You are a helpful assistant.
system
Trong một nhóm 20 người, xác suất để có ít nhất hai người có cùng ngày sinh là bao nhiêu, khi xem xét rằng ngày sinh nhật của mỗi người đều có khả năng xảy ra vào bất kỳ ngày nào trong số 365 ngày trong một năm, và liệu có thể xảy ra trường hợp nào khác nếu năm đó là năm nhuận, ảnh hưởng đến xác suất này như thế nào?
user
Để tính xác suất có ít nhất hai người trong nhóm 20 người có cùng ngày sinh, ta có thể sử dụng phương pháp bổ sung. Đầu tiên, ta tính xác suất mà không có ai trong số 20 người có cùng ngày sinh, sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này.

Giả sử năm không nhuận, có 365 ngày trong năm:

1. Người đầu tiên có thể có ngày sinh bất kỳ trong 365 ngày, xác suất là 365/365.
2. Người thứ hai có ngày sinh khác người đầu tiên, xác suất là 364/365.
3. Người thứ ba có ngày sinh khác hai người đầu tiên, xác suất là 363/365.
4. Tiếp tục như vậy cho đến người thứ 20, xác suất là 346/365.

Xác suất không có ai trùng ngày sinh là:
\[ P(\text{không trùng}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \ldots \times \frac{346}{365} \]

Tính toán cụ thể:
\[ P(\text{không trùng}) \approx 0.588 \]

Do đó, xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh là:
\[ P(\text{ít nhất hai người trùng}) = 1 - P(\text{không trùng}) \approx 1 - 0.588 = 0.412 \]

Nếu năm đó là năm nhuận, có 366 ngày trong năm, ta thực hiện tương tự:

1. Xác suất không có ai trùng ngày sinh là:
\[ P(\text{không trùng, năm nhuận}) = \frac{366}{366} \times \frac{365}{366} \times \frac{364}{366} \times \ldots \times \frac{347}{366} \]

Tính toán cụ thể:
\[ P(\text{không trùng, năm nhuận}) \approx 0.592 \]

Do đó, xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh trong năm nhuận là:
\[ P(\text{ít nhất hai người trùng, năm nhuận}) = 1 - P(\text{không trùng, năm nhuận}) \approx 1 - 0.592 = 0.408 \]

Như vậy, xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh trong năm nhuận là khoảng 0.408, hơi thấp hơn so với năm không nhuận.
assistant