Entweder R ein Hauptring. Warum ist jedes Submodul eines freien R-Moduls frei?
In der Mathematik, wenn man von einem Hauptring R und seinen Modulen spricht, ist die Tatsache, dass jedes Submodul eines freien Moduls selbst frei ist eine Folge der Definition der Freiheit für Module auf einem Hauptring. Ein R-Modul wird als frei bezeichnet, wenn ein Element des Moduls durch eine endliche lineare Kombination von freien Elementen des Moduls dargestellt werden kann. Diese freien Elemente werden als Basis für das Modul bezeichnet. Angenommen, M ist ein freies R-Modul mit einer B-Basis. Wenn N ein Submodul von M ist, dann gibt es für jedes N-Element eine endliche lineare Kombination von B-Elementen, die verwendet werden können, um n darzustellen. Dies bedeutet, dass N auch als freies R-Modul mit einer Basis betrachtet werden kann, die aus einer endlichen Folge der B-Elemente besteht. Zusammenfassend, wenn M ein freies R-Modul mit einer B-Basis ist, dann ist jedes Submodul N von M auch ein freies R-Modul, da es immer durch eine endliche lineare Kombination von B-Elementen dargestellt werden kann.