
Portuguese: 
Este vídeo é patrocinado por Brillant.org
Este é o começo de uma mini série sobre álgebra linear, o estudo de vetores e matrizes.
Estou fazendo estes vídeos por duas razões
A primeira, é que a álgebra linear é a linguagem da mecânica quântica, então sem um pouco deste
background eu não poderia ensinar a vocês alguns tópicos de minha série de mecânica quântica, como a
computação quântica, por exemplo.
A segunda é, este tópico é tão geométrico, belo, e ainda assim a forma como ela é às vezes
ensinada na universidade e no ensino médio, os estudantes não adquirem uma boa intuição sobre ela.
Eu espero que estes vídeos possam mostrar a vocês a álgebra linear de uma perspectiva
ligeiramente diferente do que vocês possam ter visto anteriormente.
Esta é a perspectiva que primeiro me fez despertar, então eu espero que possa funcionar
par alguns de vocês também.
Se não, não se preocupem, no final do vídeo eu irei recomendar algumas outras fontes
que também podem ajudar muito.

English: 
This video is sponsored by Brilliant.org
This is the start of a mini series about linear
algebra, the study of vectors and matrices.
I’m making these videos for 2 reasons.
The first is that linear algebra is the language
of quantum mechanics so without some of this
background I couldn't eventually teach you
some topics in my quantum series, like quantum
computing for example.
The second is, this topic is so geometrical
and beautiful and yet, the way it’s sometimes
taught in university and high school, students
don't take away a lot of intuition about it.
I’m hoping that these videos might show
you linear algebra from a slightly different
perspective than you might have seen before.
This is the perspective that first made it
all click for me, so I hope it might work
for some of you too.
If not, don’t worry, at the end of the video
I’ll point you to some other resources I
really like that might help instead.

Portuguese: 
De qualquer forma, vamos começar com os vetores.
Vamos ver depois que muitas coisas diferentes são consideradas como vetores, , mas por agora iremos
considerá-las bem concretamente.
Vetores são setas, com uma direção definida, e um comprimento.
Vou mostrar a vocês uma forma de pensar os vetores que soa meio bobinha, mas que
eu achei muito útil.
Vamos pensá-las como setas que lhe dizem para onde ir.
Um vetor diz, se você começa aqui, você precisa ir até tanto, nessa direção.
Basicamente, se você coloca o início do vetor onde você começa, você termina
na extremidade da seta.
Pensando desta forma sobre vetores, realmente ajuda a fazer a sua soma.
Quando você é introduzido aos vetores, você pode pensar, se um vetor tem três unidades de comprimento,
e outro vetor tem 2 unidades de comprimento, se você somar, vai ter algo de tamanho 5.
Mas isso não é necessariamente verdade, você pode ver porquê você pensa desta forma.
Quando você está somando estes dois vetores, o que você está dizendo é, se você vai na direção do

English: 
Anyway, let’s start with vectors.
We’ll see later lots of different things
count as vectors, but for now we’re going
to think of them very concretely.
Vectors are arrows, with some fixed direction,
and some length.
I’m going to tell you a way of thinking
of vectors that sounds really silly, but that
I found very helpful.
Let’s think of them as arrows that tell
you where to go.
A vector says, if you start here, you need
to go this much, in this direction.
Basically, if you put the dull side of the
vector where you start, you end up on the
pointy side.
Thinking of vectors this way makes it really
easy to add vectors.
When you’re introduced to vectors, you might
think, if a vector is 3 units long, and another
vector is 2 units long, if you add them, you
get something that’s 5 units long.
But that’s not necessarily true, and you
can see why if you think of it this way.
When you add these two vectors, what you’re
really saying is, if I go the direction the

Portuguese: 
para onde o primeiro vetor me apontou, e dali daquele ponto, vou na direção onde o segundo vetor
me mandou ir, no total quão longe eu estou do início, e em que direção?
Neste exemplo, o vetor que representa o caminho total é este, então
este é o resultado da soma destes dois vetores.
A propósito, perceba que se você tivesse seguido este vetor primeiro, e depois este,
você terminaria no mesmo lugar, então a ordem não importa.
Mas algo que realmente importa é a direção.
Você não pode sair girando estes vetores quando você os soma.
Para ver se você entendeu esta questão até aqui, vamos à uma pergunta rápida.
Imagine que você soma estes dois vetores.
Qual a soma deles?
Aqui estão suas opções
Pause o vídeo para pensar sobre isso, e quando você estiver pronto, você pode votar na sua resposta.
na enquete aqui no canto, ao lado.

English: 
first vector told me to go, then from that
end point go the direction the second vector
wanted me to go, in total how far did I go
from the start, and in what direction?
In this example, the vector representing your
overall path is this, and so that’s the
sum of these vectors.
By the way, notice that if you’d followed
this vector first, then this one, you’d
end up in the same spot, so the order doesn’t
matter at all.
But something that does matter is the direction.
You can’t rotate these vectors around when
you add them.
To see if you understood all this so far,
here’s a quick question.
Imagine you add these two vectors.
What’s the sum of them?
Here are your options.
Pause the video to think about it, and when
you’re ready you can vote for your answer
in the poll here.

Portuguese: 
(pausa). OK, para responder, você precisa mover este vetor para cá
Mas...
Se você colocar o vetor desse jeito, então você estaria seguindo este vetor na direção oposta
que ele está indicando para você
Em vez disso, você precisa colocar o vetor assim. Aí você soma, quase de volta ao lugar que você começou
mas não exatamente.
Então este é seu vetor resultante.
(Outra forma é somar vetores usando esses paralelogramas, mas
este é apenas um jeito mais rápido)
De qualquer forma, agora que entendemos como somar dois vetores, nós entendemos como somar quaisquer
vetores que quisermos.
Apenas
continue
seguindo
as direções dos vetores.
Muito bem.
Mas, somar-se não é a única coisa que vetores podem fazer.
Eles podem também ser multiplicados por um número.
Também tem uma forma simples de fazer isso
simplesmente esticando ou comprimindo o tamanho do vetor, sem mudar a direção
Mas o que acontece por exemplo, quando você multiplica por menos um?

English: 
To answer this, you need to move this vector
over here.
But.
If you put the vector this way, then you would
be following this vector in the opposite direction
than it wants you to go.
Instead, you need the vector like this, and
you end up going almost back the way you came,
but not quite.
So this is your resulting vector.
As you can see here, another way to add vectors
then is by drawing these parallelograms- but
this is just a useful shortcut.
Anyway, now that we understand how to add
2 vectors, we understand how to add as many
as we like.
Just.
keep.
following.
directions.
Good.
But adding together isn’t all ve ctors can
do.
They can also get multiplied by a number.
There’s a simple way to think of this too.
This just stretches or squeezes the length
of the vector, without changing the direction.
But what happens when you multiply it by negative
one for example?

English: 
It just flips the vector in the opposite direction.
And if you have negative a third for example?
That just flips it’s direction, then squishes
it by a 1/3.
Before we move on to the really interesting
stuff, a quick word about notation.
I’ll write a general vector like this, with
a little arrow on top.
This is fairly common notation, but there
are lots different ways people use.
In fact, in quantum mechanics we use a notation
you’ve already seen if you watch my videos,
and it’s like this.
Anyway, say you have some vectors.
Now you know you can add them together, and
you can also multiply each by a number that
stretches it or squishes it.
But the most general thing you can do is to
do both.
Multiply each of the vectors by something,
and then add them together.

Portuguese: 
Somente inverte o vetor pra direção oposta
E se você tiver por exemplo menos um terço?
Isto irá inverter a direção, e então o achata para um terço do seu tamanho
Antes de irmos para as coisas realmente interessantes, uma palavra rápida sobre a notação!
Eu irei escrever um vetor genérico assim, com uma pequena seta sobre ele
Esta é uma notação relativamente comum, mas diversas pessoas usam muitas outras formas
Na verdade, em mecânica quântica, utilizamos uma notação que você já deve ter visto nos meus vídeos,
e é assim
Então, suponha que você tenha alguns vetores
Agora você sabe que podemos somá-los, e também multiplicar por um número
que ou o estica ou o achata
Mas a coisa mais genérica que você pode fazer é ambos
Multiplicar cada vetor por algo e depois somá-los

English: 
This is called a linear combination of the
vectors, and it’s the most general way that
you can make new vectors from ones you have.
A question you might be asking yourself is,
exactly which other vectors can I make with
a given set of vectors.
For example, if I give you these two vectors,
can you end up with any vector on plane by
taking linear combinations?
How about see if you could make this vector?
On a piece of paper, try drawing something
like this, doesn’t have to be exactly the
same, and see if by stretch squeezing and
flipping the original vectors, then adding
them, you can make it this third vector.
I think the best way to understand vectors
is to actually play around with them, so seriously,
pause the video, pick up a scrap of paper
and try it.
And if you think you know how to do, try it
with another example as well.

Portuguese: 
Isto é chamado combinação linear de vetores, e é a forma mais geral de
fazer novos vetores, a partir de outros que você já tem
Uma pergunta que você pode estar se fazendo é, quais outros vetores eu posso construir
dado um conjunto de vetores.
Por exemplo, se eu lhe dou estes dois vetores, você consegue fazer qualquer  outro vetor no plano
fazendo combinações lineares?
Vamos ver se você consegue fazer este vetor aqui
Em um pedaço de papel, tente desenhar algo como isso, não tem que ser exatamente
igual, e veja se esticando, comprimindo, invertendo os vetores originais, e somando,
você consegue chegar neste terceiro vetor.
Eu acho que a melhor forma de entender vetores é de fato brincar com eles, então, sério,
pause o vídeo, pegue um pedacinho de papel e tente.
E se você acha que sabe como fazê-lo, tente com outro exemplo também. (pausa)

English: 
Assuming you gave that a go, here’s how
you do it for any example.
Draw a grid like this with your two vectors.
This says, you need to go 2 of these lengths
to get to here, and minus 1.5 to get to here.
So in my case, the new vector is: -1.5 v_1+2
v_2
Using this method, you can take a linear combination
of 2 vectors get any other vector on this
plane.
Well not quite.
There’s one special case.
Imagine if I had two vectors that are on the
same line.
One of them is just a multiple of the other.
So when you do a linear combo of them, you’re
really just getting a multiple of one of them.
The other one is redundant.
If we look at all the vectors you can make
from these vectors, which is called the span

Portuguese: 
Assumindo que você já tentou, aqui está uma forma de fazê-lo para qualquer exemplo
Desenhe uma malha assim para seus dois vetores.
Isto diz, você precisa ir 2 unidades deste comprimento para chegar aqui, e -1.5 para chegar aqui
Então, no meu caso, o novo vetor é -1.5 v1 + 2 v2
Usando este método, você pode usar uma combinação linear de 2 vetores para fazer qualquer outro vetor
no plano
Mas não exatamente.
Tem um caso especial.
Imagine que eu dê dois vetores que estão na mesma linha
Um deles é apenas o múltiplo do outro
Então quando você faz uma combinação linear, você está na verdade, fazendo um múltiplo deles
O outro é redundante.
Se olharmos para todos os vetores que podemos fazer a partir desses vetores, que é chamado o subespaço

Portuguese: 
gerado por esses vetores, é qualquer coisa nesta linha
Mas vamos ver o que acontece quando pensamos no caso tridimensional
Quantos vetores você precisa para que combinações lineares delas irão lhe dar todos os possíveis
vetores no espaço tridimensional?
Claramente dois vetores não são suficientes
Quaisquer dois vetores somente lhe dão vetores no plano que eles geram
Então você precisa de um terceiro vetor
Mas e se o terceiro vetor está no mesmo plano?
Então claro, está também redundante
Outra forma de pensar isto, é você escrever o terceiro vetor como uma combinação dos outros
dois
Então quando você tem uma combinação linear de todos esses três vetores, você pode reescrever como
por outro lado, como uma combinação linear dos dois vetores originais

English: 
of the vectors, it’s just anything on this
line.
But let’s see what happens when we think
of the 3D case.
How many vectors do you need so that a linear
combinations of them will give you every possible
vector in 3d space?
Clearly two vectors is not enough.
Any 2 vectors only get you vectors on the
plane they span.
So you need a third vector.
But what if that third vector is on the same
plane?
Then clearly it’s redundant.
Another way to think of this is, you can write
the third vector as a combination of the other
two.
So when you have a linear combination of all
three vectors, you can just rewrite it as
a linear combination of just the two vectors
instead.

Portuguese: 
Então o terceiro vetor não ajudou em nada.
Por outro lado, se o seu terceiro vetor não está no plano, você representar qualquer outro vetor
em qualquer ponto em três dimensões
Você pode se convencer disso usando uma malha similar ao argumento do caso bidimensional
Agora, se você entendeu tudo até aqui, você entendeu uma das ideias mais importantes
da álgebra linear, que é a ideia de uma base.
Vimos nos nossos exemplos que uma linha pode ser gerada por apenas um vetor, e que um plano
pode ser gerado por 2 vetores e um espaço 3D pode ser gerado por 3 vetores.
Mas se se somente se você não tiver redundâncias.
Imagine que você tenha vetores v1 a vn gerando algum espaço.
Um vetor, por exemplo, v_i, é redundante se, quando você o remove, você ainda tem o mesmo
espaço.
Isto acontece quando aquele vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores
no conjunto.

English: 
So the third vector didn’t help at all.
On the other hand, if your third vector is
not in the plane, you can get to any vector
anywhere in 3D.
You can convince yourself of that by using
a similar grid argument to the 2D case.
If you’ve understood everything so far,
you’ve understood one of the most important
ideas in linear algebra, and that is the idea
of a basis.
We saw in our examples that a line can be
spanned by just one vector, a plane can be
spanned by 2 and 3D space can be spanned by
3 vectors.
But only if you don’t have any redundancies.
Imagine that you have vectors v_1 to v_n spanning
some space.
A vector, say v_i, is redundant if, when you
take that vector out, you still get the same
space.
That happens when that vector can be written
as a linear combination of the other vectors
in the set.

English: 
As long as none of the vectors are dependent
on the other vectors like this, we have the
minimum number of vectors necessary to span
the space- if we deleted any, we’d get a
smaller space.
Then this set of vectors is called the basis
for the space.
Obviously, for any space of vectors, there
are many different choices of basis for example
these are both bases for the plane, so it’s
not unique.
But here are 2 reasons why they’re still
very important.
Firstly, for any vector space, the number
of basis elements is fixed.
It’s called the dimension of that space.
The second thing is, if you pick a basis,
and you write another vector in that space
as a linear combination of these basis elements,
there’s only one correct way to do it.
I.e, you can’t write that v is also equal
to this other linear combination.

Portuguese: 
Desde que nenhum daqueles vetores sejam dependentes dos outros vetores, nós temos
o número mínimo de vetores necessários para gerar o espaço. Se apagarmos alguém, teríamos
um espaço vetorial menor.
Então este conjunto de vetores é chamado a base do espaço vetorial.
Obviamente, para um espaço vetorial, há muitas escolhas diferentes para bases, por exemplo,
estas são ambas bases para o plano, então não são únicas.
Mas há duas razões pelas quais elas são ainda muito importantes.
Primeiramente, para um espaço vetorial qualquer, o número de elementos da base é fixo.
É chamado a dimensão daquele espaço.
A segunda é, se você escolhe uma base, e você escreve outro vetor qualquer naquele espaço
como uma combinação linear daqueles vetores da base, então só existe uma forma certa de fazê-lo
Ou seja, você não vai conseguir escrever que v seja igual a outra combinação linear

Portuguese: 
Não é difícil provar estas duas afirmações, e eu creio que seja um bom exercício
para você, então eu gostaria que você tentasse prová-las e escreva sua solução nos comentários.
Agora, finalmente, eu gostaria de explicar a ligação entre o que eu disse até agora e o que você pode já
ter visto sobre vetores anteriormente.
Você talvez tenha visto os vetores escritos como uma coluna de números assim
Eu acho que vários estudantes não compreendem corretamente o que isso significa.
Um vetor não é de verdade uma coluna de números, isto é apenas uma forma de escrevê-los
O que isto significa é, existe uma base para os seus vetores, que está fixa.
Então este vetor é a vezes o primeiro vetor da base,
mais b vezes o segundo vetor da base, etc.
É uma forma curta para escrever esta soma toda, e é muito conveniente.
Mas eu realmente espero, mesmo que se eu não ensinasse mais nada: um vetor não é uma coluna de números
Eles são setas com direções, e você só consegue escrevê-los como uma coluna de números uma vez que
você estabeleceu qual é a base.

English: 
It’s not hard to prove these 2 statements
and I think it’s really good practice for
you, so I’d like you to have a go at proving
them and write your solution in the comments.
Now, finally, I want to explain the link between
what I’ve said so far and what you might
have seen about vectors before.
You may have seen vectors written as a column
of numbers like this.
I think a lot of students misunderstand what
this means.
A vector isn’t really a column of numbers;
this is really a short hand.
What it means is that, there’s some basis
that you have for your vectors, fixed already.
So when you write your vector as a column
you’re really saying, this vector is a times
the first basis vector plus b times the second
basis vector etc.
It’s just a short hand for writing out this
whole sum, and it’s very convenient.
But, I really hope, that if I taught you nothing
else, vectors are not a stack of numbers.
The are arrows with directions, and you can
only write them as a column of numbers once
you’ve established what the basis is.

Portuguese: 
Antes de você ir, eu gostariade encorajá-lo a tentar estas duas questões de múltipla escolha
Eu realmente acredito que a álgebra linear é um daqueles tópicos que você não consegue entender
sem pegar a mão na massa.
Mesmo que você pense que tudo neste vídeo foi muito direto, há uma série
de perguntas delicadas que podem lhe ajudar a compreender suas sutilezas.
Aqui estão duas que, superficialmente parecem muito simples, e cujos cálculos devem tomar
apenas um minuto, mas você precisa pensar sobre isso com cuidado.
Então aqui estão as perguntas.
Você pode encontrá-las na descrição também.
A primeira questão é sobre redundância.
A pergunta é, um destes vetores é redundante.
Qual deles é?
Após você ter pensado, coloque sua resposta na enquete aqui ao lado.
A segunda questão é sobre quais desses espaços vetoriais contêm os outros.
Novamente, você pode deixar sua resposta na enquete no canto aqui ao lado.

English: 
Before you go, I’d really encourage you
to try the following 2 multiple choice questions.
I strongly believe that linear algebra is
one of those topics you can’t understand
without getting your hands dirty.
Even if you think everything in this video
was very straight forward, there are lots
of tricky questions that can help you understand
the subtleties.
Here are 2 that, on the surface seem quite
simple, and the calculation would only take
you a minute, but you need to think a bit
carefully.
So here are the questions.
You can find both of them in the description
as well.
The first question is about redundancy.
The question is, one of these vectors is redundant.
Which one is it?
Once you’ve had a think, put your answer
in the poll here.
The second question is about which of these
vector spaces contains the others.
Again, you can put your answer in the poll
in the corner here.

English: 
I’d be really interested to what you guys
thought.
As you may have noticed, these two questions
are from Brilliant.org, who are sponsoring
this series.
Brilliant have a course on linear algebra
which I think will complement this videos
perfectly because they introduce the subject
from a different angle, by looking at systems
of linear equations.
I’ve never seen that approach done as well
as their website does it, and I think the
reason it works so well is that they don’t
just tell you the concepts- they ask you questions
which make you engage with the material.
If you watch my channel, you know that I set
homework at the end of my videos for exactly
the same reason -you can’t learn without
thinking about the material on your own.
The questions at Brilliant are at the perfect
level to keep you on your toes and to illustrate
the concepts in a very tangible way.
Despite the fact that I do research in field
that is basically applied linear algebra,
I got a lot from going through their course,
so I can personally recommend it.

Portuguese: 
Eu estou muito interessada em saber o que vocês pensaram.
Como vocês devem ter percebido, estas duas perguntas são do Brillant.org, que está patrocinando
esta série.
Brilliant tem um curso de álgebra linear que eu creio que irá complementar estes vídeos
perfeitamente, porque eles introduzem o assunto de um outro ângulo, olhando para sistemas
de equações lineares.
Eu nunca havia visto esta abordagem feita como eles fazem no site deles, e eu acho que
a razão pela qual ela funciona tão bem, é que eles não apenas lhe dizem os conceitos, eles fazem perguntas
que fazem com que você interaja com o material.
Se você assiste ao meu canal, você sabe que eu estabeleço tarefas para casa ao final dos meus vídeos
pela mesma razão -  você não pode aprender sem pensar sobre o material do seu jeito.
As perguntas do Brilliant são do nível perfeito para mantê-lo desperto e para ilustrar
os conceitos de uma forma muito tangível.
Apesar do fato de que eu faço pesquisa em uma linha que é basicamente álgebra linear aplicada,
eu aprendi muito fazendo o curso deles, então eu posso recomendá-lo.

English: 
I really wanted all of you to have the chance
to do the part of their linear algebra course
relevant to this video, so they've kindly
made that free for the next two weeks.
If you like their stuff, you can get 20% off
their annual membership by following the link
in the description.
My next video will be up here soon, where
we’ll learn about Matrices.
Meanwhile, I really recommend a video series
by 3blue1Brown on linear algebra, especially
if you’d like to go deeper in this topic.

Portuguese: 
Eu realmente gostaria que todos vocês pudessem fazer o curso de álgebra linear
relevante para este vídeo, então eles liberaram gratuitamente para as próximas duas semanas.
Se você gostar do material, você pode ter 20% de desconto na anuidade seguindo o link
na descrição.
O meu próximo vídeo será postado logo, onde aprenderemos sobre matrizes.
Até lá, eu recomendo fortemente uma série de vídeos sde 3blue1Brown sobre álgebra linear, especialmente
se você desejar aprofundar-se neste tópico.
