
Czech: 
Chceme spočítat
určitý integrál od -1 do -2
16 minus x³ lomeno x³ dx.
Zpočátku to může vypadat hrozivě.
Mám tady lomený výraz,
x v čitateli a x ve jmenovateli,
ale nezapomeňte,
stačí nám pár algebraických úprav
a bude to vypadat mnohem přitažlivěji.
Toto je stejné jako
určitý integrál od -1 do -2
16 lomeno x³
minus x³ lomeno x³,
minus x³ lomeno x³ dx.
A čemu se toto bude rovnat?
Bude to rovno
určitému integrálu od -1 do -2...
Můžu přepsat ten první výraz...
Udělám to jinou barvou.

Bulgarian: 
Искаме да изчислим определен
интеграл от –1 до –2
от (16 – х^3)/х^3, dx.
На пръв поглед изглежда сложно.
Имаме този рационален израз, а
променливата х e и в числителя,
и в знаменателя. Трябва обаче просто
да си спомним,
че трябва да направим някакво
алгебрично преобразуване,
така че да опростим израза.
Това е същото нещо като определен
интеграл
от минус 1 до минус 2
от 16/х^3 минус х^3/х^3.
Минус х на трета върху х на трета, dx.
А този интеграл на какво ще бъде
равен?
Ще бъде равен на определен интеграл
от минус 1 до минус 2...
Мога да запиша ето този първи член.
Нека да е с различен цвят.
Мога да го запиша като

Thai: 
เราหาอยากหาอินทิกรัลจำกัดเขต
จากลบ 1 ถึงลบ 2
ของ 16 ลบ x กำลังสามส่วน x กำลังสาม dx
ตอนแรก มันอาจดูยากเย็น
ผมมีพจน์ตรรกยะนี่ตรงนี้ ผมมี x ในตัวเศษ
และ x ในตัวส่วน แต่เราแค่นึกดู
เราแค่ต้องจัดการพีชคณิต
แล้วอันนี้จะน่าดูขึ้นมาก
พจน์นี้ก็เหมือนกับอินทิกรัลจำกัดเขต
จากลบ 1 ถึงลบ 2 ของ
16 ส่วน x กำลังสาม
ลบ x กำลังสาม
ส่วน x กำลังสาม
ลบ x กำลังสามส่วน x กำลังสาม dx
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต
จากลบ 1 ถึงลบ 2 ของ
ผมเขียนเทอมแรกนี่ตรงนี้ได้
ขอผมใช้อีกสีหนึ่งนะ
ผมเขียนได้ ผมเขียนอันนี้ได้

English: 
- [Voiceover] So we wanna
evaluate the definite integral
from negative one to negative two
of 16 minus x to the third
over x to the third dx.
Now at first this might seem daunting,
I have this rational expression,
I have xs in the numerators
and xs in the denominators,
but we just have to remember,
we just have to do some
algebraic manipulation,
and this is going to seem
a lot more attractable.
This is the same thing
as the definite integral
from negative one to negative two of
16 over x to the third
minus x to the third
over x to the third,
minus x to the third
over x to the third dx.
And now what is that going to be equal to?
That is going be equal
to the definite integral
from negative one to negative two of,
I could write this first
term right over here,
let me do this in a different color.
I could write, I could write this

English: 
as 16x to the negative three,
x to the negative three,
and this second one,
we have minus x to the
third over x to the third.
Well x to the third is just over,
x to the third over x to the third
is just going to be equal to one.
So this is going to be minus one dx,
so dx.
And so what is this going to be equal to?
Well, let's take the antiderivative
of each of these parts
and then we're going to
have to evaluate them
at the different bounds.
So, let's see.
The antiderivative of 16x
to the negative three,
we're just gonna do the power rule
for derivatives in reverse.
You can view this as the
power rule of integration
or the power rule of
taking the antiderivative
where what you do is
you're gonna increase our exponent by one,
so you're gonna go from
negative three to negative two,
and then you're gonna
divide by that amount,
by negative two.
So it's going to be 16
divided by negative two
times x to the negative two.

Bulgarian: 
16 пъти х на минус трета,
а за втория член
имаме минус х на трета върху
х на трета.
х на трета е върху х на трета, което 
просто ще бъде равно на 1.
Тогава тук ще запиша само
минус 1 dx.
А това на какво ще бъде равно?
Нека да намерим примитивната функция 
на всеки от тези членове.
След това ще ги изчислим 
за различните граници.
Нека да видим.
Примитивната функция на 16 по х на
минус трета.
Просто ще приложим наобратно
правилото за производна на степен.
Можеш да разглеждаш 
правилото за интегриране като обратното
на правилото за производна на степен,
чрез което намираме примитивната функция.
Това, което правим,
е да увеличим степенния показател
с единица.
Следователно от минус 3 става
на минус 2,
а след това ще разделим
първоначалния израз на него,
т.е. разделено на минус 2.
Получава се 16, разделено на минус 2,
умножено по х на минус втора.

Thai: 
เป็น 16x กำลังลบ 3, x กำลังลบ 3
และอันที่สองนี้
เรามีลบ x กำลังสามส่วน x กำลังสาม
x กำลังสาม ส่วน
x กำลังสามส่วน x กำลังสาม
จะเท่ากับ 1
อันนี้จึงเท่ากับลบ 1 dx
dx
แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
ลองหาปฏิยานุพันธ์ของแต่ละส่วนนี้
แล้วเราค่อยหาค่าพวกมัน
ที่ขอบต่างๆ กัน
ลองดูนะ
ปฏิยานุพันธ์ของ 16x กำลังลบ 3
เราจะใช้กฎยกกำลัง
สำหรับอนุพันธ์แบบย้อนกลับ
คุณมองอันนี้เป็นกฎยกกำลังของการอินทิเกรต
หรือกฎยกกำลังของการหาปฏิยานุพันธ์ก็ได้
โดยคุณก็
คุณเพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1
คุณจึงไปจากลบ 3 เป็นลบ 2
แล้วคุณจะหารมันด้วยค่านั้น
ด้วยลบ 2
มันจะเท่ากับ 16 หารด้วยลบ 2
คูณ x กำลังลบ 2

Czech: 
Můžu jej přepsat jako 16x⁻³
a ten druhý, tam máme
minus x³ lomeno x³.
x³ lomeno x³
bude rovno prostě 1.
Takže toto bude rovno
minus 1 dx.
A čemu bude toto celé rovno?
Zintegrujeme každou z těchto částí
a pak je vyčíslíme
v jednotlivých mezích.
Pojďme na to.
Integrál 16x⁻³,
na to použijeme
obrácené pravidlo derivace mocniny.
Můžeme tomu říkat
pravidlo integrace mocniny
nebo pravidlo mocniny pro integraci.
Zvýšíme exponent o 1,
takže z -3 se stane -2,
a pak to vydělíme stejným číslem, -2.
Takže to bude 16 děleno -2 krát x⁻².

Czech: 
Pouze jsem zvýšil exponent
a vydělil to stejným číslem.
Takže toto je ten integrál.
A 16 děleno -2 je -8.
Takže máme -8x⁻².
A pak integrál -1,
to je jednoduše -x.
-x.
A vy si možná prostě pamatujete,
že když zderivujete -x,
dostanete -1,
nebo si to můžete představit jako -x⁰,
protože to vlastně 1 je,
vyjde to stejně.
Zvýšíme exponent o 1
a dostaneme x¹.
A pak to vydělíme 1,
můžeme si to tam představit,
každopádně se tak či tak
dostaneme k minus x.
A teď to vyčíslíme.
Vyčíslíme to v daných mezích
a odečteme od sebe.
Vyčíslíme to v bodě -2

English: 
All I did is I increased the exponent
and I divided by that amount.
So that's the antiderivative here.
And 16 divided by negative two,
that is just negative eight.
So we have negative eight,
x to the negative two.
And then the antiderivative
of negative one,
well, that's just negative
x, negative, negative x,
negative x.
And actually you might just know that,
and then hey, if I take the
derivative of negative x
I get negative one, or if you view this
as negative x to the zero power,
because that's what one is,
well, it's the same thing.
You increase the exponent by one
to get x to the first power.
And then you divide by one and so,
I mean, you can view it
as that right over there,
but either way you get
to negative or minus x.
And so now we want to evaluate that.
We're going to evaluate that at the bounds
and take the difference.
So we're going to evaluate
that at negative two

Thai: 
ที่ผมทำคือผมเพิ่มเลขชี้กำลัง
และผมหารด้วยเลขนั้น
นั่นคือปฏิยานุพันธ์ตรงนี้
แล้ว 16 หารด้วยลบ 2
มันก็แค่ลบ 8
เราจึงได้ลบ 8, x กำลังลบ 2
แล้วปฏิยานุพันธ์ของลบ 1
นั่นก็แค่ลบ x, ลบ, ลบ x,
ลบ x
และคุณอาจรู้ว่า
เฮ้ ถ้าฉันหาอนุพันธ์ของลบ x
ฉันจะได้ 1 หรือถ้าคุณมองอันนี้
เป็นลบ x กำลัง 0 เพราะนั่นคือ 1
มันก็เหมือนกัน
คุณเพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1
ได้ x ยกกำลัง 1
แล้วคุณหารด้วย 1
คุณมองมันเป็นค่านั่นตรงนั้นได้
แต่ไม่ว่าแบบไหน คุณจะได้ลบ x
และตอนนี้เราอยากหาค่ามันแล้ว
เราจะหาค่าที่ขอบ
แล้วหาผลต่าง
เราจะหาค่ามันที่ลบ 2

Bulgarian: 
Всичко, което направих, е да увелича
степенния показател
и да разделя на тази стойност.
Това тук е примитивната функция.
16, разделено на минус 2,
е равно на минус 8.
Имаме минус 8 пъти х на минус втора.
След това търсим 
примитивната функция на минус 1.
Равно е просто на минус х.
Минус х.
Тук може би се досещаш,
че производната на минус х е минус 1.
А може и да разглеждаме това
като минус х на нулева степен, защото
1 е равно на това.
Същото нещо е.
Увеличаваш степента с единица,
за да получиш х на първа степен.
След това разделяш на 1,
т.е. може да го разглеждаш ето така.
По който и да е начин се получава
минус х.
И сега искаме да изчислим този израз.
Ще го изчислим за границите
и ще намерим разликата.
Ще изчислим това за минус 2,

Thai: 
แล้วลบจากค่าที่แทนด้วยลบ 1
ขอผมทำคนละสีนะ
เราจะได้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้น
เราจะหาค่ามันที่ลบ 2
แล้วเราจะหาค่าที่ลบ 1
อย่างแรกลองหาค่าที่ลบ 2 ก่อน
อันนี้จะเท่ากับ
อันนี้จะเท่ากับ
เมื่อคุณหาค่ามันที่ลบ 2
มันจะเท่ากับลบ 8, ลบ 8
คูณ x กำลังลบ 2
ลบ 2 ยกกำลังลบ 2
ลบลบ 2
แล้วจากนั้น เราจะลบมัน
และหาค่ามันที่ลบ 1
มันจึงได้ลบ 8 คูณลบ 1
ยกกำลังลบ 2 ลบลบ 1
เอาล่ะ อันนี้จะเท่ากับอะไร?
ลบ 2 กำลังลบ 2
ลบ 2 กำลังลบ 2
เท่ากับ 1 ส่วนลบ 2 กำลังสอง
ซึ่งเท่ากับ 1/4

English: 
and then subtract from that
this evaluated at negative one.
And let me do those in
two different colors
so we can see what's going on.
So we're gonna evaluate it at negative two
and we're gonna evaluate
it at negative one.
So let's first evaluate
it at negative two.
So this is going to be equal to,
this is going to be equal to,
when you evaluate it at negative two,
it's going to be negative
eight, negative eight
times x to the negative two.
So negative two the the negative two power
minus negative two.
And from that we're going to subtract it
and evaluate it at negative one.
So, it's going to be negative
eight times negative one
to the negative two
power minus negative one.
All right, so then what
is this going to be?
So, negative two the negative two.
So negative two to the negative two
is equal to one over negative two squared,
which is equal to 1/4.

Bulgarian: 
а след това от него ще извадим
същото, изчислено за минус 1.
Нека ги запиша с два различни цвята,
за да може да виждаме какво се
случва.
Ще го изчислим за минус 2
и ще го изчислим за минус 1.
Нека го изчислим първо за минус 2.
Ще бъде равно на следното.
Ще бъде равно на...
Когато го изчисляваме за минус 2,
имаме минус 8,
умножено по х на минус втора.
Тоест минус 2 на минус втора
минус минус 2.
И от този израз ще извадим 
изчисления израз за минус 1.
Получава се минус 8, умножено по
минус 1
на минус втора, минус минус 1.
Добре, а това на какво ще бъде равно?
Минус 2 на минус втора.
Минус 2 на минус втора
е равно на 1 върху минус 2 квадрат,
което е равно на 1/4.

Czech: 
a pak to od toho odečteme
vyčíslené v -1.
Udělám to dvěma různými barvami,
abychom se v tom vyznali.
Vyčíslíme to v -2
a pak to vyčíslíme v -1.
Prvně to tedy vyčísleme v -2.
Takže to bude rovno...
Když to vyčíslíme v -2,
bude to -8 krát x⁻²,
takže (-2)⁻² minus (-2).
A od toho odečteme to stejné
vyčíslené v -1.
Takže to bude
-8 krát (-1)⁻² minus (-1).
Takže kolik to tedy bude?
(-2)⁻².
(-2)⁻² je rovno
1 lomeno (-2)²,
což je rovno 1/4.

Bulgarian: 
Тогава това е равно на плюс 1/4.
След това имаме минус 8, умножено
по 1/4,
което ще бъде равно на минус 2.
А след това имаме минус 2
минус минус 2,
т.е. минус 2 плюс 2.
И всичко, което изчислих тук с лилаво,
ще бъде равно на 0.
Сега нека погледнем какво се случва
с израза в оранжево.
Когато изчисляваме за минус 1
се получава минус 1 на минус втора,
което е 1 върху минус 1 квадрат.
Това ще бъде равно на 1.
Следователно ще имаме
минус 8 плюс 1,
което е равно на минус 7.
Всичко от този израз дава резултат
минус 7.
Спомни си обаче, че изваждаме
минус 7,
следователно това ще ни даде
следното.
Тук заслужаваме поздравления!
Това ще бъде равно на плюс 7.
Очевидно не е нужно да записваш 
този плюс отпред.

Czech: 
Takže toto je rovno +1/4,
ale -8 krát +1/4
bude rovno -2.
A pak dostaneme
-2 minus -2,
což je -2 plus 2.
Takže to celé,
co jsem napsal fialově,
bude rovno 0.
A pak, když se podíváme
na ten oranžový výraz,
když to vyčíslujeme v -1,
(-1)⁻²,
to je 1 lomeno (-1)².
Takže to bude prostě 1.
A pak dostáváme -8 plus 1,
což je rovno -7.
Takže celé toto
se rovná -7.
Ale nezapomeňte,
že odečítáme -7,
takže toto se nakonec bude rovnat,
chvilka napětí,
bude to rovno +7.

English: 
So this is equal to positive 1/4,
but then negative eight times positive 1/4
is going to be equal to negative two.
And then we have negative
two minus negative two,
so that's negative two plus two.
And so everything I've just
done in this purplish color
that is just going to be zero.
And then if we look at what's
going on in the orange,
when you evaluate it at negative one,
let's see, negative one
to the negative two power,
well, that's one over
negative one squared.
Well, this all is just going to be one.
And so we're gonna have
negative eight plus one,
which is equal to negative seven.
So all of this evaluates
to negative seven.
But remember, we're
subtracting negative seven,
and so this is going to result,
we deserve a little bit of a drum roll,
this is going to be equal
to positive, positive seven.
And obviously you don't have to write
that positive out in front,

Thai: 
ค่านี้จึงเท่ากับบวก 1/4
แต่ลบ 8 คูณบวก 1/4
จะเท่ากับลบ 2
แล้วเรามีลบ 2 ลบลบ 2
นั่นคือลบ 2 บวก 2
แล้วทุกอย่างที่ผมทำด้วยสีม่วง
จะกลายเป็น 0
แล้วถ้าเราดูสิ่งที่เกิดขึ้นในสีส้ม
เมื่อคุณหาค่าที่ลบ 1
ลองดู ลบ 1 กำลังลบ 2
มันก็คือ 1 ส่วนลบ 1 กำลังสอง
อันนี้จะเท่ากับ 1
แล้วเราจะได้ลบ 8 บวก 1
ซึ่งเท่ากับลบ 7
ทั้งหมดนี้หาค่าได้ลบ 7
แต่นึกดู เรากำลังลบลบ 7
อันนี้จึงให้ได้
เราพร้อมตีกลองต้อนรับแล้ว
อันนี้จะเท่ากับบวก บวก 7
แน่นอน คุณไม่ต้องเขียน
เครื่องหมายบวกข้างหน้าก็ได้

Thai: 
ผมแค่เขียนเพื่อเน้น
ว่าอันนี้จะเท่ากับบวก 7

English: 
I just wrote that just to emphasize
that this is going to be a positive seven.

Czech: 
Samozřejmě není nutné psát to +,
napsal jsem ho tam, abych zdůraznil,
že to bude rovno +7.

Bulgarian: 
Просто го написах, за да подчертая,
че това ще бъде равно на плюс 7.
