You are a helpful assistant.
system
Biểu diễn số phức \( 3 + 4i \) ở dạng cực, bao gồm việc xác định độ lớn và góc, đồng thời cung cấp một biểu đồ minh họa cho dạng cực, kèm theo một phân tích chi tiết từng bước của quá trình chuyển đổi từ tọa độ hình chữ nhật sang tọa độ cực, và so sánh với dạng tọa độ hình chữ nhật, sử dụng ký hiệu toán học thích hợp.
user
Để biểu diễn số phức \( 3 + 4i \) ở dạng cực, chúng ta cần xác định độ lớn (mô-đun) và góc (argument) của nó.

### Bước 1: Tính độ lớn (mô-đun)

Độ lớn của số phức \( z = a + bi \) được tính bằng công thức:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Với \( a = 3 \) và \( b = 4 \), ta có:

\[
|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

### Bước 2: Tính góc (argument)

Góc của số phức \( z = a + bi \) được tính bằng công thức:

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]

Với \( a = 3 \) và \( b = 4 \), ta có:

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]

Sử dụng máy tính, ta tìm được:

\[
\theta \approx 53.13^\circ
\]

hoặc nếu cần tính bằng radian:

\[
\theta \approx 0.927 \text{ rad}
\]

### Dạng cực của số phức

Số phức \( 3 + 4i \) có thể được biểu diễn ở dạng cực là:

\[
5 \left( \cos 53.13^\circ + i \sin 53.13^\circ \right)
\]

hoặc:

\[
5 \text{cis} 53.13^\circ
\]

### Biểu đồ minh họa

Trên mặt phẳng phức, số phức \( 3 + 4i \) được biểu diễn như một điểm có tọa độ (3, 4). Đường thẳng nối từ gốc tọa độ (0, 0) đến điểm (3, 4) có độ dài là 5 và tạo với trục thực một góc khoảng 53.13 độ.

### So sánh với dạng tọa độ hình chữ nhật

- **Dạng tọa độ hình chữ nhật**: \( 3 + 4i \)
- **Dạng tọa độ cực**: \( 5 \text{cis} 53.13^\circ \)

Dạng tọa độ hình chữ nhật cho thấy trực tiếp phần thực và phần ảo của số phức, trong khi dạng tọa độ cực cho thấy độ lớn và góc của số phức, giúp dễ dàng thực hiện các phép toán như nhân và chia số phức.

### Kết luận

Việc chuyển đổi từ dạng tọa độ hình chữ nhật sang tọa độ cực giúp ta có cái nhìn rõ ràng hơn về độ lớn và hướng của số phức trên mặt phẳng phức, và rất hữu ích trong các phép toán phức tạp hơn.
assistant