المقطع: تبادل "+" و "−" في التعبير، أي تغيير الحلين للمعادلة يمكن أن ينظر إليه على أنه عملية مجموعة (بسيطة جداً). تعرف صيغ مماثلة للمعادلة المكعبية والرباعية، ولكن لا توجد بشكل عام للدرجة 5 وما فوق. خصائص تجريدية لمجموعات غالوا المرتبطة بالمعادلات المتعددة الحدود (خاصة قابليتها للحل) تعطي معيارًا للمعادلات المتعددة الحدود التي تكون جميع حلولها قابلة للتعبير عن طريق الجذور، أي الحلول القابلة للتعبير باستخدام الجمع والضرب والجذور فقط مشابهة للصيغة أعلاه. يمكن التعامل مع المشكلة عن طريق الانتقال إلى نظرية الحقل والنظر في تقسيم حقل متعدد الحدود. نظرية غالوا الحديثة تعمم نوع المجموعات الحقلية أعلاه لإقامة علاقة أساسية بين نظرية المجموعات المتعددة الحدود والحلقية.
5 وأكبر