You are a helpful assistant.
system
Trong một lớp học có 15 học sinh. Mỗi học sinh bắt tay với mỗi học sinh khác một lần. Tổng cộng có bao nhiêu cái bắt tay xảy ra? Hãy tạo ra một số câu trả lời tiềm năng thông qua các quy trình suy luận khác nhau, sau đó xếp hạng các câu trả lời này theo khả năng xảy ra và tính đầy đủ trước khi chọn giải pháp chính xác nhất. Đồng thời, hãy trình bày các phương pháp giải quyết và so sánh hiệu quả của chúng, cùng với sơ đồ minh họa cho quá trình giải quyết.
user
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tổng số cái bắt tay xảy ra khi mỗi học sinh trong lớp bắt tay với mỗi học sinh khác một lần. Có nhiều cách để tiếp cận bài toán này, và dưới đây là một số phương pháp cùng với phân tích và so sánh hiệu quả của chúng.

### Phương pháp 1: Sử dụng công thức tổ hợp
Mỗi cái bắt tay là một cặp học sinh, và chúng ta cần chọn 2 học sinh từ 15 học sinh để tạo thành một cặp. Số cách chọn 2 học sinh từ 15 học sinh được tính bằng tổ hợp chập 2 của 15:

\[
C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105
\]

### Phương pháp 2: Tính trực tiếp
Giả sử mỗi học sinh lần lượt bắt tay với các học sinh còn lại. Học sinh đầu tiên sẽ bắt tay với 14 học sinh khác, học sinh thứ hai sẽ bắt tay với 13 học sinh (vì đã bắt tay với học sinh đầu tiên), và cứ tiếp tục như vậy. Tổng số cái bắt tay là:

\[
14 + 13 + 12 + \ldots + 1 = \frac{14 \times 15}{2} = 105
\]

### Phương pháp 3: Sử dụng công thức tổng quát
Số cái bắt tay trong một nhóm n người là \(\frac{n(n-1)}{2}\). Áp dụng cho n = 15:

\[
\frac{15 \times 14}{2} = 105
\]

### So sánh các phương pháp
- **Phương pháp 1** (tổ hợp) là cách tiếp cận trực tiếp và dễ hiểu, đặc biệt khi đã quen với khái niệm tổ hợp.
- **Phương pháp 2** (tính trực tiếp) giúp hình dung rõ ràng quá trình bắt tay, nhưng có thể mất thời gian hơn nếu số lượng học sinh lớn.
- **Phương pháp 3** (công thức tổng quát) là cách nhanh nhất và hiệu quả nhất khi áp dụng cho các bài toán tương tự với số lượng lớn.

### Sơ đồ minh họa
```
Học sinh 1: 14 cái bắt tay
Học sinh 2: 13 cái bắt tay (không tính học sinh 1)
Học sinh 3: 12 cái bắt tay (không tính học sinh 1 và 2)
...
Học sinh 14: 1 cái bắt tay (với học sinh 15)
```

### Kết luận
Tất cả các phương pháp đều dẫn đến kết quả là 105 cái bắt tay. Phương pháp sử dụng công thức tổng quát là nhanh nhất và dễ áp dụng cho các bài toán tương tự với số lượng lớn hơn.
assistant