
Spanish: 
Si estamos lidiando con 2 dimensiones, y queremos encontrar
el 'area bajo la curva, contamos con buenas herramientas
para hacerlo, y recordaremos nuestras herramientas
digamos, este es el eje x, este es el eje y, dejenme
dibujarles algunas funciones arbitrarias aqui, y esto
es mi funcion f de x
y digamos que queremos encontrar el area entre x es igual a
a, así que x es igual a a, y x es igual a b.
Esto lo dijimos hace muchos, muchos, muchos videos atrás.
Una forma de pensarlo, es tomando secciones muy estrechas
de x, o cambios muy pequeños en x
Podemos llamarlos delta de x, pero ya que son tan pequeños
vamos a llamarlos un dx.
Super, infinitamente pequeños cambios en x.
Y entonces los multiplicas por el valor de f
de x en ese punto.
Así que lo multiplicas por la altura en ese punto, lo que
es el valor de f de x.
Spanish
Arabic
es el valor de f de x.

Portuguese: 
Se estivermos lidando só com duas 
dimensões e quisermos encontrar
a área embaixo da curva, temos boas 
ferramentas na nossa caixa de ferramentas
para fazer isso e eu irei somente 
recordar-nos das nossas ferramentas.
Digamos que essa seja o eixo 
x, aquele é o eixo y, deixe-me
desenhar uma função 
arbitrária aqui, e
esta é a minha função de x.
E digamos que eu queira 
encontrar a área entre x igual a
a, então aquele é x 
igual a a, e x igual a b.
Nós vimos isso há 
muitos vídeos atrás.
A maneira na qual você pode pensar nisso 
é usar comprimentos bem pequenos
de x, ou pequenas 
mudanças em x.
Nós poderíamos chamá-los de delta x's, 
mas por conta de serem tão pequenos
os chamaremos de dx.
Muito bem, mudanças 
infinitesimais em x.
E então você as multiplica 
pelo valor de f
naquele ponto x.
Você pode multiplicá-la pela 
altura naquele ponto, que é
o valor de f de x.

French: 
Si nous ne faisons que faire face à deux dimensions, et nous voulons trouver
l'aire sous la courbe, nous avons de bons outils dans notre boîte à outils
déjà de le faire, et je vais juste nous rappeler de nos outils.
alors disons que c'est l'axe des x, c'est l'axe des y, laissez-
moi d'attirer une certaine fonction arbitraire ici, et c'est
ma f fonction de x.
Et disons que nous voulons trouver la zone comprise entre x est égal à
a, de sorte que de x égale à un, et x est égal à b.
Nous avons vu ce beaucoup, beaucoup, beaucoup de vidéos il ya.
La façon dont vous pouvez penser, c'est que vous prenez super petites largeurs
de x, ou de petits changements dans x.
Nous pourrions les appeler delta x, mais parce qu'ils sont si petits,
nous allons les appeler un DX.
Super, les changements infiniment petits x.
Et ensuite, vous multipliez eux fois la valeur de f
de x à ce point.
Ainsi, vous multipliez fois la hauteur à ce moment, ce qui
est la valeur de f de x.

Thai: 
-
หากเราสนใจโลกสองมิติ, และเราอยากหา
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง, เรามีเครื่องมือในมือไว้หา
อยู่แล้ว, ผมจะทวนเครื่องมือพวกนั้นสักหน่อย
งั้นสมมุติว่า, นั่นคือแกน x, นั่นคือแกน y, ขอผม
วาดฟังก์ชันตามใจสักอันตรงนี้, และนั่น
คือฟังก์ชัน f ของ x ผม
และสมมุติว่าเราอยากหาพื้นที่ระหว่าง x เท่ากับ a,
นั่นคือ x เท่ากับ a, และ x เท่ากับ b
เราเห็นนี้ในวิดีโอก่อน ๆๆๆ โน้น
วิธีที่คุณคิดถึงมันคือ, คุณวาดแทน x กว้างน้อยมาก
หรือการเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วใน x
เราอาจเรียกมันว่าเดลต้า x, แต่เนื่องจากมันเล็กมาก,
เราจะเรียกมันว่า dx
การเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วสุด ๆ ใน x
แล้วคุณก็คูณมันด้วยค่าของ f
ของ x ณ จุดนั้น
งั้นคุณคูณมันด้วยความสูง ณ จุดนั้น, ซึ่งก็คือ
ค่าของ f ของ x

Turkish: 
-
Eğer iki boyutta, bir eğrinin altındaki alanı bulmak istiyorsak, halihazırda, birçok yöntemimiz var.
-
-
Şurası x ekseni, burası da y ekseni.
Şuraya bir fonksiyon çizeyim,
-
x eşittir a ile x eşittir b arasındaki alanı bulmak isteyelim.
-
Bunu, çok önceki videolarda yapmıştık.
Çok küçük x farkları alabiliriz, ve buna delta x veya dx diyebiliriz.
-
-
-
Sonsuz küçüklükteki x farkları.
Sonra, bu değerleri, x'in o noktalardaki fonksiyon değerleriyle çarpıyoruz.
-
dx'i, o noktadaki yükseklikle, yani x'in fonksiyon değeriyle, çarpıyoruz.
-

Polish: 
Jeśli bylibyśmy tylko w dwóch wymiarach i chcielibyśmy znaleźć
obszar pod krzywą, to mamy dobre narzędzia.
żeby to zrobić i przypomnę teraz o tych narzędziach.
Więc powiedzmy, że to jest oś X, to jest oś Y,
pozwólcie mi narysować jakąś dowolną funkcję tutaj, i to jest
moja funkcja f od x.
I powiedzmy, że chcemy znaleźć obszar pomiędzy x równemu
a, więc to jest x równe a, i x równemu b.
Widzieliśmy to już wiele, wiele filmików temu.
Możesz o tym myśleć jako o wzięciu bardzo małych szerokości
x, albo bardzo małych zmian x.
Moglibyśmy je nazwać delta x, ale ponieważ są tak małe,
to będziemy je nazywać dx.
Super, infinitezymalnie małe zmiany iksa.
Następnie mnożysz je przez wartość f od x
w tym punkcie.
Więc mnożysz to razy wysokość w tym pukncie, która
jest wartością f od x.

German: 
Solange wir im zwei Dimensionalen die Fläche
unter einer Kurve herausfinden wollen, haben wir keine Schwierigkeiten
Ich wiederhole dennoch kurz die Vorgehensweise:
Sagen wir, das ist die X- und das die Y-Axe.
Da zeichne ich eine beliebige Funktion ein,
meine Funktion f von x.
Nun sagen wir, wir wollen die Fläche zwischen x gleich
a und x gleich b errechnen.
Das haben wir viele, viele Videos vorher gesehen.
Vorstellen kannst du dir das, als sehr kleine Längen
von x, oder sehr sehr kleiner Änderung in x.
Wir könnten die jetzt Delta x nennen,
da sie so winzig sind nennen wir sie jedoch dx.
Super kleine Änderungen in x.
Dann nimmst du diese kleinen x Strecken mal den f von x Wert
an dieser Stelle.
Also nimmst du es mal der Höhe in dem Punkt, welcher
der Wert von f von x entspricht.

Estonian: 
Sissejuhatus joonintegraali
Kui me tegeleme kahe dimensiooniga ja tahame leida
kõvera alust pindala, siis meil on selleks head vahendid olemas,
meenutame mis need on.
Ütleme, et see on x-telg ja see on y-telg,
las ma joonistan siia suvalise funktsiooni ja see on
minu funktsioon f kohal x.
Ja ütleme, et me tahame leida ala kus x on võrdne a-ga,
niiet see on x võrdne a-ga ja x võrdne b-ga.
Me nägime seda mitu, mitu, mitu videot tagasi.
Sa võid sellest mõelda nii, et võtad hästi väikesed x-i muutujad.
Sa võid sellest mõelda nii, et võtad hästi väikesed x-i muutujad.
Me võiks neid kutsuda delta x-iks aga kuna need on nii väikesed
siis me kutsume neid dx-iks.
super, lõpmata väike muutus x-is.
Ja siis korrutad need funktsiooni f kohal x väärtusega selles punktis.
Ja siis korrutad need funktsiooni f kohal x väärtusega selles punktis.
Niiet sa korrutad seda funktsiooni f kohal x väärtusega antud kõrgusel.
Niiet sa korrutad seda funktsiooni f kohal x väärtusega antud kõrgusel.

English: 
If we're just dealing with two
dimensions, and we want to find
the area under a curve, we have
good tools in our toolkit
already to do it, and I'll
just remind us of our tools.
so let's say, that's the
x-axis, that's the y-axis, let
me draw some arbitrary function
right here, and that's
my function f of x.
And let's say we want to find
the area between x is equal to
a, so that's x equal to
a, and x is equal to b.
We saw this many, many,
many videos ago.
The way you can think about it,
is you take super small widths
of x, or super small
changes in x.
We could call them delta x's,
but because they're so small,
we're going to call them a dx.
Super, infinitesimally
small changes in x.
And then you multiply them
times the value of f
of x at that point.
So you multiply it times the
height at that point, which
is the value of f of x.

Italian: 
Se stiamo lavorando solo con due dimensioni, e vogliamo trovare l'area
sottesa a una curca, abbiamo già a disposizione dei buoni strumenti
per farlo, e ricorderò semplicemente questi strumenti.
Quindi diciamo, questo è l'asse x, questo è l'asse y
fatemi disegnare qualche funzione arbitraria proprio qui, e questa è
la mia funzione f di x.
E diciamo che vogliamo trovare l'are tra quando x è uguale ad a,
quindi questo è quando x è uguale ad a, e quando x è uguale a b.
Abbiamo visto questo molti, molti, molti video fa.
Il modo in cui ci pensi è, prendi larghezze molto piccole
di x, o dei cambiamenti molto piccoli in x
Potremmo chiamarli delta di x, ma siccome sono così piccoli,
li chiameremo una dx.
Molto, infinitesimalmente piccoli cambiamenti in x.
E poi li moltiplichi per il valore di f
di x in quel punto.
Quindi lo moltiplichi per l'altezza in quel punto, che è
il valore di f di x.

Korean: 
만일 단순하게 이차원상에서
곡선 아래의 영역을 구한다고 하면, 모두들 이미 알고 있는 좋은 해법이 있지요.
우선 기억을 되돌려보자면,
예를 들어, 이렇게 x 축, 이렇게 y 축을 그리고,
임의의 함수곡선을 그려본다고 하고,
이렇게 f(x) 곡선을 그려보겠습니다.
그리고 우리가 x
그렇게의 x 크거나, 그리고 x는 b와 같습니다.
우리는 전이 많은, 많은, 많은 동영상을 보았다.
그것에 대해 생각할 수 있는 방법은 슈퍼 작은 너비를 걸릴
x 또는 x의 슈퍼 작은 변화.
우리가 그들을 델타 부를 수 있는 x의 하지만 그들은 너무 작은 거 야 때문에
우리는 그들을 dx 전화를 겁니다.
X에서 슈퍼, infinitesimally 작은 변화.
그리고 당신은 f 값 시간 그들을 곱하면합니다
그 시점에서 x.
그래서 그 시점에서, 높이 번 곱하기는
f x의 값이입니다.

Czech: 
Pokud pracujeme jen se dvěma dimenzemi a chceme najít
plochu pod křivkou, máme na to již dobrý nástroj
a já vám ho teď připomenu
Takže řekněme, že tohle je osa x a tohle je osa y
a tady je libovolná funkce,
moje funkce f (x)
A řekněme, že chceme najít plochu mezi "x" se rovná "a"
takže tohle je "x" se rovná "a" a "x" se rovná "b"
Tohle už jsme viděli o mnoho videí zpátky.
Můžete to brát tak, že vezmete opravdu malinkaté šířky "x"
nebo opravdu malinkaté změny v "x"
Můžeme jim říkat delta "x", ale protože jsou tak malé
budeme jim říkat "dx"
Velmi, nekonečně malé změny "x"
A pak je vynásobíme hodnotou f(x)
v tom bodě.
Takže je vynásobíme výškou v tom bodě
což je hodnota f(x)

Portuguese: 
Se estamos tratando apenas de duas dimensões e queremos encontrar
a área abaixo de uma curva, nós já temos boas ferramentas
para isso e eu só irei recordar nossas ferramentas.
Vamos dizer que este é o eixo X, este é o eixo Y. Vamos
desenhar uma função arbitrária bem aqui. E esta é
minha função f de x.
E, então, vamos dizer que queremos encontrar a área entre
x = a, logo, temos x igual a 'a', e x = b.
Nós vimos isto há muitos, muitos e muitos vídeos atrás.
Uma forma de pensar sobre este problema seria tomar pedaços muito pequenos
de x, ou variações muito pequenas de x.
Nós poderíamos chamá-las 'Delta de x', mas, por elas serem tão pequenas,
nós a chamaremos de 'dx'.
Super, infinitesimalmente pequenas variações em x.
E, então, você as multiplica pelo valor de f
de x naquele ponto.
Você multiplica o ponto por sua altura, que
é o valor de f(x).

Japanese: 
2次元で
曲線の下の領域を求める場合
その方法を既に習いました。
覚えていますか
x軸とy軸があり、
任意の関数を，f(x)とします。
これがその関数です。
この関数のxがaとbの間の
領域を求めましょう。
これは、だいぶ前のビデオでやりましたね。
この考え方は、xの小さな部分を、
とても小さい幅をとります。
これを、dxと呼びます。
いいですか？
非常に小さい、xの差です。
そして、これを、その時点での
f(x)に掛けます。
それに、ここでの高さを、つまり、f(x)を
掛けます。

Portuguese: 
Então, você tem f(x) vezes cada uma dessas infinitesimalmente pequenas
bases, o que lhe dará a área desses (infinitesimalmente)
pequenos retângulos aqui.
E desde que cada um desses caras sejam infinitesimalmente pequenos, você
vai ter um número infinito desses retângulos.
a fim de preencher o espaço.
Você vai ter um número infinito
deles, certo?
Portanto, a ferramenta que usamos foi a integral definida.
A integral definida é uma soma, uma soma infinita dessas
áreas infinitesimalmente pequenas, ou desses infinitos
pequenos retângulos.
E a notação que usamos: eles vão de a até b.
Nós já fizemos muitos vídeos sobre como calcular
estas coisas.
Eu só gostaria de lembrá-lo, conceitualmente,
o que isto quer dizer.
Conceitualmente falando, vamos pegar uma pequena variação de x,
multiplicá-la pela altura neste ponto e você

Spanish: 
Así obtienes f(x) por cada una de esas infinitamente pequeñas
bases, eso te dará el área de este infinitamente
estrecho rectángulo justo allí.
Y puesto que estos elementos son infinitamente pequeños, vas
a tener un infinto número de estos rectángulos
para rellenar el espacio.
Vas a tener un número infinito
de estos, ¿cierto?
Y así la herramienta que usamos fue la integral definida.
La integral definida es una suma, es una suma infinita de estas
áreas infinitamente pequeñas, o estos infinitamente
pequeños rectángulos.
Y las notaciones que usamos, irían desde a a b.
Y hemos hecho muchos videos sobre cómo evalúas
estas cosas.
Yo sólo quiero recordártelo, conceptualmente,
lo que esto está diciendo.
Esto está conceptualmente diciendo, tomemos un pequeño cambio en x,
multipliquémoslo por la altura en ese punto, y vamos a
tener un infinito número de estos, porque estas x son
super pequeñas, son infinitamente pequeñas, así vamos a
un infinito número de aquellas.
Así que toma una suma infinita de todos aquellos, desde dónde x es igual
a a hasta que x es igual a b.

Portuguese: 
Você obtém f de x vezes cada 
uma dessas bases infinitesimais,
isso lhe dará a área desse 
retângulo infinitamente
estreito logo aqui.
E já que cada um desses caras 
é infinitamente pequeno,
você terá um número 
infinito desses retângulos
para preencher o espaço.
Você terá um número infinito
disso, certo?
Então a ferramenta que usamos 
foi a integral definida.
A integral definida é uma soma, 
é uma soma infinita dessas
áreas infinitesimalmente 
pequenas, ou esses retângulos
infinitamente pequenos.
E as notações que usamos, 
elas iriam de a a b.
E fizemos vários vídeos 
em como calcular
essas coisas.
Eu quero só lembrá-lo, 
conceitualmente,
o que isso está dizendo.
Isso está conceitualmente dizendo, 
usemos uma pequena mudança em x,
o multiplica pela altura 
naquele ponto, e você terá
um número infinito desses, 
por que esses x's são
muito pequenos, eles são infinitamente 
pequenas, então você terá
um número infinito daqueles.
Então pegue uma soma infinita de 
todas essas coisas, de x igual a
a até x igual a b.

Korean: 
그래서 당신이 얻을 f x 시간 각 이러한 infinitesimally 작은
기지 infinitesimally이 지역 줄 거 야
좁은 사각형 바로 거기입니다.
그리고이 이들 각각은 무한히 작은 이후 당신은
이 사각형의 무한 한 수를 할 것
하기 위해서는 공간을 채웁니다.
무한 한 수를가지고 거 야
이들 중, 오른쪽?
그리고 그래서 우리가 사용 하는 도구는 정확한 정수.
정확한 정수 합계, 이들의 무한 한 합
무한히 작은 영역 또는 이러한 무한히
작은 사각형.
그리고 우리가 사용 하는 표기법은 b에서 갈 것 이다.
그리고 우리는 당신이 어떻게에 많은 동영상 적 평가
이러한 것 들입니다.
개념적으로 드리고 싶은
이 무엇을 말 이다.
X, 작은 변화를 보자이 개념적 라고
곱하기 그 시점에서, 높이 시간을 거 야
이러한 x 때문에 이들의 무한 한 수를가지고
슈퍼 작은 그들 무한히 작은, 그래서 할 거 야
그의 무한 한 숫자입니다.
그래서 걸릴 모든 x에서 그의 무한 한 합계와 같습니다.
하는 x는 b와 같습니다.

French: 
Ainsi, vous obtenez f de x fois chacun de ces infiniment petit
bases, ça va vous donner la superficie de cette infiniment
rectangle étroit là.
Et puisque chacun de ces gars-là sont infiniment petit, vous êtes
va avoir un nombre infini de ces rectangles
afin de remplir l'espace.
Vous allez avoir un nombre infini
d'entre eux, le droit?
Et si l'outil que nous utilisons a été l'intégrale définie.
L'intégrale définie est une somme, est une somme infinie de ces
domaines infiniment petits, ou ceux-ci une infinité
petits rectangles.
Et les notations que nous utilisons, ils iraient à partir d'un b.
Et nous avons fait de nombreuses vidéos sur comment évaluez-vous
ces choses.
Je veux juste vous rappeler, conceptuellement,
ce que cela veut dire.
Ceci est conceptuellement dire, prenons un petit changement dans x,
multipliez fois la hauteur à ce moment, et vous allez
avoir un nombre infini de ceux-ci, parce que ces sont les x
super petit, ils sont infiniment petit, de sorte que vous allez avoir
un nombre infini de ceux-ci.
Alors, prenez une somme infinie de tous ceux, à partir de x est égal
à un à x est égal à b.

Turkish: 
Fonksiyon değeriyle, bu sonsuz küçüklükteki eni çarparsak, şu sonsuz incelikteki dikdörtgenin alanını bulmuş oluruz.
-
-
İnceliği sebebiyle, dikdörtgenlerin, ancak sonsuz adedi bu alanı doldurabilir.
-
-
Yani, bunlardan sonsuz tane alacağız, öyle değil mi?
-
Dolayısıyla, burada belirli integrali kullanıyoruz.
Belirli integral, bu sonsuz incelikteki sonsuz adet dikdörtgenin alanının toplamı anlamına geliyor.
-
-
Ve notasyona göre, integral a'dan b'ye gidiyor.
Belirli integralin değerinin nasıl bulunduğu hakkında çok video yapmıştık.
-
Size burada, yalnızca, kavramı hatırlatmak istedim.
-
Kavramsal olarak şunu diyoruz: x'de küçük bir fark alalım. Bunu, o noktadaki yükseklikle çarpalım. Bunlardan sonsuz adette olacak, çünkü bu farklar, sonsuz derecede küçük.
-
-
-
-
O zaman, x eşittir a'dan, x eşittir b'ye, sonsuz adetteki dikdörtgenin alanlarını toplayalım.
-

Polish: 
Więc dostajesz f od x razy każdy z tych infinitezymalnie małych
odcinków, która dadzą ci obszar tego infinitezymalnie
wąskiego prostokątu tutaj.
I ponieważ każda z tych rzeczy jest infinitezymalnie mała, będziesz
miał nieskończoną ilość tych prostokątów
tak, żeby zapełniły tą przestrzeń.
Będziesz miał nieskończoną ilość
tych prostokątów, tak?
Tak więc narzędziem którego użyliśmy była całka oznaczona.
Całka oznaczona jest sumą, jest nieskończoną sumą tych
nieskończenie małych obszarów, tych nieskończenie
małych prostokątów.
I w notacji, której używamy, będą szły od a do b.
I zrobiliśmy już wiele filmików o tym jak masz liczyć
takie rzeczy.
Chciałem tylko przypomnieć, ideę
która za tym stoi.
Mówi ona nam, weźmy małą zmianę iksa,
pomnóżmy ją przez wysokość w tym punkcie i dostaniemy
nieskończoną ilość tych prostokącików, ponieważ te iksy są
bardzo małe, są nieskończenie małe, więc będziesz musiał mieć
ich nieskończoną ilość.
Więc weź nieskończoną sumę wszystkich tych, od x równego
a do x równego b.

German: 
Somit erhällst du mit f(x) mal jedes dieser unendlich kleinen
x Stücke die Fläche dieses unendlich
kleinen schmalen Rechtecks hier.
Da nun jeder dieser Balken unendlich klein ist,
wird man unendlich viele Rechtecke erhalten,
bis der Raum ausgefüllt ist.
Du wirst also unendlich viele
von diesen haben, richtig?
So war das Werkzeug das wir benutzt haben das definite Integral
Das definite Integral ist eine unendliche Summe über alle diese
unendlich kleinen Flächen, oder diese unendlich
kleinen Rechtecke
Um in unserer Schreibweise zu bleiben gehen diese von a nach b.
Es gibt bereits eine große Auswahl an Videos solche Sachen
auszuwerten.
Ich will dich nur daran erinnern,
wie das vom Prinzip her funktioniert.
Vom Prinzip her heißt das, nehme ein kleines Stück von x
nehme es mal der Höhe an seinem Punkt, und du wirst
unendlich viele davon haben, weil diese x
so super super klein sind, unendlich klein, also werden wir auch
eine unendliche Anzahl von solchen hier haben.
Nimm also eine unendliche Summe dieser, von x ist
gleich a bis x ist gleich b.

Japanese: 
f(x)掛けるこれらの非常に小さい底辺で、
このとても細い部分の
領域が得られます。
これらは非常に小さいので、
この部分を埋めるには、
非常に多くの長方形が作成されます。
無限の数の長方形が
必要です。
そこで、使用するのは、定積分です。
定積分は、この無限の小さい領域の
合計です。
これらの長方形の合計です。
使用する記号は、このようになります。
この方法は既に多くのビデオで
説明しました。
この方法を概念的に
思い出してください。
これは、非常に小さい幅に
その点での高さを賭ける事で、
xが非常に小さい幅なので
無限の数で、
無限数のこれらが得られます。
そして、xがaからbまで
その合計を取ります。

Czech: 
Takže máme f(x) krát každá z těchto nekonečně malých základen,
což nám řekne plochu tohohle nekonečně
úzkého obdélníku
A jelikož každý z nich je nekonečně malý
budeme mít nekonečně těchto obdélníků
abychom zaplnili celou plochu
Budete jich mít nekonečně mnoho,
že?
Takže nástroj, který jsme používali byl určitý integrál
Určitý integrál je součet všech
nekonečně malých ploch nebo těchto
nekonečně malých obdélníků
A symbol které používáme je, že jdou od "a" do "b"
A už jsme udělali mnoho videí jak tyhle
integrálky vyřešit
Jen vám chci připomenout
co nám tohle říká
Tohle nám říká: vezměme malinkatou změnu v "x"
vynásobte jí výškou v tomto bodě
a budete mít nekonečně mnoho těchto, protože tyto "x"
jsou nekonečně malé
takže jich budete mít nekonečně mnoho.
Takže udělejte nekonečný součet všech, od "x" se rovná "a"
po "x" se rovná "b"

Italian: 
Ottieni f di x per ognuna di queste infinitesimalmente piccole
basi, questo ti darà l'area di questo infinitesimalmente
stretto rettangolo proprio qui.
E siccome tutti questi tizi sono infinitesimalmente piccoli,
avrai un numero infinito di questi rettangoli
per riempire questo spazio.
Avrai un numero infinito
di questi, giusto?
E quindi lo strumento che usiamo era l'integrale definito.
L'integrale definito è una somma, è un numero infinito di queste
aree infinitamente piccole, o questi infinitamente
piccoli rettangoli.
E la notazione che usiamo, andrebbero da a b.
E abbiamo fatto molti video su come valutare
queste cose.
Voglio solo ricordarvi, concettualmente,
che cosa vuol dire.
Ossia, concettualmente parlando, prendi un piccolo cambiamento in x
moltiplicalo per l'altezza in quel punto, e otterrai
un numero infinito di questi, perché le x sono
molto piccole, sono infinitamente piccole, quindi avrai
un numero infinito di questi.
Quindi prendi una somma infinita di tutti questom da x uguale ad a
fino a x uguale a b.

Estonian: 
Niiet sa saad f kohal x korrutatud iga lõpmatult väikse
alusega mis annavad sulle selle ääretult
kitsa ristküliku.
Ja kuna iga osa sellest on ääretult väike
siis sa saad sealt lõpmatu arvu ristkülikuid
millega see tühimik täita.
Sa saad üüratu numbri ristkülikuid, eksole?
Sa saad üüratu numbri ristkülikuid, eksole?
Niiet vahend mida me siin kasutame on määratud integraal.
Määratud integraal on ääretult väikeste
alade või ääretult väikeste ristkülikute summa.
alade või ääretult väikeste ristkülikute summa.
Ja tähistus mida me kasutame oleks a-st b-ni.
Me oleme teinud mitmeid videoid sellest, kuidas neid väärtusi leida.
Me oleme teinud mitmeid videoid sellest, kuidas neid väärtusi leida.
Ma tahan põhimõtteliselt meenutada teile, mida see tähendab.
Ma tahan põhimõtteliselt meenutada teile, mida see tähendab.
Skemaatiliselt näidates, võtame väikese muutuja x-ist,
korrutame seda kõrgusega antud punktis ja saame
lõpmata suure arvu x-e, sest
x-id on ääretult väiksed, seega sa saad neid tohutul hulgal.
x-id on ääretult väiksed, seega sa saad neid tohutul hulgal.
Niisiis võtame summa vahemikust x võrdub a-st
x võrdub b-ni.

Thai: 
คุณก็ได้ f ของ x คูณฐานเล็กจิ๋วพวกนี้
นั่นบอกคุณถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่แคบมาก
ตรงนี้
และเนื่องจากแต่ละตัวนี่มันเล็กมาก
คุณต้องรวมสี่เหลี่ยมจำนวนเป็นอนันต์นี้
เพื่อเติมเต็มพื้นที่
คุณจะมีมันเป็นอนันต์
จริงไหม?
ดังนั้นเครื่องมือที่เราต้องใช้ คือ การอินทิกรัลจำกัดเขต
อินทิกรัลจำกัดเขตคือผลรวม, คือผลรวมอนันต์ของ
พื้นที่เล็กจิ๋วพวกนี้ หรือสี่เหลี่ยมเล็กจิ๋ว
พวกนี้
และด้วยสัญลักษณ์ที่เราใช้, มันจะไปจาก a ถึง b
และเราได้ทำวิดีโอกมากมายถึงวิธีการหา
ค่าของพวกนี้
ผมแค่อยากทบทวนให้คุณนึกหลักการ
ว่าพวกนี้หมายถึงอะไร
โดยหลักการแล้ว มันบอกว่า, ลองเอาการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ใน x มา,
คูณมันกับความสูง ณ จุดนั้น, และคุณจะมี
พวกนั้นเป็นอนันต์ตัว, เพราะ x พวกนั้นมันเล็กมาก
เล็กจิ๋ว, ดังนั้นคุณต้อง
รวมพวกนี้เป็นอนันต์ตัว
เลยต้องหาผลรวมอนันต์ของเจ้าพวกนั้น, จาก x เท่ากับ a
ถึง x เท่ากับ b

English: 
So you get f of x times each of
these infinitesimally small
bases, that'll give you the
area of this infinitesimally
narrow rectangle right there.
And since each of these guys
are infinitely small, you're
going to have an infinite
number of these rectangles
in order to fill the space.
You're going to have
an infinite number
of these, right?
And so the tool we use was
the definite integral.
The definite integral is a sum,
is an infinite sum of these
infinitely small areas,
or these infinitely
small rectangles.
And the notations that we
use, they would go from a b.
And we've done many videos
on how do you evaluate
these things.
I just want to remind
you, conceptually,
what this is saying.
This is conceptually saying,
let's take a small change in x,
multiply it times the height at
that point, and you're going to
have an infinite number of
these, because these x's are
super small, they're infinitely
small, so you're going to have
an infinite number of those.
So take an infinite sum of all
of those, from x is equal
to a to x is equal to b.

German: 
Dann ist das unser standard definites Integral.
Was ich jetzt in diesem Video tun will, ist dieses Prinzip
zu erweitern, sodass, wir 'erweiterte' Problemstellungen
damit lösen können.
Lass uns dazu zu drei Dimensionen übergehen.
Zuerst male ich die x-y Ebene.
Vielleicht behalte ich das hier oben, nur um die Analogie zu erhalten.
Ich werde versuchen das ein bisschen Flach zu zeichen
so dass, wir eine Art Perspektive bekommen.
Lass sagen, dass das hier die y Achse ist
die quasi in den Bildschirm reingeht.
Du kannst dir das vorrstellen als hätte ich
die einfach nach hinten gedrückt also nach unten fallen lassen.
So das ist also die y Achse und das ist dann auch noch meine x Axe.

English: 
And that's just our standard
definite integral.
Now what I want to do in this
video is extend this, broaden
this a little bit, to solve, I
guess it maybe could say a
harder or a broader
class of problems.
Let's say that we are, let's
go to three dimensions now.
And I'll just draw
the x-y plane first.
Maybe I'll keep this, just to
kind of make the analogy clear.
I'm going to kind of
flatten this, so we
have some perspective.
So let's say that this right
here is the y-axis, kind of
going behind the screen.
You can imagine if I
just pushed on this
and knocked it down.
So that's the y-axis, and that
is my x-axis right there.
And let's say I some
path in the x-y plane.
And in order to really define a
path in the x-y plane, I'll
have to parameterize both
the x and y variables.
So let's say that x is equal
to, let me switch colors.
I'm using that orange too much.

Spanish: 
Y eso es justo nuestra integral definida estándar.
Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es extender esto, ampliar
esto un poco, resolver, supongo podía decir
más duro o una clase más amplia de problemas.
Digamos que estamos, vamos a las tres dimensiones ahora.
Y yo acabo de dibujar el plano x-y primero.
Quizá mantendré esto, sólo como un modo de clarificar la comparación.
Voy a aclarar esto, de modo que
tengamos algo de perspectiva.
Entonces digamos que este aquí es el eje y, como si
fuese por detrás de la pantalla.
Puedes imaginar que empujas esto
y la derribas.
Así este es el eje y, y este es mi eje x justo aquí.
Y digamos que tengo algún camino en el plano x-y.
Y para definir realmente en el plano x-y, yo
tendré que parametrizar tanto la variable x como la y.
Así, digamos que x es igual a , déjame cambiar los colores.
Estoy usando demasiado ese naranja.

Thai: 
และนั่นคืออินทิกรัลจำกัดเขตมาตรฐานของเรา
ตอนนี้ที่ผมจะทำในวิดีโอนี้คือ ขยายแนวคิดนี้
ไปอีกหน่อย, เพื่อแก้, ผมเดาว่ามันอาจเรียก
ว่าปัญหาที่กว้างกว่าและยากกว่านี้
สมมุติว่าเรา, ไปยังโลกสามมิติกัน
ผมจะวาดระนาบ xy ก่อน
บางทีผมอาจอยู่ตรงนี้ก่อน, แค่ให้เห็นความคล้ายกันชัด ๆ
ผมจะวางมันราบ, เราจะได้
เห็นมุมมองได้ง่ายขึ้น
สมมุติว่านี่คือแกน y, ประมาณว่า
อยู่หลังหน้าจอ
คุณอาจนึกว่า ผมดึงอันนี้แล้ว
ผลักมันลงไป
นั่นก็คือแกน y, และนั่นคือแกน x ตรงนี้
สมมุติว่าผมมีเส้นทางในระนาบ x-y
และในการหาเส้นทางในระนาบ x-y, ผมจะ
ต้อง parametrize ทั้งตัวแปร x และ y
งั้นสมมุติว่า x เท่ากับ, ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ
ผมกำลังใช้สีส้มมากไปหน่อยนะ

Turkish: 
Bu, bizim standart belirli integralimiz.
Şimdi, bu videoda, bunu biraz genişletmek ve biraz daha farklı ve zor sorular çözmek istiyorum.
-
-
Şimdi, üç boyuta geçelim.
Öncelikle, x y düzlemini çiziyorum.
Benzerliği göstermek için, şurayı aynı tutayım.
Perspektif oluşturmak için, şurayı biraz düzleştireyim.
-
Şurası y ekseni diyelim, ekranın arkasına kadar uzanıyor.
-
Şurayı itip düşürdüğümü farzedin.
-
Bu, y ekseni, burası da x ekseni.
xy düzleminde bir iz tanımlayalım.
Bu izi tanımlamak için, x ve y değişkenlerini parametrik olarak belirtmem gerekir.
-
-
-

Japanese: 
これが、基本の定積分です。
では、このビデオでは
この概念を拡張し
異なったクラスの問題をしましょう。
では、3次元で行いましょう。
まず、xーy面を描きます。
類似点をはっきりさせたいと思います。
これを、平たくすると、
わかりますか？
これが、y軸とします。
画面の後ろへ行きます。
これを、押して、
倒した感じです。
これが、y軸で、x軸がここです。
xーy面に、ある軌道を描きます。
xーy面での軌道を、定義するには、
xとyの両方の変数をパラメータで示します。
色を変えて、xは
何かのパラメータ、

Korean: 
그리고 그건 그냥 우리의 표준 정확한 정수.
지금이 비디오에 할 싶어이 연장, 확대
이 조금, 해결 하기 위해, 아마 말할 수 있을 것 같아 여
열심히 또는 문제의 광범위 한 클래스.
우리가, 가자 3 차원 지금 경우를 가정해 봅니다.
그리고 난 그냥 먼저 x-y 평면에 그릴 거 야.
어쩌면 그냥 일종의 비유 취소 확인이 계속 됩니다.
그래서이 평평 하 게 일종의 거 야 우리
몇 가지 관점을가지고.
그래서 가정해이 바로 여기입니다 y의 종류
화면 뒤에 간다입니다.
난 그냥이 밀어 상상할 수 있습니다
그리고 그것을 무 너 뜨.
그래서 y, 그리고 그 게 바로 거기에 내 축.
그리고 내가 x-y 평면에서 일부 경로 가정해 봅시다.
하기 위해서는 정말 x-y 평면에서 경로 정의 나는 거 야
x 및 y 변수를 매개 변수화 해야 합니다.
그럼 그 x 크거나, 색상 전환 하자는 말.
너무 많이 오렌지를 사용 해요.

Estonian: 
Ja see on meie näidis määratud integraal.
Mida ma selles videos teha tahan on laiendada seda integraali
natuke, et lahendada
Mida ma selles videos teha tahan on laiendada seda integraali
natuke, et lahendada
raskemaid ja kõrgemast klassist probleeme.
Läheme nüüd kolme dimensiooni.
Ja ma joonistan kõigepealt x-y tasandi.
Ma siiski jätan selle alles, et sarnasus oleks näha.
Ma liigutan seda, et meil tekiks mingi vaatenurk.
Ma liigutan seda, et meil tekiks mingi vaatenurk.
Niisiis ütleme, et see seal on y-telk,
nagu läheks ekraani taha.
Võite ette kujutada kuidas ma selle ümber lükkan.
Võite ette kujutada kuidas ma selle ümber lükkan.
Nii et see on y-telg ja see seal on x-telg.
Ja ütleme, et mul on mingi rada x-y tasandil.
Ja et x-y tasandil rada üldse defineerida,
peame me nii x-le kui y-le parameetrid andma.
Niisiis, ütleme et x võrdub, las ma vahetan värvi.
Ma kasutan liiga palju oranži.

Polish: 
I to jest właśnie nasza zwykła całka oznaczona.
Teraz, w tym filmiku chcę rozszerzyć to, poszerzyć
to troszeczkę, żeby rozwiązywało nam, można powiedzieć
trudniejszą lub szerszą klasę problemów.
Powiedzmy, że mamy... przejdźmy teraz do trzech wymiarów.
Najpierw narysują płaszczyznę XY.
Może zostawię to, żeby analogia była jaśniejsza.

Czech: 
A to je náš standartní určitý integrál
No a v tomto videu to trochu rozšíříme
abychom mohli vyřešit složitější a
širší škálu příkladů
Pojďme se teď přesunout do tří dimenzí
Já nejdříve namaluji plochu x-y
Možná zde nechám tohle, aby to bylo jasnější.
Teď to tak trochu zkosím,
abychom to měli z lepšího pohledu.
Řekněme, že tohle je osa "y",
která jde jakoby dozadu.
Můžete si to představit tak, že na tohle zatlačím
a položím to.
Takže tohle je osa "y" a tohle osa "x".
Řekněme, že máme nějakou dráhu na ploše "x-y"
A abychom ji mohli definovat,
budu muset zjistit parametry obou proměnných, "x" a "y".
.......... Já si jenom změním barvu,
jelikož oranžovou používám až moc.

Italian: 
E questo è solo il nostro solito integrale definito
Ora quello che voglio fare in questo video è estenderlo
un po', per risolvere, penso che forse si potrebbe dire una
più difficile o più ampia classe di problemi.
Diciamo che siamo, andiamo in tre dimensioni ora.
E disegnerò il piano x-y prima.
Forse mantengo questo, giusto per rendere chiara l'analogia.
Provo ad appiattirlo, così abbiamo
un po' di prospettiva.
Quindi diciamo che questo qui è l'asse y, che va
più o meno dietro allo schermo.
Puoi immaginare come se spingessi questo
e lo mettessi giù.
Quindi questo è l'asse y, e questo è il mio asse x proprio qui.
E diciamo che ho un qualche tracciato sul piano x-y,
E per definire davvero un tracciato sul piano x-y,
dovrò parametrizzare sia la variabile x, sia la variabile y.
Quindi diciamo che x è uguale a, fatemi cambiare colori.
Sto usando troppo quell'arancione.

French: 
Et ce n'est que notre intégrale norme définitive.
Maintenant ce que je veux faire dans cette vidéo est d'étendre ce, d'élargir
ce bit un peu, pour résoudre, je pense que peut-être pu dire un
plus difficile ou une catégorie plus large de problèmes.
Disons que nous sommes, passons à trois dimensions maintenant.
Et je vais dessiner le plan x-y en premier.
Peut-être que je vais garder ce, juste pour faire genre de l'analogie évidente.
Je vais sorte de s'aplatir, donc nous
avoir une certaine perspective.
Donc, disons que ce droit est ici l'axe des y, sorte de
en passant derrière l'écran.
Vous pouvez vous imaginer si je viens poussé sur ce
et il renversa.
C'est donc l'axe des y, et c'est mon axe des x là.
Et disons que je certain chemin dans le plan x-y.
Et pour vraiment définir un chemin dans le plan xy, je vais
ont pour paramétrer à la fois les variables x et y.
Donc, disons que x est égal à, permettez-moi de changer de couleur.
J'utilise cette orange trop.

Portuguese: 
E essa será a nossa 
integral definida padrão.
Agora o que eu quero fazer 
nesse vídeo é estender isso,
expandir um pouco, para resolver -- 
eu acho que poderia chamar isso
de classe de problemas mais 
difíceis ou mais extensa.
Digamos que estamos -- vamos 
para três dimensões agora.
E eu só vou desenhar 
o plano XY primeiro.
Talvez manterei isso, só 
para deixar a analogia clara.
Eu irei achatar isso para que
tenhamos alguma perspectiva.
Digamos que isso aqui 
é o eixo y, meio que
indo para trás da tela.
Você pode imaginar como se 
eu apenas empurrasse isso
e o derrubasse.
E esse é o eixo y e aquele 
é o meu eixo x logo ali.
E digamos que eu tenha 
uma trajetória no plano XY.
E para definir uma trajetória 
no plano XY, eu terei
que parametrizar 
ambas as variáveis x e y.
Digamos que x é igual 
a -- deixe-me mudar de cores.
Eu estou usando muito laranja.

Thai: 
สมมุติว่า x เท่ากับฟังก์ชันของพารามิเตอร์ t
และสมมุติว่า y เท่ากับฟังก์ชันของพารามิเตอร์
t เหมือนกัน, และสมมุติว่าเราจะเริ่ม, เรา
จะใช้ t เริ่มจาก, t มากกว่าหรือเท่ากับ
a, แล้วน้อยกว่าหรือเท่ากับ b
ตอนนี้นี่จะนิยามเส้นทางในระนาบ x-y, และหากนี่
มันชวนงง, คุณอาจต้องทบทวนวิดีโอ
เรื่องสมการพาราเมทริก
แต่ที่สุดแล้ว, เมื่อ t เท่ากับ a, คุณจะ
ได้ x เท่ากับ, เมื่อ t เท่ากับ a, คุณจะได้
x เท่ากับ g ของ a, และเราจะได้
y เท่ากับ h ของ a
ดังนั้นเราจะได้จุดนี้ตรงนี้, ดังนั้นบางทีมัน
อาจเป็น, ไม่รู้สิ, ผมจะวาดจุดสุ่ม ๆ ตรงนี้
เมื่อ t เท่ากับ a, คุณจะพลอต
จุดพิกัด g ของ a
นั่นจะเท่ากับพิกัด x ของเรา
นี่คือ g ของ a, ตรงนี้

Japanese: 
例えば、tの関数で
yはまた別のtに関する関数です。
まず、tがa以上で
bより以下と
しましょう。
これにより、xーy面での軌道が定義されます。
わかりにくい人は
パラメータのビデオで復習してください。
本質的に、tがaでは、
xは、g(a)です。
そして、
yは、 h(a)です。
そして、この点が
定義されるとしましょう。
tがaに等しい場合、
xの座標は、g(a)です。
それが、x座標です。
g(a)は、ここです。

French: 
Disons que x est égal à une fonction de certains paramètres
t, et disons y est égal à une autre fonction de ce
t même paramètre, et disons que nous allons commencer, nous sommes
t va avoir passer de, t va être supérieure ou
égale à une, puis inférieure ou égale à b.
Maintenant, ce sera de définir un chemin dans le plan xy, et si cette
semble confus, vous voudrez peut-être de revoir les vidéos sur
équations paramétriques.
Mais essentiellement, lorsque t est égal à un, vous allez
avoir x est égal à, donc t est égal à un, vous allez
avoir x est égal à g d'un, et vous allez devoir
y est égal à h d'une.
Donc, vous allez avoir ce point ici, alors peut-être
pourrait être, je ne sais pas, je vais juste tirer au hasard un point ici.
Lorsque t est égal à un, vous allez tracer la
point de coordonnées g d'un.
Cela va être notre coordonnée x.
C'est g d'un, ici.

Italian: 
Diciamo che x è uguale a una qualche funzione di un parametro
t, e diciamo che y è uguale a una qualche altra funzione di quello
stesso parametro t, e diciamo che iniziamo,
avremo t che va da, t sarà maggiore o uguale ad a
e poi minore o uguale a b.
Ora questo definità un tracciato sul piano x-y, e se questo
sembra confondere, potresti voler rivedere i video sulle
equazioni parametriche
Ma essenzialmente, quanto t è uguale ad a, avrai
x è uguale a, quindi y è uguale ad a, avrai
x uguale a g di a, e avrai
y uguale a h(a).
Quindi avrai questo punto proprio qui, quindi forse
potrebbe essere, non so, disegnerò un punto a caso qui.
Quando t è uguale ad a, dovrai disegnare la
coordinata del punto g di a.
Questa sarà la nostra coordinata x.
Questa è g di a, proprio qui.

Spanish: 
Digamos que x es igual a alguna función de algún parámetro
t, y digamos que y es igual a alguna otra función de ese
mismo parámetro t, y digamos que vamos a empezar, vamos
a tener t que va desde, t va a ser mayor o
igual que a, y además menor o igual que b.
Ahora esto definirá un camino en el plano x-y, y si esto
parece confuso, puedes querer revisar los vídeos sobre
ecuaciones paramétricas.
Pero básicamente, cuando t es igual a a, vas a
tener que x es igual a, así que t es igual a a, vas a
tener que x es igual a g de a, y vas a tener que
y es igual a h de a.
Así que vas a tener este punto justo aquí, así quizá
puede ser, no sé, yo sólo dibujaré un punto aleatorio aquí.
Cuando t es igual a a, vas a dibujar la
la coordenada del punto g de a.
Esa va a ser nuestra coordenada x.
Este es g(a), justo aquí.

Estonian: 
Ütleme, et x võrdub mingi funktsiooni parameetriga t
ja ütleme, et y on võrdne mingi teise funktsiooni
sama parameetri t-ga ja ütleme, et t on suurem võrdne a-ga
sama parameetri t-ga ja ütleme, et t on suurem võrdne a-ga
ja väiksem võrdne b-ga.
See määratleb nüüd ära raja x-y tasandil ja kui see
oli arusaamatu peaksid üle vaatama videod
parameetrilistest võrranditest.
Aga põhiliselt, kui t on võrdne a-ga,
ja t on võrdne a-ga, siis me saame, et
x on võrdne g kohal a-ga ja
y on võrdne h kohal a-ga.
Niisiis sa saad selle punkti siin,
ma joonistan siia suvalise punkti.
Kui t on võrdne a-ga siis joonestame punkti g kohal a.
Kui t on võrdne a-ga siis joonestame punkti g kohal a.
See saab olema meie x-koordinaat.
See seal on g kohal a.

Turkish: 
Diyelim ki, x ve y, bir t parametresinin fonksiyonları olarak yazılmış.
-
t parametresi a'dan b'ye gidiyor.
-
-
Bu, bize xy düzlemindeki izin tanımını verir. Eğer, kafanız karıştıysa, parametrik denklemlerle ilgili videoları seyretmek isteyebilirsiniz.
-
-
Temel olarak, t, a'ya eşit olduğunda, x de a'nın g fonksiyon değerine eşit olur.
-
Ve, y de, a'nın h fonksiyon değerine eşit olur.
-
Buna göre, bu noktayı elde edeceğiz.
-
t, a'ya eşit olduğunda, a'nın g fonksiyon değerini, noktanın x değeri olarak alacağız.
-
-
a'nın g fonksiyon değeri, burada.

Portuguese: 
Digamos que x é igual a alguma 
função de algum parâmetro t
e digamos que y é igual 
a alguma outra função desse
mesmo parâmetro t e digamos 
que iremos começar -- teremos
t ir de -- t será maior ou igual
a a e menor ou igual a b.
Agora isso irá definir uma 
trajetória no plano XY e se
isso parece confuso, 
você pode revisar os vídeos
de equações paramétricas.
Mas essencialmente quando 
t é igual a a, você terá
x igual a -- t é igual a a e você terá
x igual a g de a, e você terá
y igual a h de a.
Você terá esse ponto 
logo aqui, então talvez
isso possa ser, sei lá, eu vou 
desenhar um ponto aleatório aqui.
Quando t é igual a a, você irá plotar
a coordenada g de a.
Essa será a nossa coordenada x.
Esse é g de a, logo aqui.

English: 
Let's say that x is is equal to
some function of some parameter
t, and let's say y is equal to
some other function of that
same parameter t, and let's say
we're going to start, we're
going to have t go from, t is
going to be greater than or
equal to a, and then less
than or equal to b.
Now this will define a path in
the x-y plane, and if this
seems confusing, you might want
to review the videos on
parametric equations.
But essentially, when t is
equal to a, you're going to
have x is equal to, so t is
equal to a, you're going to
have x is equal to g of a,
and you're going to have
y is equal to h of a.
So you're going to have this
point right here, so maybe it
might be, I don't know, I'll
just draw a random point here.
When t is equal to a,
you're going to plot the
coordinate point g of a.
That's going to be
our x-coordinate.
This is g of a, right here.

Czech: 
Řekněme, že "x" se rovná nějaké funky co jistém parametru "t"
a řekněme, že "y" se rovná nějaké jiné funkci s tím samým parametrem "t"
a řekněme,
že "t" bude větší než anebo rovná se "a"
a také menší než a nebo rovná se "b".
A tohle definuje dráhu na ploše "x-y".
Pokud vám tohle připadá matoucí, můžete se znovu podívat
na videa o parametrických rovnicích.
Takže když "t" se rovná "a"
..............
tím pádem "x" se rovná "g (a)"
a "y" se rovná "h (a)".
Takže budeme mít tenhle bod, třeba tady,
nevím, namaluji náhodný bod třeba tady.
Když "t" se rovná "a", narýsujeme bod na souřadnicích
"g (a)"
jako souřadnice "x".
------------

Korean: 
일부 매개 변수의 일부 기능을 같습니다 x는 말 합시다
t, y는 그의 다른 기능을 가정해 및
동일한 매개 변수 t, 그리고 하자 말 우리 거 야 시작, 우리는
t에서 이동 해야 할 것, t가 보다 큰 수 또는
크거나 a 및 b 다음 덜 보다 작거나.
이제 x-y 평면에서 경로 정의 것이 고이
동영상을 검토 하는 것이 좋습니다 혼란 스러운 것 같다
패라메트릭 방정식입니다.
T에는 기본적으로, 그러나, 당신은 할 거 야
가 x 같습니다, 그래서 t는, 당신은 할 거 야
가 x g의와 같습니다, 그리고 있을 거 야
y h 같습니다는.
그래서이 지점 바로 여기, 그래서 아마 그것을 할 거 야
될 수도, 난 몰라, 난 그냥 여기 임의의 포인트를 그릴 거 야.
때 t은 크거나, 그릴 거 야 합니다
포인트 g의 좌표는.
그는 우리의 x 좌표 될 것 이다.
이것은 g는, 바로 여기.

Japanese: 
y座標は、h(a)です。
いいですか。
これらの式に、tがaを代入します。
そして、xとyの座標を得ます。
このy座標は、h(a)です。
tを大きくしていくと
bに至り、この点になり、
このようになります。
これが、曲線です。xーy面上の軌道です。
では、これが、どのように
関係するでしょう。
いいですか。
これを、cとします。
これが、軌道です。
このxーy面のすべての点に
他の関数による値があるとします。
それを、f(x、y)とします。
すべてのxーy面の点に、
ある値が与えられています。
f(x、y)をグラフに書いてみましょう。
これが、垂直の軸です。
ことなった色でしましょう。
これが、f(x、y)軸です。
z軸と呼ぶこともできます。

Portuguese: 
E a nossa coordenada y será h de a.
Certo?
Eu vou só colocar t igual a a em 
cada uma dessas equações
e então você obtém 
um valor de x e y.
E essa coordenada 
logo aqui seria h de a.
E você continua incrementando 
t mais e mais
até chegar a b, mas 
você terá uma série de
pontos que irão se 
parecer a algo assim.
Isso logo aqui é uma curva, 
ou uma trajetória, no plano XY.
E você está dizendo: como isso está
relacionado àquilo agora?
O que estamos fazendo?
Bom, deixe-me escrever um 
c aqui, essa é a nossa
curva, essa é a nossa trajetória.
Agora, digamos que eu tenha 
outra função que associa todo
ponto no plano XY 
com algum valor.
Digamos que eu tenha 
uma função, f de xy.
O que isso faz é 
associar todo ponto no
plano XY com algum valor.
Deixe-me plotar f de xy.
Farei um eixo vertical aqui.
Poderíamos fazer isso 
em uma cor diferente.
Chame isso de eixo de f de xy 
-- talvez possamos chamar
isso de eixo z, se quiser.

Italian: 
E poi la nostra coordinata y sarà h di a.
Giusto?
Metti semplicemente t è uguale ad a in tutte queste equazioni,
e poi ottieni un valore per x e y.
Quindi questa coordinata proprio qui sarebbe h di a.
E poi, continueresti ad incrementare t sempre di più
finché non arrivi a b, ma avrai una serie di punti che
sembra qualcosa del genere.
Questa qui è una curva, o un tracciato, sul piano x-y.
E starai dicendo, cosa c'entra questo con
questo proprio ora?
Che stiamo facendo?
Beh, lasciami scrivere una c qui, per dire, questa è la nostra
curva, o il nostro tracciato.
Ora, diciamo che ho un'altra funzione che associa a ogni
punto del piano x-y qualche valore.
Diciamo che ho qualche funzione F di xy.
Quello che fa è associare a ogni punto del piano x-y
con un qualche valore.
Quindi fatemi tracciare f di xy.
Fatemi fare un asse verticale qui.
Potremmo usare un colore diverso.
Chiamarlo l'asse f di xy, magari potremmo anche chiamarlo
l'asse z, se vuoi.

French: 
Et puis notre coordonnée y va être h d'un.
Droit?
Vous venez de mettre t est égale à un dans chacune de ces équations,
et puis vous obtenez une valeur pour x et y.
Donc, cette coordonnée ici serait h d'un.
Et puis, vous devez garder t incrémentation plus grand et
plus grande, jusqu'à ce que vous arrivez à b, mais vous allez obtenir une série de
points qui vont ressembler à quelque chose comme ça.
Ce droit il ya une courbe, ou c'est un chemin, dans le plan xy
Et vous le savez, vous dites, comment est-ce que rapportent
à ce droit maintenant?
Que faisons-nous?
Eh bien, permettez-moi juste écrire ca ici, pour dire, que c'est notre
courbe, c'est notre notre chemin.
Maintenant, disons que j'ai une autre fonction qui associe tous les
point dans le plan x-y avec une certaine valeur.
Donc, disons que j'ai une certaine fonction, f de x, y.
Ce qu'il fait est associé à chaque point de la x-y
plan avec une certaine valeur.
Alors permettez-moi de tracer f de x, y.
Permettez-moi de faire un axe vertical ici.
Nous pourrions faire une couleur différente.
Appelons cela le f de xy axe, peut-être on pourrait même l'appeler
Appelons cela le f de xy axe, peut-être on pourrait même l'appeler
l'axe des z, si vous voulez.

Estonian: 
Ja meie y-koordinaat saab olema h kohal a. Eksole?
Ja meie y-koordinaat saab olema h kohal a. Eksole?
Sa lihtsalt paned igasse võrrandisse asemele t võrdub a-ga
ja saad vastavalt x-le ja y-le a väärtuse.
Seega see koordinaat siin oleks h kohal a.
ja saad vastavalt x-le ja y-le a väärtuse.
Seega see koordinaat siin oleks h kohal a.
Nüüd suurendame t-d,
kuni jõuame b-ni milel tulemusel sa saad hulga
Nüüd suurendame t-d,
kuni jõuame b-ni milel tulemusel sa saad hulga
punkte mis näevad välja umbes nii.
See seal on kõver või rada x-y tasandil.
Ja sa küsid kuidas on see seotud
sellega?
Mida me teeme?
Las ma kirjutan siia c, ütleme, et see on
meie kõver või rada.
Las ma kirjutan siia c, ütleme, et see on
meie kõver või rada.
Nüüd väidame, et mul on teine funktsioon, millega seostub
x-y tasandi igal punktil mingi väärtus.
Ütleme, et mul on funktsioon kohal x,y.
See seostab iga punkti x-y tasandil mingi väärtusega.
See seostab iga punkti x-y tasandil mingi väärtusega.
Las ma joonestan f kohal x,y-i.
Las ma teen siia vertikaalse telje.
Me võiks selle teha teist värvi,
Nimetame selle f kohal x,y teljeks, kui soovite
võime selle nimetada ka z-teljeks.
Nimetame selle f kohal x,y teljeks, kui soovite
võime selle nimetada ka z-teljeks.

Turkish: 
y koordinatı da, a'nın h fonksiyon değeri olacak.
Öyle değil mi?
Bu denklemlere, t eşittir a'yı verdiğimizde, x ve y için birer değer elde ederiz.
-
Bu koordinat, a'nın h fonksiyon değeri olur.
Sonra, t'yi, b'ye ulaşana kadar, azar azar artırırız. Bu şekilde, şuna benzeyen bir noktalar kümesi elde ederiz.
-
-
Bu, xy düzleminde bir iz.
Şimdi sorabilirsiniz: Bunun, şununla ne ilgisi var?
-
Burada ne yapıyoruz?
Şuraya, izimizi belirtmek için, bir c yazayım.
-
Şimdi de diyelim ki, xy düzleminde her noktaya bir değer veren bir fonksiyon var.
-
x ve y cinsinden bir f fonksiyonu.
xy düzlemindeki her noktaya bir değer veren bir fonksiyon.
-
Bu fonksiyonun grafiğini çizeyim.
Şuraya bir düşey eksen çizeyim.
-
Buna f ekseni veya z ekseni diyebiliriz.
-

Korean: 
다음 우리의 y 좌표 h 될 것 이다 그리고는.
맞 죠?
당신은 그냥 넣어 t는 크거나를 각 이러한 방정식
x에 대 한 값을 얻을 다음 및 y.
그래서이 좌표를 바로 여기 h 것을.
다음, 당신은 큰 t을 증가 계속 것 이라고 하는 고 고
더 큰 때까지 b, 당신은 하지만 일련의를 받을 거 야
그런 식으로 뭔가 좀 하려고 하는 포인트.
그건 바로 거기 곡선, 또는 x-y 평면에서 경로.
그리고 당신은 알고 있다, 말을 하는지, 어떻게 관련 된 않습니다.
지금 당장 그?
우리는 무엇 하고있다?
음, 그냥 말, 여기에 c를 작성 하자는 우리의
곡선, 우리는 우리의 경로입니다.
지금, 가정해에 연결 하는 다른 함수를가지고 모든
일부 값 x-y 평면에서 가리킵니다.
그래서 일부 기능, x y의 f를가지고 말.
그것이 무슨은 x y에 모든 포인트에 연결
어떤 가치와 함께 비행기입니다.
그럼 하자 x y f 플롯 합니다.
세로 축 여기를 만들어 보자.
우리는 서로 다른 색을 할 수 있다.
X y 축의 f를 호출, 어쩌면 우리는 그것을 호출 수도
z, 하고자 하는 경우입니다.

Spanish: 
Y entonces nuestra coordenada y va a ser h(a).
¿Cierto?
Tú sólo pones t es igual a a en cada una de estas ecuaciones,
y entonces consigues un valor para x e y.
Así esta coordenada justo aquí sería h(a).
Y entonces, seguirías aumentando t más y
más, hasta que alcances b, pero vas a obtener una serie de
puntos que van a parecer algo como esto.
Eso, justo allí es una curva, o es un camino, en el plano x-y.
Es decir, estás diciendo, ¿cómo se relaciona
con eso ahora?
¿Qué estamos haciendo?
Bien, déjame sólo escribir una c aquí, digamos, esa es nuestra
curva, o ese es nuestro camino.
Ahora, digamos que tengo otra función que asocia cada
punto en el plano x-y con algún valor.
Así que digamos que tengo alguna función, f (x,y).
Lo que hace es asociar cada punto en el plano x-y
con algún valor.
Déjame dibujar f(x,y).
Déjame hacer un eje vertical aquí.
Podemos usar un color diferente.
Llamémosle f del eje x-y, quizá podamos incluso llamarle
el eje z, si quieres.

English: 
And then our y-coordinate
is going to be h of a.
Right?
You just put t is equal to a
in each of these equations,
and then you get a
value for x and y.
So this coordinate right
here would be h of a.
And then, you would keep
incrementing t larger and
larger, until you get to b, but
you're going to get a series of
points that are going to
look something like that.
That right there is a curve, or
it's a path, in the x-y plane.
And you know, you're saying,
how does that relate
to that right now?
What are we doing?
Well, let me just write a c
here, for saying, that's our
curve, our that's our path.
Now, let's say I have another
function that associates every
point in the x-y plane
with some value.
So let's say I have some
function, f of x y.
What it does is associate
every point on the x-y
plane with some value.
So let me plot f of x y.
Let me make a
vertical axis here.
We could do a different color.
Call it the f of x y axis,
maybe we could even call it
the z-axis, if you want to.

Thai: 
แล้วพิกัด y ของเราจะเป็น h ของ a
จริงไหม?
คุณจะใส่ t เท่ากับ a ในแต่ละสมการพวกนี้,
แล้วคุณจะได้ค่าสำหรับ x กับ y
ดังนั้นพิกัดนี้ตรงนี้จะเป็น h ของ a
แล้ว, คุณก็เพิ่ม t ขึ้น แล้วก็เพิ่มขึ้น
,กระทั่งคุณมาถึง b, แต่คุณจะได้จุดต่าง ๆ
ที่ดูหน้าตาแบบนี้
นั่นตรงนี้เป็นเส้นโค้ง, หรือมันคือเส้นทาง, ในระนาบ x-y
และคุณก็รู้, คุณก็บอกว่า, นั่นจะเกี่ยวข้อง
กับอันนั้นตรงนี้ยังไง?
เรากำลังทำอะไรอยู่?
ทีนี้, ขอผมเขียน c ตรงนี้, อย่างเช่น, นั่นคือเส้นทาง
ของเรา, นั่นคือเส้นทางของเรา
ตอนนี้, สมมุติว่าผมมีฟังก์ชันอีกอันที่เข้าคู่
กับทุกจุดในระนาบ x-y ด้วยค่าบางอย่าง
สมมุติว่าผมมีฟังก์ชัน, f ของ x y
สิ่งที่มันทำ คือ เข้าคู่ทุกจุดบนระนาบ
x-y กับค่าค่าหนึ่ง
ดังนั้นขอผมเขียน f ของ x y หน่อย
ขอผมเขียนแกนดิ่งตรงนี้นะ
เราสามารถใช้อีกสีนึงก็ได้
เรียกมันว่าแกน f ของ x y, บางทีเราอาจเรียกมันว่า
แกน z ก็ได้, หากคุณชอบ

Czech: 
A souřadnice "y" bude "h (a)".
Jen dosaďte "t" se rovná "a" do každé z těchto rovnic
a dostancete hodnoty pro "x" a "y".
Takže tato souřadnice je "h (a)"
A postupně budete zvětšovat "t" ,
dokud nedosáhnete hodnoty "b",
a dostancete množinu bodů, která bude vypadat asi takto.
Tohle je křivka na ploše "x-y".
A teď si asi říkáte "co to má společného
s tady s tím?"
"Co to děláme?"
Takže já si tady napíšu "c",
což je naše křivka.
Teď, řekněme, mám další funkci která spojuje každý
bod na ploše "x-y" s nějakou hodnotou.
Řekněme, že mám funkci "f (x,y)"
která spojuje každý bod na ploše "x-y"
s nějakou hodnotou.
Takže teď narýsuji "f (x,y)"
Tady udělám vertikální osu.
Možná v jiné barvě.
Budeme ji nazývat osa "f (x,y)"
nebo taky osa "z" chcete-li.

Turkish: 
-
Bana bir noktanın x ve y'si verildiğinde, ve bu koordinatları fonksiyonuma girdiğimde, bana bir koordinat daha verecek.
-
Dolayısıyla, fonksiyonumun temsil ettiği bir yüzeyi çizebilirim.
-
Örnek yaptığımda, çok daha somut olarak görebileceğiz.
-
Diyelim ki, f fonksiyonu, şöyle bir şey.
Elimden geldiğince iyi çizmeye çalışacağım.
-
f fonksiyonu.
Şöyle bir yüzey. Bir kısmını çizeyim.
-
Şuna benzeyen bir yüzey.
-
-
Unutmayın, x ve y koordinatlarını fonksiyona koyduğumda elde ettiğim değeri, üçüncü bir koordinat olarak, şu düşey yönde kullanıyorum.
-
-
-
f fonksiyonuna bir örnek vermek istersek, x artı y diyebiliriz.
-
-
-
Örnek olarak, x çarpı y olabilir.
-
x eşittir 1, y eşittir 2 ise, f, 1 çarpı 2 olur.

Japanese: 
ある垂直軸です。
すべての点に、x、yに関し、
f(x、y)の値が得られます。
xとyで定義される表面で
示されます。
実際の問題をすると
わかりやすくなります。
f(x、y)がこのようになるとします。
描いてみましょう。
異なった色を使います。
f(x、y)は、
この表面です。
一部描きます。
このような表面です。
いいですか
f(x、y)です。
これは、あるxとyがあると
f(x、y)の式で
3つ目の値が得られ、それは
kの垂直の軸で、示されます。
例えば
この場合
x+yです。
それが、f(x、y)です。
これは、単なる例です。
x掛けるyでもいいです。
もし、xが1でyが2なら、x、yが1,2なら

Korean: 
하지만 일부 수직 축 바로 거기.
그리고 모든 지점에 대 한 그래서 만약 당신이 x와 y를 줘
내 f의 x y 기능으로 그것 어떤 시점을 줄 것 이다.
그래서 그냥 일종의 서피스를 그릴 수 있는
x y의 f를 나타냅니다.
그리고이 모든 될 거 야 훨씬 더 구체적인 할 때
몇 가지 구체적인 예입니다.
그러 니 말 그 f x y이 같은 보인다.
내가 그것을 그리는 데 최선을 다 하 겠 었 어 요.
다른 색을 할 거 야.
X y의 f를 가정해 봅시다.
일부 표면입니다.
그것의 부분을 그릴 거 야.
그것은 보이는 몇 가지 표면, 마치 가정해 봅시다
뭐 그런.
X y f입니다.
그리고 기억 하 고,이 모든 것은, 당신이 x 놔, 당신은 내게는
y, 당신은 y f로 그것을 팝업, 일부 내게 하는 것
우리는이 수직에 그릴 거 야 세 번째 값
축 바로 여기입니다.
내 말은, 예, x y f?
그것은 있을 수 있다, 난 아냐 이것은 특별 한 경우
그것은 수 x + y.
그것은 x y f 될 수 있습니다.
이들은 그냥 예입니다.
그것은 수 x 번 y.
X 1 이면 y 2, x y의 f 1 번 2 될 것입니다.

Portuguese: 
Mas um eixo vertical logo aqui.
E para todo ponto -- se você me der 
um x e um y e os colocarem
na minha função f de xy, 
você obterá algum ponto.
Então eu posso somente desenhar 
algum tipo de superfície que
represente f de x y.
E isso se tornará muito mais 
concreto quando eu fizer
alguns exemplos concretos.
Digamos que f de x y 
se pareça a algo assim.
Eu darei o meu melhor 
para desenhá-la.
Farei isso com outra cor.
Digamos f de x y.
Uma superfície qualquer.
Desenharei parte dela.
É uma superfície 
qualquer que se parece
a algo assim.
Isso é f de x y.
E lembre-se, tudo isso é 
você usar um x, usar um
y, os usa em f de 
x y, e isso resultará
em um terceiro valor que 
iremos plotar nesse eixo
vertical aqui.
Quer dizer, exemplo, f de x y?
Poderia ser -- não digo que 
esse é um caso específico --
poderia ser x mais y.
Poderia ser f de x y.
Esses são só exemplos.
Isso poderia ser x vezes y.
Se x é um, y é dois, f de 
x y será um vezes dois.

English: 
But some vertical
axis right there.
And for every point, so if you
give me an x and a y, and put
into my f of x y function, it's
going to give you some point.
So I can just draw some
type of a surface that
f of x y represents.
And this'll all become a lot
more concrete when I do
some concrete examples.
So let's say that f of x y
looks something like this.
I'm going to try my
best to draw it.
I'll do a different color.
Let's say f of x y.
Some surface.
I'll draw part of it.
It's some surface that
looks, let's say it looks
something like that.
That is f of x y.
And remember, all this is, is
you give me an x, you give me a
y, you pop it into f of x y,
it's going to give me some
third value that we're going to
plot in this vertical
axis right here.
I mean, example, f of x y?
It could be, I'm not saying
this is a particular case,
it could be x plus y.
It could be f of x y.
These are just examples.
It could be x times y.
If x is 1, y is 2, f of
x y will be 1 times 2.

Italian: 
Ma un qualche asse verticale proprio qui.
E per ogni punto, quindi se mi dai un valore x e y, e li metti
nella mia funzione f di x y, di darà un qualche punto.
Quindi posso semplicemente disegnare un qualche tipo di superficie
che f di x y rappresenta.
E questo diventerà molto più concreto quando farò
alcuni esempi concreti.
Diciamo che f di x y assomiglia un po' a questo.
Farò del mio meglio a disegnarlo.
Userò un colore diverso.
Diciamo f di x y.
Una qualche superficie.
Ne disegnerò una parte.
È una qualche superficie che assomiglia, diciamo che assomiglia
a qualcosa come questo.
Questa è f di x y.
E ricorda, tutto questo è, è se mi dai una x, mi dai una
y, le metti in f di x y, mi darà qualche
terzo valore che disegneremo in questo asse verticale
propzio qui.
Voglio dire, esempio, f di x y?
Potrebbe essere, non dico che sia un caso particolare,
Potrebbe essere x+y.
Potrebbe essere f di x y.
Questi sono solo esempi.
Potrebbe essere x per y.
Se x è 1, y è 2, f di x sarebbe 1 per 2.

Czech: 
Prostě nějaká vertikální osa zde.
Takže pokud vím "x" a "y" a dám je do
mé funkce "f (x,y)", vyjde mi nějaký bod.
Takže můžu namalovat plochu
která reprezentuje "f (x,y)".
Tohle všechno bude mnohem jasnější,
když udělám nějaké konkrétní příklady.
Řekněme, že "f (x,y)" vypadá nějak takto.
Budu se snažit to namalovat co nejlépe.
A jinou barvou.
.............
Nějaká plocha...
Já namaluju její část-
Řekněme, že ta plocha
vypadá nějak takto.
To je "f (x,y)"
A jediné co tohle je, je, že mi dáte "x" a dáte mi "y"
dosadíte to do "f (x,y)", a vyjde nějaká hodnota
kterou narýsujeme na vertikální osu.
...............
Příklad "f (x,y)"?
Může to být například, ne zrovna v tomto případě,
"x" plus "y".
.................
Tohle jsou jenom příklad.
Může to být třeba "x" krát "y".
když "x" je 1 a "y" je 2, "f (x,y)" se rovná 1 krát 2.

French: 
Mais certains axe vertical là.
Et pour chaque point, si vous me donner un x et ay, et de mettre
dans mon f de la fonction xy, ça va vous donner un certain point.

Thai: 
แต่มีแกนดิ่งสักอันตรงนี้
ดังน้นทุกจุดนั้น, หากคุณบอกค่า x กับ y ผม, และใส่
ลงในฟังก์ชัน f ของ x y, มันจะบอกคุณถึงจุด ๆ นึง
ดังนั้นผมสามารถเขียนผิวอะไรสักอย่างที่แทน
f ของ x y
และนี่จะชัดเจนขึ้นเมื่อผม
ทำตัวอย่างเจาะจงลงไป
งั้นสมมุติว่า f ของ x y หน้าตาเป็นแบบนี้
ผมจะพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้วกัน
ผมจะใช้อีกสีนึง
สมมุติว่า f ของ x y
ผิวสักอย่าง
ผมจะวาดส่วนนึงแล้วกัน
มันคือผิวบางอย่างที่ดู, สมมุติว่ามันดู
เป็นแบบนั้น
นั่นคือ f ของ x y
และจำไว้, ทั้งหมดนี่, คือคุณให้ x ผมมา, คุณให้
y มา, คุณใส่ลงไปใน f ของ x y, มันจะบอกค่า
ที่สามที่เราจะพลอตในแกนดิ่งนี่
ตรงนี้
ผมหมายถึง, ตัวอย่างเช่น, f ของ x y?
มันอาจเป็น, ผมไม่ได้บอกว่านี่เป็นกรณีเฉพาะนะ,
มันอาจเป็น x บวก y
มันอาจเป็น f ของ x y
พวกนี้คือตัวอย่างเท่านั้น
มันอาจเป็น x คูณ y
หาก x เป็น 1, y คือ 2, f ของ x y จะเป็น 1 คูณ 2

Estonian: 
Teeme siia vertikaalse telje.
Kui sa annad mulle mingi x-i ja mingi y-i ja paned need minu
funktsiooni f kohal x,y, siis vastuseks saad sa mingi punkti.
Niisiis ma võin joonistada mingi pinna
mida funktsioon kohal x,y tähistab.
Niisiis ma võin joonistada mingi pinna
mida funktsioon kohal x,y tähistab.
Ja see kõik läheb konkreetsemaks kui ma
toon konkreetseid näiteid.
Ütleme siis, et f kohal x,y näeb välja umbes selline.
Ma katsun selle võimalikult hästi joonistada.
Ma võtan teise värvi.
Ma katsun selle võimalikult hästi joonistada.
Ma võtan teise värvi.
See oleks f kohal x,y.
Mingi pind. Ma joonistan osa sellest.
See oleks f kohal x,y.
Mingi pind. Ma joonistan osa sellest.
See oleks f kohal x,y.
Mingi pind. Ma joonistan osa sellest.
Kui mingi pind, mis näeb välja, ütleme et näeb välja umbes selline.
Kui mingi pind, mis näeb välja, ütleme et näeb välja umbes selline.
See on f kohal x,y.
Ja pidage meeles, te annate mulle mingi x-i, annate mingi
y-i, sa paned need funktsiooni kohal x,y ja see annab mulle
kolmanda väärtuse mille me joonestame sellele vertikaalsele
teljele siin.
kolmanda väärtuse mille me joonestame sellele vertikaalsele
teljele siin.
Ma tahan öelda, et ,näiteks, f kohal x,y?
See võib-olla, ja ma ei mõtle mingit kindlat juhtu,
see võib olla x pluss y.
See võib olla f kohal x,y.
Need on lihtsalt näited.
See võib olla x korda y.
Kui x on 1 ja y on 2 siis f kohal x,y on 1 korda 2.

Spanish: 
Pero algún eje vertical justo allí.
Y para cada punto, de modo que si me das una x y una y, y pones
en mi función f(x,y), va a darte algún punto.
Así que puedo dibujar justo algún tipo de superficie que
f(x,y) represente.
Y todo esto se concretará cuando realice
algunos ejemplos concretos.
Así, digamos que f(x,y) se parece a algo como esto.
Voy a hacer lo mejor posible para dibujarlo.
Usaré un color diferente.
Digamos f(x,y).
Alguna superficie.
Dibujaré parte de ella.
Es alguna superficie que se parece, digamos que se parece
a algo como eso.
Eso es f(x,y).
Y recuerda que, todo esto es, es me das una x, me das una
y, lo aplicas a f(x,y), y va a darme un
tercer valor que vamos a dibujar en este
eje vertical de aquí.
Quiero decir, por ejemplo, f(x,y)
Podía ser, no estoy diciendo que este es un caso particular,
podía ser x+y.
Podía ser f(x,y).
Estos son sólo ejemplos.
Podía ser x*y.
Si x es 1, y es 2, f(x,y) será 1*2.

English: 
But let's say when you plot,
for every point on the x-y
plane, when you plot f of x y
you get this surface up
here, and we want to do
something interesting.
We want to figure out, not the
area under this curve, this
was very simple when we
did it the first time.
I want to find the area if you
imagine a curtain, or a fence,
that goes along this curve.
You can imagine this being a
very straight linear path,
going just along the
x-axis from a to b.
Now we have this kind of crazy,
curvy path that's going
along the x-y plane.
And you can imagine if you drew
a wall, or curtain, or a fence
that went straight up from this
to my f of x y, let me do my
best effort to draw that.
Let me draw it.
So it's going to go up to
there, and maybe this point
corresponds to there.
And when you draw that curtain
up, it's going to intersect
it something like that.
Let's say it looks
something like that.
So this point right here
corresponds to that
point right there.

Turkish: 
f fonksiyonunun grafiğini çizdiğimizde, şu yüzeyi elde ettiğimizi düşünelim.
-
Şimdi ilginç bir şey yapalım.
Eğrinin altındaki alanı bulmak istemiyoruz, ilk yaptığımızda çok kolay gelmişti.
-
Bu iz üzerinde bir perde veya çit varmış gibi düşünüp, o alanı bulmak istiyorum.
-
x ekseninde a'dan b'ye giden çok düz bir iz olarak düşünebiliriz.
-
Veya, xy düzleminde eğriler çizen bir iz de olabilir.
-
Şimdi, buradan f değerine doğru bir duvar, perde veya çit çizdiğimizi hayal edersek, bunu çizmeye çalışalım.
-
-
-
Yani, bu nokta buraya çıkacak, belki de bu noktanın değeri şurada olacak.
-
Ve, perdeyi çektiğimizde, kesişecek.
-
Şuna benziyor, diyelim.
Yani, buradaki nokta, şu noktanın karşılığı.
-

Japanese: 
グラフに書くと、すべてのxーy面の点に
f(x、y)の平面があります。
興味深いです。
曲線の下の領域を
求めるのではなく、
この下にカーテン、または、柵があると考え、
その面積を曲線に沿って求めます。
これが、x軸に沿って、aからbの直線と
することもできます。
ここでは、xーy面のこのような
変わった曲線としましょう。
このf（x、y）の下にカーテン、または、柵があると考え、
それを描いてみましょう。
いいですか？
描きます。
この間に
垂れ下がっています。
上に向かうと
ここに行き当たります。
このように見えます。
この点は
この点にあたります。

Korean: 
하지만 당신이 때, x-y 모든 지점에 대 한 플롯을 가정해 봅시다
평면이 표면 일어나서 y f를 플롯할 때
여기, 우리가 하 고 싶은 뭔가 흥미로운.
우리가 알아낼이 곡선 아래의 영역 하지 싶어이
우리가 처음으로 그것을 했을 때 매우 간단 했다.
커튼, 또는 울타리를 상상 하는 경우 영역을 찾을 싶어요합니다
이 커브를 따라 간다.
이 되는 아주 똑 바른 선형 경로 상상할 수 있습니다.
단지에서 축가 b.
이제 우리는 이런이 종류의 것 이다 미친, 휘기 경로
x-y 평면.
벽, 또는 커튼, 울타리를 그린 경우 상상할 수 있는
그이 내 f x y 똑바로 갔다, 나 게 내
최상의 노력을 그릴입니다.
그것을 그려 보자.
그래서에 서 거기에, 그리고 어쩌면 하는 것이 포인트
거기에 해당 하는.
그리고 그 커튼을 세우는 경우에 교차 일인지
그것 처럼 뭔가 그.
뭔가 처럼 보이는 경우를 가정해 봅니다.
이 포인트는 바로 여기에 해당 하는 그래서
포인트는 바로 거기에 있습니다.

Portuguese: 
Mas digamos que quando você plota 
para todos os pontos no plano
xy, quando você plota f de x y 
você obtém essa superfície
aqui e nós queremos 
fazer algo interessante.
Nós não queremos descobrir 
a área abaixo da curva,
isso foi muito simples quando 
fizemos isso na primeira vez.
Queremos encontrar a área se você 
imaginar uma cortina, ou uma cerca,
que passa por essa curva.
Você pode imaginar isso como 
sendo uma trajetória bem linear
passando somente 
sobre o eixo x de a e b.
Agora temos essa trajetória 
curva maluca que passa
pelo plano XY.
E você pode imaginar que se você desenhasse 
uma parede, ou uma cortina, ou uma cerca,
que fosse para cima 
daqui até f de x y -- vou
fazer o esforço para 
desenhar bem isso.
Deixe-me desenhar isso.
Irá ali para cima e 
talvez esse ponto
corresponda a esse.
E quando você desenha aquela 
cortina para cima, ela irá interceptá-la
dessa forma.
Digamos que se pareça a isso.
Esse ponto corresponde a aquele
ponto logo ali.

Estonian: 
Aga ütleme, et kui sa joonestad, igale punktile x-y tasandil,
kui sa joonestad funktsiooni kohal x,y saad sa pinna
siin üleval ja nüüd me tahame teha midagi huvitavat.
Me tahame leida, mitte ala selle kõvera all,
see oli lihtne kui me seda esimest korda tegime.
Ma tahan leida ala, kui kujutada ette kardinat või aeda,
selle kõvera all.
Ma tahan leida ala, kui kujutada ette kardinat või aeda,
selle kõvera all.
Võite ette kujutada, et see on väga sirgjooneline rada,
mis jookseb pikki x-telge a-st b-ni.
Nüüd meil on selline natuke hull, kurviline rada mis läheb
mööda x-y tasandit.
Võid ette kujutada, et kui sa joonistad seina või kaardina või aia
mis läheb sirgelt siit üles funktsioon kohal xy-ni, las ma
annan oma parima, et seda joonistada.
annan oma parima, et seda joonistada.
Nii et see läheb sinna üles ja võib-olla see punkt
vastab sellele.
Ja kui sa joonistad selle kaardina siia üles, siis see lõikub
kuidagi niimoodi.
Ja kui sa joonistad selle kaardina siia üles, siis see lõikub
kuidagi niimoodi.
Kujutame ette, et see näeb umbes selline välja.
Seega see punkt siin vastab sellele punktile siin.
Seega see punkt siin vastab sellele punktile siin.

Spanish: 
Pero digamos cuando dibujas, para cada punto en el
plano x-y, cuando dibujas f(x,y) obtienes esta superficie de
aquí, y queremos hacer algo interesante.
Queremos descubrir, no el área bajo esta curva, esta
era muy fácil cuando lo hicimos la primera vez.
Yo quiero encontrar el área si imaginas una cortina, o una valla,
que recorre esta curva.
Puedes pensar en esta como un largo camino linear,
yendo justo a lo largo del eje x desde a hasta b.
Ahora tenemos este tipo de camino loco, curvado que va
a lo largo del plano x-y.
Y puedes pensar si dibujas un muro, una cortina o una valla
que fuese directamente hacia arriba desde esta a mi f(x,y), lo haré
lo mejor posible para dibujar eso.
Permíteme dibujarlo.
Así va a ir hacia arriba hasta allí, y quizá este punto
corresponde allí.
Y cuando dibujas esa cortina, va a intersecarla
de un modo parecido a este.
Digamos que se parece a algo como esto.
Así este punto aquí corresponde a ese
punto allí.

Thai: 
แต่สมมุติว่าเมื่อคุณพลอต, ทุกจุดบนระนาบ x-y
ตอนคุณพลอต f ของ x y คุณจะได้ผิวนี้
บนนี้, และเราอยากทำอะไรสักอย่างที่น่าสนใจ
เราอยากหา, ไม่ใช่พื้นที่ของเส้นโค้งนี้, นี่มัน
ง่ายมากตอนที่เราทำมันในครั้งแรก
ผมอยากหาพื้นที่หากคุณนึกภาพม่าน, หรือรั้ว
ที่ไปตามเส้นโค้งนี้
คุณอาจนึกภาพว่านี่คือเส้นตรงเป๊ะ
มันตรงไปตามแกน x จาก a ถึง b
ตอนนี้เรามีเส้นทางโค้งคดเคี้ยวที่
ไปตามระนาบ x-y
และคุณอาจนึกว่า หากคุณวาดกำแพลัง, หรือม่าน, หรือรั้ว
ที่ขึ้นตรงจากนี้ถึง f ของ x y, ขอผมพยายาม
วาดให้ดีที่สุดแล้วกันนะ
ขอผมวาดมันหน่อย
มันจะขึ้นไปถึงตรงนี้, บางทีคือจุดนี้
ตรงกับอันนี้
และเมื่อคุณวาดม่านขึ้นมา, มันจะตัดกัน
อะไรแบบนั้น
สมมุติว่ามันออกมาเป็นแบบนั้น
ดังนั้นจุดนี้ตรงนี้จะตรงกับจุดนั้น
ตรงนี้

Italian: 
Ma diciamo che quando disegni, per ogni punto sul piano x-y
quando disegno f di x y ottieni questa superficie qua
sopra, e vogliamo fare qualcosa di interessante.
Vogliamo trovare, non l'area sotto la curva,
questo era molto semplice quando l'abbiamo fatto la prima volta.
Voglio trovare l'area se immagini una tenda, o una staccinata,
che percorre questa curva.
Puoi immaginare che questo sia un percorso lineare molto dritto,
che va solo lungo l'asse x da a a b.
Ora che abbiamo questa sorta di pazzo, tracciato curvo che va
lungo il piano x-y.
E puoi immaginare che se disegnassi un muro, o una tenda, o un recinto
che vada dritto in su fa questo alla mia f di x y, lasciatemi fare
il mio miglio sforzo per disegnarla.
Lasciatemela disegnare.
Quindi andrà su fin lì, e forse questo punto
corrisponde a lì.
E quando disegni quella tenda su, lo intersecherà
in modo simile.
Diciamo che assomiglia a questo.
Quindi questo punto qui corrisponde a questo punto
proprio lì.

Czech: 
Ale řekněme, že pro každý bod na ploše "x-y"
narýsujeme odpovídající bod dle "f (x,y)" a vznikne tato plocha.

English: 
So if you imagine, you have a
curtain, f of x y is the roof,
and this is a, what I've drawn
here, this curve, this kind of
shows you the bottom of a wall.
This is some kind
of crazy wall.
And let me say, this point it
corresponds to, well, actually,
let me draw it little
bit different.
This point will correspond to
some point up here, so when you
trace where it intersects, it
will look something maybe
like that, I don't know.
Something like that.
And I'm trying my best to
help you visualize this.
So maybe I'll shade this in
to make it a little solid,
let's say f of x y is
little transparent.
You can see.
But you have this
curvy-looking wall here.
And the whole point of this
video is, how can we figure out
the area of this curvy-looking
wall, that's essentially the
wall or the fence that happens
if you go from this curve
and jump up, and hit the
ceiling at this f of x y?
So let's think a little bit
about how we can do it.

Turkish: 
Perde benzetmesinde, f'yi tavan, şuradaki eğriyi de duvarın alt kısmı olarak düşünebiliriz.
-
-
Çılgın bir duvar.
-
-
-
Bu nokta, şu noktaya karşı geliyor. Kesiştiği noktayı izlediğimizde, şöyle bir şey çıkabilir.
-
-
Şuna benzer bir şey.
Elimden geldiğince, görsellemenizi sağlamaya çalışıyorum.
Şuraya gölge yapayım da, daha katı görünsün.
f fonksiyonunun grafiğinin biraz şeffaf olduğunu düşünelim.
-
Ama, şurada, şu eğri duvar var.
Bu videoda öğrenmeye çalıştığımız, bu eğri duvarın alanını bulmak.
-
-
-
Şimdi bu alanı nasıl bulacağımızı düşünelim.

Korean: 
X y의 f는 지붕, 그래서 만약 당신이 상상이 커튼 있다,
그리고 이것은, 무엇을 그려 했습니다 여기,이 곡선,이 종류의
벽의 하단에 표시 됩니다.
이것은 미친 벽의 일종 이다.
그리고 나를 말, 그것에 해당 하는이 시점에, 음, 사실,
그것은 약간 다른으로 그려 보자.
이 시점에 해당 됩니다 지점 여기에, 그래서 때 당신은
교차 하는 위치 추적, 어쩌면 뭔가 보이는 것입니다.
그런 식으로, 난 몰라.
뭐 그런.
그리고이 시각화 하는 데 최선을 참기.
그래서 어쩌면에서 조금 단단한 수 있도록이 음영 거 야
x y의 f는 약간 투명 한 경우를 가정해 봅니다.
볼 수 있습니다.
하지만 당신은 여기에이 매력적인 찾고 벽.
그리고이 비디오의 요점은, 우리가 어떻게 알 수 있습니다.
본질적으로 그 매력을 찾고 벽이 영역에서
벽 이나이 커브에서 이동 하는 경우 일어나는 울타리
뛰어 오르는, 그리고이 f y x에서 천장 했다?
그래서 우리가 그것을 할 수 있는 방법에 대해 조금 생각 한다.

Italian: 
Quindi se immagini di avere una tenda, f di x y è il soffitto,
e questo è a, quello che ho disegnato qui, questa curda, questo ci mostra
all'incirca la base del muro.
Questo è una qualche sorta di muro assurdo.
E diciamo che questo punto corrisponde a, beh, in realtà,
fatemelo disegnare un po' diverso.

Portuguese: 
Se você imaginar que você 
tem uma cortina, f de xy é o teto,
e esse é a, o que eu desenhei 
aqui, essa curva, isso
lhe mostra a parte 
de baixo da parede.
Essa é uma parede 
maluca qualquer.
E digamos que esse ponto 
corresponde a -- bom,
deixe-me desenhar isso 
um pouco diferente.
Esse ponto corresponderá a algum 
ponto aqui, então quando você rastrear
onde ele a intercepta vai 
se parecer como algo
assim, não sei.
Algo assim.
E eu estou dando o meu melhor 
para lhe ajudar a visualizar isso.
Talvez usar sombras o 
faça parecer mais sólido,
digamos que f de xy é 
um pouco transparente.
Você pode ver isso.
Mas você tem essa 
parede curva aqui.
E o objetivo deste vídeo 
é como descobrir a
área dessa parede curva, 
essa é essencialmente a
parede ou a cerca que aparece 
se você for dessa curva
e pular e atingir o teto de f de xy.
Pensemos em como 
podemos fazer isso.

Thai: 
ดังนั้นหากคุณนึกภาพ, คุณมีม่าน, f ของ x y คือหลังคา,
และนี่คือ a, สิ่งที่ผมวาดตรงนี้, เส้นโค้งนี้, นี่เหมือนกับ
บอกคุณถึงขอบล่างของกำแพง
นี่เป็นเหมือนกำแพงเพี้ยน ๆ
และผมจะบอกว่า, จุดนี้ตรงกับ, ที่จริง,
ขอผมวาดให้ต่างออกไปหน่อย
-
จุดนี้จะตรงกับสักจุดบนนี้, ดังนั้นเมื่อคุณ
ตามรอยว่ามันตัดตรงไหน, มันจะออกบางที
เป็นแบบนั้น, ไม่รู้เหมือนกัน
อะไรแบบนั้นแหละ
ผมพยายามเต็มที่เพื่อช่วยคุณนึกภาพนี้
บางทีผมจะแรเงานี่ให้เข้มขึ้นหน่อย,
สมมุติว่า f ของ x y โปร่งใสนิดหน่อย
คุณเห็นมันได้
แต่คุณมีกำแพงโค้ง ๆ ตรงนี้
และประเด็นทั้งหมดของวิดีโอนี้, คือเราจะหา
พื้นที่ของกำแพงโค้ง ๆ นี้ยังไง, มันก็คือกำแพงหรือ
รั้วที่เกิดขึ้นตอนคุณไปตามเส้นโค้ง
แล้วกระโดดขึ้น จนชนเพดาน ณ f ของ x y นี่
งั้นลองคิดสักหน่อยว่าเราจะทำได้ยังไง

Japanese: 
f（x、y）が上限のカーテンです。
この曲線が
カーテンの底辺です。
変わった壁です。
すこし、書き変えて
こんな感じです。
いいですか？
この点は、
行き当たる点は
この辺になります。
こんな感じです。
分かりますか？
陰をつけると、分かりやすくなるかもしれません。
f（x、y）は透明です。
いいですか？
この波のような壁です。
このビデオの目的は、
この波のような壁の面積をどのように求めるかです。
この曲線に沿って、
f（x、y）が上限です。
どのようにすればいいか、見てみましょう。

Spanish: 
Así si imaginas, tienes una cortina, y f(x,y) es el tejado,
y este es a, lo que he dibujado aquí, esta curva, esta es como
la parte de abajo de un muro.
Este es una especia de muro loco.
Y déjame decir, este punto corresponde a, bien, realmente,
déjame dibujarlo un poco diferente.
Este punto corresponderá a algún punto aquí arriba, así que cuando
localices dónde se interseca, se parecerá a algo, quizá
como esto, no sé.
Algo como esto.
Y yo hago lo que puedo para ayudarte a visualizar eso.
Así que mejor sombrearé esto para hacerlo un poco más sólido,
digamos que f(x,y) es un poco transparente.
Como puedes ver.
Pero tienes este muro de forma curvada aquí.
Y el objetivo principal de este vídeo es, cómo podemos averiguar
el área de este muro de forma curvada, ¿es ese en esencia el
muro o la valla que se forma si vas desde esta curva?
y saltas hacia arriba, y tocas el techo en este f(x,y).
Así que pensemo un poco sobre como podemos hacerlo.

Estonian: 
Niisiis, kui sa kujutad ette, et sul on kaardin ja f kohal x,y on katus
ja see mis ma siia joonistasin, see kõver näitab
seina alumist äärt.
See on mingi pöörane sein.
Ja see punkt siin vastab, või tegelikult,
las ma joonistan selle natuke ümber.
See punkt vastab mingile punktile siin üleval, seega kui sa
jälgid kus see lõikub, siis see näeb välja umbes nagu
see, ma ei teagi.
jälgid kus see lõikub, siis see näeb välja umbes nagu
see, ma ei teagi.
Umbes midagi sellist.
Ma annan oma parima, et teile seda piltlikult kujutada.
Umbes midagi sellist.
Ma annan oma parima, et teile seda piltlikult kujutada.
Võib.olla ma varjutan selle, et see teile ruumiliseks teha,
kujutleme, et f kohal x,y on läbipaistev.
Et te näeks.
kujutleme, et f kohal x,y on läbipaistev.
Et te näeks.
Aga siin on üks kõver sein.
Ja kogu selle video mõte on, et kuidas mõelda välja
selle kõvera seina ala, mis on põhimõtteliselt
sein või aed mis saadakse kui minna mööda seda kõverat
ja hüpata üles ja ja puudutada lage mis on f kohal x,y?
Niiet mõtleme natuke selle üle kuidas seda teha.

English: 
Well, if we just use the
analogy of what we did
previously, we could
say, well look.
Let's make a little change
in distance of our curve.
Let's call that ds.
That's a little change
in distance of my
curve, right there.
And if I multiply that change
in distance of the curve times
f of x y at that point, I'm
going to get the area of that
little rectangle right there.
Right?
So if I take the ds, my change
in my, you can imagine the arc
length of this curve at that
point, so let me write, you
know, ds is equal to super
small change in arc length of
our path, or of our curve.
That's our ds.
So you can imagine, the area of
that little rectangle right

Portuguese: 
Bom, se usarmos somente a analogia 
do que fizemos anteriormente
poderíamos dizer -- bom, veja.
Façamos uma pequena mudança 
na distância da nossa curva.
Chamemos isso de ds.
Essa é uma pequena mudança 
na distância da minha
curva, logo aqui.
E se eu multiplicar essa mudança 
na distância da curva vezes
f de x y naquele ponto, eu 
obterei a área daquele
pequeno retângulo logo ali.
Certo?
Se eu usar ds, a mudança no -- você 
pode imaginar o comprimento
do arco dessa curva naquele 
ponto, então vou escrever, você sabe,
ds é igual à pequena mudança 
no comprimento do arco
da nossa trajetória, ou na nossa curva.
Esse é o nosso ds.
Você pode imaginar que a área 
daquele pequeno retângulo ali,

Estonian: 
Kui kasutada sama asja mida me tegime
varem, siis võiks öelda, noh vaadake.
Teeme väikese muutuse kõvera vahemaas.
Nimetame selle ds-iks.
See on väike vahemaa muudatus minu
kõveral, vot seal.
Ja kui ma korrutan selle vahemaa muutuse punktiga
funktsioonil kohal x,y, saan ma selle väikese
ristküliku ala siin. Õigus?
ristküliku ala siin. Õigus?
Kui ma võtan ds-i, te võite ette kujutada kaare
pikkust kõvera selles punktis, las ma kirjutan, teate küll,
ds on võrdne üli väikese muutusega kaare pikkuses
meie rajal või meie kõveral.
See on meie ds.
Võite ette kujutada selle väikese ristküliku ala seal,

Spanish: 
Bien, si usamos únicamente la analogía que hice
anteriormente, podríamos decir, bien mira.
Hagamos un pequeño cambio en la distancia de nuestra curva.
Llamémosle ds.
Ese es un pequeño desplazamiento a lo largo de mi
curva, justo ahí.
Y si multiplico ese cambio por la distancia de la curva
f(x,y) en ese punto, voy a obtener el área de ese
pequeño rectángulo justo allí.
¿Cierto?
Así que si tomas ds, mi cambio en mi, puedes imaginar la
longitud del arco de esta curva en ese punto, déjame escribir,
es decir, ds es igual a un cambio super pequeño en la longitud del arco de
nuestro camino, o de nuestra curva.
Ese es nuestro ds.
Así puedes imaginar, el área de ese pequeño rectángulo justo

Korean: 
음, 우리는 단지 우리가 무엇을 했는지의 비유를 사용 하는 경우
이전에 봐 잘 우리가 말할 수 있습니다.
우리의 곡선의 거리에 약간의 변화를 만들어 보겠습니다.
Ds를 부르 자.
그것은 거리에 약간의 변화 나
곡선, 바로 거기입니다.
내가 그를 곱하면 곡선 시대의 거리 변경
f x y 그 시점에서, 그 영역을 얻을 거 야
작은 사각형 바로 거기.
맞 죠?
그래서 만약 내가 ds, 내 변경, 당신이 상상할 수 있는 호
이 곡선의 길이 그 시점에서, 그래서 보자 작성, 당신은
ds는 슈퍼의 아크 길이에 작은 변화를 알아
우리의 경로 또는 우리 곡선의.
우리의 ds입니다.
그래서 당신이 상상할 수 있는, 그 작은 사각형 오른쪽 영역

Japanese: 
先にやったことの
似たことを行います。
いいですか？
この曲線の小さい差を取ります。
dsとします。
この曲線の
小さな区間です。
この曲線の区間に、その点でのf（x、y）の
高さを掛けると、
この長方形の面積が得られます。
いいですか？
このdsは、
この曲線の小さな区間で
この軌道の小さな区間です。
これがdsです。
だから、この長方形は

Turkish: 
-
-
-
Eğrimizin uzunluğunda küçük bir fark alalım, ve buna ds diyelim.
-
Eğrimizin uzunluğunda az bir fark bu.
-
Bu farkı f değeriyle çarparsam, şu küçük dikdörtgenin alanını bulmuş olacağım.
-
-
Öyle değil mi?
Bu ds'ye bakarsak, buradaki yay uzunluğunun çok küçük bir farkı olarak düşünebiliriz.
ds, izin, o noktadaki yay uzunluğunun farkıdır.
-
-
-
ds işte bu.
Buna göre, tahmin edersiniz ki, şu küçük dikdörtgenin alanı, ds - s'yi büyük harfle yazayım- çarpı o noktadaki yükseklik olacak.

Thai: 
ทีนี้, หากเราใช้อุปมาอุปไมยกับสิ่งที่เราได้ทำ
ไปก่อนหน้านี้, เราบอกว่า, ดูสิ
-
ลองหาการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ในระยะทางของเส้นโค้งเรา
ลองเรียกมันว่า ds ดู
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงในระยะทางของ
เส้นโค้ง, ตรงนี้
และหากผมคูณการเปลี่ยนแปลงในระยะทางของเส้นโค้งนั้น
ด้วย f ของ x y ณ จุดนั้น, ผมจะได้พื้นที่ของสี่เหลี่ยม
เล้ก ๆ ตรงนั้น
จริงไหม?
งั้นหากผมเอา ds, การเปลี่ยนแปลงของ, คุณอาจมองเป็น
ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้ ณ จุดนั้น, ขอผมเขียนนะ
คุณก็รู้, ds เท่ากับการเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วในส่วนโค้ง
ของเส้นทางเรา, หรือเส้นโค้งเรา
นั่นคือ ds ของเรา
คุณอาจนึกภาพว่า, พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ตรงนั้น

Estonian: 
piki mu kurvilist seina, on ds, ma teen selle
suure tähega S, ds korrutatud kõrgusega selles punktis.
See on f kohal x,y.
Ja kui ma nüüd võtan summa, sest need on ääretult
kitsad, neil ds-del on ääretult väike laius, kui ma
võtaksin kõigi nende lõputu summa t võrdub
a-st kuni t võrdub b-ni, alates t võrdub a-st
võtan ristkülikute summasid kuni t võrdub
b-ni, seal, siis see annab mulle mu otsitava ala.
Ma kasutan siin täpselt sama loogikat mida ma kasutasin seal üleval.
Ma pole matemaatiliselt väga range aga
ma tahan anda teile intuitsiooni sellest, mida me teeme.
Tegelikult me ainult painutame selle alust, et saada
kurviline sein sirge seina asemel mis
meil oli seal üleval.
Aga sa ütled, Sal, see on kõik abstraktne, kuidas ma saan
midagi sellist üldse arvutada, see ei ole üldse loogiline,
siin on mul s, siin x ja y ja mul on t,
mida ma sellega teha saan?
siin on mul s, siin x ja y ja mul on t,
mida ma sellega teha saan?

Portuguese: 
ao longo da minha parede 
curva, será ds -- usarei
S maiúsculo -- ds vezes 
a altura naquele ponto.
Bom, aquele é f de x y.
E se eu calcular a soma, por que 
eles são infinitamente
estreitos, esses ds's tem 
comprimento infinitamente pequeno -- se
calcularmos a soma infinita de 
todos esses caras, de t igual
a a até t igual a b -- de 
t igual a a eu continuo
calculando a soma de todos 
esses retângulos, até t igual
a b, logo ali, isso me 
dará a minha área.
Eu usarei somente a mesma 
lógica que eu usei logo ali.
Eu não estou sendo 
matematicamente rigoroso, mas eu
quero lhe dar a intuição 
do que estamos fazendo.
Estamos somente dobrando 
a base disso para obter
uma parede curva ao invés 
de uma parede reta
como tínhamos logo aqui.
Mas você está dizendo: Sal, isso é 
tudo abstrato e como eu posso
calcular algo assim, isso não 
faz sentido para mim,
eu tenho um s aqui, eu tenho 
um x e um y, eu tenho um t,
o que posso fazer com isso?

Thai: 
ตามแนวกำแพงโค้ง, จะเท่ากับ ds, ผมจะเขียนมันเป็น
S ใหญ่, ds คูณความสูง ณ จุดนั้น
นั่นก็คือ f ของ x y
แล้วหากเรารวมมัน, เพราะนี่มันกว้างนิดเดียว
ds เหล่านี้กว้างน้อยมาก, หากผม
รวมผลบวกอนันต์ของพวกนั้น, จาก t
เท่ากับ a ถึง t เท่ากับ b, ใช่, จาก t เท่ากับ a, ผม
ตามรวมสี่เหลี่ยมพวกนั้น, ถึง t เท่ากับ
b, ตรงนี้, นั่นจะให้พื้นที่ผม
ผมแค่ใช้ตรรกะด้วยกับที่ผมทำบนนั้น
ผมไม่ได้จริงจังกับคณิตศาสตร์นัก, แต่ผม
อยากให้คุณได้สัญชาตญาณว่าเราทำอะไรอยู่
เราก็แค่บิดฐานของอันนี้ เพื่อให้ได้
กำแพงโค้งแทนที่จะเป็นกำแพงตรง ๆ
อย่างที่เราเคยมีข้างบน
แต่คุณบอกว่า, ซาล, นี่มันเป็นนามธรรมทั้งนั้น, แล้วฉันจะ
คำนวณอะไรพวกนี้ได้ยังไง ฉันไม่เข้าใจเลย
ฉันมี s ตรงนี้, ฉันมี x กับ y, มี t
แล้วฉันจะทำได้ยังไง?

Korean: 
거기, 내 구부러진 벽을 따라가 ds 것, 내가 그것을 만들 거 야에
대문자 S, ds 높이 그 시점에서 배.
글쎄, 그건 y f입니다.
그리고 만약 내가 합계, 궁극적으로
좁은이 ds의 경우 무한히 작은 폭, 난
모든 t에서 사람들의 무한 한 합 걸릴이 했다
크거나는 t b, 오른쪽에, t에서 동일 한 나
계속 그 사각형의 합, t로 평등 이다
b, 바로 거기, 그 줄 것 이다 날 내 영역.
난 그냥 사용 정확한 동일한 논리로 최대 않았다 내가 거기.
난 안 되는 수학적으로 매우 엄격한만
우리가 무슨 일을 하는지의 직감을 주고 싶어.
우리 정말 그냥이 일의 기지를 절곡 있어 여
직선, 직접 벽 대신 구부러진 벽
처럼 우리가 여기 했다.
하지만 말을 하는지, 샐,이 모든 추상 및 어떻게 해야 합니까
심지어 이것 같은 것을 계산 하는 것,이 게 말도 안돼
나, 나는 s 여기, x와 y, t를가지고
이 할 수 있는 일은 무엇?

Spanish: 
allí, a lo largo de mi muro de forma curva, va a ser ds, la convertiré en
una S mayúscula, ds veces la altura en ese punto.
Bien, eso es f(x,y).
Y entonces si tomo la suma, porque estos son infinitamente
estrechos, esos ds tienen una anchura infinitamente pequeña, si yo
tomase la infinta suma de todos esos elementos, desde t es
igual a a a t es igual a b, justo, desde t es igual a a,
sigo tomando la suma de estos rectángulos, hasta t es igual
a b, justo ahí, eso me dará mi área.
Estoy sólo usando la misma lógica que utilicé anteriormente.
No estoy siendo matemáticamente riguroso, pero
quiero explicarte el concepto detrás de lo que estamos haciendo.
Estamos sólo doblando la base de esto para conseguir un
muro curvado en lugar de un muro recto, derecho
como el que teníamos aquí arriba.
Pero estás diciendo, Sal, esto es todo abstracto, y como puedo
siquiera calcular algo como esto, esto no tiene sentido para
mi, tengo un s aquí, tengo x e y, tengo un t,
¿qué puedo hacer con esto?

Turkish: 
-
-
Yükseklik, f değerine eşit.
Bu ds'lerin eni sonsuz küçüklükte olduğu için, a'dan b'ye t değerleriyle oluşan sonsuz sayıda dikdörtgenin alanını toplarsam, istediğim alanı bulurum.
-
-
-
-
-
Yukarıda kullandığım mantığın aynısını uyguluyorum.
Belki çok ispat ağırlıklı anlatmadım, ama yaptığımızı size sezdirmeye çalışıyorum.
-
Bunun tabanını kıvırarak, düz bir duvar yerine, eğri bir duvar elde ediyoruz.
-
-
Şöyle diyebilirsiniz: bu çok soyut, bana anlamlı gelmiyor. Burada s var, x var, y var, t var. Bunu nasıl hesaplayabilirm?
-
-
-

English: 
there, along my curvy wall, is
going to be ds, I'll make it a
capital S, ds times the
height at that point.
Well, that's f of x y.
And then if I take the sum,
because these are infinitely
narrow, these ds's have
infinitely small width, if I
were take the infinite sum of
all of those guys, from t is
equal to a to t is equal to b,
right, from t is equal to a, I
keep taking the sum of those
rectangles, to t is equal
to b, right there, that
will give me my area.
I'm just using the exact same
logic as I did up there.
I'm not being very
mathematically rigorous, but I
want to give you the intuition
of what we're doing.
We're really just bending the
base of this thing to get a
curvy wall instead of a
straight, direct wall
like we had up here.
But you're saying, Sal, this is
all abstract, and how can I
even calculate something like
this, this makes no sense to
me, I have an s here, I have
an x and a y, I have a t,
what can I do with this?

Japanese: 
この壁に沿い、
この面積をSとすると、
dsにf（x、y）を掛けたものです。
合計を取ると、これらは無限に細く、
幅は無限に小さく、
これらの無限の合計を、
tがaからbまでの合計を取ります。
tがbまでで、
これで、面積が得られます。
ここで使用した論理と同じです。
数学的に厳密に行っていませんが
直間的に理解できましたか？
直線の代わりに
この曲がった曲線で、
壁がここにできます。
とても抽象的で
計算できそうに見えます。
xとyに加え、tがあり
これらをどう扱えばいいでしょう？

Thai: 
งั้นลองดูว่าเราจะทำอะไรได้บ้าง
และผมสัญญาว่า, เมื่อเราทำโจทย์ที่จับต้องได้
ผลลัพธ์ตอนจบของวิดีโอนี้จะดู
ยุ่งเหยิงหน่อย
แต่เมื่อเราทำโจทย์จริง ๆ, มันจะ
ผมว่า, ค่อนข้างชัดเจน, แล้วคุณจะเห็นว่ามันไม่ได้ยาก
จนเกินไป
แต่ลองดูว่าเราจะทำอะไรได้ในรูปของ t
อย่างแรกเลย, มาสนใจแค่ ds ก่อน
ขอผมเลือกแกน x-y ใหม่ก่อน
หากผมกลับ x-y, ขอผมเปลี่ยนสีหน่อย,
นี่มันดูน่าเบื่อไปหน่อย
งั้นหากผมกลับแกน x-y แบบนี้, ที่จริง, ขอ
ผมเขียนมันด้วยสีเขียวเดียวกัน, คุณจะได้รู้ว่าเรากำลัง
ยุ่งกับแกน x-y เหมือนเดิม
นั่นก็คือแกน y, นั่นคือแกน x
และเส้นทางตรงนี้, หากผมวาดมันตรง ๆ
แบบนี้, มันจะออกมาเป็นแบบนี้
-
จริงไหม?
นั่นคือเส้นทาง, ส่วนโค้งผม
คุณก็รู้, นี่คือตอนที่ t เท่ากับ a, ดังนั้นนี่คือ t

Turkish: 
Bakalım, biraz yol alabilecek miyiz?
Bu videonun geri kalanında biraz karmaşık işlemler göreceksiniz.
-
-
Ama, bir soruya uyguladığımızda, çok da zor olmadığını anlayacaksınız.
-
-
Şimdi, bunların hepsini t cinsinden ifade edelim.
Önce, ds'ye bakalım.
x y eksenini tekrar ele alayım.
x y'yi çevirdiğimizi düşünelim, yeşili kullanayım, aynı eksenler olduğuna dikkat edin.
-
-
-
-
Yani, bu y ekseni, bu da x ekseni.
Buradaki iz ise, şöyle bir şeye benziyor.
-
-
Öyle değil mi?
Bu benim izim, yayım.
Burada, t eşittir a, şurada da t eşittir a. Bu da t eşittir b.

English: 
And let's see if we can
make some headway.
And I promise you, when we do
it with a tangible problem,
the end product of this video
is going to be a little
bit hairy to look at.
But when we do it with an
actual problem, it'll actually,
I think, be very concrete, and
you'll see it's not too
hard to deal with.
But let's see if we can get
all of this in terms of t.
So first of all, let's
focus just on this ds.
So let me re-pick
up the x-y axis.
So if I were to reflip the
x-y, let me switch colors,
this is just getting
a little monotonous.
So if I were to reflip the x-y
axis like that, actually, let
me do that with that same
green, so you know we're
dealing with the same x-y axis.
So that's my y-axis,
that is my x-axis.
And so this path right here, if
I were to just draw it straight
up like this, it would
look something like this.
Right?
That's my path, my arc.
You know, this is when t is
equal to a, so this is t is

Spanish: 
Y veamos si podemos hacer algún progreso.
Y te prometo que cuando lo hagamos con un problema tangible,
el producto final de este vídeo va a ser un poco
difícil de ver.
Pero cuando lo hagamos en un problema real, será realmente,
creo, muy concreto, y verás que no es demasiado
difícil de utilizar.
Pero veamos si podemos obtener todo esto en términos de t.
Así que antes de nada, centrémonos en este ds.
Déjame recoger el eje x-y.
Así, si fuese a darle la vuelta al x-y, déjame cambiar los colores,
este se está volviendo un poco monótono.
Así si fuese a voltear el eje x-y de este modo, realmente,
déjame hacer esto con el mismo verde, así sabes que estamos
tratando con el mismo eje x-y.
Por tanto, este es mi eje y, este es mi eje x.
Y así este camino de aquí, si lo dibujase recto
como este, se parecería a algo como esto.
¿Cierto?
Este es mi camino, mi arco.
Sabes, esto es cuando t es igual a a, entonces esto es t es

Estonian: 
Vaatame kas me saame mingi edasiliikumise siin teha.
Ja ma luban, et kui me teeks seda ainelise probleemiga,
oleks selle video lõpptulemus natuke
raskesti arusaadav.
oleks selle video lõpptulemus natuke
raskesti arusaadav.
Aga kui me lahendame seda tegeliku probleemiga,
siis ma arvan, et see tuleb väga tõeline ja te näete, et see polegi nii raske.
siis ma arvan, et see tuleb väga tõeline ja te näete, et see polegi nii raske.
Aga vaatame kas me saame selle kõik t-ga vastavusse.
Kõigepealt keskendume ds-ile.
Las ma taastan x-y tasandi.
Kui ma peaksin uuesti pöörama x-y-it, las ma vahetan värve,
joonis kipub natuke liiga ühetooniliseks.
Seega kui ma peaks uuesti pöörama x-y telge niimoodi, tegelikult,
las ma teen selle sama rohelisega, siis te teate,et me tegeleme sama x-y teljega.
las ma teen selle sama rohelisega, siis te teate,et me tegeleme sama x-y teljega.
Seega see on mu y-telg, see on mu x-telg.
Ja see rada siin, kui ma vaid saaks selle sirgelt joonistatud, näeks välja umbes nii.
Ja see rada siin, kui ma vaid saaks selle sirgelt joonistatud, näeks välja umbes nii.
Ja see rada siin, kui ma vaid saaks selle sirgelt joonistatud, näeks välja umbes nii. Eksole?
Ja see rada siin, kui ma vaid saaks selle sirgelt joonistatud, näeks välja umbes nii. Eksole?
See on mu rada, mu kaar.
Siin on kui t on võrdne a-ga,

Korean: 
그리고 만약 우리가 몇 가지 진보를 만들 수 있습니다 보자.
나는 우리가 구체적인 문제, 그것을 할 때, 약속
이 비디오의 최종 제품을 조금 될 것
비트 보면 털입니다.
하지만 우리가 실제 문제와 그것을 할 때 그것은 거 야 사실,
매우 구체적인 그리고 그것은 너무 볼 거 같아요
대처 하기 어렵다.
하지만 만약 우리가 t의 관점에서이 모든 것을 얻을 수 있습니다 보자.
그래서 첫째로 모두의 단지이 ds에 집중 하자.
그래서 x y 축 최대 re-pick 보자.
그래서 만약 x y reflip 했다, 날 색상, 전환
이 약간 단조로운 막 이다.
그래서 만약 그런 x-y 축 reflip 했다, 사실, 하자
나는 함께 할 그 같은 녹색, 그래서 우리는 알고
같은 x-y 축 처리 합니다.
그래서 내 y 축, 그건 내 축.
그래서이 경로 바로 여기, 만약 그냥 했다 그것을 그릴 직선 및
최대 이런식으로, 그것 보인다는 이런식으로 뭔가.
맞 죠?
그건 내 경로, 내 아크입니다.
알다시피,이 때 t은, 그래서이 t는

Portuguese: 
Vejamos se podemos 
fazer algum progresso.
E eu lhe prometo, quando fizermos 
isso com um problema concreto,
o produto final deste 
vídeo será um pouco
confuso de se ver.
Mas quando fizermos o 
problema real, ele será,
eu acho, bem concreto, e 
você verá que não é
difícil de lidar.
Mas vejamos se podemos 
fazer tudo em função de t.
Primeiro de tudo, nos 
concentremos nesse ds.
Vou usar o eixo xy de novo.
Se eu fosse virar o eixo xy 
-- vou mudar de cores,
isso está ficando 
um pouco monótono.
Se eu virasse o eixo xy 
assim -- vou fazer
aquilo com o mesmo 
verde, assim saberemos
que estamos lidando 
com o mesmo eixo xy.
Esse é o meu eixo y, 
esse é o eixo x.
E essa trajetória logo aqui, se eu 
fosse desenhar isso para cima
assim, isso se pareceria 
com algo assim.
Certo?
Essa é a minha 
trajetória, meu arco.
Você sabe, aqui é quando t 
é igual a a, então isso é t

Japanese: 
やってみましょう？
実際の問題では、
このビデオの内容が
分かりやすくなります。
実際の問題では、
それほど難しくないことが
分かります。
では、これが、tの項で表現できるか見てみましょう。
まず、このdsを見ます。
x−y軸を見ます。
x−yを、書き換えます。
色を変えましょう。
x−yをこのように書き換えます。
ここと同じ緑色を使います。
xとy軸です。
これがx軸、これがy軸です。
軌道はここです。
このように見えます。
このように見えます。
いいですか？
これが軌道です。
ここで、tがaで、

Estonian: 
siin on t on võrdne b-ga.
Sama asi, ma ainult tõstsin ta uuesti üles, et teil oleks parem pilt sellest.
Sama asi, ma ainult tõstsin ta uuesti üles, et teil oleks parem pilt sellest.
Ütleme, et meil on muutuja kaare pikkuses, ütleme, et,
las ma vahetan värve.
Ütleme, et see siin.
Ütleme, et see on mingi väike muutuja kaare pikkuses
mida me kutsume ds-iks.
Kas ds-i on võimalik kuidagi seostada ääretult
väikese muutujaga x-is või y-is?
Noh, kui selle üle tõsiselt mõelda - ja see on kõik
natuke üle käe tehtud, ma ei ole matemaatiliselt range,
aga ma arvan, et see annab teile õige aimduse - kui sa
seda kujtled ja kui sa suudad välja mõelda ds-i pikkuse, kui sa
tead ääretult pisikeste x-i muutujate ja väga väikeste y muutujate pikkusi.
tead ääretult pisikeste x-i muutujate ja väga väikeste y muutujate pikkusi.
Ehk siis, kui see vahemaa siin on ds, lõpmatult väike
muutuja x-is, see vahemaa siin on dy,
lõputult väike muutuja y-is, õigus?
Siis võime ds-i leida Pythagorase teoreemi abil.
Me võime öelda, et ds on selle kolmnurga

Thai: 
เท่ากับ a, นี่คือ t เท่ากับ b
เหมือนกัน, ผมแค่เลือกมันขึ้นมาให้
คุณเห็นภาพ
และเราบอกว่า เรามีการเปลี่ยนแปลงในความยาวส่วนโค้ง,
สมมุติว่า, ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ
สมมุติว่าอันนี้ตรงนี้
สมมุติว่ามันมีการเปลี่ยนแปลงในความยาวส่วนโค้ง, และ
เราเรียกมันว่า ds
ตอนนี้, มันมีวิธีเขียน ds สัมพันธ์กับ
การเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ใน x หรือ y หรือเปล่า?
ทีนี้, หากเราคิดถึงมัน, หากเรา -- และนี่เป็นการ
เล่นกลนิดหน่อย, แต่ผมไม่จริงจังกับการพิสูจน์นัก,
แต่ผมว่ามันให้สัญชาตญาณที่ถูกต้อง -- หากคุณ
นึกอย่างนี้, คุณสามารถหาความยาวของ ds ได้หาก
คุณรู้ความยาวของการเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วใน x และ
การเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วใน y
ดังนั้นหากระยะนี่ตรงนี้คือ ds, การเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋ว
ใน x, ระยะนี้ตรงนี้คือ dy,
การเปลี่ยนแปลงเล็กจิ๋วใน y, จริงไหม?
แล้วเราก็หา ds จากทฤษฏีบทปีทาโกรัส
คุณบอกได้ว่า ds จะเป็น, มันคือด้านตรงข้ามมุมฉากของ

Korean: 
크거나 a, 이것은 t b와 같습니다.
동일한 것은, 난 그냥 일종의 그것을 집어 다시 그래서
당신은 그것을 시각화 수 있습니다.
그리고 우리 말 우리는 몇 가지 변경 아크 길이 하자
말, 색상 전환 하자.
하자는 말이 하나 바로 여기.
그건 호 길이에 몇 가지 작은 변화를 가정해 및
우리는 ds를 부르고 있어요.
지금, 거기에 몇 가지 방법이 무한히 ds 관련
작은 변화에서 x 또는 y?
음, 만약 그것에 대해 생각 하는 우리가 만약 우리가 정말-그리고이 모든 한
약간 손을 물결, 난 안되고 수학적으로 엄격한
하지만 당신이 올바른 직감-주지 생각 만약 당신이
이것은, 만약 ds의 길이 알아낼 수 있다을 상상 하면
이러한 슈퍼 작은 변화에서 x의 길이 알고 및
y에서 슈퍼 작은 변화.
그래서이 거리 바로 여기입니다 infinitesimally 작은 ds
x, dy, 여기는 바로이 거리에서 변경
y, 오른쪽에 작은 변화 infinitesimally?
다음 피타고라스 정리에서 ds를 알아낼 수 있는 우리.
Ds의 그것은 이것의 빗변 될 것 이다 말할 수 있습니다.

Turkish: 
-
İkisi aynı şey. Bunu görsellemeniz için, tekrar göstermek istedim.
-
Şimdi, yay uzunluğunda bir değişim olduğunu varsayıyoruz.
-
Şurada, diyelim.
Bu yay uzunluğundaki değişime ds diyelim.
-
Bu ds ile, x ve y yönündeki sonsuz küçüklükteki farklar arasında bir bağlantı kurabilir miyiz?
-
Size ispat yapmadığımı hatırlatmakla beraber, şunu söylemek istiyorum: Eğer, y ve x yönlerindeki farkları biliyorsak, ds'yi de buluruz.
-
-
-
-
-
Yani, şuradaki uzunluk dx ise, bu uzunluk da dy, öyle değil mi?
-
-
O zaman, ds'yi Pisagor teoreminden buluruz.
ds, şu üçgenin hipotenüsü olur. ds eşittir, karekök, dx kare artı dy kare.

Japanese: 
ここで、tがbです。
ここに描いたものと同じで
分かりますか？
この曲線の
区間を示します。
ここを取りましょう。
曲線の小さな区間を
dsとします。
このdsを、
xとyで表すとどうなりますか？
これは、
直間的に
考えて、
この小さなxの変化と
yの変化が分かっていれば、
dsが得られます。
この小さなxの変化は、dxで
この小さなyの変化は、dyです。
いいですか？
ピタドラスの定理で
dsは、

Spanish: 
igual a a, esto es t es igual a b.
Del mismo modo, sólo volví a seleccionarlo para
que puedas visualizarlo.
Y decimos que tenemos algún cambio en la longitud del arco,
digamos, déjame cambiar los colores.
Digamos este justo aquí.
Digamos que algún pequeño cambio en la longitud del arco, y
estamos llamándole a eso ds.
Ahora, ¿hay algún modo de relacionar ds a infinitamente
pequeños cambios en x o y?
Bien, si pensamos sobre ello, si realmente -y esto es todo
poco riguroso, no estoy siendo matemáticamente riguroso,
pero creo que te mostrará el concepto correcto- si tú
piensas que es esto, puedes conseguir la longitud de ds si tú
sabes la longitud de estos pequeños cambios en x y
pequeñísimos cambios en y.
Así que si esta distancia de aquí es ds, infinitamente pequeño
cambio en x, esta distancia de aquí es dy,
infinitamente pequeño cambio en y, ¿cierto?
Entonces podemos descubri ds a partir del Teorema de Pitágoras.
Puedes decir que ds va a ser, es la hipotenusa de este

Portuguese: 
igual a a, isso é t igual a b.
A mesma coisa, eu só escolhi isso
para que você 
pudesse visualizar isso.
E podemos dizer que temos alguma 
mudança no comprimento de arco,
digamos -- vou mudar de cores.
Digamos que essa logo aqui.
Digamos que essa é uma pequena 
mudança no comprimento de arco e
estamos chamando aquilo de ds.
Existe alguma forma 
de relacionar ds às
mudanças infinitamente 
pequenas em x ou y?
Bom, se pensarmos nisso, 
se realmente -- e tudo isso é
um pouco trêmulo, eu não estou 
sendo matematicamente rigoroso,
mas eu acho que lhe darei 
a intuição correta -- se você
imaginar isso, você pode descobrir 
o comprimento de ds se você
souber o comprimento dessas 
pequenas mudanças em x e
as pequenas mudanças em y.
Se essa distância aqui é ds, 
mudança infinitesimalmente
pequena de x, essa 
distância logo aqui é dy,
mudança infinitesimalmente 
pequena em y, certo?
E então nós poderíamos descobrir 
ds com o teorema de Pitágoras.
Você pode dizer que 
ds será a hipotenusa

English: 
equal to a, this is
t is equal to b.
Same thing, I just kind
of picked it back up so
you can visualize it.
And we say that we have some
change in arc length, let's
say, let me switch colors.
Let's say that this
one right here.
Let's say that's some small
change in arc length, and
we're calling that ds.
Now, is there some way to
relate ds to infinitely
small changes in x or y?
Well, if we think about it, if
we really-- and this is all a
little bit hand-wavy, I'm not
being mathematically rigorous,
but I think it'll give you the
correct intuition-- if you
imagine this is, you can figure
out the length of ds if you
know the length of these
super small changes in x and
super small changes in y.
So if this distance right here
is ds, infinitesimally small
change in x, this distance
right here is dy,
infinitesimally small
change in y, right?
Then we could figure out ds
from the Pythagorean Theorem.
You can say that ds is going to
be, it's the hypotenuse of this

Korean: 
triang.e 그것은 dx 제곱의 제곱근
게다가 dy 제곱.
그 작은 것 들을 만들 것으로 보인다 그래서 비트, 당신은 알고 있다, 우리가 할 수 있는
ds의 모든 갑자기 제거.
그래서이 작은 식을 다시 작성,이 사용 하 여
감각 정말은 어떤 ds의 dx의 제곱근
제곱 더하기 dy 제곱.
매우 엄격한 되지 오전 그리고 그것은 실제로
차이, 하지만 직관적으로 엄격한 것 매우 어려운
그것은 감각을 많이 하 게 생각 합니다.
우리는 말할 수 있다 그래서이 정수,이 지역
매력적인 커튼 t에서 정수 같습니다 될 것 이다
한 t는 쓰기 ds 대신 y f b 우리
dx 제곱의 제곱근 시간 이것을 쓸 수 있습니다.
게다가 dy 제곱.
이제 우리가 적어도 있어 제거이 큰 자본 S, 하지만 우리가 아직도
문제를 어떻게 해결 합니까 해결 하지 않은 뭔가, 당신은

Estonian: 
hüpotenuus. See võrdub ruutjuur dx ruudus
pluss dy ruudus.
See paistab asju muutvat natukene, teate küll, me võime
ds-ist järsku lahti saada.
Niisiis kirjutame selle avaldise uuesti välja, kasutades
ds-i mis on tegelikult ruutjuur dx ruudus pluss dy ruudus.
ds-i mis on tegelikult ruutjuur dx ruudus pluss dy ruudus.
Ja ma ei ole väga karm, ausaltöeldes on
väga raske olla karm diferentsiaalide juures, aga vaistlikult ma arvan, et see on loogiline.
väga raske olla karm diferentsiaalide juures, aga vaistlikult ma arvan, et see on loogiline.
Niisiis võime öelda, et see integraal, selle kurvilise
kaardina ala, on integraal t võrdub a-st
t võrdub b-ni funktsioon kohal x,y-is, selle asemel, et kirjutada ds,
me võime kirjutada selle, korda ruutjuur dx ruudus
pluss dy ruudus.
Nüüd me saime vähemalt sellest suurest S-st lahti, aga me pole endiselt
lahendanud probleemi, kuidas lahendada midagi, teate küll,

Thai: 
สามเหลี่ยมนี้ มันเท่ากับสแควร์รูทของ dx กำลังสอง
บวก dy กำลังสอง
นั่นดูเหมือนทำให้ทุกอย่าง, คุณก็รู้, เรา
สามารถเอา ds ออกไปได้ทันที
ดังนั้นลองเขียนพจน์นี้ใหม่ตรงนี้, โดยใช้ค่า
ds, คือสแควร์รูทของ dx
กำลังสอง บวก dy กำลังสอง
และผมจะไม่จริงจังนะ, ที่จริงมันยากที่
จะตรงไปตรงมากับดิฟเฟอเรนชียล, แต่
ผมว่ามันเข้าใจได้ด้วยสัญชาตญาณ
ดังนั้นเราบอกว่าอินทิกรัลนี้, พื้นที่ของม่านโค้ง
นี้, จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ
a ถึง t เท่ากับ b ของ f ของ x y, แทนที่จะเขียน ds, เรา
เขียนนี่ได้, คูณ สแควร์รูทของ dx กำลังสอง
บวก dy กำลังสอง
ตอนนี้อย่างน้อยเรากำจัด S ตัวใหญ่นี้แล้ว, แต่เรายัง
ไม่ได้แก้ปัญหาของ, การหาอะไรสักอย่าง, คุณก็รู้

English: 
triang.e It's equal to the
square root of dx squared
plus dy squared.
So that seems to make things a
little bit, you know, we can
get rid of the ds
all of a sudden.
So let's rewrite this little
expression here, using this
sense of what ds, is really
the square root of dx
squared plus dy squared.
And I'm not being very
rigorous, and actually it's
very hard to be rigorous with
differentials, but intuitively
I think it makes
a lot of sense.
So we can say that this
integral, the area of this
curvy curtain, is going to be
the integral from t is equal to
a to t is equal to b of f of x
y, instead of writing ds, we
can write this, times the
square root of dx squared
plus dy squared.
Now we at least got rid of this
big capital S, but we still
haven't solved the problem of,
how do you solve something, you

Portuguese: 
deste triângulo. É igual à raiz 
quadrada de dx ao quadrado
mais dy ao quadrado.
Parece fazer as coisas -- nós podemos
nos livrar de ds de vez.
Reescrevamos essa pequena 
expressão aqui usando
este ds, que é na realidade a raiz 
quadrada de dx ao quadrado
mais dy ao quadrado.
E eu não estou sendo muito 
rigoroso e na realidade é
muito difícil ser rigorosos com 
diferenciais, mas intuitivamente
eu acho que isso 
faz muito sentido.
Podemos dizer que essa 
integral, a área dessa
cortina curva, será a 
integral de t igual a a
até t igual a b de f de x y -- ao invés de 
escrever ds podemos escrever
isso, vezes a raiz quadrada 
de dx ao quadrado
mais dy ao quadrado.
Agora nós nos livramos 
do grande S maiúsculo, mas ainda
não resolvemos o problema de -- como 
você resolve algo, você sabe,

Turkish: 
-
-
ds'den kurtulduğumuz için, işimizin kolaylaşması lazım.
-
Şimdi, ds'nin, dx kare artı dy karenin karekökü olduğunu düşünerek, bu ifadeyi baştan yazalım.
-
-
İspata pek girmiyorum, ama umarım, size mantıklı geliyordur.
-
-
Şöyle diyebiliriz: Bu perdenin alanı, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye, f x y, çarpı karekök dx kare artı dy karenin, integrali.
-
-
-
-
Şimdi s'den kurtulduk. Ancak, böyle bir belirli integrali nasıl çözeceğiz?
-

Japanese: 
dxの2乗とdyの2乗の
平方根です。
このようになり、
dsを書き換えられます。
書き換えます。
dsは、dx＾２＋dy＾２の平方根に
等しいです。
厳密に
微分を扱っていませんが、
概念が理解できると思います。
この積分は
この面積で、
tがaからbの、f（x、y）掛ける
この平方根、dx＾２＋dy＾２で
得られます。
このSを省けますが、
まだ解けていません。

Spanish: 
triángulo. Es igual a la raíz cuadrada de dx al cuadrado
más dy al cuadrado.
Así que parece que hace las cosas un poco, es decir, podemos
desacernos de ds de repente.
Déjame reescribir esta pequeña expresión aquí, usando esta
idea de que ds es realmente la raíz cuadrada de dx
al cuadrado mas dy al cuadrado.
Y no estoy siendo muy riguroso, y en realidad es
muy difícil ser riguroso con las derivadas, pero intuitivamente
creo que tiene mucho sentido.
Así podemos decir que esta integral, el área de est
cortina curvada, va a ser la integral desde t es igual a
a hasta t es igual a b de f(x,y), en lugar de escribir ds,
podemos escribir esto, multiplicado por la raíz cuadrada de dx al cuadrado
más dy al cuadrado.
Ahora por lo menos nos deshicimos de está gran S mayúscula, pero todavía
no hemos resuelto el problema de, ¿cómo resuelves algo, es

English: 
know, an integral, a definite
integral that looks like this?
We have it in terms of t
here, but we only have it in
terms of x's and y's here.
So we need to get
everything in terms of t.
Well, we know x and y are both
functions of t, so we can
actually rewrite it like this.
We can rewrite it as from t is
equal to a, to t is equal to b.
And f of x y, we can write it,
f is a function of x, which is
a function of t, and f is also
a function of y, which is
also a function of t.
So you give me a t, I'll be
able to give you an x or y, and
once you give me an x or y,
I can figure out what f is.
So we have that, and then we
have this part right here.
I'll do it in orange.
Square root of dx squared
plus dy squared.
But we still don't have
things in terms of t.
We need a dt someplace
here in order be able to
evaluate this integral.
And we'll see that in the
next video, when I do
a concrete problem.
But I really want to give you a
sense for the end product, the

Japanese: 
この積分の解き方が分かりますか？
tがここにありますが、
この式には、xとyがあります。
これをtの項にします。
xとyは、共にtの関数です。
このように書き換えられます。
tがaからbのこの表現に書き換えられます。
f（x、y）で、
xと、yを、tの関数として
書き換えれます。
tがあれば、xとyが得られます。
そして、このfも得られます。
この部分です。
オレンジ色で書きます。
dx＾２＋dy＾２の平方根
これはtの項ではありません。
この積分を行うには、
dtが必要です。
次のビデオで
実際の問題を行う際に見てみます。
このビデオの最後に得られるには、公式で

Portuguese: 
uma integral definida 
que se pareça com isso?
Nós a temos em termos de t aqui, 
mas nós somente a temos em
termos de x's e y's aqui.
Nós precisamos ter 
tudo em termos de t.
Bom, sabemos que x e y são ambos 
funções de t, então podemos
reescrevê-la assim.
Podemos reescrevê-la como 
t igual a até t igual a b.
E f de x y, podemos escrevê-la 
-- f é uma função de x, que é
uma função de t, e f também 
uma função de y, que
também é uma função de t.
Você me dá t e eu poderei 
dar-lhe um x ou um y, e
mais uma vez você me dá um x ou um 
y, e eu posso descobrir o valor de f.
Temos aquilo e temos 
essa parte logo aqui.
Farei isso em laranja.
Raiz quadrada de dx ao 
quadrado mais dy ao quadrado.
Mas ainda não temos 
nada em termos de t.
Precisamos de um dt em 
algum lugar aqui para poder
calcular essa integral.
E veremos isso no próximo 
vídeo em que farei
um problema concreto.
Mas eu realmente quero lhe dar 
uma noção do produto final

Thai: 
อินทิกรัล, อินทิกรัลจำกัดที่หน้าตาแบบนี้?
เรามีมันในรูปของ t, แต่เรามีมันในรูป
x กับ y จรงนี้
เราจำเป็นต้องได้ทุกอย่างในรูปของ t
ทีนี้, เรารู้ x กับ y ทั้งคู่กับฟังก์ชันของ t, ดังนั้นเรา
สามารถเขียนมันอย่างนี้ได้
เราสามารถเขียนมันใหม่ว่า จาก t เท่ากับ a, ถึง t เท่ากับ b
และ f ของ x y, เราสามารถเขียนมัน, f คือ ฟังก์ชันของ x, ซึ่งก็คือ
ฟังก์ชันของ t, และ f ยังเป็นฟังก์ชันของ y, ซึ่งก็เป็น
ฟังก์ชันของ t ด้วย
ดังนั้นคุณบอก t ผมมา, ผมสามารถบอก x กับ y คุณได้,
และเห็นคุณให้ x กับ y ผมมา, ผมก็หาว่า f คืออะไรได้
ดังนั้นเราได้แล้ว, แล้วเราก็มีส่วนนี้ตรงนี้
ผมจะใช้สีส้มนะ
สแควร์รูทของ dx กำลังสอง บวก dy กำลังสอง
แต่เรายังไม่ได้มันในรูปของ t
เราต้องมี dt สักที่ตรงนี้ เพื่อจะได้หา
ค่าอินทิกรัลนี้ได้
และเราจะเห็นมันในวิดีโอหน้า, ตอนผมทำ
โจทย์จริง ๆ
แต่ผมอยากให้คุณเข้าใจในตอนท้าย

Turkish: 
-
Burada integral t cinsinden, burada ise, x ve y cinsinden.
-
Buna göre, her şeyi t cinsinden yapmamız gerekiyor.
x ve y'nin t cinsinden fonksiyonlar olduğunu bildiğimize göre, şöyle yazabiliriz.
-
İntegrali, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye yazarız.
f x y'yi de şöyle yazalım: f, x cinsinden bir fonksiyon, x de t cinsinden fonksiyon. Aynı zamanda, f, y cinsinden bir fonksiyon, y de t cinsinden bir fonksiyon.
-
-
Yani, bana bir t değeri verirseniz, size x veya y değeri bulurum. x ve y değerinden de f değerini bulurum.
-
Bunu yazdık ve bir de şu kısım var.
Turuncu ile yazayım.
dx kare artı dy karenin karekökü.
Hala, elimizdekileri t'ye çeviremedik.
Bu integralin değerini alabilmek için, bir yerlere dt koymamız lazım.
-
Somut bir problem çözdüğüm zaman, yani bir sonraki videoda, bunu göreceğiz.
-
Ama şimdi size, bu sürecin sonunda elde ettiğimiz sonucu anlatmak istiyorum.

Korean: 
알고, 필수적인, 다음과 같이 정확한 통합?
우리가 여기, t의 관점에서 그것을 있지만 우리는 그것
x의 용어 및과 여기.
그래서 우리는 t의 관점에서 모든 것을 얻이 필요가 있다.
글쎄, 우리가 알고 x 및 y는 t의 두 기능 그래서 우리가 할 수 있는
이 같은 사실은 그것을 다시 작성 합니다.
우리는 t에서 동일은 그것을 다시 작성할 수 있습니다, t는 b와 같습니다.
X y의 f, 우리는 그것을 쓸 수 있습니다. 그리고 f는 x의 함수입니다.
t, f의 함수는 또한 y는 함수
또한 t의 기능입니다.
주실, t, 그래서 나는 x 또는 y, 당신에 게 줄 수 있을 거 야 하 고
x 또는 y에 내게 주실 일단 내가 무슨 f는 알아낼 수 있다.
그래서 우리가, 그리고 우리이 부분은 바로 여기.
오렌지에서 그것을 할 거 야.
제곱 dx 및 dy의 제곱근 제곱.
하지만 우리는 여전히 t의 관점에서 사물을 필요가 없습니다.
우리는 어딘가 여기 위해서는 수 dt 필요
이 필수 요소를 평가 합니다.
할 때 우리는 다음 동영상에서 볼 수 있습니다.
구체적인 문제입니다.
하지만 정말 최종 제품에 대 한 감각을 주고 싶어 여

Spanish: 
decir, una integral, una integral definida que se parece a esta?
La tenemos en términos de t aquí, pero sólo la tenemos en
términos de x e y aquí.
Así que necesitamos tenerlo todo en términos de t.
Bien, sabemos que x e y son funciones de t, así que podemos
en realidad reescribir esto de este modo
Podemos reescribirlo como desde t=a, hasta t=b.
Y f(x,y), podemos escribirla, f es una función de x, que es
una función de t, y f es también una función de y, que es
también una función de t.
Así que si me das t, seré capaz de darte un x o y, y
en cuanto me des un x o un y, podré averiguar qué es f.
Así tenemos eso, y entonces tenemos esta parte justo aquí.
Lo haré en naranja.
Raíz cuadrada de dx al cuadrado más dy al cuadrado.
Pero todavía no tenemos las cosas en términos de t.
Necesitamos un dt en algún lugar aquí para poder
evaluar esta integral.
Y veremos eso en el próximo vídeo, cuando resuelva
un problema concreto.
Pero yo quiero darte una idea del producto final, la

Estonian: 
integraali, määratud integraali mis näeb välja selline?
See on meil vastavuses t-ga, aga see siin on vastavuses ainult x-i ja y-iga.
See on meil vastavuses t-ga, aga see siin on vastavuses ainult x-i ja y-iga.
Seega me peame kõik t-ga vastavusse saama.
Me teame, et x ja y on mõlemad t funktsioonid, seega me saame nad niimoodi ümber kirjutada.
Me teame, et x ja y on mõlemad t funktsioonid, seega me saame
nad niimoodi ümber kirjutada.
Me saame selle ümber kirjutada t on võrdne a-st kuni t on võrdne b-ni.
Ja f kohal x,y võime kirjutada nii, et f on x-i funktsioon, mis on
t funktsioon ja f on ka y-i funktsioon, mis on
ka t funktsioon.
t funktsioon ja f on ka y-i funktsioon, mis on
ka t funktsioon.
Niiet kui sa annab mulle t, siis ma saan sulle vastu anda x-i või y-i
ja kui sa annad mulle x-i või y-i, siis ma saan välja mõelda mis f on.
Niiet meil on see ja meil on see osa siin.
Ma teen selle oranžiks.
Ruutjuur dx ruudus pluss dy ruudus.
Aga meil ei ole ikka veel asjad t-ga vastavuses.
Meil on vaja dt-d kuskil siin, et me saaks seda integraali hinnata.
Meil on vaja dt-d kuskil siin, et me saaks seda integraali hinnata.
Ja me näeme seda järgmises videos, kus ma tegelen konkreetse probleemiga.
Ja me näeme seda järgmises videos, kus ma tegelen konkreetse probleemiga.
Aga ma tahaksin väga anda teile aimu lõpptulemusest

English: 
formula we're going to get
at the end product of this
video, where it comes from.
So one thing we can do, is if
we allow ourselves to
algebraically manipulate
differentials, what we can do
is let us multiply
and divide by dt.
So one way to think about it,
you could rewrite, so let me
just do this orange
part right here.
Let's do a little
side right here.
So if you take this orange
part, and write it in pink, and
you have dx squared, and then
you have plus dy squared, and
let's say you just multiply
it times dt over dt, right?
That's a small change in t,
divided by a small change in t.
That's 1, so of course you
can multiply it by that.
If we're to bring in this part
inside of the square root sign,
right, so let me rewrite this.
This is the same thing as 1
over dt times the square root
of dx squared plus dy squared,
and then times that dt.
Right?
I just wanted to write it
this way to show you I'm

Turkish: 
-
-
Diferansiyellerle çalışırken, ifadeyi dt ile çarpıp, dt'ye bölebiliriz.
-
-
-
-
-
Şimdi bu turuncu kısmı alalım ve pembeyle yazalım. dx kare artı dy kareyi, dt bölü dt ile çarpalım.
-
-
t'deki küçük bir fark, bölü t'deki küçük fark.
Bu 1 olduğu için, bununla çarpabiliriz.
Şimdi, şu kısmı karekökün içine alıyorum.
-
Bu, eşittir 1 bölü dt çarpı, karekök dx kare artı dy kare, çarpı, şuradaki dt.
-
Öyle değil mi?
Size 1'le çarptığımı göstermek için bu şekilde yazdım.

Thai: 
ถึงสูตรที่เราจะได้ในตอนท้าย
ของวิดีโอนี้, ว่ามันมาจากไหน
ดังนั้นสิ่งนึงที่เราทำได้, คือหากเราสามารถ
จัดรูปดิฟเฟอเรนเชียลไปมา, ที่เราทำได้คือ
ลองคูณและหารด้วย dt ดู
วิธีคิดอย่างนึงคือ, คุณอาจเขียนมันใหม่, ลอง
เขียนส่วนสีส้มนี่ตรงนี้
ลองทำข้าง ๆ ตรงนี้
หากคุณเอาส่วนสีส้มนี่, เขียนมันด้วยสีชมพู, และ
คุณมี dx กำลังสอง, แล้วคุณมีบวก dy กำลังสอง, แล้ว
สมมุติว่าคุณสามารถคูณมันด้วย dt ส่วน dt, จริงไหม?
มันคือการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ใน t, หารด้วยการเปลี่ยนแปลงเล้ก ๆ ใน t
นั่นคือ 1, คุณเลยสามารถคุณมันด้วยอันนั้นได้
หากเราเอาส่วนนี้เข้าไปในสแควร์รูท
ได้, ขอผมเขียนนี่ใหม่นะ
นี่ก็เหมือนกับ 1 ส่วน dt คูณสแควร์รูท
ของ dx กำลังสอง บวก dy กำลังสอง, แล้วก็คูณ dt นั่น
จริงไหม?
ผมแค่อยากเขียนมันแบบนี้เพื่อให้คุณเห็นว่า ผม

Korean: 
우리는 이것의 최종 제품을 얻을 거 야 하는 수식
비디오, 어디에서 유래 합니다.
그래서 한 가지 우리가 할 수 있는 일은 우리가 스스로 허용
algebraically 우리가 무엇을 할 수 차이 조작
저희가 증식 및 dt 나눕니다.
그래서 한 가지 방법은 다시 작성할 수 있습니다 그것에 대해 생각 하 고 그렇게 하자
그냥이 주황색 부분을 바로 여기 않습니다.
약간 측면 여기 해 보 자구.
그래서 만약 당신이 참여이 오렌지, 핑크, 쓰기 및
당신은 dx를 제곱, 그리고 당신은 플러스 dy 제곱 및
자 말 그냥 곱하면 그것 dt 시간 dt, 오른쪽 위에?
그것은 t, t에 작은 변화를 나눈에 작은 변화 이다.
그건 1, 물론 그 곱하면 수 있습니다.
제곱근 기호의 안쪽이 부분가지고 우리가 하는 경우
좋아, 그래서이 다시 작성 하자.
이것은 제곱근 시간 dt 동안 1로 같은 일
dx의 제곱 더하기 dy 제곱, 그리고 그 dt를 시간.
맞 죠?
그냥 내가 보여이 방법으로 작성 하 고 싶 었

Portuguese: 
uma fórmula que obteremos 
no produto final deste
vídeo, de onde isso vem.
Uma coisa que podemos 
fazer é -- se nos permitirmos
manipular os diferenciais 
algebricamente -- o que podemos fazer
é multiplicar e dividir por dt.
Uma maneira de pensar 
nisso é reescrever -- vou fazer
essa parte em laranja logo aqui.
Façamos um lado aqui.
Se você usar essa parte em 
laranja, e escrevê-la em rosa,
e você tem dx ao quadrado 
e mais dy ao quadrado
e digamos que multiplicamos 
isso vezes dt sobre dt, certo?
E essa é uma pequena mudança em t 
dividida por uma pequena mudança em t.
Isso é um, então é claro que você 
pode multiplicá-lo por isso.
Se vamos trazer essa parte 
para dentro da raiz quadrada
-- vou reescrever isso.
Isso é mesmo que um sobre 
dt vezes a raiz quadrada
de dx ao quadrado mais dy ao 
quadrado, e então vezes aquele dt.
Certo?
Eu só queria escrever isso desta 
maneira para mostrar para você

Estonian: 
valem, mis me selle video lõpptulemusena saame ja
kust see tuleb.
Niisiis üks asi mida me teha saame, me võime lubada endale
natuke algebraliselt diferentsiaalidega manipuleerimist, mis me võime teha on,
et me võime korrutada ja jagada dt-ga.
Seega üks viis sellest mõelda oleks, et sa võid selle ümber kirjutada, las ma
teen selle osa oranžiks.
Teeme siia väikese külje.
Seega kui sa võtad selle oranži osa ja kirjutad selle roosasse osasse ja
sul on dx ruudus ja sellele on liidetud dy ruudus ja
ütleme, et sa lihtsalt korrutad seda dt jagatud dt-ga.
See on väike muutuja t-s jagatud väikese muutujaga t-s.
See on 1, seega muidugi saame sellega korrutada.
Kui me tahame selle osa viia ruutjuure alla,
las ma kirjutan selle ümber.
See on sama mis 1 jagatud dt korda ruutjuur
dx ruut pluss dy ruut ja see korrutatud dt-ga. Õigus?
dx ruut pluss dy ruut ja see korrutatud dt-ga. Õigus?
Ma kirjutasin selle nii ainult selleks, et näidata teile, et ma ainult korrutan ühega.

Japanese: 
実際の問題で
より分かりやすいです。
ここでできることは、
代数学を用い
dtで乗算、除算します。
このオレンジの部分を
書き換えます。
この横でします。
オレンジ色の部分は、ピンクで書きます。
dx＾２＋dy＾２
これらにdt／dtを掛けます。
これはtの小さな変化です。
これ自体は、１です。
これを、平方根内に移すと
このようになります。
これは１で掛けたので、同じで、
dx＾２＋dy＾２の平方根にdtを掛けます。
いいですか？
これを書くために

Spanish: 
fórmula que vamos a conseguir como producto final de este
vídeo, de dónde surge.
Así que una cosa que podemos hacer es si nos permitimos
manipular algebraicamente derivadas, lo que podemos hacer
es multiplicar y dividar por dt.
Así que un modo de pensar sobre eso, podría reescribir, déjame
sólo hacer esta parte naranja justo aquí.
Hagamos un pequeño lado justo aquí.
Así que si tomas esta parte naranja, y la escribes en rosa, y
tienes dx al cuadrado, y entonces tienes más dy al cuadrado, and
digamos que tú solo lo multiplicas por dt sobre dt,¿cierto?
Eso es un pequeño cambio en t, dividido por un pequeño cambio en t.
Eso es 1, por lo que puedes multiplicarlo por eso.
Si vamos a traer esta parte dentro del símbolo de la raíz cuadrada,
es decir, déjame reescribir esto.
Esto es lo mismo que 1 sobre dt por la raíz cuadrada
de dx al cuadrado más dy al cuadrado, y entonces multiplicado por dt.
¿Correcto?
Sólo quería escribirlo de este modo para mostrarte

English: 
just multiplying by 1.
And here, I'm just taking this
dt, writing it there, and
leaving this over here.
And now if I wanted to bring
this into the square root sign,
this is the same thing, this is
equal to, and I'll do it very
slowly, just to make sure, I'll
allow you to believe that I'm
not doing anything shady
with the algebra.
This is the same thing as the
square root of 1 over dt
squared, let me make the
radical a little bit bigger,
times dx squared plus
dy squared, and all of
that times dt, right?
I didn't do anything, you could
just take the square root of
this and you'd get 1 over dt.
And if I just distribute this,
this is equal to the square
root, and we have our dt at the
end, of dx squared, or we could
even write, dx over dt squared,
plus dy over dt squared.
Right? dx squared over dt
squared is just dx over dt

Spanish: 
voy a multiplicar por 1.
Y aquí, estoy sólo tomando este dt, escribiendolo allí, y
dejando esto aquí.
Y ahora si yo quería traer esto dentro del símbolo de la raíz cuadrada,
esto es lo mismo, esto es igual a, y lo haré muy
lentamente, sólo para asegurarme, te permitiré creer que no
estoy haciendo nada oscuro con el álgebra.
Esto es lo mismo que la raíz cuadrada de 1 sobre dt
al cuadrado, déjame hacer el cambio radical un poco mayor,
por dx al cuadrado más dy al cuadrado, y todo eso
por dt, ¿correcto?
No hice nada, podías sólo tomar la raíz cuadrada de
esto y conseguirías 1 sobre dt.
Y si distribuyo esto, esto es igual a la
raíz cuadrada, y tenemos nuestra dt al final, de dx al cuadrado, o podíamos
incluso escribir dx sobre dt al cuadrado, más dy sobre dt al cuadrado.
¿Correcto? dx al cuadrado sobre dt al cuadrado es justo dx sobre dt

Korean: 
단지 1을 곱한.
그리고 여기, 그냥 복용 오전 거기, 쓰기이 dt 및
여기에이 떠난다.
그리고 지금 제곱근 기호에 이것을 싶어 하는 경우
이것은 동일한 것, 이것은 같음, 그리고 매우 그것을 할 거 야
천천히, 그냥 있는지 확인 하려면, 난 거 야 수 있습니다 내가 믿고
대수학과 그늘진 아무것도 안하고.
이것은 dt 이상 1의 제곱근으로 같은 것 이다
급진적인을 조금 더 크게 만들어 보자 제곱,
dx 시간 플러스 dy 제곱, 및 모두의 제곱
dt, 배는 맞 죠?
난 아무 짓도 하지 않았다, 당신은 단지의 제곱근 걸릴 수도
이 고 dt 이상 1를 얻을 것 이다.
그리고 난 그냥이 배포 하는 경우이 광장에
뿌리, 그리고 우리는 우리의 dt 제곱, dx의 끝 또는 우리가 할 수 있는
심지어 쓰기, dt 이상 dx 제곱 더하기 dt 동안 dy 제곱.
맞 죠? dx 제곱 dt 이상 제곱 dt 그냥 dx가 끝났습니다.

Turkish: 
-
Yani, dt'yi alıyorum, şuraya yazıyorum ve bunu, burada bırakıyorum.
-
Şimdi, bunu karekökün içine almak istersem, yavaş yapayım ki cebirsel işlemleri daha iyi kavrayın.
-
-
-
Bu, karekök, 1 bölü dt kare, çarpı dx kare artı dy kare, ve bunun tamamı, çarpı dt.
-
-
-
Hiçbir şey değiştirmedim, bunun karekökünü alsanız, yine 1 bölü dt elde edersiniz.
-
Şunu dağıtırsam, karekök, dx bölü dt kare artı, dy bölü dt kare. Sonda da, dt var.
-
-
dx kare bölü dt kare eşittir, dx bölü dt, kare. y'ler için de aynı şeyi uygulayalım.

Portuguese: 
que eu estou somente 
multiplicando por um.
E aqui eu estou somente pegando 
esse dt, escrevendo ele aqui, e
deixando esse logo aqui.
E agora se eu quisesse trazer isso 
para dentro da raiz quadrada,
isso é a mesma coisa, isso 
é igual a -- e faremos isso
muito lentamente para ter certeza -- eu 
vou deixar você acreditar que eu
não estou fazendo nada de 
suspeito com a álgebra.
Isso é o mesmo que a raiz 
quadrada de um sobre dt
ao quadrado -- vou fazer esse 
radical um pouco maior --
vezes dx ao quadrado 
mais dy ao quadrado e tudo
aquilo vezes dt, certo?
Eu não fiz nada, você poderia 
usar a raiz quadrada
disso e você obteria um sobre dt.
E se eu só distribuir isso, 
isso é igual à raiz quadrada,
e nós temos o nosso dt no final 
-- de dx ao quadrado -- ou poderíamos
até escrever dx sobre dt ao quadrado 
mais dy sobre dt ao quadrado.
Certo? dx ao quadrado sobre dt ao 
quadrado é somente dx sobre dt

Thai: 
แค่คูณ 1 เข้าไป
และตรงนี้, ผมแค่เอา dt นี่, ตรงมันตรงนี้, และ
ปล่อยนี่ไว้ตรงนี้
และตอนนี้ หากผมอยากเอานี่เข้าไปในเครื่องหมายสแควร์รูท,
นี่ก็เหมือนกัน, นี่เท่ากับ, ผมจะทำมันช้า ๆ,
ให้แน่ใจ, ผมจะปล่อยให้คุณเชื่อว่า ผม
ไม่ได้ทำอะไรลับ ๆ ล่อ ๆ กับตัวเลขพวกนี้
นี่ก็เหมือนกับ สแควร์รูทของ 1 ส่วน dt
กำลังสอง, ขอผมเขียนรากใหญ่หน่อย,
คูณ dx กำลังสอง บวก dy กำลังสอง, และทั้งหมด
นั่นคูณ dt, จริงไหม?
ผมไม่ได้ทำอะไรเลย, คุณอาจหาสแควร์รูทของ
อันนี้แล้วคุณจะได้ 1 ส่วน dt
และหากผมกระจายนี่, นี่จะเท่ากับสแควร์รูท
, และเราได้ dt ตอนท้าย, ของ dx กำลังสอง, หรือเรา
อาจเขียนเป็น dx ส่วน dt กำลังสอง, บวก dy ส่วน dt กำลังสอง
จริงไหม? dx กำลังสอง ส่วน dt กำลังสอง ก็แค่ dx ส่วน dt

Estonian: 
Ma kirjutasin selle nii ainult selleks, et näidata teile, et ma ainult korrutan ühega.
Ja siin, ma ainult võtan selle dt, kirjutan selle siia ja jätan selle siia.
Ja siin, ma ainult võtan selle dt, kirjutan selle siia ja jätan selle siia.
Ja kui ma nüüd tahaksin selle viia ruutjuure alla,
see on sama asi, see on võrdne, ja ma teen seda väga
aeglaselt, lihtsalt et te usuks, et ma
ei tee midagi hämarat algebraga.
See on sama asi mis ruutjuur 1 jagatud dt-ga ruudus, las ma teen juure natuke pikemaks,
See on sama asi mis ruutjuur 1 jagatud dt-ga ruudus, las ma teen juure natuke pikemaks,
korrutatud dx ruudus pluss dy ruudus ja kõik see korrutatud dt, õigus?
korrutatud dx ruudus pluss dy ruudus ja kõik see korrutatud dt, õigus?
Ma ei teinud midagi, te võite lihtsalt võtta ruutjuure sellest ja te saate 1 jagatud dt.
Ma ei teinud midagi, te võite lihtsalt võtta ruutjuure sellest ja te saate 1 jagatud dt.
Ja kui ma jaotan selle, see on võrdne ruutjuur
ja meil on dt seal lõpus, dx ruudus, või me võiks ka
kirjutada, et dx jagatud dt ruudus pluss dy jagatud dt ruudus.
Õigus? dxruudus jagatud dt ruudus on lihtsalt dx jagatud dt ruudus, sama asi y-iga.

Japanese: 
１が掛けただけです。
このdtを、ここに書き
このdtをここに残します。
これを平方根の中に移し
これは、
書き換えると
どうなるでしょう？
１／dt＾２で、
この中の
dx＾２＋dy＾２を掛けます。
いいですか？
内容は
変わっていません。
これを、分配し
dx＾２／dt＾２＋
dy＾２／dt＾２です。
いいですか？

English: 
squared, same thing
with the y's.
And now all of a sudden,
this starts to look
pretty interesting.
Let's substitute this
expression with this one.
We said that these
are equivalent.
And I'll switch colors,
just for the sake of it.
So we have the integral.
From t is equal to a.
Let me get our drawing back, if
I-- from t is equal to a to t
is equal to b of f of x of t
times, or f of x of t and f of,
or and y of t, they're both
functions of t, and now instead
of this expression, we can
write the square root of, well,
what's dx, what's the change in
x with respect to, whatever
this parameter is?
What is dx dt?
dx dt is the same thing
as g prime of t.
Right? x is a function of t.

Spanish: 
al cuadrado, lo mismo con las y.
Y ahora de repente, esto empieza a parecer
bastante interesante.
Sustituyamos esta expresión con esta.
Nosotros dijimos que estos son equivalentes.
Y cambiaré los colores, por claridad
Así tenemos la integral
desde t es igual a a.
Déjame mostrar nuestro dibujo otra vez, si yo- desde t es igual a a hasta t
es igual a b de f(x) por t, o f(x) de t and f de,
o y y(t), son ambas funciones de t, y ahora en lugar
de esta expresión, podemos escribir la raíz cuadrada de, bien,
qué es dx, qué es el cambio en x con respecto a, lo que sea
este parámetro es
¿Qué es dxdt?
dx dt es lo mismo que g principal de t.
¿Correcto? x es una función de t.

Estonian: 
Õigus? dxruudus jagatud dt ruudus on lihtsalt dx jagatud dt ruudus, sama asi y-iga.
Ja nüüd hakkab see välja nägema üpriski huvitav.
Ja nüüd hakkab see välja nägema üpriski huvitav.
Asendame selle avaldise sellega.
Me ütlesime, et need on ekvivalentsed(võrdväärsed). Ja ma vahetan värve, lihtsalt sellel jaoks.
Me ütlesime, et need on ekvivalentsed(võrdväärsed). Ja ma vahetan värve, lihtsalt sellel jaoks.
Seega meil on integraal, kus t on võrdne a-ga.
Seega meil on integraal, kus t on võrdne a-ga.
Las ma võtan tagasi meie joonise, t on võrdne a-st kuni t
on võrdne b-ni funktsioonil kohal x t-st ja y t-st,
need on mõlemad t funktsioonid ja nüüd, selle avaldise
asemel võime kirjutada ruutjuure, või,
mis on dx, mis on x-i muutuja puutepunkt, misiganes see parameeter on?
mis on dx, mis on x-i muutuja puutepunkt, misiganes see parameeter on?
Mis on dx dt?
dx dt on sama mis funktsiooni g tuletis kohal t-ts..
Õigus? x on t funktsioon.

Japanese: 
同じことです。
これは、
興味深い式です。
これを、入れ替えましょう。
これらは同じです。
色を変えます。
積分です。
tがa
から
bまで
f（x（t）、y（t））
ここで、
dx＾２は、
xが何のパラメータでの変化ですか？
xが何のパラメータでの変化ですか？
dx／dtはなんですか？
dx／dtは、g’（t）です。
xはtの関数です。

Turkish: 
-
Ve, bir anda, bu, çok ilginç bir hal almaya başlıyor.
-
Şu ifadeyi bunun yerine koyuyorum.
Bu ikisinin birbirine denk olduğunu söylemiştik.
-
Buna göre, t eşittir a'dan, t eşittir b'ye, f x t ve y t, çarpı karekök dx dt, integrali.
-
-
-
-
-
-
-
dx dt neydi?
dx dt, g üssü t'ye eşit. Öyle değil mi?
x, t cinsinden bir fonksiyon.

Thai: 
กำลังสอง, เช่นดียวกับ y
และในทันใด, นี่ก็เริ่ม
น่าสนใจแล้ว
ลองแทนค่าพจน์นี้ด้วยอันนี้
เราบอกว่าพวกนี้เท่ากันหมด
และผมจะเปลี่ยนสี, แค่ให้ได้เปลี่ยนก็พอ
เราเลยได้อินทิกรัล
จาก t เท่ากับ a
ขอผมเอารูปวาดกลับมา, ถ้าผม -- จาก t เท่ากับ a ถึง t
เท่ากับ b ของ f ของ x ของ t คูณ, หรือ f ของ x ของ t และ f ของ,
y ของ t, ทั้งคู่เป็นฟังก์ชันของ t, และตอนนี้
แทนที่จะเป็นพจน์นี้, เราสามารถเขียนสแควร์รูทของ, ทีนี้
dx คืออะไร, การเปลี่ยนแปลงใน x เทียบกับ, อะไรก็ตาม
พารามิเตอร์นี้คืออะไร?
dx dt คืออะไร?
dx dt ก็เหมือนกับ g ไพรม์ของ t
จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t

Korean: 
과 함께 제곱, 같은 것
그리고 지금 보고 시작이 갑자기,
꽤 흥미 롭 군요입니다.
보자이 것으로이 식을 대체 합니다.
우리는 이러한 동일 했다.
그리고 단지 그것을 위해서 색상을 전환 합니다.
그래서 우리는 정수.
T에서 같은지를.
만약 내가-t에서 크거나 우리의 드로잉을 다시 날 하자는 t
t 시간의 x 또는 x t의의, f f f b와 같습니다.
또는 및 y t의 두 기능 그들은 t, 그리고 지금은 대신
이 식의 우리 음,의 제곱근을 쓸 수 있습니다.
dx 이란 무엇입니까 관련 하 여, 어떤 x 변경
이 매개 변수는?
Dx 무엇입니까 dt?
dx dt t g 총리와 같은 것 이다.
맞 죠? x t의 기능입니다.

Portuguese: 
ao quadrado, o mesmo com os y's.
E agora de repente isso parece
um pouco mais interessante.
Vamos substituir essa 
expressão com essa.
Nós dissemos que 
esses era equivalentes.
E vou mudar de cores, 
só para melhorar isso.
Nós temos a integral.
De t igual a a.
Vou voltar para o meu desenho, 
se eu -- de t igual a a até t
igual a b de f de x de t 
vezes ou f de x de t e f de --
ou y de t, elas são ambas 
funções de t, e agora ao invés
dessa expressão, podemos 
escrever a raiz quadrada de -- bom,
o que é dx, o que é a mudança 
em x com respeito a esse
parâmetro qualquer?
O que é dx dt?
dx dt é a mesma coisa que 
a derivada de g de t.
Certo? x é uma função de t.

Estonian: 
Funktsioon mille ma kirjutasin on funktsiooni tuletis g kohal t-st.
Ja siis on dy dt sama mis funktsiooni tuletis h kohal t-st.
Me võiks öelda, et , teate küll, see funktsioon t-st.
Ma lihtsalt tahtsin selle selgeks teha.
Me teame neid funktsioone, seega me võime võtta nende tuletise punktis t.
Me teame neid funktsioone, seega me võime võtta nende tuletise punktis t.
Aga ma jätan need sellisesse formaati.
Seega see ruutjuur ja me võtame x-i tuletise t ruudust pluss y-i tuletise
Seega see ruutjuur ja me võtame x-i tuletise t ruudust pluss y-i tuletise
t ruudust ja selle kõik korrutame dt-ga.
Ja see võib paista kummalise ja kokkukeeratuna,
aga see on tegelikult midagi, millega me oskame tegeleda.
Nüüd me oleme lihtsastanud seda kummalist, teate küll,
kaare pikkuse probleemi või seda joonintegraali, eks?
See on põhiliselt mida me teeme.
Me võtame kõvera integraali, või joone oma,
See on põhiliselt mida me teeme.
Me võtame kõvera integraali, või joone oma,
vastupidiselt lihtsalt intervallile x-teljel.
Me oleme võtnud selle kummalise joonintegraali, mis on suhteline
kaare pikkuse, x-i ja y-ga ja me oleme pannud
selle suhtuvusse t-ga.

Japanese: 
g’（t）を書きます。
dyも同じように、h’（t）です。
これは、tの関数と言えます。
いいですか？
これら２つの関数の
tでの微分を取りました。
tをここに置いておきます。
この平方根、
dx＾２／dt＾２＋dy＾２／dt＾２が
tの項で書き換えられます。
これを簡素な式に
書き換えられます。
いいですか？
この線積分です。
これが基本です。
この曲線の積分を取ります。
この曲線の積分を取ります。
この変わった曲線の積分は
xとyがtの項で
表現されます。

Portuguese: 
A função que eu escrevi 
é a derivada de g de t.
E então dy dt é o mesmo 
que a derivada de h de t.
Poderíamos dizer que, você 
sabe, essa função de t.
Eu só queria 
deixar isso claro.
Conhecemos essas duas funções, 
então podemos somente usar
as suas derivadas com respeito a t.
Mas vou deixar isso dessa forma.
Então a raiz quadrada -- e nós 
usamos a derivada de x com
respeito a t ao quadrado mais 
a derivada de y com respeito
a t ao quadrado, e 
tudo aquilo vezes dt.
E isso pode parecer uma fórmula estranha
mas na realidade é algo 
com o qual sabemos lidar.
Nós agora simplificamos esse
problema de comprimento de 
arco, ou integral de linha, certo?
Isso é essencialmente 
o que estamos fazendo.
Estamos calculando a integral sobre 
uma curva, ou sobre uma linha,
ao invés de somente sobre 
um intervalo no eixo x.
Nós calculamos a estranha integral 
de linha que está em termos do
comprimento de arco da linha, 
e x's e y's, e pusemos tudo
em termos de t.

English: 
The function I wrote
is g prime of t.
And then dy dt is same
thing as h prime of t.
We could say that, you
know, this function of t.
So I just wanted to
make that clear.
We know these two functions,
so we can just take their
derivatives with respect to t.
But I'm just going to
leave it in that form.
So the square root, and we take
the derivative of x with
respect to t squared, plus the
derivative of y with respect to
t squared, and all
of that times dt.
And this might look like some
strange and convoluted formula,
but this is actually something
that we know how to deal with.
We've now simplified this
strange, you know, this
arc-length problem, or this
line integral, right?
That's essentially
what we're doing.
We're taking an integral over
a curve, or over a line,
as opposed to just an
interval on the x-axis.
We've taken the strange line
integral, that's in terms of
the arc length of the line, and
x's and y's, and we've put
everything in terms of t.

Thai: 
ฟังก์ชันที่ผมเขียนคือ g ไพรม์ของ t
แล้ว dy dt ก็เหมือนกับ h ไพรม์ของ t
เราอาจบอกว่านั่น, คุณก็รู้, ฟังก์ชันี้ของ t
ผมแค่อยากให้มันชัดเจน
เรารู้ฟังก์ชันสองอันนี้, เราเลยสามารถหา
อนุพันธ์เทียบกับ t ของมันได้
แต่ผมจะปล่อยมันไว้ในรูปนั้น
งั้นสแควร์รูท. เราสามารถหาอนุพันธ์ของ x
เทียบกับ t กำลังสอง, บวก อนุพันธ์ของ y เทียบกับ
t กำลังสอง, และทั้งหมดนั่นคูณ dt
นี่อาจดูเป็นสูตรประหลาดและซับซ้อน,
แต่ที่จริงมันคือสิ่งที่เรารู้ว่าจะจัดการยังไง
เราได้จัดรูปปัญหาความยาวส่วนโค้ง, คุณก็รู้,
ประหลาด ๆ หรือ อินทิกรัลเส้นนี่, จริงไหม?
นั่นคือสิ่งที่เราทำอยู่
เรากำลังหาอินทิกรัลตามเส้นโค้ง, หรือเส้น,
แทนที่จะเป็นช่วงบนแกน x
เราได้หาอินทิกรัลเส้นประหลาด, อยู่ในรูป
ความยาวส่วนโค้งของเส้น, และ x กับ y, โดยเราเขียน
ทุกอย่างในรูปของ t

Korean: 
내가 쓴 기능은 t g 총리입니다.
그리고 dy dt 같은 것 t h 총리.
우리는, 당신은 알고, t의이 기능은 말할 수 있습니다.
그래서 난 그냥 그렇게 명확 하 게 싶 었 어 요.
그래서 우리는 그냥 걸릴 수 있습니다 이러한 두 가지 기능을 알고 우리 자신의
t와 관련 하 여 파생 상품입니다.
하지만 그냥 그 형태로 떠날 거 야.
그래서 제곱근, 그리고 우리와 x의 파생
t 제곱, 존중 플러스와 관련 하 여 y의 파생
t 제곱, 그리고 모두의 dt 시간.
그리고이 어떤 이상 하 고 뒤 얽힌 수식 처럼 보일 수도 있습니다.
그러나 이것은 실제로 우리가 처리 하는 방법을 알고 있는 무언가 이다.
우리 했습니다 지금은 간체이 이상한, 당신은 알고 있다,이
호 길이 문제, 또는이 줄 적분, 오른쪽?
그것은 본질적으로 우리가 무슨 일을 하는지입니다.
우리 곡선 또는 직선 통해 필수적인을 복용 하 고 있어
x 축에 그냥 간격을 반대로 합니다.
우리는 이상한 선 계열의 관점에서 그를 촬영 했습니다.
선 및 x과, 아크 길이 우리 놨 소
t의 관점에서 다입니다.

Turkish: 
g üssü t.
dy dt de, h üssü t.
-
Bunu açıklığa kavuşturmak istedim.
Bu iki fonksiyonun t'ye göre türevlerini alabiliriz.
-
Bunu, bu şekilde bırakıyorum.
Yani, karekök, x'in t'ye göre türevinin karesi, artı y'nin t'ye göre türevinin karesi, ve bunun tamamı, çarpı dt.
-
-
Bu garip, karmaşık bir formül gibi görünebilir, ama kullanabileceğimiz bir şey.
-
Bu garip yay uzunluğu problemini, çizgisel integrali sadeleştirdik, öyle değil mi?
-
Yaptığımız işte bu.
İntegrali, bir aralık yerine, bir eğri veya doğru üzerinde alıyoruz.
-
Bu çizgisel integrali aldık, ve her şeyi t'ye çevirdik.
-
-

Spanish: 
La función que escribí es g principal de t.
Y entonces dy dt es lo mismo que h principal de t.
Podíamos decir que, es decir, esta función de t.
Así sólo quería dejar esto claro.
Conocemos estas dos funciones, de modo que podemos tomar sus
derivadas con respecto a t.
Pero sólo voy a dejarlo en ese modo.
Así la raíz cuadrada, y tomamos la derivada de x con
respecto a t al cuadrado, más la derivada de y con respecto a
t al cuadrado, y todo esto por dt.
Y esta podría parecer una fórmula algo extraña y compleja,
pero esto es realmente algo que sabemos como tratar.
Ahora hemos simplificado esta extraña, sabes, este
problema de longitud de arco, o esta integral de línea, ¿correcto?
Esto es esencialmente lo que hemos estado haciendo.
Estamos tomando una integral sobre una curva, o sobre una línea,
en oposición a sólo un intervalo sobre el eje x.
Hemos tomado la extraña integral de línea, esto es en términos de
la longitud del arco de la línea, y de x e y, y hemos puesto
todo en función de t.

English: 
And I'm going to show you that
in the next video, right?
Everything is going to be
expressed in terms of t,
so this just turns into a
simple, definite integral.
So hopefully that didn't
confuse you too much.
I think you're going to see in
the next video that this, right
here, is actually a
very straightforward
thing to implement.
And just to remind you where
it all came from, I think I
got the parentheses right.
This right here was just a
change in our arc length.
That whole thing right
there was just a
change in arc length.
And this is just the height of
our function at that point.
And we're just summing it,
doing an infinite sum of
infinitely small lengths.
So this was a change in our
arc length times the height.
This is going to have an
infinitely narrow width, and
they're going to take an
infinite number of these
rectangles to get the area of
this entire fence, or
this entire curtain.
And that's what this definite
integral will give us,
and we'll actually apply
it in the next video.

Japanese: 
これを、次のビデオで説明します。
すべてがtの項に置き変えられます。
そして、簡素な定積分が得られます。
いいですか？
次のビデオで、
より分かりやすくなると思います。
より分かりやすくなると思います。
この式がどこからきたか、覚えてますか？
ここに、括弧があります。
これは、曲線の区分です。
そして、この全体が
曲線の長さです。
この高さが、この関数です。
この非常に小さい長さの
無限の合計を取ります。
これが、曲線の幅掛ける高さです。
非常に細いです。
無限の長方形が
この柵全体に
含まれます。
それが、この定積分です。
では、次のビデオに進みましょう。

Estonian: 
Ma näitan teile seda järgmises videos.
Küik saab olema väljendatud t suhtes,
seega see muutub lihtsaks, määratud integraaliks.
Niiet loodame, et see ei ajanud teid väga segadusse.
Ma arvan, et te näete järgmises videos, et seda siin
on väga lihtne rakendada.
on väga lihtne rakendada.
Ja lihtsalt et teile meenutada kust see kõik tuli, ma arvan, et ma sain need sulud õigesti.
Ja lihtsalt et teile meenutada kust see kõik tuli, ma arvan, et ma sain need sulud õigesti.
See siin oli kõigest muutuja meie kaare pikkuses.
Kogu see asi siin oli kõigest muutuja kaare pikkuses.
Kogu see asi siin oli kõigest muutuja kaare pikkuses.
Ja see on meie funktsiooni kõrgus sellest punktis.
Ja me ainult liidame need, leiame ääretult väikeste pikkuste summa.
Ja me ainult liidame need, leiame ääretult väikeste pikkuste summa.
See oli muutuja kaare pikkuses korrutatud kõrgusega.
Sellel saab olema ääretult väike laius ja läheb vaja tohutul hulgal
Sellel saab olema ääretult väike laius ja läheb vaja tohutul hulgal
ristkülikuid, et saada kogu selle ala suurune aed või kardin.
ristkülikuid, et saada kogu selle ala suurune aed või kardin.
Ja see ongi see mille määratud integraal meile annab, ning me kasutame seda järgmises videos.
Ja see ongi see mille määratud integraal meile annab, ning me kasutame seda järgmises videos.

Portuguese: 
E vou lhe mostrar isso 
no próximo vídeo, certo?
Tudo será expressado 
em termos de t, e
isso se tornará uma 
simples integral definida.
Espero não ter te 
confundido tanto.
Eu acho que você verá no 
próximo vídeo, logo aqui,
que é algo muito
fácil de se implementar.
E só para lembrar-lhe de 
onde tudo isso saiu, acho
que tenho os 
parênteses corretamente.
Isso aqui foi só uma mudança 
no nosso comprimento de arco.
Aquilo tudo era somente uma
mudança no comprimento de arco.
E isso é somente a altura da 
nossa função naquele ponto.
E estamos só somando isso, 
fazendo uma soma infinita de
comprimentos infinitamente pequenos.
Essa foi a mudança no nosso 
comprimento de arco vezes a altura.
Isso terá uma largura 
infinitamente estreita e vamos
usar um número infinito desses
retângulos para ter a 
área de toda a cerca,
ou da cortina inteira.
Isso é o que a integral 
definida nos dá
e vamos aplicá-la 
no próximo vídeo.
[Legendado por Musa Morena Marcusso Manhães]
[Revisado por Soraia Novaes]

Spanish: 
Y voy a mostrarte eso en el próximo vídeo, ¿de acuerdo?
Todo va a ser expresado en función de t,
de modo que esto se convierte en una simple integral definida.
Así con suerte eso no te confundirá demasiado.
Yo creo que vas a ver en el próximo vídeo que esto, justo
aquí, resulta realmente una cosa muy
directa para implementar.
Y sólo para recordarte de dónde viene todo, pienso
que tengo los paréntesis correctamente.
Este aquí a la derecha fue sólo un cambio en la longitud de nuestro arco.
Toda esa cosa justo allí fue sólo un
cambio en la longitud del arco.
Y esta es sólo la altura de nuestra función en ese punto.
Y estamos sólo resumiéndolo, haciendo una suma de
longitudes infinitamente pequeñas.
Así que este fue un cambio en nuestra longitud de arco por la altura.
Esto va a tener una anchura infinitamente estrecha, y
van a tomar un número infinito de estos
rectángulos para conseguir el área de esta valla completa, o
esta cortina entera.
Y esto es lo que esta integral definida nos dará,
y nosotros lo aplicaremos realmente en el próximo vídeo.

Turkish: 
Bir sonraki videoda, her şey t'ye çevrildiğinde, bu integralin nasıl basit bir belirli integrale dönüştüğünü size göstereceğim.
-
-
Umarım, kafanız çok karışmadı.
Bir sonraki videoda, bu metodun çok kolay uygulandığını göreceksiniz.
-
-
Bir hatırlatma yaparsak: Şurası, yay uzunluğu farkıydı.
-
-
-
-
Bu da, fonksiyonumuzun, o noktadaki yüksekliğiydi.
Ve, sonsuz küçüklükteki uzunlukların, sonsuz toplamını alıyoruz.
-
Burada, yay uzunluğu farkının yükseklikle çarpımı vardı.
Bu dikdörtgenlerden sonsuz sayıda toplayarak, şu çitin veya perdenin alanını buluyoruz.
-
-
-
Bu belirli integral, bize bu alanı veriyor.
Bir sonraki videoda bunu uygulayacağız.

Thai: 
และผมจะแสดงมันอีกในวิดีโอหน้า, จริงไหม?
ทุกอย่างจะเขียนได้ในรูปของ t,
ดังนั้นมันจะออกมาเป็นอินทิกรัลจำกัดเขตธรรมดา
หวังว่านั่นคงไม่ทำให้คุณงงเกินไปนะ
ผมว่าคุณจะเห็นในวิดีโอหน้าว่า นี่, ตรงนี้,
ที่จริงเป็นสิ่งธรรรมดา
ที่จะคิดออกมา
และเพื่อให้คุณรู้ว่าทั้งหมดมาจากไหน, ผมว่าผมควร
ใส่วงเล็บให้ถูกต้อง
นี่ตรงนี้ ก็คือ การเปลี่ยนแปลงในความยาวส่วนโค้ง
สิ่งนั้นทั้งหมดตรงนี้ มีแค่การเปลี่ยน
แปลงในความยาวส่วนโค้ง
และนี่ก็แค่ความสูงของฟังก์ชันเรา ณ จุดนั้น
และเรากำลังรวมมัน, ผลบวกอนันต์ของ
ความยาวเล็กจิ๋ว
นี่ก็คือการเปลี่ยนแปลงในความยาวเส้นโค้ง คูณ ความสูง
นี่จะมีความกว้างแคบมาก ๆ, และ
มันรวมเป็นสี่เหลี่ยมจำนวนอนันต์
กลายเป็นพื้นที่ของรั้วทั้งหมด, หรือ
ม่านทั้งหมดนี้
และนั่นคือสิ่งที่อินทิกรัลจำกัดเขตนี่บอกเรา,
และเราจะใช้นี่ได้วิดีโอหน้ากัน

Korean: 
그리고 바로 다음 비디오를 보여 갈 거 야?
모든 t의 관점에서 표현 될 것 이다
그래서이 그냥 간단 하 고, 정확한 정수에 나타났다.
그래서 희망을 너무 많이 당신을 혼동 하지 않았다.
다음 동영상에서 볼 거 야 생각이, 오른쪽
자, 실제로 매우 간단입니다.
구현 하는 것.
그냥 당신을 생각나 게 다 어디에서 온, 내가 생각 하는 고
오른쪽 괄호를 얻었다.
이 바로 여기 우리의 아크 길이에 변화 했다.
바로 거기에 그냥 그 모든 것을
아크 길이 변경 합니다.
그리고 그 시점에서 그냥 우리의 함수의 높이입니다.
그리고 우리가 있어 그냥 합산 그것의 무한 한 합 하 고
무한히 작은 길이.
그래서 이것은 우리의 호 길이 높이 시간에 변화 했다.
이 무한히 좁은 폭을가지고 고
그들은 이러한 무한 한 수를 걸릴 거 야
이 전체 울타리의 영역을 사각형 또는
이 전체 커튼.
그리고이 정확한 정수, 우리가 무엇을 줄 것 이다
그리고 우리가 실제로 다음 동영상에 적용 됩니다.
