You are a helpful assistant.
system
Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận B = [[5, 4], [2, 3]], đồng thời hãy giải thích chi tiết các bước tính toán, yêu cầu rằng các giá trị riêng phải dương và sử dụng đa thức đặc trưng để tìm kiếm, đồng thời nêu rõ ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực như vật lý hoặc kỹ thuật.
user
Để tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận \( B = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng
Đa thức đặc trưng của ma trận \( B \) được xác định bằng cách tính định thức của \( B - \lambda I \), trong đó \( \lambda \) là giá trị riêng và \( I \) là ma trận đơn vị cùng kích thước với \( B \).

\[
B - \lambda I = \begin{bmatrix} 5 - \lambda & 4 \\ 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix}
\]

Định thức của \( B - \lambda I \) là:

\[
\det(B - \lambda I) = (5 - \lambda)(3 - \lambda) - (4)(2)
\]

\[
= (5 - \lambda)(3 - \lambda) - 8
\]

\[
= (15 - 5\lambda - 3\lambda + \lambda^2) - 8
\]

\[
= \lambda^2 - 8\lambda + 7
\]

### Bước 2: Giải phương trình đặc trưng
Giải phương trình \( \lambda^2 - 8\lambda + 7 = 0 \) để tìm các giá trị riêng.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 7 \):

\[
\lambda = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}
\]

\[
= \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}
\]

\[
= \frac{8 \pm 6}{2}
\]

Do đó, các giá trị riêng là \( \lambda_1 = 7 \) và \( \lambda_2 = 1 \).

### Bước 3: Tìm vectơ riêng
Để tìm vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng, chúng ta giải hệ phương trình \( (B - \lambda I)x = 0 \).

#### Với \( \lambda_1 = 7 \):

\[
B - 7I = \begin{bmatrix} 5 - 7 & 4 \\ 2 & 3 - 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Từ phương trình đầu tiên: \(-2x_1 + 4x_2 = 0\) hay \(x_1 = 2x_2\).

Chọn \( x_2 = 1 \), ta có vectơ riêng tương ứng là \( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \).

#### Với \( \lambda_2 = 1 \):

\[
B - I = \begin{bmatrix} 5 - 1 & 4 \\ 2 & 3 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Từ phương trình đầu tiên: \(4x_1 + 4x_2 = 0\) hay \(x_1 = -x_2\).

Chọn \( x_2 = 1 \), ta có vectơ riêng tương ứng là \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \).

### Ứng dụng
Các giá trị riêng và vectơ riêng có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, chẳng hạn như:

- **Cơ học**: Trong phân tích dao động, các giá trị riêng có thể đại diện cho tần số tự nhiên của hệ thống, và vectơ riêng cho biết dạng dao động tương ứng.
- **Điều khiển học**: Trong thiết kế hệ thống điều khiển, các giá trị riêng của ma trận hệ thống giúp xác định tính ổn định của hệ thống.
- **Xử lý tín hiệu**: Trong phân tích dữ liệu, phân tích thành phần chính (PCA) sử dụng các giá trị riêng và vectơ riêng để giảm chiều dữ liệu và tìm ra các hướng quan trọng nhất trong dữ liệu.

Hy vọng rằng giải thích trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận, cũng như ứng dụng của chúng.
assistant