
English: 
So let's talk a little bit
about rational numbers.
And the simple way to think
about it is any number that
can be represented as
the ratio of two integers
is a rational number.
So for example, any integer
is a rational number.
1 can be represented as 1/1 or
as negative 2 over negative 2
or as 10,000/10,000.
In all of these cases, these are
all different representations
of the number 1,
ratio of two integers.
And I obviously can
have an infinite number
of representations
of 1 in this way,
the same number over
the same number.
The number negative 7 could be
represented as negative 7/1,

Italian: 
 
Allora, parliamo un po' dei numeri razionali.
 
Il modo più semplice per definirlo è
qualsiasi numero che possa essere rappresentato come rapporto fra due numeri interi
è un numero razionale.
Quindi, per esempio, ogni numero intero è razionale.
1 può essere rappresentato come 1/1 o come (-2)/(-2)
o come 10.000/10.000.
In tutti questi casi, questi sono 
modi differenti di rappresentare
il numero 1, come rapporto fra due numeri interi.
E ovviamente io posso avere un numero infinito
di rappresentazioni di 1 in questo modo,
lo stesso numero sopra lo stesso numero.
Il numero -7 potrebbe essere rappresentato come -7/1,

Georgian: 
ვისაუბროთ რაციონალურ რიცხვებზე.
მარტივი გზა მოსაფიქრებლად 
არის, ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც
შეიძლება წარმოვიდგინოთ
ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად
არის რაციონალური რიცხვი.
მაგალითად, ნებისმიერი მთელი 
რიცხვი არის რაციონალური რიცხვი.
ერთი შეიძლება წარმოვიდინოთ, როგორც 
1/1 ან მინუს ორი შეფარდებული მინუს ორთან.
ან 10000/10000.
ესენი განსხვავებული სახეებია ორი 
მთელი რიცხვით რიცხვი ერთის წარმოდგენის.
და აშკარაა, რომ მაქვს უსასრულო 
რაოდენობა ერთის ამდაგვარად გამოსახვის,
რიცხვის იგივე რიცხვზე შეფარდებით.
რიცხვი უარყოფითი შვიდი შეიძლება 
წარმოვაჩინოთ, როგორც უარყოფითი 7/1,

Thai: 
ลองคุยกันเรื่องจำนวนตรรกยะ
สักหน่อยดีกว่า
วิธีที่เราคิดถึงมันคือว่า
มันคือจำนวนที่
ที่แทนได้ด้วยอัตราส่วน
ของจำนวนเต็มสองตัว
นั่นคือจำนวนตรรกยะ
ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มใดๆ
เป็นจำนวนตรรกยะ
1 แทนได้ด้วย 1/1 หรือ
ลบ 2 ส่วนลบ 2
หรือ 10,000/10,000
ทั้งหมดนี้ นี่คือวิธีการแทนจำนวน 1
เป็นอัตราของจำนวนเต็ม
สองตัวแบบต่างๆ
และแน่นอนผมแทนจำนวน 1
แบบนี้ได้จำนวนนับไม่ถ้วน
จำนวนเดิมส่วนจำนวนเดิม
จำนวนลบ 7 สามารถ
แทนได้เป็นลบ 7/1

Vietnamese: 
Giới thiệu về số hữu tỷ và số vô tỷ
Vì vậy, chúng ta hãy nói một chút về số hữu tỷ.
 
Và cách đơn giản để suy nghĩ về nó là bất kỳ số nào
có thể được biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên
là một số hữu tỷ.
Ví dụ, bất kỳ số nguyên nào là một số hợp lý.
1 có thể được biểu diễn bằng 1/1 hoặc âm 2 so với âm 2
hoặc là 10.000 / 10.000.
Trong tất cả các trường hợp này, đây là các biểu diễn  khác nhau
của số 1, tỷ lệ của hai số nguyên.
Và tôi rõ ràng có thể có một số vô hạn
đại diện của 1 theo cách này,
Cùng một số với cùng một số.
Số âm 7 có thể được biểu diễn dưới dạng âm 7/1,

Arabic: 
 
فلنتحدث قليلا عن الأعداد النسبية
 
وأسهل طريقة للتعرف عليها هي
أي رقم يمكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين
هوعدد النسبى
على سبيل المثال، أى عدد صحيح هو عدد نسبى
1 يمكن تمثيله 1/1 أو سالب 2/سالب2
أو 10,000/10,000
و كل هذة الحالات، هي تمثيلات مختلفة
للعدد 1 كنسبة بين عددين
ومن الواضح  أستطيع الحصول على عدد لا نهائي
لتمثيل الواحد بهذه الطريقة
بقسمة العدد على نفسه
الرقم سالب 7 يمكن تمثيله كسالب 7 على 1

Danish: 
.
Lad os tale lidt om rationale tal.
.
Ethvert tal, der kan udtrykkes som et forhold
mellem 2 heltal
er et rationalt tal.
Ethvert heltal er altså et rationalt tal.
1 kan for eksempel skrives som 1 over 1 eller som minus 2 over minus 2
eller som 10.000 over 10.000.
Ligemeget hvad beskrives tallet 1
som et forhold mellem 2 heltal.
På den måde kan vi skrive
1 på uendeligt mange måder.
Vi sætter et tal over det samme tal.
Minus 7 kan skrives som minus 7 over 1

Dutch: 
 
Laten we het hebben over rationale getallen.
Laten we het hebben over rationale getallen.
En de eenvoudigste manier om daarover te denken is dat elk getal
dat kan worden weergegeven als de verhouding van twee hele getallen
is een rationaal getal.
Bijvoorbeeld, elk heel getal is een rationaal getal.
1 kan worden weergegeven als 1/1 of als -2/-2
of als 10.000/10.000
In al deze gevallen zijn er verschillende representaties
van het getal 1, de ratio van twee hele getallen.
Uiteraard heb ik een oneindig aantal
van representaties van 1 op deze manier.
Hetzelfde getal gedeeld door hetzelfde getal.
Het getal -7 kan worden weergegeven als -7/1,

Norwegian: 
.
La oss snakke litt om rasjonelle tall.
.
Ethvert tall, som kan uttrykkes som et forhold
mellom to heltall
er et rasjonelt tall.
Ethvert heltall er altså et rasjonelt tall.
1 kan for eksempel skrives som 1 over 1 eller som minus 2 over minus 2
eller som 10.000 over 10.000..
Uansett hva beskrives tallet 1
som et forhold mellom 2 heltall.
På den måten kan vi kanskje skrive
1 på uendelig mange måter.
Vi setter et tall over det samme tallet.
Minus 7 kan skrives som minus 7 over 1

German: 
 
Sprechen wir ein wenig über rationale Zahlen.
 
Am einfachsten: Jede Zahl, die als Verhältnis
zwischen zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann,
ist eine rationale Zahl.
Zum Beispiel ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl.
1 kann beispielsweise als 1/1 oder als -2/-2 oder
als 10.000/10.000 geschrieben.
Hier überall handelt es sich um unterschiedliche Darstellungen
der Zahl 1 anhand des Verhältnisses zweier ganzer Zahlen.
Ich kann es bei der Darstellung von 1
mit einer beliebigen ganzen Zahl zu tun haben,
wenn die gleiche Zahl über der gleichen Zahl steht.
Die Zahl -7 könnte als -7/1, als

Bulgarian: 
Нека поговорим за рационални числа.
Рационални числа.
И най-простият начин да го обясним е,
че всяко число, което може да се представи
като частно на две цели числа,
е рационално число.
Например всяко цяло число е рационално.
1 може да бъде представено
като 1 върху 1,
или като –2 върху –2,
или 10 000/10 000.
Във всички тези случаи това са числа, които
представляват частно на две цели числа.
Очевидно те са равни, защото имаме
едно число, разделено на себе си.
Числото –7 може да бъде представено
като –7/1 или 7/–1,

Japanese: 
有理数について話しましょう。
有理数とは、
２つの整数の比で表現できるー
数を意味します。
例えば、すべての整数は有理数です。
１は１／１で、または、−２／ー２
あるいは、100000/100000と表現できます。
これらは、すべて
１の値を表現する２つの整数の比です。
１には、無限の数の
表現方法があります。
同じ２つの整数の比です。
−７は、−７／１

Korean: 
유리수에 대해서 
이야기해 봅시다
가장 간단하게
생각하는 방법은
어떤 수를 두 정수의 비로 
나타낼 수 있는 수 있으면
유리수가 됩니다
예를 들어
모든 정수는 유리수입니다
1은 1분의 1이나
-2분의 -2
또는 10000분의 10000으로 
나타낼 수 있습니다
모두 1을 다르게
표현한 것입니다
두 정수의 비를 사용하여
셀 수 없이 많은 방법으로
1을 표현할 수 있습니다
같은 수 나누기 같은 수로 말입니다
- 7은 - 7/1로 나타낼 수 있고

Mongolian: 
.
Рационал тооны талаар багахан ярилцъя.
.
Рационал тоог хоёр бүхэл тооны харьцаа хэлбэрээр
илэрхийлж болдог тоо гэж ойлговол
илүү оновчтой юм.
Жишээ нь бүхэл тоо бүхэн рационал тоо юм.
1 бол 1:1, эсвэл -2:-2
эсвэл 10000:10000.
1-ийг өөр өөрөөр илэрхийлж байгаа эдгээр харьцаанууд нь бүгд
хоёр бүхэл тооны харьцаа юм.
Мэдээж 1-ийг хоёр
ижил тооны харьцаа хэлбэртэй
хязгааргүй олон удаа илэрхийлж болно.
-7 -г -7/1, 7/-1 эсвэл -14/2

Russian: 
 
Давайте поговорим немного о рациональных числах.
... рациональных числах
Есть простой способ их выразить: любое число, которое
может быть представлено в виде отношения двух целых чисел,
является рациональным.
Например, любое целое число является также рациональным.
1 может быть представлено в виде 1 / 1, или как отношение -2 к -2,
или как 10000 / 10000.
Во всех этих случаях мы имеем дело с разными способами записи
числа 1 в виде отношения двух целых чисел.
Разумеется, я могу получить бесконечно много
способов записи числа 1 в виде
отношения некоего числа к самому себе.
Число -7 можно записать как -7 / 1,

Serbian: 
...
Хајде да мало попричамо о рационалним... рационалним бројевима.
Рационалним бројевима.
А једноставан начин да мислимо о томе јесте да било који број који
се може представити као однос... као однос два цела броја
јесте рационалан број.
Дакле, на пример, сваки цео број је рационалан број.
1 може бити приказано као 1/1, или минус 2 кроз минус 2
или као 10.000 / 10.000.
У сваком од ових случајева, ово су све различити прикази
броја 1, као однос два цела броја.
И, очигледно је да може бити бесконачно много
представљања броја 1 на овај начин.
Исти број кроз исти број.
Број... негативно 7 би могао бити приказан као минус 7/1,

Czech: 
Řekněme si nyní něco o racionálních číslech.
Racionální číslo je jednoduše
jakékoliv číslo,
které může být vyjádřeno
jako podíl dvou celých čísel.
Například jakékoliv celé číslo
je racionální číslo.
Číslo 1 můžeme vyjádřit jako 1/1 nebo
-2 lomeno -2
nebo jako 10 000/10 000.
Všechny tyto příklady
představují různé způsoby
jak vyjádřit číslo 1,
jako podíl dvou celých čísel.
Takovým způsobem mohu
samozřejmě získat
nekonečné množství 
reprezentací čísla 1,
jakékoliv číslo lomeno to stejné číslo.
Číslo -7 můžeme vyjádřit jako -(7/1),

Nepali (macrolanguage): 
अाज rational number को बारे कुरा गराै न त।
सजीलोसँग भन्दा, rational number भनेको त्यस्तो number हो
जुन दुई वटा number को ratio हो।
जस्तै कुनै पनि integer, rational number हुन सक्छ।
माथि देखाइए जस्तो।
माथि देखाइएका सबै ratio हरु "1" कै फरक रुप भनी बुझ्दा हुन्छ;
दुईटा परक number का ratio ।
यसै गरी, "1" का धेरैवटा ratio हुन सक्छन।
कुनै अंकलाई सोहि अंकले भाग(divide) गर्दा, प्रतिफल (result) "1" नै हुन्छ।

Norwegian: 
eller 7 over minus 1 eller minus 14 over 2.
Sånn kan vi fortsette.
Minus 7 er altså også et rasjonelt tall.
Det kan beskrives som forholdet mellom to heltall.
Hva med tall, som ikke er heltall?
La oss se på 3,75.
Kan vi skrive det som forholdet mellom 2 heltall?
Vi kan skrive 3,75
som 375 over 100, som også er 750 over 2000.
3,75 er også det samme som 3 og 3/4,
så det kan vi skrive
som 15/4.

Thai: 
หรือ 7 ส่วนลบ 1
หรือลบ 14 ส่วนบวก 2
แล้วผมก็ทำไปเรื่อยๆ
เรื่อยๆ เรื่อยๆ ได้
ลบ 7 จึงเป็นจำนวนตรรกยะแน่นอน
มันสามารถแทนได้ด้วย
อัตราส่วนจำนวนเต็มสองตัว
แต่จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มล่ะ
ตัวอย่างเช่น ลองนึกดู
-- ไม่รู้สิ -- 3.75
เราจะแทนมันเป็นอัตราส่วน
ของจำนวนเต็มสองตัวอย่างไร?
ตรงนี้ 3.75 คุณเขียนมันใหม่
เป็น 375/100 ซึ่งก็คือ
750/200
หรือคุณบอกว่า เฮ้
3.75 ก็เหมือนกับ 3
กับ 3/4 -- ขอผมเขียนตรงนี้นะ --
ซึ่งเท่ากับ -- มันคือ 15/4

German: 
7/-1 oder auch als -14/2 dargestellt werden.
Und da gäbe es noch unzählig weitere Möglichkeiten.
-7 ist also definitiv eine rationale Zahl.
Es kann als Ratio (Verhältnis) von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
Wie sieht es nun aus, wenn da keine ganzen Zahlen sind?
Nehmen wir zum Beispiel 3,75.
Wie kann ich das im Verhältnis zweier ganzen Zahlen darstellen?
Nun, 3,75 kann man
als 375/100 schreiben, was das Gleiche ist wie 750/200.
Man könnte auch sagen, dass 3,75 das Gleiche ist
wie 3 und 3/4.
Das wiederum ist das Gleiche wie 15/4.

Bulgarian: 
или –14/2 и това може да продължи още.
Така че –7 е със сигурност рационално число.
То е представено като частно
на две цели числа.
А сега нека да си представим 3,75.
Как можем да представим това число като
частно на две цели числа?
3,75 е равно на 375/100.
Което е същото като 750/200.
Това може да бъде също 3 цяло и 3/4.
Което е равно на 15/4.

Arabic: 
أو سبعة على سالب 1 ،أو سالب 14 على موجب  2
واستطيع الاستمرار
إذا سالب 7 قطعا هو عدد نسبي
يمكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين.
لكن ماذا عن الأعداد  التي ليست صحيحة
على سبيل المثال، دعونا نتخيل .. لا أعلم ...3.75
كيف يمكننا تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين؟
حسنا، 3.75 يمكنك إعادة كتابته
على صورة 375/100،وهو نفس 750/200
أو تستطيع القول  أن 3.75
هو نفس 3 و3/4 --إذا دعني أكتبها هنا
وهو نفس 15/4

Japanese: 
或いは、７／ー１、−１４／２
など、無限です。
−７は明らかに有理数です。
２つの整数の比で表現できます。
では、整数でない数はどうでしょう？
例えば、3.75
これは、どの様な２つの整数で表せますか？
3.75は
３７５／１００、あるいは７５０／２００
また、3.75は
３と３／４で
これは、１５／４と書けます。

Italian: 
o 7/(-1), o -14/2.
E potrei andare avanti all'infinito.
Quindi, -7 è un numero razionale.
Può essere rappresentato come rapporto fra due numeri interi.
Ma i numeri che non sono interi?
Per esempio, immagina - non so - 3,75.
Come possiamo rappresentarlo
nella forma di rapporto fra due numeri interi?
Bene, 3,75 può essere scritto
come 375/100, che è equivalente a 720/200.
O possiamo dire, hey, 3,75 è uguale a 3
e 3/4 - quindi, lo scrivo qui -
è equivalente a 15/4.

Dutch: 
of 7/-1, of -14/2.
Ik kan zo blijven doorgaan.
Dus -7 is zeker een rationaal getal.
Het kan worden gerepresenteerd als 
de ratio van twee hele getallen.
Maar hoe zit het met dingen die geen hele getallen zijn?
Neem bijvoorbeeld 3,75.
Hoe kunnen we dat weergeven 
als de ratio van twee hele getallen?
Nou, 3,75 kunnen we omschrijven
als 375/100, wat hetzelfde is als 750/200.
Of ik kan zeggen, 3,75 is hetzelfde als 3
en 3/4
wat hetzelfde is als 15/4.

Vietnamese: 
Hoặc 7 trên âm 1, hoặc âm 14 trên dương  2.
Và tôi có thể tiếp tục, tiếp tục, tiếp tục.
Vì vậy, âm 7 chắc chắn là một con số hữu tỷ.
Nó có thể được biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên.
Nhưng những gì về những thứ không phải là số nguyên?
Ví dụ, chúng ta hãy tưởng tượng-- Ồ, tôi không biết-- 3.75.
Làm thế nào chúng ta có thể cho rằng đó là tỷ số của hai số nguyên?
Vâng, 3,75, bạn có thể viết lại rằng
là 375/100, đó là điều tương tự như 750/200.
Hoặc bạn có thể nói, hey, 3,75 là điều tương tự như 3
và 3 / 4-- để cho tôi viết nó ở đây--
Cũng giống như - đó là 15/4.

Russian: 
или 7 / -1 или -14 / 2
И я могу продолжать дальше и дальше.
Таким образом, -7 определенно рациональное число.
Оно может быть записано как отношение двух целых чисел.
Но как на счет не целых чисел?
Например, возьмем... хм, даже и не знаю... 3.75.
Как мы можем записать это в виде отношения двух целых чисел?
Что ж, 3.75 вы могли бы переписать как
375 / 100, что то же самое, что и 750 / 200.
Или вы могли бы сказать: "Эй, 3.75 это то же самое, что
3 и 3 / 4". Дайте мне записать это...
Что то же самое, что и 15 / 4.

Serbian: 
или 7 кроз минус 1, или негативно 14 кроз позитивно 2.
И могу да наставим тако и даље и даље и даље.
Дакле, минус 7 је дефинитивно рационалан број.
Може да буде представљен као однос два цела броја.
Али, шта са стварима које нису цео број?
На пример, хајде да замислимо... хм, не знам... замислимо 3,75.
Како могу да представим то као однос два цела броја?
Па, 3,75 можете... можете то преписати
као 375 кроз... кроз 100, што је иста ствар као и 750/200.
Или, можете рећи: "Хеј, 3,75 је иста ствар као и 3
и 3/4." Као 3 и 3/4. Дајте да то напишем овде... 3 и 3/4.
Што је исто као и... ово је 15/4.

Korean: 
7/- 1 또는 - 14/2로 
나타낼 수도 있습니다
이렇게 다른 방식으로 
무한히 표현할 수 있습니다
그러므로 - 7은 
당연히 유리수입니다
이는 두 정수의 비로 
나타낼 수 있습니다
그런데 정수가 아닌 것들은 
어떨까요?
예를 들면 3.75
어떻게 이것을 두 정수의 
비로 나타낼 수 있을까요?
3.75는 375/100으로 
나타낼 수 있고
이것은 750/200과 
같습니다
아니면 3.75는 
3과 3/4과 같다고 할 수 있습니다
여기에다가 쓰겠습니다
그것은 15/4와 같습니다

Georgian: 
ან შვიდი შეფარდებული უარყოფით 
ერთთან, ან უარყოფითი 14 გაყოფილი ორზე.
და შემიძლია ასე გავნაგრძო უსასრულოდ.
უარყოფითი შვიდი
აშკარად რაციონალური რიცხვია.
ის შეიძლება წარმოვაგინოთ,
როგორც ორი მთელი რიცხვის შეფარდება.
და რა იქნება, 
როცა რიცხვები არაა მთელი.
მაგალითად, წარმოვიდგინოთ--
ოჰ, არ ვიცი-- 3.75.
როგორ წარმოვადგინოთ ეს ორი
მთელი რიცხვის შეფარდების სახით?
3.75, შეგიძლიათ დაწეროთ, 
როგორც 375/100, რაც იგივე 750/200-ია.
ან შეგიძლიათ თქვათ, 
3.75 იგივე სამი მთელი 3/4-ია--
მოდით აქ ჩავწერ--
ეს იგივეა, რაც--
ეს 15/4.

Mongolian: 
гэх мэт илэрхийлж болно.
Ингэж, ингэж, ингэж болж байна.
тэгэхээр -7 нь рационал тоо.
Хоёр бүхэл тооны харьцаа хэлбэрээр илэрхийлэгдэж байна.
Гэхдээ ийм бүхэл биш тоог яах вэ?
Жишээ нь: бүгдээрээ 3.75ыг мэдэхгүй байгаа гэж бодъё.
Үүнийг хэрхэн хоёр бүхэл тооны харьцаа хэлбэртэй бичих вэ?
Тэгэхээр 3.75ыг
375/100 гэж бичиж болно, энэ нь мөн 750/200тай адил.
Эсвэл 3.75ийг 3 бүхэл 3/4
гэж бичвэл
4-н 3-ын 12, түүн дээр нэмэх нь 3 гэвэл

Nepali (macrolanguage): 
माथि देखाइए जस्तो।
त्यसैले -ve 7 एउटा rational number हो।
किनकि -ve 7 दुईटा integers को ratio हो।
अनि integers बाहेकका number चाहि rational number हुन त ?
जस्तै 3.75।
3.75 लाई दुई वटा number को ratio कसरी बनाउन सकिन्छ त?
यसरी लेख्दा हुन्छ कि!
375/100 वा 750/200।
3.75 भनेको 3 & 3/4 नै त हो।

Danish: 
eller 7 over minus 1 eller minus 14 over 2.
Sådan kan vi fortsætte.
Minus 7 er altså også et rationalt tal.
Det kan beskrives som forholdet mellem 2 heltal.
Hvad med tal, der ikke er heltal?
Lad os se på 3,75.
Kan vi skrive det som forholdet mellem 2 heltal?
Vi kan skrive 3,75
som 375 over 100, som også er 750 over 200.
3,75 er også det samme som 3 og 3/4,
så det kan vi skrive
som 15/4.

English: 
or 7 over negative 1, or
negative 14 over positive 2.
And I could go on, and
on, and on, and on.
So negative 7 is definitely
a rational number.
It can be represented as
the ratio of two integers.
But what about things
that are not integers?
For example, let us imagine--
oh, I don't know-- 3.75.
How can we represent that as
the ratio of two integers?
Well, 3.75, you
could rewrite that
as 375/100, which is the
same thing as 750/200.
Or you could say, hey,
3.75 is the same thing as 3
and 3/4-- so let
me write it here--
which is the same
thing as-- that's 15/4.

Czech: 
nebo 7 lomeno -1
nebo -14 lomeno 2.
A tak bychom mohli pokračovat dál.
Číslo -7 je tedy zcela jistě racionální.
Můžeme ho vyjádřit 
jako podíl dvou celých čísel.
Co ale s čísly, která nejsou celá?
Vezměme si například 3,75.
Jak můžeme toto číslo vyjádřit
jako poměr dvou celých čísel?
Číslo 3,75 můžete zapsat také jako
375/100 nebo jako 750/200.
Mohli byste také říct,
že 3,75
se rovná 3 a 3/4
nebo také 15/4.

Dutch: 
4 keer 3 is 12, plus 3 is 15.
Dit is hetzelfde als 15/4.
Of we kunnen dit schrijven als -30/-8.
Ik heb alleen maar de teller en de noemer
met -2 vermenigvuldigd.
Voor de duidelijkheid, dit is rationaal.
Ik heb je meerdere voorbeelden gegeven hoe
dit kan worden weergegeven 
als de ratio van twee hele getallen.
En hoe zit het met repeterende decimalen?
Laten we het meest beroemde geval
nemen van repeterende decimalen.
Zeg je hebt 0,333... dat voor altijd doorgaat,
wat we kunnen aangeven door 
een klein streepje aan de bovenkant
van de 3.
Dit is 0,3 repeterend.
We zullen later zien
hoe je een repeterende decimaal kan omzetten
naar de ratio van twee hele getallen-- 
dit is natuurlijk 1/3.
Misschien heb je iets gezien als 0,6 repeterend, dat is 2/3.
En er zijn vele, vele, vele andere voorbeeld hiervan.
We zullen zien dat elk repeterende decimaal-- niet alleen

German: 
4 mal 3 ist 12, plus 3 ist gleich 15.
Es ist das Gleiche wie 15/4.
Wir könnten es aber auch als -30/-8 schreiben.
Ich habe nun soeben den Zähler und den Nenner
mit -2 multipliziert.
Aber um es klarzustellen: Es handelt sich um eine rationale Zahl.
Wir sprechen hier über mehrere Möglichkeiten,
wie dies anhand des Verhältnisses zweier ganzen Zahlen dargestellt werden kann.
Wie sieht es mit sich wiederholenden Nachkommastellen aus?
Lass es uns anhand des vielleicht bekanntesten
"Wiederholens einer Stelle hinter dem Komma" anschauen.
Wir nehmen 0,333. Das geht nun endlos so weiter hinter dem Komma. Wir können
dies nun mittels dieses kleinen Striches oberhalb
der 3 kennzeichnen.
Dies bedeutet 0,3 (die 3 wiederholt sich).
Wir haben gesehen und werden nochmals sehen,
wie man all diese Zahlen mit sich wiederholenden Nachkommastellen
als Verhältnis zweier ganzen Zahlen darstellen kann. Hier entspricht es dem Bruch 1/3.
Vielleicht hast du auch schon solches wie 0,6 (6 wiederholt sich) gesehen. Dies sind 2/3.
Es gibt aber noch viel, viel mehr Beispiele.
Auch solche, wo sich nicht nur die gleiche Stelle

Thai: 
4 คูณ 3 ได้ 12, บวก 3 ได้ 15
คุณก็เขียนแบบนี้ได้
มันเท่ากับ 15/4
หรือเราเขียนมันเป็น
ลบ 30 ส่วนลบ 8 ได้
ผมก็แค่คูณทั้งเศษและส่วน
ด้วยลบ 2
บอกให้ชัดอีกที
นี่คือจำนวนตรรกยะชัดเจน
ผมจะยกตัวอย่างหลายอัน
ว่าจำนวนนี้เขียนเป็นอัตรา
ของจำนวนเต็มสองตัวได้อย่างไร
ทีนี้ ทศนิยมซ้ำล่ะ?
ขอผมเลือกทศนิยมซ้ำ
ที่ดังที่สุดแล้วกันนะ
สมมุติว่าคุณมี 0.333
ที่ยาวไปตลอด
ซึ่งเราเขียนมันโดยใส่ขีด
บนเลข 3
มันคือ 0.3 ซ้ำ
และเราเห็นว่า --
ต่อไปเราจะแสดง
ว่าคุณแปลงทศนิยมซ้ำใดๆ
เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม
สองตัวได้ -- ว่ามันคือ 1/3
หรือบางที คุณเห็นของอย่างเช่น
0.6 ซ้ำ ซึ่งก็คือ 2/3
และยังมีตัวอย่างอื่นๆ
ต่างๆ มากมายแบบนี้
และเราจะเห็น่วาทศนิยมซ้ำใดๆ

Georgian: 
ოთხჯერ სამი 12-ია,
დამატებული სამი 15, შეგიძლიათ ჩაწეროთ.
ეს იგივე 15/4-ია.
შეგვეძლო ჩაგვეწერა, როგორც 
უარყოფითი 30 შეფარდებული უარყოფით რვაზე.
უბრალოდ გავამრავლო 
მრიცხველის და მნიშვნელიც უარყოფით ორზე.
უფრო ნათელი რომ იყოს მისი რაციონალურობა.
რამდენიმე მაგალითს გეტყვით თუ როგორ
შეიძლება წარმოვადგინოთ 
ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად.
და რა იქნება უსასრულო ათწილადებზე?
მოდით ყველა ცნობილი 
უსასრულო ათწილადი ავიღოთ.
ვთქვათ გვაქვს 0.333 
და ასე გრძელდება უსასრულოდ,
რაც შეგვიძლია 
მივუთითოთ პატარა ხაზით სამის თავზე.
0.3 მეორდება.
და დავინახეთ--
მოგვიანებით განახებთ
როგორ გადააქციოთ 
ნებისმიერი უსასრულო ათწილადი
ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად--
აშკარად 1/3-ია.
ან იქნებ გინახავთ 
0.6-ის განმეორება, რაც 2/3-ია.
და კიდევ ბევრი, 
ბევრი, ბევრი მაგალითია ამისა.
და ნებისმიერ უსასრულო ათწილადზე,

Italian: 
4 per 3 fa 12, più 3 fa 15, quindi possiamo scrivere questo.
È la stessa cosa di 15/4.
O possiamo scriverlo come -30/(-8).
Ho solo moltiplicato il numeratore e il denominatore
per meno 2.
Ma, giusto per essere chiari, questo numero è razionale.
Sto facendo diversi esempi di come
questo possa essere rappresentato come un rapporto di due numeri interi.
Ora, i numeri periodici?
Bene, consideriamo quello che
è forse il più famoso
dei numeri periodici.
Diciamo che abbiamo 0.333 e continua con il 3 per sempre,
cosa che possiamo indicare con questa piccola lineetta sopra
al 3.
Questo è 0 virgola 3 periodico.
E più avanti ti mostrerò
come trasformare qualsiasi decimale periodico
in rapporto di due interi... ma questo è chiaramente 1/3.
Magari hai visto anche 0.6 periodico, che è 2/3.
E ci sono moltissimi esempi simili.
Vedremo ogni tipo di decimale periodico,

Arabic: 
4 ضرب 3 يعطي 12، زائد 3 يعطي 15، تستطيع كتابة هذا
هو نفس 15/4
أو نستطيع كتابتها كسالب 30 على سالب 8
أنا فقط ضربت البسط والمقام
هنا بسالب 2
فقط ليكون واضحا، من الواضح أنه عدد نسبي
أنا أعطيك عدة أمثلة لكيفية
تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين
الآن، ماذا عن الكسور العشرية الدورية
حسنا، دعونا نأخذ ربما أشهر  مثال
للكسور العشرية الدورية
دعونا نقول أن لديك ...0.3333  كررها وللأبد
والذي نستطيع أن نرمز له بوضع
بار أعلى 3
هذا هو الرقم الدوري للعدد 0.3
ولقد رأينا و سوف نعرض لاحقا
كيف يمكنك تحويل أي كسر عشري دوري
إلى نسبة بين عددين صحيحين، --هذا واضح أنه 1/3
أو ربما قد رأيت أشياء مثل 0.6 مكرره والذي يساوي 2/3
وهناك الكثير والكثير والكثير من الأمثلة الأخرى لهذا
و سوف نرى أي كسر عشري دوري

Danish: 
4 gange 3 er 12. 12 plus 3 er 15. Derfor kan vi skrive det sådan her.
Det her er det samme som 15/4.
Vi kan også skrive det som minus 30 over minus 8.
Her ganger vi tæller og nævner
med minus 2.
Det her er altså et rationalt tal.
Vi kan skrive det som forholdet
mellem 2 heltal på flere måder.
Hvad med periodiske uendelige decimaltal?
Lad os se på et af de
mest kendte eksempler.
Det er 0,333, og tretallene fortsætter i det uendelige.
Det kan vi vise ved at tegne en lille streg
over tretallet.
Det er 0,3 i det uendelige.
Vi skal senere se på,
hvordan vi kan skrive periodiske uendelige decimaltal
som forholdet mellem 2 heltal, men det her er 1/3.
0,666 og så videre er 2/3.
Der er mange andre eksempler.
Det kan godt være,

Bulgarian: 
4 по 3 е 12, плюс 3 е 15.
Можем да запишем това като 15/4.
Или –30/–8,
просто умножаваме числителя и
знаменателя по –2.
Но това очевидно е рационално число,
тук дадохме множество примери как
може да се получи като частно
на две цели числа.
А какво става като вземем
периодична десетична дроб?
Нека вземем най-известното - 0,3333(3)
и можем да сложим тире върху тройката,
за да означим, че е в период.
Скоро ще видим как можем
да представим всяка периодична дроб
като рационално число
или като отношение на две цели числа.
Това е равно на 1/3.
Или можеш да видиш 0,6(6),
което е 2/3.
Има и още много други примери.

Mongolian: 
15 болох учраас 15/4-тай ижил.
Энэ нь 15/4 тэй ижил.
Үүнийг бас -30/-8 гэж бичиж болно.
Би зүгээр л хүртвэр хуваарийг
-2-оор үржүүлсэн.
Гэхдээ энэ тодорхой байна, рационал гэдэг нь тодорхой байна.
Би та нарт хоёр бүхэл тооны
харьцаагаар илэрхийлэгдсэн олон жишээ өгье.
Одоо үет аравтын бутархайг харъя.
Магадгүй хамгийн түгээмэл
үет аравтын бутархайг авч үзье.
0.333 гэж төгсгөлгүй үргэлжилсэн байвал
үүнийг 3-ийн дээр нь
зураастай тэмдэглэдэг.
энэ бол 0.3 үетэй бутархай
Хэрэв бид дараа ямар нэг үет бутархайтай таарвал
хоёр бүхэл тооны харьцаа хэлбэртэй бичиж болно,
энэ нь 1/3 болох нь тодорхой байна.
Магадгүй 0.6 үет бутархай байвал энэ нь 2/3 юм.
Ийм маш олон олон жишээ байгаа.
Мөн бид ямар ч цифр давтагдаагүй

Vietnamese: 
4 lần 3 là 12, cộng với 3 là 15, vì vậy bạn có thể viết như này.
Đây là điều tương tự như 15/4.
Hoặc chúng ta có thể viết điều này bằng âm tính 30 so với âm 8.
Tôi chỉ nhân tử số và mẫu số
ở đây bởi âm 2.
Nhưng rõ ràng, điều này rõ ràng là hợp lý.
Tôi đang cho bạn nhiều ví dụ về cách
có thể được biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên.
Bây giờ, những gì lặp đi lặp lại về số thập phân?
Vâng, hãy lấy có lẽ nổi tiếng nhất
của các số thập phân lặp đi lặp lại.
Hãy nói rằng bạn có 0,333, chỉ cần cứ tiếp tục và mãi mãi,
Mà chúng ta có thể biểu thị bằng cách đặt gạch ngang nhỏ trên đầu
của số 3
Đây là 0,3 lặp đi lặp lại.
Và chúng tôi đã nhìn thấy-- và sau đó chúng tôi sẽ hiển thị
Làm thế nào bạn có thể chuyển đổi bất kỳ số thập phân lặp đi lặp lại
Như tỷ số của hai số nguyên - rõ ràng là 1/3.
Hoặc có thể bạn đã nhìn thấy những thứ như 0.6 lặp đi lặp lại, đó là 2/3.
Và có rất nhiều, nhiều, nhiều ví dụ khác về điều này.
Và chúng ta sẽ thấy bất kỳ số thập phân lặp đi lặp lại nào, không chỉ

English: 
4 times 3 is 12, plus 3 is
15, so you could write this.
This is the same thing as 15/4.
Or we could write this as
negative 30 over negative 8.
I just multiplied the
numerator and the denominator
here by negative 2.
But just to be clear,
this is clearly rational.
I'm giving you multiple
examples of how
this can be represented as
the ratio of two integers.
Now, what about
repeating decimals?
Well, let's take
maybe the most famous
of the repeating decimals.
Let's say you have 0.333, just
keeps going on and on forever,
which we can denote by
putting that little bar on top
of the 3.
This is 0.3 repeating.
And we've seen--
and later we'll show
how you can convert
any repeating decimal
as the ratio of two integers--
this is clearly 1/3.
Or maybe you've seen things like
0.6 repeating, which is 2/3.
And there's many, many,
many other examples of this.
And we'll see any
repeating decimal, not just

Russian: 
4 умножить на 3 равно 12, плюс 3 равно 15, так что можно записать так:
это то же, что 15 / 4.
Или мы могли бы записать это как отношение -30 к -8
Я только помножил числитель и знаменатель
здесь на -2.
Внесу ясность: это число явно рациональное.
Я даю вам несколько примеров
того, как оно может быть записано в виде отношения двух целых чисел.
Теперь займемся периодическими дробями.
Ну, возьмем наиболее известные
периодические дроби.
Возьмем 0.333..., которая является бесконечной,
что мы можем обозначить надчеркиванием повторяющейся части дроби
(то есть числа 3)
Это дробь 0.(3), где 3 -- период.
И мы видели... и позже мы покажем,
как можно преобразовать любую периодическую дробь в обыкновенную,
представив ее в виде отношения двух целых чисел... В данном случае это 1 / 3.
Или, быть может, вы видели периодическую дробь 0.(6), которая 2 / 3.
Существует еще много-много примеров.
И мы увидим какой угодно период у дроби,

Korean: 
4 곱하기 3은 12이고 
더하기 3은 15입니다
이것은 15/4와 같습니다
아니면 - 30/- 8이라고 
적어도 됩니다
분모와 분자에다가 각각
- 2를 곱했을 뿐입니다
이 수는 확실히 유리수네요
이게 두 정수의 비로
어떻게 나타내어지는지에 대한 
여러 가지 예를 들었습니다
순환소수는 어떨까요?
순환소수의 대표적인
예를 들어 봅시다
0.333이 있는데 
3이 계속된다고 해봅시다
3 위에 작은 선(한국에서는 점)을
표시해서 나타낼 수 있습니다
순환소수 0.3 입니다
그리고 나중에 제가
순환소수를 어떻게 두 정수의 비로 
바꾸는지를 보여줄게요
이건 명확히 1/3입니다
또는 순환소수 0.6 의 
경우에는 2/3가 됩니다
수많은 다른 예들이 있습니다
다른 순환소수가 있을 때

Norwegian: 
4 ganger 3 er 12. 12 pluss 3 er 15. Derfor kan vi skrive det sånn her.
Det er det samme som 15/4.
Vi kan også skrive det som minus 30 over minus 8.
Her ganger vi teller og nevner
med minus 2.
Det her er altså et rasjonelt tall.
Vi kan skrive det som forholdet
mellom 2 heltall på flere måter.
Hva med periodiske uendelige desimaltall?
La oss se på et av de
mest kjente eksempler.
Det er 0,333, og tretalene fortsetter i det uendelige.
Det kan vi vise med å tegne en liten strek
over tretallet.
Det er 0,3 i det uendelige.
Vi skal senere se på,
hvordan vi kan skrive periodiske uendelige desimaltall
som forholdet mellom 2 heltall, men det her er 1/3.
0,666 og så videre er 2/3.
Det er mange andre eksempler.
Det kan godt være,

Japanese: 
４＊３は１２で、１２＋３は１５、
だから、１５／４です。
−３０／ー８とも書けます。
分子と分母に−２を
掛けました。
これは、明らかに有理数です。
他の例も挙げられますが、
２つの整数の比で表現できる数は有理数です。
では、循環小数はどうでしょう？
もっとも、なじみのある
循環小数を見てみましょう。
0.33333と続く循環小数です。
これは、上に線を引いて
循環小数と表現されます。
0.3の循環小数です。
では、
どのように整数の比に変換できるでしょう？
これは、明らかに１／３です。
0.6の循環小数は２／３です。
他に多くの例が挙げられます。
1桁以上の循環小数は

Serbian: 
4 пута 3 је 12, плус 3 је 15, па можете записати ово...
Ово је исто као 15/4.
Или, можемо записати ово као минус 30 кроз минус 8.
Само сам помножио бројилац и именилац,
овде, са минус 2.
Али, да будем јасан, ово је очигледно рационалан број.
Даћу вам више примера како
ово може бити представљено као однос... као однос два цела броја.
Сад, шта је са понављајућим децималним бројем?
Па, хајде да узмемо можда најпознатији број
са понављајућом децималом.
Рецимо да имате 0,333, што се стално понавља, без краја,
који можемо обележити стављањем оне цртице на
врх тројке.
Ово је 0,3 са понављањем.
Видели смо... а касније ћемо показати
како можете конвертовати било који понављајући децимални у рационални...
као однос два цела броја... Ово је очигледно 1/3.
Или, можда сте видели нешто као 0,6 са понављањем, што је 2/3.
Има много, много, много других примера овога.
И видећемо да било који понављајући децимални број, а не само

Czech: 
4 krát 3 je 12, plus 3 je 15.
Je to tedy 15/4.
Mohli bychom to také zapsat jako
-30 lomeno -8.
Jen jsem vynásobil čitatele i jmenovatele
-2
Je to tedy určitě racionální číslo.
Dal jsem vám spoustu příkladů,
jak jej můžeme vyjádřit
jako podíl dvou celých čísel.
A co třeba periodická čísla?
Vezměme si třeba nejznámější
periodické číslo 0,333.
Máme tedy číslo 0,333,
které pokračuje donekonečna,
což můžeme zapsat
s pomocí malé čárky
nad číslicí 3.
Je to 0,3 periodicky.
Později si ukážeme,
jak se dá převést jakékoliv
periodické číslo
na podíl dvou celých čísel.
Toto je zcela jasně 1/3.
Možná jste viděli číslo
0,6 periodicky, což jsou 2/3.
Existuje spousta dalších příkladů.
Platí to pro všechna periodická čísla,

Bulgarian: 
Ние ще видим, че можем да имаме и
много цифри в период, не само 1.
Докато тези числа се повтарят отново и отново,
ние винаги можем да представим числото като
отношение на цели числа.
Знам какво си мислиш,
Сал, ти включи доста числа като рационални..
Включи всички периодични дроби
с повтарящи се цифри,
или десетични дроби без повтарящи се цифри.
Има ли числа, които не се
включват в рационалните?
И сигурно предполагаш, че има.
Иначе хората не биха нарекли
тези рационални.
И излиза, че някои от най-известните числа
са всъщност ирационални.

German: 
hinter dem Komma wiederholt.
Das können auch Millionen sich wiederholende Ziffern sein.
Solange sich eine Abfolge der Nachkommastellen
immer wieder wiederholt, kann man es
als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.
Ich weiss, was du vielleicht nun denkst.
Hey, Sal, du hast bereits vieles aufgezeigt.
Du hast gezeigt, wie es sich mit ganzen Zahlen äussert.
Du hast es auch anhand von Zahlen mit nicht unendlich wiederholenden Nachkommastellen gezeigt.
Und du hast uns auch dies mit den sich wiederholenden Kommastellen gezeigt.
Was gibt es darüber hinaus?
Gibt es überhaupt Zahlen, welche nicht rational sind?
Und wie du vielleicht schon ahnst, ist es so.
Ansonsten würde man auch Probleme habe,
hier wiederum von rationalen Zahlen zu sprechen.
Und es ist nun so, dass ein paar
der wohl berühmtesten Zahlen der Mathematik
nicht rational sind.
Und wir nennen diese eben irrationale Zahlen.

Danish: 
at der er flere end 1 decimal, der går igen.
Det kan være en periode på 1 million decimaler.
Så længe perioden eller mønsteret begynder forfra
på et tidspunkt,
kan vi skrive det som forholdet mellem 2 heltal.
Indtil videre
har vi inkluderet rigtig mange slags tal
i de rationale tal. Vi har set på heltal,
almindelige decimaltal
og periodiske uendelige decimaltal.
Hvad er der overhovedet tilbage?
Er der nogen tal, der ikke er rationelle?
Det er der faktisk.
Ellers var der jo ingen grund til at lave en
gruppe kaldet rationale tal.
Faktisk er der nogle
ret kendte tal indenfor matematikken,
der ikke er rationelle.
Dem kalder vi irrationale.

Norwegian: 
at det er fler enn 1 desimal, som går igjen.
Det kan være en periode på 1 million desimaler.
Så lenge perioden eller mønsteret begynner forfra
på et tidspunkt,
kan vi skrive det som forholdet mellom 2 heltall.
Inntil videre
har vi inkludert veldig mange slags tall
i de rasjonelle tallene. Vi har sett på heltall,
alminnelige desimaltall
og periodiske uendelige desimaltall.
Hva er det igjen?
Er det noen tall, som ikke er rasjonelle?
Det er det faktisk.
Ellers var det ingen grunn til å lage en
gruppe kalt rasjonelle tall.
Faktisk er det noen
ganske kjente tall innenfor matematikken,
som ikke er rasjonelle.
De kaller vi irrasjonelle.

Italian: 
anche con più cifre periodiche.
Anche se ha un milione di cifre periodiche,
basta che si ripetano all'infinito,
puoi sempre rappresentarlo
come rapporto di due interi.
So cosa stai pensando.
Sal, hai messo dentro tutto.
Hai incluso tutti gli interi.
Hai incluso tutti i decimali finiti non periodici
e anche i decimali periodici.
Cosa resta fuori?
Ci sono numeri che non sono razionali?
Probabilmente immagini che ce ne sono,
altrimenti le persone non si sarebbero
posti il problema di dare un nome a questi razionali.
In effetti, come puoi immaginare,
alcuni dei più famosi numeri della matematica
non sono razionali.
E li chiamiamo numeri irrazionali.

Korean: 
한 자리만 반복되지 않고
무려 백만 자리가 반복되더라도
이 패턴이 계속 반복되는 한
그 수를 두 정수의 비로
항상 나타낼 수 있습니다
여러분이 무엇을 생각하고
있을지 압니다
많은 것을 살펴봤어요
정수를 다 포함했고
모든 유한소수도 포함했고
순환소수도 포함했습니다
무엇이 남았을까요?
유리수가 아닌 수가 있을까요?
아마 있을 것이라고 
추측하고 있을 것입니다
아니면 사람들이 굳이 
그것을 유리수라고
정의하는 고생을 하지 않았겠지요
알고 보면
수학에서 가장 유명한
수들은
유리수가 아닙니다

English: 
one digit repeating.
Even if it has a million
digits repeating,
as long as the pattern
starts to repeat itself
over and over and
over again, you
can always represent that as
the ratio of two integers.
So I know what you're
probably thinking.
Hey, Sal, you've
just included a lot.
You've included all
of the integers.
You've included all of finite
non-repeating decimals,
and you've also included
repeating decimals.
What is left?
Are there any numbers
that are not rational?
And you're probably
guessing that there are,
otherwise people
wouldn't have taken
the trouble of trying to
label these as rational.
And it turns out-- as you
can imagine-- that actually
some of the most famous
numbers in all of mathematics
are not rational.
And we call these numbers
irrational numbers.

Czech: 
nejen tam, kde se opakuje jedna číslice.
Dokonce i u těch, která mají
milion číslic periodicky.
Pokud se část opakuje
stále dál a dál,
můžete takové číslo vždy vyjádřit
jako podíl dvou celých čísel.
Vím, co si asi říkáte:
"Hele, Sale, to ale platí pro hodně čísel.
Podle tebe jsou racionální
všechna celá čísla,
všechna konečná neperiodická čísla
a také všechna periodická čísla.
Která tedy zbývají?
Existují nějaká neracionální čísla?"
Uhádli jste, ano, jsou,
jinak by si lidé nedávali
tu práci a neoznačili by
ta první jako racionální.
Dokonce se ukázalo,
že většina čísel
známých v matematice
není racionální.
Říkáme jim iracionální čísla.

Japanese: 
どうなるでしょう？
繰り返す桁が百万の循環小数でも
それが循環小数であれば
必ず、２つの整数の比に
変換できます。
だぶん、君は
”ほんとに多くの数が有理数だ”と思うでしょう。
すべての整数と
無限の循環しない小数と
そして、循環小数を含みます。
では、何が残るでしょう？
有理数でないのはどんな数でしょう？
だぶん、
有理数でないと考えることがないけれど
実際考えると
いくつかの
馴染みのある数が
有理数に含まれません。
これらは無理数と呼ばれます。

Vietnamese: 
lặp lại một chữ số.
Ngay cả khi nó có một triệu số lặp đi lặp lại,
Miễn là khuôn mẫu bắt đầu lặp lại chính nó
Hơn và hơn và hơn nữa, bạn
Luôn luôn có thể biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên.
Vì vậy, tôi biết những gì bạn có thể nghĩ.
Này Sal, bạn đã bao gồm rất nhiều.
Bạn đã bao gồm tất cả các số nguyên.
Bạn đã bao gồm tất cả các số thập phân không lặp lại hữu hạn,
Và bạn cũng kể cả các số thập phân lặp lại.
Còn gì nữa?
Có bất kỳ con số nào không hữu tỷ?
Và có thể bạn đoán rằng có,
Nếu không người ta sẽ không lấy
Khó khăn của việc cố gắng để liệt vào loại này là hữu tỷ.
Và nó hóa ra - như bạn có thể tưởng tượng - thực ra
Một số trong những con số nổi tiếng nhất trong tất cả các toán học
không hữu tỷ.
Và chúng tôi gọi những con số này là vô tỷ.

Serbian: 
они којима се понавља једна цифра,
чак и да имате милион цифара које се понављају,
докле год се шаблон понавља
опет и опет и опет поново, ви
увек можете да га представите као однос... као однос два цела броја.
И знам шта вероватно мислите.
"Хеј Сал, управо си укључио много тога.
Укључио си све целе бројеве.
Укључио си све децималне без понављања... односно, укључио си све коначне децималне без понављања.
А такође си укључио и понављајуће децималне.
Шта је остало?
Да ли постоје бројеви који нису рационални?"
А ви вероватно погађате да постоје,
јер у супротном, људи се не би ни
трудили да их назову рационалним.
И испоставља се, као што сте могли да претпоставите, да у ствари
неки од најпознатијих бројева у целој математици
нису рационални.
А ми зовемо те бројеве ирационалним... ирационалним... ирационалним бројевима.

Georgian: 
არა მხოლოდ ერთი ციფრის განმეორებით.
მილიონი ციფრიც რომ მეორდებოდეს.
როცა იწყება განმეორება
ყოველთვის შეგიძლიათ 
წარმოადგინოთ ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად.
ვიცი ალბათ რასაც ფიქრობთ.
ჰეი, სალ, ბევრი ჩათვალე.
ყველა მთელი რიცხვი ჩათვალე.
ყველა, სასრული, არა განმეორებადი ათწილადი,
და უსასრულო ათწილადებიც.
რა დარჩა?
არის რიცხვები, 
რომლებიც არ არის რაციონალური?
ალბათ ხვდებით, რომ არის.
მაშინ ხალხი რაციონალური 
რიცხვების გასარჩევად აღარ იწვალებდა.
აღმოჩნდა--
როგორც წარმოგედგინათ--
რომ რამდენიმე ცნობილი 
რიცხვი არ არის რაციონალური.

Arabic: 
ليس فقط الذي يكرر خانة واحدة
حتى إن كان له مليون خانة  تكرر
طالما  أن النمط بدأ في تكرار نفسه
مرة ومرة ومرة آخرى
يمكنك دائما  تمثيل ذلك كنسبة بين عددين صحيحين.
ربما أعلم بماذا تفكر
سال, لقد ذكرت الكثير.
لقد ذكرت كل الأعداد الصحيحة.
وذكرت كل الكسور العشرية المنتهية غير الدورية
أيضا ذكرت الكسور العشرية الدورية.
ماذا بقي؟
هل هناك أي أعداد غير نسبية؟
ربما ستخمن أنه هناك غيرها
و إلا لما تحمل الناس
عناء المحاولات لتصنيف هذة الأعداد كأعداد نسبية
فقد اتضح -كما تخيلت-
أن بعض أشهر الأعداد في الرياضيات
ليست نسبية
ونحن نسمي هذة الأعداد بالأعداد غير النسبية

Dutch: 
één repeterend cijfer.
Zelfs als het een miljoen repeterende cijfers heeft,
zolang het patroon zichzelf maar begint te herhalen
elke keer maar weer,
kan je het altijd weergeven als de ratio 
van twee hele getallen.
En ik weet wat je waarschijnlijk denkt.
Hey, Sal, je hebt wel heel veel inbegrepen.
Je hebt alle hele getallen inbegrepen.
Je hebt alle eindige niet-repeterende decimalen inbegrepen,
en je hebt ook alle repeterende decimalen inbegrepen.
Is er nog iets over?
Zijn er getallen die niet rationaal zijn?
En je hebt waarschijnlijk al geraden dat die er zijn,
anders zouden mensen niet de moeite nemen
om deze dingen als rationaal te labelen.
En het blijkt dat sommige
van de meest bekende getallen in de wiskunde
niet rationaal zijn.
En we noemen ze irrationale getallen.

Mongolian: 
бутархайтай таарч болно.
хэрэв маш урт үетэй,
үе нь хэдэн сая оронтой
байсан ч энэ нь үргэлж хоёр
тооны харьцаа болж чадна.
Энд энд бас энд дахин дахин
маш их тоог агуулсан байна.
Бүх бүхэл тоог багтаасан байна.
Үегүй, төгсгөлөг бүх аравтын бутархай багтсан байна.
мөн үет бутархай орсон байна.
Юу үлдэв?
Рационал биш ямар нэг тоо байдаг болов уу?
Эдгээрээс өөр тохиолдол
oлох нь хэцүү гэж
бодож байж магадгүй юм.
Математикийн алдартай тогтмол
тоонуудын зарим нь
рационал тоо биш юм.
Эдгээр тоонуудыг бид иррационал тоо гэнэ.

Thai: 
ไม่ใช่แค่ซ้ำหลักเดียว
ถือแม้ว่ามันจะซ้ำล้านหลัก
ตราบใดที่รูปแบบเริ่มซ้ำตัวเอง
ซ้ำแล้วซ้ำอีกไปเรื่อยๆ
คุณจะแทนมันได้ด้วย
อัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว
ผมรู้ว่าคุณน่าจะคิดอะไรอยู่
เฮ้ ซาล นายใส่เลขมากมาย
นายรวมจำนวนเต็มทุกตัว
นายรวมทศนิยมจำกัด
แบบไม่ซ้ำทั้งหมด
แล้วยังรวมทศนิยมอีก
แล้วจะเหลืออะไร?
มีจำนวนอื่นๆ ที่ไม่ใช่
จำนวนตรรกยะหรือไม่?
และคุณคงเดาได้ว่า
มีจำนวนอย่างอื่นอีก
ไม่อย่างนั้น คนคงไม่มานั่ง
พยายามตั้งชื่อว่าตรรกยะหรอก
และปรากฎว่า -- คุณ
คงนึกออก -- ว่าที่จริงแล้ว
จำนวนที่ดังที่สุดบางส่วน
ในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งปวง
นั้นไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
เราเรียกจำนวนเหล่านี้
ว่าจำนวนอตรรกยะ

Russian: 
не только с одной цифрой.
Даже если у нее миллион цифр в периодической части,
пока период повторяется
снова и снова, вы
всегда сможете записать это в виде отношения двух целых чисел.
Я догадываюсь, о чем вы думаете.
"Эй, Сал, ты здесь многое записал:
все целые числа,
все конечные непериодические десятичные дроби,
да еще и сами периодические дроби.
Что же осталось?
Существуют ли не рациональные числа?"
И вы, возможно, догадываетесь, что они есть,
иначе зачем люди
переусложнили дело, назвав вышезаписанные числа рациональными.
И оказывается, как вы можете представить, что
некоторые из наиболее известных в математике чисел
не являются рациональными.
И мы называем эти числа иррациональными.

Arabic: 
 
وقد وضعت هنا قائمة فقط لأشهر
الأمثلة الجديرة بالذكر
باي--النسبة بين محيط الدائرة
وقطرها -- هو عدد غير نسبي
لا تنتهي أبدا
ويستمر للأبد، وليس له عدد دوري
وe نفس الشيء لا ينتهي و ليس له عدد دوري
وe له العديد من الفوائد
ويستخدم في التحليل المركب
وe يظهر في كل مكان
الجذر التربيعي للعدد 2 هو عدد غير  نسبي
فاي، النسبة الذهبية هي عدد غير نسبي
إذا هذة الأعداد التي نتجت من الطبيعة
أغلب هذة الأعداد هي أعداد غير نسبية
الآن، ربما تقول هل هذة الأعداد غير نسبية؟
هذة فقط أنواع خاصة من الأعداد
لكن قد تكون أغلبها  أعداد نسبية
و سال اختار فقط بعض الحالات الخاصة هنا
لكن أهم ما يجب عليك استيعابه وإن بدا غريبا
هو أنها غريبة في  بعض الأحيان
لكنها ليست نادرة
هي في الواقع كثيرة جدا  هناك دائما

Korean: 
그리고 그러한 수들을 
무리수라고 부릅니다
많은 무리수 중 주목할 만한 예
몇 개를 써봤습니다
원주율은
무리수입니다
이 수에는 끝이 없습니다
이는 계속되며 
절대 반복되지 않습니다
e도 마찬가지입니다
절대 끝나지 않고 절대 반복되지 않지요
이것은 복리와 복소수에서
발전된 것이지요
e는 어디에서나 나옵니다
제곱근 2도 무리수입니다
황금비를 나타내는 파이도
무리수입니다
자연에서 발생되는 이러한
많은 수들이 무리수입니다
이들은 무리수가 아니라
특별한 수일 뿐이라고 생각할 수 있습니다
그러나 저는 여기서 특별한 
예시를 보여줬을 뿐입니다
하지만 중요한 부분은
무리수가 생소하게 보일지라도
그들이 흔하지 않은 것은 아닙니다
사실 두 유리수 사이에는 항상

German: 
Irrationale Zahlen.
Ich habe hier ein paar der wichtigsten
hingeschrieben.
Pi, das Verhältnis des Kreisumfanges
zu dessen Durchmesser. Es handelt sich um eine irrationale Zahl.
Die Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nicht.
Es geht da also immer weiter, ohne Wiederholung.
das genau Gleiche. Unbegrenzt, es wiederholt sich nie.
Hat was mit kontinuierlichen Zinseszinsen zu tun.
Hat was mit komplexer Analysis zu tun.
Zeigt sich immer wieder mal.
Die Quadratwurzel von 2. Es handelt sich um eine irrationale Zahl.
Phi, der "goldene Schnitt", ist eine irrationale Zahl.
Gewissermassen sind diese Zahlen natürlich.
Viele von denen sind irrational.
Du  denkst dir vielleicht nun: Ok, diese sind halt irrational.
Aber irgendwie einfach eine Ausnahme.
Aber eigentlich sind die meisten Zahlen rational.
Sal hat einfach ein paar Spezialfälle rausgepickt.
Aber es ist wichtig, dass diese zwar exotisch erscheinen
(irgendwie sind sie es auch),
aber sie sind nicht ungewöhnlich.
Es zeigt sich, dass es immer eine

Norwegian: 
.
Her står noen av
de mest kjente eksemplene.
Pi, altså forholdet
mellom omkretsen og diameteren i en sirkel, er et irrasjonelt tall.
Det slutter aldri.
Det er uendelig mange desimaler, og de gjentar aldri seg selv.
Det er ingen mønster. Sånn er også Euhlers tall, e.
e brukes i mer
avansert matematikk.
Det er dog veldig kjent.
Kvadratroten av 2 er også et irrasjonelt tall.
Phi, det gylne forholdet, er også et irrasjonelt tall.
De her tallene fra naturen
er faktisk irrasjonelle.
De her er nok irrasjonelle,
men kanskje er det bare noen helt spesielle tall.
Kanskje er er de fleste tall rasjonelle,
og her er bare noen helt merkelig tall.
De er veldig merkelige,
men irrasjonelle tall
er faktisk ikke sjeldne.
Det er faktisk alltid et irrasjonelt tall

Vietnamese: 
 
Và tôi đã liệt kê chỉ có một vài trong số đó
Các ví dụ đáng chú ý.
Pi - tỷ số của chu vi
với đường kính của một vòng tròn - là một số vô tỷ.
Nó không bao giờ chấm dứt.
Nó cứ tiếp tục và mãi mãi, và nó không bao giờ lặp lại.
E, cùng một điều - không bao giờ chấm dứt, không bao giờ lặp lại.
Nó đi kèm với lãi suất liên tục liên tục.
Nó xuất phát từ những phân tích phức tạp.
E xuất hiện khắp nơi.
căn bậc hải của 2, số vô tỷ.
Phi, tỷ lệ vàng, số vô tỷ.
Vì vậy, những điều đó thực sự chỉ hiện lên
Của tự nhiên, rất nhiều trong số những con số này là vô tỷ.
Bây giờ, bạn có thể nói, OK, là những vô tỷ?
Đây chỉ là những con số đặc biệt.
Nhưng có lẽ hầu hết các con số đều hợp lý,
Và Sal chỉ cần chọn ra một số trường hợp đặc biệt ở đây.
Nhưng điều quan trọng để nhận ra là họ có vẻ kỳ lạ,
Và chúng kỳ lạ theo những cách nhất định.
Nhưng chúng không phải là hiếm.
hóa ra rằng nó thực sự luôn có

Georgian: 
და ამ რიცხვებს ვეძახით ირაციონალურს.
და მე ძალიან ცოტა მათგანი 
ჩამოვთვალე, მხოლოდ ღირებული მაგალითები
პი--
წრეწირის სიგრძის შეფარდება დიამეტრთან--
ირაციონალური რიცხვია.
ის არასდროს მთავრდება.
და ასე მიდის 
უსასრულოდ და არასდროს მეორდება.
e, იგივე--
არასდროს მთავრდება და არც მეორდება.
ასე გრძელდება მუდმივად.
და ვარდება კომპლექსური ანალიზიდან.
e ვლინდება
კვადრატული ფესვი 
ორიდან, ირაციონალური რიცხვი.
ფი, ოქროს შეფარდება, ირაციონალური რიცხვი.
ეს ისეთი მაგალითებია,
რომლებიც ხშირად გვხვდება ბუნებაში,
ბევრი რიცხვთაგანი ირაციონალურია.
ახლა იტყვით, ესენი ირაციონალურია?
ესენი უბრალოდ განსაკუთრებული რიცხვბია.
მაგრამ იქნებ უმეტესობა
რიცხვებისა რაციონალურია?
და სალმა ამოარჩია 
განსაკუთრებული შემთხვევები.
მნიშვნელოვანია გაიაზროთ,
რომ ეს რიცხვები ეგზოტიკური არაა,
ისინი უცხო, მხოლოდ 
განსაკუთრებულ შემთხვევაშია.
მაგრამ იშვიათად არ გვხვდება.

English: 
And I've listed there
just a few of the most
noteworthy examples.
Pi-- the ratio of
the circumference
to the diameter of a circle--
is an irrational number.
It never terminates.
It goes on and on and on
forever, and it never repeats.
e, same thing-- never
terminates, never repeats.
It comes out of continuously
compounding interest.
It comes out of
complex analysis.
e shows up all over the place.
Square root of 2,
irrational number.
Phi, the golden ratio,
irrational number.
So these things that
really just pop out
of nature, many of these
numbers are irrational.
Now, you might say, OK,
are these irrational?
These are just these
special kind of numbers.
But maybe most
numbers are rational,
and Sal's just picked out
some special cases here.
But the important thing to
realize is they do seem exotic,
and they are exotic
in certain ways.
But they aren't uncommon.
It actually turns out
that there is always

Serbian: 
Ирационални бројеви, ирационални бројеви...
И ја сам набројао овде само неколико од
најпознатијих примера.
Пи... однос између обима... однос између обима
и пречника круга је ирационалан број.
Никада се не завршава.
Иде даље и даље без краја, и никад се не понавља.
е, иста ствар... никада се не завршава, и никад се не понавља.
Јавља се у рачуну камате на камату.
Настао је из комплексне анализе,
е се појављује на свим местима.
Квадратни корен од 2 је ирационалан број.
Фи, златни пресек, ирационални број.
Дакле, оно што заиста искаче из
природе, већина тога је ирационално.
Е сад, можете рећи: "ОК, да ли је ово ирационално?
Овде само имамо специјалну врсту бројева.
Али, можда је већина бројева рационална,
па је Сал само покупио неке специјалне случајеве овде."
Но, важна ствар је, они изгледају егзотично,
и јесу егзотични на неки начин.
Али нису неуобичајени.
Заправо, испоставља се да увек постоји

Danish: 
.
Her står nogle af
de mest kendte eksempler.
Pi, altså forholdet
mellem omkredsen og diameteren i en cirkel, er et irrationelt tal.
Det slutter aldrig.
Der er uendeligt mange decimaler, og de gentager aldrig sig selv.
Der er intet mønster. Sådan er det også med Euhlers tal, e.
e bruges i mere
avanceret matematik.
Det er dog ret kendt.
Kvadratroden af 2 er også et irrationalt tal.
Phi, det gyldne forhold, er også et irrationalt tal.
De her tal fra naturen
er faktisk alle irrationale.
De her er godt nok irrationale,
men måske er det bare nogle helt specielle tal.
Måske er langt de fleste tal rationale,
og her er bare nogle helt mærkelige tal.
De er ret mærkelige,
men irrationale tal
er faktisk ikke sjældne.
Der er faktisk altid et irrationalt tal

Russian: 
... иррациональные числа.
И я составил список некоторых
заслуживающих внимания примеров.
Пи -- отношение длины окружности
к ее диаметру -- это иррациональное число.
Оно никогда не кончается.
Оно бесконечно и не имеет периода.
e, с ним то же самое -- бесконечное непериодическое.
Оно применяется в капитализации процентов.
Оно же применяется в комплексном анализе.
e повсюду.
Квадратный корень из 2 иррационален.
Фи, золотое сечение, тоже иррационально.
И эти числа, которые появляются
в природе, многие из них иррациональны.
Теперь вы можете сказать "Ладно, так они иррациональные?
Может, эти числа какие-то особенные,
но большинство чисел рациональны
и Сал просто выбрал особые случаи."
Но важно понимать, что хотя они и выглядят необычно --
а они необычны в определенном смысле --
они все же не выходят из ряда вон.
Оказывается, что всегда есть

Dutch: 
Irrationale getallen.
En ik heb een lijst met enkele van de meest
noemenswaardige voorbeelden.
Pi-- de verhouding tussen de omtrek
en de diameter van een cirkel-- is een irrationaal getal.
Het stopt nooit.
Het gaat voor altijd door en door, en het repeteert nooit.
e, hetzelfde-- stopt nooit, repeteert nooit.
Het komt voort uit 
doorwerking van samengestelde rente.
Het komt voort uit complexe analyse.
e verschijnt overal.
Wortel 2, irrationaal getal.
Phi, de gulden snede, irrationaal getal.
Deze dingen die spontaan opdoemen uit
de natuur, meerdere van deze getallen zijn irrationaal.
Nu kan je zeggen, "OK, zijn deze irrationaal?
"Dit zijn gewoon een speciaal soort getallen.
"Maar misschien zijn de meeste getallen rationaal,
"en heeft Sal gewoon een paar 
bijzondere gevallen uitgekozen."
Maar het is belangrijk om te realiseren dat ze er exotisch uit zien,
en ze zijn ook exotisch op hun manier.
Maar ze zijn niet ongewoon.
Het blijkt dat er altijd

Italian: 
 
Te ne ho elencati qui giusto alcuni
dei più famosi.
Pigreco, il rapporto tra la circonferenza
e il diametro del cerchio, è un numero irrazionale.
Non finisce mai.
Continua per sempre e non è periodico.
e: anche questo non termina mai e non si ripete mai.
Viene fuori negli interessi composti
e nell'analisi complessa
e in molti altri posti.
La radice quadrata di 2 è irrazionale.
Phi, il rapporto aureo, è irrazionale.
Questi numeri vengono fuori
dalla natura e sono irrazionali.
Ora potresti dire: ok, sono irrazionali?
Sono solo dei numeri speciali
ma magari la maggior parte dei numeri sono razionali
e Sal ha solo tirato fuori alcuni casi speciali qui.
Ma la cosa importante è capire che sembrano strani,
in effetti in qualche modo sono particolari,
ma non sono rari.
C'è sempre un numero irrazionale

Japanese: 
いくつか例を
挙げましょう。
円周率、
直径と円周の比は
無限の小数です。
循環することなく、続きます。
同じ数は繰り返されず、
複利の計算で無理数が見受けられます。
複雑な解析にも見られます。
e はよく使われます。
２の平方根も無理数です。
黄金比も無理数です。
自然に見受けられる
多くの数が無理数です。
では、これらはすべて無理数でしょうか？
これらは特別な数です。
しかし、多くの数は有理数です。
ここでは、幾つかの例を見つけただけです。
これらは、
異なったタイプの数です。
珍しいものではありません。
２つの有理数の間には

Czech: 
Já jsem tu vytvořil seznam jen
několika příkladů,
které stojí za zmínku.
Číslo Pí, poměr obvodu kruhu
k jeho průměru,
je iracionální číslo.
Nikdy nekončí.
Pokračuje stále dál a dál donekonečna
a nikdy se neopakuje.
Eulerovo číslo e, to samé,
nikdy nekončí, nikdy se neopakuje.
Objevuje se v nepřetržitém
složeném úročení.
Objevuje se v komplexní analýze.
Eulerovo číslo je prostě všude.
Odmocnina ze 2,
iracionální číslo.
Fí, zlatý řez,
iracionální číslo.
Zkrátka všechny tyto věci,
které se přirozeně objevují,
mnoho takových čísel
je iracionálních.
Mohli byste říci: "Dobře, jsou iracionální.
To budou asi jen nějaké výjimky.
Většina čísel jsou ale
asi racionální čísla
a Sal si tu prostě jen vybral
nějaké výjimečné příklady."
Musíme si ale uvědomit,
že se zdají být výjimečná
a jistým způsobem jsou výjimečná.
Nejsou ale neobvyklá.
Vlastně se ukazuje,
že mezi dvěma racionálními čísly

Mongolian: 
Энд би хамгийн өргөн хэрэглэгддэг
хэдэн жишээг жагсаан бичсэн байгаа.
пи тоо нь тойргийн уртыг диаметрт нь
харьцуулсан иррационал тоо юм.
Энэ төгсгөлгүй үргэлжилнэ.
Төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд 
үегүй байна.
e тоо нь бас төгсгөлгүй бөгөөд
үегүй бутархай юм.
e тооны оронг
харахад илэрхий байна.
2-ын квадрат язгуур бол иррационал тоо.
фи алтан харьцааны тогтмол нь мөн иррационал тоо.
Тэгэхээр эргэн тойрноос урган гарч ирэх
маш олон тоонуудаас нилээд нь 
иррационал тоо юм.
одоо та нараас эдгээр тоонууд иррационал тоо юу? 
гэж асуувал магадгүй тийм гэх байх.
Эдгээр нь зүгээр л онцгой төрлийн тоо юм.
Рационал тоо зөндөө байгаа ч зарим онцгой
тохиолдлуудыг энд түүж бичлээ.
.
.
Гэхдээ ховор биш.
Үнэндээ иррационал тоо нь үргэлж
хоёр рационал тооны хооронд оршино.

Thai: 
และผมได้เขียนตัวอย่าง
ที่น่าจดจำมากที่สุดไว้หลายตัว
ไพ -- อัตราส่วนของเส้นรอบวง
ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
-- เป็นจำนวนอตรรกยะ
มันไม่รู้จบ
มันไปเรื่อยๆ ตลอดไป
ไม่ซ้ำด้วย
e เหมือนกัน -- ไม่รู้จบ
ไม่ซ้ำ
มันมาจากการคิดดอกเบี้ย
ทบต้นอย่างต่อเนื่อง
มันมาจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน
e ปรากฎไปทั่ว
สแควร์รูท 2 เป็น
จำนวนอตรรกยะ
ไฟ คืออัตราส่วนทอง
เป็นจำนวนอตรรกยะ
สิ่งเหล่านี้โผล่ขึ้นมา
จากธรรมชาติ จำนวน
เหล่านี้หลายตัวเป็นอตรรกยะ
ทีนี้ คุณอาจบอกว่า โอเค
พวกนี้เป็นจำนวนอตรรกยะไหม?
มันเป็นแค่จำนวนพิเศษ
แต่บางที จำนวนส่วนใหญ่
อาจเป็นจำนวนตรรกยะ
และซาลเลือกมาแต่
กรณีพิเศษตรงนี้
แต่สิ่งสำคัญที่ควรตระหนัก
คือว่ามันดูแปลก
และมันดูแปลกในบางแง่
แต่มันไม่ได้ประหลาดขนาดนั้น
ที่จริงแล้ว ปรากฏว่ามันมี

Bulgarian: 
Всички тези числа са ирационални.
Тук съм написал само някои от
най-известните примери.
Пи, отношението на дължината на
окръжността към диаметъра,
е ирационално число.
То никога не свършва, цифрите му не свършват никога,
и никога не се повтарят.
е (неперовото число) има същото свойство.
То е безкрайна дроб и цифрите му
никога не се повтарят.
То се ползва в математическия анализ.
Дори корен квадратен от 2 е
ирационално число.
Фи, златното сечение, също
е ирационално число.
Всички тези числа са от природата.
И те са ирационални.
Но наистина ли има много ирационални числа?
Може би си мислиш,
че съм взел случаи, които
са изключения.
Може би повечето числа
са рационални.
Важно е да разбереш, че тези числа
наистина изглеждат
по-различно от останалите,
но не са по-малко
разпространени.

English: 
an irrational number between
any two rational numbers.
Well, we could go on and on.
There's actually
an infinite number.
But there's at least one,
so that gives you an idea
that you can't
really say that there
are fewer irrational numbers
than rational numbers.
And in a future
video, we'll prove
that you give me two rational
numbers-- rational 1,
rational 2-- there's going to be
at least one irrational number
between those, which
is a neat result,
because irrational
numbers seem to be exotic.
Another way to think about it--
I took the square root of 2,
but you take the square root
of any non-perfect square,
you're going to end up
with an irrational number.
You take the sum
of an irrational
and a rational number-- and
we'll see this later on.
We'll prove it to ourselves.
The sum of an irrational
and a rational
is going to be irrational.
The product of an
irrational and a rational
is going to be irrational.
So there's a lot, a lot, a
lot of irrational numbers
out there.

Vietnamese: 
Một số vô tỷ giữa hai số hữu tỷ.
Chúng ta có thể tiếp tục.
Có thật là một số vô hạn.
Nhưng có ít nhất một, vì vậy mà cho bạn một ý tưởng
Rằng bạn không thể thực sự nói rằng có
ít số vô tỷ hơn số hữu tỷ.
Và trong một video trong tương lai, chúng tôi sẽ chứng minh
Rằng bạn cho tôi hai con số hữu tỷ - hữu tỷ 1,
hữu tỷ 2 - sẽ có ít nhất một số vô tỷ
Giữa những người, đó là một kết quả gọn gàng,
Bởi vì con số vô tỷ dường như là kỳ lạ.
Một cách khác để suy nghĩ về nó - Tôi lấy căn bậc hai của 2,
Nhưng bạn lấy căn bậc hai của bất kỳ căn bậc hai nào không hoàn hảo,
Bạn sẽ kết thúc với một số vô tỷ.
Bạn lấy tổng của một vô tỷ
Và một số hữu tỷ - và chúng ta sẽ thấy điều này sau này.
Chúng tôi sẽ tự chứng minh điều đó.
Tổng của của một vô tỷ và hữu tỷ
Sẽ vô tỷ.
Kết quả của một vô tỷ và hữu tỷ
Sẽ vô tỷ.
Vì vậy, có rất nhiều, rất nhiều, rất nhiều số vô tỷ
ngoài đó.

Korean: 
무리수가 존재합니다
계속해서 찾을 수 있습니다
셀 수 없이 많이 있습니다
하지만 모든 유리수 사이에 
최소 하나가 있으므로
무리수보다 유리수가
더 적게 존재한다고 할 수 없습니다
나중에 이 부분에 대해 
증명하겠습니다
예를 들어 유리수 1과
유리수 2 사이에 적어도 
하나의 무리수가
있을 것이라는 것은 
명백한 결과입니다
무리수는 생소해 보이지만요
다른 방법으로 생각해 보면
완전제곱이 아닌 어떤 수에
제곱근을 씌우면
그 값은 무리수가 됩니다
무리수와 유리수를 
더해도 그렇습니다
나중에 더 구체적으로
얘기할게요
스스로 한 번 증명해 봅시다
무리수와 유리수의 합은
무리수가 된다는 것을 말입니다
무리수와 유리수의 곱은
무리수가 된다는 사실도요
이 세상에는 무리수가
아주 많이 있다는 것을 
알아두길 바랍니다

Bulgarian: 
Факт е, че има ирационално число
между всеки две рационални.
Винаги има поне едно.
Това означава, че не можем да кажем, че
има по-малко ирационални числа
отколкото рационални.
Ако ми дадеш 2 рационални числа,
едното от които е по-голямо,
това означава, че между тях има
поне 1 ирационално число.
И това изглежда малко изненадващо,
защото на пръв поглед
те изглеждат по-екзотични
и специални.
Друг начин да го обясним е,
че ако вземем корен квадратен
от не-точен квадрат,
ще получим ирационално число.
Ако вземем сбора на рационално
и ирационално число,
ще получим също ирационално число.
Когато умножим рационално и ирационално,
получаваме ирационално.
Така че има много, много ирационални числа.

Danish: 
mellem 2 rationelle tal.
.
Der er nemlig et uendeligt antal irrationale tal.
Derfor kan vi ikke
rigtigt sige,
at der er færre irrationale end rationale tal.
I andre videoer skal vi se nærmere på,
at der altid er mindst 1 irrationalt tal
mellem 2 rationale tal.
.
Det er mærkeligt at tænke på.
Vi tog for eksempel kvadratroden af 2.
Faktisk er enhver kvadratrod af et tal,
der ikke er et kvadrattal et irrationalt tal.
Vi kan også tage summen af et rationalt og et irrationalt tal,
men det ser vi på en anden gang.
.
Den sum vil
nemlig altid være irrational.
Produktet af et irrationalt og et rationalt
tal er altid irrationalt.
Der findes altså mange irrationale tal.
.

Dutch: 
een irrationeel getal bestaat 
tussen elke twee rationale getallen.
 
Er is eigenlijk een oneindig aantal.
Maar er is er tenminste één, dus dat geeft
je een indruk dat je niet kan zeggen dat er
minder irrationale getallen zijn dan rationale getallen.
In een toekomstige video bewijzen we
dat als je me twee rationale getallen geeft-- rationaal 1,
rationeel 2-- er is tenminste één irrationaal getal
tussen deze twee, wat een knap resultaat is,
want irrationele getallen schijnen exotisch te zijn.
Op een andere manier-- Ik nam de wortel van 2,
maar als je de wortel neemt van 
elk imperfect vierkant,
dan hou je een irrationaal getal over.
Als je de som neemt van een irrationaal getal
en een rationaal getal-- en dat zullen we later zien.
We zullen het onszelf gaan bewijzen.
De som van een irrationaal en een rationaal
is een irrationaal.
Het product van een irrationaal en een rationaal
is een irrationaal.
Dus er zijn vele, vele, vele irrationale getallen
in het wild.

Thai: 
จำนวนอตรรกยะระหว่าง
จำนวนตรรกยะสองตัวเสมอ
เราทำต่อไปเรื่อยๆ ได้
ที่จริงแล้วมีจำนวนนับไม่ถ้วน
แต่อย่างน้อยจะมีหนึ่งตัว
ที่พอให้คุณเข้าใจว่า
คุณบอกไม่ได้ว่า
มีจำนวนอตรรกยะ
น้อยกว่าจำนวนตรรกยะ
และในวิดีโอหน้า เราจะพิสูจน์
ว่าถ้าคุณให้จำนวนตรรกยะ
สองตัวมา -- ตรรกยะ 1
ตรรกยะ 2 -- มันจะมี
จำนวนอตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว
ระหว่างค่าเหล่านี้
ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เยี่ยมมาก
เพราะจำนวนอตรรกยะ
ดูแปลกมาก
วิธีคิดอีกอย่างคือ --
ผมหาสแควร์รูทของ 2
แต่คุณหาสแควร์รูทของจำนวน
ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
คุณหาผลบวกของ
จำนวนอตรรกยะ
กับจำนวนตรรกยะ --
เราจะเห็นต่อไป
เราจะพิสูจน์ด้วยตัวเอง
ผลบวกของจำนวนอตรรกยะ
กับจำนวนตรรกยะ
จะเท่ากับอตรรกยะ
ผลคูณของจำนวนอตรรกยะ
กับจำนวนตรรกยะ
จะเท่ากับจำนวนอตรรกยะ
มันมีจำนวนอตรรกยะ
มากมาย
ในนั้น

Italian: 
tra due qualsiasi numeri razionali.
Beh, potremmo andare avanti ancora.
Ce n'è un numero infinito.
Ma ce n'è sempre almeno uno, e questo
ti fa capire che non sono pochi
i numeri irrazionali rispetto ai razionali.
In un prossimo video dimostreremo
che, dati due numeri razionali, razionale 1
e razionale 2, ci sarà almeno un numero irrazionale
compreso tra di essi, che non è ovvio,
perché i numeri irrazionali sembrano molto strani.
Oppure, se prendo la radice quadrata di 2
o la radice quadrata di qualsiasi numero che non è quadrato perfetto,
avremo un numero irrazionale.
Fai la somma di un numero irrazionale
e di un razionale... beh, lo vedremo più avanti.
Lo dimostreremo.
La somma di un irrazionale e di un razionale
sarà un irrazionale.
Il prodotto di un irrazionale e di un razionale
sarà un irrazionale.
Esistono tantissimi numeri irrazionali.
 

Japanese: 
1つの無理数が存在します。
実際、
無限の数です。
少なくとも１つ。
無理数の方が
有理数より少ないとは言えません。
将来のビデオで
有理数１と２があれば、
その間に少なくとも１つの無理数が
存在することを示しましょう。
面白いです。
他にも
例えば、2乗でない数の平方根は
無理数になります。
有理数と無理数の計は
後に
これを証明しますが
有理数と無理数の計は
無理数です。
無理数と有理数の積は
無理数です。
多くの無理数が
存在します。

Arabic: 
عدد غير نسبي بين أي عددين نسبيين
حسنا،ونستطيع الاستمرار
في الواقع هي أعداد غير نهائية
ولكن هنالك على الأقل واحد ، إذا هذا يعطيك فكرة
حقيقة لا تستطيع القول أن
الأعداد الغير النسبية أقل من الأعداد النسبية
و سوف نثبت ذلك في الفيديو القادم
أعطني عددين نسبيين، --العدد النسبي 1
والعدد النسبي 2-- سيوجد على الأقل عدد غير نسبي واحد بينهما
وهي نتيجة جيدة
لأن الأعداد غير النسبية تبدوا غريبة
وطريقة أخرى للتفكير فيها، الجذر التربيعي للعدد 2
خذ الجذر التربيعي لعدد ليس بمربع كامل
ستحصل على عدد غير نسبي
جمع عدد غير نسبي
و عدد نسبي ، وسوف نرى ذلك لاحقا
سوف نثبت ذلك لأنفسنا.
حاصل جمع عدد غير نسبي وعدد نسبي
سيكون عدد غير نسبي.
حاصل ضرب عدد غير  نسبي وعدد نسبي
سيكون عدد غير نسبي.
إذا هناك الكثير والكثير من الأعداد الغير نسبية
..

Mongolian: 
Энэ бас энэ тийм байна.
Эдгээр нь үнэндээ төгсгөлгүй тоо юм.
гэхдээ эдгээрээс ядаж нэгийг харвал
иррационал тоо нь рационал тооноос цөөхөн гэж
хэлж чадахгүй гэсэн санаа өгнө
дараагийн хичээлд бид
хэрэв та нар надад рационал тоо 1
рационал тоо 2 гэсэн хоёр рационал тоо өгвөл тэдгээрийн хооронд хамгийн багадаа 1
иррационал тоо олдоно гэдгийг батлах болно.
Иррационал тоо хачин санагдаж баигаа байх
Өөрөөр 2-ын квадрат язгуурыг авъя,
гэвч 2 нь бүтэн квадрат биш учир
Иррационал тоо гэж бууна.
рационал болон иррационал тооны нийлбэр
ямар тоо байхыг бид дараа үзнэ.
Бид өөрсдөө ч үүнийг баталж болно.
Рационал ба иррационал тооны нийлбэр
иррационал тоо байна.
Рационал болон иррационал тоонуудын үржвэр нь
иррационал тоо байна.
Эдгээрээс гадна мааш олон
иррационал тоо байгаа.

German: 
irrationale Zahl zwischen zwei rationalen Zahlen gibt.
Wir können da nun weiter und weiter gehen.
Eigentlich eine unbegrenzte Zahl...
Aber man kann nicht sagen,
dass es weniger
irrationale Zahlen als rationale Zahlen gibt.
Und in einem zukünftigen Video werden wir beweisen,
dass es zwischen zwei rationalen Zahlen, zum Beispiel
hier zwischen "rational 1" und "rational 2" mindestens eine irrationale Zahl.
 
 
Hier geht es um die Quadratwurzel von 2. Eigentlich ist aber so, dass
wann immer man eine Quadratwurzel zieht und nicht
eine ganze zahlt erhält, eine irrationale Zahl daraus folgt.
Nehmen wir die Summe einer irrationalen und einer
rationalen Zahl. Hier, und wir werden das noch später sehen...
 
Die Summe einer irrationalen und einer rationalen Zahl
ist irrational.
Das Produkt (Resultat) einer irrationalen und einer rationalen Zahl
ist also irrational.
Es gibt also jede Menge an irrationalen Zahlen.
 

Czech: 
je vždy nějaké iracionální číslo.
Mohli bychom s výčtem
pokračovat dál.
Je jich nekonečné množství.
Nemůžete jen tak říci,
že existuje méně iracionálních
než racionálních čísel.
V některém z následujících videí dokážeme,
že pokud budeme mít
dvě racionální čísla,
racionální 1 a 2, bude mezi nimi
alespoň jedno iracionální číslo,
a to je přesný výsledek,
protože iracionální čísla
se zdají být výjimečná.
Můžeme to chápat i jinak.
Já jsem pracoval s odmocninou ze 2,
vy ale vezmete odmocninu
jakéhokoliv nedokonalého čtverce
a výsledkem bude iracionální číslo.
Vezměte si součet iracionálního
a racionálního čísla…
podíváme se na to později.
Dokážeme si to.
Součet iracionálního
a racionálního čísla
bude iracionální.
Součin iracionálního
a racionálního čísla
bude iracionální číslo.
Existuje tedy velké množství
iracionálních čísel.

Serbian: 
један ирационални број између било која два рационална броја.
Па, могли би да идемо даље, и даље.
Заправо, постоји бесконачан број.
Али увек постоји бар један, па вам то даје идеју
да се не може заиста рећи да има
мање ирационалних бројева него рационалних.
А у будућим снимцима, доказаћемо
да ако ми дате два рационална броја... рационални 1,
рационални 2, рационални 2... биће најмање један ирационални број
између њих, што је на неки начин уредно правило,
пошто се чини да ирационални бројеви изгледају егзотично.
Још један начин да размишљамо о овоме... Узео сам квадратни корен од 2,
али можете узети било који несавршен квадрат,
завршићете са једним ирационалним бројем.
Имате суму једног ирационалног
и једног рационалног броја... а видећемо то касније.
Доказаћемо то.
Сума једног ирационалног и једног рационалног броја
биће ирационална.
Производ једног ирационалног и рационалног броја
ће бити ирационалан.
Дакле, има много, много ирационалних бројева
око нас.

Norwegian: 
mellom 2 rasjonelle tall.
.
Det er nemlig uendelig antall irrasjonelle tall.
Derfor kan vi ikke
helt si,
at det er færre irrasjonelle tall enn rasjonelle tall.
I andre videoer skal vi se nærmere på,
at det alltid er minst 1 irrasjonelt tall
mellom 2 rasjonelle tall.
.
Det er merkelig å tenke på.
Vi tok for eksempel kvadratroten av 2.
Faktisk er enhver kvadratrot av et tall,
som ikke er det kvadratttall et irrasjonelt tall.
Vi kan også ta summen av et rasjonelt og et irrasjonelt tall,
men det ser vi på en annen gang.
.
Den summen vil
nemlig alltid være irrasjonell.
Produktet av et irrasjonelt og et rasjonelt
tall er alltid irrasjonelt.
Det finne altså mange irrasjonelle tall.
.

Georgian: 
აღმოჩნდება, რომ ყოველთვის არის
ირაციონალური რიცხვი ორ რაციონალურს შორის.
და შეგვიძლია გავაგრძელოთ და გავაგრძელოთ.
უსასრულო რაოდენობაა ამ რიცხვებისა.
მაგრამ იმას მაინც ვერ იტყვით, რომ 
ირაციონალური რიცხვები რაციონალურზე ცოტაა.
მომავალ ვიდეოში, დავამტკიცებ, 
თქვენ ორ რაციონალურ რიცხვს მომცემთ--
რაციონალური ერთი, რაციონალური ორი--
მათ შორის ერთი ირაციიონალური მაინც იქნება,
რაც მკაფიო შედეგია,
რადგან ირაციონალური 
რიცხვები უფრო ეგზოტიკურია.
მეორე გზა ამაზე საფიქრალად--
ამოვიღე კვადრატული ფესვი ორიდან,
თუმცა კვადრატული ფესვის ამოღება ნებისმიერი
არაიდეალური კვადრატიდან შეგიძლიათ,
მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.
იღებ ირაციონალურის და
რაციონალური რიცხვის ჯამს--
და ამას მოგვიანებით ვნახავთ.
დავუმტკიცებთ საკუთარ თავებს
ირაციონალური და რაციონალური
რიცხვის ჯამი იქნება ირაციონალური.
ირაციონალურის და რაციონალურის შედეგი
იქნება რაციონალური.
ესეიგი, ძალიან, ძალიან ძალიან 
ბევრი ირაციონალური რიცხვი გვაქვს.

Russian: 
иррациональное число между двумя любыми рациональными числами.
И так далее.
Их бесконечно много.
Но есть по меньшей мере одно, что дает представление
о том, что нельзя утверждать, что
существует меньше иррациональных чисел, чем рациональных.
И в будущих видео мы докажем,
что вы можете дать мне два рациональных числа: первое рациональное
и второе рациональное. И будет по меньшей мере одно иррациональное число
между данными числами, что любопытно,
потому что иррациональные числа выглядят необычными.
Иначе на это можно посмотреть так: я взял квадратный корень из 2,
но вы можете взять корень из любого числа, не являющегося квадратом целого,
и получите иррациональное число.
Сложите иррациональное
и рациональное число... и мы увидим это позже,
мы докажем себе,
что эта сумма
будет иррациональным числом.
Произведение рационального и иррационального
будет иррациональным.
Так что существует много-много иррациональных чисел.
 

Turkish: 
Bu videomuzda, rasyonel ve irrasyonel sayıları ele alacağız.
Rasyonel sayılarla başlayalım.
İki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilebilen her sayı, rasyonel bir sayıdır.
Tamsayılar, rasyonel sayılardır.
Örneğin 1.
1 sayısını 1/1 olarak, veya -2/-2 veya 10,000/10,000 olarak ifade edebiliriz.
Bunların hepsi, 1 sayısının değişik şekilde ifade edilmesi.
1 sayısını, iki sayının birbirine oranı olarak ifade ettik.
1 sayısını, bir sayıyı kendisine bölerek, sonsuz değişik şekilde ifade edebiliriz.
-7 sayısı, -7/1 veya 7/-1 veya -14/2 olarak ifade edilebilir. Örnekleri sonsuza kadar çoğaltabiliriz. -7 sayısı da iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilebilir.
Tam sayı olmayan sayılara ilişkin ne söyleyebiliriz?
Örneğin 3.75 sayısını, iki tamsayının birbirine oranı olarak nasıl ifade edebiliriz?
3.75 eşittir 375/100 eşittir 750/200 diyebiliriz.
3.75'i 3 tam 3/4 olarak yazabiliriz. Bu da eşittir 15/4. 3 kere 4 eşittir 12 artı 3 eşittir 15, bölü 4.
Bu eşittir 15/4.
Ve eşittir -30/-8. Önceki oranın hem pay hem de paydasını -2 ile çarptım.
3.75'i de iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edebiliyoruz, bu da rasyonel bir sayı.
Rasyonel kelimesine dikkatle bakın. Kelimenin içinde 'rasyo' geçiyor. Rasyo kelimesinin oran anlamına geldiğini muhtemelen biliyorsunuz. Eğer iki sayının rasyosu olarak ifade edebiliyor isek, o sayı rasyonel sayıdır.
Tekrarlayan ondalık sayılar için ne söyleyebiliriz?
Muhtemelen tekrarlayan ondalık sayıların en ünlüsü bu: 0.3333.. 3'ler sonsuza kadar devam ediyor.
0'dan sonra bir sürü 3 yazmak yerine, 3'ün üstüne çizgi koyarak 3'ün tekrarladığını gösterebiliriz, öyle yazalım.
Bu sayıyı, 1/3 olarak gösterebiliriz.
0.6666 sayısını, 2/3 olarak gösterebiliriz.
Sayı kendisini tekrarlıyor ise, bu sayıyı da iki sayının birbirine oranı olarak gösterebiliriz.
Diyebilirsiniz ki: 'Neredeyse bütün sayıları kapsadık. Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar, ondalıklı sayılar, tekrarlayan onadlıklı sayılar, bunların hepsi rasyonel sayılar. Rasyonel olmayan sayılar da var mı?' diye sorabilirsiniz.
Evet, rasyonel olmayan sayılar da var.
Eğer irrasyonel sayılar olmasaydı, zaten 'rasyonel sayılar' diye bir gruplamaya gerek olmazdı.
Aslında, matematik dünyasının en ünlü sayılarının çoğu, irrasyonel sayılar.
Rasyonel olmayan sayılar. Bunlara irrasyonel sayılar da deniyor.
İrrasyonel sayıların en ünlüsü, pi sayısı.
Doğru hatırlıyorsunuz: Dairenin alanını veya çemberin çevresini hesaplarken kullandığınız pi sayısı.
Pi sayısı, irrasyonel bir sayı. Sonsuza kadar devam ediyor, ve tekrarlamıyor.
e sayısı da aynı şekilde. Sonsuza kadar devam ediyor ve tekrarlamıyor.
Karekök 2 de irrasyonel bir sayı.
Altın oran, sonsuza kadar devam ediyor, ve tekrarlamıyor.
Bu sayılar, doğada bulunan sayılar.
Bunlar çok özel sayılar, irrasyonel sayılar çok az olmalı diye düşünebilirsiniz.
Bir sonraki videomuzda bu konuya daha detaylı değineceğiz. Herhangi iki rasyonel sayının arasında, en azından bir tane irrasyonel sayı oluyor.
Buraya örnek olarak karekök 2'yi yazdım. ancak şunu düşünün, tam kare olmayan herhangi bir sayının karekökünü aldığınızda, sonuç irrasyonel bir sayı olur.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayıyı toplarsanız, sonuç irrasyonel bir sayı olur. Bunu izleyen videolarda kanıtlayacağız.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayıyı çarparsanız, sonuç irrasyonel bir sayı olur.
Yani düşündüğünüzden çok daha fazla irrasyonel sayı var.
