You are a helpful assistant.
system
Tính tích phân đường ∫C F⋅dr, trong đó F(x, y) = xi + yj và C là đường cong được tham số hóa bởi r(t) = ti + t^2j với 0 ≤ t ≤ 1, yêu cầu áp dụng Định lý Green để tính toán công thực hiện bởi trường lực F trên đường cong C được xác định là đoạn thẳng và parabol, đồng thời phân tích độ phân kỳ của F trong miền này.
user
Để áp dụng Định lý Green, trước tiên chúng ta cần xác định miền D mà đường cong C là biên của nó. Đường cong C được tham số hóa bởi \( r(t) = ti + t^2j \) với \( 0 \leq t \leq 1 \) bao gồm đoạn thẳng từ (0,0) đến (1,1) và parabol từ (1,1) đến (0,0).

Miền D là miền giới hạn bởi đoạn thẳng từ (0,0) đến (1,1) và parabol từ (0,0) đến (1,1). Định lý Green cho phép chúng ta chuyển đổi tích phân đường thành tích phân mặt phẳng:

\[
\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
\]

Với \(\mathbf{F}(x, y) = xi + yj\), ta có \(P(x, y) = x\) và \(Q(x, y) = y\).

Tính các đạo hàm riêng:

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0
\]

\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0
\]

Do đó:

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 0 = 0
\]

Vì vậy, tích phân mặt phẳng trở thành:

\[
\iint_D 0 \, dA = 0
\]

Do đó, tích phân đường \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\).

Về độ phân kỳ của \(\mathbf{F}\), ta có:

\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2
\]

Độ phân kỳ của \(\mathbf{F}\) trong miền D là hằng số 2. Tuy nhiên, do tích phân mặt phẳng của độ phân kỳ trên miền D là 0, điều này cho thấy rằng tổng công thực hiện bởi trường lực \(\mathbf{F}\) trên đường cong C là 0.
assistant