
English: 
- [Voiceover] Let's see
if we can find the limit
as h approaches zero of
five log of two plus h
minus five log of two,
all of that over h.
And I'll give you a little bit of a hint
because I know you're
about to pause the video
and try to work through it.
Think of your derivative properties,
especially the derivatives
of logarithmic functions,
especially logarithmic
functions in this case
with a base 10.
If someone just writes
log without the base,
you can just assume that that
is a 10 right over there.
So pause the video, and see
if you can work through it.
Alright, so the key here
is to remember that if
I have, if I have f of x,
let me do it over here,
I'll do it over here.
F of x
and I want to find
f prime of,
let's say f prime of some number,
let's say a,
this is going to be equal to
the limit as x, or sorry,
as h approaches zero is one
way of thinking about it,

Korean: 
극한값을 살펴봅시다
h가 0으로 갈 때
5log(2+h)-5log(2)/h
(5log(2+h)-5log(2))/h를 계산해 봅시다
작은 힌트를 드리겠습니다
여러분이 영상을 중단하고서
문제를 풀어보기 전에요
도함수의 성질을 생각해 봅시다
특히, 로그 함수의 도함수를 살펴봅시다
로그 함수를 살펴봅시다
밑이 10인 로그 함수를 봅시다
만일 밑이 적혀 있지 않다면
그냥 밑이 10이라고 생각하면 됩니다
이제 잠깐 영상을 멈추고, 풀어보세요
좋아요, 여기서 기억할 것은
만일 f(x)가 있을 때
여기에 적어 볼게요
여기 적을게요
f(x)
그리고
f'
f'에 어떤 수
a를 대입하면
f'(a)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다
h가 0으로 갈 때
h가 0으로 갈 때

Bulgarian: 
Нека да видим дали можем
да намерим границата,
когато h клони към 0, на
5 по десетичен логаритъм от (2 + h)
минус 5 по десетичен логаритъм логаритъм от 2,
цялото върху h.
Ще ти дам един малък съвет,
защото знам, че ще спреш видеото
и ще се опиташ да решиш
 задачата самостоятелно.
Помисли за свойствата 
на производната
и особено за производната на
 логаритмична функция.
Особено на логаритмична функция 
в този случай, с основа 10.
Ако някой напише логаритъм без основа,
може просто да си представиш, че 
ето тук стои 10.
Спри видеото и провери 
дали можеш да я решиш.
Добре, ключът тук е да си спомниш,
че ако имам, ако имам f от х...
Нека да го направя ето тук.
Ще го направя ето тук.
f от х...
и искам да намеря f' от...
нека да избера някакво число за f'.
Да го наречем а.
То ще бъде равно
на границата, когато х...
О, извинявай!
Когато h клони към 0. Това е един 
начин да мислиш за задачата.

Thai: 
ลองดูว่าเราหาลิมิต
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ของ 5 ล็อกของ 2 บวก h
ลบ 5 ล็อกของ 2
ทั้งหมดนั้นส่วน h
และผมจะให้คำใบ้หน่อย
เพราะผมรู้คุณกำลังจะหยุดวิดีโอ
แล้วลองทำเอง
คิดถึงสมบัติของอนุพันธ์
โดยใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
โดยเฉพาะฟังก์ชันลอการิทึมในกรณีนี้
ที่มีฐาน 10
ถ้ามีคนเขียนล็อกโดยไม่มีฐาน
คุณก็สมมุติได้ว่ามันคือ 10 ตรงนี้
หยุดวิดีโอ แล้วดูว่าคุณทำได้
เอาล่ะ ประเด็นตรงนี้คือระลึกว่า
ถ้าผมมี ถ้าผมมี f ของ x
ขอผมเขียนตรงนี้นะ
ผมจะทำตรงนี้นะ
f ของ x
และผมอยากหา
f ไพรม์ของ
สมมุติว่า f ไพรม์ของจำนวนหนึ่ง
สมมุติว่า a
อันนี้จะเท่ากับ
ลิมิต เมื่อ x โทษที
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 คือวิธีคิดอย่างหนึ่ง

Czech: 
Podívejme se, jestli dokážeme 
najít limitu, kde h se blíží k 0,
funkce 5 krát logaritmus (2 plus h)
minus 5 krát logaritmus 2
to celé lomeno h.
Dám vám malou
nápovědu, jelikož vím,
že si zastavíte video 
a zkusíte to vyřešit sami.
Zamyslete se nad
vlastnostmi derivace,
zejména logaritmických funkcí,
v tomto případě o základu 10.
Pokud někdo napíše jen
log bez základu,
můžete předpokládat,
že základ je 10.
Zastavte na chvíli video
a zkuste to spočítat sami.
Základem je si pamatovat,
že pokud mám funkci f(x)
a chci najít derivaci funkce f v
nějakém čísle, řekněme v bodě a,

Czech: 
bude se to rovnat limitě,
kde h se blíží k 0,
z funkce f(a plus h) minus
f(a) to celé lomeno h.
Toto vypadá velmi podobně
této definici limity až na to,
že zde násobíme 5.
Naštěstí můžeme
tyto 5 vytknout.
Můžeme je vytknout
sem dopředu.
Ale jelikož dostaneme
číslo krát výraz,
víme z vlastností limit, že je můžeme
vytknout rovnou sem před limitu.
Pojďme to udělat.
Vezmeme obě čísla
5 a vytkneme je.
Toto celé se tedy
zjednoduší na:
5 krát limita,
kde h se blíží k 0,
logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h.
Pojďme se teď zaměřit
na tuto žlutou část.
Pojďme se nad
tím zamyslet.

English: 
as h approaches zero of f of a plus h,
minus f of a,
all of that over h.
So this looks pretty close
to that limit definition,
except we have these fives here.
But lucky for us we can
factor out those fives,
and we could factor them out,
we could factor them out out front here,
but if you just have a scale
or times the expression,
we know from our limit properties
we can actually take those
out of the limit themselves.
So let's do that,
let's take both of these fives,
and factor them out,
and so this whole thing
is going to simplify to
five times the limit
as h approaches zero of log of two plus h,
minus, minus log of two,
all of that over h.
Now, you might recognize
what we have in yellow here,
cause think about it,
what this is,
if we had f of x is equal to

Bulgarian: 
Когато h клони към 0, f от (a + h),
минус f от а,
и всичко това върху h.
Това изглежда доста близо до 
определението за производната чрез граница,
с изключение, че имаме 
тези петици ето тук.
Но за щастие, може да ги изнесем,
може да ги изнесем...
Може да ги изнесем ето пред скоби,
но ако просто имаш коефициент
или умножаваш по израза,
то знаем от определението за граница,
че всъщност можем да изнесем 
тези числа извън самата граница.
Нека да го направим.
Нека да вземем и двете петици, 
да ги изнесем отпред,
и така целият израз ще се опрости 
до 5 по границата,
когато h клони към 0, 
от десетичен логаритъм от (2 + h)
минус десетичен логаритъм от 2,
и всичко това върху h.
Сега може би ще разпознаеш
какво имаме тук в жълто.
Помисли върху това.
Какво щеше да бъде,
ако имахме f от х е равно

Thai: 
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ของ f ของ a บวก h
ลบ f ของ a
ทั้งหมดนั้นส่วน h
อันนี้ดูใกล้กับนิยามลิมิตนั้นมาก
ยกเว้นแต่ว่าเรามี 5 ตรงนี้
แต่โชคดี เราแยก 5 ออกมาได้
และเราแยกมันออกมาได้
เราแยกพวกมันมาไว้ข้างหน้าตรงนี้ได้
แต่ถ้าคุณมีตัวคูณพจน์นี้
เรารู้จากสมบัติของลิมิต
เรานำมันออกมาจากลิมิตได้ด้วย
ลองทำดู
ลองนำ 5 พวกนี้ออกมา
แยกตัวประกอบออกมา
และพจน์ทั้งหมดนี้จะลดรูปเหลือ
5 คูณลิมิต
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ของล็อกของ 2 บวก h
ลบ ลบล็อกของ 2
ทั้งหมดนั้นส่วน h
ทีนี้ คุณอาจสังเกตสิ่งที่เรามีสีเหลืองตรงนี้
เพราะคิดดู
นี่คืออะไร
ถ้าเรามี f ของ x เท่ากับ

Korean: 
h가 0으로 갈 때
(f(a+h)-f(a))/h
(f(a+h)-f(a))/h를 계산해 봅시다
이 식은 옆에 있는
극한의 정의와 비슷해 보입니다
여기 5를 제외하면요
그런데, 운 좋게 이 5들을 뽑아낼 수 있어요
이것들을
여기 이렇게 앞으로 뽑아낼 수 있어요
상수가 나누어지거나 곱해져 있는 경우
이 극한의 성질에서 알 수 있듯
이것들을 극한값 밖으로 꺼낼 수 있어요
자, 한번 해보죠
이 양쪽의 5들을
밖으로 뽑아내면
전체 식은 이렇게 간단해지겠네요
5 × 극한값
h가 0으로 가까이 갈 때
(log(2+h)-log(2))/h
(log(2+h)-log(2))/h를 계산해 봅시다
이제, 여기 노란 부분이 무엇인지
눈치채셨을 겁니다
생각해 봐요
이게 무엇인지
f(x)가

Bulgarian: 
на десетичен логаритъм от х,
и искахме да знаем
на какво е равно f'.
Всъщност търсим f' от 2.
Ще е равно на границата,
когато h клони към 0, 
от десетичен логаритъм от (2 + h)...
минус десетичен логаритъм от 2.
Цялото това е върху h.
Това, което виждаме тук, 
е наистина просто...
по дефиниция
това ето тук
е f' от 2.
Ако f от х е равно на десетичен логаритъм от х,
то това е f' от 2.
f' от 2.
Може ли да намерим границата?
Ако f от х е равно на десетичен логаритъм от х,
то на какво е равно f' от х?
За f' от х не е нужно да използваме
 дефиницията за граница.
Всъщност чрез дефиницията 
за граница е доста
трудно да изчислим тази граница.
Но знаем как да намираме производна
от логаритмични функции.
Следователно f' от х 
ще бъде равно на

Thai: 
ล็อกของ x
และเราอยากรู้ว่า f ไพรม์ของ
ลองสมมุติว่า f ไพรม์ของ 2 คือ
อันนี้จะเป็นลิมิต
เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ของล็อกของ
2 บวก h
2 บวก h
ลบล็อกของ 2
ลบล็อกของ 2
ทั้งหมดนั้นส่วน h
จริงๆ แล้วนี่ก็แค่ a
สิ่งที่เราเห็น
อันนี้ตามนิยาม
ค่านี่ตรงนี้คือ
f ไพรม์ของ 2
ถ้า f ของ x คือล็อกของ x
นี่คือ f ไพรม์ของ 2
f ไพรม์ของ 2
เราจะหามันได้อย่างไร?
ถ้า f ของ x คือล็อกของ x
f ไพรม์ของ x คืออะไร?
f ไพรม์ของ x เราไม่ต้องใช้นิยามลิมิตก็ได้
ที่จริง นิยามลิมิตมัน
ทำให้หาค่าลิมิตนี้ได้ยาก
แต่เรารู้วิธีหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันลอการิทึม
f ไพรม์ของ x
จึงเท่ากับ

Korean: 
log(x)이라면
f'은
여기선 f'(2)이죠
극한값으로
h가 0으로 갈 때
log(2+h)
log(2+h)
log(2+h)-log(2)
(log(2+h)-log(2))/h
h로 나눈 식의 극한값입니다
(log(2+h)-log(2))를 h로 나눈 것입니다
따라서 이것은
여기 이 부분이
정의에 따라
f'(2)이죠
f(x) = log(x) 이라면
이것이 f'(2)가 됩니다
f'(2)
그럼, 계산할 수 있을까요?
만약 f(x) = log(x) 이라면
f'(x)는 무엇일까요?
f'(x)의 극한 정의를 사용하지 않아도 돼요
사실 극한값 정의로
극한값을 구하는 건 조금 어려워요
그러나, 우리는
로그 함수의 도함수를 이용할 수 있어요
그래서 f'(x)는
다음과 같습니다.

English: 
log of x,
and we wanted to know what f prime of,
well actually let's say f prime of two is,
well this would be the limit
as h approaches zero of log of
two plus h,
two plus h,
minus log of two,
minus log of two,
all of that over h.
So this is really just a,
what we see there,
this by definition
this right over here is,
is f prime of two.
If f of x is log of x,
this is f prime of two,
f prime of two.
So can we figure that out?
If f of x is log of x,
what is f prime of x?
F prime of x, we don't need
to use the limit definition.
In fact the limit definition is quite
hard to evaluate this limit,
but we know how to take the derivative
of logarithmic functions.
So f prime of x
is going to be equal to

Czech: 
Když máme f(x)
rovno logaritmu x
a chceme vědět, jaká je
derivace f, řekněme v bodě 2?
To by byla limita,
kde h se blíží k 0,
logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h.
Toto zde je tedy
z definice f'(2).
Pokud f(x) je
logaritmus x,
potom toto je 
derivace f v bodě 2.
Můžeme to
tedy vyřešit?
Když f(x) je logaritmus x,
čemu se rovná derivace f v bodě x?
Nemusíme použít
definici přes limitu.
Ve skutečnosti je to u
této limity docela složité.
Víme ale, jak derivovat
logaritmické funkce.

Thai: 
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของฐานเรา
ฐานของเราตรงนี้ เราพูดถึงไปแล้ว
มันคือ 10
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 10
คูณ
คูณ คูณ x
ถ้านี่คือล็อกธรรมชาติ
แล้ว อันนี้จะเป็น 1 ส่วน
ล็อกธรรมชาติของ e คูณ x
ล็อกธรรมชาติของ e ก็แค่ 1
นั่นคือตอนที่คุณได้ 1 ส่วน x
แต่ถ้าคุณมีฐานอื่นใด
คุณก็ใส่ล็อกธรรมชาติของฐานนั้น
ตรงนั้นในตัวส่วน
แล้ว f ไพรม์ของ 2 คืออะไร?
f ไพรม์ของ 2 คือ
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 10
คูณ 2
ทั้งหมดนี้จะลดรูป
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ 5 คูณตัวนี้
จริงๆ แล้วผมเขียนมันได้เป็น
มันเท่ากับ 5 ส่วน
5 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 10
ล็อกธรรมชาติของ 10
คูณ 2
ผมเขียนมันได้เป็น 2 ล็อกธรรมชาติของ 10
ประเด็นตรงนี้ สำหรับแบบฝึกหัดแบบนี้
คุณอาจบอกว่า ดูหน่อยว่า
ฉันหาลิมิตนี้ได้ไหม?
คุณก็บอกว่า โอ้ มันดูเหมือนอนุพันธ์ของ

Bulgarian: 
1 върху натурален логаритъм 
от нашата основа,
а ние вече говорихме за това, 
и, че тя е равна на 10.
1 върху натурален логаритъм от 10
умножено по...
Умножено по х.
Ако това беше натурален логаритъм,
е, то това щеше да бъде 1 върху
натурален логаритъм от е по х.
Натурален логаритъм от е 
е просто равно на 1,
и тук е мястото, където 
получаваш 1 върху х.
Но ако имаш някаква друга основа,
то заместваш натурален логаритъм 
от тази основа
точно ето тук в знаменателя.
И така, на какво е равно f' от 2?
f' от 2 е равно на
1 върху натурален логаритъм от 10,
умножено по 2.
Цялото това нещо се опростява,
така че става равно на 
5 по ето този израз.
Следователно мога просто 
да го запиша,
че е равно на 5 върху
натурален логаритъм от 10.
Натурален логаритъм от 10 по 2.
Мога да го запиша като 2 
по натурален логаритъм от 10.
Ключово за този вид задачи е, че
можеш да си кажеш: "Нека да видя
дали може да изчисля тази граница."
Подхождаш с: "Еха, това прилича
много на производната

English: 
one over the natural log of our base,
our base here we already
talked about that,
that is 10.
So one over natural log of 10,
times,
times, times x.
If this was a natural log,
well, then, this would be one over
natural log of e times x,
natural log of e is just one,
so that's where you get the one over x,
but if you have any other base
you put the natural log of that base
right over here in the denominator.
So what is f prime of two?
F prime of two is
one over the natural log of 10,
times two.
So this whole thing has simplified,
this whole thing is equal
to five times this business.
So I could actually just write it as
it's equal to five over,
five over the natural log of 10,
natural log of 10,
times two,
I could have written it
as two natural log of 10s.
The key here for this type of exercise,
you might be a little let me see
if I can evaluate this limit?
You're like whoa, this looks
a lot like the derivative

Czech: 
Takže f'(x) bude rovno 1 lomeno
přirozený logaritmus našeho základu.
O tom už jsme mluvili na začátku,
náš základ je 10.
Tedy 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát x.
Kdyby toto byl
přirozený logaritmus,
potom toto by bylo 1 lomeno
přirozený logaritmus e krát x.
Přirozený logaritmus e je 1,
dostáváme tedy 1 lomeno x.
Pokud ale máme jiný základ, dáme přirozený
logaritmus toho základu do jmenovatele.
Takže jaká je derivace
funkce f v bodě 2?
f'(2) je 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát 2.
Takže tato celá věc se
zjednodušila na 5 krát toto.
Mohu to tedy napsat jako 5 lomeno
přirozený logaritmus 10 krát 2.
Neboli 2 krát přirozený
logaritmus 10.
Klíčem pro tento typ cvičení
je zkusit vypočítat tuto limitu.

Korean: 
1 나누기 자연로그
밑은 앞에서 말했듯이
10입니다
1/ ln(10)
곱하기
곱하기 x
만일 f(x)가 자연로그라면
그러면,
1/ ln(e) × x
ln(e)는 1이므로
1/x를 얻게 될 것입니다
다른 밑의 경우에는
그 밑의 자연로그 값을
여기 분모에 곱하면 됩니다
그럼 f'(2)는 무엇일까요?
f'(2)는
1/ ln(10)
× 2
자, 이 모든 것들을 간단히 하면
이 모든 것이 5 × 1/2(ln10)으로 됩니다
그러니까 이렇게 쓸 수 있어요
5 나누기
5 나누기 ln 10
ln 10
× 2
(ln10) × 2를 2 ln10으로도 쓸 수 있습니다
이런 종류의 연습에서 중요한 것은
여러분은 잠깐 이런 생각을 
할 수 있을 것 같아요
이 식의 극한값을 구하려고 봤을 때
도함수가 로그 함수의 도함수와

Bulgarian: 
на логаритмична функция,
особено производната, 
когато х е равно на 2.
Ако просто успеем да изнесем 
тези петици отпред.
Изнасяш петиците отпред,
и заявяваш: "Хей, това е производната
на десетичен логаритъм от х, когато х е равно на 2."
И така ще знаем как да намираме 
производната на десетичен логаритъм от х.
Ако не знаеш как става, има други 
уроци, в които сме го доказали.
Където намираш производните 
на логаритми
с основи, различни от е.
И всъщност просто използваш това, 
за да намериш производната,
и я изчисляваш в точката х = 2.
И задачата е решена!

Czech: 
Všimnout si, že to vypadá
jako derivace logaritmické funkce.
Obzvláště jako derivace,
kde x je rovno 2.
Pouze je potřeba
vytknout tyto 5.
Vytkneme 5 a
řekneme si,
že toto je derivace logaritmu x,
kde x je rovno 2.
A my víme, jak vypočítat
derivaci logaritmu x.
Pokud to nevíte,
je na to video,
kde jsme
toto dokazovali.
Vezmete logaritmus
jiného základ než e
a použijete to k
nalezení derivace.
Vypočítáte v bodě
2 a jste hotovi.

Korean: 
많이 비슷하다는 점을 
알게 되면 놀라실 거예요
특히 x가 2일 때
만일 5를 그냥 뽑아내기만 하였다면
그래서 여러분도 5를 뽑아내기만 하고서
이것이
x = 2일 때 log(x)의 도함수와 같다는 것을 
알아차리면 됩니다
이젠, log(x)의 도함수를 
어떻게 다루는지 알게 되었어요
만약 모르겠다면 
이를 증명한 동영상을 참조해주세요
로그함수의 도함수를 다루고 있습니다
e 외의 밑을 가진 경우도요
그러니 여러분은 그것도 활용하여
도함수를 구하는 것을 터득하고
x = 2일 때 계산해보면 됩니다
그러면 끝입니다

Thai: 
ฟังก์ชันลอการิทึมมาก
โดยเฉพาะอนุพันธ์เมื่อ x เท่ากับ 2
ถ้าเราแยกตัวประกอบ 5 พวกนี้ออกมา
คุณแยก 5 ออกมาได้
แล้วบอกว่า เฮ้ นี่คือ นี่คืออนุพันธ์
ของล็อกของ x เมื่อ x เท่ากับ 2
แล้วเรารู้วิธีหาอนุพันธ์ของล็อกของ x
ถ้าคุณไม่รู้ เรามีวิดีโอที่เราพิสูจน์เรื่องนี้
โดยคุณหาอนุพันธ์ของลอการิทึม
ที่มีฐานอื่นนอกจาก e
และคุณใช้มัน
หาอนุพันธ์ได้
และคุณหาค่ามันที่ 2
แล้วคุณก็เสร็จแล้ว!

English: 
of a logarithmic function,
especially the derivative
when x is equal to two,
if we could just factor these fives out.
So you factor out the fives,
and say hey, this is,
this is the derivative
of log of x when x is equal to two,
and so we know how to take
the derivative of log of x.
If you don't know we have
videos where we prove this.
Where you take the
derivatives of logarithms
with bases other than e,
and you just use that to actually
and you find the derivative,
and you evaluate it at two,
and then you're done!
