
English: 
- [Instructor] We have the
graphs of three functions here,
and what we know is that one
of them is the function f,
another is the first derivative of f,
and then the third is the
second derivative of f.
And our goal is to figure
out which function is which.
Which one is f, which
is the first derivative,
and which is the second?
Like always, pause this video and see
if you can work through it on your own
before we do it together.
All right, now let's do this together.
The way I'm going to tackle
it is I'm gonna try to sketch
what we can about the derivatives
of each of these graphs,
or the functions
represented by these graphs.
So in this first graph
here in this orange color,
we can see that the slope
is quite positive here,
but then it becomes less
and less and less positive,
up until this point where the
slope is going to be zero,
and then it becomes more and more
and more and more negative.
So the derivative of this
curve right over here,
or the function represented by this curve

Korean: 
함수 세 개의 그래프가 있으며
이중 하나는 f의 그래프
다른 하나는 f의
일계도함수의 그래프
그리고 또 다른 하나는
f의 이계도함수의 그래프입니다
함수들을 연결하는 문제네요
어떤 그래프가 f
일계도함수
그리고 이계도함수를
나타내나요?
항상 그랬듯이
영상을 멈추고
혼자서 문제를
해결할 수 있는지
풀어보세요
이제 함께 풀어봅시다
여기서 사용할 방법은
각 그래프의
도함수의 그래프를
그려보는 것입니다
도함수의 그래프를
그려보는 것입니다
첫 번째 그래프는
주황색입니다
여기서 기울기가
양수인것을 볼 수 있습니다
하지만 점점
기울기가 줄면서
기울기가 0에 도달합니다
그리고 기울기가 점점 줄고
음수인 기울기를 가집니다
따라서 이 곡선의
이 부분의 도함수는
혹은 곡선으로
나타낸 이 함수는

Bulgarian: 
Имаме изобразени графиките
на три функции
и това, което знаем за тях, е,
че едната е f,
другата е първата производна на f,
а третата е втората производна на f.
Целта ни е да разберем
коя графика коя е.
Коя е f, коя е първата ѝ производна, 
и коя втората?
Както обикновено, постави
видеото на пауза
и провери дали можеш да откриеш
отговора самостоятелно, 
преди да го направим заедно.
Нека сега да го направим заедно.
Подходът, който ще използвам,
е да се опитам
да скицирам това, което мога, 
за производните,
или функциите, на всяка
от тези графики.
На първата графика в оранжев цвят
можем де видим, че наклонът
(ъгловият коефициент) е положителен,
но след това започва да става по-малко 
и по-малко положителен,
докато не достигне тази точка и стане 0.
След това става все повече и повече отрицателен.
Производната на тази крива тук
или на функцията, представена чрез нея,

Czech: 
Na obrázku je graf funkce f, její první
derivace a její druhé derivace.
Naším úkolem je
rozpoznat, který je který.
Jako vždy si zastavte video a
zkuste úlohu nejdříve vyřešit sami.
Tak, jdeme na to!
Začnu tím, že si ke každému grafu načrtnu,
jak by vypadal graf jeho první derivace.
Oranžový graf začíná s vysokým, kladným
sklonem, který ale klesá do tohoto bodu,
kde se sklon rovná 0, a dál 
klesá do záporných hodnot.

Bulgarian: 
започва относително положително ето тук.
В тази точка производната
ще премине през нулата,
защото производната там е 0,
т.е. наклонът на допирателната.
Тогава ще става все повече
и повече отрицателна.
Поне в интервала, който виждаме.
Би могла да изглежда по този начин.
Не знам дали е линия или не.
Може да е някакъв вид крива.
Определено ще има такова
направление.
Сега бихме могли незабавно
да заявим,
че синята графика не е производна
на оранжевата графика.
Направлението ѝ е противоположно.
В рамките на този интервал
се променя от отрицателна
към положителна,
обратното на положителна
към отрицателна.
Можем да изключим синята графика
като производна на оранжевата.
А какво да кажем
за лилавата графика?
Изглежда сякаш има
правилното направление.
В действителност тя пресича остa x
на правилното място ето тук.
И поне в рамките на този интервал
изглежда, че е положителна
от тук до тук.
Положителна е.
Тази графика е положителна,
когато наклонът на допирателната
тук е положителен.

Korean: 
양수로 시작합니다
이 점에선 도함수가
0을 지납니다
왜냐하면 이 점에서
도함수의 값이 0입니다
접선이 기울기죠
그리고 음수의
크기가 점점 커집니다
적어도 여기 보이는
구간에선 말이죠
따라서 다음과 같은
형태를 띌 것입니다
직선인지는 모르겠습니다
곡선일 수도 있습니다
이와 같은
방향으로 갈 것입니다
따라서 이 파란색 곡선은
주황색 곡선의
도함수를 나타내지
않는다는 것을
알 수 있습니다
방향이 반대입니다
이 구간에서
음수에서 양수로 갑니다
양수에서 음수가 아닙니다
따라서 파란색
그래프는 오랜지색 그래프의
도함수 그래프가 아닙니다
보라색 곡선은 어떤가요?
방향은 맞는 것 같습니다
x축도 알맞은
점에서 가로지릅니다
여기서 말이죠
이 구간에선 말이죠
여기서 여기까진 양수입니다
따라서 양수입니다
이 그래프는
그래프의 접선의 기울기가
양수일 경우 양수입니다

Czech: 
První derivace této funkce začne v kladném
kvadrantu, v bodě pod maximem protne osu,
protože sklon tečny se tu rovná 0, a dál
klesá, alespoň ve zobrazeném intervalu.
Mohla by vypadat nějak takhle, možná jinak
zakřivená, ale rozhodně tímto směrem.
A hned vidíme, že modrý graf není derivací
oranžového grafu, protože u osy y stoupá.
Místo aby přecházel z kladných hodnot do
záporných, jde ze záporných do kladných.
Víme, že modrý graf derivací oranžového
grafu nebude, ale co purpurový graf?
Ten v daném intervalu klesá, jak má,
protíná osu x ve správném bodě.

English: 
is gonna start off reasonably
positive right over there.
At this point, the derivative
is gonna cross zero,
'cause our derivative is zero there,
slope of the tangent line.
And then it's gonna get
more and more negative,
at least over the interval that we see.
So it might look, I don't
know, something like this.
I don't know if it's a line or not.
It might be some type of a curve.
It would definitely have a
trend something like that.
Now, we could immediately tell
that this blue graph is not the derivative
of this orange graph.
Its trend is opposite.
Over that interval,
it's going from being
negative to positive,
as opposed to going from
positive to negative.
So we can rule out the blue graph
as being the derivative
of the orange graph.
But what about this magenta graph?
It does look like it has the right trend.
In fact, it intersects the
x-axis at the right place
right over there.
And at least over this interval,
it seems it's positive from here to here.
So it's positive.
This graph is positive
when the slope of the tangent
line here is positive.

Korean: 
그리고 이 그래프는
그래프의 접선의 기울기가
음수일 경우 음수입니다
하지만 마지막 그래프가
첫 번째 그래프의
도함수 그래프라고
단정지을 순 없습니다
도함수의 그래프가
극값을 더 많이 가지는
경우는 흔치 않기 때문이죠
최댓값과 최솟값이
원래 함수보다 더 많습니다
하지만 이는 전체 함수의
그래프를 보지 못해서
그럴 수도 있습니다
예를 들어
마지막 그래프가
첫 번째
그래프의 도함수라면
도함수의 부호가 여기서
음수입니다
하지만 여기선 음수의
크기가 줄어듭니다
따라서 이 점이
여기 이 점에 해당된다면
기울기가 점점 더
작은 음수로 변합니다
그리고 기울기가
0에 도달하게 됩니다
여기쯤 해당되겠죠
예를 들어 그래프가
이런 모양이라면

Bulgarian: 
А тази графика е отрицателна,
когато наклонът на допирателната
тук е отрицателен.
Нещото, което може да представлява
пречка да заявим, 
че последната графика
е производна на първата, е,
че не разглеждаме положения, при които
производната има повече
екстремни точки,
т.е. минимуми и максимуми, 
отколкото първоначалната функция.
В случая може да бъде,
защото не виждаме цялата
първоначална функция.
Например ако последната графика
е наистина производна
на първата графика,
тогава това, което виждаме,
е, че производната е
отрицателна ето тук,
но тогава, около тази точка започва
да става по-малко отрицателна.
Така че, ако тази точка отговаря
приблизително на това място тук,
тогава наклонът ще бъде
все по-малко и по-малко отрицателен.
Тогава в тази точка наклонът
ще стане 0,
което ще бъде приблизително тук.
Например графиката би могла
да изглежда по следния начин,

English: 
And this graph is negative
when the slope of the tangent
line here is negative.
Now, one thing that might
be causing some unease
to immediately say that this last graph
is the derivative of the first one
is we're not used to situations
where the derivative
has more extreme points,
more minima and maxima
than the original function.
But in this case, it could just be
'cause we don't see the
entire original function.
So, for example, if this last
graph is indeed the derivative
of this first graph,
then what we see is our
derivative is negative
right over here,
but then right around here it
starts becoming less negative.
So if that point corresponds
to roughly right over there,
then over here our slope
will become less and less
and less negative,
and then at this point our
slope would become zero,
which would be right around there.
So for example, our graph
might look something like this,

Czech: 
V prvním intervalu je kladný, ve druhém je
záporný, zkrátka odpovídá sklonu tečny.
Nejsme sice zvyklí, aby derivace měla
víc extrémů, než původní funkce,
ale v tomto případě by to mohlo být prostě
proto, že nevidíme celou původní funkci.
Vidíme, že purpurový graf je tu záporný,
a dál správně klesá k tomuto minimu.
Odpovídá tomuto bodu v oranžovém grafu,
jehož sklon je odtud méně a méně záporný,
a v tomto bodě je potom sklon
tečny k oranžovému grafu roven 0.

Korean: 
표시가 안되었을 뿐이죠
보여진 그래프의 나머지를
그려본 것입니다
따라서 이 그래프는
이 세 번째 함수는
첫 번째 함수의
도함수 그래프로서
좋은 후보입니다
따라서 이 그래프는 f고
이 그래프는
f'이라고 할 수 있습니다
두 번째 그래프를 봅시다
이 그래프의 도함수는
어떻게 생겼을까요?
여기서 기울기는 음수입니다
음수의 크기가 점점 작아져서
기울기가 0에
도달하게 됩니다
따라서 도함수의 그래프는
x축의 여기를 지나게 됩니다
음수로 시작해서
음수의 크기가 점점 작아지죠
그리고 여기서
x 축을 지납니다
그리고 양수의
크기가 점점 커지죠
여기서 도함수가
점점 커집니다
하지만 여기서는
양수의 크기가 작아지네요
따라서 다음과 같이
여기선 양수의 크기가 작아지고
계속 작아질 것입니다

English: 
we just didn't see it.
It fell off of the part of the graph
that we actually showed.
So I would actually say
that this is a good candidate for being,
the third function is a good candidate
for being the derivative
of the first function.
So maybe we could say that this is f
and that this is f prime.
Now, let's look at the second graph.
What would its derivative look like?
So over here our slope is quite negative,
and it becomes less and
less and less negative
until we go right over here
where our slope is zero.
So our derivative would
intersect the x-axis
right over there.
It would start out negative,
and it would become less
and less and less negative.
And at this point it crosses the x-axis
and it becomes more and more positive.
So we see here our derivative
becomes more and more positive.
But then right around here it seems
like it's getting less positive again.
So it might look something like this
where over here it's
becoming less positive again,
less positive, less
positive, less positive.

Czech: 
Oranžový graf sice vypadá takto, my
ale nemáme zobrazenou jeho druhou část.
Takže je dost pravděpodobné, že purpurový
graf je první derivací oranžového grafu.
Tohle by mohlo být f
a tohle zase f s čarou.
Jak by ale vypadala první
derivace modrého grafu?
Sklon je napřed velmi záporný, ale stoupá
až do tohoto bodu, kde se sklon rovná 0.
V tomto bodě derivace protíná osu x, 
je kladná a zvyšuje se, potom zase klesá,

Bulgarian: 
но просто не я виждаме.
Произлиза от частта от графиката,
която показахме.
Смятам, че третата функция
е добър кандидат за производна
на първата функция
Може да заявим, че тази е f,
а тази е производната ѝ f'.
Нека да погледнем втората графика.
Как би изглеждала производната ѝ?
Тук наклонът е силно отрицателен
и става все по-малко
и по-малко отрицателен,
докато не достигне до тук,
където става 0.
Така че производната
ще пресече оста x ето тук.
Ще започне с отрицателни стойности
и ще става все по-малко
и по-малко отрицателна.
В тази точка пресича оста x
и става все повече и повече
положителна.
Ето тук виждаме, че производната
става все повече и повече
положителна.
Но около това място тук изглежда,
че отново става по-малко положителна.
Така че би могла да изглежда ето така,
където на това място отново
става по-малко положителна.
По-малко и по-малко положителна.

English: 
Right over here, our
derivative would be zero.
Our derivative would
intersect the x-axis there.
And then it just looks like it is,
the slope is getting more
and more and more negative,
so our derivative is gonna get more
and more and more negative.
Well, what I very
roughly just sketched out
looks an awful lot like the
brown graph right over here.
So this brown graph does indeed look
like the derivative of this blue graph.
So what I would say is
that this is actually f,
and then this would be f prime.
And then if this is f prime,
the derivative of that is
going to be f prime prime.
So that looks good.
I would actually go with this.
And if you wanted, just for safe measure,
you could try to sketch out
what the derivative of
this graph would be.
Actually, let's just do that.
So over here, the derivative of this,
so right now we have a positive slope
of our tangent line is getting
less and less positive.
It hits zero right over there.
So the derivative might
look something like this
over the interval.
Now, the slope of the
tangent line is getting more
and more and more and more negative,

Korean: 
여기선 도함수가 0이 됩니다
도함수는 여기서
x축을 지나게 됩니다
그리고 기울기가
점점 더 큰 음수로 변하면서
도함수의 값이 점점
더 큰 음수의 값을 가집니다
간단히 한 번 그렸습니다
여기 갈색
그래프같아 보이네요
여기 갈색 그래프는
이 파란색 그래프의
도함수의 그래프 같습니다
따라서 이 그래프는 f고
이 그래프는 f'이 됩니다
그리고 이 그래프가 f'이면
이 그래프의 도함수는
f''의 그래프가 됩니다
좋습니다
이게 맞네요
안전하게 확인을
해보고 싶다면
이 그래프의 도함수가
어떻게 생겼을지 그려 봅시다
한 번 봅시다
여기서 도함수는
기울기가 여기선 양수죠
하지만 접선의
기울기가 점점 작아집니다
여기서 0에 도달합니다
따라서 이 구간에서 도함수는
다음과 같습니다
접선의 기울기가 점점
더 큰 음수가 되겠죠

Czech: 
nějak takhle klesá k tomuto bodu, kde
znovu protíná osu x, a dál už jen klesá.
Můj hrubý náčrt je dost podobný oranžovému
grafu, mohl by tedy být derivací modrého.
Modrý graf je tedy funkce f, oranžový je f
s čarou, purpurový je f se dvěma čarami.
To vypadá jako správné řešení, pro jistotu
si načrtneme i derivaci purpurového grafu.
Sklon začíná kladný, ale hned v tomto bodě
klesá na 0, derivace by vypadala takto.

Bulgarian: 
В тази точка производната ще бъде 0.
Производната ще пресече оста x там.
Изглежда, че наклонът намалява
и става все повече и повече отрицателен,
така че производната също става
все повече и повече отрицателна.
Това, което много грубо
скицирах току-що,
изглежда много повече като
оранжевата графика ето тук.
Тоест оранжевата графика изглежда
действително като производна на синята.
Това, което бих казал, е, 
че това всъщност
е функцията f, а това ще бъде f'.
Тогава ако това е f'
производната ѝ ще бъде f''.
Това решение изглежда добре.
Смятам, че това е отговорът.
За всеки случай, ако искаш,
опитай се да скицираш
как ще изглежда производната
на тази графика.
Нека да го направим.
Ето тук производната на тази функция,
т.е. наклонът на допирателната,
е положителен,
но намалява все повече и повече.
Ето тук достига до 0.
Производната ще изглежда
приблизително
така в рамките на интервала.
Наклонът на допирателната
намалява и става
все повече и повече отрицателен,

Czech: 
Zhruba k tomuto bodu sklon tečny klesá,
od něj stoupá, až kousek dál je roven 0.
Od tohoto minima pak dále stoupá, má tvar
písmene U, což neodpovídá žádnému grafu.
Máme potvrzené, že žádný ze zadaných
grafů není derivací purpurového grafu.
Takže víme, že modrý graf je f, oranžový
f s čarou a purpurový f se dvěma čarami.

Korean: 
이 점까지 말이죠
이 점까지는 점점 더
큰 음수의 값을 가집니다
여기서부턴 점점 더 작은
음수의 값을 가지네요
도함수가 0이
될 때까지 말이죠
그리고 다음에는 점점 더
큰 양수의 값을 가집니다
따라서 보라색 곡선의
도함수는 U 모양입니다
이 보기 중엔 없네요
좋아요
이 함수의 도함수는
보기 중 없네요
따라서 중간 그래프가 f이고
왼쪽 그래프는 f'
오른쪽 그래프는
이계도함수입니다

Bulgarian: 
докато не достигне до тази точка.
Намалява все повече и повече
докато не достигне до тази точка.
Сега изглежда, че нараства
и става все по-малко
и по-малко отрицателен,
докато производната
не стане отново 0.
След това изглежда, че нараства
и става все повече и повече
положителен.
Производната на лилавата крива
изглежда като парабола, 
отворена отгоре.
И не виждаме ето това тук,
така че може да сме спокойни,
че производната ѝ не е изобразена.
С увереност бих нарекъл
средната графика f,
лявата f', а дясната f'', 
т.е. втората производна.

English: 
right until about that point.
So it's getting more and
more and more negative
until about that point.
And now it looks like
it's getting less and less
and less and less negative,
all the way until the derivative
goes back to being zero.
And then it looks like
it's getting more and more
and more and more positive.
So the derivative of
this magenta curve looks
like an upward opening U.
And we don't see that over here,
so we could feel good
that its derivative
actually isn't depicted.
So I feel calling the middle graph f,
calling the left graph f prime,
and calling the right graph
the second derivative.
