
Portuguese: 
Oi, sou Presh Talwalkar
Equações quadráticas são extremamente importantes em matemática
Mas, infelizmente, eles também podem ser bem confusas
Neste vídeo vou apresentar uma prova visual e geométrica
para que você entenda intuitivamente a fórmula quadrática
Imagine que você quer resolver x ^ 2 + 2x -15 = 0
Você poderia resolver isso representando graficamente a equação x ^ 2 + 2x -15
Os pontos em que o gráfico cruza o eixo x são as soluções.
Você também pode resolver essa equação fatorando em termos lineares
Se você definir esses termos lineares como zero, você obtém as mesmas soluções escritas no gráfico.
Quando esses métodos não funcionam

Spanish: 
Hola, este es Presh Talwalkar
Las ecuaciones cuadráticas son extremadamente importantes en matemáticas.
Pero desafortunadamente también pueden ser muy confusos.
En este video voy a presentar una prueba visual y geométrica.
Para que entiendas la fórmula cuadrática intuitivamente.
Imagina que quieres resolver x ^ 2 + 2x -15 = 0
Podrías resolver esto al graficar la ecuación x ^ 2 + 2x -15
El punto en el que la gráfica cruza los ejes x son las soluciones.
También podrías resolver esta ecuación factorizando en términos lineales
Si establece estos términos lineales en cero, obtendrá las mismas soluciones que están escritas en el gráfico.
Cuando esos métodos no funcionan

English: 
Hi, this is Presh Talwalkar
Quadratic equations are extremely important in mathematics
But unfortunately they can also be very confusing
In this video I'm going to present a visual and geometric proof
so that you understand the quadratic formula intuitively.
Imagine you want to solve x^2 + 2x -15 = 0
You could solve this by graphing the equation x^2 + 2x -15
The point at which the graph crosses the x axes are the solutions.
You could also solve this equation by factoring into linear terms
If you set these linear terms equal to zero, you get the same solutions as written in the graph.
When those methods don't work

Spanish: 
La fórmula cuadrática siempre te dirá cómo puedes resolver cualquier ecuación cuadrática con constantes arbitrarias a, b y c.
Así que esta es una fórmula muy útil.
Pero, de forma novedosa, a menudo no se presenta de manera intuitiva.
¿Por qué exactamente funciona?
Así que intentemos entender esto geométricamente.
Vamos a resolver esta ecuación.
Primero agregaremos 15 a ambos lados para que tengamos x ^ 2 + 2x = 15
Ahora colorearé el código de cada término
Cada término va a representar el área de la forma.
Para x ^ 2, lo representaré por un cuadrado, que tiene una longitud de lado de x.
El área del cuadrado es igual a x ^ 2.
El término 2x representaré por un rectángulo que tiene una longitud de lado de 2 y otra longitud de lado de x.

Portuguese: 
A fórmula quadrática sempre lhe dirá como você pode resolver qualquer equação quadrática com constantes arbitrárias a, b e c.
Esta é uma fórmula muito útil
Mas, não por acaso, não é frequentemente apresentado de forma intuitiva.
Por que exatamente isso funciona?
Então, vamos tentar entender isso geometricamente.
Vamos resolver a equação:  x^2 + 2x - 15 = 0
Primeiro vamos adicionar 15 a ambos os lados para que tenhamos x ^ 2 + 2x = 15
Eu vou agora codificar cada termo
Cada termo vai representar a área da forma.
Para x ^ 2, vou representá-lo por um quadrado, que tem um comprimento de lado de x.
A área do quadrado é igual a x ^ 2.
O termo 2x eu vou representar por um retângulo que tem um comprimento de lado com tamanho 2 e outro comprimento de lado com tamanho x

English: 
The quadratic formula will always tell you how you can solve any quadratic equations with arbitrary constants a, b and c.
So this is a very useful formula
But unforunately, it's not often presented in an intuitive way.
Why exactly does it work ?
So let's try and understand this geometrically.
Let's solve this equation
First we'll add 15 to both sides so that we have x^2+2x=15
I'll now color code each term
Each term is going to represent the area of the shape.
For x^2, I'll represent it by a square, which has a side length of x.
Thea area of the square is equal to x^2.
The term 2x I'll represent by a rectangle which has a side length of 2 and another side length of x.

Spanish: 
El área de este rectángulo es igual a 2x.
Finalmente, el término 15 lo representaré con un rectángulo que tiene un área de 15.
No importa cuáles son las longitudes exactas de los lados,
Solo importa que el área sea 15, así que no voy a escribir en las longitudes de los lados.
Pero la tarea que tenemos es: queremos que el área de las 2 formas de la izquierda sea igual al área de 15, que es la forma de la derecha.
Entonces, ¿cómo podemos hacer eso?
Lo primero que queremos hacer es: queremos combinar las dos formas.
Y afortunadamente para nosotros, tenemos un lado común de x.
Así que podemos combinar estas dos formas en un lado común.
Pero hay un truco que vamos a usar.
Vamos a dividir el rectángulo de 2x en 2 rectángulos pequeños que son x por 1

Portuguese: 
A área desse retângulo é igual a 2x.
Finalmente, o termo 15 eu representarei por um retângulo que tenha uma área de 15.
Não importa quais sejam os comprimentos exatos dos lados,
Só importa que a área seja 15, então não vou escrever nos comprimentos laterais.
Mas a tarefa que temos é: queremos que a área das duas formas à esquerda seja igual à área de 15, que é a forma à direita.
Então, como podemos fazer isso?
A primeira coisa que queremos fazer é: queremos combinar as duas formas.
E felizmente para nós, temos um lado comum: x.
Então podemos combinar essas duas formas em um lado comum.
Vamos usar um "truque"
Nós vamos dividir o retângulo de 2x em 2 pequenos retângulos que são x por 1

English: 
The area of this rectangle is equal to 2x.
Finally, the term 15 I'll represent by a rectangle which has an area of 15.
It doesn't matter what the exact side lengths are,
It only matters that the area is 15, so I'm not going to write in the side lengths.
But the task we have is: we want to have the area of the 2 shapes on the left to be equal to the area of 15, which is the shape on the right.
So how can we do that ?
The first thing we want to do is: we want to combine the two shapes.
And luckily for us, we have one common side of x.
So we can combine these two shapes on one common side.
But there's a trick we're going to use
We're going to split the rectangle of 2x into 2 small rectangles which are x by 1

Portuguese: 
E agora, vamos juntar essas tiras de cada lado do quadrado.
Agora temos uma forma quase igual a um quadrado.
O que precisamos fazer é adicionar a pequena área para obtermos um quadrado.
Colocamos um retângulo laranja aqui
Cada um dos comprimentos laterais é igual a um,
E assim esta área é igual a um.
E para equilibrar a equação, queremos adicionar a mesma área ao final do lado direito.
O que fizemos geometricamente, vamos representar algebricamente, adicionando um termo de um para cada lado da esquerda e da direita da equação.
E isso é o que é conhecido como "completando o quadrado"
Você provavelmente ouviu o termo na aula de álgebra, mas esta é a razão geométrica.

English: 
And now, we're going to join these strips on each side of the square.
So now we have a shape that's almost equal to a square.
So what we need to do is we want to add on the little area so that we get a square.
So we put an orange rectangle here
An each of it's side lengths is equal to one,
And so this area is equal to one.
And in order to balance the equation, we want to add the same area to the right end side.
So what we've done geometrically, we'll represent algebraically by adding a term of one to each the left and the right end sides of the equation.
And this is what's known as "completing the square"
You probably heard the term in algebra class, but this is the geometric reason.

Spanish: 
Y ahora, vamos a unir estas tiras en cada lado de la plaza.
Así que ahora tenemos una forma que es casi igual a un cuadrado.
Entonces, lo que debemos hacer es agregar una pequeña área para obtener un cuadrado.
Así que aquí ponemos un rectángulo naranja.
Cada uno de sus lados es igual a uno,
Y así, esta área es igual a uno.
Y para equilibrar la ecuación, queremos agregar la misma área al lado derecho.
Entonces, lo que hemos hecho geométricamente, lo representaremos algebraicamente agregando un término de uno a cada lado izquierdo y derecho de la ecuación.
Y esto es lo que se conoce como "completar el cuadrado".
Probablemente escuchaste el término en la clase de álgebra, pero esta es la razón geométrica.

Spanish: 
Literalmente estamos agregando un término a esta área para que podamos completar un cuadrado.
Y ahora esto nos ayuda a resolver el problema.
Porque lo que queremos hacer es simplificar que 15 + 1 = 16
Tenemos un cuadrado con las longitudes laterales de x + 1.
y necesitamos que ese cuadrado sea igual al cuadrado en el lado derecho.
Así que queremos que (x + 1) ^ 2 tenga un área de 16
Ahora, una forma en que podemos hacer esto, para tener esta área de 16,
es que podemos imaginar tener un cuadrado que tiene una longitud de lado de 4
Entonces para que nuestro cuadrado de la izquierda sea igual al cuadrado de la derecha,
queremos x + 1 = 4
Podemos resolver esto fácilmente, x = 3
Pero hay otra manera en que podemos hacer esto.

Portuguese: 
Estamos literalmente adicionando um termo a esta área para que possamos completar um quadrado.
E isso nos ajuda a resolver o problema.
Porque o que nós queremos fazer é simplificar que:     15 + 1 = 16
Nós temos um quadrado com comprimentos laterais iguais a x + 1
e precisamos que esse quadrado seja igual ao quadrado do lado direito.
Queremos que (x + 1) ^ 2 tenha uma área de 16
Agora, uma maneira de fazer isso, ter essa área de 16,
é que podemos imaginar ter um quadrado que tenha um comprimento de lado de 4
Então, para que nosso quadrado à esquerda seja igual ao quadrado à direita,
nós queremos x + 1 = 4
Nós podemos facilmente resolver isso, x = 3
Mas há outra maneira de fazer isso.

English: 
We are literally adding a term to this area so that we can complete a square.
And now this helps us solve the problem.
Because what we want to do was simplify that 15+1=16
We have a square with the side lengths of x+1
and we need that square to be equal to the square on the right hand side.
So we want (x+1)^2 to have an area of 16
Now one way we could to this, to have this area of 16,
is we can imagine to have a square that has a side length of 4
So in order for our square on the left to be equal to the square on the right,
we want x+1 = 4
We can easily solve this, x=3
But there's another way we can do this.

Portuguese: 
Imagine que tivéssemos comprimento lateral de (-4)
Desde que (-4) x (-4) = 16
Então nós também podemos obter (x + 1) = -4
A outra solução é x = -5
Então este é o caminho visual para entender equações quadráticas.
E se você entendeu isso, eu vou te mostrar essa prova, só que de uma forma mais geral;
é assim que obtemos a fórmula quadrática.
Então nós temos uma equação quadrática geral
E primeiro eu vou subtrair "c" de ambos os lados
então temos ax ^ 2 + bx = -c
agora vamos dividir pelo termo constante de a, então temos x ^ 2 + (b / a) x = -c / a
Isso é semelhante à equação que acabamos de resolver.

Spanish: 
Es una forma habitual, pero imagina que teníamos una longitud de lado de (-4)
Desde (-4) x (-4) = 16
Así que también podemos establecer (x + 1) = -4
Así que otra solución es x = -5
Así que esta es la forma visual de entender las ecuaciones cuadráticas.
Y si entendiste esto, te mostraré esta prueba, de una manera más general,
Así es como obtenemos la fórmula cuadrática.
Así que tenemos una ecuación cuadrática general.
Y primero voy a restar "c" de ambos lados
entonces tenemos ax ^ 2 + bx = -c
Ahora dividiremos por el término constante de a, entonces tenemos x ^ 2 + (b / a) x = -c / a
Esto es muy similar a la ecuación que acabamos de resolver.

English: 
It's kind of an usual way, but imagine we had side length of (-4)
Since (-4)x(-4) = 16
So we can also set (x+1) = -4
So another solution is  x= -5
So this is the visual way to understand quadratic equations.
And if you understood this, I'm going to show you this proof, just in a more general way,
which is how we get the quadratic formula.
So we have a general quadratic equation
And first I'm going to subtract "c" from both sides
so we have ax^2+bx = -c
we'll now divide by the constant term of a, so we have x^2+(b/a)x = -c/a
This is very similar to the equation we just solved.

Portuguese: 
É: x ^ 2 + (alguma coisa) * x = constante
Então vamos usar o mesmo procedimento
Vamos representar x ^ 2 como sendo a área do quadrado com o comprimento de lado igual a x.
Nós representamos (b / a) x por um retângulo com um lado (b / a) e outro lado igual a x.
E vamos representar (-c / a) por um retângulo como uma área igual a (-c / a)
Não precisamos escrever o comprimento dos lados, apenas que a área é igual a (-c / a).
Então, queremos que a área das duas formas à esquerda seja igual à área da forma à direita.
Vamos usar o mesmo truque usado acima.
Nós vamos dividir nosso meio retângulo verde ao meio, de modo que tenhamos dois comprimentos laterais de b / (2a)

English: 
It is: x^2 + (something)*x = constant
So let's use the same procedure
We'll represent x^2 as being the area of the square with the side length of x.
We'll represent (b/a)x by a rectangle which as one side of (b/a) and another side of x.
And we'll represent (-c/a) by a rectangle which as an area of (-c/a)
We don't need to write the lengths of the sides, we  just know that the area is (-c/a).
So we want the area of the two shapes on the left to equal the area of the shape on the right.
We'll use the same trick as in the last problem.
We'll divide our middle green rectangle in half, so that we have two side lengths of b/(2a)

Spanish: 
Es: x ^ 2 + (algo) * x = constante
Así que vamos a usar el mismo procedimiento
Representaremos x ^ 2 como el área del cuadrado con la longitud del lado de x.
Representaremos (b / a) x por un rectángulo que como un lado de (b / a) y otro lado de x.
Y representaremos (-c / a) por un rectángulo que como un área de (-c / a)
No necesitamos escribir las longitudes de los lados, solo sabemos que el área es (-c / a).
Así que queremos que el área de las dos formas a la izquierda sea igual al área de la forma a la derecha.
Usaremos el mismo truco que en el último problema.
Dividiremos nuestro rectángulo verde medio por la mitad, de modo que tengamos dos longitudes laterales de b / (2a)

Portuguese: 
Vamos agora combinar isso com o quadrado que tem um comprimento de lado x, combinando os lados de x.
E agora quase temos um quadrado
O que ainda falta é um quadrado laranja
e cada um dos comprimentos laterais é b / (2a)
Então b / (2a) * b / (2a) = (b ^ 2) / (4a ^ 2) nos dá a área do quadrado laranja
Para equilibrar as áreas, temos que adicionar a mesma área ao final do lado direito.
Agora, vamos fazer isso algebricamente.
Precisamos adicionar b ^ 2 / (4a ^ 2) a ambos os lados da equação.
Vamos simplificar o lado direito da equação
enquanto combinamos os dois termos, vou pular alguns passos,

Spanish: 
Ahora lo combinaremos con el cuadrado que tiene una longitud de lado de x, haciendo coincidir los lados de x.
Y ahora casi tenemos un cuadrado.
Lo que nos falta es un cuadrado naranja.
y cada una de sus longitudes laterales es b / (2a)
Entonces b / (2a) * b / (2a) = (b ^ 2) / (4a ^ 2) nos da el área del cuadrado naranja
Para equilibrar las áreas, debemos agregar la misma área al lado derecho.
Así que ahora, vamos a hacer esto algebraicamente.
Necesitamos agregar b ^ 2 / (4a ^ 2) a ambos lados de la ecuación.
Simplificaremos el lado derecho de la ecuación.
A medida que combinemos los dos términos me gusta, voy a omitir un par de pasos,

English: 
We'll now combine that with the square which has a side length of x, by matching the sides of x.
And now we almost have a square
What we're missing is an orange square
and each of it's side lengths is b/(2a)
So b/(2a)*b/(2a) = (b^2)/(4a^2) gives us the area of the orange square
In order to balance the areas, we have to add the same area to the right end side.
So now, let's do this algebraically.
We need to add b^2/(4a^2) to both sides of the equation.
We'll simplify the right hand side of the equation
as we combine the two like terms, I'm going to skip a couple of steps,

Spanish: 
Pero el lado derecho se convierte en (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2)
Así que eso se convierte en el área del rectángulo en el lado derecho.
En el lado izquierdo tenemos un cuadrado con una longitud de lado de x + b / (2a)
Y queremos que sea igual a nuestro cuadrado, que tiene un área de (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2).
Así que hay dos maneras en que podríamos hacer esto:
Podríamos establecer este igual a la raíz cuadrada positiva
o negativa la raíz cuadrada del área del lado derecho.
Así que tenemos la longitud del lado a la izquierda, x + b / (2a), será igual a la raíz positiva o la raíz negativa
Y ahora si simplificamos esta raíz cuadrada.
Y luego mueva el término b / (2a) al lado derecho

English: 
But the right end side becomes (b^2-4ac)/(4a^2)
So that becomes the area of the rectangle on the right hand side.
The left hand side we have a square with a side length of x+b/(2a)
And we want that to be equal to our square, which has an area of (b^2-4ac)/(4a^2).
So there's two way we could do this:
We could set this equal to positive the square root
or negative the square root of the area of the right hand side
So we have the side length on the left , x+b/(2a), will either equal to the positive root or the negative root
And now if we simplify this square root
And then move term b/(2a) to the right hand side

Portuguese: 
Mas o lado direito se torna (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2)
Então, isso se torna a área do retângulo do lado direito.
No lado esquerdo, temos um quadrado com um comprimento lateral de x + b / (2a)
E queremos que seja igual ao nosso quadrado, que tem uma área de (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2).
Há duas maneiras de fazer isso:
Poderíamos definir isso como positivo para a raiz quadrada
ou negativa a raiz quadrada da área do lado direito
O comprimento do lado esquerdo,  x + b / (2a), será igual à raiz positiva ou à raiz negativa
E agora, se simplificarmos essa raiz quadrada
E então mova o termo b / (2a) para o lado direito

Spanish: 
Terminamos con la fórmula cuadrática que
 x = ((- b) +/- sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)
Y ahí es donde viene la fórmula cuadrática de forma intuitiva.
como eso es esta es la longitud
eso permitirá que el cuadrado de la izquierda sea igual al cuadrado de la derecha.
Así que espero que esto dé una comprensión más profunda de la fórmula cuadrática.
y su interpretación geométrica.
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English: 
we end up with the quadratic formula that
 x=((-b)+/- sqrt(b^2-4ac))/(2a)
And that's where the quadratic formula comes from intuitively
as that's this is the length
that will allow the square on the left to be equal to the square on the right.
So i hope this gives a deeper understanding of the quadratic formula
and its geometric interpretation.
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Portuguese: 
acabamos com a fórmula quadrática que x = ((- b) +/- sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) [Onde "sqrt" é Raiz Quadrada]
E é aí que a fórmula quadrática vem intuitivamente
Este é o comprimento
que permitirá que o quadrado à esquerda seja igual ao quadrado à direita
Então eu espero que isso dê uma compreensão mais profunda da fórmula quadrática
e sua interpretação geométrica.
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