
Korean: 
많은 동영상들과
연습 문제를 통해
많은 동영상들과
연습 문제를 통해
극한을 구하는
다양한 방법에 대해
배워보았습니다
하지만 때때로 어느 방법을
사용할지에 결정하는
좋은 전략에 대해 생각해볼
필요도 있습니다
이번 영상에서는 그러한
전략에 대해 배울 것입니다
여기 보이는 것은
칸아카데미 팀이
직접 개발한 흐름도입니다
이제부터 이 흐름도를
따라가 볼 것입니다
처음에는 좀 복잡해 보이겠지만
수업을 진행하면서
점점 이해될 것입니다
우리의 목표는
x가 a에 가까워질 때
f(x)의 극한값을 찾는 것입니다
이 흐름도에 따르면
가정 먼저 해야 할 일은
x가 a일 때 나오는 값을
치환해 보는 것입니다
f(a)의 값을 구해 봅시다
이 흐름도에 따르면
f(a)가 실수라면
모든 과정이 끝났습니다
하지만 밑에 작은
조항이 있네요
아마도
이 조항이 적혀 있는 이유는
극한값과 함수값은
서로 다른 것이기 때문입니다
두 값이 같을 때도 있습니다

English: 
- [Instructor] Multiple
videos and exercises
we cover the various techniques
for finding limits.
But sometimes, it's helpful
to think about strategies
for determining which technique to use.
And that's what we're going
to cover in this video.
What you see here is a flowchart
developed by the team at Khan Academy,
and I'm essentially going to
work through that flowchart.
It looks a little bit
complicated at first,
but hopefully it will make sense
as we talk it through.
So the goal is, hey,
we want to find the limit of f of x
as x approaches a.
So what this is telling us to do is,
well the first thing,
just try to substitute what
happens when x equals a.
Let's evaluate f of a.
And this flowchart says,
if f of a is equal to a real number,
it's saying we're done.
But then there's this little caveat here.
Probably.
And the reason why is that
the limit is a different thing
than the value of the function.
Sometimes they happen to be the same.

Czech: 
Ve vícero videích i cvičeních jsme si
ukázali různé metody pro výpočet limit,
ale někdy je užitečné
mít strategii,
pomocí níž nejprve určíme,
kterou metodu použijeme.
Právě na to se podíváme
v tomto videu.
Na obrazovce vidíte schéma,
které připravil tým Khan Academy,
a já ho teď
podrobně rozeberu.
Může se sice zdát
trochu složité,
ale snad vám bude dávat smysl,
až si ho spolu projdeme.
Naším cílem je spočítat limitu
funkce f(x) pro x blížící se k ‚a‘.
Naše schéma nám říká,
co musíme udělat.
Nejprve máme zkrátka
za x dosadit ‚a‘.
Máme spočítat f v bodě ‚a‘.
Schéma říká, že pokud je f v bodě ‚a‘
rovno nějakému reálnému číslu,
tak už máme hotovo.
Ale pak je tu tento
dodatek: „Pravděpodobně.“
Důvod je ten, že limita v bodě
a funkční hodnota není to samé.
Někdy se sobě rovnají,

Bulgarian: 
С много видеа и упражнения
обяснихме различни техники
за намиране на граници.
Но понякога е полезно да имаме
цялостна стратегия,
с която да определим
правилната техника за случая.
С това ще се занимаем
в това видео.
Тук имаме една диаграма,
създадена от екипа
на Кан Академия.
Тук просто
ще я обясня.
На пръв поглед
изглежда сложно,
но се надявам
да стане ясна,
когато преминем
през нея.
Нашата цел е
да намерим границата на f(x),
когато х клони към а.
Диаграмата ни казва
най-напред да опитаме 
да заместим с х = а.
Да изчислим f(a).
Диаграмата казва,
това е зелената стрелка,
че ако f(a) е реално число,
то сме готови.
Но има и малка уловка:
вероятно сме готови.
Причината е, че
границата е различно понятие
от стойността на функцията.
Понякога са еднакви:

Korean: 
그것이 바로 이전
영상들에서 다뤘던
연속함수의 정의입니다
하지만 때때로 두 값은
서로 다릅니다
이것은 보통
이와 같은 점 불연속성을
가진 함수이거나
혹은 비약 불연속성을
가진 함수이거나
아니면 이와 같은 모양의
함수일 수도 있습니다
물론 꼭 그렇다는 것은 아닙니다
하지만 해당 점에서
그 점을 향해 가까워지는
극한값을 찾으려고 하는데
이 값에 가까워질 때
주어진 함수가 연속되며
다소 평범한 형태의
함수로 보인다면
이 전략을 알아두는
것이 좋습니다
그럼 여러분은
단순히 a를 치환한
함수값을 구하면
되는 것인지
고려해볼 수 있습니다
통상적으로
x²과 같은 단순한 형태의
함수가 주어졌거나
아니면 이와 같이 유리식이
주어졌거나
혹은 삼각함수식이
주어졌고
함수값을 쉽게 구할 수 있으며
함수값이 실수라면
아마 그것으로 끝일
가능성이 높습니다

Czech: 
tak dokonce
definujeme spojité funkce,
o kterých jsme mluvili
v dřívějších videích,
avšak někdy
se sobě nerovnají.
Tohle nebude nutně platit,
když pracujeme s nějakou funkcí,
která má odstranitelnou nespojitost
jako v tomto případě,
nebo která má
nespojitost 1.druhu,
nebo s funkcí,
která vypadá takto.
V takových případech
to nutně neplatí.
Pokud je ale v bodě,
v němž hledáme limitu…
Když se blížíme
k tomuto bodu…
Pokud je funkce spojitá,
tedy chová se nějak rozumně,
tak je dobré mít
tohle na paměti,
položit si otázku: „Nemohl bych prostě
spočítat funkční hodnotu v tomto bodě?“
Takže když pracujete s obyčejnými
funkcemi jako x na 2,
nebo když pracujete s
racionálními výrazy jako je tento,
nebo s goniometrickými
funkcemi,
tak pokud dokážete spočítat
funkční hodnotu a je to reálné číslo,
tak už máte
nejspíš hotovo.

English: 
In fact, that's the definition
of a continuous function
which we talk about in previous videos,
but sometimes, they aren't the same.
This will not necessarily be true
if you're dealing with some function
that has a
point
discontinuity like that
or a jump discontinuity,
or a function that looks like this.
This would not necessarily be the case.
But if at that point
you're trying to find the limit towards,
as you approach this
point right over here,
the function is continuous,
it's behaving somewhat normally,
then this is a good thing to keep in mind.
You could just say, hey,
can I just evaluate the function
at that
at that
a over there?
So in general, if you're dealing with
pretty plain vanilla
functions like an x squared
or if you're dealing with
rational expressions like this
or trigonometric expressions,
and if you're able to
just evaluate the function
and it gives you a real number,
you are probably done.

Bulgarian: 
това е и определението
на непрекъсната функция,
за което говорихме
в някои предишни уроци,
но друг път са различни.
Това не е задължително
да е вярно,
ако си имаме работа с функция,
която има точка на прекъсване, 
например така,
или прекъсване от първи род,
или функция,
която изглежда така.
Това са някои изключения.
Но ако в нашата точка,
при която търсим границата,
когато се доближаваме към нея,
функцията е непрекъсната,
то границата е с
нормално поведение.
Това е добре да се помни.
Може да си кажеш: 
не мога ли просто
да изчисля функцията 
в тази точка?
Ако си имаш работа
с тривиални функции,
като например х²,
с подобни рационални изрази
или тригонометрични изрази
и ако успееш да
изчислиш функцията
и се получи реално число,
то вероятно
ще бъде решението.

English: 
If you're dealing with
some type of a function
that has all sorts of special cases
and it's piecewise defined
as we've seen in previous other videos,
I would be a little bit more skeptical.
Or if you know visually around that point,
there's some type of jump
or some type of discontinuity,
you've got to be a
little bit more careful.
But in general,
this is a pretty good rule of thumb.
If you're dealing with
plain vanilla functions
that are continuous,
if you evaluate at x equals a
and you got a real number,
that's probably going to be the limit.
But I always think about
the other scenarios.
What happens if you evaluate it
and you get some number divided by zero?
Well, that case,
you are probably dealing
with a vertical asymptote.
And what do we mean by vertical asymptote?
Well, look at this
example right over here.
Where we just say the limit
put that in a darker color.
So if we're talking about
the limit
as x approaches one
of one over

Korean: 
만약 이전 영상에서 보았던
온갖 특별한 경우들이나
개별식 함수로 정의된
그러한 함수들이 주어졌다면
좀 더 의심해볼 필요가 있습니다
혹은 그래프를 보았을 때
해당 점에서 도약이나
어떤 종류의 불연속성이
보인다면
좀 더 조심할 필요가 있습니다
하지만 통상적으로
이것은 상당히 정확한 법칙입니다
만약 주어진 함수가
단순한 형태이고
연속함수이며
x에 a를 치환하였을 때
함수값이 실수가 나온다면
그 함수값이 극한값일
가능성이 높습니다
하지만 전 항상 다른
경우들도 고려합니다
만약 함수값을 구했는데
어떤 숫자를
0으로 나눈 값이 나온다면요?
그러한 경우에는
아마 수직점근선이
존재할 가능성이 높습니다
수직점근선이란 무엇일까요?
여기 예제를 살펴보세요
좀 더 진한 색깔을 사용할게요
x가 1에 가까워질 때

Bulgarian: 
Но ако имаш някаква
функция,
която има различни случаи
и е частично определена,
както видяхме в предишни видеа,
на твое място ще съм
много скептичен.
Или ако виждаш на графиката,
че около тази точка
има някакъв скок или прекъсване,
ще трябва да внимаваш повече.
Но като цяло, това е добро правило.
За тривиални функции,
които са непрекъснати,
ако ги изчислиш за х=а
и получиш реално число,
това число вероятно
ще е границата.
Но аз винаги мисля
и за други сценарии.
Какво ще се случи,
ако я изчислиш
и получиш някакво число,
делено на нула?
В този случай
вероятно имаш
вертикална асимптота.
Какво имам предвид
с това?
Виж този пример.
Тук имаме тази граница,
ще използвам по-тъмен цвят.
Ако говорим за границата, 
когато х клони към 1,

Czech: 
Když pracujete s nějakou funkcí, pro niž
platí v různých případech různé předpisy,
tedy která je po částech definovaná,
jak jsme viděli v předchozích videích,
tak buďte opatrnější.
Stejně tak když máte graf a víte,
že blízko tohoto bodu funkce skáče,
nebo že jde o
jiný typ nespojitosti,
musíte být také opatrnější,
ale obecně je
tohle užitečné pravidlo.
Když máte co do činění s
obyčejnými spojitými funkcemi
a po dosazení čísla ‚a‘
za x vám vyjde reálné číslo,
tak už to nejspíš
bude i hodnota limity.
Nyní se podívejme
na ostatní možnosti.
Co dělat, když nám po dosazení
vyjde nějaké číslo dělené nulou?
V tom případě jde
nejspíše o svislou asymptotu.
A co svislou
asymptotou myslíme?
Podívejme se
na tento příklad.
Limita…
Udělám to tmavší barvou.

Korean: 
1/x-1의 극한값을
구해 봅시다
만약 x가 1일 때
함수값을 구해 보면
1/1-1이 나오는데
이는 곧 1 / 0입니다
흐름도에 따르면
좋아요
수직점근선의 경우를
보고 있다고 나옵니다
해당 점에서
무슨 일이 일어나고
있는지 이해하고
수직점근선이 실제로 존재한다는
것을 확인하려면
몇 가지 숫자들을
집어넣어 보면서
그래프를 그려보면 됩니다
x가 1인 지점에서
아마 수직점근선이 존재할 겁니다
이것이 바로 그 수직점근선입니다
이제 몇 가지 값들을
집어넣어 보면 됩니다
x가 1보다 크다면
분모는 양수일 것이고
여러 가지 값들을
집어넣어 보면
이러한 그래프가 나올 것입니다
아마 이런 모양일 것이고
1보다 작은 값들에서는
음수값이 나올 것이고
그래프는 이러한
형태를 가지게 됩니다
이 수직점근선에
다다를 때까지 말이죠
주어진 함수는 아마도
이러한 형태일 것입니다
하지만 어떤 경우에는
아주 특별한 경우에는

English: 
x minus one,
if you just try to
evaluate this expression
at x equals one,
you would get one over one minus one
which is equal to one over zero.
It says, okay,
I'm throwing it,
I'm falling into this
vertical asymptote case.
And at that point,
if you wanted to just understand
what was going on there
or even verify that it's
a vertical asymptote,
well then you can try out some numbers,
you can try to plot it,
you can say, alright,
I probably have a vertical asymptote here
at x equals one.
So that's my vertical asymptote.
And you can try out some values.
Well, let's see.
If x is greater than one,
the denominator is going to be positive,
and so, my graph
and you would get this from
trying out a bunch of values.
Might look something like this
and then for values less than negative one
or less than one I should say,
you're gonna get negative values
and so, your graph might look
like something like that
until you have this vertical asymptote.
That's probably what you have.
Now, there are cases,
very special cases,

Bulgarian: 
на 1/(х – 1),
щом опитаме да изчислим
този израз за х = 1
ще получим 1 върху
1 – 1,
което е равно
на 1 върху 0.
Ето тук има ситуация, 
в жълто на диаграмата,
когато се сблъскваме
с вертикална асимптота.
На този етап,
за да разбереш какво се случва
или дори да докажеш
че има вертикална асимптота,
можеш да опиташ
да заместиш с няколко числа,
да начертаеш графиката 
и да установиш,
че имаш вертикална асимптота 
при х=1.
Ето я моята
вертикална асимптота.
Можеш да потърсиш
някои точки. Да видим.
Ако х е по-голямо от 1,
знаменателят ще е положителен.
На графиката е тук.
Ще я получиш,
като изчислиш няколко точки.
Тя може да изглежда така.
И после, за стойностите
на х, по-малки от 1,
получаваме отрицателни
числа.
И графиката ще изглежда
по ето такъв начин,
докато достигне
тази вертикална асимптота.
Вероятно имаме
нещо такова.
Но има и някои
много специални случаи.

Czech: 
Limita pro x blížící se k 1 z
1 lomeno (x minus 1).
Když za x dosadíte 1,
vyšlo by vám 1
lomeno (1 minus 1),
což se rovná
1 lomeno 0,
a to nám říká, že nejspíše
půjde o případ asymptoty.
Kdybyste chtěli lépe porozumět,
co se v tomto bodě děje,
nebo ověřit, že jde skutečně
o svislou asymptotu,
můžete dosadit různá
čísla a udělat si graf.
Řeknete si: „Dobře, bodem x rovno 1 mi
nejspíš prochází svislá asmyptota,“
tohle bude moje
svislá asymptota,
a dosadíte si
nějaké hodnoty.
Když je x větší než 1,
jmenovatel je kladný,
tudíž můj graf…
Takhle vám to vyjde,
když dosadíte pár hodnot.
Graf může
vypadat nějak takto.
A pro x menší než -1…
Vlastně pro hodnoty menší
než 1 vychází záporné hodnoty,
a tak bude graf
vypadat nějak takhle,
takže zde máme
svislou asymptotu,
to se v tomto
bodě nejspíš děje.

Korean: 
수직점근선이 없을 수도 있습니다
이에 대한 예제 하나는
함수가 1/x-x일 때입니다
이 함수는 어느 x값에서든
정의되지 않습니다
따라서 이 함수에서는
수직점근선이 존재하지 못합니다
하지만 이것은 아주
특별한 경우입니다
대부분의 경우
해당 지점에
수직점근선이 존재합니다
만약 두 가지 중 어느 경우도
아니라면 어떨까요
만약 함수값을 구했는데
0 / 0이 나온다면요?
이것이 그에 대한 예제입니다
x가 -1에 가까워질 때
이 유리식의 극한값을 구해봅시다
한 번 계산해 봅시다
(-1)², 즉 1이 나오고
여기에다가 -1을 더하면
+1이 됩니다
여기에서 2를 빼야 합니다
즉 분자는 0입니다
분모에서는 (-1)²
즉 1이 나오고
여기에서 -1 x 2를
더하면
+2가 나오며
여기에서 3을 빼면 0이 나옵니다
이것을 부정형 형태라고 부릅니다
우리의 흐름도에서
우측으로 계속 가보면

English: 
where you won't necessarily
have the vertical asymptote.
One example of that
would be something like
one over x
minus x.
This one here is actually
undefined for any x you give it.
So, it would be very,
you will not have a vertical asymptote.
But this is a very special case.
Most times,
you do have a vertical asymptote there.
But let's say we don't fall
into either of those situations.
What if when we evaluate the function,
we get zero over zero?
And here is an example of that.
Limit is x approaches negative one
of this rational expression.
Let's try to evaluate it.
You get negative one squared which is one
minus negative one which is plus one
minus two.
So you get zero the numerator.
And the denominator you
have negative one squared
which is one
minus two times negative one
so plus two
minus three which is equal to zero.
Now this is known as indeterminate form.
And so on our flowchart,
we then continue to the right side of it

Czech: 
V některých velmi speciálních případech
o svislou asymptotu nepůjde.
Příkladem může být
1 lomeno (x minus x).
Tento výraz není
definovaný pro žádné x,
takže ani nemůžeme
dostat svislou asymptotu.
Ale to je velice
speciální případ.
Většinou je v daném
bodě svislá asymptota.
Ale co když nejde ani
o jednu z těchto situací?
Co když nám po dosazení do
předpisu funkce vyjde 0 lomeno 0?
Tady máme příklad.
Limita pro x blížící se k -1 
z tohoto racionálního výrazu.
Zkusme dosadit.
Vyjde -1 to na
druhou, což je 1,
minus -1, což je +1,
minus 2, takže
v čitateli vyšlo 0.
Ve jmenovateli je -1 to
na druhou, což je 1,
minus 2 krát -1,
což je +2,
minus 3, a
to se rovná 0.
Tomu se říká
neurčitý výraz.
V našem schématu se tak
musíme přesunout doprava,

Bulgarian: 
Там не е задължително
да имаме вертикална асимптота.
Един такъв пример
е функция от типа на
у=1/(х – х).
Тази функция всъщност
е неопределена за всяка стойност.
Затова в нейния случай,
няма да имаме
вертикална асимптота.
Но това е изключение.
По-често
наистина имаме
вертикална асимптота тук.
Но ако не сме
в нито една от тези ситуации?
Какво става,
ако изчислим функцията
и получим 0/0?
На диаграмата
е отбелязано с червено.
Например границата
при х, клонящо към –1
на този рационален израз.
Да го изчислим.
Имаме (–1)², което е 1,
минус (–1), което е +1,
минус 2.
В числителя получихме 0.
А в знаменателя имаме
(–1)², което е 1,
минус 2 по (–1), значи +2,
минус 3,
което е равно на 0.
Това е познато още
като неопределена форма.
На диаграмата продължаваме
към дясната част,

Bulgarian: 
където има няколко техники
за справяне с
неопределената форма.
Също така,
вероятно съвсем скоро
ще научиш друга техника,
която използва
повече математически анализ:
тя се нарича Правило на Лопитал,
но не я разглеждаме тук,
тъй като тя използва
висша математика,
а всички техники тук
могат да се извършат
с изученото до момента.
Някои използват алгебра, 
а други ­– тригонометрия.
Първото нещо, 
което да опиташ,
особено ако имаш
рационален израз като този,
след като получиш
неопределената форма,
е да го разложиш
на множители.
Опитай се да опростиш този израз.
Даденият пример 
може да се разложи.
Той е равен на
(х – 2) по (х + 1)
върху (х – 3) по (х + 1).
Ако не ти е ясно
какво направих току-що
можеш да изгледаш уроците
за разлагане
на полиноми (многочлени)
на множители

Czech: 
kde je několik metod pro
práci s neurčitými výrazy.
V blízké době se nejspíše
naučíte další metodu,
která používá
L'Hospitalovo pravidlo.
Na něj je třeba znát
matematickou analýzu,
zatímco na tyto
metody to není třeba,
v nich jde jen o algebraické úpravy
a použití goniometrických identit.
První, co můžete
zkusit udělat,
zejména když pracujete s racionálními
výrazy jako tento a vyjde neurčitý výraz,
je rozkládat na součin.
Zkusit nějak
zjednodušit tento výraz.
Tento výraz lze
rozložit na součin.
To se rovná (x minus 2) krát (x plus 1) to
celé děleno (x minus 3) krát (x plus 1).
Pokud vám tohle
vůbec není povědomé,

English: 
and so here's a bunch of techniques
for trying to tackle something
in indeterminate form.
And
likely in a few weeks
you will learn another technique
that involves a little more calculus
called L'hospital's Rule
that we don't tackle here
because that involves calculus
while all of these techniques can be done
with things before calculus.
Some algebraic techniques
and some trigonometric techniques.
So the first thing that you might want to
try to do
especially if you're dealing
with a rational expression
like this
and you're getting indeterminate form,
is try to factor it.
Try to see
if you can simplify this expression.
And this expression here,
you can factor it.
This is the same thing as
x
x minus two
times x plus one
over
x
this would be x minus three
times x plus one
if what I just did seems
completely foreign to you
I encourage you to watch
the videos on factoring
factoring polynomials

Korean: 
부정형 형태를 다루기 위한
많은 방법들이 나와 있습니다
그리고 아마
몇 주 내로 여러분은
미적분을 좀 더 요구하는
새로운 방법을 배우게 될 겁니다
로피탈 정리를 사용하는 방법인데
미적분을 요구하니
여기에서는 다루지 않겠습니다
여기 서술된 다른 방법들은
미적분을 배우지 않고도
사용할 수 있으니까요
대수적 방법 몇 가지와
삼각함수를 이용하는 방법
몇 가지를 포함합니다
첫 번째로 여러분이
해야 할 것은
특히 여러분에게 주어진 함수가
이와 같은 유리식이라면
그리고 함수값이 부정형 형태라면
식을 인수분해해 보세요
이 식을 단순하게 만들 수 있는지
한 번 시도해 보세요
여기 주어진 식은
인수분해가 가능합니다
이 식은 달리 말하면
(x - 2) (x + 1)/(x - 3) (x - 1)입니다
(x - 2) (x + 1)/(x - 3) (x - 1)입니다
만약 방금 일어난 일이
전혀 이해되지 않는다면
다항식 인수분해와
이차방정식 인수분해에 대한

Czech: 
doporučuji vám podívat se na video
o rozkládání mnohočlenů na součin.
Vidíte, že výraz
můžeme zjednodušit,
protože když se x nerovná -1,
tyto dvě závorky můžeme pokrátit.
Mohu tedy napsat, že tohle se rovná
(x minus 2) lomeno (x minus 3),
pro x je různé od -1.
Tohle lidé občas zapomínají napsat,
ale je to matematicky přesnější.
Tyto dva výrazy
jsou si nyní rovny,
protože celý tento výraz také
není definovaný pro x rovno -1,
ačkoliv do něj můžeme za x dosadit -1
a vyjde nám nějaká hodnota.
Když sem za
x dosadíme -1,
čímž už však tyto výrazy
nebudou matematicky stejné,
tak dostaneme -1 minus 2, což je -3,
lomeno -1 minus 3, což je -4,
a to se celkem
rovná 3 lomeno 4.
Kdyby zde tedy
nebyla tato podmínka,
mohli byste
přímo dosadit.

English: 
or factoring quadratics.
And so,
you can see here, alright.
If I make the
I can simplify this 'cause
as long as x does not equal negative one,
these two things are going to cancel out.
So I can say that this is going
to be equal to x minus two
over x minus three
for x does not equal negative one.
Sometimes people forget to do this part.
This is if you're really
being mathematically precise.
This entire expression
is the same as this one.
Because this entire expression
is still not defined
if x equals negative one.
Although you can substitute
x equals negative one here
and now get a value.
So if you substitute x
equals negative one here
even if it's formally taking it away to be
mathematically equivalent,
this would be negative one
minus two
which would be
which would be negative three
over negative one minus three
which should be negative four
which is equal to three fourths.
So if this condition wasn't here,
you can just evaluate it straight up and

Bulgarian: 
или за разлагане на квадрати.
И така, виждаш, че
мога да направя това опростяване,
стига х да е различно
от –1.
Тези два множителя
ще се унищожат.
Мога да кажа,
че това е равно
на (х – 2)
върху (х – 3)
за х, различно от –1.
Понякога последното
уточнение се забравя,
но то е нужно, за да сме
прецизни математически.
Тези два израза са еднакви,
защото горният израз
също не е дефиниран
за х = –1.
Но вече можем да заместим
с х = –1 тук
и да получим стойност.
Като положим с х = –1,
макар формално
това да е изключено
от математическата
еквивалентност,
ще стане –1 минус 2,
което е равно на –3,
върху –1 – 3, което е –4.
Цялото е равно на 3/4.
Ако нямахме това условие,
можеше директно да изчислим

Korean: 
영상들을 보기를 추천합니다
이제 계속해 봅시다
x가 -1이 되지 않는 한
이 식은 단순하게 만들 수 있습니다
이 두 항은 서로 상쇄되며
따라서 주어진 식이
x -2 / x - 3와
같다고 말할 수 있습니다
x가 -1이 아니라는
전제 하에 말입니다
종종 사람들은 이 부분을
잊곤 합니다
하지만 이 부분을 포함해야
수학적으로 정확해집니다
이 식 전체는 이 식과 같습니다
이 식은 어찌됐건
x가 -1이라면 정의되지 않으니까요
단순해진 이 식에
x는 -1을 치환하면
함수값을 얻을 수는
있지만 말이죠
만약 x에 -1을 치환한다면
이 조건을 없애는 것이
수학적으로 동일해지기
위해서라고 해도
식이 -1 - 2 / -1 - 3이 되면
-3 / -4가 되며
이는 3/4과 같습니다
만약 이 조건이 없었다면
함수값을 간단히
구할 수 있게 되고

Czech: 
Tohle je
obyčejná funkce,
u které není důvod si myslet,
že by se chovala nějak divně,
takže pokud nyní za x můžu
dosadit -1, tak to vypadá dobře.
Takže nyní jsme rozložili
na součin, zjednodušili,
do zjednodušeného výrazu jsme dosadili
a už nám vyšla nějaká hodnota.
Vyšlo nám 3 lomeno 4.
Takže tato limita
se rovná 3 lomeno 4.
To, co jsme si zatím ukázali, tvoří náplň
většiny příkladů, se kterými se setkáte.
Další dvě metody jsou,
řekl bych, trochu zajímavější.
Když vám vyjde
neurčitý výraz,
obzvláště při práci s výrazy
obsahujícími odmocniny jako je tento,
při práci s racionálními
výrazy s odmocninou,
můžete zkusit
usměrňování výrazu.
Pokud například v tomto případě
za x rovnou dosadíte 4,

Korean: 
단순한 형태의 함수가 되버립니다
이 함수에서 이상한 일이
일어날 일은 없겠죠
x에 -1을 치환해서
함수값을 바로 구할 수 있습니다
아주 좋습니다
다시 돌아가
인수분해를 했습니다
인수분해를 할 수 있었고
식을 단순하게 만들었습니다
식을 단순하게 만듦으로써
함수값을 구할 수 있었습니다
3/4을 구할 수 있었고
이제 이 상황에서의 극한값이
3/4이라는 사실을 알았습니다
우리가 여태까지 풀었던
연습 문제들은
여러분이 앞으로
높은 확률로 마주칠
극한 문제들의 전형입니다
이제 다음 두 가지는
좀 더 화려한 방법들입니다
만약 부정형 형태가 나왔는데
종종 부정형 형태는
이와 같은 제곱근을
포함하고 있곤 합니다
제곱근 유리식이죠
이 때 켤레식에 곱하면 됩니다
예를 들어 이러한 경우에
x가 4일 때의 함수값을
구하려고 하면
√4 - 2 / 4 - 4가 나오는데

English: 
this is a pretty plain vanilla function.
Wouldn't expect to see
anything crazy happening here.
And if I can just evaluate
it at x equals negative one
I feel pretty good.
I feel pretty good.
So once again, we're
now going in factoring.
We're able to factor.
We have valued,
we simplify it.
We evaluate the expression
the simplified expression now,
and now we were able to get a value.
We were able to get three fourths,
and so we can feel pretty
good that the limit here
in this situation is three fourths.
Now, let's
and I would categorize what we've seen
so far is
the bulk of the limit exercises
that you will likely encounter.
Now the next two,
I would call slightly fancier techniques.
So if you get indeterminate form
especially you'll sometimes
see it with radical expressions
like this.
Rational radical expressions.
You might want to multiply by conjugate.
So for example, in this
situation right here,
if you just try to
evaluate it x equals four,
you get the square root of four minus two

Bulgarian: 
и да получим лесна функция.
Нямаше да очакваме
нищо сложно.
Но вече мога да заместя
с х = –1
и да получа
добър резултат.
Той е реално число.
Ще повторя стъпките:
разлагане на множители, 
после опростяване,
изчисляване на получения израз
и получаване
на стойност.
Получихме 3/4.
Което е реално число,
значи границата
е много вероятно
да е равна на 3/4.
Сега да подредим
видяното до момента.
Дотук бяха
повечето упражнения
за граници,
които ще срещнеш.
Следват две
малко по-рядко срещани
техники.
Ако получиш неопределена форма
и имаш корени в израза,
както този пример,
рационални изрази
с корен:
тогава можеш
да умножиш по спрегнатото му.
В нашия пример
в синьо,
ако просто изчислиш
за х = 4,
ще получиш корен от 4
минус 2

Bulgarian: 
върху 4 – 4,
което е 0 / 0.
Това е неопределена форма.
Техниката, която ще изполваме
с този корен
в рационалния израз
цели да се отървем
от корена
и да опростим израза.
Ще преобразувам
израза корен от х – 2
върху х –4.
Ще умножа по
спрегнатото на числителя:
корен от х + 2, 
също и в знаменателя.
И отново, това е същият израз,
не променям неговата стойност.
Какво получавам?
Имам (а + b) по (а – b)
и ще получа
разлика от квадрати.
Ще стане корен от х
на квадрат, което е...
ще оставя корен от
 х на квадрат минус 4
върху х – 4...
е, в числителя
всъщност е просто х – 4.

Korean: 
√4 - 2 / 4 - 4가 나오는데
이는 0 / 0입니다
즉 부정형 형태의 값입니다
이 방법의 요점은
제곱근 유리식이 주어진 만큼
제곱근을 없애거나
단순하게 만들 방도를
찾는 것입니다
다시 적어볼게요
√x - 2/ x - 4
√x - 2/ x - 4
√x - 2/ x - 4
이제 켤레식을 곱합시다
√x + 2 / √x + 2라는 식에
곱하면 됩니다
√x + 2 / √x + 2라는 식에
곱하면 됩니다
다시 강조하지만
같은 식을
같은 식으로 나누는 것입니다
따라서 곱해지는 식의 값은
바뀌지 않습니다
따라서 이것은
a + b에
a - b를 곱하는 형태라면
합차 공식의 형태입니다
따라서 첫 번째 항은
(√x)²입니다
(√x)² - 4가 됩니다
(√x)² - 4가 됩니다
(√x)²은 x이니까
x - 4가 됩니다

English: 
over four minus four
which is zero over zero.
So it's that indeterminate form.
And the technique here,
because we're seeing
this radical and a rational expression
let's say, maybe we can
somehow get rid of that radical
or simplify it somehow.
So let me rewrite.
Square root of x minus two
over
x
minus four.
Let's say a conjugate,
let's multiply it by the
square root of x plus two
over the square root of x plus two.
Once again,
it's the same expression
over the same expression.
So I'm not fundamentally
changing its value.
And so this is going to be equal to,
well if I have a plus b times a minus b
I'm gonna get a difference of squares.
So it's gonna be square root of x squared
which is,
it's going to be square root of x squared
minus four
over
well square root of x squared
is just going to be
x minus four.

Czech: 
vyjde odmocnina ze 4 minus 2
to celé děleno 4 minus 4,
a to se rovná
0 lomeno 0,
takže vyšel
neurčitý výraz.
Protože vidíme, že jde
o racionální výraz s odmocninou,
tak se budeme snažit nějak se
odmocniny zbavit, nějak to zjednodušit.
Přepíšu si to sem.
(Odmocnina z x minus 2) 
lomeno (x minus 4).
Nyní vynásobme (odmocninou z x plus 2)
lomeno (odmocnina z x plus 2).
Násobím výrazem děleným
tím samým výrazem,
takže nijak neměním
hodnotu původního výrazu.
Výraz se nyní rovná…
Když máme (a plus b) krát (a minus b),
dostaneme rozdíl jejich druhých mocnin,
v našem případě to bude (odmocnina z x) to
celé na druhou minus 4, a to celé děleno…
(Odmocnina z x) to celé na druhou
je jednoduše x, a pak ještě minus 4.

Bulgarian: 
Ще го преобразувам така.
Това е (х – 4) върху (х – 4)
по корен от х + 2.
Това преобразуване
се оказа полезно,
вече мога да унищожа
х – 4
от числителя и от знаменателя.
Тук също, ако искам
да имам математически
еквивалентен израз,
трябва да уточня:
той ще е равен на
1 върху корен от х + 2,
когато х е различно от 4,
но тук търсим граница
и х се стреми към 4,
затова вече можем
да заместим с х = 4
в този опростен израз.
И така, това ще стане
1 върху,
като извършим заместване
с х = 4 ето тук,
ще получим 1 върху
корен от 4, плюс 2.
Това е равно на 1/4.
И пак има голяма вероятност
това да бъде нашата граница.
На диаграмата отидохме
в зелената зона.

Czech: 
Takže si to tady přepíšu.
Je to x minus 4, to celé děleno
(x minus 4) krát (odmocnina z x plus 2).
Odmocnina z x plus 2.
To mi docela pomohlo,
protože mohu pokrátit x rovná se 4,
nebo tedy spíše x minus 4.
Kdybych nyní opět chtěl, aby šlo
o matematicky stejné výrazy,
tak bych řekl, že to je rovno 1 děleno
(odmocnina z x plus 2) pro x různé od 4.
Nyní už je jasně vidět,
k čemu se tato funkce blíží,
stačí do našeho zjednodušeného
výrazu za x dosadit 4.
Dostaneme 1 děleno…
Když sem za
x dosadíme 4,
dostaneme 1 lomeno
(odmocnina ze 4 plus 2),
a to se rovná
1 lomeno 4.
Opět si můžeme být poměrně
jistí, že to je naše limita.
Jsme nyní opět
v zelené části schématu.

English: 
So let me rewrite it that way.
So that's x minus four
over
x minus four
times square root of x plus two,
square root of x plus two.
Well, this was useful because now
I can cancel out x equals four
or x minus four right over here.
And once again, if I wanted it
mathematically to be the
exact same expression,
I'd say well, now this
is going to be equal to
one
one over the square root of x plus two
for x does not equal four,
but we can definitely see what
this function is approaching
if we just now substitute x equals four
into this simplified expression.
And so, that's just gonna be one over
so if we just substitute
if we just substitute x equals four here
you'd get one over square root of four
plus two
which is equal to one fourth.
And once again, you can feel pretty good
that this is going to be
your limit.
We've gone back into the green zone.

Korean: 
이제 단순해진 형태로
다시 적어 봅시다
x - 4 / (x - 4)(√x + 2)
x - 4 / (x - 4)(√x + 2)
x - 4 / (x - 4)(√x + 2)
x - 4 / (x - 4)(√x + 2)
아주 유용합니다
이제 여기에 있는
x - 4 항을 상쇄시킬 수 있으니까요
다시 강조하지만
수학적으로 정확히 같은
식이기를 원한다면
이제 이 식은
√x +  1/2이 됩니다
x가 4가 아니라는
전제 하에 말입니다
하지만 이 함수의
극한값을 구하려면
단순하게 바뀐 이 식에서
x에 4를 치환하기만 하면 됩니다
그러면 이러한 값이 나옵니다
x에 4를 치환하면
1/ √4 + 2이 나오며
1/ √4 + 2이 나오며
이것은1/4과 같습니다
그리고 이것은
거의 확실하게
우리가 찾던 극한값입니다
이 초록색 영역으로
다시 돌아온 것입니다

English: 
If you're actually to plot
this original function,
you would have a point discontinuity.
You would have a gap at x equals
four
but then when you do that simplification
and factoring out that x minus
or canceling out that x minus four,
that gap would disappear.
So that's essentially what you're doing.
You're trying to find
the limit as we approach
that gap which we got right there.
Now, this final one.
This is dealing with trig identities.
And in order to do these,
you have to be pretty adept
at your trig identities.
So if we're saying the limit,
I'll do that at a darker color.
So if we're saying the limit
as x approaches zero
of sine of x
over sine
of two x
well, sine of zero zero,
sine of zero zero,
you're gonna be at zero, zero.
Once you get indeterminate form,
we fall into this category,
and now you might recognize
this is going to be
equal to the limit
as x approaches zero of sine of x

Czech: 
Kdybyste si nakreslili
graf této původní funkce,
viděli byste
odstranitelnou nespojitost,
viděli byste mezeru
v bodě x rovno 4.
Když však provedete naše
zjednodušení a pokrátíte x minus 4,
tato mezera zmizí, a o to
se v podstatě snažíme,
chceme určit jaká je limita,
když se blížíme k této mezeře.
Poslední metoda spočívá
v použití goniometrických identit,
takže abyste ji mohli použít, musíte
goniometrické identity dobře znát.
Takže když máme limitu…
Udělám to tmavší barvou.
...limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno sin(2x),
sin(0) je 0, takže opět
dostaneme 0 lomeno 0.
To je neurčitý výraz, takže jsme
v této části schématu.
Toto se bude rovnat limitě
pro x blížící se k 0 ze sin(x)…

Bulgarian: 
Ако начертаем границата на 
първоначалната функция,
ще видим отстранимо
прекъсване.
Ще има дупка
при х = 4.
Но когато опростим
и унищожим
общия множител х – 4,
дупката ще изчезне.
Това направихме
всъщност.
Търсим границата,
когато х клони
към тази дупка
в графиката.
И накрая,
последната техника.
Тя използва
тригонометрични тъждества.
За да я използваш,
трябва добре да познаваш
тригонометричните тъждества.
Дадена ни е
примерна граница.
Ще я разпиша
в по-тъмен цвят.
Ако имаме границата
при х, клонящо към 0,
на синус от х върху 
синус от 2х:
синус от нула е нула,
и долу е синус от нула, 
получаваме 0/0.
Като получиш неопределена форма,
попадаш в тази категория,
и виждаш, че това ще е равно
на границата
при х, клонящо към 0,
на синус от х...

Korean: 
원래의 함수를
그래프로 그리려고 하면
점 불연속성을 보게 될 것입니다
x가 4인 지점에서
텅 빈 구멍이 생겨나겠죠
하지만 식을 단순하게 만들고
x - 4 항을 인수분해하고
상쇄시키면
텅 빈 구멍이 사라집니다
이것이 우리가 하려는 것입니다
존재하는 그 텅 빈 구멍에
가까워질 때
극한값을 찾으려는 겁니다
이제 마지막 방법입니다
삼각함수식이 주어졌을 때
쓰는 방법입니다
이 방법을 사용하려면
삼각정리를 능숙하게
쓸 수 있어야 합니다
여기서 하려는 이야기는
좀 더 짙은 색깔을 사용할게요
x가 0에 가까워질 때
sin(x) / sin(2x)의
극한값을 구하려고 합니다
x에 0을 치환하면
분자와 분모 모두 0이 되며
이는 부정형 형태의 값입니다
부정형 형태가 나오면
이렇게 분류됩니다
이제 여러분도 눈치챘겠지만
이 극한값은
x가 0에 가까워질 때
이 식과 같습니다

Czech: 
sin(2x) můžeme přepsat jako
2 krát sin(x) krát cos(x).
Tyhle siny se nám pokrátí
pro všechna x různá od…
Pro všechna x různá od 0,
pokud chceme být opravdu
matematicky přesní.
V grafu původní funkce je
v tomto bodě určitě mezera,
kdybyste udělali graf
funkce y je tento výraz.
Ale když počítáme
limitu, můžeme říci,
že tato limita se rovná limita pro x
blížící se k 0 z 1 lomeno (2 krát cos(x)).
Nyní se můžeme vrátit do
zelené části našeho schématu,
protože nyní můžeme
za x dosadit 0.
Dostaneme 1 lomeno
(2 krát cos(0)), cos(0) je 1,
takže tohle se bude
rovnat jedna polovina.
Pokud vám ani jedna
z těchto metod nefunguje,
přičemž se v budoucnu setkáte
ještě s dalšími pokročilejšími metodami,
tak dojde na tento případ.
Určení přibližné hodnoty.

English: 
we can rewrite sine of two x
as two sine
x cosine x
and then those two can
cancel out for all x's not
equaling
for all x's not equaling zero
if you want to be really
mathematically precise.
And so, there would've
been a gap there for sure
on the original graph
if you were to graph y equals this.
But now, for the limit purposes,
you can say this is this limit
is
this limit is going to be the limit
as x approaches zero
of one over two cosine of x.
And now we can go back to
this green condition right over here,
because we can evaluate
this at x equals zero.
It's going to be one over
two times cosine of zero.
Cosine of zero is one.
So this is going to be equal to one half.
Now in general, none of
these techniques work,
and you will encounter
few other techniques
further on once you learn more calculus,
then you fall on the base line.
Approximation.

Korean: 
분모의 sin(2x)는
2sin(x)cos(x)로
변환할 수 있습니다
그리고 이 두 항은
서로 상쇄됩니다
x가 0이 아니라는
전제 하에 말이죠
만약 여러분이 수학적으로 정확한
절차를 거치고 싶다면 말입니다
원래의 그래프에는 분명
해당 지점에 텅 빈 구멍이
있었을 것입니다
만약 이 함수식의
그래프를 그렸다면 말이죠
하지만 극한을 찾기 위해
이제 이 극한값이
x가 0에 가까워질 때
1/2cos(x)의 극한값과
같다고 할 수 있습니다
이제 이 초록색 영역으로
다시 돌아갈 수 있습니다
왜냐하면 이 극한값을
x가 0일 때 계산할 수 있으니까요
1 / 2cos(0)이 될 것입니다
cos(0)은 1입니다
따라서 극한값은
1/2이 되겠죠
미적분에 대해 좀 더 배우게 되면
통상적으로 이 중 어느 방법도
통하지 않는다면 쓸 수 있는
몇 가지 다른 방법들을
배우게 될 텐데
그러면 이제 기초가
완성된 것입니다
근사값

Bulgarian: 
Като преобразуваме
синус от 2х
като 2 по синус х по косинус х.
Двата синуса
се съкращават
за х различно от 0,
за да сме
математически точни.
Виждаме, че тук
определено има прекъсване
на първоначалната
графика.
Ако начертаем у
равно на това, ще я видим.
Но за целите
на намиране на границата,
можем да игнорираме
прекъсването,
и да кажем, че тази граница
ще е равна на границата
при х, клонящо към 0
на 1 върху 2 косинус от х.
Сега можем да се върнем
към зелената стрелка,
защото можем да изчислим,
като заместим с х=0.
Това ще е 1 върху
2 по косинус от 0.
Косинус от 0 е 1.
Ще получим 1/2
за границата.
В общия случай,
тези техники работят
и ще срещнеш
и някои други техники
по-нататък
във висшата математика.
Ами ако никоя не сработи?
Приближение.

English: 
And approximation, you
can do it numerically.
Try values really really really close
to the number you're trying
to find the limit on.
If you're trying to find the
limit as x approaches zero
try 0.00000000001.
Try negative 0.0000001
if you're trying to find the
limit is x approaches four
try 4.0000001.
Try 3.9999999999
and see what happens.
But that's kind of the last ditch.
The last ditch effort.

Czech: 
To uděláte tak, že budete zkoušet
hodnoty velmi, velmi, velmi blízko k bodu,
ve kterém počítáte limitu.
Takže když počítáte limitu
pro x blížící se k 0,
zkuste 0,00000000001,
zkuste -0,0000001.
Když počítáte limitu
pro x blížící se ke 4,
zkuste 4,0000001,
zkuste 3,9999999999
a uvidíte, co se stane.
To už je ale spíš takové
chytání se stébla trávy.

Korean: 
근사값은 계수적으로
구할 수 있습니다
원하는 값에 정말 정말 정말
가까운 값들을 시도해
보는 것입니다
만약 x가 0에 가까워질 때의
극한값을 구하고 싶다면
0.00000000001을 한 번
시도해 보세요
-0.0000001도 시도해 보세요
만약 x가 4에 가까워질 때
극한값을 구하려고 한다면
4.0000001을 시도해 보세요
3.9999999999도 시도해 보세요
그리고 어떤 일이 일어나는지
살펴보는 것입니다
하지만 이것은
마지막 방도입니다
가장 마지막 방도이죠

Bulgarian: 
Можеш да направиш
числено приближение,
опитай със стойности,
които са много близки
до числото,
за което търсиш границата.
Ако търсиш границата
при х, клонящо към 0,
опитай дори с 0,00000000001.
Опитай и с минус 0,0000001.
Ако търсиш граница
за х, клонящо към 4,
опитай с числа като 4,0000001
и също и 3,99999999.
Виж какво ще получиш.
Но това е само
в краен случай,
ако нищо друго
не сработи.
