erklären Sie mir auf einfache Weise zu verstehen, was die Gleichung für das Finden der nth Dreieck Zahl ist und wie es durch die Verwendung nur High School Level Mathe bewiesen werden kann. bitte geben Sie jeden Schritt eines Nachweises mit LaTeX.
Eine Dreieckszahl ist die Summe aller Ganzzahlen von 1 bis zu einer bestimmten Ganzzahl n. Die Gleichung für die Ermittlung der nth Dreieckszahl wird durch die Formel gegeben: \begin{equation} T_n = \frac{n(n+1)}{2} \end{equation} Um diese Formel zu beweisen, können wir mathematische Induktion verwenden: Basisschritt: Für n = 1 gibt die Gleichung uns T1 = 1 * (1 + 1) / 2 = 1, die die erste Dreieckszahl ist. Induktiver Schritt: Nehmen wir an, dass die Formel für n = k, d.h., T_k = k * (k + 1) / 2. Nun müssen wir beweisen, dass die Formel auch für n = k + 1 gilt, d.h., T_k + 1} = (k + 1) * (k + 2) / 2. \begin{align} T_k + 1} &= T_k + 1) gilt.