
Bulgarian: 
В настоящия урок ще преминем през
един от основните принципи в анализа.
Ще го използваш всеки път, 
когато намираш производна
на нещо, което е сравнително сложно.
Нарича се "верижно правило".
Когато за първи път го срещнеш,
може да изглежда 
малко плашещо и оплетено.
Но като виждаш отново 
в повече примери,
започва да придобива смисъл, 
и, надявам се,
започва да изглежда по-лесно 
и разбираемо с времето.
Нека да кажем, че имам функция...
Нека да кажем, че имам функция h(x), 
която е равна на...
само като пример, да кажем,
че е равна на sinx,
нека изберем да е равна на (sinx)^2.
Това можех да го запиша 
по следния начин,
sin^2 (x), но е малко по-ясно,
като използвам този запис.
Нека да остане така, тоест дадена е h(x).
Това, за което съм любопитен, 
е каква е h'(x)?
Искам да намеря h'(x),
като друг начин да се запише е
производната на h спрямо x.
Това е просто различен запис.

Indonesian: 
Apa yang akan kita pelajari
dalam video ini adalah salah satu aturan utama dalam kalkulus,
dan anda akan menggunakannya dalam mencari turunan
dari banyak jenis persamaan bahkan yang  cukup kompleks.
Dan aturan ini disebut aturan rantai.
Dan ketika anda pertama kali melihatnya,
aturan ini bisa terlihat menyeramkan dan sedikit sulit.
Tapi seiring anda melihat lebih banyak contoh,
hal ini akan mulai mudah dipahami, dan semoga hal ini
terlihat cukup mudah dan intuitif seiring waktu.
Sekarang katakan saya mempunyai sebuah fungsi.
Katakan saya memiliki sebuah fungsi h untuk x, dan nilai fungsinya adalah,
sebagai contoh, mari kita buat nilainya sebagai sin x,
(ralat) katakan fungsinya bernilai sin x kuadrat.
Sebenarnya saya bisa
menulisnya seperti ini
sin kuadrat x, tapi fungsi ini akan menjadi lebih jelas
menggunakan notasi yang seperti ini.
Kembali katakan saya mempunyai fungsi h untuk x.
Dan saya ingin tahu apakah nilai dari h aksen untuk x?
Saya ingin tau nilai dari h aksen untuk x,
yang notasi lain untuk menulisnya adalah
sebagai turunan dari h terhadap x.
Hal ini hanyalah dua cara penulisan yang berbeda.

English: 
- [Instructor] What we're going to go over
in this video is one of the
core principles in calculus,
and you're going to use it any
time you take the derivative,
anything even reasonably complex.
And it's called the chain rule.
And when you're first exposed to it,
it can seem a little daunting
and a little bit convoluted.
But as you see more and more examples,
it'll start to make sense,
and hopefully it'd even start
to seem a little bit simple
and intuitive over time.
So let's say that I had a function.
Let's say I have a function
h of x, and it is equal to,
just for example, let's say
it's equal to sine of x,
let's say it's equal to sine of x squared.
Now, I could've written that,
I could've written it like this,
sine squared of x, but it'll
be a little bit clearer
using that type of notation.
So let me make it so I have h of x.
And what I'm curious about
is what is h prime of x?
So I want to know h prime of x,
which another way of writing it is
the derivative of h with respect to x.
These are just different notations.

Czech: 
V tomto videu se podíváme na jedno ze
základních pravidel diferenciálního počtu.
Používáme ho, kdykoliv počítáme derivaci
něčeho aspoň trochu složitějšího.
Jde o derivaci
složené funkce.
Když toto pravidlo člověk vidí poprvé,
může se zdát strašidelné a složité,
ale jak uvidíte víc
a víc příkladů,
tak to začne dávat smysl a snad se pro
vás stane i jednodušší a intuitivnější.
Vezměme si tedy
nějakou funkci.
Řekněme, že máme funkci h(x), která
se například rovná sin(x) na druhou.
Taky bych to mohl napsat jako
sinus na druhou v bodě x,
ale tento zápis
je snáze pochopitelný,
takže budeme
pracovat s ním.
Máme tedy funkci h(x) a chceme vědět,
čemu se rovná derivace funkce h.
Chceme vědět, čemu se rovná
h s čárkou v bodě x,
což je jen jiný zápis pro
derivaci h podle x.
Jsou to jen
rozdílné zápisy.

Korean: 
이번 영상에서
알아볼 것은
미적분학에서
중심이 되는 원리 중 하나이고
어느 정도 복잡한
도함수를 구할 때면 항상 사용할
어느 정도 복잡한
도함수를 구할 때면 항상 사용할
합성함수의 미분법인
연쇄법칙입니다
처음 보면
조금 벅차고
난해해 보일 수 있지만
예제를 보다 보면
이해가 갈 것이고
오히려 간단하고
직관적으로 보일 것입니다
함수가 있다고 합시다
함수 h(x)는
예를 들어
(sin(x))²라고 해 봅시다
이렇게 쓸 수도 있습니다
이렇게 쓸 수도 있습니다
sin²(x)라고요
하지만 이렇게 쓰면
좀 더 확실합니다
그러니 이렇게 하죠
h'(x)가 무엇인지 궁금하네요
h'(x)가 무엇인지 궁금하네요
x에 대한 h의
도함수라고 쓸 수도 있습니다
x에 대한 h의
도함수라고 쓸 수도 있습니다
이 둘은 표기만 다를 뿐입니다

Bulgarian: 
И за да направя това, ще използвам 
верижното правило.
Ще приложа верижното правило.
Верижното правило 
взема участие всеки път,
когато функцията може 
да се представи като съставена
от повече от една функция.
Това може да не изглежда 
очевидно сега,
но се надявам да стане до края на урока 
или следващия такъв.
Сега искам да направя
малък мисловен експеримент.
Ако те попитам каква е 
производната спрямо x,
ако просто приложа означение за производна 
за x^2 спрямо x, какво ще получа?
Това ми дава 2x.
Виждали сме това много, много пъти.
А какво ще се получи, ако търся 
производната спрямо а на а^2?
Абсолютно същото нещо.
Просто заменяме x с а.
Това ще бъде равно на 2а.
Сега ще направя нещо, 
което може да е малко странно.
Какво ще се получи, ако
 търся производната спрямо sinx

Indonesian: 
Dan untuk menghitungnnya, saya akan menggunakan aturan rantai.
Saya akan menggunakan aturan rantai.
dan aturan rantai dapat digunakan setiap kali,
setiap saat fungsi yang diturunkan dapat ditulis sebagai komposisi
dari lebih satu fungsi.
Dan walaupun sekarang hal ini terlihat kurang jelas,
tapi saya harap,
mungkin diakhir video ini atau yang selanjutnya anda akan paham.
Sekarang yang ingin saya lakukan
adalah sedikit mencoba-coba,
sedikit eksperimen dalam pikiran.
Jika saya bertanya pada anda
apakah turunan terhadap x,
jika saya menggunakan operator turunan
untuk x kuadrat terhadap x, apakah hasil yang akan saya dapatkan?
Perhitungan ini akan menghasilkan jawaban 2x.
Kita telah melihatnya banyak, banyak, banyak, banyak, kali.
Sekarang, bagaimana jika kita menurunkan a kuadrat
terhadap a?
Jawabannya adalah hal yang sama persis.
Saya hanya menukar a untuk x.
jawabannya akan tetap sama dengan dua a.
Sekarang saya akan melakukan sesuatu
yang mungkin terlihat sedikit aneh.
bagaimana jika saya mencari turunan terhadap
sin x,
terhadap sin x,
dari sin x kuadrat,

Korean: 
이것을 연쇄법칙으로
풀어보겠습니다
이것을 연쇄법칙으로
풀어보겠습니다
연쇄법칙은 함수가
여러 개의 함수로
구성되어 있을 때
거의 항상 사용됩니다
아직 그게 당연하지 않게
느껴질 수 있지만
이번 동영상이나
다음 번쯤에는 그렇길 바랍니다
이번 동영상이나
다음 번쯤에는 그렇길 바랍니다
머릿속에서 생각을 해봅시다
머릿속에서 생각을 해봅시다
머릿속에서 생각을 해봅시다
x에 대한 도함수가
무엇인지 묻는다면
x에 대한 도함수가
무엇인지 묻는다면
x에 대한
x²의 도함수를 구하면
무엇을 얻게 되나요?
2x가 나옵니다
이건 아주 아주 많이 보았죠
a에 대한
a²의 도함수를 구하면요?
a에 대한
a²의 도함수를 구하면요?
똑같습니다
x 대신 a를
사용한 것 뿐이죠
2a입니다
조금 더 복잡한 것을
해보겠습니다
조금 더 복잡한 것을
해보겠습니다
sin(x)에 대한

Czech: 
Abych tuto derivaci spočítal, použiji
pravidlo o derivaci složené funkce.
Pravidlo o derivaci složené
funkce použijeme tehdy,
když je naše funkce složená
z více než jedné funkce.
Teď vám to možná
ještě není jasné,
ale na konci tohoto nebo
příštího videa už to snad jasné bude.
Teď vám položím takovou
otázku na zamyšlení.
Když se vás zeptám,
čemu se rovná derivace podle x…
Když použiji operátor derivace podle x
na funkci x na druhou, co dostanu?
Dostanu 2 krát x,
to jsme viděli už mnohokrát.
Co kdybych chtěl derivaci podle
‚a‘ z funkce ‚a‘ na druhou?
To je vlastně úplně totéž,
jen jsem místo x napsal a,
takže to bude
2 krát a.
Teď udělám něco
trochu víc zvláštního.

English: 
And to do this, I'm going
to use the chain rule.
I'm going to use the chain rule,
and the chain rule comes
into play every time,
any time your function can
be used as a composition
of more than one function.
And as that might not
seem obvious right now,
but it will hopefully,
maybe by the end of this
video or the next one.
Now, what I want to do
is a little bit of a thought experiment,
a little bit of a thought experiment.
If I were to ask you
what is the derivative with respect to x,
if I were to just apply
the derivative operator
to x squared with respect
to x, what do I get?
Well, this gives me two x.
We've seen that many,
many, many, many times.
Now, what if I were to take the
derivative with respect to a
of a squared?
Well, it's the exact same thing.
I just swapped an a for the x's.
This is still going to be equal to two a.
Now I will do something
that might be a little bit more bizarre.
What if I were to take the
derivative with respect to
sine of x,
with respect to sine of x of,
of sine of x,

Bulgarian: 
(sinx)^2?
Където имах x-ове или a-та ето тук, 
просто ги замествам със sinx.
Така че това просто ще бъде 
два пъти по това, което имах,
тоест това, спрямо което 
търся производната.
Тук беше спрямо x.
Тук спрямо a.
А тук спрямо sinx.
Следователно ще бъде 2sinx.
Верижното правило ни казва,
че тази производна ще бъде производната
на цялата функция спрямо...
или производната на тази
 външна функция x^2,
производната на x, повдигнато на квадрат,
производната на тази външна функция
спрямо sinx.
И така, това ще бъде 2sinx,
2 sinx.
Може да я разглеждаме като производната
 на външната функция
спрямо вътрешната, 2sinx.
Може да разглеждаме sinx 
като вид променлива x.
И би било просто 2x,
но вместо това е sinx.
Казваме 2sinx,

Czech: 
Co kdybych chtěl derivaci podle sin(x)
z funkce sin(x) na druhou?
Místo x nebo ‚a‘, jako to bylo nahoře,
jsem teď napsal sin(x),
takže to bude 2 krát to,
podle čeho derivuji.
Zde je derivace podle x,
tady podle ‚a‘
a zde podle sin(x),
takže to bude
2 krát sin(x).
Pravidlo o derivaci
složené funkce říká,
že tato derivace se rovná derivaci
celé naší funkce podle…
Derivaci této vnější funkce,
tedy x na druhou, podle sin(x),
což je 2 krát sin(x).
Můžeme se na to dívat také tak, že jde o
derivaci vnější funkce podle té vnitřní.
Tedy 2 krát sin(x).
Na sin(x) se můžeme dívat, jako by
to bylo x, takže by zde bylo 2 krát x,
ale je to sin(x), tudíž zde
bude 2 krát sin(x).

Korean: 
(sin(x))²의
도함수는 무엇일까요?
여기에 x나
a가 있던 곳에
sin(x)를 넣기만 하면 됩니다
이것은 가지고 있는 것에
2만 곱하면 됩니다
도함수를 구하는
기준을 말합니다
여기는 x이고
여기는 a입니다
여기는 sin(x)입니다
따라서 이것은
2sin(x)가 됩니다
따라서 이것은
2sin(x)가 됩니다
연쇄 법칙은
이것의 도함수는 일단
이것의 도함수는 일단
바깥에 있는 함수
x²의 도함수를
바깥에 있는 함수
x²의 도함수를
바깥에 있는 함수
x²의 도함수를
sin(x)에 대해 구해야 합니다
2sin(x)가 되겠죠
안에 있는 함수에 대한
바깥 함수의 도함수입니다
2sin(x)죠
sin(x)를
x로 취급하는 것입니다
2x가 될 것이
2sin(x)가 된 것입니다

English: 
sine of x squared?
Well, wherever I had the x's
up here, the a's over here,
I just replace it with a sine of x.
So this is just going to be
two times the thing that I had,
so whatever I'm taking the
derivative with respect to.
Here it was with respect to x.
Here with respect to a.
Here's with respect to sine of x.
So it's going to be two times
sine of x.
Now, so the chain rule tells us
that this derivative is
going to be the derivative
of our whole function with respect,
or the derivative of this
outer function, x squared,
the derivative of x squared,
the derivative of this outer function
with respect to sine of x.
So that's going to be two sine of x,
two
sine of x.
So we could view it as the
derivative of the outer function
with respect to the inner, two sine of x.
We could just treat sine of
x like it's kind of an x.
And it would've been just two x,
but instead it's a sine of x.
We say two sine of x times,

Indonesian: 
sin x kuadrat?
Caranya adalah sama seperti x disini dan a disini,
saya hanya menggantinya dengan sin x.
sehingga hasilnya akan menjadi dua kali apa yang saya punya,
sehingga terhadap apapun saya mengoperasikan turunan.
Disini terhadap x.
Disini terhadap a.
Disini terhadap sin x.
Sehingga hasilnya akan menjadi dua kali
sin x.
Aturan rantai menyatakan bahwa
bahwa turunan dari fungsi ini adalah turunan dari
keseluruhan fungsi kita terhadap,
(ralat) atau turunan terhadap fungsi luar ini, x kuadrat,
turunan dari x kuadrat,
turunan dari fungsi luar ini
terhadap sin x.
Sehingga hasilnya adalah dua sin x,
dua
sin x.
Sehingga kita kita bisa melihatnya sebagai turunan dari fungsi luar
terhadap fungsi dalam, dua sin x.
Kita bisa menganggap sin untuk x seperti layaknya x.
Dan hasilnya hanyalah dua x,
atau kali ini dua sin x.
Kita katakan dua sin x dikali,

Korean: 
2sin(x)에
x에 대한 sin(x)의
도함수를 곱해줍니다
이건 더 간단합니다
이건 더 간단합니다
x에 대한 sin(x)의
도함수는
여러 번 보았듯이
cos(x)입니다
그러니 cos(x)를
곱해 줍니다
이렇게 연쇄법칙을
적용했습니다
안에 있는 함수에 대한
바깥 함수의 도함수
안에 있는 함수에 대한
바깥 함수의 도함수
sin(x)에 대한
x²의 도함수는
2sin(x)이고
이것에 x에 대한 sin(x)0의
도함수를 곱해 주었습니다
정리해 보면
이것은 (sin(x))²의
도함수이고
이것은 (sin(x))²의
도함수이고
이것은 (sin(x))²의
도함수이고
확실하게 하면
sin(x)에 대해
도함수를 구한 것입니다

Bulgarian: 
умножено по производната...
правя го в зелен цвят,
умножено по производната 
на sinx спрямо x.
Умножено по производната
 на sinx спрямо x,
Е, това е по-праволинейно,
малко по-интуитивно.
Производната на sinx спрямо x...
виждали сме го множество пъти,
е cosx.
Така че, умножено по cosx.
Ето, че приложихме верижното правило.
То гласи, че намираме производната 
на външната функция
спрямо вътрешната...
Следователно производната на 
(sinx)^2 спрямо sinx е 2sinx,
а след това умножаваме това 
по производната на sinx спрямо x.
Нека да го изясня.
Това тук е производната.
Намираме производната на f,
намираме производната на (sinx)^2.
Нека да го изясня.
Ето това е, на което търсим 
производната спрямо sinx.
Спрямо sinx.
След това умножаваме това
по производната на sinx,

English: 
times the derivative, do this is green,
times the derivative of
sine of x with respect to x.
Times the derivative of
sine of x with respect to x,
well, that's more straightforward,
a little bit more intuitive.
The derivative of sine of x
with respect to x, we've
seen multiple times,
is cosine of x,
so times cosine of x.
And so there we've applied the chain rule.
It was the derivative
of the outer function
with respect to the inner.
So derivative of sine of x squared
with respect to sine
of x is two sine of x,
and then we multiply that times
the derivative of sine of x
with respect to x.
So let me make it clear.
This right over here is the derivative.
We're taking the derivative of,
we're taking the derivative
of sine of x squared.
So let me make it clear.
That's what we were
taking the derivative of
with respect to sine of x,
with respect to sine of x.
And then we're multiplying that times
the derivative of sine of x,

Czech: 
Toto vynásobíme derivací
funkce sin(x) podle x.
To už je jednodušší
a intuitivnější.
Už jsme několikrát viděli,
že derivace sin(x) podle x je cos(x),
takže zde bude
krát cos(x).
Takto se derivuje
složená funkce.
Je to derivace vnější funkce
podle vnitřní funkce,
v našem případě derivace sin(x) na druhou
podle sin(x), což je 2 krát sin(x),
a tohle vynásobíme
derivací sin(x) podle x.
Ještě to ujasním.
Toto je derivace funkce
sin(x) na druhou podle sin(x),

Indonesian: 
dikali turunan dari, saya akan tulis dengan warna hijau,
dikali turunan dari sin x terhadap x.
Dikali turunan sin x terhadap x,
dan sepertinya hal ini terlihat lebih jelas,
dan sedikit lebih intuitif.
Turunan dari sin x,
terhadap x, kita telah melihatnya berkali-kali,
adalah cos x,
sehingga dikali cos x.
Dan kita telah mengaplikasikan aturan rantai.
Adalah turunan dari fungsi luar
terhadap fungsi dalam.
Sehingga turunan dari sin x kuadrat
terhadap sin x adalah dua sin x,
dan kemudian kita kalikan dengan turunan dari sin x
terhadap x.
Mari kita perjelas.
Disini disebelah sini adalah turunannya
Kita menghitung turunan dari,
kita menghitung turunan dari sin x kuadrat.
Biar saya perjelas.
Bahwa kita menghitung turunan
terhadap sin x,
terhadap sin x,
Dan kita mengkalikannya dengan
turunan dari sin x,

Korean: 
거기에 x에 대한
sin(x)의
도함수를 곱해 주었습니다
도함수를 곱해 주었습니다
도함수를 곱해 주었습니다
여기서 이해가 가기
시작할 수 있습니다
여기서 이해가 가기
시작할 수 있습니다
이런 도함수는
d에 무엇이 오던
dx던 d sin(x)이던
수로 취급할 수 없습니다
이런 표기법이
분수처럼 보이는데
이런 표기법이
분수처럼 보이는데
그런 개념은 맞습니다
하지만 분수로 취급하면
이것들을 소거하려고 
할 수도 있습니다
따지면 맞는 것은 아니지만
이해에 도움을 줄 수 있습니다
이렇게 하면 남는 것은
x에 대한
(sin(x))²의 도함수입니다
그러면 남는 것은
기존에 구하려 했던
x에 대한
(sin(x))²의 도함수입니다
바로 여기
dh/dx와 같죠
바로 여기
dh/dx와 같죠
이것은 기존 함수인
h입니다
이것은 기존 함수인
h입니다

English: 
the derivative of sine
of x
with respect to,
with respect to x.
And this is where it might start making
a little bit of intuition.
You can't really treat
these differentials,
this d whatever, this
dx, this d sine of x,
as a number.
And you really can't,
this notation makes it
look like a fraction
because intuitively
that's what we're doing.
But if you were to treat
'em like fractions,
then you could think about
canceling that and that.
And once again, this isn't
a rigorous thing to do,
but it can help with the intuition.
And then what you're left
with is the derivative
of this whole sine of x
squared with respect to x.
So you're left with,
you're left with the derivative of
essentially our original
function, sine of x squared
with respect to x,
with respect to x, which
is exactly what dh/dx is.
This right over here,
this right over here is
our original function h.
That's our original function h.

Bulgarian: 
производната на синус от x
спрямо x.
И тук е моментът, когато започваш да
придобиваш усещане.
Действително не можеш 
да разглеждаш тези диференциали,
това d, това dx, това d(sinx),
като число.
Наистина не можеш.
Този запис изглежда като 
обикновена дроб,
защото интуитивно това е, 
което правим.
Но ако ги разглеждаш като дроби,
тогава може да искаш 
да съкратиш това и това.
И още веднъж, това 
не е строго така,
но помага за придобиване на усещане.
Тогава това, с което оставаш,
 е производната
на цялото това (sinx)^2 спрямо x.
И така, оставаш с...
оставаш с производната
на първоначалната функция, 
която е (sinx)^2
спрямо x,
спрямо x, което е точно dh/dx.
Това ето тук.
Това ето тук е 
първоначалната функция h.
Това е първоначалната функция h.

Indonesian: 
turuan dari sin
x
terhadap,
terhadap x.
Dan sekarang hal ini akan terlihat
sedikit lebih intuitif.
Anda tidak bisa memperlakukan turunan ini,
huruf d ini, dx ini, d sin x ini,
sebagai sebuah angka.
Dan anda tidak bisa,
menganggap notasi ini sebagai sebuah pecahan
walaupun secara intuitif itu terlihat seperti apa yang kita lakukan.
TAPI jika anda mencoba memperlakukannya seperti pecahan,
anda dapat melihatnya seperti mencoret ini dengan ini.
Dan sekali lagi, hal ini tidaklah sulit untuk dibuktikan,
dan walau kurang tepat hal ini dapat membantu anda untuk memahaminya.
Dan setelah anda mencoret, sisanya adalah turunan
dari seluruh fungsi sin x kuadrat terhadap x.
Sehingga sisanya,
sisanya adalah turunan dari
fungsi awal kita, sin x kuadrat
terhadap x,
terhadap x, yang mana adalah persis dh/dx.
disini disebelah sini,
ini adalah fungsi awal kita fungsi h.
Ini adalah fungsi awal kita fungsi h.

Czech: 
kterou pak násobíme
derivací sin(x) podle x.
Teď už by vám to mohlo
začít připadat trochu intuitivní.
Tato písmena 'd', ať už je za nimi
x, sin(x) nebo něco jiného, nejsou čísla,
i když nám tento zápis
intuitivně připomíná zlomek.
Kdybychom se na
to ale dívali jako na zlomky,
tak bychom mohli
tohle pokrátit…
Toto není matematicky precizní,
ale pomůže vám to získat intuici.
Zůstala by nám derivace
sin(x) na druhou podle x.
Zůstala by nám derivace naší původní
funkce, tedy sin(x) na druhou, podle x,
což je přesně
dh lomeno dx,
protože tohle je naše
původní funkce h.

Bulgarian: 
Сега може да изглежда 
малко объркващо.
В следващия урок ще направя 
още няколко примера
и тогава ще се опитаме 
малко да обобщим това.

Korean: 
지금은 조금 
어려울 수도 있지만
다음 동영상에서는
여러 예제를 보며
더 살펴보겠습니다

Czech: 
Teď vám to možná
přijde trochu strašidelné,
ale v dalším videu udělám
několik podobných příkladů
a pak to zkusíme
zapsat obecně.

Indonesian: 
Mungkin hal ini terlihat sedikit menyeramkan sekarang.
Yang akan saya lakukan di video selanjutnya adalah beberapa contoh,
dan kita akan mencoba beberapa hal yang lebih sulit.

English: 
So it might seem a
little bit daunting now.
What I'll do in the next video
is another several examples,
and then we'll try to
abstract this a little bit.
