
English: 
(Thanks to Karl for the 2019 Easter egg idea :) Welcome to the 2019 Mathologer Christmas
video. In this video we'll investigate
that famous and amazing formula over
there PI over 4 is equal to 1 minus 1/3
plus 1/5 minus 1/7 and so on. It's
usually called a Leibniz formula after
Gottfried Wilhelm Leibniz one of the
genius inventors of calculus. Sadly, like
many other results in mathematics, the
formula was not discovered by the
mathematician it's named after, at least
not first of all. In this case, Leibniz's
formula was first discovered by the
indian mathematician Madhava of
Sangamagrama in the 14th century, more
than 200 years before Leibniz. Anyway
this formula is definitely very
beautiful. At the same time it's very
mysterious. Think about it, pi is of course
a circle thing to do with

French: 
(Merci à Karl pour l'idée de l'œuf de Pacques 2019 :) Bienvenue dans cette vidéo de Noël de Mathologer. Dans cette vidéo nous allons explorer
la célèbre et stupéfiante formule ci-dessus : π sur 4 égale 1 moins 1/3
plus 1/5 moins 1/7 etc. Elle est connue d'habitude sous le nom de formule de Leibnitz, en référence à
Gottfried Wilhelm Leibniz, l'un des inventeurs géniaux de l'analyse. Hélas, comme
beaucoup d'autres résultats en mathématiques, cette formule ne fut pas découverte par le
mathématicien dont elle porte le nom, du moins pas en premier. Ici, la formule de Leibniz fut découverte
par le mathématicien indien Madhava de
Sangamagrama au 14ème siècle, plus de 200 ans avant Leibniz. Quoiqu'il en soit
cette formule est assurément très belle. Et en même temps, très mystérieuse.
Réflechissez : π est évidemment quelque chose en rapport avec

Romanian: 
(Mulțumesc lui Karl pentru ideea oului de Paște din 2019 :) Bun venit la video-ul de Crăciun 2019 al Mathologer.
În acest video, vom investiga faimoasa și uimitoarea formulă de aici: pi supra 4 este egal cu 1 minus 1/3
plus 1/5 minus 1/7 și așa mai departe. Este, de obicei, numită formula Leibniz după
Gottfried Wilhelm Leibniz, unul dintre inventatorii geniali ai calculului diferențial.
Din păcate, ca multe alte rezultate din matematică,  formula nu a fost descoperită de către
matematicianul după care este denumită, cel puțin nu prima dată. În acest caz,
formula lui Leibniz a fost descoperită mai întâi de matematicianul indian Madhava de Sangamagrama
în secolul 14, cu mai mult de 200 de ani înaintea lui Leibniz.
Oricum, această formulă este, cu siguranță, foarte frumoasă. În același timp, este foarte misterioasă.

English: 
conferences and diameters and stuff. On
the other hand, our formula is stitched
together from the odd numbers, without a
circle in sight anywhere.
However, and hardly anybody knows this,
when you look hard enough you can find a
huge circle hiding within this iconic
formula. The first time I stumble across
this wonderful connection was over 40
years ago in a book by mathematical
megastar David Hilbert and his colleague
Stefan Cohn-Vossen. This book "Anschauliche Geometrie" (German)
or "Geometry and the
imagination" in English is a popular
account of modern geometry. If you're not
familiar with this book, definitely check
it out. An absolute must-read. In their
book Hilbert and Cohn-Vossen show how
the Leibniz Madhava formula follows from
the area formula of the circle. And the
key to the ingenious argument is a
result known as Fermat's Christmas theorem.

French: 
les circonférences, les diamètres, etc, des cercles.  D'un autre côté notre formule est
un assemblage (ndt : est tissée) de nombres impairs, sans aucun cercle en vue. Bizarre, hein ?
Néanmoins, et presque personne ne le sait, quand on la regarde assez attentivement on peut trouver
un immense cercle dans cette formule emblématique. La première fois que je suis tombé sur
cette merveilleuse connexion c'était il y a plus de 40 ans dans un livre de la superstar mathématique
David Hilbert et de son collègue Stefan Cohn-Vossen. Ce livre "Anschauliche Geometrie" (en allemand)
ou "Géométrie et imagination" en français, est un célèbre
aperçu de géométrie moderne. Si vous n'êtes pas familier de se livre, jetez-y un œil absolument.
Une lecture indispensable. Dans leur livre Hilbert et Cohn-Vassen montrent comment
la formule de Leibniz Madhava découle de celle de l'aire du cercle.
Et la clé de l'argument astucieux est un résultat connu sous le nom de théorème de Noël de Fermat.

Romanian: 
Gândiți-vă, pi este, desigur, un aspect al cercului, are de a face cu circumferințe și diametre și alte asemenea.
Pe de altă parte, formula noastră este alcătuită din numere impare, fără a fi vizibil undeva vreun cerc.
Ciudat, nu-i așa? Ha ha...
Totuși, și puțini știu asta, când te uiți destul de bine, poți găsi un cerc uriaș care se ascunde în această formulă.
Prima dată când m-am lovit de
această minunată legătură a fost acum peste 40 de ani într-o carte a
megastarului matematician David Hilbert și a colegului său Stefan Cohn-Vossen. Această carte, "Anschauliche Geometrie"
sau "Geometria și imaginația" în engleză este o istorisire
populară a geometriei moderne. Dacă nu sunteți familiari cu această carte, trebuie cu siguranță să o vedeți.
O carte neapărat de citit. În cartea lor, Hilbert și Cohn-Vossen arată cum
formula Leibniz-Madhava reiese din formula ariei cercului.
Iar cheia pentru acest ingenios argument este un rezultat cunoscut ca teorema de Crăciun a lui Fermat.

French: 
Quel merveilleuse accroche pour une vidéo de Noël, n'est-ce pas ? Avant d'entrer dans
les détails, il y a une propriété de notre formule qui va être très importante et dont
je voudrais que vous la gardiez à l'esprit. Dans la formule de Leibniz-Madhava
les dénominateurs sont 1, 3, 5, 7, etc. Ce sont juste les nombres impairs.
On peut regrouper ces nombres en deux classes
correspondant aux termes négatifs et positifs de cette somme. Dans
ce qui suit j'appellerai les nombres verts 1, 5, 9, etc "bons" et les
autres nombres impairs 3, 7, 11, etc "mauvais". Vous verrez plus tard pourquoi.
OK,  commençons avec le plan muni d'un repère, marquons tous les points de coordonnées entières pour
former un réseau, et traçons un cercle centré à l'origine.

Romanian: 
Ce conexiune extraordinară pentru un video de Crăciun, nu credeți? Acum, înainte de a intra în
detalii, există o caracteristică a formulei noastre care va fi foarte importantă și
pe care aș dori să o păstrați în minte. În formula Leibniz-Madhava,
numitorii sunt unu, trei, cinci, șapte, etc., acestea sunt doar numere impare.
Putem să ne gândim la aceste numere ca fiind despărțite în două clase
corespunzând termenilor negativi și pozitivi ai seriei.
În continuare voi numi numerele verzi unu, cinci, nouă, etc. "bune" și
restul de numere impare trei, șapte, unsprezece etc. "rele". Veți vedea de ce mai târziu.
Bine, hai să începem cu planul xy, să marcăm toate punctele cu coordonate întregi
pentru a forma o latice și să desenăm un cerc cu centrul în origine.

English: 
What a great hook for a Christmas video,
don't you think? Now before we get into
the details there's a feature of our
formula that will be very important and
that I'd like you to keep in the back of
your mind. In the Leibniz-Madhava
formula the denominators are one, three,
five, seven, etc. that's just the odd
numbers. We can think of these numbers as
being split into two classes
corresponding to the negative and the
positive terms of the series. In the
following I'll call the green 
numbers one, five, nine etc. "good" and the
remaining odd numbers three, seven, eleven
etc. "bad". You'll see why later. Okay, let's
start with the xy-plane, highlight all
the points with integer coordinates to
make a lattice and draw a circle
centered at the origin.

English: 
Now count the lattice points within the
circle. That number will be approximately
the area of our circle. Why? Because each
point is the center of a little unit
square and then the total area of the
circle is approximately the sum of the
areas of those squares. So pi r squared
the area of the circle is approximately
equal to N(r), the number of those
lattice points. Does this look familiar?
Most of us would have done something
like this in primary school: draw a
squiggly loop on grid paper and estimate
the area within the loop by counting
the number of squares inside. Back
to the circle on our grid, solving for pi
gives an approximation to our favorite
number, there. In the example here the
radius is 7 and the number of points is
149 and 7 squared is 49. So we have pi is

French: 
Comptons maintenant le points du réseau intérieurs au cercle. Leur nombre sera environ égal à
l'aire du cercle. Pourquoi ? Parce que chaque point est le centre d'un petit carré unité
et que l'aire totale du cercle est donc à peu près égale à à la somme des
aires de ces cercles. Donc π r carré, l'aire du cercle, est environ
égale à N(r), le nombre de ces points du réseau. Ça vous semble familier ?
La plupart d'entre nous ont fait quelque chose comme ça à l'école primaire : tracer une
boucle tordue sur du papier quadrillé et estimer l'aire dans la boucle en comptant
le nombre de carrés à l'intérieur. Revenons au cercle sur notre grille, résoudre avec π
donne une approximation de notre nombre préféré, ici. Dans cet exemple
le rayon est 7 et le nombre de points est 149 et 7 au carré fait 149. Nous avons donc que π est

Romanian: 
Acum numărați punctele laticei din interiorul cercului. Acel număr va fi aproximativ
aria cercului nostru. De ce? Pentru că fiecare punct este centrul unui mici pătrat unitate
și apoi aria totală a cercului este aproximativ egală cu suma
ariilor acelor pătrate. Deci pi ori r la pătrat, aria cercului este aproximativ
egal cu N(r), numărul acelor puncte de latice. Vă pare familiar acest lucru?
Mulți dintre noi ar fi făcut ceva asemănător în școala primară: desenați
o curbă închisă oarecare pe hârtie milimetrică și estimați aria din interiorul curbei numărând
numărul de pătrate din interior. Înapoi la cercul din laticea noastră, calculul lui pi
ne dă o aproximare a numărului nostru favorit, aici. În exemplul de aici, the
raza este 7 și numărul de puncte este 149 și 7 la puterea a doua este 49. Deci avem că pi este

Romanian: 
aproximativ 149 împărțit la 49 care este egal cu 3,0408.
Ei bine, nu este o aproximare extraordinară, dar nu este nici rea. Cel puțin cifra unităților
3 este corectă acolo. Bine, putem să facem ceva mai mult? Pot să văd că
dați din cap și căscați, așa că hai să mergem mai departe și să privim de sus. Acum, alegând un
cerc mai mare face aria albastră mai circulară și apoi rezultă într-o
aproximare mai bună a lui pi. Din nou... chiar și mai bine. Acum, împingând raza r
la 1000, ne dă o aproximare corectă până la primele 4 zecimale faimoase:
3,1415. Și împingându-l pe r până la infinit, semnul de aproximare se transformă
într-un semn de egalitate. Și aceasta este provocarea pentru voi: găsiți o demonstrație scurtă
că rezultă egalitate la limită. Ca de obicei, vă dau idei în comentarii.

English: 
approximately 149 divided by 49 which is
equal to three point zero four zero eight
Well not a great approximation but
not bad either. At least the leading
three is right there
Okay can we do better? I can see you
nodding and yawning and so let's get on
with it and zoom out. Now, choosing a
larger circle makes the blue area more
circulars and then also results in a
better approximation of pi. Go again ... even
better. Now pushing the radius r
to 1,000 gives an approximation correct
to those first four famous decimals:
3.1415. And pushing r all the way out
to infinity the approximate sign turns
into an equal sign. And that's a
challenge for you: find a short proof
that we get equality in the limit. As
always give you ideas in the comments.

French: 
environ égal à 149 divisé par 49, qui fait 3,048...
Bon, ce n'est pas une approximation formidable mais ce n'est pas mal non plus. Au moins le premier
3 est bien là. OK, peut-on faire mieux ? Je vous vois
opiner et bailler donc allons-y et dé-zoomons.
Maintenant, en prenant un cercle plus grand
l'aire bleue devient plus circulaire, et donne aussi une meilleure approximation de π.
Continuons... encore mieux. Maintenant, en faisant passer le rayon r sous 1000
on obtient une approximation correcte jusqu'à ces célèbres quatre premières décimales : 3.1415.
Et en faisant tendre r vers l'infini la valeur approchée devient
une valeur exacte. Et ceci est un défi pour vous : trouvez une preuve courte du fait
que vous obtenez cette égalité à la limite. Comme toujours, mettez vos idées dans les commentaires.

French: 
Et ensuite ? Eh bien, nous sommes sensés nous diriger vers
la formule de Leibniz Madhava. Donc si nos jeux de réseau et de cercle doivent nous aider
ce ne pourra être qu'en trouvant une autre façon de calculer le nombre N(r).
OK, concentrons-nous sur un point du réseau. Oui, celui-ci.
Les coordonnées des points du réseau sont des entiers et la distance d'un point
à l'origine est inférieure ou égale au rayon du cercle, n'est-ce pas ? Et avec
Pythagore qui nous regarde dans cette figure, on peut résumer toutes les
informations comme ceci : 5 au carré plus 3 au carré égale d au carré, qui
est inférieur ou égal à r carré. Et dans le cas de ce réseau 5 au carré plus 3 au carré égale 34
et bien sûr r carré égale... 49.
Cela signifie qu'une façon possible de compter le nombre de points dans le cercle est la suivante :

English: 
What comes next?
Well we're supposed to be heading for
the Leibniz Madhava formula. So if our
circle lattice games are going to help
this has to happen by finding some other
way to calculate the numbers N(r).
Okay, let's focus on one of the lattice
points that one there yeah. The
coordinates of the lattice points are
integers and a distance of the point
from the origin is less than or equal to
the radius of the circle, right? And with
the Pythagoras that is staring at us in
the diagram we can summarize all this
information like this: five squared plus
three squared equal to d squared which
is less or equal to r squared. And in the
case of this lattice point five squared
plus three squared equals 34 and of
course r squared equals 49. This means
that one way to count the number of
points in the circle is to do this: first

Romanian: 
Ce urmează acum? Ei bine, noi trebuia să ne îndreptăm către
formula Leibniz-Madhava. Deci dacă jocurile noastre cu laticea și cercul ne vor ajuta,
aceasta trebuie să se întâmple prin găsirea unei alte modalități de a calcula numerele  N(r).
Bine, hai să ne concentrăm pe unul din punctele laticei, pe acela.
coordonatele punctelor laticei sunt numere întregi și o distanță a punctului
față de origine este mai mică sau egală cu raza cercului, corect?
Și cu teorema lui Pitagora care se uită la noi în diagramă putem sumariza toată această
informație astfel: 5 la pătrat plus 3 la pătrat este egal cu d la pătrat care
este mai mic sau egal cu r pătrat. Și în cazul acestui punct al laticei 5 la pătrat
plus 3 la pătrat este egal cu 34 și, desigur, r pătrat este egal cu 49. Aceasta înseamnă
că o modalitate de a număra numărul de puncte din cerc este de a face asta:

Romanian: 
întâi scriem toți întregii de la 0 la 49, apoi pentru fiecare număr din listă
găsim toate modurile diferite de a scrie acest număr ca sumă de două
pătrate întregi. În final, numărul total al tuturor acestor
moduri diferite este numărul pe care îl căutăm, numărul de puncte albastre ale laticei.
Pentru a vedea cum funcționează asta, hai să găsim modurile diferite de
a scrie primele câteva numere în lista noastră ca sume de două pătrate întregi.
Bine, 0 este primul. Câte moduri există de a scrie 0 ca sumă de două pătrate întregi?
Hmm, ei bine, desigur există doar un singur mod.
Această ecuație corespunde cu punctul de origine cu coordonatele (0, 0).
Cum putem scrie 1? Ei bine, există evident doar aceste 4 moduri diferite, corespunzând
cu 4 dintre punctele laticei. Apoi, numărul 2 poate fi scris și el ca

French: 
premièrement on compte tous les entiers de 0 à 49, ensuite pour tout nombre de notre liste on
examine toutes les façons différentes d'écrire ce nombre comme somme de deux carrés entiers.
Enfin le nombre total de ces façons différentes
est le nombre qu'on cherche, le nombre de points bleus.
Pour sentir comment ça marche, examinons les différentes façons
d'écrire quelques nombres de notre liste comme somme de deux carrés entiers.
OK, d'abord 0. De combien de façons peut-on écrire 0 comme somme de deux carrés entiers ?
Hmm, eh bien, évidemment, d'une seule façon.
Cette équation correspond au point origine, de coordonnées (0,0).
Qu'en est-il pour 1 ? Il n'y a évidemment que quatre façons différentes, qui correspondent
à ces quatre points du réseau. Ensuite le nombre 2 peut aussi s'écrire comme quatre

English: 
we list all the integers from 0 to 49
then for every number in our list we
figure out all the different ways to
write this number as a sum of two
integer squares.
Finally the total number of all these
different ways is the number we're after,
the number of blue lattice points. To get
a feel for how this works,
let's figure out the different ways to
write the first few numbers in our list
as sums of two integer squares. Okay
0 is first. How many ways are there to
write 0 as a sum of two integer squares?
Hmm well of course there's just one such
way.
This equation corresponds to the origin
the point with coordinates (0, 0). What
about 1? Well there's obviously just
these four different ways, corresponding
to four of the lattice points. Next the
number 2 can also be written as four

French: 
sommes différentes, correspondant à quatre points. Et pour 3, combien de façons ?
Hmmm, en fait, aucune ! Et maintenant 4. Il y a aussi quatre possibilités à nouveau. Pour 5 il y en a
huit, et ainsi de suite. La recherche des façons d'écrire un entier comme
somme de carrés entiers a une longue longue histoire et je pourrais passer
une paire de vidéos à ne parler que de ça. Mais pour l'instant notez simplement qu'à cause de
la symétrie de la figure, le nombre de façons d'écrire notre
entier comme somme de deux carrés entiers est toujours un multiple de 4 : zéro façons,
4 façons, 8 façons, 12 façons, et ainsi de suite. La seul exception est 0.
qui correspond au centre de la figure, et qui peut s'écrire d'une seule façon.
Maintenant, vous rappelez-vous ce que je vous ai demandé de garder à l'esprit ?
Vous rappelez-vous ma façon de séparer les nombres impairs en deux groupes, les bons et

Romanian: 
4 sume diferite, corespunzând cu 4 puncte. Dar 3 în câte moduri se poate scrie?
Hmm, de fapt, niciunul? Și apoi 4. Sunt din nou 4 moduri. Pentru 5 sunt
8 moduri doferite, și așa mai departe. Găsirea modurilor de scriere a întregilor
ca sume de pătrate întregi are o istorie foarte lungă și aș putea
face câteva video-uri doar vorbind despre acest subiect. Dar pentru acum notați doar că datorită
simetriei inerente din diagramă, numărul de moduri de scriere
a întregilor noștri ca sumă de două pătrate întregi este întotdeauna multiplu de 4: zero moduri
4 moduri, 8 moduri, 12 moduri, și așa mai departe. Singura excepție este 0
corespunzând punctului din mijlocul diagramei, care poate fi scris
într-un singur mod. Acum, vă aduceți aminte faptul pe care v-am rugat să îl rețineți?
Vă aduceți aminte modul meu de a despărți numerele impare în unele bune și

English: 
different sums, corresponding to four
points. What about 3 how many ways?
Hmmm, actually, none! And then 4. There
are also four ways again. For 5 there are
eight different ways, and so on. Figuring
out the ways of writing integers as the
sums of integers squares has a long long
history and I could actually spend a
couple of videos just talking about this
topic. But for now just note that because
of the symmetry inherent in the diagram
the number of ways of writing our
integers as a sum of two integer squares
is always a multiple of 4: zero ways
4 ways, 8 ways, 12 ways, and so
on. The one exception is 0
corresponding to the point in the middle
of the diagram, which can be written in
only one way. Now remember the fact that
I asked you to keep in the back of your
mind? Remember my way of splitting up the
odd numbers into the good ones and the

English: 
bad ones?
Well that was to prepare you for a
stunningly beautiful theorem. This
theorem expresses the number of ways of
writing a positive integer as a sum of
two integer squares in terms of ... the
good and the bad odd factors of that
integer. For the moment I'll just
introduce and apply this theorem later
after we've successfully chased down the
Leibniz-Madhava formula I'll tell you
more about the theorem, including the
Christmas connection. Okay I'll tell you
what the theorem says using the number
18 as an example. The odd factors of 18
are 1, 3 and 9, as you can see up there. 1
and 9 are good and 3 is bad. Now you
simply go number of good ones minus
the number of bad ones and then you
times the resulting number by 4. Then

French: 
les mauvais ? Eh bien c'était pour vous préparer à un
superbe théorème. Ce théorème exprime le nombre de façons
d'écrire un entier positif comme somme de deux carrés entiers en termes de...
les bons et les mauvais facteurs impairs de cet entier. Pour le moment je vais juste
introduire et appliquer ce théorème. Plus tard, quand nous aurons retrouvé avec succès
la formule de Leibniz-Madhava je vous en dirai plus sur ce théorème, y compris
son lien avec Noël. OK, je vais vous montrer ce que dit ce théorème pour le nombre
18 par exemple. Le facteurs impairs de 18 sont 1, 3 et 9, comme vous pouvez le voir ci-dessus.
1 et 9 sont bons et 3 est mauvais. Maintenant on pose simplement le nombre de bons, moins
le nombre de mauvais, et on multiplie le résultat par 4. Alors

Romanian: 
altele rele? Ei bine, aceasta a fost pentru a vă pregăti pentru o
teoremă uimitor de frumoasă. Această teoremă exprimă numărul de moduri
de a scrie un întreg pozitiv ca sumă de două pătrate întregi în termeni de...
factori impari buni și răi ai acelui întreg. Pentru moment, voi
introduce doar și voi aplica această teoremă mai târziu, după ce vom fi înțeles cu succes
formula Leibniz-Madhava, vă voi spune mai multe despre teoremă, inclusiv despre
legătura cu Crăciunul. Bine, vă voi arăta ce spune teorema folosind numărul
18 ca exemplu. Factorii impari ai lui 18 sunt 1, 3 și 9, așa cum puteți vedea acolo sus.
1 și 9 sunt buni și 3 este rău. Acum puteti simplu calcula: numărul de factori buni minus
numărul de factori răi și apoi înmulțiți numărul rezultat cu 4. Apoi

Romanian: 
această teoremă magică spune că numărul pe care îl obțineți în acest mod este numărul
de moduri de a scrie 18 ca sumă de două pătrate întregi. Cât de frumos este acest lucru?
Deci, pentru 18 avem doi factori buni și un factor rău, deci 2 minus 1 este egal cu 1,
înmulțit cu 4 este egal cu 4. Deci, sunt exact 4 moduri diferite de a scrie 18 ca
sumă de două pătrate întregi. Trei provocări pentru voi: prima, care sunt cele 4 moduri de
a scrie 18 ca sumă de două pătrate întregi. A doua, câte moduri diferite există
de a scrie numărul 2020 ca sumă de pătrate întregi. A treia, găsiți toate
modurile de a scrie 2020. Oricum, ce teoremă uimitor de elegantă și frumoasă,
nu sunteți de acord? Este mare păcat faptul că foarte puțini oameni ajung
să afle despre ea. Sper că asta se va schimba datorită acestui video.

English: 
this magical theorem says that the
number you get this way is the number of
ways to write 18 as the sum of two
integer squares. How pretty is that?
So for 18 we have two good factors and
one bad factor, so 2 minus 1 that's 1,
times 4 that's 4. So there are exactly
four different ways to write 18 as the
sum of two integer squares. Three challenges
for you: first what are the 4 ways to
write 18 as a sum of two integer squares.
Second how many different ways are there
to write the number 2020 as the sum of
integer squares. Third find all those
ways of writing 2020. Anyway what a
stunningly slick and beautiful theorem,
don't you agree?
A real shame that so few people ever get
to learn about it. Hopefully that will
change because of this video. But now

French: 
ce théorème magique dit que le nombre ainsi obtenu est le nombre de
façons d'écrire 18 comme somme de deux carrés entiers. N'est-ce pas joli ?
Pour 18 nous avons donc deux bons facteurs et un mauvais facteur, donc 2 moins 1 qui fait 1,
fois 4 égale 4. Il y a donc exactement quatre façons différentes d'écrire 18 comme
somme de deux carrés entiers. Trois défis pour vous : premièrement quelles sont les 4 façons
d'écrire 18 comme somme de deux carrés entiers. Deuxièmement, de combien de façons différentes
peut-on écrire le nombre 2020 comme somme de carrés entiers. Troisièmement trouver toutes ces
façons d'écrire 2020. Quoiqu'il en soit, quel théorème superbement astucieux et beau,
n'est-ce pas ? Il est vraiment dommage que si peu de gens aient une chance
d'en entendre parler. Espérons que cela changera avec cette vidéo. Mais maintenant

English: 
think about the theorem 4(good - bad)
doesn't this already feel kind of "Leibnizy".
There's a telltale 4 at the top
and at the bottom and the bad odd
numbers get subtracted from the good
ones in both expressions. The plot is
definitely thickening. So what comes next?
Well you've probably already guessed it.
We'll now calculate the number of lattice
points using our 4(good - bad)
formula. For that let's return to the
radius 7 circle. So what we have to
do is to calculus 4(good - bad)
for each integer from 1 to 49, sum all
the numbers we get and then a final plus
1 for the point at the origin. Can we do
this in a systematic manner? Yep, easy
peasy :) But to be able to isolate and
really appreciate a trick that will give
us our mysterious pi formula, let's be

Romanian: 
Dar acum gândiți-vă la teoremă: 4*(bune - rele), nu sună deja puțin în genul lui Leibniz?
Există ca indiciu cifra 4 în expresia de sus și de jos și numerele impare rele
sunt scăzute din numerele bune în ambele expresii. Scenariul devine
din ce în ce mai evident. Deci, ce urmează? Probabil că deja ați ghicit.
Vom calcula acum numărul de puncte ale laticei folosind formula 4*(bune - rele).
Pentru aceasta să ne întoarcem la cercul cu raza 7. Deci, ceea ce trebuie
să facem este să calculăm 4*(bune - rele) pentru fiecare întreg de la 1 la 49, să însumăm toate
numerele pe care le obținem și să adăugăm un final plus 1 pentru punctul din origine. Putem face
asta într-o manieră sistematică? Da, floare la ureche :) Dar ca să fim capabili să izolăm și
să apreciem cu adevărat un truc care ne va da formula noastră misterioasă a lui pi, hai să fim

French: 
pensez au théorème 4(bons - mauvais). Ne vous parait-il pas déjà quelque peu "Leibnizien" ?
Il y a un 4 révélateur en haut et en bas, et les mauvais entiers
impairs sont soustraits des bons dans les deux expressions.
Le mystère s'épaissit. Et ensuite ? Eh bien, vous l'avez probablement deviné.
Nous allons maintenant calculer le nombre de points du réseau à l'aide de notre formule 4(bons - mauvais).
Pour cela revenons au cercle de rayon 7. Il nous faut
calculer 4(bons - mauvais) pour chaque entier entre 1 et 49, additionner tous
ces nombres et enfin rajouter 1 pour le point à l'origine.
Peut-on faire cela d'une manière systématique ? Yep, un jeu d'enfant :) Mais pour pouvoir isoler et
apprécier vraiment une astuce qui va nous donner notre mystérieuse formule pour π, soyons

Romanian: 
super sistematici. Uitați-vă la aceste tabele vectoriale cu impare bune și rele.
Numerele de la 1 la 49 sunt sus, imparele bune sunt listate aici
și imparele rele sunt listate jos. Și bulinele indică al cui este factorul impar.
De exemplu, această bulină de aici indică faptul că numărul bun 5 este un factor al lui 10. Destul
de simplu, corect? Și acum doar le adunăm. Începem cu 1 de sus.
Numărul de buline verzi aici minus numărul de buline portocalii aici, deci avem 1
minus 0 care dă 1. Pentru 2 obținem iarăși 1 minus 0 care este egal cu 1. Și pentru 3 obținem 1
minus 1, deci 0. Și acum continuăm până jos la 49, adunând toate aceste

English: 
super systematic. Have a look at these
good odds and bad odds vector tables.
The numbers from 1 to 49 are at the top,
the good odd numbers are listed here and
the bad odd numbers are listed below. And
the dots indicate who is a factor of who.
For example, this dot here indicates that
the good 5 is a factor of 10. Pretty
straightforward, right? And now we just
tally up. Start with 1 up there. The
number of green dots here minus the
number of orange dots here, so that's 1
minus 0 which is 1. For 2 we get again 1
minus 0 equals 1. And for 3 we get 1
minus 1 so 0. And now continue all the
way up to 49, adding up all those

French: 
super-systématique. Jetez un œil à cette table de bons et mauvais nombres impairs.
Les nombres de 1 à 49 sont en haut, les bons nombres impairs sont énumérés ici et
les mauvais nombres impairs sont dessous. Et les points indiquent qui est facteur de qui.
Par exemple, le point ici indique que le bon 5 est facteur de 10.
Facile, n'est-ce pas ? Et maintenant il suffit de compter. Commencez par le 1 là haut.
Le nombre de points verts ici moins le nombre de points orange là, ça fait donc 1
moins 0, qui fait 1. Pour 2 on obtient à nouveau 1 moins 0 égale 1. Et pour 3 on obtient 1
moins 1, donc 0. Continuez ainsi jusqu'à 49. En additionnant toutes ces

French: 
différences, on obtient 37. Multiplier par 4 donne alors 148, plus 1, pour un total de 149.
Et 149 est le nombre de point du réseau que nous avons trouvé précédemment. OK, maintenant
une façon légèrement plus efficace de calculer ce crucial nombre 37 est
simplement d'additionner d'abord tous les les points verts, puis tous les points orange,
et de soustraire ensuite les orange des verts. Mais maintenant arrive l'astuce. Il s'avère qu'il est
beaucoup, beaucoup plus facile de calculer les totaux verts et jaunes en comptant ligne par ligne
plutôt que colonne par colonne comme nous l'avons fait. Ceux d'entre vous qui sont parvenus
au bout de notre récente vidéo monstre sur Euler-Maclaurin se souviennent peut-être que nous
avons utilisé là-bas une astuce similaire.
Voyons comment cela fonctionne. Combien y a-t-il de points verts sur la première ligne ?
Faut-il en faire un défi ? Évidemment, 1 est facteur de tout nombre entier positif et donc

English: 
differences gives 37. Then multiplying by
4 gives 148 plus 1 for a grand total of
149. And 149 is the number of lattice
points we found earlier. Ok, now a
slightly more efficient way of
calculating that critical number 37 is
to just first adding up all the green
dots and then all the orange dots and
then subtracting orange from green. But
now comes the trick. It turns out to be
much, much easier to calculate the green
and orange totals by tallying row by row
instead of column by column as we've done
so far. Those of you who've made it
through our recent monster Euler-Maclaurin video may remember that we
used a similar trick there.
Let's see how this works. How many green
dots are in the first row. Well, shall
I make it a challenge? Obviously, 1 is
a factor of every positive integer and so

Romanian: 
diferențe obținem 37. Apoi înmulțind cu 4 obținem 148 plus 1 ne dă un total general de
149. Iar 149 este numărul de puncte de latice pe care l-am găsit mai devreme.
Bine, acum o metodă puțin mai eficientă de a calcula acel număr critic 37 este
să adunăm toate bulinele verzi și apoi toate bulinele portocalii și
apoi să scădem cele portocalii din cele verzi. Dar aici vine trucul. Se pare este că este
mult, mult mai ușor să calculăm totalurile verzi și portocalii adunând linie cu linie
decât coloană cu coloană, așa cum am făcut până acum. Cei dintre voi care ați reușit să treceți
prin recentul video monstru despre Euler-Maclaurin poate vă amintiți că
am folosit un truc similar acolo.
Hai să vedem cum funcționează. Câte buline verzi sunt în prima linie? Ei bine,
să o transform într-o provocare? Evident, 1 este un factor al oricărui întreg pozitiv și

French: 
il y a 49 points sur la première ligne. Maintenant notre deuxième bon nombre est 5. Combien de points
sur cette ligne ? Eh bien, ces points sont régulièrement espacés, ce qui est agréable, juste,
et correspond à tous les multiples de 5 inférieurs à 49. Combien y en a-t-il ?
Eh bien, simplement 49 divisé par 5, arrondi inférieurement. On l'appelle la partie entière de 49 sur 5
et on la note avec des crochets autour de la fraction. Pour la
ligne suivante on obtient 49 divisé par le bon nombre suivant, donc la partie entière de 49 divisé par 9
et ainsi de suite. Il est temps de récapituler/emballer la preuve.
OK, donc le nombre N(7) de points du réseau est 4 fois le nombre total de
points verts moins le nombre total de points orange plus 1, et avec notre nouvelle

English: 
there are 49 dots in the first row. Now
our second good number is 5. How many
dots in that row? Well those dots are
equally spaced which is nice, right,
corresponding to all the multiples of
five below 49. So how many are there? Well
that's simply 49 divided by 5, rounded
down. That's called the integer part of 49
divided by 5 and we denote it with square
brackets around a fraction. For the next
row we get 49 divided by the next good
number so the integer part of 49 divided
by 9, and so on. Time to wrap up the proof.
So the number of lattice points 
N(7) is four times the total number of
green dots minus the total number of
orange dots plus one and with our new

Romanian: 
deci sunt 49 de buline în prima linie. Acum următorul număr bun este 5. Câte buline
sunt în acea linie? Ei bine, aceste buline sunt spațiate în mod egal ceea ce este drăguț, nu-i așa,
corespunzând cu toți multiplii lui 5 sub 49. Deci, câte sunt acolo? Ei bine,
sunt 49 împărțit la 5, rotunjit prin lipsă. Aceasta se numește partea întreagă din 49
împărțit la 5 și notăm cu paranteze drepte în jurul unei fracții. Pentru următoarea
linie obținem 49 împărțit la următorul număr bun, deci partea întreagă din 49 împărțit
la 9, și așa mai departe. Este timpul să încheiem demonstrația.
Deci numărul de puncte de latice N(7) este 4 înmulțit cu numărul total de
buline verzi minus numărul total de buline portocalii plus 1 și cu noul nostru

Romanian: 
mod de adunare a bunelor și relelor această ecuație arată astfel: O, dar oricum,
pentru a face partea din paranteze să pară mai în genul lui Leibniz, hai să alternăm
termenii pozitivi și negativi. Bine, acum rețineți că pentru acest exemplu specific
49 este doar un pătrat al razei care este 7
și deci formula generală arată așa. Acum, puteți vedea unde ajungem? Sper că puteți.
Amintiți-vă cum am făcut aproximarea pentru pi. Am împărțit simplu N(r) la r pătrat. Deci,
hai să împărțim ambele părți ale ecuației de mai sus cu r pătrat.
Acum să mergem până la infinit și să vedem ce se întâmplă cu toate fracțiile.
Bine, știm deja că fracția din stânga va tinde exact la pi.
Dar cea din dreapta? Ei bine, prima fracție este r pătrat supra r pătrat
ceea ce este simplu egal cu 1. Dar despre asta? Ei bine, dacă nu ar fi fost

English: 
way of tallying the goods and the bads
this equation looks like this. But anyway
to make the bit in the brackets look
more "Leibnizy", let's alternate the
positive and negative terms. Alright, now
remember for this specific example
49 is just a square of the
radius which is 7 and so the general
formula looks like this. Now, can you see
it coming? I sure hope you do. Remember
how we got our approximation for pi. We
simply divided N(r) by r-squared. So
let's divide both sides of the equation
above by r-squared.
Now zoom are off to infinity and let's
see what happens to all the fractions.
Okay we already know that the fraction
on the left will exactly zoom to pi. What
about on the right? Well the first
fraction is r squared over r squared
which is a nice simple one. What about
this one? Well if there were no integer

French: 
façon de compter les bons et les mauvais cette équation ressemble à ça... (beuh)
Mais pour rendre le morceau entre crochets plus "Leibnizien", faisons alterner les termes
positifs et négatifs. Parfait, maintenant rappelez-vous que dans cet exemple particulier
49 est juste le carré du rayon qui est 7, et donc en général
la formule ressemble à ceci. Est-ce que vous la voyez venir ? J'espère que oui. Souvenez-vous
comment nous avons obtenu notre approximation de π. Nous avons simplement divisé N(r) par r au carré.
Alors divisons les deux membres de l'équation ci-dessus par r au carré.
Faisons tendre r vers l'infini et voyons ce qui se passe pour toutes ces fractions.
OK, nous savons déjà que la fraction à gauche tend exactement vers π.
Qu'en est-il à droite ? La première fraction est r carré sur r carré
qui fait tout juste 1. Et celle-ci ? Eh bien, s'il n'y avait pas

English: 
part
brackets there then again our square on
top and the one at the bottom would
cancel leaving us with 1/3. And, in
fact, as r zooms off to infinity, the
limit of this fraction is 1/3. You can
fill in the details in the comments,
which shouldn't be too hard of a
challenge. Next fraction. Well if the
previous fraction zooms to 1/3 then this
one zooms to ... well what? 1/5 of
course. And so on. And that very last
fraction? Well, of course as r gets huge
that fraction just saps to zero. And the
final tweak, just divided by 4 and we're
done. Tada
and it's my Christmas present for you.
Like it? So now you see, the Leibniz-
Madhava formula really is a circle thing.
It just comes from the formula for the
area of a circle. Pretty amazing isn't it?
Now to make the zooming bit of our proof

Romanian: 
parantezele drepte de parte întreagă, atunci
r pătrat de sus s-a anula cu cel de jos și am rămâne cu 1/3.
Și, de fapt, pe măsură ce r tinde la infinit, limita acestei fracții este 1/3.
Puteți completa detaliile în comentarii, ceea ce nu este o provocare prea dificilă.
Următoarea fracție. Ei bine, dacă fracția anterioară tinde la 1/3, atunci aceasta
tinde la... la ce? 1/5 desigur. Și așa mai departe. Și această ultimă
fracție? Ei bine, desigur pe măsură ce r devine imens,, această fracție scade la 0.
Și ultima modificare, împărțiți cu 4 și am terminat. Tada
și este cadoul meu de Crăciun pentru voi. Vă place? Deci acum vedeți că
formula Leibniz-Madhava este într-adevăr despre cerc. Vine direct din formula
pentru aria cercului. Destul de uimitor, nu-i așa? Acum, pentru a face trecerea la limită a demonstrației noastre

French: 
les crochets de la partie entière, là aussi notre carré
du haut et celui du bas se simplifierait pour donner 1/3. Et, de fait,
losque r tend vers l'infini, la limite de cette fraction est 1/3.
Vous pouvez compléter les détails en commentaires, ce qui ne devrait pas être un défi trop difficile.
Fraction suivante. Si la précédente tend vers 1/3 alors celle-ci
tend vers... quoi donc ? 1/5 bien sûr ! Et ainsi de suite. Et la toute dernière
fraction ? Bien sûr, à mesure que r devient énorme cette fraction se réduit à zéro. Et le
dernier ajustement, diviser par 4 et voila. Tada !
Et ceci est mon cadeau de Noël pour vous. Ça vous plaît ? Vous voyez donc maintenant que la formule
de Leibniz-Madhava à bien quelque chose à voir avec un cercle. Elle provient juste de la formule donnant
l'aire du cercle. Stupéfiant, n'est-ce pas ? Maintenant, pour rendre cette partie de la preuve complètement

Romanian: 
complet fără cusur, trebuie să ne îngrijim puțin de niște
detalii pe care le-am explicat. Experții dintre voi se gândesc că
teorema de rearanjare a lui Riemann și cum exact seria noastră crește
pe măsură ce raza tinde la infinit. Nu e dificil deloc,
doar puțin mai mult de lucru. Oricum, dacă sunteți interesați de aceste detalii,
voi pune linkul la paginile relevante din minunata carte a lui Hilbert și Cohn-Vossens în descriere.
Ei bine, nu am terminat încă. Desigur, vă datorez încă
niște detalii despre teorema 4*(bune-rele) și trebuie să explic
legătura cu Crăciunul. Corect?
Hai să vedem ce spune teorema 4*(bune-rele) despre un număr prim ca
17. Ei, un număr prim are numai doi factori, bunul 1 și numărul prim însuși.
Și dacă numărul prim este el însuși bun, ca în cazul lui 17?

French: 
résistante aux balles, il nous faut vraiment nous soucier un peu plus de certains
détails que j'ai maquillés. Pour les experts parmi vous, pensez au théorème
de réarrangement de Riemann et à la façon dont la série que nous avons manipulée ici converge
quand le rayon tend vers l'infini. Pas dur du tout,
mais un petit peu délicat. Quoiqu'il en soit, si ces détails vous intéressent, je laisserai
un lien vers les pages utiles du beau livre de Hilbert et Cohn-Vossens
dans la description. Mais nous nous n'en avons pas encore tout-à-fait fini. Je vous dois bien sûr quelques
détails du théorème 4(bons - mauvais) et je dois expliquer la relation avec Noël.
D'accord ?
Voyons ce que notre théorème 4(bons - mauvais) nous apprend sur un nombre premier comme 17.
Un nombre premier n'a que deux facteurs, le bon 1 et le nombre premier
lui-même. Alors que se passe-t-il si ce nombre premier est lui-même bon, comme 17 ? Dans ce cas

English: 
completely bulletproof we actually have
to worry a little bit more about some
details that I glossed over. For the
experts among you think Riemann
rearrangement theorem and how exactly
the series we're dealing with here grows
as the radius tends to infinity. Not hard
at all,
just a little bit fiddly. Anyway if
you're interested in these details, i'll
link to the relevant pages from Hilbert
and Cohn-Vossens beautiful book in
the description. Well we're not quite
done yet. Of course I still owe you some
details of the 4(good - bad) theorem and
I have to explain the Christmas
connection. Right?
Let's see what our 4(good - bad)
theorem says about a prime number like
17. Well a prime number has only two
factors, the good 1 and the prime
itself. So what if the prime is itself
good, like in the case of 17? Then we

English: 
have good - bad equals 2 and so our
theorem guarantees that every good prime
can be written as a sum of two integer
squares. Right? On the other hand, if the
prime is bad like 11 and then good - bad
will equal zero. So our theorem says that
bad primes cannot be written as a sum
of two integer squares. And that's known
as Fermat's Christmas theorem: good primes
can be written as sums of integer squares
and bad primes cannot. That's also why I
labeled the odd numbers good and bad
earlier on. Now the Christmas in the name
of this theorem is standard, although the
connection with Christmas is pretty flimsy.
It solely derives from the fact that
Fermat wrote about this theorem in a
letter to the mathematician Marin Mersenne
on Christmas Day in the year 1640. Still
if you are a desperate Mathologer, like
me, looking for a Christmas hook, you take
what you can get. And there's also twist

Romanian: 
Atunci avem bune-rele egal cu 2 și astfel teorema garantează că fiecare număr prim bun
poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte. Corect? Pe de altă parte,
dacă numărul prim este rău ca 11, atunci bune-rele va fi egal cu 0. Deci, teorema noastră spune că
numerele prime rele nu pot fi scrise ca sumă de două pătrate perfecte. Și aceasta este cunoscută
ca teorema de Crăciun a lui Fermat: numerele prime bune pot fi scrise ca sumă de pătrate perfect
și numerele prime rele nu pot fi. De aceea am și etichetat numerele impare ca bune și rele mai devreme.
Acum, Crăciunul din numele acestei teoreme este standard, deși
legătura cu Crăciunul este destul de slabă. Derivă de la faptul că
Fermat a scris despre această teoremă într-o scrisoare către matematicianul Marin Mersenne
în ziua de Crăciun din anul 1640. Totuși, dacă ești un mathologer disperat, ca mine,
căutând o legătură cu Crăciunul, accepți ce găsești. Și este și o șmecherie

French: 
nous avons "bon - mauvais" égale 2 et donc notre théorème garantit que tout bon nombre premier
peut s'écrire comme somme de deux carrés entiers. D'accord ? D'un autre côté, si le
nombre premier est mauvais, comme 11, alors "bon - mauvais" sera égal à zéro. Notre théorème dis donc que
les nombres premiers mauvais ne peuvent pas s'écrire comme somme de deux carrés entiers. Et cela est connu
sous le nom de théorème de Noël de Fermat : les bons nombres premiers peuvent être écrits comme somme de carrés entiers
et les mauvais ne peuvent pas. C'est aussi pour cela que je les ai appelés "bons" et "mauvais" précédemment.
Cela dit, le nom de "Noël" pour ce théorème est standard, bien que le  lien
avec Noël soit extrêmement ténu. Il provient simplement du fait que
Fermat a parlé de ce théorème dans une lettre au mathématicien Marin Mersenne
le jour de Noël 1640. Il n'empêche que si vous êtes un Mathologer désespéré, comme moi,
cherchant une accroche en lien avec Noël, vous prenez ce que vous pouvez trouver.

English: 
to the Christmas hook. Yes you guessed it
Fermat's Christmas theorem is not Fermat's.
The theorem was actually first stated by
the mathematician Albert Girard 15 years
earlier. And that's a picture of Girard
there. Well actually it's not Girard,
it's the cartographer Jodocus Hondius
which is what Google spits out when you
ask for Girard. In fact Google choosing some
designated replacement when it can't
find the correct portrait seems to be
just as common as theorems being named
after the wrong person and sadly, as for
Madhava, no picture for Girard seems to
have survived. Anyway, neither Fermat nor
Girard provided a proof of the theorem and
the first to publish one was Euler. Well
it's always Euler, isn't it? Actually while
we're delaying proving the Christmas
theorem it's worth mentioning another
reason why the theorem is now so famous.
In 1990 the mathematician Don Zagier came
up with an absolutely incredible
one-sentence proof of the Christmas

French: 
Et ce lien est lui-même tordu. Oui, vous l'avez deviné : le théorème de Noël de Fermat n'est pas de Fermat !
En fait le théorème a d'abord été établi par le mathématicien Albert Girard
15 ans auparavant. Et ceci est un portrait de Girard.
En fait... ce n'est pas vraiment Girard,
c'est le cartographe Jodocus Hondius qui est ce que recrache Google quand vous
cherchez Girard. En fait il semble que Google choisit un remplaçant désigné quand il ne peut pas
trouver le portrait correct d'une façon tout aussi commune que celle dont les théorèmes sont nommés
d'après la mauvaise personne et hélas, tout comme pour Madhava, il semble qu'aucun portrait de Girard
ne nous soit parvenu. En tout cas, ni Fermat ni Girard n'ont fourni une preuve du théorème et
le premier à en avoir publié une fut Euler. Eh, c'est toujours Euler, n'est-ce pas ? Au fait, pendant que
nous retardons le moment de prouver le théorème de Noël il est utile de mentionner une autre
raison pour laquelle ce théorème est maintenant si célèbre. En 1990 le mathématicien Don Zagier a obtenu
une preuve absolument incroyable, en une phrase, du théorème de Noël.

Romanian: 
la legătura cu Crăciunul. Da, ați ghicit, teorema de Crăciun a lui Fermat nu este a lui Fermat.
Teorema a fost enunțată prima dată de către matematicianul Albert Girard cu 15 ani
înainte. Și aceea este o poză a lui Girard. Ei, de fapt nu este Girard,
este cartograful Jodocus Hondius pe care ni-l dă Google atunci când
îl cauți pe Girard. De fapt, faptul că Google alege un înlocuitor atunci când nu poate
găsi portretul corect pare să fie ceva la fel de obișnuit ca teoremele care sunt numite
după persoana greșită și, din păcate, la fel ca pentru Madhava, se pare că nici o poză a lui Girard
nu a supraviețuit. Oricum, nici Fermat, nici Girard nu au oferit o demonstrație a teoremei
și primul care a publicat una a fost Euler. Ei, este întotdeauna Euler, nu-i așa? De fapt,
în timp ce întârziem demonstrarea teoremei de Crăciun, merită să menționăm
un alt motiv pentru care teorema este acum atât de faimoasă. În 1990, matematicianul Don Zagier
a venit cu o demonstrație absolut incredibilă într-o propoziție a teoremei de Crăciun.

English: 
theorem. There it is, but good luck with that
sentence. Figure it out and you're probably
ready to begin a PhD in math(s). Now,
historically, the Christmas theorem
preceded our 4(good - bad) theorem. The
4(good - bad) is known as Jacobi's two
square theorem and, wonder of wonders,
appears to actually have been first
proved by Carl Jacoi and, yes, that's
Jacobi there. And now we'll prove the
Christmas theorem and Jacobi's theorem? No,
I'm sorry, definitely not today. To
mathologerise these theorems and to
make them truly accessible is very
tricky and is still work in progress. But
if I can't give you the proofs yet
I'd like to finish today by at least
mentioning a couple of easy and
beautiful ideas that will give you a
feel for where these theorems come from.
The first thing to note is that the bad
half of Fermat's Christmas theorem is

French: 
La voici, mais bonne chance avec cette phrase ! Si vous la comprenez, vous êtes probablement
prêt pour démarrer une thèse de math(s). Cela dit, historiquement, le théorème de Noël
a précédé notre théorème 4(bon - mauvais). Celui-ci est connu comme le théorème des deux carrés
de Jacobi et, merveille des merveilles, semble réellement avoir été démontré la première fois
par Carl Jacobi et, oui, c'est Jacobi ici.
Et maintenant nous allons prouver le théorème de Noël et le théorème de Jacobi ?
Non, je suis désolé, sûrement pas aujourd'hui.
Mathologeriser ces théorèmes et les rendre vraiment accessibles est très
délicat et est un travail encore en cours. Mais si je ne peux pas encore donner les preuves,
je voudrais terminer aujourd'hui en mentionnant au moins quelques idées faciles d'accès et
jolies qui vous donneront un aperçu d'où viennent ces théorèmes.
La première chose à noter est que la "mauvaise" moitié du théorème de Noël de Fermat est

Romanian: 
Aceasta este, dar mult noroc cu această propoziție. Încercați să o înțelegeți și sunteți probabil
pregătiți de a începe un doctorat în matematică. Acum, istoric, teorema de Crăciun
a precedat teoremei 4*(bune-rele). Teorema 4(bune-rele) este cunoscută ca teorema
celor două pătrate a lui Jacobi și, minunea minunilor, se pare că, de fapt, a fost
demonstrată prima dată de Carl Jacobi și, da, acela este Jacobi. Și acum vom demonstra
teorema de Crăciun și teorema lui Jacobi! Nu, îmi pare rău, sigur nu astăzi.
Pentru a mathologeriza aceste teoreme și a le face cu adevărat accesibile este
foarte dificil și este încă în lucru. Dar dacă nu vă pot da demonstrațiile încă,
aș dori să termin astăzi prin a menționa cel puțin două idei simple
și frumoase care vă vor da o idee de unde vin aceste teoreme.
Primul lucru de notat este că jumătatea rea a teoremei de Crăciun a lui Fermat este

English: 
really, really easy. In fact, it's easy to
show that not only the bad primes but in
fact all bad odd numbers cannot be
written as the sum of two integer
squares. None of these guys up there can
be written as the sum of two integer
squares. Since it's so easy to prove,
let's do it. First, notice that every bad
odd number is of the form 4k+3
right 4 times 0 plus 3 is 3, 4 times 1
plus 3 is 7, and so on. On the other hand,
the good odd numbers are of the form
4k+1. In other words, the good odd
numbers are the integers that leave a
remainder of 1 when you divide them by 4
and the bad odd numbers leave a
remainder of 3.
What other remainders are there on
division by 4? Well, of course 0 and 2
corresponding to even numbers. So every
integer is of one of these four types.
Now let's see what types we get when we

French: 
vraiment, vraiment facile. En fait, il est facile de montrer que non seulement les mauvais nombres premiers mais
en fait aucun mauvais nombres impairs ne peut s'écrire comme somme de deux carrés entiers.
Aucun de ces types là-haut ne peut s'écrire comme somme de deux carrés entiers.
Puisque c'est si facile, montrons-le.
Tout d'abord, notez que tout mauvais nombre impair
est de la forme 4k + 3. D'accord ?
4 fois 0 plus 3 fait 3 ; 4 fois 1 plus 3 fait 7 ;
et ainsi de suite. D'un autre côté, les bons nombres impairs sont de la forme
4k + 1. Autrement dit, les bon nombres impairs sont les entiers qui ont un
reste de 1 quand vous les divisez par 4 et les mauvais nombres impairs ont un
reste de 3. Quels autres restes y a-t-il dans
une division par 4 ? Bien sûr, 0 et 2 qui correspondent aux nombres pairs.
Donc tout entier est de l'un de ces quatre types. Voyons maintenant quelles types on obtient quand on

Romanian: 
foarte, foarte ușoară. De fapt, este ușor de arătat că nu numai numerele prime rele, dar
de fapt toate numerele impare rele nu pot fi scrise ca suma a două pătrate perfecte.
Niciunul din aceștia nu poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte.
Din moment ce este atât de ușor de demonstrat, hai să o facem. Întâi, observați că fiecare
număr impar rău este de forma 4k+3, da, 4 ori 0 plus 3 este 3, 4 ori 1
plus 3 este 7 și așa mai departe. Pe de altă parte, numerele impare bune sunt de forma
4k+1. Cu alte cuvinte, numerele impare bune sunt întregi care lasă
un rest de 1 când le împărțim la 4 și numerele impare rele lasă
un rest de 3. Ce alte resturi mai sunt
la împărțirea cu 4? Ei bine, desigur, 0 și 2, corespunzând cu numerele pare. Deci, fiecare
întreg este unul dintre aceste 4 tipuri. Acum, hai să vedem ce tipuri obținem când

Romanian: 
ridicăm la puterea a doua întregii. Evident, pătratul unui număr de tipul 0
dă un număr de tip 0 înapoi. Și este ușor de văzut că făcând pătratul unui număr de tip 1
dă tot un număr de tip 1. Doar dezvoltăm, nu? Vedeți modelul?
Deci, făcând pătratul unui număr de tip 2 dă înapoi... nu un număr tip 2 :) V-am păcălit?
De fapt, făcând pătratul unui număr tip 2 dă un tip 0, așa cum puteți
verifica ușor prin dezvoltare. Și, în final, făcând pătratul unui număr de tip 3 dă
un număr de tip 1. Deci, rezumând, un întreg la pătrat dă fie un tip 0 sau
un tip 1, dar atunci care sunt tipurile posibile de numere care sunt sume de două pătrate?
Ei, bine, efectiv, adăugăm o pereche de 0 sau de 1, deci suma

French: 
élève au carré. Le carré d'un nombre de type 0 donne évidemment
encore un type zéro. Et il est facile de voir qu'en élevant au carré un nombre de type un
on obtient aussi un type un. Il suffit de développer, d'accord ? Vous voyez le principe ?
Bien, en élevant maintenant un nombre de type deux on obtient... non, pas un type deux :) Je vous ai eu ?
En fait, en élevant au carré un nombre de type 2 on retombe sur un type zéro, comme vous pourrez aussi
le vérifier facilement en développant. Et, pour finir, élever au carré un nombre de type trois redonne
un type un. Donc, en résumé, un entier au carré est toujours de type zéro ou un
mais alors quels sont les types possibles pour un nombre qui est la somme de deux carrés ?
Eh oui, en effet, vous ajoutez une paire de 0 ou de 1, et la somme de deux

English: 
square integers.
Obviously the square of a type zero number
gives a type zero back again. And it's
easy to see that squaring a type one
number also gives back a type one. Just
expand, right? See the pattern?
So, now squaring a type two numbers gives
back,... no not a type two :) Did I trick you?
Actually, squaring a type two number
gives back a type zero, as you can also
easily check by expanding. And, finally,
squaring a type three number gives back
a type one. So, in summary, an integer
squared either gives type zero or type
one but then what are the possible types
of a number that is a sum of two squares?
Well, effectively, you're adding a couple
of zeros or ones, so the sum of two

Romanian: 
a două pătrate poate fi de tip 0, 1 sau 2, dar nu există nicio șansă să ajungem la acel tip 3.
Cu alte cuvinte, niciun număr impar întreg rău nu poate fi scris ca sumă de două pătrate întregi.
Și aceasta este jumătatea ușoară a teoremei de Crăciun a lui Fermat. Destul de ușor,
nu-i așa? Ce altceva ușor de spus este despre demonstrațiile celor două teoreme?
Ei, nu prea mult, dar un aspect care merită să fie subliniat este identitatea de aici.
Această identitate, care era deja cunoscută grecilor antici, este liantul care
ține împreună cele două teoreme. Ce ne spune această identitate este că dacă
avem două numere întregi care sunt ambele sume de pătrate perfecte, atunci
produsul lor este, de asemenea, o sumă de pătrate perfecte. Înțelegeți cum ar putea
funcționa aceasta? Din moment ce toate numerele întregi pozitive sunt produse
de numere prime, o dată ce știm exact cum numerele prime
pot fi scrise ca sume de pătrate, există o anumită speranță că această identitate ne va permite
să extindem rezultatele numerelor prime la toate numerele întregi și, de fapt, să numărăm

French: 
carrés doit donc être de type 0, 1, ou 2, mais en aucun cas de type 3.
Autrement dit, aucun mauvais entier ne peut s'écrire comme somme de deux carrés entiers.
Et ceci est la partie facile du fameux théorème de Noël. Vraiment facile n'est-ce pas ?
Qu'y a-t-il d'autre qui soit facile à dire sur les preuves de nos deux théorèmes ?
Eh bien... pas grand chose, mais il y a un aspect qui mérite qu'on s'intéresse à l'identité ci-dessus.
Cette identité, qui était déjà connue des grecs anciens, est la colle qui
fait tenir les deux théorèmes ensemble. Ce que nous dit cette identité est que si
on a deux entiers qui sont tous les deux somme de deux carrés entiers, alors leur
produit est aussi la somme de deux carrés entiers. Vous voyez comment ça marche ?
Comme tout entier positif est le produit
de nombres premiers, une fois qu'on sait exactement quels sont les nombres premiers qui peuvent
s'écrire comme somme de deux entiers, il y a un espoir que cette identité nous permette
d'étendre le résultat sur les nombres premiers à tous les entiers, et en fait aussi de compter le

English: 
squares might be of type 0, 1, or two, 
but there's no way to get to that 3.
In other words, no bad or integer can
possibly written as a sum of two integer
squares. And that's the easy half of the
famous Christmas theorem. Pretty easy,
right? What else is there easy to say
about the proofs of our two theorems. Well,
not a lot, but one aspect worth
highlighting is the identity up there.
That identity which was already known to
the ancient Greeks is the glue that
holds the two theorems together.
What this identity tells us is that if
we have two integers that are both the
sum of two integer squares, then their
product is also a sum of two integer
squares. You get the sense of how this
might work?
Since all positive integers are products
of primes
once we know exactly how the primes can
be written as sums of squares, there's
some hope that this identity will allow
us to extend the prime number results to
all integers and actually also count the

Romanian: 
numărul de moduri de reprezentare a întregilor ca sume de pătrate, ceea ce este
exact ceea ce tratează teorema lui Jacobi. Și aceasta este într-adevăr ceea ce se întâmplă. Desigur, ca de obicei
diavolul stă foarte mult în detalii. Dar o să las acele detalii diabolice
pentru o dată din viitorul nu prea îndepărtat, sper eu. Marele ucigător de diavoli
pe care vreau să îl folosesc este legea reciprocității cuadratice. Unii dintre voi
veți fi conștienți de provocarea care va fi pentru a o explica. Bine, cam asta este
tot pentru astăzi. Încă un lucru doar. Dacă v-a plăcut ce am făcut azi,
există de asemenea un video foarte drăguț al lui 3blue1brown în care face o animație
a unei demonstrații bazată pe cerc a faimoasei soluții a problemei Basel,
acea serie infinită pentru numărul pi. Și dacă tot sunteți acolo, puteți vedea și soluția inițială a lui Euler
pe care o tratez în video-ul din josul paginii. Bine, și asta este chiar tot

English: 
number of ways to represent integers as
sums of two squares which is what
Jacobi's theorem is about. And this is indeed
what happens. Of course, as usual the
devil is very much in the details.
But I'll leave those devilish details
for a time in the hopefully not too
distant future. The big devil killer that
I will want to use is the law of
quadratic reciprocity. Some of you will
be aware of what a challenge that will be
to mathologerise. Okay, and that's just
about it for today. Just one more thing.
If you liked what I did today there's
also a really nice video by 3blue1brown
 in which he animates a circle
based proof of the famous solution of
the Basel problem, that infinite pi
series over there. And while you're there
maybe also check out Euler's original
solution which I cover in the video at
the bottom. Okay and that's really all

French: 
nombre de façons de représenter un entier comme somme de deux carrés, ce qui est
l'objet du théorème de Jacobi. Et c'est en effet ce qui se passe.
Bien entendu, comme toujours le diable se cache vraiment dans les détails.
Mais je laisserai ces diaboliques détails
pour plus tard, pas trop loin dans le futur je l'espère.
Le grand tueur de diable que je vais utiliser est la loi de réciprocité quadratique. Certains d'entre vous sauront
le défi que cela va représenter de la mathologeriser.
OK, et c'est suffisant pour aujourd'hui là-dessus.
Juste encore une chose. Si vous avez apprécié ce que j'ai fait aujourd'hui il existe
aussi une très jolie vidéo de 3Blue1Brown dans laquelle il anime un cercle
en se basant sur la preuve de la fameuse solution du problème de Bâle, cette série infinie avec π
là-haut. Et tant que vous y êtes, jetez aussi un œil à la solution original d'Euler
que je rapporte dans la vidéo ci-dessous. OK, et c'est vraiment tout pour aujourd'hui

Romanian: 
pentru astăzi și pentru tot acest an. Ne vedem în noul an, Crăciun fericit!
De fapt, de fapt, încă un lucru final, final, promit. Am atins recent 500.000 de abonați,
ceea ce cred că este uimitor pentru un canal de matematică pură.
Oricum, cred că este foarte interesant și aș dori
să vă mulțumesc tuturor pentru interesul și suportul vostru în toți acești ani.
Nu sunt deloc orientat spre bani și întotdeauna am evitat să mă gândesc
să monetizez aceste video-uri. Totuși, poate anul următor este un moment bun să ducem
Mathologer la nivelul următor și să angajăm pe cineva să ne ajute cu editarea video-urilor,
pregătirea subtitrărilor etc. În pregătirea acestui lucru, am monetizat recent
video-urile prin activarea celor mai puțin enervante anunțuri de pe Youtube.
De asemenea, am creat o pagină Patreon. Dacă vă plac aceste video-uri și dacă vă permiteți,
vă rog să considerați să vă înscrieți sau să faceți o donație unică
prin PayPal, linkurile sunt în descrierea video-ului.
Și acum din nou, pe bune, la revedere și Crăciun fericit!

French: 
et tout pour cette année. À l'année prochaine, Fröhliche Weinachten (ndt : "joyeux Noël" en allemand).
Au fait, au fait, encore une dernière chose pour finir, c'est promis. Nous avons récemment atteint les 500 000
abonnés, ce qui, je pense, est assez incroyable pour une chaîne de mathématiques "hardcore".
En tout cas je pense que c'est super cool et je voudrais
vous remercier tous pour votre intérêt et votre soutien au cours de ces années.
Je ne suis absolument pas motivé par l'argent et j'ai donc toujours évité même de penser à
monétiser ces vidéos. Néanmoins, peut-être que l'année à venir est un moment opportun pour pousser
Mathologer au niveau suivant et engager quelqu'un pour aider à éditer les
vidéos, préparer les sous-titres, etc. En prévision de cela, j'ai récemment
monétisé les vidéos en activant les publicités les moins gênantes de YouTube.
J'ai également créé une page Patreon. Si vous appréciez ces vidéos et que vous en avez les moyens,
merci de penser à vous inscrire comme participants, ou de faire un don unique
par PayPal. Les liens sont dans la description de la vidéo.
Et maintenant, une fois de plus, pour de vrai, au revoir et Fröhliche Weihnachten.

English: 
for today and all for this year. See you
in the new year, Fröhliche Weihnachten.
Actually, actually, one more final final thing
promise. We recently hit 500 000
subscribers which i think is pretty
amazing for a hardcore mathematics
channel. Anyway
I think it's pretty cool and I would
like to thank you all for your interest
and your support over the years.
I'm not at all money minded and so I've
always avoided even thinking about
monetizing these videos. However, maybe
next year is a good time to take
Mathologer to the next level and hire
someone to assist with editing the
videos, preparing subtitles, etc. In
preparation for this, I recently
monetized the videos by switching on the
least annoying ads on YouTube
I also just put up a Patreon page. If you
enjoy these videos and you can afford it
please consider taking out one of the
memberships or making a one-time
donation via PayPal the links are in
the description of the video.
And now once again, for real, bye for now
and Fröhliche Weihnachten.
