
Korean: 
안녕하세요 여러분
오늘은 방향미분계수가 그래프에서
어떤 의미를 가지는지 알아보도록 하겠습니다
여기에 다변수함수의
그래프가 있습니다
f(x, y) = x²y 입니다
저번 영상들에서는
방향미분계수가 무엇인지와
그것의 수학적 정의와
그라디언트를 이용해 계산하는 방법에 대해 알아보았습니다
방향미분계수가 뭐냐 하면
어떤 벡터가 있는데
물론 입력 공간 위의
그러니까 좌표평면 위의 벡터이죠
벡터 [1, 1]이라고 할게요
여기서 방향미분계수는
밑에 벡터가 첨자로 들어간
그라디언트 기호(∇)에다가
방향미분계수를 구할 함수를 써 넣고
물론 여전히 x, y를 입력받습니다
이 값은 입력값의 변화가

English: 
- [Voiceover] Hello everyone,
what I wanna talk about here
is how to interpret the
directional derivative
in terms of graphs.
I have here the graph of a function,
a multivariable function,
it's f of xy is equal
to x squared times y.
In the last couple videos I talked
about what the directional derivative is,
how you can formally define it,
how you can compute it using the gradient.
Generally the setup
that you might have is,
you have some kind of
vector, and this is a vector
in the input space so in this case
it's gonna be in the xy plane.
In this case I'll just
take the vector 1 1.
Okay? And the directional
derivative, which we
denote by kind of taking
the gradient symbol,
except you stick the name of
that vector down in the lower
part there, the directional
derivative of your function,
it'll still take the same input.
This is kind of a measure
of how the function changes

Korean: 
함숫값에 어떤 영향을 끼치는지를 보여줍니다
무슨 말인지 보여드리겠습니다
이 그래프는 어떤 평면으로 잘라낼 수 있습니다
물론 이 평면은 x축이나 y축에
평행할 필요는 없습니다
편미분계수를 구할 때에는
x축에 평행하거나 y축에 평행한 평면으로
잘라냈지만 방향미분계수의 경우에는
벡터의 방향대로 놓인
평면으로 자르게 됩니다
한번 잘라보겠습니다
조금 더 명확히 보기 위해
교선을 빨간색으로 색칠할게요
여기있는 이 벡터 v는
우리가 잘라낸 평면의
방향을 가르키게 됩니다
벡터는 xy 평면 위에 있으며
[1, 1]이므로 대각선 방향을 가르키고
이 방향의 평면으로 그래프를 잘라내게 됩니다
여기서 방향미분계수가 가지는 의미를 알아보도록 하죠

English: 
when the input moves in that direction.
So I'll show you what I mean, I mean
you could imagine slicing this
graph by some kind of plane
but that plane doesn't
necessarily have to be parallel
to the x or y axes.
That's what we did for the
partial derivative, we took
a plane that represented
the constant x value or
the constant y value, but
this is gonna be a plane that
kind of tells you what
movement in the direction of
your vector looks like, and
like I have a number of other
times I'm gonna go ahead and
slice the graph along that
plane, and just to make it
clear, I'm gonna color in where
the graph intersects that slice.
This vector here, this little
v, you'll be thinking of it
as living on the xy plane and
it's determining the direction
of this plane that we're
slicing things with.
On the xy plane you've got this vector,
it's 1 1, it kind of points
to that diagonal direction,
and then you take the whole
plane and you slice your graph.
And if we want to interpret the
directional derivative here,

English: 
I'm gonna go ahead and
fill it an actual value,
so let's say we wanted to do it at -1 1,
- 1, -1
'cause I guess I chose a
plane that passes through the
origin, so I've got to
make sure that the point
I'm evaluating actually
goes along this plane,
but you could imagine one that
points in the same direction,
but you kind of slide it back and forth,
if we're doing this, we can
interpret this as a slope,
but you have to be very careful,
if you're gonna interpret
this as a slope, it has to be
the case that you're dealing
with a unit vector, that
the magnitude of your vector
is equal to 1.
I mean, it doesn't have to
be, you can kind of account
for it later but it makes
it more easy to think about.
If we're just thinking of a unit vector.
When I go over here instead
of saying that it's 1 1,
I'm gonna say it's whatever
vector points in the same
direction but has a unit
length, and in this case that
happens to be square root of 2 over 2,
for each of the components.
You can kind of think about
why that would be true
by diagonal but this is a
vector with unit length,

Korean: 
구체적인 값을 대입해 보겠습니다
x = -1, y = -1을 대입할게요
왜냐하면 대입하는 점이
잘라낸 평면 위에
있는 점이어야 하거든요
물론 방향은 같지만
길이는 다른 벡터를 상상하셔도 됩니다
여기서 방향미분계수는 기울기의 의미를 가지게 됩니다
하지만 그렇게 해석할 경우 주의할 점은
대상 벡터의 크기가
단위 벡터여야 합니다
크기가 1이어야 합니다
이는 나중에 고려해도 되지만
그래도 처음부터 이렇게 단위벡터로 상정해 놓는 것이
생각하기가 쉽습니다
그래서 [1, 1] 벡터로 하는 대신
방향은 같지만 크기는 1인,
이 경우에는
[√2/2, √2/2]로 바꿔줄게요
방향은 같지만
피타고라스 정리를 쓰면

English: 
and its magnitude is 1, and
it points in that direction.
If we're evaluating this
negative point like 1 1,
we can draw that on the graph,
see where it actually is,
and in this case it'll be,
oops, moving things about when
I had a point.
It'll be this point and if
you kinda look from above,
you see that's -1, -1,
and if we want the slope at that
point, you're kinda thinking
of the tangent line here.
Tangent line to that curve,
and we're wondering what its
slope is, so, the reason that
the directional derivative
is gonna give us this slope,
is because, another notation
that might be kinda helpful
for what this directional
derivative is, some people
will write partial f,
and partial v.
You can think about
that as taking a slight
nudge in the direction of
v, so this would be a little
nudge, a little partial
nudge in the direction of v.

Korean: 
길이는 1임을 알 수 있습니다
그리고 f에 대입한 점이 (-1, -1)인데
이것을 그래프 위에 나타내면
여기에 있네요
위에서 보면
(-1, -1)이 맞네요
이 점에서 접선의 기울기를
구하고 싶다고 합시다
이 빨간색 곡선에 대한 접선입니다
이 접선의 기울기는
방향미분계수로 구할 수 있습니다
어떤 사람들은 방향미분계수를
∂f/∂v로 나타내기도 하는데
이렇게 쓰면 방항미분계수가 접선의 의미를 가진다는 것이 보다 명확할지도 모르겠네요
이렇게 쓰면
벡터 v 방향으로 조금 움직인 만큼과
∂v 만큼 움직이죠

Korean: 
함숫값 f가 움직인 만큼인 ∂f의 비율을 나타내는데
함숫값 f의 변화는 그래프에서 높이로 나타내므로
∂v와 ∂f가 0에 가까워질수록
둘의 비율은
그러니까 ∂f/∂v의 값은
접선의 기울기에 가까워집니다
그래서 이 표기도 괜찮은 표기법이지만
그래도 우리가 이 표기법을 주로 사용하는 이유는
방향미분계수를 어떻게 계산할 지가
표기법에 다 나와있다는 점이죠
먼저 f의 그라디언트를 구하고요
이를 주어진 벡터 v와 내적합니다
한번 직접 해봅시다
여기에다가 적을게요
다른 색깔을 쓰죠
먼저 f의 그라디언트는
f의 모든 변수에 대한 편도함수로 이루어져 있습니다
먼저 f의 x에 대한 편도함수
그리고 f의 y에 대한 편도함수

English: 
And then you're saying
"what changed in the value
of the function that's then resulting?"
"The height of the graph, does
it devalue the function?".
As this initial change
approaches zero and the resulting
change approaches zero as
well, that ratio, the ratio
of the partial f to partial
v, is going to give the slope
of this tangent line.
Conceptually, that's kind
of a nicer notation, but the
reason we use this other
notation is nabla sub v 1,
is it's very indicative
of how you compute things
once you need it computed.
You take the gradient of f,
just the vector value function
gradient of f, and take the
dot product with the vector.
Let's actually do that,
just to see what this would
look like, and I'll go ahead
and write it over here,
use a different color.
The gradient of f, first of
all, is a vector full of partial
derivatives, it'll be the
partial derivative of f with
respect to x and the partial
derivative of f with respect
to y.

Korean: 
먼저 f의 x에 대한 편도함수를 구하자면
x는 변수 취급하고,
y는 상수 취급해주면 편도함수는
2xy가 나오게 됩니다
f의 y에 대한 편도함수를 구할 때에는
y를 변수 취급하고
x를 상수 취급하면
편도함수는 x²이 됩니다
여기에 (-1, -1)을 대입하면
2 × (-1) × (-1) = 2가 되고요
(-1)² = 1이 됩니다
이게 점 (-1, -1)에서의 그라디언트고요
여기에 v를 내적해주면 되니까
먼저 [2, 1]에
이게 f의 (-1, -1)에서의 그라디언트죠
여기에 벡터 v = [√2/2, √2/2]를

English: 
When we actually evaluate
this, we take a look, partial
derivative of f with respect
to x, x looks like the variable
y I just a constant, so its
partial derivative is 2 times x
times y.
2 times x times y.
but when we take the partial with
respect to y, y now looks
like a variable, and x looks
like a constant, derivative of
a constant times a variable,
is just that constant x squared.
And if we were to evaluate
this at the point -1, -1,
then you can plug that in, 2
times -1 times -1 would be 2,
and then negative 1 squared, would be 1.
So that would be our gradient
at that point, which means
if we want to evaluate gradient
of f times v, we could go
over here, and say that's 2 1,
'cause we evaluate the gradient
at the point we care about.
And then the dot product,
with v itself in this case,

English: 
root 2 over 2, and root 2 over 2.
The answer that we get, we
multiply the fist two components
together, 2 times root 2
over 2, then square it to 2,
and then here we multiply the
second components together,
and that's gonna be 1 times
root 2 over 2, root 2 over 2,
and that would be our answer,
that would be our slope.
But this only works if your
vector is a unit vector,
and I showed this in the last
video where we talked about
the formal definition of
the directional derivative.
If you scale v by 2, and I
can do it here if instead of v
you're talking about 2 v, so
I'll go ahead and make myself
some room here.
If you're taking the
directional derivative along 2 v
of f, the way that we're
computing that, we're still taking
the gradient of f, dot product
with 2 times your vector,

Korean: 
내적해 줍니다
그래서 계산해 보면
먼저 첫번째 성분끼리 곱해주면 2 × √2/2 = √2이고
두번째 성분끼리 곱해주면 1 × √2/2 = √2/2 이므로
이것이 접선의 기울기입니다
하지만 이는 벡터가 단위 벡터일때만 가능합니다
저번 비디오에서 말했다시피
방향미분계수의 정의에 따르면
이 벡터 v를 2배 하면 방향미분계수의 값도 2배가 됩니다
직접 해볼까요
여기 공간 좀 만들고요
2v 방향의 f의 방향미분계수를 구해보면
이걸 계산해보면
f의 그라디언트에다가 2v를 내적하는데

Korean: 
내적에서는 계수 2를 밖으로 빼낼 수 있습니다
그러면 원래 값보다
2배 더 큰 값이 나오네요
방향미분계수의 값은 2배 더 크게 나옵니다
하지만 벡터의 길이가 2배가 됐다고 해서
접선의 기울기가
2배 되는 것은 아니잖아요?
어차피 가르는 평면은 같으니까
접선의 기울기의 크기도 같아야 하는데
뭔가 안 맞네요
그래서 만약 여러분이 기울기의 맥락에서
방향미분계수를 구하신다면
v가 단위벡터여야 한다는 사실은 매우 중요합니다
그래서 접선의 기울기를 구하는 공식에는
분모에다가 v의 크기를 넣음으로써
v의 실제 크기가 어떻든 간에
계산하면 v의 크기에 상관없이
그 점에서의 접선의 기울기가
나오도록 해줍니다
어떤 사람들은 아예 벡터의 크기에 상관없이
방향만 같으면 방향미분계수가 일정하게 나오도록

English: 
and dot product, you
can pull out that too.
This is just gonna double the
value of the entire thing.
V, this started with v, it's
gonna be twice the value,
the derivative will become
twice the value, but you don't
necessarily want that because
you'd see this plane you
sliced with, if instead of
doing it in the direction of v,
the unit vector, you did in
the direction of 2 times v,
it's the same plane, it's
the same slice you're taking,
and you'd want that same
slope, so that's gonna mess
everything up.
This is super important if
you're thinking about things in
the context of slope, one
thing that you could say is
your formula for the slope of
a graph in the direction of v,
is you take your directional
derivative, that dot product
between f and v, and you just
always make sure to divide it
by the magnitude of v,
divide it by that magnitude.
That will always take care
of what you want, that's
basically a way of making sure
that really, you're taking
the directional derivative
in the direction of a certain
unit vector.
Some people even go so far
as to define the directional

English: 
derivative to be this, to be
something where you normalize
out the length of that vector.
I don't really like that, but
I think that's because they're
thinking of the slope context,
they're thinking of rates of
change as being the slope of a graph.
One thing I'd like to
emphasize as always, graphical
intuition is good, and visual
intuition is always great,
you should always be trying
to find a way to think about
things visually, but with
multivariable functions,
the graph isn't the only way.
You can kind of more generally
think about just a nudge
in the v direction, and in
the context where v doesn't
have a length 1, the nudge
doesn't represent an actual size
but it's a certain scaling
constant times that vector,
you can look at the video on
the formal definition for the
directional derivative, if
you want more details on that.
But I do think this is actually
a good way to get a feel for
what the directional
derivative is all about.

Korean: 
이를 방향미분계수의 정의로 삼기도 하는데요
저는 그다지 마음에 들지는 않습니다
왜냐하면 이렇게 정의하는 것은 방향미분계수를
그래프에서 접선의 기울기로만 한정적으로 보는 것이라고 생각하기 때문이죠
물론 제가 항상 강조하듯이
그래프로 해석하는 것은 좋고
시각적인 해석도 아주 좋지만
다변수 함수의 경우에는
그래프가 전부가 아닙니다
보다 일반적으로 방향미분계수를
v 방향으로의 '움직임'으로 받아들이면
v의 길이가 1이 아닌 경우에 대해서도
보다 자연스러운 해석이 가능합니다
보다 자세한 정보는 방향미분계수의
수학적 정의에 대한 비디오를 찾아보세요
아무튼 간에, 이는 방향미분계수가 무엇인지를 이해하는
좋은 방법이라고 생각합니다
