You are a helpful assistant.
system
Trong một túi có 5 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh, đại diện cho các đội trong một giải đấu, bạn lấy ngẫu nhiên một quả bóng, ghi lại màu sắc của nó và bỏ lại vào túi. Sau đó, nếu bạn vẽ một quả bóng khác, hãy tính xác suất để cả hai quả bóng được rút ra đều có cùng màu, đồng thời xem xét ảnh hưởng của việc rút thêm một quả bóng thứ ba vào kết quả cuối cùng.
user
Để tính xác suất để cả hai quả bóng được rút ra đều có cùng màu, ta cần xem xét hai trường hợp:

1. Cả hai quả bóng đều là màu đỏ.
2. Cả hai quả bóng đều là màu xanh.

Tổng số quả bóng trong túi là 5 quả bóng đỏ + 7 quả bóng xanh = 12 quả bóng.

**Trường hợp 1: Cả hai quả bóng đều là màu đỏ.**

- Xác suất để rút quả bóng đầu tiên là màu đỏ: \( \frac{5}{12} \).
- Vì quả bóng được bỏ lại vào túi, xác suất để rút quả bóng thứ hai cũng là màu đỏ: \( \frac{5}{12} \).

Vậy xác suất để cả hai quả bóng đều là màu đỏ là:
\[ \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144} \]

**Trường hợp 2: Cả hai quả bóng đều là màu xanh.**

- Xác suất để rút quả bóng đầu tiên là màu xanh: \( \frac{7}{12} \).
- Vì quả bóng được bỏ lại vào túi, xác suất để rút quả bóng thứ hai cũng là màu xanh: \( \frac{7}{12} \).

Vậy xác suất để cả hai quả bóng đều là màu xanh là:
\[ \frac{7}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{49}{144} \]

**Tổng xác suất để cả hai quả bóng có cùng màu:**

\[ \frac{25}{144} + \frac{49}{144} = \frac{74}{144} = \frac{37}{72} \]

**Ảnh hưởng của việc rút thêm một quả bóng thứ ba:**

Nếu rút thêm một quả bóng thứ ba, xác suất để cả ba quả bóng có cùng màu sẽ là:

- Cả ba quả bóng đều là màu đỏ: \( \left(\frac{5}{12}\right)^3 = \frac{125}{1728} \).
- Cả ba quả bóng đều là màu xanh: \( \left(\frac{7}{12}\right)^3 = \frac{343}{1728} \).

Tổng xác suất để cả ba quả bóng có cùng màu là:
\[ \frac{125}{1728} + \frac{343}{1728} = \frac{468}{1728} = \frac{39}{144} = \frac{13}{48} \]

Như vậy, xác suất để cả hai quả bóng đầu tiên có cùng màu là \( \frac{37}{72} \), và nếu rút thêm một quả bóng thứ ba, xác suất để cả ba quả bóng có cùng màu là \( \frac{13}{48} \).
assistant