You are a helpful assistant.
system
Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tìm thể tích của vật rắn được tạo ra bằng cách quay vùng giới hạn bởi y=x^2 và y=4 quanh trục y, với các giới hạn x từ 0 đến 2, và hãy trình bày quy trình tính toán chi tiết.
user
Để tìm thể tích của vật rắn được tạo ra bằng cách quay vùng giới hạn bởi \( y = x^2 \) và \( y = 4 \) quanh trục \( y \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), ta sử dụng phương pháp vỏ hình trụ. Phương pháp này yêu cầu tính tích phân của diện tích vỏ hình trụ.

1. **Xác định chiều cao và bán kính của vỏ hình trụ:**

   - Chiều cao của vỏ hình trụ là khoảng cách giữa hai đường \( y = 4 \) và \( y = x^2 \), tức là \( h(x) = 4 - x^2 \).

   - Bán kính của vỏ hình trụ là khoảng cách từ trục quay (trục \( y \)) đến điểm trên đường cong, tức là \( r(x) = x \).

2. **Thiết lập công thức tích phân cho thể tích:**

   Công thức tính thể tích bằng phương pháp vỏ hình trụ là:
   \[
   V = \int_{a}^{b} 2\pi \cdot r(x) \cdot h(x) \, dx
   \]

   Thay \( r(x) = x \) và \( h(x) = 4 - x^2 \) vào công thức, ta có:
   \[
   V = \int_{0}^{2} 2\pi \cdot x \cdot (4 - x^2) \, dx
   \]

3. **Tính tích phân:**

   Triển khai biểu thức bên trong tích phân:
   \[
   V = 2\pi \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx
   \]

   Tính tích phân:
   \[
   V = 2\pi \left[ \int_{0}^{2} 4x \, dx - \int_{0}^{2} x^3 \, dx \right]
   \]

   Tính từng tích phân:
   \[
   \int 4x \, dx = 2x^2 + C
   \]
   \[
   \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C
   \]

   Thay vào giới hạn từ 0 đến 2:
   \[
   \int_{0}^{2} 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{2} = 2(2)^2 - 2(0)^2 = 8
   \]
   \[
   \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{(2)^4}{4} - \frac{(0)^4}{4} = 4
   \]

   Kết hợp lại:
   \[
   V = 2\pi (8 - 4) = 2\pi \cdot 4 = 8\pi
   \]

Vậy, thể tích của vật rắn là \( 8\pi \).
assistant