You are a helpful assistant.
system
Trong một túi có 6 quả bóng đỏ, biểu trưng cho may mắn, và 4 quả bóng xanh, đại diện cho rủi ro, bạn tham gia vào một trò chơi chọn ngẫu nhiên 3 quả bóng từ túi. Xác suất để bạn lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ trong khi đảm bảo rằng quả bóng đầu tiên được chọn là màu đỏ là bao nhiêu? Hãy suy nghĩ về ý nghĩa của xác suất này trong bối cảnh trò chơi, đặc biệt là khi bạn xem xét các kết quả khác nhau.
user
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ trong khi đảm bảo rằng quả bóng đầu tiên được chọn là màu đỏ.

Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 3 quả bóng từ túi.

Tổng số quả bóng trong túi là 6 quả đỏ + 4 quả xanh = 10 quả. Số cách chọn 3 quả bóng từ 10 quả là:

\[
\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
\]

Bước 2: Xác định số cách chọn 3 quả bóng sao cho quả đầu tiên là màu đỏ.

Nếu quả đầu tiên là màu đỏ, thì còn lại 5 quả đỏ và 4 quả xanh trong túi. Chúng ta cần chọn thêm 2 quả bóng từ 9 quả còn lại (5 đỏ và 4 xanh).

Số cách chọn 2 quả bóng từ 9 quả là:

\[
\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36
\]

Bước 3: Xác định số cách chọn 3 quả bóng mà không có quả nào là màu đỏ (điều này để tính xác suất ngược).

Số cách chọn 3 quả bóng toàn màu xanh (không có quả đỏ nào) là:

\[
\binom{4}{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4
\]

Bước 4: Tính xác suất để có ít nhất một quả bóng đỏ khi quả đầu tiên là đỏ.

Số cách chọn 3 quả bóng mà có ít nhất một quả đỏ (khi quả đầu tiên đã là đỏ) là tổng số cách chọn 3 quả bóng trừ đi số cách chọn 3 quả bóng toàn xanh:

\[
36 - 4 = 32
\]

Vì quả đầu tiên đã là đỏ, nên thực tế chúng ta chỉ cần tính số cách chọn 2 quả còn lại sao cho có ít nhất một quả đỏ. Do đó, xác suất để có ít nhất một quả đỏ trong 3 quả (khi quả đầu tiên đã là đỏ) là:

\[
\frac{32}{36} = \frac{8}{9}
\]

Vậy, xác suất để bạn lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ trong khi đảm bảo rằng quả bóng đầu tiên được chọn là màu đỏ là \(\frac{8}{9}\). Điều này có nghĩa là trong trò chơi, nếu bạn đã chọn quả đầu tiên là đỏ, khả năng bạn có ít nhất một quả đỏ trong ba quả chọn là rất cao, gần như chắc chắn.
assistant