Nehmen Sie eine zufällige Matrix von $n\times n$ mit physischen Elementen, von denen jedes Element unabhängig von den anderen Elementen der normalen Standardverteilung ausgewählt wird. Wie schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle seine eigenen Werte einen positiven physischen Teil haben? Welche Asymptotiken machen diese Wahrscheinlichkeit bei $n auf der Suche nach Unendlichkeit?
Um die genaue Wahrscheinlichkeit zu schätzen, dass alle Matrixwerte positiv sind, ist dies eine ziemlich schwierige Aufgabe. Dies kann nur in privaten Fällen für bestimmte Matrixklassen berechnet werden. Allerdings kann Asymptotik bei $n\to\infty durch Methoden der Theorie der randomisierten Matrizen angenähert werden. In diesem Forschungsbereich wurde gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle ihre eigenen Werte positiv sind, exponentiell schnell bei $n\to\infty angewendet wurde. Dies kann so interpretiert werden, dass in den meisten Fällen zufällige Matrizen positiv mit einer hohen Wahrscheinlichkeit definiert werden. Allerdings sollte beachtet werden, dass die oben genannten Asymptotiken die Verwendung bestimmter mathematischer Modelle und Näherungswerte implizieren, so dass ihre Genauigkeit variieren kann. Die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass alle ihre Werte einer zufälligen Matrix einen positiven Teil haben, ist eine der relevanten Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik. Es ist immer noch nicht genau adressiert und ist ein Bereich aktiver Forschung. An diesem Punkt gibt es viele Ansätze, einschließlich der asyptischen Auswertung durch mathematische Modelle, so kann es in der Wahrscheinlichkeits- und der positiven Werte genau sein.