You are a helpful assistant.
system
Tính tích phân của hàm h(x) = 3x^2 - 6x + 2 từ x = 0 đến x = 4, đồng thời giải thích ý nghĩa của từng bước trong quá trình tích phân, liên hệ với các ứng dụng thực tiễn, so sánh với một tích phân tương tự và yêu cầu biểu diễn đồ thị kết quả để làm rõ hơn về hàm số này.
user
Để tính tích phân của hàm \( h(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( h(x) \)

Nguyên hàm của một hàm số là một hàm mà khi lấy đạo hàm sẽ cho ra hàm số ban đầu. Đối với hàm \( h(x) = 3x^2 - 6x + 2 \), ta tìm nguyên hàm \( H(x) \) như sau:

- Nguyên hàm của \( 3x^2 \) là \( \frac{3}{3}x^3 = x^3 \).
- Nguyên hàm của \( -6x \) là \( \frac{-6}{2}x^2 = -3x^2 \).
- Nguyên hàm của \( 2 \) là \( 2x \).

Vậy, nguyên hàm \( H(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + C \), trong đó \( C \) là hằng số tích phân.

### Bước 2: Tính giá trị của tích phân xác định

Tích phân xác định từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \) của hàm \( h(x) \) là:

\[
\int_{0}^{4} (3x^2 - 6x + 2) \, dx = \left[ x^3 - 3x^2 + 2x \right]_{0}^{4}
\]

Tính giá trị tại các giới hạn:

- \( H(4) = 4^3 - 3 \times 4^2 + 2 \times 4 = 64 - 48 + 8 = 24 \)
- \( H(0) = 0^3 - 3 \times 0^2 + 2 \times 0 = 0 \)

Do đó, giá trị của tích phân là:

\[
24 - 0 = 24
\]

### Ý nghĩa và ứng dụng thực tiễn

Tích phân xác định của một hàm số trên một khoảng cho biết diện tích dưới đường cong của hàm số đó và trên trục hoành trong khoảng đã cho. Trong thực tế, tích phân có thể được sử dụng để tính toán các đại lượng như diện tích, thể tích, công việc, và nhiều ứng dụng khác trong vật lý, kỹ thuật, và kinh tế.

### So sánh với một tích phân tương tự

Giả sử ta có hàm \( g(x) = x^2 - 2x + 1 \). Tích phân của \( g(x) \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \) sẽ khác với \( h(x) \) do các hệ số khác nhau, mặc dù cả hai đều là hàm bậc hai. Điều này cho thấy sự khác biệt trong diện tích dưới các đường cong khác nhau.

### Biểu diễn đồ thị

Để làm rõ hơn về hàm số này, ta có thể vẽ đồ thị của \( h(x) = 3x^2 - 6x + 2 \). Đồ thị này là một parabol mở lên với đỉnh tại điểm cực tiểu. Diện tích dưới đường cong từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \) chính là giá trị của tích phân mà ta đã tính được là 24.

Việc vẽ đồ thị giúp trực quan hóa sự thay đổi của hàm số và xác định rõ hơn diện tích mà tích phân đại diện.
assistant