
Korean: 
y = f(x)를 나타내는
곡선이 있습니다
y = f(x)를 나타내는
곡선이 있습니다
그리고 여기에는 수학자들이
오랫동안 생각했던
고전 문제가 있습니다
곡선 아래의
넓이를 어떻게 구할까요?
곡선 아래
x축 위이고
두 경계 사이라고 합시다
x = a와
x = b 사이라고 하죠
경계를 그려줍니다
왼쪽 경계고
오른쪽 경계입니다
여기 이 넓이를
생각해 보고자 합니다
미적분이 없다면
아마 점점 더 나은
근사치를 구할 수 있습니다
어떻게 할까요?
이 부분을 a에서 b로 가는
여러 Δx로 나눌 수 있습니다
같은 크기의 부분일 수도 있고
아닐 수도 있습니다
여기서는 시각화를 위해
대강 같은 크기의
부분으로 나누겠습니다
이게 첫 번째고
이게 두 번째
이게 세 번째
이게 네 번째
이게 다섯 번째이고
이게  여섯 번째 부분입니다

English: 
- [Instructor] So I have a curve here
that represents y is equal to f of x,
and there's a classic problem
that mathematicians
have long thought about.
How do we find the area under this curve?
Maybe under the curve
and above the x-axis,
and let's say between two boundaries.
Let's say between x is equal
to a and x is equal to b.
So let me draw these
boundaries right over here.
That's our left boundary.
This is our right boundary.
And we want to think about
this area right over here.
Well, without calculus, you could actually
get better and better
approximations for it.
How would you do it?
Well, you could divide this section
into a bunch of delta
x's that go from a to b.
They could be equal sections or not,
but let's just say, for
the sake of visualizations,
I'm gonna draw roughly
equal sections here.
So that's the first.
That's the second.
This is the third.
This is the fourth.
This is the fifth.
And then we have the
sixth right over here.

Bulgarian: 
Имаме дадена крива,
която представя y като функция на x, т.е. y = f(x)
и това е класически проблем,
над който математиците дълго са размишлявали.
Как намираме площта под кривата?
Може би под кривата и над оста x
и, например, между две граници.
Нека да изберем между x равно на a, и х равно на b.
Нека да означим тези граници ето тук.
Това е нашата лява граница.
Това е нашата дясна граница.
И искаме да мислим за тази площ тук.
Без математическия анализ бихме могли
да получим все по-добри и по-добри приближения за площта.
Как можем да го направим?
Може да разделим този участък
на множество нараствания делта x, които се намират между a и b.
Те биха могли да бъдат еднакви участъци, или не,
но нека да изберем, за целите на онагледяването,
че ще начертая приблизително равни участъци тук.
И така, това е първият.
Това е вторият.
Това е третият.
Това е четвъртият.
Това е петият.
И така, ето тук се намира шестият.

English: 
And so each of these, this is delta x,
let's just call that delta x one.
This is delta x two.
This width right over here,
this is delta x three,
all the way to delta x n.
I'll try to be general here.
And so what we could do is,
let's try to sum up the area
of the rectangles defined here.
And we could make the height,
maybe we make the height
based on the value of the
function at the right bound.
It doesn't have to be.
It could be the value of the function
someplace in this delta x.
But that's one solution.
We're gonna go into a
lot more depth into it
in future videos.
And so
we do that.
And so now we have an
approximation, where we could say,
look, the area of each of these rectangles
are going to be f of x sub i,
where maybe x sub i is the right boundary,
the way I've drawn it, times delta x i.
That's each of these rectangles.
And then we can sum them up,

Bulgarian: 
За всеки от тези участъци, това е делта x.
Нека да означим този с делта x1.
Този е делта x2.
Това разстояние точно тук е делта х3.
и така до последният, който е делта х n.
Ще опитам да бъда внимателен тук.
И така това, което може да направим, е да се опитаме да сумираме площта
на правоъгълниците, получени тук.
Бихме могли да покажем височината,
може би да я начертаем
спрямо стойността на функцията при дясната граница.
Не е задължително да е тази стойност.
Би могла да бъде стойността на функцията
някъде в участъка на това делта х.
Но това е едно възможно решение.
Ще разгледаме това в много по-голяма дълбочина
в бъдещите уроци.
И така
правим ето това.
Сега имаме приближение, където бихме могли
да кажем, че площта, на всеки един от тези правоъгълници
ще бъде f(x) с долен индекс i,
където може би, х с долен индекс i е дясната граница,
както е означена, и умножено по делта х i.
Това е всеки един от тези правоъгълници.
И тогава може да ги съберем,

Korean: 
그리고
각각 이것이 Δx입니다
이걸  Δx_1
이건  Δx_2라고 하고
여기 길이는  Δx_3이고
Δx_n까지 있습니다
더 일반적으로 표현해 보겠습니다
여기서 해 볼 수 있는 것은
여기 정의된 직사각형의 넓이를
더하는 것입니다
그리고 높이는
그리고 높이는
오른쪽 경계의
함숫값에 기반하고요
꼭 그럴 필요는 없습니다
이 Δx 안의
어느 함숫값도 괜찮습니다
이 Δx 안의
어느 함숫값도 괜찮습니다
이건 하나의
방법일 뿐입니다
이에 대해선
이후 동영상에서
더 다뤄보겠습니다
그러면 이렇게 하고
그러면 이렇게 하고
이제 근사를 만들었습니다
이 각각의 사각형은
x_i가 오른쪽 경계일 때
f(x_i)Δx_i입니다
x_i가 오른쪽 경계일 때
f(x_i)Δx_i입니다
x_i가 오른쪽 경계일 때
f(x_i)Δx_i입니다
이건 각각의 직사각형입니다
그리고 이를 모두 더하면

Korean: 
이 넓이의 근사치를
구할 수 있습니다
그리고 유한한 수를 사용한다면
Δx를 더 작게 만들어
더 정확해질 수 있습니다
Δx를 더 작게 만들어
더 정확해질 수 있습니다
그렇게 이런
직사각형이 더 많아지면
여기에선 i가
1에서 n까지입니다
여기에선 i가
1에서 n까지입니다
여기에선 i가
1에서 n까지입니다
Δx가 점점 더 얇아지고
Δx가 점점 더 얇아지고
n은 점점 커지면 어떻게 될까요?
Δx가 무한소에 가까워질수록
n은 무한대에 가까워집니다
이제 무언가 느껴지실 겁니다
n이 무한대에
가까워질 때의 값
n이 무한대에
가까워질 때의 값
혹은 Δx가
아주 아주 작아질 때의 값을
생각할 수 있습니다
그리고 n이 무한대에
가까워지며
근사값이 점점 더
정확해지는 것이
적분법의 기초가 되는 개념입니다
이걸 적분법이라고 하는 이유는

Bulgarian: 
и това би ни дало приближение на площта.
Но, доколкото използваме крайно число,
бихме могли да кажем, че винаги може да изчислим площта по-добре,
избирайки интервалите делта х по-малки,
и по този начин, чрез получаване на повече от тези правоъгълници
или стигайки до случай, където започваме от
i равно на 1
до i равно на n.
Това, което се случва е, че делта х
става все по-тесен и по-тесен,
а броят n става все по-голям и по-голям,
като делта х става безкрайно малък,
и тогава броят n се доближава до безкрайност.
Може би вече предполагаш нещо,
т.е. че може да мислим за границата,
както може да я наречем, когато n се доближава до безкрайност,
или границата за делта х,
става много, много, много, много малка.
И това понятие за получаване на по-добри и по-добри приближения,
когато намираме границата, при n доближавайки се до безкрайност,
е основната идея на интегралното смятане.
И се нарича интегрално смятане,

English: 
and that would give us an
approximation for the area.
But as long as we use a finite number,
we might say, well, we
can always get better by
making our delta x's smaller
and then by having more
of these rectangles,
or get to a situation
here we're going from
i is equal to one
to i is equal to n.
But what happens is delta x
gets thinner and thinner and thinner,
and n gets larger and larger and larger,
as delta x gets infinitesimally small
and then as n approaches infinity.
And so you're probably sensing something,
that maybe we could think about the limit
as we could say as n approaches infinity
or the limit as delta x
becomes very, very, very, very small.
And this notion of getting
better and better approximations
as we take the limit as
n approaches infinity,
this is the core idea
of integral calculus.
And it's called integral calculus

Korean: 
중점적으로 사용하는 연산이
무한소로 작은 것을
무한히 더하는 것이며
무한소로 작은 것을
무한히 더하는 것이며
이것이 적분이기 때문입니다
이경우 이건
a에서 b까지의 적분입니다
이경우 이건
a에서 b까지의 적분입니다
곧 더 배우겠지만
이건 f(x)의 정적분입니다
이건 f(x)의 정적분입니다
여기 비슷한 점을
볼 수 있습니다
여기 적분 부호가
시그마 부호와 비슷합니다
모두 합을 나태내는데
이산인 개수의 것을
더하는 대신
무한히 얇은 것을
무한히 많이 더합니다
무한히 얇은 것을
무한히 많이 더합니다
Δx 대신 dx가 있습니다
무한소로 작은 것을 나타내죠
이것이 적분의 표현법입니다
여기 이것이 적분 부호입니다
미적분에서 이것이
흥미로운 점은
극한의 개념이
들어 있을 뿐만 아니라
더 유용한 점은
미분과 연결되어 있다는 점이고
이는 수학에서 가장
아름다운 것 중 하나입니다

English: 
because the central operation we use,
the summing up of an infinite number
of infinitesimally thin things
is one way to visualize it,
is the integral,
that this is going to be the integral,
in this case, from a to b.
And we're gonna learn in a lot more depth,
in this case, it is a
definite integral of f of x,
f of x, dx.
But you can already
see the parallels here.
You can view the integral
sign as like a sigma notation,
as a summation sign, but
instead of taking the sum
of a discrete number of things
you're taking the sum of an infinitely,
an infinite number,
infinitely thin things.
Instead of delta x, you now have dx,
infinitesimally small things.
And this is a notion of an integral.
So this right over here is an integral.
Now what makes it interesting to calculus,
it is using this notion of a limit,
but what makes it even more powerful
is it's connected to the
notion of a derivative,
which is one of these beautiful
things in mathematics.

Bulgarian: 
защото за основната операция, която се използва, т.е.
сумирането на безкраен брой,
от безкрайно малки и тесни неща, има един начин да се онагледи,
е интегралът,
който ще бъде интегралът,
в този случай, от a до b.
И ще научим в много по-голяма дълбочина,
в този случай, че това е определен интеграл от f(x),
или f(x), dx
Но тук вече могат да се открият съответствия.
Знакът за интеграл може да бъде разглеждан и като означение сигма,
като знак за сума, но вместо намиране на сумата
на краен брой елементи,
се намира сумата на безкраен брой,
безкрайно число, безкрайно малки неща.
Вместо делта x, сега имаме dx,
безкрайно малки елементи.
И това е знакът за интеграл.
И така, това точно тук, е интеграл.
Това, което го прави интересен за висшата математика,
е употребата на това означение за граница,
но това, което го прави дори още по-значим,
че е свързан с означението за производна,
която е едно от онези красиви неща в математиката.

Korean: 
미적분학의 기본정리에서
보겠지만
적분의 개념은
미분의 개념과 아주
가까이 연결되어 있고
사실 부정적분의 개념은
미분학에서 본 문제들에서
어떤 함수가 있으면
그 도함수를 구할 수 있었다면
어떤 함수가 있으면
그 도함수를 구할 수 있었다면
적분학에서는
도함수에서 시작해
적분을 통해 부정적분을 
구하는 경우가 많습니다
적분을 통해 부정적분을 
구하는 경우가 많습니다
적분을 통해 부정적분을 
구하는 경우가 많습니다
도함수의 원래 함수를 말이죠
보게 되겠지만
이 모두가 연결되어 있습니다
곡선 아래의 넓이란 개념과
무한히 작은 것을 무한히
많이 더하는 것의 극한의 개념
무한히 작은 것을 무한히
많이 더하는 것의 극한의 개념
부정적분의 개념은
적분학을 배우다 보면
다 연결됩니다

Bulgarian: 
При фундаменталната теорема на математическия анализ ще забележим,
че интегрирането, означението за интеграл,
е тясно свързано с означението за производна,
и всъщност, и с означението за анти-производна.
В диференциалното смятане разгледахме задача от вида,
дадена е функция, може да вземем производната й,
и може да намерим производната на функцията.
При интегралното смятане се извършва много от следното,
ако е дадена производната,
можем ли да намерим начин,
чрез интегриране,
да изчислим нейната анти-производна,
или функцията, чиято производна е известна.
Както ще видим, всички тези действия са свързани.
Идеята за намиране на площ под крива,
идеята за граница,
за сумиране на безкраен брой от безкрайно малки елементи,
тесни елементи, и означението за анти-производна,
всички те са част от нашето пътуване, в интегралното смятане.

English: 
As we will see in the
fundamental theorem of calculus,
that integration, the
notion of an integral,
is closely, tied closely to
the notion of a derivative,
in fact, the notion of an antiderivative.
In differential calculus,
we looked at the problem of,
hey, if I have some function,
I can take its derivative,
and I can get the
derivative of the function.
Integral calculus, we're
going to be doing a lot of,
well, what if we start
with the derivative,
can we figure out
through integration,
can we figure out its antiderivative
or the function whose derivative it is?
As we will see, all of these are related.
The idea of the area under a curve,
the idea of a limit
of summing an infinite
number of infinitely things,
thin things, and the notion
of an antiderivative,
they all come together in our
journey in integral calculus.
