You are a helpful assistant.
system
Xác định đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 1, đồng thời đưa ra lời giải thích từng bước, bao gồm việc áp dụng quy tắc đạo hàm sản phẩm và thương, phân tích giới hạn, tính liên tục, và vẽ đồ thị của hàm số cùng với đạo hàm, cũng như thảo luận về các ứng dụng thực tiễn và phân tích các điểm tới hạn để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.
user
Để xác định đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 1 \), ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm cơ bản cho từng hạng tử của hàm số. Sau đó, ta sẽ thảo luận về các khía cạnh khác như tính liên tục, giới hạn, và ứng dụng thực tiễn.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Hàm số đã cho là một đa thức, vì vậy ta có thể áp dụng quy tắc đạo hàm cơ bản cho từng hạng tử:

1. Đạo hàm của \( x^3 \) là \( 3x^2 \).
2. Đạo hàm của \( -4x^2 \) là \( -8x \).
3. Đạo hàm của \( 6x \) là \( 6 \).
4. Đạo hàm của hằng số \(-1\) là \( 0 \).

Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là:

\[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 6. \]

### Bước 2: Phân tích tính liên tục và giới hạn

Hàm số \( f(x) \) là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ trục số thực. Đa thức cũng có giới hạn tại vô cực, cụ thể:

- Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).
- Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \).

### Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số và đạo hàm

Để vẽ đồ thị của hàm số và đạo hàm, ta cần xác định các điểm tới hạn và giá trị tại các điểm đó:

1. **Điểm tới hạn**: Là các điểm mà \( f'(x) = 0 \) hoặc không xác định. Giải phương trình \( 3x^2 - 8x + 6 = 0 \) để tìm các điểm tới hạn:

   \[ 3x^2 - 8x + 6 = 0 \]

   Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

   \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 72}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{-8}}{6}. \]

   Phương trình này không có nghiệm thực, do đó không có điểm tới hạn thực.

2. **Đồ thị**: Đồ thị của \( f(x) \) là một đường cong bậc ba, có dạng hình chữ S. Đồ thị của \( f'(x) \) là một parabol mở lên.

### Bước 4: Ứng dụng thực tiễn

Đạo hàm của hàm số có thể được sử dụng để phân tích tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể. Trong thực tế, điều này có thể áp dụng trong các lĩnh vực như vật lý (tính vận tốc tức thời), kinh tế (tính tốc độ tăng trưởng), và nhiều lĩnh vực khác.

### Bước 5: Phân tích các điểm tới hạn

Mặc dù phương trình \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm thực, ta vẫn có thể phân tích hành vi của hàm số dựa trên đạo hàm:

- Nếu \( f'(x) > 0 \) trên một khoảng, hàm số đang tăng trên khoảng đó.
- Nếu \( f'(x) < 0 \) trên một khoảng, hàm số đang giảm trên khoảng đó.

Vì đạo hàm là một parabol mở lên và không có nghiệm thực, \( f'(x) \) luôn dương hoặc luôn âm trên toàn bộ trục số thực, tùy thuộc vào dấu của hệ số bậc hai.

### Kết luận

Hàm số \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 1 \) có đạo hàm là \( f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 \). Đạo hàm này giúp ta hiểu rõ hơn về tốc độ thay đổi của hàm số và có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tiễn khác nhau.
assistant