Trong bài giảng trước ta đã chứng minh được rằng với bất kỳ giá trị lambda nào
thỏa phương trình này với một vector khác 0, vector v, thì khi đó
định thức của ma trận lambda nhân ma trận đơn vị
trừ đi ma trận A phải bằng 0
Hay nếu như ta có thể viết điều này lại dưới dạng lambda là một trị riêng
của ma trận A nếu và chỉ nếu, tôi sẽ viết nó thành, nếu
định thức của ma trận lambda nhân ma trận đơn vị trừ đi A
sẽ bằng 0
Bây giờ, để xem là liệu ta có thể sử dụng kết quả này
theo một cách cụ thể nào đó để tính ra các trị riêng
Nên trước hết ta hãy làm thử một ví dụ, ma trận 2 dòng 2 cột, trong R2
giả sử rằng ta cho ma trận A bằng với 1,2 và 4,3
Và tôi muốn tìm các trị riêng của ma trận A
Nên nếu lambda là một trị riêng của ma trận A, thì khi đó,
từ phương trình này ta biết định thức của lambda nhân với ma trận đơn vị
, ở đây sẽ là ma trận đơn vị trong không gian R2
Nên lambda nhân 1,0,0,1, trừ đi A, 1,2,4,3, sẽ
bằng với 0
Xem nào, cái này sẽ bằng gì đây?
Đây chính là một định thức
Lambda nhân với cái này chỉ bằng lambda nhân toàn bộ cái này
Nên lambda nhân 1 bằng lambda, lambda nhân 0
bằng 0, lambda nhân 0 bằng 0, lambda nhân 1 bằng lambda
Và ta lấy ma trận này trừ đi ma trận A
Ma trận A là 1,2,4,3 và đây là các giá trị phần tử 0
Và khi đó ma trận này, hay hiệu số giữa hai ma trận này
ta vẫn giữ việc tính định thức này lại sau
Đây là định thức của
Phần tử đầu tiên sẽ là lambda trừ 1
Phần tử thứ hai sẽ là 0 trừ 2, nên nó là trừ 2
Phần tử thứ ba là 0 trừ 4, nên nó là trừ 4
Và sau đó là phần tử thứ tư bằng với lambda trừ
3, như thế
Ta sẽ làm ngắn gọn chỗ này để xem có được gì
Các thành phần trên đường chéo, xem nào, tất cả các phần này
đều bằng số âm, phải không?
Ta có các số âm ở đây
Và sau đó các thành phần xung quanh đường chéo,
ta có các giá trị lambda
Đây rõ ràng là một kết quả có được từ dạng biểu thức
ở trên đó
Vậy bây giờ định thức của ma trận 2by2 này là gì đây?
Xem nào, định thức của ma trận chỉ là cái này nhân cái kia,
trừ cái này nhân cái kia
Nên đó là lambda trừ 1, nhân lambda trừ 3, trừ
hai cái này nhân với nhau
Nên đó là trừ 2 nhân trừ 4 bằng cộng 8, trừ 8
Đây là định thức của ma trận ngay đây hay
ma trận ngay đây, được đơn giản lại thành ma trận đó
Và cái này sẽ phải bằng 0
Và toàn bộ lý do tại sao chỗ này phải bằng 0 thì
ta đã biết được ở phần trước rồi, ma trận này
có một không gian null không tầm thường (có nhiều hơn một vector 0)
Và bởi vì ma trận này có không gian null không tầm thường
nên nó không thể nghịch đảo được và vì vậy định thức của nó
phải bằng với 0
Nên bây giờ, ta có được một đa thức này
một phương trình đa thức ngay đây
Ta có thể nhân cái này ra ngoài
Ta có được gì đây
Ta hãy nhân cái này ra ngoài
Ta có lambda bình phương, phải không, trừ 3 lambda, trừ lambda
cộng 3, trừ 8, bằng 0
Hay lambda bình phương, trừ 4 lambda, trừ
5, bằng với 0
Và nếu như các bạn muốn biết rằng phương trình này
biểu thức ngay đây, thì đây được gọi là đa thức
đặc trưng của phép biến đổi này, hay ma trận này
Chỉ là một khái niệm nho nhỏ, đa thức đặc trưng
Nhưng nếu như ta muốn tìm các trị riêng cho A, ta chỉ cần
giải phương trình ngay đây
Đây chỉ là một dạng phương trình bậc hai đơn giản
Chỗ này ta có thể đơn giản được
Xem ano2, hai số này và ta lấy tích nó bằng trừ 5
khi ta cộng chúng lại ta có trừ 4
Đó là trừ 5 và cộng 1, nên ta có lambda trừ 5, nhân
lambda cộng 1, bằng với 0, phải không?
Trừ 5 nhân 1 bằng trừ 5, và sau đó là trừ 5 lambda cộng 1
lambda bằng với trừ 4 lambda
Nên hai nghiệm của phương trình đặc trưng này ta có sẽ là
, đa thức đặc trưng, là lambda bằng với
bằng với 5 hay lambda bằng với trừ 1
Cứ như thế, sử dụng kết quả mà ta đã chứng minh
trong bài giảng trước, ta có thể chỉ ra được rằng
hai trị riêng của ma trận A là lambda bằng 5 và lambda
bằng âm 1
Bây giờ, chỗ này ta mới chỉ giải được một phần của bài toán thôi, phải không?
Ta biết rằng ta sẽ phải tìm các trị riêng và
các vector riêng tương ứng, phải không?
Ta biết rằng phương trình này có thể có nghiệm là
lambda bằng với 5 và lambda bằng trừ 1
Vậy là ta đã biết được các trị riêng, nhưng ta vẫn chưa xác định được
các vector riêng
Nên đó chính là những gì ta sẽ tính trong bài giảng tiếp theo.
