Beweis der grundlegenden Satz der Algebra
Das grundlegende Theorem der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Wurzel hat. Beweis: Wir werden dieses Theorem durch Widerspruch beweisen. Angenommen, es existiert ein nicht-konstantes Polynom P(z) mit komplexen Koeffizienten, die keine komplexen Wurzeln haben. Da P(z) nicht-konstant ist, hat es einen höchsten Grad Begriff, sagen wir az^n. Wir können davon ausgehen, dass a nicht gleich Null ist, sonst, P(z) wäre ein konstantes Polynom. Betrachten Sie die Funktion f(z) = 1/P(z). Diese Funktion ist für alle klar definiert, außer für die Wurzeln von P(z). Da P(z) keine komplexen Wurzeln hat, ist f(z) eine kontinuierliche und gebundene Funktion auf der komplexen Ebene. Daher durch Liouvilles Theorem, f(z) ist eine konstante Funktion. Lassen Sie den konstanten Wert von f(z) c sein, dann haben wir: c(z) = die kontinuierliche und gebundene Funktion auf der komplexen Ebene.