numeri reali, nel senso che ogni tratto, non importa
quanto piccolo, contiene infiniti numeri razionali. Quindi come potresti mai coprire
tutti i numeri razionali senza coprire l'intero intervallo da 0 a 1, che
significherebbe la lunghezza totale dei tuoi intervalli deve essere almeno la lunghezza dell'intero

French: 
les nombres rationnels entre 0 et 1 par des intervalles ouvert. Lorsque je dis "recouvrir tout",
cela signifie que tout rationnel est contenu dans au moins un des intervalles
La manière la plus évidente de faire cela est d'utiliser tout l'intervalle de 0 à 1
et c'est fini, mais le défi est ici que la somme des longueurs des intervalles
doit être inférieure strictement à 1. Pour vous aider dans cette tâche a priori impossible,
vous avez le droit d'utiliser une infinité d'intervalles. Même ainsi, la tâche peut sembler impossible
vu que les rationnels sont denses dans les réels, ce qui veut dire que tout intervalle, aussi petit
soit-il, contient une infinité de rationnels. Donc comment pourrait-on possiblement recouvrir tous
les rationnels sans recouvrir tout l'intervalle de 0 à 1, ce qui signifierait
que la longueur totale des intervalles ouverts doit-être au moins égale à la longueur de tout

Arabic: 
وعندما نقول " تغطية" فإننا نقصد أن كل عدد كسري يجب أن يكون واقعاً في مجالٍ واحد على الأقل من بين هذه المجالات
والطريقة الأكثر وضوحاً تتمثل في استخدام كامل المجال مابين الصفر والواحد ونكون بذلك قد أنهينا الأمر!
لكن التحدي هنا هو أن يكون مجموع أطوال المجالات أقل تماماً من الواحد
ولمد يد العون في ذلك المطلب الذي يبدو  مستحيلاً، يمكن استخدام عدد لانهائي من المجالات
ولكن حتى ذلك الاجراء يبدو مستحيلاً لأنَ الأعداد الكسرية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية
والمقصود بذلك أن أي امتداد مهما كان صغيراً سيحوي عدداً لانهائياً من الأعداد الكسرية
لذلك كيف يمكن تغطية الأعداد الكسرية من دون تغطية كامل المجال مابين الصفر والواحد بأكمله
والذي يعني أن مجموع أطوال المجالات المستخدمة للتغطية يجب أن يكون أقل من طول المجال  الكلي مابين الصفر والواحد؟

Chinese: 
0和1之間的在開放的各個間隔裏所有的有理數。當我說“覆蓋”時，全部
意思是每個特定的有理數數字至少在你的一個閒隔中。
最明顯的方法來這樣做就是用從0到1間隔的本身并且就只看這裏了，
但這裡的挑戰是你的那些間隔的總和
必須都小於1。在這個看來是不可能的任務中來幫助你，
允許你來用無限多的間隔。即使如此，這個任務也會感到是不可能的，
因為有理數在實數裏是密集的，意味著任何延伸，不管多麼小，
包含著無窮多的有理數。那麼你怎麼可能覆蓋所有的有理數而
沒有覆蓋從0到1整個間隔的本身，
這會是意味著你的那些開放間隔的總長度必須至少是從0到1整個間隔的

Spanish: 
los números racionales entre 0 y 1 con intervalos abiertos. Cuando digo "cubrir", todo
lo que significa es que cada número racional cae al menos dentro de uno de tus intervalos.
La manera más obvia de hacer esto es tan solo usar el intervalo entero de 0 a 1
y ya está, pero el desafío es que la suma de las longitudes de tus intervalos
debe ser estrictamente menor a 1. Para ayudarte en esta aparentemente tarea imposible,
tienes permitido usar infinitos intervalos. Aún así, la tarea puede parecer ser imposible,
ya que los números racionales son densos en los números reales, significando que cualquier tramo, no importa
cuan pequeño, contiene infinitos números racionales. Entonces cómo podrías cubrir todos
los números racionales sin cubrir el intervalo entero de 0 a 1, lo cual
significaría que la longitud total de tus intervalos abiertos debe ser al menos la longitud del

Italian: 
intervallo da 0 a 1. Tuttavia, non ne starei parlando
se non ci fosse un modo per farlo. Innanzitutto, numeriamo i numeri razionali tra
0 e 1, nel senso che li organizziamo in una lista infinitamente lunga. Ci sono vari modi
per farlo, ma il modo naturale che sceglierò sarà cominciare con ½, seguito da ⅓ e ⅔,
poi ¼ e ¾, non scriviamo 2/4 dal momento che è già apparso come ½, poi
tutte le frazioni ridotte con denominatore 5, tutte le frazioni ridotte con denominatore 6,
andando avanti in questa maniera. Ogni frazione apparirà esattamente una volta in questa
lista, nella sua forma ridotta, e ci dà un buon modo per parlare del "primo"
numero razionale, del "secondo" numero razionale, del quarantaduesimo numero razionale, avanti
così. Poi, per assicurarci che ogni numero razionale sia stato coperto,
assegneremo uno specifico intervallo ad ogni razionale. Una volta aver rimosso gli intervalli
dalla geometria del nostro ragionamento e averli concepiti come una lista, ad ognuno è stato

Arabic: 
ومرةً اخرى، لم أكن لأسأل هذا السؤال إن لم تكن هناك طريقةً للقيام بذلك
أولاً، نقوم بتعداد جميع الأعداد الكسرية مابين الصفر والواحد ، أي نقوم بتنظيمهم في قائمة لانهائية
هناك العديد من الطرق للقيام بذلك، لكن الطريقة العادية تتمثل في أن نبدأ بالعدد 1/2 ومن ثم نتبعه بالعدد 1/3  و 2/3
ومن ثم 1/4 و 3/4 ولكن لن نكتب 2/4 لأننا استخدمناه سابقاً حيث تساوي قيمته 1/2
ومن ثم جميع الكسور المختزلة ذات المقام 5، ومن ثم جميع الكسور المختزلة ذات المقام 6
وهكذا نتابع بنفس الطريقة
كل عدد كسري سيظهر مرةً واحدة فقط في القائمة بالشكل المختزل له
وبهذا الشكل نحصل على معنى كامل بأن نقول العدد الكسري الأول و العدد الكسري الثاني وكذلك العدد الكسري الثاني والأربعون وهكذا....
والخطوة الثانية كي  نضمن أن كل عدد كسري ستتم تغطيته ، علينا ربط مجال محدد بكل عدد كسري

Spanish: 
intervalo entero de 0 a 1. Otra vez, no estaría hablando acerca
de esto si no hubiese una forma de hacerlo. Primero, enumeramos los números racionales entre
0 y 1, o sea, los organizamos en una lista infinitamente larga. Hay muchas formas
de hacer esto, pero una forma natural que eligiré es comenzar con 1/2, seguido de 1/3 y 2/3,
luego 1/4 y 3/4, no escribiremos 2/4 dado que ya ha aparecido como 1/2, luego
todas las fracciones reducidas con denominador 5, todas las fracciones reducidas con denominador 6,
continuando así de esta manera. Cada fracción aparecerá exactamente una vez en esta
lista, es su forma reducida, y esto da una válida de hablar sobre el "primer"
número racional, el "segundo" número racional, el 42vo número racional, cosas por el estilo.
Siguiente, nos aseguramos que cada racional está cubierto,
vamos a asignarle un intervalo específico a cada racional. Una vez que removemos los intervalos
desde nuestra configuración geométrica y los pensamos en una lista, cada uno responsable por

English: 
interval from 0 to 1.
Then again, I wouldn’t be talking about
this if there was not a way to do it.
First, we enumerate the rational numbers between
0 and 1, meaning we organize them into an
infinitely long list. There are many ways
to do this, but one natural way I’ll choose
is start with ½, followed by ⅓ and ⅔,
then ¼ and ¾, we don’t write down 2/4
since it has already appeared as ½, then
all reduced fractions with denominator 5,
all reduced fractions with denominator 6,
continuing on and on in this fashion. Every
fraction will appear exactly once in this
list, in its reduced form, and it gives us
a meaningful way to talk about the “first”
rational number, the “second” rational
number, the 42nd rational number, things like
that.
Next, to ensure that each rational is covered,
we are going to assign one specific interval
to each rational. Once we remove the intervals
from the geometry of our setup and just think
of them in a list, each one responsible for

Chinese: 
長度。再說一次，如果沒有一種方法來做到它的話，我是不會來講的。
首先，我們列舉在0和1之間的有理數，
意思是我們列成一個無限長的名單。有很多方法來這樣做的，
但我將選一種自然的方式就是從½開始，接著是⅓和⅔，
然後¼和¾，我們沒有寫下2/4因為它已經以1/2出現了，然後所有的
以分母為5的簡約分數，所有以分母我6的簡約分數，
以這種方式一直繼續下去。一切小數部分在這裡只會出現一次，以簡約形式，
它給了我們一個有意義的方式來談論“第一個”有理數，
“第二個”有理數，第42個有理數之類的。
接下來，為了確保包括每個有理數，
我們將要對每一個有理數指派一個特定的間隔。一旦我們從我們幾何表示中
刪除了那些間隔而只將它們想作是在一個列表之中，每一個都對應一個

Portuguese: 
de 0 a 1 todo. Bem, eu não estaria falando sobre isso
se não houvesse uma maneira de fazê-lo. Primeiro, nós enumeramos os números racionais entre
0 e 1, isto é, nós os organizamos numa lista infinita. Há várias maneiras de
se fazer isso, mas a natural é começar com 1/2 seguido de 1/3 e 2/3,
e depios 1/4 e 3/4 (não precisamos escrever 2/4 pois ele já apareceu como 1/2). Eentão
todas as frações reduzidas com denominador 5, todas as frações reduzidas com denominador 6
e assim sucessivamente. Toda fração  aparecerá exatamente uma vez nessa
lista, na sua forma reduzida. E isso nos permite considerar o "primeiro"
número racional, o "segundo"número racional, o "quadragésimo segundo" número racional, etc.
Agora, para garantir que cada racional ser coberto,
nós vamos especificar um intrevalo para cada racional. Assim que nós removermos os intervalos
da geometria do problema e apenas considerá-los numa lista, cada um responsvel por

Polish: 
Ale przecież bym Wam tego nie zadał, gdyby się nie dało tego zrobić.
W pierwszym kroku numerujemy wszystkie liczby wymierne z przedziału od 0 do 1,
co oznacza, że tworzymy z nich nieskonczenie długa listę.
Można zrobić to na wiele sposobów.
Naturalnym sposobem, który wybiorę, jest ustawienie na początku 1/2,
dalej 1/3 i 2/3, następnie 1/4 i 3/4,
potem 1/4 i 3/4, nie zapisujemy 2/4, ta liczba pojawila się już wcześniej jako 1/2,
dalej wszystkie zredukowane ułamki z 5 w mianowniku,
nastepnie wszystkie zredukowane ułamki z 6 w mianowniku, i dalej postępujemy analogicznie.
Każdy ułamek pojawi się w naszej liście dokładnie raz, w zredukowanej postaci,
dzięki czemu możemy umownie mówić o "pierwszej" liczbie wymiernej,
"drugiej" liczbie wymiernej, "czterdziestej drugiej" liczbie wymiernej i tego typu rzeczach.
Następnie, aby mieć pewność, że te wszystkie liczby wymierne zostaną pokryte,
dobierzemy po jednym konkretnym przedziale dla każdej z tych liczb.
Gdy odejdziemy od geometrycznego myślenia o tych przedziałach,
i pomyslimy o nich jak o liście przedziałów,

French: 
l'intervalle de 0 à 1. Maintenant, je n'en parlerais pas
s'il n'y avait pas un moyen de le faire. D'abord, énumérons les rationnels entre
0 et 1, c'est à dire, organisons les dans une liste infiniment longue. Il y a de nombreux moyens
de faire cela, mais une manière naturelle de faire est de commencer par ½, puis ⅓ et ⅔,
puis ¼ et ¾, sans écrire 2/4 comme il est déjà présent comme ½, puis
toutes les fractions réduites de dénominateur 5, puis toutes les fractions réduites de dénominateur 6
en continuant ensuite de cette manière. Toutes les fractions apparaîtront exactement une fois dans cette
liste, dans leur forme réduite, et cela nous donne une manière correcte de parler du "premier"
nombre rationnel, du "second" nombre rationne, du 42ème nombre rationnels, etc.
Ensuite, pour s'assurer que tous les rationnels sont recouverts,
Nous allons assigner un intervalle spécifique à chaque rationnel. Dès que l'on
interprète ces intervalles comme dans une liste, chacun étant responsable d'un

Italian: 
assegnato un solo numero razionale, sembra molto più chiaro che la somma delle loro lunghezze sia minore
di 1, dal momento che ogni singolo intervallo può essere quanto piccolo vogliamo e ancora copre il suo
razionale designato. In realtà, la somma può essere un qualsiasi numero positivo. Scegli semplicemente una somma
infinita a termini positivi che converge a 1, come ½+¼+⅛+... avanti così.
Poi scegli un qualsiasi valore ε>0, come 0.5, e moltiplica tutti i termini per ε
in modo che possiamo avere un'infinita somma che converga ad ε. Ora riduci l'n-esimo termine in modo da avere
una lunghezza uguale all'n-esimo termine nella somma. Nota, ciò significa che i tuoi intervalli cominciano a
diventare molto piccoli, molto velocemente, così velocemente che non puoi effettivamente vederne la maggior parte in
questa animazione, ma non importa, dal momento che ognuno deve coprire solo
un razionale. L'ho già detto, lo ripeto,

Arabic: 
فعندما نقتلع المجالات من الهندسة ونفكر فيهم كقائمة حيث كل مجال مسؤول عن عدد كسري، حينها  يمكن جعل مجموع أطوال المجالات أقل من الواحد
لأنَ طول كل مجال على حدى يمكن أن يكون صغيراً بقدر مانريد ويبقي مغطياً العدد الكسري المرتبط به
في الحقيقة، يمكن أن يكون المجموع مساوياً لأي عدد حقيقي موجب
وذلك بمجرد أن نختار أي مجموع لانهائي لمقادير موجبة متقارب من الواحد ، مثل    ½+¼+⅛+... وهكذا بأن نضيف قوى ال 1/2
ومن ثم نختار أي قيمة مرغوبة ل ابسيلون &gt;0 ( وهو متغير رياضي مأخوذ من الأبجدية اليونانية للتعبير عن المقادير الصغيرة جداً....المترجم) ولتكن 0.5
ومن ثم نضرب جميع حدود المجموع ب ابسيلون، وبذلك نحصل على مجموع لانهائي متقارب من ابسيلون
الآن،
نجعل المجال ذو الرقم n  ( المتعلق بالعدد الكسري ذو الرقم n) ذو طول مساوي للحد ذو الرقم n  من المجموع اللانهائي السابق
لاحظ أن هذه المجالات تصبح صغيرة وبشكل سريع لدرجة أننا لن نقدر على رؤية معظمها في هذه المحاكاة
إلاّ أنّ ذلك غير مهم لأن كل مجال مسؤول عن تغطية عدد كسري واحد فقط

Spanish: 
sólo un número racional, parece mucho más claro que la suma de sus longitudes puede ser menor
que 1, dado que cada intervalo en particular puede ser tan pequeño como quieras y seguiría cubriendo su
racional designado. De hecho, la suma puede ser cualquier número positivo. Solo elige una
suma infinita con términos positivos que converja a 1, como 1/2+1/4+1/8+... siguiendo con potencias
de 2, luego elige cualquier valor deseado de épsilos mayor a 0, como 0.5, y multiplica todos los términos por épsilon
así que tenemos una suma infinita convergiendo a épsilon. Ahora escala el enésimo intervalo para
que tenga una longitud igual al enésimo término de la suma. Nota que esto significa que tus intervalos comienzan
a volverse muy pequeños, muy rápido. Tan pequeños que no puedes realmente ver la mayoría de ellos en
esta animación, pero no importa, ya que cada uno es responsable sólo de cubrir
un racional. Ya lo he dicho, pero lo diré de nuevo

English: 
only one rational number, it seems much clearer
that the sum of their lengths can be less
than 1, since each particular interval can
be as small as you want and still cover its
designated rational. In fact, the sum can
be any positive number. Just choose an infinite
sum with positive terms that converges to
1, like ½+¼+⅛+... on and on with powers
of 2, then choose any desired value epsilon>0,
like 0.5, and multiply all terms by epsilon
so that we have an infinite sum converging
to epsilon. Now scale the nth interval to
have a length equal to the nth term in the
sum. Notice, this means your intervals start
getting really small, really fast, so small
that you can’t really see most of them in
this animation, but it doesn’t matter, since
each one is only responsible for covering
one rational.
I’ve said it already, by I’ll say it again

French: 
unique rationnel, ils semble beaucoup plus clair que la somme de leurs longueurs peut-être inférieure
à 1, vu que chacun des intervalles peut-être aussi petit que l'on veut tout en contenant encore le rationnel
qui lui est associé. En fait, la somme peut-être n'importe quel nombre positif. Il suffit de choisir une somme
infinie de termes positifs convergent vers 1, comme ½+¼+⅛+... et ainsi de suite avec les puissances
de 2, puis de choisir n'importe quel valeur ε>0, comme 0.5 et de multiplier tous les termes par ε
de manière à avoir une somme infinie convergent vers ε. Maintenant prenons le n-ème intervalle
de taille égale au n-ème terme de la somme. Remarquons que cela signifie que les intervalles choisis
deviennent très petits très vite, si petits que l'on ne peut plus vraiment en distinguer la plupart sur
cette animation, mais peu importe, car chacun est seulement responsable de recouvrir
un seul rationnel. Je l'ai déjà dit mais je vais le redire encore

Chinese: 
有理數，這看來更清晰他們的長度總和可以小於1，
因為每個特定的間隔你要怎樣小就怎樣小而仍然覆蓋它所指定的有理數。
事實上，其和可以是任何正數。只要選擇一個收斂到1的無限的正數項，
像½+¼+⅛+ ...以2的冪，繼續下去，
然後選擇任何想要的的值ε> 0，
像0.5，並把所有的項乘以ε
這樣使我們有一個無限的總和收斂到ε。現在將第n個間隔縮放到在總和中
有一個長度等於在第n項。注意，這意味著你的間隔開始
變得非常小，非常快，小到你在這個動畫中它們中的大部分不能真正看得到
但是這沒關係，因為每個間隔只負責
包括一個有理數。我已經說過了，但我要再說一次

Polish: 
w której każdy z przedziałów odpowiada dokładnie jednej liczbie wymiernej,
to stanie się to znacznie jaśniejsze, że suma ich długości może być mniejsza od 1,
bo każdy z przedziałów może być tak mały jak chcemy, a mimo to pokryje wyznaczoną liczbę.
Tak na prawde to ta suma może być dowolną dodatnią liczbą.
Wystarczy wybrać sumę nieskończoną dodatnich wyrazów, która zbiega do 1,
jak np. 1/2 +1/4+1/8 itd.
Następnie wybieramy dowolną liczbę epsilon większą od 0, np 0.5,
i mnożymy wszystkie wyrazy sumy przez epsilon,
dzięki czemu mamy nieskończoną sumę zbieżną do epsilona.
Teraz skalujemy n-ty przedział tak, aby jego długość była taka jak n-ty wyraz sumy.
Zauważcie, że to oznacza, że nasze interwały stają się bardzo małe bardzo szybko,
na tyle małe, że nie da się ich zobaczyć w tej animacji,
ale to nie ważne, skoro każdy z nich odpowiedzialny jest jedynie za pokrycie jednej liczby wymiernej.

Portuguese: 
cobrir apenas um número racional, fica mais claro que a soma dos seus comprimentos  pode ser menor
que 1, pois cada intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e ainda assim ele cobre e seu
racional determinado. De fato, a soma pode ser qualquer número positivo. Basta escolher uma série
infinita com termos positivos que converge para 1, como 1/2+1/4+1/8+... e assim sucessivamente com potências
de 2, e então escolher qualquer epsilon maior que 0, como 0.5, e multiplicar todos os termos por epsilon
resultando numa soma infinita que converge a epsilon. Agora ajuste o n-ésimo intervalo tal que
seu comprimento seja o n-ésimo termo da soma. Note que assim os intervalos se tornam
bem pequenos bem rapidamente. Tão pequenos que não se pode ver a maioria deles
nessa animação. Mas não tem problema, pois cada um é responsável por cobrir apenas
um racional. Eu já disse uma vez, mas vou dizer de novo

English: 
because it’s so amazing: epsilon can be
whatever positive number we want, so not only
can our sum be less than 1, it can be arbitrarily
small!
This is one of those results where even after
seeing the proof, it still defies intuition.
The discord here is that the proof has us
thinking analytically, with the rational numbers
in a list, but our intuition has us thinking
geometrically, with the rationals as a dense
set on the interval, where you can’t skip
over any continuous stretch of numbers since
each stretch contains infinitely many rationals.
So let’s get a visual understanding of what’s
going on.
Brief side note here: I had trouble deciding
on how to illustrate small open intervals,
since if I scale the parentheses with the
interval, you won’t be able to see them
at all, but if I just push the parentheses
together, they cross over in a way that it
potentially confusing. Nevertheless, I decided

Italian: 
perché è incredibile: ε può assumere un qualsiasi valore positivo che vogliamo, così non solo
la nostra somma può essere minore di 1, ma può essere arbitrariamente piccola!
Questo è uno di quei casi in cui, anche dopo aver visto la dimostrazione, essa va contro l'intuizione.
Il malinteso qui sta nel fatto che la dimostrazione ci fa pensiate in maniera analitica, mettendo i numeri razionali
in una lista, ma la nostra intuizione ci porta a ragionale al livello geometrico, pensando i razionali come un insieme
denso nell'intervallo, dove non puoi saltare un qualsiasi tratto continuo di numeri dal momento che
ogni pezzo contiene infiniti numeri razionali. Cerchiamo quindi un'intuizione visiva di ciò che
sta accadendo. Aggiungo una piccola nota: ho avuto difficoltà nel decidere
come descrivere piccoli intervalli, dal momento che se tolgo le parentesi all'intervallo,
non sarai in grado di vederlo, ma se le avvicino troppo,
si incrociano in un modo che potrebbe trarre in inganno. Tuttavia, ho optato

Chinese: 
因為它太棒了：epsilon可以是不管我們想要什麼正數，因此我們的總和不僅
小於1，它可以是任意的小！
這是那樣的一種的結果之一那就是即使看到證明之後，它仍然完全不同於直覺。
這裏的不一致是這證明要我們用分析
思考，而以列表中的有理數，但我們的直覺讓我們用幾何上間隔裏的一個稠密
的集，在此你無法跳過任何連續的數字
因爲每一段包含無窮多的有理數。這樣讓我們來有一個在圖像上的理解
這是怎麽會事。在此附上簡要的說明：我很難決定
如何來描述開放的小間隔，因為如果我用括號來縮放間隔的話，
你就會無法看到它們，但如果我就把
括號推在一起，它們在某種方式上可能令人困惑。不過，我決定了

French: 
car c'est assez incroyable ; ε peut-être n'importe quel nombre positif, donc non seulement
la somme peut-être plus petite que 1, mais même aussi petite que l'on veut !
C'est un résultat qui, même après en avoir vu la preuve, défie l'intuition.
Le conflit ici, est que la preuve nous fait raisonner analytiquement, avec une liste de rationnels,
alors que notre intuition nous fait raisonner géométriquement, avec l'ensemble des rationnel dense
dans l'intervalle, où l'on ne peut pas retirer une portion continue de l'intervalle, vu que
chaque portion contient une infinité de rationnels. Interprétons visuellement ce qui se passe.
Une petite parenthèse ici : j'ai eu du mal
à illustrer de petits intervalles ouverts, car si je réduis les parenthèses avec l'intervalle,
il n'est plus possible de les distinguer, mais si je pousse les parenthèses l'une vers l'autre,
elles se croise d'une manière portant à confusion. J'ai malgré tout décidé d'utiliser

Arabic: 
لقد قلتها سابقاً، لكنني سأعيد تكرارها لكونها مدهشة
إنّ ابسيلون يمكن أن يكون أي عدد موجب نريده
حيث أنه ليس فقط أقل من الواحد بل يمكن أن يكون صغيراً بشكل كيفي
إنها واحدة من بين النتائج والتي رغم اطلاعي على برهانها لاتزال تعارض البديهة
التعارض الذي يحدث هو أنّ البرهان يتعامل تحليلياً مع الأعداد الكسرية كقائمة في حين أنّ البديهة تنظر للأعداد الكسرية هندسياً كمجموعة كثيفة في المجال
حيث أنه لايمكن تخطي أي امتداد  مستمر من الأعداد لأن أي امتداد  يحوي عدداً لانهائياً من الأعداد الكسرية
لذلك دعونا نقدم فهماً مرئياً لما يحصل هنا
لنورد ملاحظة جانبية هنا: لديَ مشكلة في التعبير عن المجالات  الصغيرة، حيث أنني إذا قمت بتصغير الأقواس فلن نقدر على رؤيتهم أبداً
لكن إن قمنا بدفع القوسين  نحو بعضهم  البعض ، فسيتداخلان بشكلٍ يجعل الأمر مربكاً
ورغم  ذلك فقد قررت أن أتخذ ذلك الشكل المتصالب من الأقواس غير الجميل

Portuguese: 
porque é extraordinário: epsilon pode ser o número positivo que nós quisermos. Portanto, mais do
poder ser menor do que 1, nossa soma pode ser arbitrariamente pequena!
Esse é um dos resultados que mesmo depois de ver a demonstração, ele ainda desafia a intuição.
A questão é que a demonstração usa um raciocínio analítico, com os números racionais
numa lista, mas nossa intuição pensa geometricamente, vendo os racionais como um conjunto
denso no intervalo, onde é impossível pular qualquer intervalo pois
cada um deles contém uma infinidade de racionais. Vejamos o que está acontecendo.
Uma breve nota: eu não conseguia decidir
como ilustrar pequenos intervalos abertos, pois se eu ajustar o tamanho dos parênteses com
o intervalo, eles ficam pequnos demais, mas se  eu simplesmente aproximar os parênteses
eles se intersectam de maneira possivelmente confusa. Mesmo assim, eu decidi

Spanish: 
porque es muy sorprendente: épsilon puede ser cualquier número positivo que queramos, entonces no sólo
nuestra suma puede ser menos a 1, puede ser arbitrariamente pequeña!
Este es uno de esos resultados donde incluso después de haber visto la prueba, sigue desafiando la intuición.
La discordia aquí es que la prueba nos ha hecho pensar analíticamente, con los números racionales
en una lista, pero nuestra intuición nos ha hecho pensar geométricamente, con los racionales como un
conjunto denso en el intervalo, donde no puedes saltear ningún tramo de números ya que
cada tramo contiene infinitos racionales. Entonces vayamos a un entendimiento visual de
que está pasando. Pequeña nota aquí: he tenido problema decidiendo
en como ilustrar intervalos abiertos pequeños, ya que si escalo los paréntesis con el
intervalo, no serás capaz de verlos todos, pero si empujo los paréntesis
juntos, se cruzarán de una forma que es potencialmente confusa. Sin embargo, decidí

Polish: 
Już to powiedziałem, ale powtórzę, bo jest to bardzo zdumiewające:
epsilon może być taką liczbą dodatnią jaką chcemy, zupełnie dowolną,
więc nasza suma nie tylko może być mniejsza od 1, może byc dowolnie mała!
Jest to jeden z tych wyników, które nawet po zobaczeniu dowodu przeczą intuicji.
Ta niezgodność bierze się stąd, że w dowodzie myślimy analitycznie o liczbach wymiernych ustawionych w listę,
ale nasza intuicja wzbudza w nas myślenie geometryczne,
myślimy o tym, że liczby wymierne są gęstym podzbiorem przedziału,
i nie da się pominąć żadnego ciągłego odcinka,
bo w każdym odcinku znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych.
Zrozummy zatem wizualnie o co w tym chodzi.
(Krótki przypis): Ciężko mi było zdecydować w jaki sposób zilustrować przedziały otwarte
dlatego, że gdy zmniejszę nawiasy razem z interwałem, to nie będzie ich widać,
a gdy zwyczajnie ścisnę te nawiasy,  to się przecinają w taki sposób, który potencjalnie może namieszać.
Zdecydowałem się jednak użyć brzydkich upośledzonych krzyżyków.

Portuguese: 
usar essas "cruzes cromossômicas" feias, mas lembre-se que o intervalo que elas representam
é o pequeno pedaço entre o centro de cada parêntese. Ok, voltemos a intuição
visual. Considere epsilon = 0.3, ou seja, se eu
escolher aleatoriamente um número entre 0 e 1, há uma chance de 70% de que ele esteja fora dos
intervalos. Visualmente, o que significa estar fora dos intervalos? Bem, a
raiz quadrada de 2 sobre 2 faz parte desse 70% e vou dar um zoom nele. Enquanto isso
vou desenhar os primeiros 10 intervalos da lista que caem no nosso campo de visão. Conforme nos
aproximamos de raiz de 2 sobre 2, apesar de sempre aparecer mais racionais
no nosso campo de visão, os intervalos correspondentes se tornam bem pequenos bem
rapidamente. Podemos dizer que para qualquer sequência de números racionais que tende a raiz
quadrada de 2 sobre 2, os intervalos cobrindo os termos dessa sequência encolhem mais rápido do

Polish: 
Miejcie więc na uwadze, że przedział, który reprezentują to malutki odcinek pomiędzy środkami nawiasów.
Okej, wracając do wizualnej intuicji.
Rozważmy epsilon równy 0.3,  co oznacza, że gdy losowo wybiorę liczbę z przedziału od 0 do 1,
to jest szansa 70%, że  znajdzie się pomiędzy tymi nieskończenie wieloma przedziałami.
Jak wygląda bycie poza tymi przedzialami?
Pierwiastek kwadratowy z 2 dzielony przez 2 jest wśród tych 70%
a ja go przybliżę.
Narysuję 10 pierwszych przedziałów z listy znajdujących się w naszym polu widzenia.
Gdy zbliżamy się coraz bardziej do pierwiastka z 2 dzielnonego przez 2,
to pomimo tego, że zawsze znajdziemy liczby wymierne w polu widzenia,
przedziały pokrywające te liczby bardzo szybko maleją.
Można powiedzieć, że biorąc dowolny ciąg liczb wymiernych zbliżający się do pierwiastka z 2 dzielonego przez 2,
przedziały pokrywające elementy tego ciągu zwężają się szybciej niż ten ciąg zbiega.

Italian: 
per l'orrenda croce a forma di cromosoma, quindi tieni a mente che l'intervallo che rappresentano
è il piccolo spazio tra i centri delle parentesi. OK, torniamo all'intuizione
visiva. Considera quando ε=0.3, nel senso che se
scelgo un numero a caso tra 0 e 1, c'è il 70% di probabilità che si trovi al di fuori di tutti questi
infiniti intervalli. Cosa significa essere fuori dagli intervalli? Ebbene, la
radice di 2 su 2 fa parte di questo 70%, quindi vado a zoommarci. Nel farlo,
disegno i primi dieci intervalli della lista per ragionare sempre in termini visivi. Nell'avvicinarci
Alla radice di 2 su 2, anche se troverai sempre numeri razionali nel
tuo campo visivo, gli intervalli piazzati sopra a questi razionali si rimpiccioliscono molto
velocemente. Si potrebbe dire che per una qualsiasi sequenza di numeri razionali che si avvicinino alla radice
quadrata di 2 su 2, gli intervalli che coprono gli elementi di questa sequenza si restringano più velocemente di

Spanish: 
ir con la horrible cruz cromosómica, así que ten en mente que el intervalo que representan
es el pequeño tramo entre los centros de cada paréntesis. Ok, volvamos a la
intuición visual. Cosidera cuando épsilon es 0.3, significando que si
elijo un número entre 0 y 1 al azar, hay una chance de 70% de que esté afuera de todos esos
infinitos intervalos. ¿Cómo se ve estar fuera de los intervalos? Bueno, la
raíz cuadrada de 2 sobre 2 esta dentro de ese 70%, y voy a aumentar en ella. Mientras lo hago,
voy a dibujar los primeros 10 intervalos en la lista dentro de nuestro alcance de visión. A medida que nos
acercamos a la raíz cuadrada de 2 sobre 2, a pesar de que siempre hallas racionales dentro
de tu campo de visión, los intervalos ubicados encima de estos racionales se vuelven realmente pequeños muy
rápido. Uno podría decir que para cualquier secuencia de números racionales acercándose a la raíz cuadrada
de 2 sobre 2, los intervalos que cubren los elementos de esa secuencia se achican más rápido que

Chinese: 
去與難看的旋體形狀的交叉，所以
請記住，他們代表的間隔
是在每對刮號當中很小的一小段。好吧，回到看圖形的直覺。
考慮一下如果epsilon = 0.3，意思是如果我
隨機選擇一個0到1之間的數字，它有70％在所有這些無窮多的間隔之外。
在間隔之外它看起來是什麼樣的呢？
喜歡在間隔之外？那麼，
2的平方根除以在2就是在70％部分的，而我要放大這一點。當我這樣做
我將在視野裏畫出前10個間隔。當我們得到
隨著更接近2的平方根除以2時，儘管你會一直在視野裏找到一些有理數，
放在那些有理數上面的那些間隔變得很小真的很快。
有人會說，對任何趨近2的平方根除以2的任何有理數數列，
覆蓋著這個數列的那些項縮小得比那個

French: 
ces croisements chromosomiques hideux, donc gardez à l'esprit que les intervalles représentés
sont les petites zones au centre de chaque parenthèse. Ok, retournons à la représentation visuelle.
Considérons le cas où ε = 0.3, ce qui signifie que si je
choisis un nombre entre 0 et 1au hasard, il y a 70% de chances qu'il soit en dehors de ce
recouvrement. A quoi cela ressemble t'il de se trouver en dehors de ce recouvrement ?
Eh bien (√2)/2 est parmi ces 70%, et je vais zoomer sur lui. Au fur et à mesure que je zoomerai,
je dessinerai les 10 premier intervalles que l'on a considéré présents dans la zone zoomée.
Plus on s'approchera de (√2)/2, même si on trouvera toujours des rationnels dans
la zone zoomée, les intervalles placés au-dessus de ces rationnels deviennent vraiment très petits
très vite. On pourrait dire que pour toute suite de rationnels approchant (√2)/2,
les intervalles recouvrant les éléments de cette suite rapetissent plus vite que

Arabic: 
لذلك ضع في ذهنك أنّ ذلك الفاصل الذي تمثله هذه الأقواس هو الامتداد الصغير من المراكز نحو كل قوس
الآن ، لنعد للبديهة البصرية
لنتأمل الحالة التي يكون فيها ابسيلون مساوٍ إلى 0.3
فإذا قمنا باختيار عدد واقع بين الصفر والواحد  عشوائياً، فهناك احتمال وقدره 70% أن يكون خارج هذه التشكيلة اللانهائية من المجالات
كيف يبدو الوضع بالنسبة لعدد واقع خارج هذه المجالات؟
إنّ العدد جذر 2 مقسوماً على 2 سيكون من بين ال 70%
سأقوم بتكبير العرض حول هذا العدد
وبينما أقوم بذلك سأرسم أول عشر مجالات مفتوحة  من القائمة ضمن نطاق رؤيتنا
فكلما اقتربنا أكثر فأكثر من جذر 2 على 2 وعلى الرغم من أننا نرى دائماً أعداداً كسرية ضمن مجال الرؤية ،
فإنّ المجالات المفتوحة التي تغطي تلك الأعداد تصبح بشكل صغيرة حقاً وبشكل سريع
يمكن القول بأنه من أجل أية متتالية من الأعداد الكسرية والمتقاربة من جذر 2 على 2 فإنّ المجالات التي تغطي عناصر تلك المتتالية تكون متقلصة بشكل أسرع من هذه المتتالية المتقاربة

English: 
to go with the ugly chromosomal cross, so
keep in mind that the interval they represent
is the tiny stretch between the centers of
each parenthesis. Okay, back to the visual
intuition.
Consider when epsilon = 0.3, meaning if I
choose a number between 0 and 1 at random,
there is a 70% that it is outside all those
infinitely many intervals. What does it look
like to be outside the intervals? Well, the
square root of 2 over 2 is among those 70%,
and I’m going to zoom in it. As I do so
I’ll draw the first 10 intervals in the
list within our scope of vision. As we get
closer to the square root of 2 over 2, even
though you will always find rationals within
your field of view, the intervals placed on
top of those rationals get really small really
fast. One might say that for any sequence
of rational numbers approaching the square
root of 2 over 2, the intervals covering the
elements of this sequence shrink faster than

Chinese: 
該數列收斂要快。注意，如果它們的間隔真的很小如果它們
出現在單子很晚，如果他們有大的
分母，所以事實上2的平方根除以2是在沒有讓我們的間隔所覆蓋70％之內
在一種意義上是一種方法正式化否則是那種模糊的只要有大分母和接近
一些有理數的說法。也就是說2的平方根除以2是不和諧的。
事實上，我們使用一個更小的epsilon
比方說0.01，並將我們的圖像轉移到間隔的頭上從1到2而不是從0到1.
然後那些數字落在覆蓋在我們微小的間隔1％的精華的之中？它們幾乎全
和諧的！例如，和諧的無理數2 ^ {7/12}就是非常接近於3/2，這是

Polish: 
Zauważcie, że przedziały znajdujące się na dalekich pozycjacj w liście są bardzo wąskie,
a liczby wymierne pojawiają się na dalekich pozycjach listy, gdy ich mianowniki są duże,
więc fakt, że pierwiastek z 2 dzielony przez 2 jest wśród 70% niepokrytych przez nasze przedziały,
jest w pewnym sensie sposobem na sformalizowanie niejasnego pomysłu,
że w pobliżu pierwiastka z 2 dzielonego przez 2 znajdą się jedynie liczby wymierne z dużymi mianownikami.
To znaczy,  że pierwiastek z 2 dzielony przez 2 jest kakofoniczny.
Wybierzmy teraz mniejszy epsilon, powiedzmy 0.01,
i przesuńmy nasze pokrycie tak aby pokrywało przedział między 1 a 2 zamiast przedziału od 0 do 1.
Jakie liczby znajdą się wtedy wśród 1% pokrytego przez nasze malutkie przdziały?
Prawie wszystkie spośród nich są harmoniczne!

French: 
le séquence converge. Remarquez comme les intervalles deviennent petits s'ils
apparaissent très tard dans la liste, et les rationnels apparaissent tard dans la liste lorsqu'ils ont de grands
dénominateurs, donc le fait que (√2)/2 est dans les 70% non recouverts
par notre recouvrement est une manière de formaliser l'idée que les seuls rationnels
"proches" de (√2)/2 ont de grands dénominateurs. C'est à dire que (√2)/2
est cacophonique. En fait, utilisons un ε plus petit, comme
0.01, et changeons notre recouvrement pour l'intervalle de 1 à 2 au lieu de celui de 0
à 1. Quels sont alors les nombres-élites des 1% contenus dans nos petits intervalles ? Presque tous
sont harmoniques ! Par exemple, le nombre irrationnel harmonique 2^{7/12} est très

Italian: 
quanto la sequenza non converga. Nota, gli intervalli sono molto più piccoli se
vengono fuori tardi nella lista, e i numeri razionali vengono fuori tardi quando hanno denominatori
grandi, quindi il fatto che la radice quadrata di 2 su 2 sia nel 70% non coperto
dai nostri intervalli è in un certo senso un modo per formalizzare l'altresì vaga idea che solo i numeri razionali
con un denominatore elevato si avvicinino ad esso. Questo per dire, la radice di 2 su
2 è cacofonica. Ora, usiamo un ε più piccolo, facciamo
0.01, e trasliamo la nostra sistemazione sull'intervallo da1 a 2 invece che da 0
a 1. Ora, quali numeri ricadono nell' élite dell'1% coperta dai nostri piccoli intervalli?
quasi ognuno di
essi è armonico! Ad esempio, il numero irrazionale 2^(7/12) è molto

Portuguese: 
que a sequência converge, Repare que os intervalos são minúsculos se eles
demoram para aparecer na lista, e racionais demoram para aparecer na lista se seus denominadores
são grandes. Então o fato de raiz de 2 sobre 2 estar nos 70% não cobertos
pelos nossos intervalos é um jeito de formalizar a ideia vaga de que os racionais
"próximos" de raiz de 2 sobre 2 tem denominador grande. Ou seja, a raiz quadrada de 2 sobre
2 é cacofônica.  De fato, considere um epsilon menor, por exemplo
0.01, e translade o problema para o intervalo entre 1 e 2, ao invés de 0 e 1.
Quais números estão na elite, o 1% coberto pelos nossos pequenos intervalos? Quase todos
eles são harmônicos! Por exemplo, o número irracional harmônico 2^{7/12} está muito

English: 
that sequence converges.
Notice, intervals are really small if they
show up very late in the list, and rationals
show up late in the list when they have large
denominators, so the fact that the square
root of 2 over 2 is among the 70% not covered
by our intervals is in a sense a way to formalize
the otherwise vague idea that the only rational
numbers “close” to it have large denominators.
That is to say, the square root of 2 over
2 is cacophonous.
In fact, let’s use a smaller epsilon, say
0.01, and shift our setup to lie on top of
the interval from 1 to 2 instead of from 0
to 1. Then which numbers fall among the elite
1% covered by our tiny intervals? Almost all
of them are harmonious! For instance, the
harmonious irrational number 2^{7/12} is very

Arabic: 
لاحظ أنّ المجالات تصبح صغيرة حقاً  إذا تقدمنا كثيرًا في القائمة و كذلك الأعداد الكسرية تصبح ذات مقامات كبيرة إذا تقدمنا أيضاً في القائمة
وبالتالي فإنّ  حقيقة جذر 2 على 2 من بين ال 70% من الأعداد التي لم تتغطى بالمجالات السابقة التي تغطي الأعداد الكسرية
هي طريقة أخرى للتعبير عن الفكرة الغامضة بأنّ الأعداد الكسرية "القريبة " من جذر 2 على 2 هي فقط تلك الكسور التي مقاماتها كبيرة
وهذا يعني  أن العدد جذر 2 على 2 يعبر عن صوت تنافري
في الحقيقة، لنقم باختيار ابسيلون أصغر ولنقل 0.01 ومن ثم نقوم بإزاحة العملية السابقة للمجال مابين الواحد والاثنين بدلاً من الصفر والواحد
حينها ماهي الأعداد التي ستكون من نخبة ال 1% المغطاة بواسطة مجالاتنا الصغيرة؟

Spanish: 
la secuencia converge. Nota, los intervalos son realmente pequeños si se
muestran muy tarde en la lista, y los racionales se muestra tarde en la lista cuando tienen grandes
denominadores, así que el hecho de que la raíz cuadrada de 2 sobre 2 está dentro del 70% no cubierto
por nuestros intervalos es de alguna manera una forma de formalizar la vaga idea de que solo
números racionales cercanos a ella tienen grandes denominadores. Esto quiere decir, que la raíz cuadrada de 2 sobre
2 es cacafónica. De hecho, usemos un épsilon más chico, sigamos
0.01, y cambiemos nuestra configuración para caer sobre el intervalos de 1 a 2 en vez de 0
a 1. Luego, ¿cuáles números caen dentro de la élite de 1% cubierta por nuestros pequeños intervalos?. Casi todos
son armoniosos! Por ejemplo, el armoniosos número irracional 2^(7/12) es muy

English: 
close to 3/2, which has a relatively fat interval
sitting on top of it, and the interval around
4/3 is smaller, but still fat enough to cover
2^{5/12}. Which members of the 1% are cacophonous?
Well, the cacophonous rationals, meaning those
with high denominators, and irrationals that
are very very very close to them. However,
think of the savant who finds harmonic patterns
in all rational numbers. You could imagine
that for her, harmonious numbers are precisely
those 1% covered by the intervals, provided
that her tolerance for error goes down exponentially
for more complicated rationals.
In other words, the seemingly paradoxical
fact that you can have a collection of intervals
densely populate a range while only covering
1% of its values corresponds to the fact that
harmonious numbers are rare, even for the
savant. I’m not saying this makes it the
result more intuitive, in fact, I find it

Arabic: 
إنّ معظم هذه الأعداد المغطاة هي توافقية، فعلى سبيل المثال العدد التوافقي غير الكسري 2 للقوة 7/12  قريب جداً من 3/2  المغطى بمجال وسيع نسبياً،
والمجال الذي يغطي 4/3 أقل وسعاً لكن بإمكانه أن يتسع للعدد 2  للقوة 5/12
فأي  نخبة ال 1% من هذه الأعداد تعبر عن صوت متنافر؟
في الحقيقة، إنّ الأعداد التي تعبر عن الصوت التنافري هي الأعداد الكسرية ذات المقامات الكبيرة وكذلك الأعداد غير الكسرية القريبة جداً جداً منها
لكن  دعونا نتخيل وجود شخص ذو حس موسيقي يستطيع التقاط جميع الأنماط التوافقية الناتجة عن كل الأعداد الكسرية
فالنسبة له الأعداد التوافقية هي بالضبط تلك التي تشغل 1% من كامل المجال مابين الواحد والاثنين شريطة أن يتسامح مع خطأ يتناقص أسياً بالنسبة للكسور الأكثر تعقيداً
بعبارة أخرى،  إنً الحقيقة التي تبدو متناقضة هي امتلاك تشكيلة من المجالات تشغل نطاقاً بشكل كثيف وتغطي 1% من قيمة المجال الأصلي
تقابل حقيقة أنً الأعداد التوافقية نادرة حتى بالنسبة للموسيقي ذو الحس العالي

French: 
proche de 3/2, qui a un intervalle très gros le contenant, et si l'intervalle autour de
4/3 est plus petit, il est toujours assez grand pour contenir 2^{5/12}. Et quels sont les nombres cacophoniques de ces 1% ?
Eh bien ce sont les rationnels cacophoniques, c'est à dire ceux avec un grand dénominateur, ainsi que
les irrationnels très très très proches. Cependant, repensons au savant qui trouve des motifs harmoniques
pour tous les rationnels. On pourrait imaginer que pour lui, les nombres harmoniques sont précisément
les 1% recouverts par les intervalles, pourvu que l'erreur diminue exponentiellement
pour des rationnels plus compliqués. Autrement dit, le fait soi-disant paradoxal
que l'on peut avoir un ensemble de petits intervalles remplissant un intervalle continue tout en recouvrant seulement
1% de ses valeurs correspond au fait que les nombre harmoniques sont rares, même pour le
savant. Je ne dis pas que cela rend le résultat plus intuitif, en fait, je trouve

Polish: 
Na przykład: harmoniczna liczba niewymierna 2 ^ (7/12) jest bardzo blisko liczby 3/2,
która jest pokryta względnie szerokim przedziałem.
Przedział pokrywający 4/3 jest mniejszy ale i tak na tyle szeroki by pokryć 2^(5/12)
A które liczby wśród tego 1% są kakofoniczne?
Są to kakofoniczne liczby wymierne, czyli te z dużymi mianownikami,
oraz liczby niewymierne, które znajdują się bardzo, bardzo, bardzo blisko nich.
Jednakże, wróćmy do sawanta, który dostrzega harmoniczne schematy w każdej liczbie wymiernej.
Można sobie wyobrazić, że dla niego wszystkie liczby harmoniczne to dokładnie ten 1% pokryty przez te przedziały,
o ile jego tolerancja na błędy spada wykładniczo dla bardziej skomplikowanych liczb wymiernych.
Innymi słowy, pozornie paradoksalny fakt, mówiący,
że możemy mieć zbiór przedziałów, gęsto rozmieszczonych w jakimś innym przedziale,
które pokryją jedynie 1% wszystkich jego wartości,
odpowiada faktowi, że harmoniczne liczby są rzadko spotykane, nawet dla sawanta
Nie twierdzę, ze to czyni ten wynik bardziej oczywistym.

Chinese: 
在上面的一個相對寬的間隔，而在
4/3附件的間隔較小，但仍然足夠覆蓋
2 ^ {5/12}。這1%中哪一個成員是不和諧的？
那麼，那些不和諧的有理數，意思是
那些有大分母的和無理數的
是非常非常接近他們。然而，想想這個在所有有理數字中找出諧波式樣的
精通音樂的人。你可以為她來想像，和諧的那些數字正是
由那些間隔所覆蓋的那些1％至要她對那些更爲複雜的有理數的誤錯的容忍度
有著指數級下降。換句話說，看似矛盾
的事實，你可以有一個間隔的集合密集地存在於一個範圍裏而同時只覆蓋
其值的1％這對應著這個事實即那些和諧的數字是罕見的，即使對這個
精通音樂的人來說。我不是說這使這個
結果更符合直覺，事實上，我發現

Portuguese: 
próximo de 3/2, que tem um intervalo relativamente largo. E o intervalo em torno de 4/3 é menor,
mais ainda é grande o suficiente para cobrir 2^{5/12}. Quais membros desse 1%são cacofônicos?
Os racionais cacofônicos, isto é, aqueles com denominadores grandes e os irracionais que
estão muito muito perto deles. No entanto, pense no sábio que reconhece padrões harmônicos
em todos os números racionais. Dá pra imaginar que para ele, números harmônicos são exatamente
aquele 1% coberto pelos intervalos, supondo que a tolerância dele diminua exponencialmente
para racionais mais complicados. Em outras palavras, o fato aparentemente paradoxal
de que há uma coleção de intervalos que cobre um subconjunto denso, mas só cobre
1% de todos os valores corresponde ao fato de que números harmônicos são raros, mesmo para o sábio.
Não estou dizendo que isso torna o resultado mais intuitivo. Na verdade, é

Spanish: 
cercano a 3/2, el cual tiene un relativamente gordo intervalo encima suyo, y el intervalo alrededor de
4/3 es más chico, pero suficientemente gordo para cubrir 2^(5/12). ¿Cuáles miembros del 1% son cacafónicos?
Bueno, los racionales cacafónicos, significando aquellos con altos denominadores, e irracionales que
son muy muy muy cercanos a ellos. Sin embargo, piensa en el erudito que halla patrones armoniosos
en todos los números racionales. Podrías imaginar que para él, los números armoniosos son precisamente
ese 1% cubierto por los intervalos, previsto que su tolerancia de error decrece exponencialmente
para racionales más complicados. En otras palabras, la aparente paradoja
de que puedes tener una colección de intervalos que pueblan densamente un rango mientras que sólo cubres el
1% de sus valores corresponde al hecho de que los números armónicos son raros, incluso para el
erudito. No estoy diciendo que esto hace el resultado más intuitivo, de hecho,  encuentro

Italian: 
vicino a 3/2, al quale viene assegnato un intervallo relativamente grande con la traslazione, e l'intervallo di
4/3 è più piccolo, ma rimane abbastanza grande da coprire 2^(5/12). Quali numeri dell'1% sono cacofonici?
Ebbene, i numeri razionali cacofonici, ovvero quelli con denominatori elevati, e irrazionali che
gli siano fortemente vicini. In ogni caso, pensa alla musicista che trova schemi armonici
in tutti i numeri razionali. Potresti immaginare che, per lei, i numeri armoniosi siano
quell'1% coperto dagli intervalli, dato che la sua tolleranza di errore si abbassa esponenzialmente
per numeri razionali più complicati. In altre parole, il fatto l'apparentemente paradossale
che tu possa avere una collezione di intervalli densamente popolati in un insieme anche coprendone
solo l'1% dei suoi valori corrisponde al fatto che i numeri armonici siano rari, anche per la
musicista. Non sto dicendo che ciò renda il risultato più intuitivo, in realtà, trovo

Arabic: 
إنني لا أقول أنّ هذه النتيجة أقرب للفطرة، بل ما أجده مدهشاً هو أنَ الشخص الموهوب موسيقياً الذي افترضه سيجد أن 99% من النسب تعبر عن صوت تنافري
لكن حقيقة أنّ هاتين الفكرتين مرتبطتان كانت جميلة ببساطة وتستحق المشاركة

Portuguese: 
surpreendente que o sábio que eu defini ainda considera 99% de todas as razões cacofônicas.
Mas o fato de que essas duas ideias estão conectadas é simplesmente belo demais para não compartilhar.

Italian: 
sorprendente il fatto che la musicista che ho definito potesse trovare il 99% dei rapporti cacofonico,
ma il fatto che queste idee fossero connesse era semplicemente troppo bella per non condividerla.

Spanish: 
bastante sorprendente que el erudito que definí pueda hallar el 99% de todas las proporciones cacafónicas,
pero el hecho de que estas dos ideas están conectadas era simplemente demasiado hermoso como para no compartirlas.

English: 
quite surprising that the savant I defined
could find 99% of all ratios cacophonous,
but the fact that these two ideas are connected
was simply too beautiful not to share.

French: 
surprenant le fait que le savant que j'ai défini peut trouver 99% de trous les rapports cacophoniques,
mais le fait que ces deux idées sont connectée était tout simplement trop belle pour ne pas être partagée.

Polish: 
Tak na prawdę to dla mnie jest to dosyć zaskakujące, że zdefiniowany przeze mnie sawant
spośród wszystkich stosunków, 99% uznałby za kakofoniczne.
Jednak fakt, że obie te koncepcje są ze sobą powiązane był zwyczajnie zbyt piękny, by się nim nie podzielić

Chinese: 
這相當驚訝我所定義的精通音樂的人
可以找到所有比例中的99％的非和聲，
但這兩種思想是相關的就真的是太美了而不能不來分享。
什麽是測度理論？
  如果你聽到過有理數的數目是可數的無窮多而實數是不可數的無窮多，你可能已經有了這個的想法“幾乎所有的實數”都是無理數；如果實你扔一個鏢，打中一個有理數的幾率是無窮小的；而如果這實數軸是一根鐵桿，所有的質量會是在無理數的上的。所有這些儘管事實是有理數的“密集的”。
  測量理論是數學家用來規範化和研究質量的思想的工具，特別是在一個連體。Lebesque測度是用來確定一個物體的真正質量，一個實數的子集，而那是如下定義的：對於覆蓋該集的開端間隔長度（最大可能的）的總和。因此在這個視頻中的謎顯示有理數的Lebesque測度是0，因爲相關的總和可以是我們要怎樣小就怎樣小！這不是一個很聰明的定義嗎？而從這個證明中你可以看到這一切都和這個事實有關，有理數是可數的無限。不過注意，有很多不可數發無限的集，像維度在0和1之間的碎塊，其Lebesque測度也可以為為0的。
